Driehoeken. 18 m 2 18 dm 2 90 dm 2 oef dm 3 96 dm dm 3 oef. 704

Transcriptie

1 4 riehoeken it kun je al 1 ruimtefiguren herkennen hoeken meten en tekenen 3 oppervlakte berekenen van vierhoeken 4 volume berekenen van balk en kubus Test jezelf lke vraag heeft maar één juist antwoord. ontroleer je antwoord in de correctiesleutel. chter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek. 1 Welke ruimtefiguur herken je? Verder oefenen? piramide prisma oef. 519 oe groot is? oef en rechthoek heeft een lengte van 4 m en een breedte van 45 dm. ereken de oppervlakte. 4 e oppervlakte van het grondvlak van een balk is 4 dm. e hoogte van de balk is 60 cm. ereken het volume. 18 m 18 dm 90 dm oef dm 3 96 dm 3 40 dm 3 oef. 704 it heb je nodig leerwerkboek p oefenboek p geo passer rekenmachine kleurpotloden Inhoud 18 riehoeken in de ruimte p riehoeken tekenen p erkwaardige lijnen in een p Omtrek, oppervlakte en volume p

2 18 riehoeken in de ruimte Op verkenning a egrippen piramide Welke vlakke figuur herken je op alle foto s?... Van welke ruimtefiguur is deze vlakke figuur een grensvlak op de tweede foto?... grondvlak = veelhoek zijvlakken= en prisma oe herken je deze ruimtefiguur? Van welke ruimtefiguur is de een grensvlak op de derde foto?... neen Welke vorm hebben grond- en bovenvlak op de derde foto?... Zijn grond- en bovenvlak steeds en?... Wiskundetaal begrippen en wordt bepaald door drie punten die niet op dezelfde rechte liggen. Δ lees je als : de overstaande hoek van [] : de ingesloten hoek van [] en [] en : de aanliggende hoeken van [] en piramide is een ruimtefiguur begrensd door een veelhoek met n zijden en n en. de tophoek: T het grondvlak: veelhoek de hoogte: T T en prisma is een ruimtefiguur die begrensd is door twee evenwijdige veelhoeken en waarvan de opstaande zijvlakken parallellogrammen zijn. grondvlak: veelhoek bovenvlak: veelhoek GIJ G I J b Indeling van en Vul onderstaande tabel aan. oto 1 oto oto 3 oto 4 aantal even lange zijden aantal scherpe hoeken aantal stompe hoeken aantal rechte hoeken en

3 riehoeken kun je op twee manieren indelen: volgens de zijden en volgens de hoeken. lke krijgt dus een dubbele naam. Volgend schema kan je daarbij helpen. Is er een rechte hoek? nee ja Zijn er twee even lange zijden? rechthoekige ongelijkbenige nee ja rechthoekige gelijkbenige Is er een stompe hoek? ja zijn er twee even lange zijden? nee ja stomphoekige gelijkbenige nee stomphoekige ongelijkbenige Zijn er twee even lange zijden? scherphoekige ongelijkbenige nee ja Zijn er drie even ja scherphoekige gelijkzijdige lange zijden? nee scherphoekige gelijkbenige Welke twee benamingen kun je geven aan de en op de foto s uit vorige tabel? Zeg ook waarom. volgens de zijden verklaring volgens de hoeken oto 1 oto oto 3 oto 4 ongelijkbenige Δ alle zijden hebben een verschillende lengte rechthoekige Δ gelijkzijdige Δ alle zijden hebben dezelfde lengte scherphoekige Δ gelijkbenige Δ minstens zijden zijn even lang stomphoekige Δ gelijkbenige Δ minstens zijden zijn even lang rechthoekige Δ verklaring er is een rechte hoek alle hoeken zijn scherp er is een stompe hoek er is een rechte hoek 77

