Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad

Transcriptie

1 Enkele didactische wenken voor wiskundeonderwijs in de derde graad Koen De Naeghel K.U. Leuven Campus Kortrijk 4 november 009 Website:

2 Inhoudsopgave Woord vooraf Structuur van deze sllabus Woord van dank Tot slot Waarom didactische wenken?. Aanreiken van wiskundige begrippen Aanreiken van werkwijzen A. Werkbladen 6 I. Basisbegrippen in verband met functies 6 Voorbeeld Voorbeeld Voorbeeld Algemeen Oefeningen II. Homografische functies 3 Op ontdekking Op ontdekking Op ontdekking Op ontdekking Definitie Eigenschap Modelvoorbeeld Modelvoorbeeld Toepassing Oefeningen III. Verloop van veeltermfuncties 0 Op ontdekking Op ontdekking Modelvoorbeeld Besluit Oefeningen IV. Etremumproblemen 5 Modelvoorbeeld Modelvoorbeeld Oefeningen V. Telproblemen 8 Variaties zonder herhaling Permutaties zonder herhaling Combinaties zonder herhaling Oefeningen i

3 B. Ingevulde werkbladen 33 I. Basisbegrippen in verband met functies 33 Voorbeeld Voorbeeld Voorbeeld Algemeen Oefeningen II. Homografische functies 40 Op ontdekking Op ontdekking Op ontdekking Op ontdekking Definitie Eigenschap Modelvoorbeeld Modelvoorbeeld Toepassing Oefeningen III. Verloop van veeltermfuncties 47 Op ontdekking Op ontdekking Modelvoorbeeld Besluit Oefeningen IV. Etremumproblemen 5 Modelvoorbeeld Modelvoorbeeld Oefeningen V. Telproblemen 55 Variaties zonder herhaling Permutaties zonder herhaling Combinaties zonder herhaling Oefeningen Overzicht telproblemen ii

4 Woord vooraf Didactiek gaat gepaard met het hebben van een visie op wiskundeonderwijs. Leerkrachten geven op een verschillende manier les, bijgevolg is de visie van een leerkracht persoonsgebonden. Maar net door je ervaringen te delen met je collega s kun je die visie bevestigd zien, of zelfs verrijken met nieuwe inzichten. Vanuit die invalshoek werd deze tekst geschreven. De schrijver wil zeker niet zijn visie opdringen, of een andere moraliserend vorm handhaven. Werkbladen in deze sllabus zijn ontstaan vanuit eigen ervaring. Zij hebben dan ook niet de pretentie af te zijn, of erger: zo moet het, maar eerder: zo kan het. Structuur van deze sllabus We starten met een motivatie waarom didactiek in wiskunde erg belangrijk blijft. Het vervolg bestaat uit 5 onderwerpen wiskunde uit de derde graad van het middelbaar onderwijs, aangereikt onder te vorm van kant-en-klare werkbladen voor de leerlingen: in Deel A de in te vullen werkbladen, in Deel B de ingevulde versie. Bij het invullen van deze werkbladen worden leerlingen aangemoedigd functioneel gebruik te maken van een grafisch rekenmachine, we hebben gekozen voor het wijdverbreide TI-83 of TI-84 Plus. Woord van dank Mijn dank gaat uit naar Jean-Marc Zwaenepoel, leerkracht aan het Onze-Lieve-Vrouwecollege te Oostende. Als lesgever slaagde hij er in om me warm te maken voor het vak wiskunde. Aan hem heb ik niet alleen mijn eerste stappen in didactiek wiskunde van het middelbaar onderwijs te danken, maar ook de vele vruchtbare discussies over wiskunde, zowel naar vorm als inhoud. Tot slot Over theater zegt men Wat je vertelt speelt eigenlijk niet zo n rol. Van belang is hoe je het vertelt. Met onderwijs is het net hetzelfde. Het idee van deze sllabus in een notendop. Electronisch beschikbaar op

5 Waarom didactische wenken? We onderscheiden in deze sllabus twee hoofdredenen om - vanuit de functie als leerkracht - voldoende aandacht te besteden aan didactiek.. Aanreiken van wiskundige begrippen Leerlingen uit het middelbaar onderwijs krijgen heel wat wiskundige begrippen te verteren, zoals (we beperken ons even tot de derde graad): functie groeiprocessen afgeleide primitieve functie logaritme algemene sinusfunctie homografische functie rijen complee getallen De inhoud van deze leerstofonderdelen ligt in grote mate vast: enerzijds vanuit het leerplan, anderzijds vanuit de wiskunde zelf (bv. de definitie van een homografische functie is een vast gegeven). De grootste uitdaging voor een leerkracht ligt echter in de manier waarop je die leerstof aanreikt. Ook al bevat het leerplan pedagogisch-didactische wenken, de stap naar hoe je het uitlegt in de klas blijft reusachtig. Tegelijk schuilt in deze stap een grote vrijheid. Zo kan bijvoorbeeld het begrip homografische functie op verschillende manieren aangebracht worden. En dan sta je als leerkracht voor de keuze. Welke manier kies je? Uiteraard dringen zich modeverschijnselen op. Enkele decennia geleden neigde men eerder naar de stijl Bourbaki (nog steeds de schrijfstijl van heel wat sllabi aan het hoger en universitair onderwijs):. Definitie. Eigenschappen (met bewijs) 3. Voorbeelden Tegenwoordig pleit men meer voor een aanpak van het genre. Voorbeelden. Definitie 3. Eigenschappen (met of zonder bewijs) De jongste visie is om de voorbeelden uit de startfase ook aan te wenden om de logische keuze van de definitie te verklaren, en/of om bepaalde eigenschappen in te leiden. We kunnen dan eerder spreken van een fase op ontdekking waar je leerlingen in een actieve modus plaatst: zelfstandig (maar begeleid) ontdekken waarom nieuwe begrippen zich opdringen en wat hun eigenschappen zijn. Bovendien: wat leerlingen zelf ontdekt hebben, onthouden ze langer. Denk bijvoorbeeld aan de formules voor verwante hoeken sin(π α) etc. Een leerling die deze formules uit het hoofd leert, kan snel door de mand vallen - wat met sin(α π)? Maar een leerling die weet hoe hij aan deze formules kwam (door af te lezen op de goniometrische cirkel) heeft meer kans tot slagen. Deze visie heeft ook een historisch draagvlak. Hoe kwamen wiskundigen aan hun begrippen (bv. afgeleide)? Hoe vond men indertijd eigenschappen (bv. de rekenregels van logaritmen)? Omdat die regels zich opdringen. Nicolas Bourbaki verwijst naar een groep van (voormaleijk) Franse wiskundigen uit de 0ste eeuw die een reeks wiskundige boeken schreven met bedoeling een volledige behandeling te geven van de moderne wiskunde. De nadruk lag op strengheid en volledigheid.

6 Dat laatste illustreren we met het aanbrengen van rationale machten. Vraag. Wat is 3? Elke leerkracht wiskunde weet dat 3 = 3. Maar hoe krijg je dat aan de leerlingen uitgelegd? Door hen te tonen dat het zich opdringt. Op ontdekking. Wat is 3? Wat dit ook is, we willen wel dat de gekende regenregels voor gehele machten nog steeds blijven gelden. ( ) 3 Zo wensen we dat 3 = 3 3 = = Maar dan is 3 een oplossing van 3 =, die als oplossing 3 heeft. Dus moet 3 = 3 Na ons pleidooi voor een zelfstandig (begeleid) ontdekken, keren we terug naar de vraag waar elke leerkracht zich over bezint: Hoe leg ik het zo goed mogelijk uit? We zijn van mening dat - in heel wat situaties - het antwoord op die vraag kan aangepakt door het (bewust of onbewust) volgen van een proces: Stap. Welke oplossingsmethode lijkt het meest logisch voor de leerlingen? Stap. Wat zijn de wortels van die oplossingsmethode? Wat is de essentie? Stap 3. Kunnen we de methode visueel ondersteunen? Toelichten gebeurt met een bespreken van zo n proces bij de volgende basisvraag. Voorbeeld. Beschouw de functie f() = 3. Bereken f( ). In de ogen van een leerkracht is het duidelijk dat de oplossing als volgt gevonden wordt (wat meteen de meest logische methode lijkt) f( ) = 3( ) = 3 4 Voor de meeste leerlingen is deze regel niet duidelijk. Hoe leg je het uit? Een mogelijke uitleg zou kunnen zijn: Uitleg. f() = 3. Vervang door. Dan is f( ) = 3( ) = 3 4. Toch hebben leerlingen bedenkingen bij deze uitleg: Hoe weet je dat =? Is dan gelijk aan?. Terechte vragen. Wat zijn de wortels van deze oplossingsmethode? Bovenstaande redenering vindt zijn oorsprong in het eenvoudige feit dat, in een functievoorschrift f(), de variabele een zogenaamde dumm variabele is. We mogen dus even goed de letter vervangen door een andere letter t, zodat f(t) = 3t. Laten we de variabele t nu ook afhangen van de variabele via t =, dan vinden we inderdaad f( ) = 3( ) = 3 4. Een tweede poging is dan ook Uitleg. f() = 3. Dus f(t) = 3t. Stel t =. Dan is f( ) = 3( ) = 3 4. Leerlingen die nu de vraag stellen waarom t = kun je helpen met Omdat je graag f( ) wil kennen, en er staat f(t). Daarom stellen we t =. Erg logisch dus. En dan denken we onze goede uitleg gevonden te hebben. Maar zijn we daar zo zeker van? Wiskundigen hebben niet de minste problemen met een uitdrukking zoals Omdat f() = 3, is f(t) = 3t. Maar laten we niet vergeten: hoe meer letters er in een redenering opduiken, hoe sneller leerlingen het noorden kwijt raken en afhaken. We kunnen de wortels van de oplossingsmethode nog verder terug brengen naar hun essentie. We hebben een nieuwe letter t ingevoerd om precies de verwarring bij Vervang door op te heffen. Maar moet dat wel een letter 3

