Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple. Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.

Transcriptie

1 Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.nl

2 Puzzel mavo 3

3 Puzzel mavo 3

4 Puzzel mavo 3 Veronderstel: zijde 1 rechte hoeken enzovoorts Relaties tussen x en y Geven x = 2/3. Analytische meetkunde zonder coördinaten!

5 Dudeney Puzzel van 4 stukjes, waarmee je een vierkant kunt leggen en een gelijkzijdige driehoek. Construeer!

6 Synthetisch versus Analytisch Synthetisch: samenvoegen opbouw van start (gegevens) tot finish (conclusie) axiomatisch Analytisch: uit elkaar halen van finish (conclusie) naar start (gegevens) coördinaten, vectoren algebraïsche (!) & analytische methoden (= limieten) R 2, R 3 en deelverzamelingen (bollen, torus, wilder)

7 Samenvatting Synthetische oplossingen kunnen mooi zijn inzicht geven lastig te vinden zijn Maar het tegendeel kan ook Voor analytische oplossingen

8 Samenvatting Synthetische oplossingen kunnen mooi zijn inzicht geven lastig te vinden zijn Maar het tegendeel kan ook Voor analytische oplossingen geldt hetzelfde. Wees dus niet dogmatisch en geniet van alle soorten mooie wiskunde!

9 Maar ik moet wel toegeven dat coördinatenmeetkunde flexibeler en daarom belangrijker is dan axiomatische meetkunde. coördinatenmeetkunde heeft geleid tot: differentiaalmeetkunde & relativiteitstheorie algebraïsche meetkunde (verband met algebra) analytische meetkunde (verbanden met analyse) arithmetische meetkunde (verband met getaltheorie)

10 Rode Draad: Stelling van Pythagoras Gegeven: Rechthoekige driehoek in R 2 Lengtes zijden a, b, c ; c tegenover rechte hoek Dan: a 2 + b 2 = c 2

11 Euclides

12 Pythagoras volgens Euclides Vierkanten op zijden Oppervlakten A, B, C C tegenover rechte hoek Dan: A + B = C.

13 Bewijs volgens Euclides Hoogtelijn op zijde c deelt vierkant op c in twee rechthoeken. Deze rechthoeken hebben oppervlakte A en B. Gevolg: A + B = C.

14 Bewijs volgens Euclides Bewijzen alleen de linkerkant, want rechts analoog.

15 Bewijs volgens Euclides Bewijzen alleen de linkerkant, want rechts analoog. Beide rechthoeken halveren door diagonaal Voldoende te bewijzen: Rode driehoeken hebben gelijke oppervlakte.

16 Tussenstap 1 Rode driehoek ACP heeft dezelfde oppervlakte als blauwe driehoek ABP, want BC // AP.

17 Tussenstap 2 Rode driehoek ABP congruent met blauwe driehoek AQC wegens ZHZ. Dus hebben ABP en AQC dezelfde oppervlakte.

18 Bewijs volgens Euclides Rode driehoek ACQ heeft dezelfde oppervlakte als blauwe driehoek ARQ, want CR // AQ.

19 Bewijs volgens Euclides Dus hebben de rode driehoeken inderdaad dezelfde oppervlakte

20 Bewijs volgens Euclides Dus hebben de rode rechthoeken inderdaad dezelfde oppervlakte. Q.E.D.

21 Terugblik Waar werd in dit bewijs gebruikt: 1) vierkant op b? 2) vierkant op c? 3) hoogtelijn op zijde c? 4) rechte hoek in C?

22 Legpuzzelbewijs van Pythagoras

23 Legpuzzelbewijs van Pythagoras Waarom deed Euclides het niet zo? Gemakkelijk te begrijpen zonder algebra! Hoe kunnen leerlingen Pythagoras zelf ontdekken?

24 Brugklassers ontdekken Pythagoras Scheef vierkant op ruitjespapier Hoekpunten op rooster Bereken de oppervlakte Ze konden het allemaal! Pythagoras = methode voor oppervlaktebepaling Generaliseerbaar! Rekenen algebra

25 Stellingen 1) Analytische meetkunde kan mooie, betekenisvolle problemen opleveren in algebra, analyse & goniometrie. 2) Probleemoplossen overstijgt meetkunde: strategie (keuze, vergelijk & mix van methoden) controle, verificatie & interpretatie (goede spoor? speciale gevallen, symmetrie, dimensieanalyse, )

26 Pythagoras in coördinaten Afstand tussen (x 1, y 1 ) en (x 2, y 2 ) is per definitie gelijk aan ( xx) 2 +( yy) 2 Dus Pythagoras (over lengtes van zijden van rechthoekige driehoek) geldt vrijwel per definitie in R 2. Verdacht eenvoudig

27 Verdienste synthetisch bewijs Pythagoras volgt uit verzameling redelijke meetkundige axioma s Redelijk : ze lijken vlakke werkelijkheid te modelleren. Standaardmodel waarin al deze axioma s gelden is R 2 met standaarddefinities van punt, lijn, ordening van 3 punten op een lijn, congruentie van lijnstukken en congruentie van hoeken.