4 18 riehoeken in de ruimte (vervolg) efinitie efinitie Wiskundetaal definities en gelijkbenige is een met minstens twee even lange zijden. en gelijkzijdige is een met drie even lange zijden. en ongelijkbenige is een waarvan de drie zijden een verschillende lengte hebben. Wiskundetaal definities en scherphoekige is een met drie scherpe hoeken. en rechthoekige is een met een rechte hoek. en stomphoekige is een met een stompe hoek. Wiskundetaal begrippen rechthoekige : rechte hoek K J IL Δ is K Δ is ΔIJ is gelijkbenig gelijkzijdig ongelijkbenig N L J O I P K N O R J L I Q P S R N ΔKL is Q O ΔNOP is ΔQRS is scherphoekig rechthoekig stomphoekig S P R Q gelijkbenige S [ ]: basis [ ] : schuine zijde of hypotenusa [ ] en [ ] : benen of opstaande zijden [ ] en [ ] : rechthoekszijden : tophoek en : basishoeken Oefeningen Vul aan. a e overstaande hoek van [ ] is b e aanliggende hoeken van [ ] zijn en [] [] c is de ingesloten hoek van zijde en d is de overstaande hoek van [] Van is de grootte van de hoeken gegeven. Geef de passende naam volgens de hoeken. naam stomphoekige scherphoekige rechthoekige stomphoekige 78 en

5 3 eet de zijden en de hoeken. Zet een kruisje in de passende kolommen. 741 ongelijkbenige gelijkbenige gelijkzijdige scherphoekige rechthoekige stomphoekige Zijn de uitspraken juist of fout? Teken een tegenvoorbeeld als de uitspraak fout is. a en rechthoekige is nooit gelijkbenig. juist / fout fout tegenvoorbeeld b en rechthoekige kan twee rechte hoeken hebben. fout ls er twee hoeken van 90 zijn, kun je de niet dichtmaken. c en gelijkzijdige is altijd scherphoekig. juist d en met een scherpe hoek is een scherphoekige. fout Wat moet je kunnen? τ de verschillende soorten en herkennen τ de definities van de verschillende soorten en correct formuleren 79

6 19 riehoeken tekenen Op verkenning en architect maakt een maquette van een woning. ij heeft een foto gemaakt van een deur die hij wil gebruiken. e en moeten uit karton worden gesneden. e architect voerde al de nodige metingen uit. a riehoek waarvan twee zijden en de ingesloten hoek gegeven zijn riehoek 1: Rechthoekige met rechthoekszijden gelijk aan 3 cm en cm. oe kun je deze tekenen?... Teken eerst een zijde [] van 3 cm.... Teken een rechte hoek in het grenspunt. Teken grenspunt op de tweede rechthoekszijde op cm... van. Verbind en. cm cm Teken de. Stappenplan tekenen waarvan twee zijden en de ingesloten hoek gegeven zijn Teken een zijde. Δ met = 3 cm, = cm en = 55 Teken vanuit een grenspunt de gegeven hoek. eet op het tweede been van de hoek de lengte van de tweede zijde af. Verbind de hoekpunten. cm 55 3 cm b riehoek waarvan een zijde en de twee aanliggende hoeken gegeven zijn riehoek : en zijde van de is 1,5 cm en de aanliggende hoeken aan die zijde zijn 10 en 40 groot. oe kun je deze tekenen?... Teken een zijde [] van 1,5 cm. Teken in het grenspunt een hoek van 10,... waarbij [ een been is van die hoek en in een hoek van 40, waarbij ] een... been is aan die hoek.... e andere benen van beide hoeken komen samen in punt. 80 en

7 Teken de ,5 cm Stappenplan tekenen waarvan een zijde en de twee aanliggende hoeken gegeven zijn Teken de zijde. Teken vanuit het ene grenspunt van het lijnstuk een hoek. Teken vanuit het andere grenspunt van het lijnstuk de andere hoek. et snijpunt van de benen van de hoeken is het derde hoekpunt van de. Δ met = 4 cm, = 60 en = cm c en waarvan de lengten van de zijden gegeven zijn riehoek 3: e drie zijden hebben een lengte van 3 cm, 4 cm en 1,5 cm. Teken deze met je geo op een apart blad. Lukt dit?... oe kun je het probleem oplossen?... oe teken je dan de?... onstrueer de. moeilijk Je kunt een passer gebruiken. Je... tekent een zijde van 3 cm []. Je plaatst het passerpunt in en tekent een boog... op 4 cm. Je plaatst het passerpunt in en tekent een boog op 1,5 cm. Je verbindt het snijpunt van de boogjes met de grenspunten van het lijnstuk []. 3 cm 81