7 zijn? In principe kunnen we vervangen door elk smbool die - om de wiskundige juistheid te bewaren - een getal voorstelt. Bijvoorbeeld het smbool 3. En uiteraard is f : R R f() = 3 is logisch equivalent met f : R R f( ) = 3 Bovendien zorgt het smbool voor visuele ondersteuning: Uitleg 3. f() = 3. Dus f( ) = 3. Dan is f( ) = 3 = Aanreiken van werkwijzen In een tweede luik worden de leerlingen geacht bepaalde (basis)werkwijzen meester te worden, waarmee zij wiskundige begrippen in een concrete situatie kunnen toepassen. Daar waar sterke leerlingen geen behoefte hebben aan een stappenplan, vallen minder sterke leerlingen uit de boot. Net zoals een minder begaafde kok behoefte heeft aan een welomlijnd recept, zo hebben ook minder sterke leerlingen nood aan een structureel recept om een modelvraag aan te pakken. Als voorbeeld: Vraag. Bepaal de nulpunten van f() Recept. Los op: f() = 0 Als leerkracht ben je geneigd te denken dat leerlingen zo n recept zelf wel weten te vinden. Maar ervaring leert toch anders. Zelfs voor sterke leerlingen (zoals zesde jaar ASO, 8 lestijden per week) blijkt het volgende erg waardevol: Vraag. Vergelijking van de raaklijn t in het punt P (a, ) aan de grafiek van een functie f Recept. De vergelijking van de raaklijn t is Bereken f (), daarna f (a) en vul alles in. t : f(a) = f (a)( a) Mogen leerlingen hun receptenboek gebruiken tijdens toets of eamen? Daar heb je als leerkracht - behoudens het leerplan - de keuze. Wil je keukenpieten die zonder boek koken maar eerder basisgerechten maken, of chefs met een kookboek in de hand waarvan je meer gewaagde gerechten verwacht? 3 kun je uitspreken als doosje. Zodat je later bij de in het doosje legt. 4

8 A. Werkbladen 5

9 I. Basisbegrippen in verband met functies In het vijfde en het zesde jaar werken we heel vaak met functies. Het is dan ook erg belangrijk dat je weet wat een functie is. Dit deel is dan ook bedoeld om je voorkennis in verband met functies aan te wakkeren. Voorbeeld. Met elk reëel getal associëren we een ander reëel getal via = Dit is een voorbeeld van een functie f. Zo is bijvoorbeeld als = dan is =... vul aan als = 0 dan is =... als = 5 dan is =... als =... dan is = 0 Hoe noemen we een waarvoor = 0? Een Deze functie kunnen we zien als een ssteem waarbij elke input een output heeft. Schematisch: f De waarde van hangt telkens af van de waarde van. Daarom schrijven we in plaats van ook wel f(). De functie is dus f() = We kunnen deze functie f op drie manieren voorstellen: Functievoorschrift: f() = Tabel van enkele functiewaarden: vul aan Grafiek: 0 f() teken

10 De drie stappen functievoorschrift, tabel en grafiek zien we ook op het grafisch rekenmachine. Om de plot goed te kunnen vergelijken met onze tekening hierboven, nemen we dezelfde WINDOW. controleer Y= ND TABLE WINDOW GRAPH In TABLE merken we dat Y negatief of positief kan zijn. Hoe zien we dat op de grafiek van f? vul aan Deze informatie wordt weergegeven in de zogenaamde tekentabel van f. Deze tabel lijkt erg op onze tabel van enkele functiewaarden hierboven, maar in de tweede rij plaatsen we nu tekens in plaats van getallen. We schrijven een minteken als f() < 0, en een plusteken als > 0. Bij welke -waarde is f() = 0? vul aan... f() 0 + Algemeen. Een eerstegraadsfunctie (of lineaire functie) is van de gedaante f() = a + b met a, b R en a 0 Voor de grafiek van een eerstegraadsfunctie zijn twee vormen mogelijk: Eerste vorm of Tweede vorm + +a +a b b + O O a < 0 a > 0 lineaire daling lineaire stijging 7

11 Voorbeeld. Met elk reëel getal associëren we een reëel getal via = 3 Dit is een ander voorbeeld van een functie f. Zo is bijvoorbeeld vul aan als = 0 dan is =... als = dan is =... als = dan is =... als =? dan is = 0 Hoe noemen we een waarvoor = 0? Een Om de nulwaarden te bepalen gaan we als volgt te werk. Los op: f() = 0 3 = 0 vul aan D = b 4ac =... = b ± D a =... We bespreken opnieuw de drie manieren om de functie f voor te stellen. Functievoorschrift: f() = 3 Tabel van enkele functiewaarden: vul aan Grafiek: f() teken

12 Controle met behulp van het grafisch rekenmachine. controleer en teken de plot in het venster Y= WINDOW GRAPH Op de vorige pagina vonden we dat de nulwaarden van f gelijk zijn aan = en = 3. Hoe kunnen we de nulwaarden van f aflezen op de grafiek van f? vul aan Ook nu vertelt de tekentabel ons waar de grafiek van f boven of onder de -as ligt f() 0 0 vul aan Algemeen. Een tweedegraadsfunctie (of kwadratische functie) is van de gedaante f() = a + b + c met a, b, c R en a 0 Voor de grafiek van een tweedegraadsfunctie zijn twee vormen mogelijk: Eerste vorm of Tweede vorm a < 0 a > 0 9

13 Voorbeeld 3. Met elk reëel getal associëren we hoogstens één reëel getal via = Dit is een ander voorbeeld van een functie f. Zo is bijvoorbeeld vul aan als = dan is =... als = dan is =... als = 4 dan is =... als = 0 dan is =... als = dan is =... Deze functie kunnen we zien als een ssteem waarbij elke input hoogstens één output heeft. Schematisch: f of f We bespreken opnieuw de drie manieren om de functie f voor te stellen. Functievoorschrift: f() = Tabel van enkele functiewaarden: vul aan Grafiek: f() teken 3 Ook nu bepalen we we de tekentabel van f: vul aan... f() 0 + 0

14 Voor dit voorbeeld bespreken we nog een belangrijk begrip: Het domein van f zijn alle -waarden waarvoor f() bestaat. In dit geval is dom f =... vul aan Hoe kunnen we het domein aflezen op de grafiek van f? Algemeen. Een (reële) functie f is een verband dat aan elk reëel getal hoogstens één reëel getal associeert. Het domein van een functie f zijn alle -waarden waarvoor f() bestaat. Meetkundige betekenis. Het domein van f is de (loodrechte) projectie van de grafiek van f op de -as. = f() O domf De nulwaarden (of nulpunten) van een functie f zijn alle -waarden waarvoor f() = 0. Meetkundige betekenis. De nulwaarden van f zijn (de -waarden van) de snijpunten van de grafiek van f met de -as. = f() O nulwaarden van f Hoe zoeken we alle nulwaarden van f? Los op: f() = 0

15 Oefeningen Oefening. Welke grafieken stellen de grafiek van een functie voor? Verklaar telkens je antwoord. (a) (b) (c) Oefening. Geef bij elke functie functievoorschrift tabel van enkele functiewaarden grafiek domein nulwaarden (algebraïsch berekenen en aanduiden op de grafiek) tekentabel (a) f() = + (d) f() = (b) f() = (e) f() = (c) f() = + (f) f() = 3( ) Oefening 3. Gegeven is de grafiek van een functie f. Bepaal het domein en de nulwaarden van f. Gebruik de correcte notaties. (a) = f() (b) = f() 3 3

