De ontwikkeling van het functiebegrip in de 2 de graad

Transcriptie

1 De ontwikkeling van het functiebegrip in de 2 de graad Geschiedenis van het functiebegrip Oudheid: vooral meetkundige problemen 14de, 15de en 16de eeuw: verbanden tussen grootheden eerste idee grafiek vermelding functie in context bewegingsleer (Galileï) analytische meetkunde 17 de eeuw: vooral gebruik analyse in functie van natuurwetenschappelijke problemen Newton en Leibniz: essentiële toevoegingen gebruik functio (ik voer een taak uit) Bernouilli: definitie functie als analytische uitdrukking (gebruikt φx) Euler: Introductio in Analysin Infinitorium (1748) gebruik f(x) Lagrange grondlegger theorie van functies met reële variabelen Moderne analyse: aandacht aan de logische opbouw Cauchy, Dirchlet, Bolzano, Dedekind, Cantor, Conclusie Peiling eindtermen 2 de graad Het begrip functie zoals we dit vandaag kennen is al sterk geëvolueerd. Eigenlijk komt de huidige definitie uit verzamelingenleer (= abstracter) Uit Uitwiskeling: In het onderwijs zou het grondig fout zijn te doen alsof het functiebegrip een afgewerkt product is dat men in een supermarkt kan kopen. Als een expliciete functiedefinitie aan bod moet komen, dan kan dat pas gebeuren nadat de leerlingen eerst enkele jaren gewerkt hebben met functionele verbanden (via tabellen, grafieken, formules, computerprogrammas s, ) en met meetkundige transformaties. 1

2 Eindtermen rond reële functies Eindtermen eerste en tweedegraadsfuncties 2

3 Problemen oplossen met algebra en functies 3

4 Beginsituatie Regelmaat en formules Recht- en omgekeerd evenredige verbanden: tabel, grafiek, formule Transformaties Het concept functie: Een geheel getal Vb. 5 Een land Vb. België Nederland De zijde van een vierkant Vb. 3 Een woord Vb. functie Een getal Vb. 5 Een geheel getal Vb. 12 Een provincie Vb. Oost-Vlaanderen Input Output Even of oneven oneven De hoofdstad Oppervlakte van het vierkant De eerste letter van dat woord Een kleinergetal Een deler van dit getal Een stadin die provincie Begrippenkader De onafhankelijk veranderlijke en de afhankelijk veranderlijke. Definitie functie Invoerwaarde en functiewaarde origineel en beeld Het verloop van een functie Nulwaarde of nulpunt Teken tab el Domein en bereik van een functie (zelf applet maken met Geogebra). Voorbeelden In welk jaar kunnen leerlingen deze opgaven oplossen. Waarop is het een toepassing? Sarah maakt een fietstocht. Als ze eenmaal haar trappers ronddraait, dan heeft ze 5 m afgelegd. a) Vul de volgende tabel aan en zoek een passende formule Aantal toeren n Afstand s (in m) b) Teken een grafiek. c) Lees op de grafiek af hoeveel meter Sarah heeft afgelegd als ze haar trappers 285 maal heeft rondgedraaid? d) Lees op de grafiek af hoeveel maal Sarah de trappers rondgedraaid heeft als ze 2800 m heeft afgelegd. 4

5 Van een brug over een 60 meter brede rivier is de hoogte y (in meter) gegeven door het volgende verband: 2 y=-0,02x +18 Hierbij is x de afstand (in meter) tot het midden van de rivier. Een boot heeft een hoogte v an minstens 10 meter nodig om onder de brug door te k unnen v aren. Op welk deel van de rivier kan de boot de brug passeren? De lengte van een rechthoek is gelijk aan het dubbele van de breedte. a) Stel een formule op die de verandering van de oppervlakte weergeeft in functie van de breedte (onderstel dat de breedte varieert tussen 0 en 20 cm). b) Teken de grafiek. Hoe verloopt de grafiek. c) Lees grafisch af voor welke waarde(n) van de breedte de oppervlakte kleiner is dan 175 cm². Opdrachten Zie syllabus Foto s nemen in de omgeving van de school en proberen om een passend voorschrift te zoeken. Bronnen Het functiebegrip in het secundair onderwijs, Uitwiskeling, jaargang 13 nr. 3 Het functiebegrip, Uitwiskeling, jaargang 14, nr. 1 Bundel in verband met functies van Hilde De Maesschalck, DPB Oost- Vlaanderen Functies en vergelijkingen van de tweede graad, Benno Frei, René Hugelshofer, Robert Märki (vertaling Guido Herweyers), cahier nr. 27 T³ Europe Brochure Peiling wiskunde in de 2 de graad algemeen secundair onderwijs, uitgave van de Vlaamse Overheid 5