8 19 riehoeken tekenen (vervolg) Stappenplan tekenen waarvan de lengte van de drie zijden gegeven zijn Teken een zijde. Pas met de passer de lengte van een tweede zijde af op de geo. Zet vervolgens de passerpunt in een grenspunt van het lijnstuk en teken een boogje. Pas met de passer de lengte van de derde zijde af op de geo. Zet de passerpunt in het andere grenspunt en teken een boogje dat het eerste boogje snijdt. Teken de twee ontbrekende zijden door de grenspunten van het lijnstuk met de snijpunten van de passerbogen te verbinden. ONTROL 10 Teken een gelijkzijdige met zijden van 3 cm. ΔGI met G = 4 cm, GI =,5 cm, I = 3 cm G G G,5 cm 3 cm G 4 cm Oefeningen 3 cm Teken de gevraagde en. a Δ zodat = 4 cm, = 40 en = 56 b ΔGI zodat G = 3,5 cm; I = cm en = 100 I cm cm G 3,5 cm en

9 c ΔJKL zodat J = 90 en de rechthoekszijden gelijk zijn aan,5 cm en 4 cm d gelijkbenige ΔNO zodat tophoek O gelijk is aan 76 en de benen gelijk zijn aan 3 cm L O 76,5 cm 3 cm 3 cm J 90 4 cm K N e gelijkzijdige ΔPQR met een zijde van,5 cm f ΔSTU zodat ST = 3 cm, TU = 4 cm en SU = 5 cm P T 3 cm 4 cm Q,5 cm R S 5 cm U 6 Op onderstaande tekening van een tempel ontbreekt het fronton. ls je weet dat het fronton een gelijkbenige is waarvan de basishoeken gelijk zijn aan 5, vul dan de tekening aan en terras heeft de vorm van een rechthoekige. e rechthoekszijden zijn 7 m en 5 m lang. Teken dit terras op schaal 1:00. Wat moet je kunnen? τ en tekenen waarvan de nodige gegevens bekend zijn

10 0 erkwaardige lijnen in een Op verkenning a Zwaartelijn in een Knip een uit een stuk karton. Leg de op de rand van je meetlat, zodat een hoekpunt op de lat ligt. Zoek een positie waarbij de in evenwicht ligt. Teken op de de rechte lijn waarmee hij op de meetlat rust. ekijk goed de positie van de rechte lijn. Wat stel je vast? e rechte gaat door het midden van de overstaande zijde.... e rechte lijn die je tekende, noem je een zwaartelijn van de. Ze zorgt ervoor dat de in evenwicht blijft. oeveel zwaartelijnen kun je in een tekenen?... Teken de zwaartelijn uit  in de onderstaande. epaal met je geo het midden van []. Noem dit midden. Teken een rechte door en. 3 O Z N Teken ook de zwaartelijnen uit en. Wat valt op? e zwaartelijnen snijden elkaar in één punt Z.... Wiskundetaal definitie efinitie en zwaartelijn van een is een rechte door een hoekpunt van een en door het midden van de overstaande zijde. z Tekenafspraak: plaats bij een zwaartelijn steeds merktekens voor gelijke afstanden. z is een zwaartelijn van Δ b oogtelijn in een Wat moet je tekenen om de afstand van tot [ ] te bepalen? e loodlijn uit op.... Teken die loodlijn. eze loodlijn is een hoogtelijn van de. Teken de hoogtelijnen uit en. Wat valt op? e hoogtelijnen snijden elkaar in één punt en

11 Teken in volgende de hoogtelijn vanuit. Wat stel je vast als je de hoogtelijn wilt tekenen vanuit?... Je kunt geen loodlijn tekenen uit op het lijnstuk GI maar wel op de drager... van dat lijnstuk. Teken eerst de rechte GI. oe los je dat probleem op?... Teken de hoogtelijn. G I Wiskundetaal definitie efinitie en hoogtelijn van een is een rechte door een hoekpunt en loodrecht op de drager van de overstaande zijde. Tekenafspraak: plaats bij een hoogtelijn steeds een merkteken bij de rechte hoek. P h h is een hoogtelijn van Δ c iddelloodlijn in een Teken de middelloodlijn van [G] in G. G Teken ook de middelloodlijnen van [] en [G]. Wat valt op? e middelloodlijnen van een snijden elkaar in één punt.... Wiskundetaal definitie efinitie en middelloodlijn van een is de middelloodlijn van een zijde van de. m Tekenafspraak: plaats bij een middelloodlijn steeds een merkteken om de rechte hoek aan te duiden en merktekens om gelijke afstanden aan te duiden. G m is een middelloodlijn van ΔG 85