16 II. Homografische functies In dit deel bespreken we een bijzondere soort functies: functies waarvan de grafiek een zogenaamde hperbool is. Er zijn twee mogelijke vormen: Eerste vorm of Tweede vorm Deze functies hebben dus allen een gelijke }{{} homo De hoofdvraag is nu: grafiek. Daarom noemen we ze homografisch. }{{} grafisch Wat is het functievoorschrift f() van een homografische functie? Om het antwoord op deze vraag te ontdekken, starten we met het meest eenvoudige voorbeeld: Op ontdekking (Elementaire functie). Functievoorschrift f() = Tabel van enkele functiewaarden 4 0, 5 0, 5 0 0, 5 0, 5 4 f() Grafiek vul aan teken 3 3 O 3 3 De grafiek is duidelijk van de (eerste) vorm hierboven. Het is eigenlijk het meest eenvoudige voorbeeld van een homografische functie. Daarom noemen we f() = een elementaire functie. 3

17 We kunnen deze grafiek ook plotten met behulp van het grafisch rekenmachine. Om goed te kunnen vergelijken met onze tekening hierboven, nemen we dezelfde WINDOW. controleer en teken de plot in het venster Y= WINDOW GRAPH Uit de grafiek van f() =. Domein. lezen we meteen de volgende eigenschappen af. vul aan Hoe bepalen we grafisch het domein van een functie? In dit geval lezen we af: dom f =.... Nulwaarden. Hoe bepalen we grafisch de nulwaarden van een functie? In dit geval lezen we af: nulwaarden van f zijn Tekentabel. 4. Als = 0 dan is f() =... f() Als = 000 dan is f() =... Als + dan f()... Daarom zeggen we dat de rechte = 0 een horizontale asmptoot is aan de grafiek van f. We duiden deze rechte aan met een (rode) stippellijn. teken deze rechte bij de plot van de grafiek van f hierboven De grafiek nadert de rechte = 0, maar hoe groot we onze -waarden ook nemen, de grafiek zal deze rechte nooit snijden! Overtuig jezelf met het grafisch rekenmachine en TRACE. WINDOW GRAPH TRACE > 5. Als = 0, dan is f() =... Als = 0, 005 dan is f() =... Als > 0 dan f()... Daarom zeggen we dat de rechte = 0 een verticale asmptoot is aan de grafiek van f. We duiden deze rechte aan met een (rode) stippellijn. teken deze rechte bij de plot van de grafiek van f hierboven De grafiek nadert de rechte = 0, maar hoe klein we onze -waarden ook nemen, de grafiek zal deze rechte nooit snijden! 4

18 Op ontdekking. Gegeven is de functie f() = We plotten de grafiek van f met behulp van het grafisch rekenmachine. voer uit en teken de plot in het venster De grafiek van f heeft dezelfde vorm als de grafiek van de elementaire functie =. Daarom noemen we f een homografische functie. Uit de grafiek van f lezen we af: Als + dan f()... vul aan teken deze rechte bij de plot Dus de rechte is een horizontale asmptoot aan de grafiek van f. van de grafiek van f hierboven Deze uitkomst kunnen we ook achterhalen door f() te berekenen voor grote -waarden: Als = 000 dan f() =... Als = 0000 dan f() =... Dat invullen kan handiger met behulp van Y. VARS Y-VARS FUNCTION Y Bereken op die manier: Als = dan f() =... gebruik Y Kunnen we de horizontale asmptoot = ook meteen aflezen uit het functievoorschrift f() = Weet je ook waarom? hint: wat is het aandeel van in de teller? ? Als 0 dan f()... > Dus de rechte is een verticale asmptoot aan de grafiek van f. 5 teken deze rechte bij de plot van de grafiek van f hierboven

19 Op ontdekking 3. Gegeven is de functie f() = 3 + Plot de grafiek van f met je grafisch rekenmachine en neem een schets over op je blad. plot en schets O Ook deze grafiek heeft dezelfde vorm als de grafiek van de elementaire functie =. Dus ook nu noemen we f een homografische functie. Uit het functievoorschift f() = 3 + Als + dan f()... lezen we af: Dus de rechte is een horizontale asmptoot aan de grafiek van f. Uit de grafiek van f lezen we af: Als >... dan f()... vul aan teken deze rechte bij de plot van de grafiek van f hierboven vul aan Dus de rechte is een verticale asmptoot aan de grafiek van f. Dit kunnen we ook achterhalen door f() te berekenen voor -waarden die dicht bij liggen: Als =, dan f() =... gebruik Y Als =, 00 dan f() =... Kunnen we de verticale asmptoot = aflezen uit het functievoorschrift f() = 3 +? hint: gebruik TABLE Weet je ook waarom? Als <... dan f()... 6

20 Op ontdekking 4. Gegeven is de functie f() = deze pagina vullen we klassikaal in (a) Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine, en neem een schets over op je blad. (b) Lijkt de grafiek van f op de grafiek van de elementaire functie =, en kunnen we f een homografische functie noemen? Verklaar waarom (niet). Oplossing. (a) (b) O Definitie. Een homografische functie is van de gedaante f() = a + b c + d waarbij a, b, c, d R met c 0 en ad bc Opmerking. In de bovenstaande definitie is c 0 want anders is f() = En welke vorm heeft de grafiek van f dan? ad bc want anders is de grafiek van f Eigenschap. Zij f() = a + b een homografische functie. Dan zijn er voor de grafiek twee mogelijke vormen: c + d Eerste vorm of Tweede vorm = f() = f() =... =... =... =... 7

21 Modelvoorbeeld. Gegeven is de functie (a) Toon aan dat f een homografische functie is. f() = modelvoorbeelden en toepassing maken we klassikaal (b) Bepaal zonder grafisch rekenmachine de horizontale en de verticale asmptoot aan de grafiek van f. (c) Schets zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine de grafiek van de functie f. Modelvoorbeeld. De volgende grafiek stelt de grafiek van een homografische functie voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken) = f() Toepassing. Een bak is gevuld met water. In die bak bevindt zich een scheidingswand met aan beide kanten liter water. Links van de scheidingswand wordt een hoeveelheid kleurstof opgelost. Vermits de scheidingswand deze stof doorlaat treedt er diffusie op. De hoeveelheid kleurstof in de linkerkant van de bak wordt gegeven door K(t) =, t + met K de hoeveelheid kleurstof (in gram) en t de tijd (in minuten) na het toevoegen van de kleurstof. (a) Hoeveel kleurstof werd er toegevoegd? (b) Hoe lang is de hoeveelheid kleurstof in de linkerkant van de bak groter dan 3 gram? (c) Hoe groot wordt de hoeveelheid kleurstof in de linkse helft na verloop van heel veel tijd? Verklaar algebraïsch. (d) Hoe kun je het resultaat in (c) fsisch verklaren? 8

22 Oefeningen Oefening. Welke van de volgende functies zijn homografische functies? Motiveer je antwoord. (a) f() = (b) f() = 5 Oefening. Gegeven is de functie (a) Toon aan dat f een homografische functie is. f() = (c) f() = 3( ) (d) f() = (b) Schets zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine de grafiek van de functie f. (c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal dom f en bld f. Oefening 3. Bepaal bij de volgende homografische functies de verticale en de horizontale asmptoot. (a) f() = (b) f() = (c) f() = (d) f() = Oefening 4. De volgende grafiek stelt de grafiek van een homografische functie = f() voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). = 3 = f() 3 O 3 3 Oefening 5. In de leraarskamer staat een koffiezetapparaat. Voor dat apparaat moet de school 00 euro huur betalen per maand. Per kop koffie bedragen de materiaalkosten 0 eurocent. (a) Schrijf de kosten K van een kop koffie in functie van het aantal maandelijks gedronken koppen koffie. (b) Bepaal de gemiddelde kost per kop koffie. (c) Wat wordt de gemiddelde kost per kop koffie als het aantal maandelijks gedronken koppen koffie erg groot wordt? 9

23 III. Verloop van veeltermfuncties In dit deel onderzoeken we een belangrijk verband tussen een functie f en haar afgeleide f. De afgeleide f van een functie blijkt bepaalde informatie te geven over de functie f zelf. Welke informatie dat is merk je in de volgende Op ontdekking. Linkerhelft: Gegeven is de veeltermfunctie f() =. (a) Linkerhelft: Lees uit de grafiek van f het verloop (tabel stijgen/dalen) van f af. (b) Rechterhelft: Bereken de afgeleide functie f (), teken de grafiek van f en lees de tekentabel van f af. (c) Linkerhelft en rechterhelft: Welk verband is er tussen de tabel stijgen/dalen van f en de tekentabel van f? Oplossing. Functie f() = Grafiek 3 f() = Afgeleide functie f () =... Grafiek 3 vul aan Tabel stijgen/dalen van f() vul aan Tekentabel van f () vul aan f() f () We merken het volgend verband op tussen deze tabellen. f stijgend f f f negatief Weet je ook waarom? Neem bijvoorbeeld = f is in = f () =... }{{} rico raaklijn raaklijn in = is

24 Op ontdekking. Gegeven is de veeltermfunctie f() = (a) Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine. teken de plot in het venster (b) Bepaal grafisch de tabel stijgen/dalen van f. vul aan (c) Bepaal algebraïsch de tekentabel van de afgeleide functie f, en daaruit de tabel stijgen/dalen van f. Oplossing. (a) Y= WINDOW GRAPH (b) Om de tabel stijgen/dalen te bepalen, hebben we het minimum en het maimum van de functie nodig. Die bepalen we met behulp van de commando s ND CALC 3:minimum en 4:maimum Maimum: =... Minimum: =... Tabel stijgen/dalen van f: f() (c) Om de tekentabel van f te maken, doorlopen we de volgende stappen. vul aan Stap. f () =... Stap. Nulwaarden van f : Los op f () = 0... Stap 3. Tekentabel van f : f () f()

25 Modelvoorbeeld. Gegeven is de veeltermfunctie f() = Bepaal algebraïsch de tabel stijgen/dalen van f. Oplossing. Recept: Maak de tekentabel van f vul aan Stap. f () =... Stap. Nulwaarden van f : Los op f () = 0... Stap 3. Tekentabel van f : f () f() Ter controle plotten we de grafiek van f met behulp van het grafisch rekenmachine. Y= WINDOW GRAPH Besluit. Vraag: Bepaal algebraïsch de tabel stijgen/dalen van f. Recept: Maak de tekentabel van f Stap. f () = Stap. Nulwaarden van f : Los op f () = 0 Stap 3. Tekentabel van f : f () f() ma min

26 Oefeningen Oefening. Bepaal algebraïsch een tabel stijgen/dalen en een tabel hol/bol van de volgende veeltermfuncties. Maak ook een samenvattende tabel. Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine. (a) f() = (c) f() = (b) f() = (d) f() = Oefening. Een wandelaar maakt een tocht in een licht heuvelachtig gebied. De hoogte h van de wandelaar in functie van de tijd t is te beschrijven met de functie met als voorschrift h(t) = t t + 00 waarbij 0 t 3 Hierbij is h uitgedrukt in meter en t in uren. Op welke tijdstippen t moet de wandelaar stijgen? Los algebraïsch op. Oefening 3. Gegeven zijn de grafieken van enkele functies (a) tot en met (e), en de grafieken van de bijhorende afgeleide functies () tot en met (5) op de volgende pagina. Welke functie hoort bij welke afgeleide? (a) (b) (c) (d) (e) 3

27 () () (3) (4) (5) 4

28 IV. Etremumproblemen Modelvoorbeeld. Van een rechthoekig stuk karton met afmetingen 0 cm op 0 cm snijdt men in elke hoek een vierkant met zijde weg en plooit men het karton langs de stippellijnen, om zo de doos zonder deksel rechts te bekomen. Voor welke is de inhoud van de doos maimaal? Los algebraïsch op. Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine. Oplossing. Aan de hand van het dnamisch applet hierboven 4 (gemaakt met GeoGebra) komen we er snel achter dat de inhoud van de doos afhankelijk is van de waarde van. We lossen zo n vraagstuk op aan de hand van een stappenplan. Stap. Stel de goeie vraag, en achterhaal zo de functie in woorden. Voor welke... is. } {{ }. maimaal/minimaal (schrappen wat niet past)? functie Stap. Zoek de formule voor de functie. Dus functie }{{} = inhoud } van {{ de doos } f() = oppervlakte grondvlak hoogte vul aan vul aan = lengte grondvlak breedte grondvlak hoogte = ( ) ( )... = = = Dus f() = Stap 3. Stel de nieuwe vraag. Voor welke is f() = maimaal? Recept: Maak een tekentabel van f. 4 Te vinden op de link jaar 3u/afgeleiden3up9.html 5 volg het recept voor de tabel stijgen/dalen van f

29 Modelvoorbeeld. Een kampeerder heeft de toelating gekregen om langs de oever van een rivier een rechthoekig terrein af te spannen (op die plaats vertoont de rivier geen bochten). Hij heeft een koord van 40 m. Bereken algebraïsch de lengte l en de breedte b opdat de oppervlakte zo groot mogelijk zou zijn. Aan de oever van de rivier hoeft geen draad gespannen te worden. Oplossing. Aan de hand van het dnamisch applet hierboven 5 (gemaakt met GeoGebra) zien we in dat de oppervlakte van het terrein inderdaad afhankelijk is van de waarden van l en b. We gebruiken opnieuw ons stappenplan om ons vraagstuk op te lossen. Stap. Stel de goeie vraag, en achterhaal zo de functie in woorden. Voor welke is. } {{ }. maimaal/minimaal (schrappen wat niet past)? functie Stap. Zoek de formule voor de functie. Dus functie }{{} = oppervlakte van het terrein }{{} f() = oppervlakte rechthoek vul aan vul aan = lengte breedte = Probleem: twee letters l en b Oplossing: Zoek een verband tussen l en b welk gegeven nog niet gebruikt? l = = ( )... = 40b b Dus f() = 40 Stap 3. Stel de nieuwe vraag. Voor welke is f() = 40 maimaal? Recept: Maak een tekentabel van f (). 5 Te vinden op de link jaar 3u/afgeleiden3up30.html 6 volg het recept voor de tabel stijgen/dalen van f

30 Oefeningen Oefening. Een bedrijf produceert CD-spelers. Bij een productie van CD-spelers per dag is de winst gelijk aan euro. Hoeveel CD-spelers moet het bedrijf per dag produceren om een maimale winst te hebben? Los algebraïsch op. Oefening. Boer Sjarel wil met 500 m draad een rechthoekig veld omheinen, en het daarna in drie rechthoeken verdelen zoals aangegeven op onderstaande figuur. Voor welke afmetingen is de totale oppervlakte het grootst? Los algebraïsch op. b = draad l Oefening 3. Petra wil haar vriendin verrassen met een doosje. Ze heeft een lint van, 4 m en wil haar doos met vierkantig grondvlak als volgt insnoeren (uiteraard loopt het lint ook door op de achterzijden). Voor welke afmetingen van de doos is de inhoud van de doos maimaal? Bereken algebraïsch. = lint Oefening 4. Een isolatiekamer in de vorm van een balk heeft een vierkantig grondvlak. De kostprijs voor m bezetting bedraagt 0 euro voor het grondvlak, 0 euro voor de zijwanden en 7 euro voor het bovenvlak. Bereken (algebraïsch) de afmetingen van de isolatiekamer met 650 m 3 inhoud waarvoor de totale kosten van de bezetting het laagst zijn. Afronden op cm nauwkeurig. Oefening 5. Een meubelfabrikant produceert tuinmeubelen. Voor een designtafel hangt de prijs af van de hoeveelheid q die hij per maand kan produceren p = q + 6q met 0 q 6 waarbij q het aantal geproduceerde tafels per maand in eenheden van 00 stuks is en p de prijs in 0000 euro. De meubelfabrikant moet ook rekening houden met de kosten K(q) = q 3 Bepaal algebraïsch bij welke productie de winst maimaal is. 7

31 V. Telproblemen Variaties zonder herhaling Op ontdekking. Klas 6dEcMT van 3 leerlingen organiseert een loopwedstrijd voor de klas. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de drie podiumplaatsen? Oplossing. Elke mogelijkheid is een keuze van 3 verschillende leerlingen uit 3, in volgorde geplaatst. Men noemt dit een variatie zonder herhaling van 3 uit 3. We stellen de mogelijkheden schematisch voor. 3 leerlingen ste de 3de Joke Karen Piet Volgorde: ja Herhaling: nee klassikaal bespreken Joke Karen. Leonard Ann Joke. V3 3 = 3 = 066 mogelijkheden = = 3! 0! = 3! (3 3)! Algemeen. Het aantal variaties zonder herhaling van p uit n is 6 V p n = n! (n p)! waarbij p n Gebruik van grafisch rekenmachine. 3 MATH PRB :npr 3 ENTER Voorbeeld. Het alfabet telt 6 letters. Hoeveel woorden met 6 verschillende letters kun je hiermee vormen? Oplossing. los op (met schema) 6 Tenzij anders vermeld stellen de letters p en n steeds natuurlijke getallen voor. 8

32 Voorbeeld. In lokaal D4 zijn 30 plaatsen beschikbaar. Op hoeveel manieren kunnen de 3 leerlingen van klas 6dEcMT plaatsnemen? Oplossing. los op (met schema) Permutaties zonder herhaling Op ontdekking. Klas 6dEcMT van 3 leerlingen organiseert een loopwedstrijd voor de klas. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de totale uitslag? Oplossing. Elke mogelijkheid is een keuze van 3 verschillende leerlingen uit 3, in volgorde geplaatst. Dus een variatie zonder herhaling van 3 uit 3. Men noemt dit ook een permutatie zonder herhaling van 3. Volgorde: ja Herhaling: nee 3 leerlingen Joke Karen. ste de... 3ste Hans Eva... Joke klassikaal bespreken P 3 = 3... = 3! =, mogelijkheden = V 3 3 = 3! (3 3)! = 3! = 3! daarom stellen we 0! = 0! Algemeen. Het aantal permutaties zonder herhaling van n is P n = n! Voorbeeld. Hoeveel woorden kun je vormen met de verschillende letters van het woord Brugge? Zo n woorden hoeven niet voor te komen in het woordenboek, één zo n woord is bijvoorbeeld guerb. Oplossing. los op (met schema) Oefening. Op de eerste rij van een auditorium worden 0 zitplaatsen gereserveerd voor 0 eregasten. Drie ervan laten weten verhinderd te zijn. De overige 7 eregasten worden alle 7 naast elkaar gezet (dus geen lege zetel tussenin). Op hoeveel manieren kunnen deze eregasten plaatsnemen? thuis oplossen 9