12 0 erkwaardige lijnen in een (vervolg) d eellijn of bissectrice in een Teken de deellijn van L in KL. K K L e deellijnen van een snijden elkaar in één punt. Teken ook de deellijnen van K en. Wat valt op? efinitie Wiskundetaal definitie en deellijn (of bissectrice) van een is de deellijn van een hoek van de. K Tekenafspraak: plaats bij een deellijn steeds de merktekens om gelijke hoeken aan te duiden in de twee delen van de hoek. d L Oefeningen enoem de merkwaardige lijnen die je herkent in onderstaande. d a c middelloodlijn deellijn zwaartelijn a is een... b is een... c is een... hoogtelijn d is een... b Teken telkens in onderstaande en. a de zwaartelijn G en de middelloodlijn m van [] b de bissectrice G en de hoogtelijn m G G 86 en

13 10 en schip in nood bevindt zich op de Noordelijke IJszee. e kapitein geeft aan dat het schip zich bevindt op het snijpunt van de middelloodlijnen van de gevormd door de steden Tromsø, Nuuk en airbanks. a b Teken de op de kaart. epaal de plaats van het schip op de kaart airbanks Verenigde Staten Schip Noordelijke IJszee Russische ederatie Nuuk Groenland TromsØ 11 Teken een waarbij h een hoogtelijn is h eerdere oplossingen mogelijk. Voorwaarden: een hoekpunt van de moet op h liggen en de zijde die h snijdt moet loodrecht op h staan. h Wat moet je kunnen? τ merkwaardige lijnen in een herkennen en tekenen τ de definities van de merkwaardige lijnen correct formuleren 87

14 1 Omtrek, oppervlakte en volume Op verkenning a Omtrek van een ij het tekenen van het plan van een tuin, komt Kobe voor een kippenren uit bij een van 5 m op 3,5 m op 3 m. oe lang moet de draad zijn die hij rond het hok moet zetten om het af te bakenen? e omtrek van de. O = z 1 + z + z 3 m O = 5 + 3, ,5 Kobe moet 11,5 m draad... rond het hok plaatsen. Wat moet je berekenen?... oe kun je de omtrek berekenen?... Wat is de eenheid van de oplossing?... Vul de bewerking aan: ( ) m =... m ormuleer een antwoord b Oppervlakte van een In een ander deel van de tuin wil Kobe gazon zaaien. et stuk dat hij wil zaaien, is een met een basis van 10 m en een hoogte van 4 m. ij wil weten hoeveel graszaad hij moet kopen. Wat moet je berekenen?... Teken op een apart blad twee dezelfde willekeurige en. e oppervlakte van de. Knip de en uit en leg ze tegen elkaar. Welke figuur kun je steeds vormen met twee dezelfde en? een... parallellogram S = b h oe bereken je de oppervlakte van een parallellogram?... oe vind je dan de oppervlakte van één? S... = _ b h Wat is de eenheid van de oppervlakte? m... S = _ 10 4 m = 0 m ereken de oppervlakte van het stuk gazon van Kobe en

15 formule formule voor omtrek en oppervlakte van een Omtrek O O = z 1 + z + z 3 Oppervlakte S S = _ b h z 1 h z een met zijden van respectievelijk 3 cm, 7 cm en 5 cm een met een basis van 7 m en een hoogte van 3 m z 3 b O = ( ) cm = 15 cm S = _ 7 3 m = 10,5 m ONTROL 11 ereken de oppervlakte van een rechthoekige met rechthoekszijden van 4 m en 8 m. S = _ b h = _ 4 8 m = 16 m... c Volume van een prisma In de tuin staat een oude schuur. e man wil hout opslaan in het bovenste deel van de schuur onder het dak. oeveel m³ hout kan hij maximaal in de schuur opslaan? Wat moet je berekenen? et volume van een prisma.... oe kun je dat berekenen? (enk aan de doos met theelichtjes uit het vorige lesgeheel.) V = S G h... Wat is het grondvlak van het prisma? een... ereken de oppervlakte van het grondvlak. S... = _ 3 1,5 m =,5 m Wat is de eenheid voor volume?... m 3 Vul de bewerking aan voor de berekening van het volume: V = ( ) m³ = h ormuleer een antwoord. h S... G S G formule formule voor volume van een prisma prisma I Volume J G V = S G h een prisma met een grondvlak van 5 m en een hoogte van 8 m V = (5 8) m 3 = 00 m 3 (S G is oppervlakte van het grondvlak) 4 m,5 m,5 5 11,5 m 3 Kobe kan maximaal 11,5 m 3 hout opslaan. 3 m Oppervlakte S = S G + O G h 5 m 89