33 Combinaties zonder herhaling Op ontdekking. Klas 6dEcMT van 3 leerlingen organiseert een loopwedstrijd voor de klas. De eerste drie leerlingen vormen een selectieploeg voor het schoolkampioenschap. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor die selectieploeg? Oplossing. Elke mogelijkheid is een keuze van 3 verschillende leerlingen uit 3, waarbij de volgorde onbelangrijk is. Men noemt dit een combinatie zonder herhaling Volgorde: nee Herhaling: nee van 3 uit 3. Schematisch: 3 leerlingen 3 leerlingen Joke Karen Piet klassikaal bespreken ste de 3de Joke Karen Piet C 3 3 P 3 } {{ } V3 3 dus C 3 3 P 3 = V 3 3 C3 3 = V 3 3 3! P3 = (3 3)! 3! 3! = = 77 mogelijkheden 3!(3 3)! Algemeen. Het aantal combinaties zonder herhaling van p uit n is C p n = n! p! (n p)! waarbij p n Gebruik van grafisch rekenmachine. 3 MATH PRB 3:nCr 3 ENTER Voorbeeld. Uit het zesde jaar (97 leerlingen) wordt een werkgroep van vijf leerlingen gekozen die een galabal voorbereiden. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor deze werkgroep? Oplossing. los op (met schema) 30

34 Oefeningen Oefeningen - Reeks A Oefening. Twee jongens en een meisje kiezen elk één gebakje als nagerecht uit een aanbod van 6 verschillende taartjes. Op hoeveel manieren kan deze keuze gebeuren? Oefening. Op hoeveel manieren kun je 7 verschillende boeken op een boekenrek plaatsen? Oefening 3. Voor het schilderen van vijf klaslokalen beschikt men over acht mogelijk kleuren. Op hoeveel verschillende manieren kan dit schilderen gebeuren als elk lokaal een andere kleur moet hebben? Oefening 4. Een dief is te weten gekomen dat de code van je bankkaart bestaat uit vier verschillende cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor je code? Oefening 5. Hoeveel anagrammen 7 bestaan er van het woord Wiskunde? Oefening 6. In een kamer staan zes stoelen op een rij. Er komen vier personen de kamer binnen. Elke persoon neemt plaats op een stoel. Op hoeveel manieren kan dit? Oefening 7. Deelnemen aan de lotto kan door een enkelvoudig bulletin met 4 roosters in te vullen. In elk rooster kruist men zes getallen van tot 4 aan. Op hoeveel manieren kan men één rooster invullen? Oefening 8. Op hoeveel manieren kan men een enkelvoudig bulletin invullen? Je mag aannemen dat elk van de 4 roosters op een andere manier wordt ingevuld. Oefening 9. Acht vrienden gaan samen tennissen. Hoeveel verschillende partijen enkelspel kunnen ze spelen? Oefening 0. Je wil een salade maken met drie verschillende ingrediënten, en je hebt er zes om uit te kiezen: sla, tomaat, wortelen, komkommer, witte kool en radijsjes. Hoeveel verschillende salades kun je met die ingrediënten samenstellen? Enkelvoudig lottobulletin Oefening. Je hebt acht steden waarvan er geen drie op een rechte lijn liggen. Men wil elke stad met elke andere verbinden via een rechte weg. Hoeveel wegen moeten er gemaakt worden? Oefeningen - Reeks B Oefening. Hoeveel diagonalen heeft een regelmatige tienhoek? Oefening 3. Met de cijfers 0,,..., 9 worden getallen van 6 verschillende cijfers gevormd (een getal begint niet met het cijfer 0). Hoeveel getallen kunnen we vormen? Oefening 4. Op een gocart zijn zes plaatsen: vier trappers en twee gewone zitplaatsen. Op hoeveel manieren kunnen Jonas, Kasper, Lise, Magda, Niels en Olga plaatsnemen? Oefening 5. In een firma werken 5 arbeiders en 0 bedienden. Op hoeveel manieren kan een comité samengesteld worden die bestaat uit 3 arbeiders en bedienden? Oefening 6. Met de cijfers 0,,..., 9 worden codes van 6 verschillende cijfers gevormd. Hoeveel van zo n codes bevatten het cijfer 7? Oefening 7. Het Latijns alfabet bestaat uit 5 klinkers en medeklinkers. We beschouwen ook de 7 Griekse letters α, β, γ, δ, µ, ν, λ. Hoeveel woorden bestaan uit 3 verschillende klinkers, verschillende medeklinkers en 4 verschillende Griekse letters? Oefening 8. Op hoeveel manieren kan men acht kaarten trekken uit een kaartspel van 5 kaarten (volgorde niet belangrijk) als er bij die acht kaarten (a) precies drie azen moeten zijn? (b) ten hoogste drie azen moeten zijn? 7 Een anagram is een woord of zin, die volledig bestaat uit de letters van een ander woord of een andere zin. 3

35 B. Ingevulde werkbladen 3

36 I. Basisbegrippen in verband met functies In het vijfde en het zesde jaar werken we heel vaak met functies. Het is dan ook erg belangrijk dat je weet wat een functie is. Dit deel is dan ook bedoeld om je voorkennis in verband met functies aan te wakkeren. Voorbeeld. Met elk reëel getal associëren we een ander reëel getal via = Dit is een voorbeeld van een functie f. Zo is bijvoorbeeld als = dan is = als = 0 dan is = als = 5 dan is = 9 als = dan is = 0 Hoe noemen we een waarvoor = 0? Een nulwaarde (of nulpunt). Deze functie kunnen we zien als een ssteem waarbij elke input een output heeft. Schematisch: f De waarde van hangt telkens af van de waarde van. Daarom schrijven we in plaats van ook wel f(). De functie is dus f() = We kunnen deze functie f op drie manieren voorstellen: Functievoorschrift: f() = Tabel van enkele functiewaarden: Grafiek: 0 f() = f()

37 De drie stappen functievoorschrift, tabel en grafiek zien we ook op het grafisch rekenmachine. Om de plot goed te kunnen vergelijken met onze tekening hierboven, nemen we dezelfde WINDOW. Y= ND TABLE WINDOW GRAPH In TABLE merken we dat Y negatief of positief kan zijn. Hoe zien we dat op de grafiek van f? Als f() < 0 dan ligt de grafiek van f onder de -as. Als f() > 0 dan ligt de grafiek van f boven de -as. Deze informatie wordt weergegeven in de zogenaamde tekentabel van f. Deze tabel lijkt erg op onze tabel van enkele functiewaarden hierboven, maar in de tweede rij plaatsen we nu tekens in plaats van getallen. We schrijven een minteken als f() < 0, en een plusteken als > 0. Bij welke -waarde is f() = 0? f() 0 + Algemeen. Een eerstegraadsfunctie (of lineaire functie) is van de gedaante f() = a + b met a, b R en a 0 Voor de grafiek van een eerstegraadsfunctie zijn twee vormen mogelijk: Eerste vorm of Tweede vorm + +a +a b b + O O a < 0 a > 0 lineaire daling lineaire stijging 34

38 Voorbeeld. Met elk reëel getal associëren we een reëel getal via = 3 Dit is een ander voorbeeld van een functie f. Zo is bijvoorbeeld als = 0 als = dan is = 3 dan is = 4 als = dan is = 5 als =? dan is = 0 Hoe noemen we een waarvoor = 0? Een nulwaarde (of nulpunt). Om de nulwaarden te bepalen gaan we als volgt te werk. Los op: f() = 0 3 = 0 D = b 4ac = () 4 ( 3) = 4 + = 6 = b ± D a = ± 6 = ± 4 = 3 of We bespreken opnieuw de drie manieren om de functie f voor te stellen. Functievoorschrift: f() = 3 Tabel van enkele functiewaarden: f() Grafiek: = f()

39 Controle met behulp van het grafisch rekenmachine. Y= WINDOW GRAPH Op de vorige pagina vonden we dat de nulwaarden van f gelijk zijn aan = en = 3. Hoe kunnen we de nulwaarden van f aflezen op de grafiek van f? De nulwaarden van f zijn (de -waarden van) de snijpunten van de grafiek met de -as. Ook nu vertelt de tekentabel ons waar de grafiek van f boven of onder de -as ligt. 3 f() Algemeen. Een tweedegraadsfunctie (of kwadratische functie) is van de gedaante f() = a + b + c met a, b, c R en a 0 Voor de grafiek van een tweedegraadsfunctie zijn twee vormen mogelijk: Eerste vorm of Tweede vorm a < 0 a > 0 36

40 Voorbeeld 3. Met elk reëel getal associëren we hoogstens één reëel getal via = Dit is een ander voorbeeld van een functie f. Zo is bijvoorbeeld als = dan is = als = dan is = =, 4... als = 4 dan is = als = 0 dan is = 0 als = dan is = / (bestaat niet) Deze functie kunnen we zien als een ssteem waarbij elke input hoogstens één output heeft. Schematisch: f of f We bespreken opnieuw de drie manieren om de functie f voor te stellen. Functievoorschrift: f() = Tabel van enkele functiewaarden: f() 0, 4..., Grafiek: = f() 3 Ook nu bepalen we we de tekentabel van f: 0 f() /////

41 Voor dit voorbeeld bespreken we nog een belangrijk begrip: Het domein van f zijn alle -waarden waarvoor f() bestaat. In dit geval is dom f = R + Hoe kunnen we het domein aflezen op de grafiek van f? Het domein van f is de projectie van de grafiek op de -as. Algemeen. Een (reële) functie f is een verband dat aan elk reëel getal hoogstens één reëel getal associeert. Het domein van een functie f zijn alle -waarden waarvoor f() bestaat. Meetkundige betekenis. Het domein van f is de (loodrechte) projectie van de grafiek van f op de -as. = f() O domf De nulwaarden (of nulpunten) van een functie f zijn alle -waarden waarvoor f() = 0. Meetkundige betekenis. De nulwaarden van f zijn (de -waarden van) de snijpunten van de grafiek van f met de -as. = f() O nulwaarden van f Hoe zoeken we alle nulwaarden van f? Los op: f() = 0 38

42 Oefeningen Oefening 9. Welke grafieken stellen de grafiek van een functie voor? Verklaar telkens je antwoord. (a) (b) (c) Oefening 0. Geef bij elke functie functievoorschrift tabel van enkele functiewaarden grafiek domein nulwaarden (algebraïsch berekenen en aanduiden op de grafiek) tekentabel (a) f() = + (d) f() = (b) f() = (e) f() = (c) f() = + (f) f() = 3( ) Oefening. Gegeven is de grafiek van een functie f. Bepaal het domein en de nulwaarden van f. Gebruik de correcte notaties. (a) = f() (b) = f()

43 II. Homografische functies In dit deel bespreken we een bijzondere soort functies: functies waarvan de grafiek een zogenaamde hperbool is. Er zijn twee mogelijke vormen: Eerste vorm of Tweede vorm Deze functies hebben dus allen een gelijke }{{} homo De hoofdvraag is nu: grafiek. Daarom noemen we ze homografisch. }{{} grafisch Wat is het functievoorschrift f() van een homografische functie? Om het antwoord op deze vraag te ontdekken, starten we met het meest eenvoudige voorbeeld: Op ontdekking (Elementaire functie). Functievoorschrift f() = Tabel van enkele functiewaarden 4 0, 5 0, 5 0 0, 5 0, 5 4 f() 0, 5 0, , 5 0, 5 Grafiek 3 = 3 O 3 3 De grafiek is duidelijk van de (eerste) vorm hierboven. Het is eigenlijk het meest eenvoudige voorbeeld van een homografische functie. Daarom noemen we f() = een elementaire functie. 40

44 We kunnen deze grafiek ook plotten met behulp van het grafisch rekenmachine. vergelijken met onze tekening hierboven, nemen we dezelfde WINDOW. Y= WINDOW GRAPH Om goed te kunnen Uit de grafiek van f() =. Domein. lezen we meteen de volgende eigenschappen af. Hoe bepalen we grafisch het domein van een functie? Projectie van de grafiek op de -as. In dit geval lezen we af: dom f = R 0. Nulwaarden. Hoe bepalen we grafisch de nulwaarden van een functie? Snijpunten van de grafiek met de -as. In dit geval lezen we af: nulwaarden van f zijn: / (geen). 3. Tekentabel. 0 f() }{{} grafiek onder -as 4. Als = 0 dan is f() = 0 = 0, Als = 000 dan is f() = = 0, 00 + }{{} grafiek boven -as 000 Als + dan f() 0 Daarom zeggen we dat de rechte = 0 een horizontale asmptoot is aan de grafiek van f. We duiden deze rechte aan met een (rode) stippellijn. De grafiek nadert de rechte = 0, maar hoe groot we onze -waarden ook nemen, de grafiek zal deze rechte nooit snijden! Overtuig jezelf met het grafisch rekenmachine en TRACE. WINDOW GRAPH TRACE > 5. Als = 0, dan is f() = 0, = 0 Als = 0, 005 dan is f() = 0, 005 = 00 Als 0 dan f() + > Daarom zeggen we dat de rechte = 0 een verticale asmptoot is aan de grafiek van f. We duiden deze rechte aan met een (rode) stippellijn. De grafiek nadert de rechte = 0, maar hoe klein we onze -waarden ook nemen, de grafiek zal deze rechte nooit snijden! 4

45 Op ontdekking. Gegeven is de functie f() = We plotten de grafiek van f met behulp van het grafisch rekenmachine. De grafiek van f heeft dezelfde vorm als de grafiek van de elementaire functie =. Daarom noemen we f een homografische functie. Uit de grafiek van f lezen we af: Als + dan f() Dus de rechte = is een horizontale asmptoot aan de grafiek van f. Deze uitkomst kunnen we ook achterhalen door f() te berekenen voor grote -waarden: Als = 000 dan f() = Als = 0000 dan f() = =, 999 =, 9999 Dat invullen kan handiger met behulp van Y. VARS Y-VARS FUNCTION Y Bereken op die manier: Als = dan f() =, Kunnen we de horizontale asmptoot = ook meteen aflezen uit het functievoorschrift f() = is de coëfficient van de hoogstegraadsterm in de teller.? Weet je ook waarom? Als we in f() de vervangen door een groot getal, dan is het aandeel van in de teller erg klein. Dus voor grote -waarden is f() = = Als > 0 dan f() Dus de rechte = 0 is een verticale asmptoot aan de grafiek van f. 4

46 Op ontdekking 3. Gegeven is de functie f() = 3 + Plot de grafiek van f met je grafisch rekenmachine en neem een schets over op je blad. = f() = 3 = Ook deze grafiek heeft dezelfde vorm als de grafiek van de elementaire functie =. Dus ook nu noemen we f een homografische functie. Uit het functievoorschift f() = 3 + lezen we af: Als + dan f() 3 Dus de rechte = 3 is een horizontale asmptoot aan de grafiek van f. Uit de grafiek van f lezen we af: Als > dan f() + Dus de rechte = is een verticale asmptoot aan de grafiek van f. Dit kunnen we ook achterhalen door f() te berekenen voor -waarden die dicht bij liggen: Als =, dan f() =, 5 Als =, 00 dan f() = 00, 5 Kunnen we de verticale asmptoot = aflezen uit het functievoorschrift f() = 3 +? In TABLE staat ERROR naast =. Dus als = bestaat f() niet. Weet je ook waarom? Als we in f() de vervangen door, dan krijgen we f(0) = 3 + = 4 0 Met andere woorden: = is een nulpunt van de noemer. Als < dan f() bestaat niet! 43

47 Op ontdekking 4. Gegeven is de functie f() = (a) Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine, en neem een schets over op je blad. (b) Lijkt de grafiek van f op de grafiek van de elementaire functie =, en kunnen we f een homografische functie noemen? Verklaar waarom (niet). Oplossing. (a) (b) De grafiek lijkt niet op de elementaire functie =. 3 O Dus we kunnen f geen homografische functie noemen. Reden: f() = = Kunnen we dit uit het voorschrift f() = Ja: f() = = zien? Definitie. Een homografische functie is van de gedaante f() = a + b c + d waarbij a, b, c, d R met c 0 en ad bc Opmerking. In de bovenstaande definitie is c 0 want anders is f() = a + b d = a d + b d En wat is de grafiek van f dan? Een rechte. ad bc want anders is de grafiek van f een rechte met een gaatje (perforatie). Eigenschap. Zij f() = a + b een homografische functie. Dan zijn er voor de grafiek twee mogelijke vormen: c + d Eerste vorm of Tweede vorm = f() = f() = a c = a c = d c = d c 44

48 Modelvoorbeeld. Gegeven is de functie (a) Toon aan dat f een homografische functie is. f() = (b) Bepaal zonder grafisch rekenmachine de horizontale en de verticale asmptoot aan de grafiek van f. (c) Schets zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine de grafiek van de functie f. Modelvoorbeeld. De volgende grafiek stelt de grafiek van een homografische functie voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken) = f() Toepassing. Een bak is gevuld met water. In die bak bevindt zich een scheidingswand met aan beide kanten liter water. Links van de scheidingswand wordt een hoeveelheid kleurstof opgelost. Vermits de scheidingswand deze stof doorlaat treedt er diffusie op. De hoeveelheid kleurstof in de linkerkant van de bak wordt gegeven door K(t) =, t + met K de hoeveelheid kleurstof (in gram) en t de tijd (in minuten) na het toevoegen van de kleurstof. (a) Hoeveel kleurstof werd er toegevoegd? (b) Hoe lang is de hoeveelheid kleurstof in de linkerkant van de bak groter dan 3 gram? (c) Hoe groot wordt de hoeveelheid kleurstof in de linkse helft na verloop van heel veel tijd? Verklaar algebraïsch. (d) Hoe kun je het resultaat in (c) fsisch verklaren? 45