16 1 Omtrek, oppervlakte en volume (vervolg) Oefeningen Vul de tabel aan. Geef ook telkens je berekening. basis van de hoogte van de oppervlakte van de 1 cm 7 cm S = _ 1 7 cm = 4 cm 4 m 85 dm S = _ 4 8,5 m = 17 m of 1700 dm 40 dm (100 : 40) dm = 60 dm 100 dm (10,54 : 3,4) m = 6, m of 6 dm 34 dm 10,54 m ereken de oppervlakte van de gegeven. = _ b h = _ 4 5 cm = 10 cm... S... 5 cm 6,4 cm cm en boer heeft 66 are (1 are = 100 m²) landbouwgrond. en deel ervan wordt door de gemeente verkaveld en verandert in bouwgrond. iernaast zie je het verkavelingsplan. ereken de oppervlakte van de genummerde percelen. Perceel 1 S = _ b h = _ 39 8 m... = 546 m... Perceel S = _ b h = _ 9 8 m = 406 m m 1 8 m 9 m 90 en

17 15 Voor een tuinfeest maakt Lisa prismavormige kaarsen. oeveel liter was heeft ze nodig om kaarsen te maken met een grondvlak van dm² en een hoogte van 50 cm? 775 Volume prisma: S G h = dm 5 dm = 10 dm 3 = 10 l Lisa heeft 10 liter was nodig om de kaarsen te maken en serre is 3 m hoog, 6 m lang en 4 m breed. e zijwanden zijn,5 m hoog. e lengte van de schuine wand is,1 m. oeveel m² glas is er nodig voor deze serre? Noteer je berekeningen op een overzichtelijke manier S rechthoek voorvlak = l b = (4,5) m = 10 m S rechthoek zijvlak = l b = (6,5) m = 15 m S rechthoek dak = l b = (6,1) m = 1,6 m S voorvlak = _ b h = _ 4 0,5 m = 1 m S totaal = ( ,6 + 1) m = 77, m 17 vi wil rond een ig salontafeltje een rubberen rand kleven. oe lang moet de rubber zijn als het tafeltje volgende afmetingen heeft: 5 dm, 5 dm en 7 dm. O = z 1 + z + z 3 = ( ) dm = 17 dm = 1,7 m e rubber moet 1,7 m lang zijn. erekening:... ntwoord: ereken de oppervlakte van de en in dit tangram S grote gele : 10 _ 5 cm = 5 cm = S grote groene S oranje gele : 5 _ 5 cm = 1,5 cm S paarse = S witte : 5 _,5 cm = 6,5 cm S vierkant : 3,5 cm 3,5 cm = 1,5 cm S parallellogram : 5 5,5 cm = 1,5 cm S volledig vierkant : z = 10 cm = 100 cm Wat moet je kunnen? τ de omtrek van een berekenen τ de oppervlakte van een berekenen τ het volume van een prisma berekenen 91

18 Problemsolving 19 Op de tekening zie je een waarvan alle zijden de lengte drie hebben. ierin past precies een zeshoek met alle zijden 1. e oppervlakte van de is dan keer de oppervlakte van de zeshoek? et grijze deel kun je verdelen in zes jes die even... groot zijn als de witte jes.... e totale bestaat uit negen jes.... e oppervlakte van de is bijgevolg 9 _ 6 = 3 _ keer de... oppervlakte van de zeshoek _ 5_ 6 4_ 3 3_ e 0 Van een regelmatige vijfhoek is het middelpunt. oeveel procent van de vijfhoek is grijs? Tip: Teken alle mogelijke symmetrieassen van deze vijfhoek. et grijze deel is 3 _ 10 = 30 % e 40 1 In een groot vierkant is een kleiner vierkant getekend. Wat is de oppervlakte van het kleine vierkant? e.. oppervlakte van het grote vierkant 8 cm 8 cm = 64 cm. e.. oppervlakte van één je is _ 5 3 cm = 7,5 cm. r.. zijn vier witte en met een totale oppervlakte van 7,5 cm 4 = 30 cm... e oppervlakte van het grijze vierkant is.. 64 cm 30 cm = 34 cm e 49 sther tekent gelijkbenige en met = = 5 cm. e tophoek is groter dan 60 en de basis is een geheel aantal centimeters. oeveel verschillende en kan zij tekenen. ls de tophoek 60 is, bekom je een gelijkzijdige waarbij = 5 cm.... e tophoek moet groter zijn dan 60 dus is langer dan 5 cm.... is korter dan 5 cm + 5 cm = 10 cm... ijgevolg kan = 6 cm, 7 cm, 8 cm of 9 cm problemsolving