49 Oefeningen Oefening. Welke van de volgende functies zijn homografische functies? Motiveer je antwoord. (a) f() = (b) f() = 5 Oefening. Gegeven is de functie (a) Toon aan dat f een homografische functie is. f() = (c) f() = 3( ) (d) f() = (b) Schets zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine de grafiek van de functie f. (c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten. (d) Bepaal dom f en bld f. Oefening 3. Bepaal bij de volgende homografische functies de verticale en de horizontale asmptoot. (a) f() = (b) f() = (c) f() = (d) f() = Oefening 4. De volgende grafiek stelt de grafiek van een homografische functie = f() voor. Bepaal een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). = 3 = f() 3 O 3 3 Oefening 5. In de leraarskamer staat een koffiezetapparaat. Voor dat apparaat moet de school 00 euro huur betalen per maand. Per kop koffie bedragen de materiaalkosten 0 eurocent. (a) Schrijf de kosten K van een kop koffie in functie van het aantal maandelijks gedronken koppen koffie. (b) Bepaal de gemiddelde kost per kop koffie. (c) Wat wordt de gemiddelde kost per kop koffie als het aantal maandelijks gedronken koppen koffie erg groot wordt? 46

50 III. Verloop van veeltermfuncties In dit deel onderzoeken we een belangrijk verband tussen een functie f en haar afgeleide f. De afgeleide f van een functie blijkt bepaalde informatie te geven over de functie f zelf. Welke informatie dat is merk je in de volgende Op ontdekking. Linkerhelft: Gegeven is de veeltermfunctie f() =. (a) Linkerhelft: Lees uit de grafiek van f het verloop (tabel stijgen/dalen) van f af. (b) Rechterhelft: Bereken de afgeleide functie f (), teken de grafiek van f en lees de tekentabel van f af. (c) Linkerhelft en rechterhelft: Welk verband is er tussen de tabel stijgen/dalen van f en de tekentabel van f? Oplossing. Functie f() = Afgeleide functie f () = Grafiek Grafiek 3 f() = 3 f () = Tabel stijgen/dalen van f() Tekentabel van f () 0 0 f() min f () 0 + We merken het volgend verband op tussen deze tabellen. f stijgend f dalend f positief f negatief Weet je ook waarom? Neem bijvoorbeeld = f is stijgend in = f () = > 0 }{{} rico raaklijn raaklijn in = is stijgend 47

51 Op ontdekking. Gegeven is de veeltermfunctie f() = (a) Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine. (b) Bepaal grafisch de tabel stijgen/dalen van f. (c) Bepaal algebraïsch de tekentabel van de afgeleide functie f, en daaruit de tabel stijgen/dalen van f. Oplossing. (a) Y= WINDOW GRAPH (b) Om de tabel stijgen/dalen te bepalen, hebben we het minimum en het maimum van de functie nodig. Die bepalen we met behulp van de commando s ND CALC 3:minimum en 4:maimum Maimum: = Minimum: =, Tabel stijgen/dalen van f:, f() ma min (c) Om de tekentabel van f te maken, doorlopen we de volgende stappen. Stap. f () = Stap. Nulwaarden van f : Los op f () = = 0 D = b 4ac = 4 3 ( 8) = 00 = b ± D a = ± 00 3 = of = 4 =, Stap 3. Tekentabel van f :, f () f() ma min 48

52 Modelvoorbeeld. Gegeven is de veeltermfunctie Bepaal algebraïsch de tabel stijgen/dalen van f. Oplossing. Recept: Maak de tekentabel van f f() = Stap. f () = Stap. Nulwaarden van f : Los op f () = = 0 ( 3 + 6) = 0 = 0 of = 0 = 0 of = Stap 3. Tekentabel van f : 0 f () f() min ma Ter controle plotten we de grafiek van f met behulp van het grafisch rekenmachine. Y= WINDOW GRAPH Besluit. Vraag: Bepaal algebraïsch de tabel stijgen/dalen van f. Recept: Maak de tekentabel van f Stap. f () = Stap. Nulwaarden van f : Los op f () = 0 Stap 3. Tekentabel van f : f () f() ma min 49

53 Oefeningen Oefening. Bepaal algebraïsch een tabel stijgen/dalen en een tabel hol/bol van de volgende veeltermfuncties. Maak ook een samenvattende tabel. Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine. (a) f() = (c) f() = (b) f() = (d) f() = Oefening. Een wandelaar maakt een tocht in een licht heuvelachtig gebied. De hoogte h van de wandelaar in functie van de tijd t is te beschrijven met de functie met als voorschrift h(t) = t t + 00 waarbij 0 t 3 Hierbij is h uitgedrukt in meter en t in uren. Op welke tijdstippen t moet de wandelaar stijgen? Los algebraïsch op. Oefening 3. Gegeven zijn de grafieken van enkele functies (a) tot en met (e), en de grafieken van de bijhorende afgeleide functies () tot en met (5) op de volgende pagina. Welke functie hoort bij welke afgeleide? (a) (b) (c) (d) (e) 50

54 () () (3) (4) (5) 5

55 IV. Etremumproblemen Modelvoorbeeld. Van een rechthoekig stuk karton met afmetingen 0 cm op 0 cm snijdt men in elke hoek een vierkant met zijde weg en plooit men het karton langs de stippellijnen, om zo de doos zonder deksel rechts te bekomen. Voor welke is de inhoud van de doos maimaal? Los algebraïsch op. Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine. Oplossing. Aan de hand van het dnamisch applet hierboven 8 (gemaakt met GeoGebra) komen we er snel achter dat de inhoud van de doos afhankelijk is van de waarde van. We lossen zo n vraagstuk op aan de hand van een stappenplan. Stap. Stel de goeie vraag, en achterhaal zo de functie in woorden. Voor welke is inhoud } van {{ de doos } maimaal/minimaal (schrappen wat niet past)? functie Stap. Zoek de formule voor de functie. Dus functie }{{} = inhoud } van {{ de doos } f() = oppervlakte grondvlak hoogte = lengte grondvlak breedte grondvlak hoogte = (0 ) (0 ) = ( ) = = Dus f() = Stap 3. Stel de nieuwe vraag. Voor welke is f() = maimaal? Recept: Maak een tekentabel van f. 8 Te vinden op de link jaar 3u/afgeleiden3up9.html 5

56 Modelvoorbeeld. Een kampeerder heeft de toelating gekregen om langs de oever van een rivier een rechthoekig terrein af te spannen (op die plaats vertoont de rivier geen bochten). Hij heeft een koord van 40 m. Bereken algebraïsch de lengte l en de breedte b opdat de oppervlakte zo groot mogelijk zou zijn. Aan de oever van de rivier hoeft geen draad gespannen te worden. Oplossing. Aan de hand van het dnamisch applet hierboven 9 (gemaakt met GeoGebra) zien we in dat de oppervlakte van het terrein inderdaad afhankelijk is van de waarden van l en b. We gebruiken opnieuw ons stappenplan om ons vraagstuk op te lossen. Stap. Stel de goeie vraag, en achterhaal zo de functie in woorden. Voor welke l, b is oppervlakte van het terrein maimaal/minimaal (schrappen wat niet past)? }{{} functie Stap. Zoek de formule voor de functie. Dus functie }{{} = oppervlakte van het terrein }{{} f() = oppervlakte rechthoek vul aan vul aan = lengte breedte = l b Probleem: twee letters l en b Oplossing: Zoek een verband tussen l en b 40 = b + l + b 40 = b + l l = 40 b welk gegeven nog niet gebruikt? = (40 b) b = 40b b Dus f() = 40 Stap 3. Stel de nieuwe vraag. Voor welke is f() = 40 maimaal? Recept: Maak een tekentabel van f (). 9 Te vinden op de link jaar 3u/afgeleiden3up30.html 53

57 Oefeningen Oefening. Een bedrijf produceert CD-spelers. Bij een productie van CD-spelers per dag is de winst gelijk aan euro. Hoeveel CD-spelers moet het bedrijf per dag produceren om een maimale winst te hebben? Los algebraïsch op. Oefening. Boer Sjarel wil met 500 m draad een rechthoekig veld omheinen, en het daarna in drie rechthoeken verdelen zoals aangegeven op onderstaande figuur. Voor welke afmetingen is de totale oppervlakte het grootst? Los algebraïsch op. b = draad l Oefening 3. Petra wil haar vriendin verrassen met een doosje. Ze heeft een lint van, 4 m en wil haar doos met vierkantig grondvlak als volgt insnoeren (uiteraard loopt het lint ook door op de achterzijden). Voor welke afmetingen van de doos is de inhoud van de doos maimaal? Bereken algebraïsch. = lint Oefening 4. Een isolatiekamer in de vorm van een balk heeft een vierkantig grondvlak. De kostprijs voor m bezetting bedraagt 0 euro voor het grondvlak, 0 euro voor de zijwanden en 7 euro voor het bovenvlak. Bereken (algebraïsch) de afmetingen van de isolatiekamer met 650 m 3 inhoud waarvoor de totale kosten van de bezetting het laagst zijn. Afronden op cm nauwkeurig. Oefening 5. Een meubelfabrikant produceert tuinmeubelen. Voor een designtafel hangt de prijs af van de hoeveelheid q die hij per maand kan produceren p = q + 6q met 0 q 6 waarbij q het aantal geproduceerde tafels per maand in eenheden van 00 stuks is en p de prijs in 0000 euro. De meubelfabrikant moet ook rekening houden met de kosten K(q) = q 3 Bepaal algebraïsch bij welke productie de winst maimaal is. 54

58 V. Telproblemen Variaties zonder herhaling Op ontdekking. Klas 6dEcMT van 3 leerlingen organiseert een loopwedstrijd voor de klas. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de drie podiumplaatsen? Oplossing. Elke mogelijkheid is een keuze van 3 verschillende leerlingen uit 3, in volgorde geplaatst. Men noemt dit een variatie zonder herhaling van 3 uit 3. We stellen de mogelijkheden schematisch voor. Volgorde: ja Herhaling: nee 3 leerlingen Joke Karen. ste de 3de Joke Karen Piet Leonard Ann Joke. V3 3 = 3 = 066 mogelijkheden = = 3! 0! = 3! (3 3)! Algemeen. Het aantal variaties zonder herhaling van p uit n is 0 V p n = n! (n p)! waarbij p n Gebruik van grafisch rekenmachine. 3 MATH PRB :npr 3 ENTER Voorbeeld. Het alfabet telt 6 letters. Hoeveel woorden met 6 verschillende letters kun je hiermee vormen? Oplossing. 6 letters a b. V3 6 = mogelijkheden c q z a d p. 0 Tenzij anders vermeld stellen de letters p en n steeds natuurlijke getallen voor. 55

59 Voorbeeld. In lokaal D4 zijn 30 plaatsen beschikbaar. Op hoeveel manieren kunnen de 3 leerlingen van klas 6dEcMT plaatsnemen? Oplossing. 30 plaatsen plaats plaats. V 3 30 = 5, mogelijkheden Ann Bruno... Wouter plaats 7 plaats 3... plaats 5. Permutaties zonder herhaling Op ontdekking. Klas 6dEcMT van 3 leerlingen organiseert een loopwedstrijd voor de klas. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de totale uitslag? Oplossing. Elke mogelijkheid is een keuze van 3 verschillende leerlingen uit 3, in volgorde geplaatst. Dus een variatie zonder herhaling van 3 uit 3. Men noemt dit ook een permutatie zonder herhaling van 3. 3 leerlingen Volgorde: ja Herhaling: nee Joke Karen. ste de... 3ste Hans Eva... Joke P 3 = 3... = 3! =, mogelijkheden = V3 3 3! = (3 3)! = 3! = 3! daarom stellen we 0! = 0! Algemeen. Het aantal permutaties zonder herhaling van n is P n = n! Voorbeeld. Hoeveel woorden kun je vormen met de verschillende letters van het woord Brugge? Zo n woorden hoeven niet voor te komen in het woordenboek, één zo n woord is bijvoorbeeld guerb. Oplossing. 5 letters b r u g e g r b e u. P 5 = 5! = 0 mogelijkheden Oefening. Op de eerste rij van een auditorium worden 0 zitplaatsen gereserveerd voor 0 eregasten. Drie ervan laten weten verhinderd te zijn. De overige 7 eregasten worden alle 7 naast elkaar gezet (dus geen lege zetel tussenin). Op hoeveel manieren kunnen deze eregasten plaatsnemen? 56

60 Combinaties zonder herhaling Op ontdekking. Klas 6dEcMT van 3 leerlingen organiseert een loopwedstrijd voor de klas. De eerste drie leerlingen vormen een selectieploeg voor het schoolkampioenschap. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor die selectieploeg? Oplossing. Elke mogelijkheid is een keuze van 3 verschillende leerlingen uit 3, waarbij de volgorde onbelangrijk is. Men noemt dit een combinatie zonder herhaling Volgorde: nee Herhaling: nee van 3 uit 3. Schematisch: 3 leerlingen 3 leerlingen Joke Karen Piet ste de 3de Joke Karen Piet C 3 3 P 3 } {{ } V3 3 Algemeen. Het aantal combinaties zonder herhaling van p uit n is dus C 3 3 P 3 = V 3 3 C3 3 = V 3 3 3! P3 = (3 3)! 3! 3! = = 77 mogelijkheden 3!(3 3)! C p n = n! p! (n p)! waarbij p n Gebruik van grafisch rekenmachine. 3 MATH PRB 3:nCr 3 ENTER Voorbeeld. Uit het zesde jaar (97 leerlingen) wordt een werkgroep van vijf leerlingen gekozen die een galabal voorbereiden. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor deze werkgroep? Oplossing. 97 leerlingen 5 leerlingen C 5 97 = mogelijkheden 57

61 Oefeningen Oefeningen - Reeks A Oefening. Twee jongens en een meisje kiezen elk één gebakje als nagerecht uit een aanbod van 6 verschillende taartjes. Op hoeveel manieren kan deze keuze gebeuren? Oefening. Op hoeveel manieren kun je 7 verschillende boeken op een boekenrek plaatsen? Oefening 3. Voor het schilderen van vijf klaslokalen beschikt men over acht mogelijk kleuren. Op hoeveel verschillende manieren kan dit schilderen gebeuren als elk lokaal een andere kleur moet hebben? Oefening 4. Een dief is te weten gekomen dat de code van je bankkaart bestaat uit vier verschillende cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor je code? Oefening 5. Hoeveel anagrammen bestaan er van het woord Wiskunde? Oefening 6. In een kamer staan zes stoelen op een rij. Er komen vier personen de kamer binnen. Elke persoon neemt plaats op een stoel. Op hoeveel manieren kan dit? Oefening 7. Deelnemen aan de lotto kan door een enkelvoudig bulletin met 4 roosters in te vullen. In elk rooster kruist men zes getallen van tot 4 aan. Op hoeveel manieren kan men één rooster invullen? Oefening 8. Op hoeveel manieren kan men een enkelvoudig bulletin invullen? Je mag aannemen dat elk van de 4 roosters op een andere manier wordt ingevuld. Oefening 9. Acht vrienden gaan samen tennissen. Hoeveel verschillende partijen enkelspel kunnen ze spelen? Oefening 0. Je wil een salade maken met drie verschillende ingrediënten, en je hebt er zes om uit te kiezen: sla, tomaat, wortelen, komkommer, witte kool en radijsjes. Hoeveel verschillende salades kun je met die ingrediënten samenstellen? Enkelvoudig lottobulletin Oefening. Je hebt acht steden waarvan er geen drie op een rechte lijn liggen. Men wil elke stad met elke andere verbinden via een rechte weg. Hoeveel wegen moeten er gemaakt worden? Oefeningen - Reeks B Oefening. Hoeveel diagonalen heeft een regelmatige tienhoek? Oefening 3. Met de cijfers 0,,..., 9 worden getallen van 6 verschillende cijfers gevormd (een getal begint niet met het cijfer 0). Hoeveel getallen kunnen we vormen? Oefening 4. Op een gocart zijn zes plaatsen: vier trappers en twee gewone zitplaatsen. Op hoeveel manieren kunnen Jonas, Kasper, Lise, Magda, Niels en Olga plaatsnemen? Oefening 5. In een firma werken 5 arbeiders en 0 bedienden. Op hoeveel manieren kan een comité samengesteld worden die bestaat uit 3 arbeiders en bedienden? Oefening 6. Met de cijfers 0,,..., 9 worden codes van 6 verschillende cijfers gevormd. Hoeveel van zo n codes bevatten het cijfer 7? Oefening 7. Het Latijns alfabet bestaat uit 5 klinkers en medeklinkers. We beschouwen ook de 7 Griekse letters α, β, γ, δ, µ, ν, λ. Hoeveel woorden bestaan uit 3 verschillende klinkers, verschillende medeklinkers en 4 verschillende Griekse letters? Oefening 8. Op hoeveel manieren kan men acht kaarten trekken uit een kaartspel van 5 kaarten (volgorde niet belangrijk) als er bij die acht kaarten (a) precies drie azen moeten zijn? (b) ten hoogste drie azen moeten zijn? Een anagram is een woord of zin, die volledig bestaat uit de letters van een ander woord of een andere zin. 58