28 Welke axioma s voor Pythagoras? Bron: Euclid and Beyond, Robin Hartshorne Axioma s voor Pythagoras: 4 axioma s over lijnen en punten (inclusief P.P.) 4 axioma s over ordening van punten op lijnen 3 axioma s over congruentie van lijnstukken 3 axioma s over congruentie van hoeken (waaronder het ZHZ-criterium!) Veel axioma s: = 14 stuks!

29 Welke axioma s voor R 2? 14 axioma s + volledigheidsaxioma van Dedekind karakteriseren R 2 : R 2 met standaarddefinities is het enige vlak dat aan al die 15 axioma s voldoet. Dan geen wiskundig verschil tussen axiomatische meetkunde en meetkunde in R 2, maar wel een psychologisch verschil!

30 Welke structuur heeft R 2? Alleen begrip afstand is nodig. Opgave: Alle andere begrippen (lijn, ordening, hoek) zijn daarvan afgeleid.

31 Vectormeetkunde in R 2 en R 3 Lengte gedefinieerd via Pythagoras: (a 1, a 2, a 3 ) 2 := a 2 := a 2 := a a a 3 2 Handig: dit uitbreiden naar inproduct (a 1, a 2, a 3 ) (b 1, b 2, b 3 ) := a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 want dan heb je meteen ook hoeken: cos( (a, b)) := a b / (a b) Opgave: Deze definitie compatibel met onderbouwdefinitie van cosinus (SOLCALTOA)

32 Toepassing: Cosinusregel cos(γ) = a b / (a b) a = b + c c 2 = (a b) (a b) c 2 = a 2 2 a b + b 2 c 2 = a 2 2ab cos(γ) + b 2 Speciaal geval: γ = 90 Pythagoras!

33 Vectormeetkunde zonder inproduct Affiene meetkunde = vectoren zonder inproduct Dus geen begrip lengte en geen hoek Dus ook niet: rechthoek, ruit, cirkel Maar wel: parallel, parallellogram, trapezium midden van lijnstuk verhouding van lengtes van parallelle lijnstukken verhouding van oppervlakten

34 Toepassing: Zwaartepunt Noem positievectoren van hoekpunten a, b, c Positievector van midden M van AB is m = ½ (a + b)

35 Toepassing: Zwaartepunt Noem positievectoren van hoekpunten a, b, c Positievector van midden M van AB is m = ½ (a + b) Neem Z op CM zodat CZ : ZM = 2 : 1. Positievector van Z is z = (2/3)m + (1/3)c z = (a + b + c) / 3.

36 Toepassing: Zwaartepunt z = (a + b + c) / 3 is symmetrisch in a, b, c Dus Z ligt ook op zwaartelijnen door A en B en verhoudingen 2 : 1. Q.E.D.

37 2 affiene Sangaku s

38 Meetkunde op boloppervlak

39 Pythagoras op de bol? Pythagoras geldt niet op de bol! Opgaven: Geef een tegenvoorbeeld Wat gaat fout in Euclides bewijs? Wat gaat fout in legpuzzelbewijs? Wat gaat fout in volgende bewijs?

40 Schalingsbewijs Pythagoras A + B = C en A : B : C = a 2 : b 2 : c 2, dus a 2 + b 2 = c 2. Waar gaat dit bewijs fout op de bol?

41 Toegift: Sangaku a 2 + b 2 = c 2.

42 Oplossing met Pythagoras? Gegeven: a b 2 2 = 1 a 2 + b 2 1 = 1 a b 2 = 1 Te bewijzen: ab 1 + a 1 b = a 2 b 2. Kunt u dat zonder Maple? Mijn bewijs in Appendix 1

43 Veel plezier!

44 Appendix 1 Bewijs: (1 a 2 2 b 22 ) (a 1 b 1 + ab) + (a 2 + b 2 1 1) (a 2 b a 1 b 2 ) + (a b 2 1) (ab 2 a 2 b 1 ) = ab 1 + a 1 b a 2 b 2. Dus: Als 1 = a b 2 2 = a 2 + b 2 1 = a b 2, dan ab 1 + a 1 b = a 2 b 2. Q.E.D.

45 Appendix 2 Gedachtenexperiment over constructie in Geogebra geeft: Alles is uit te drukken in ϕ! Bij zijde 1 heeft onderste driehoek oppervlakte ½ sin(ϕ)cos(ϕ) = ¼ sin(2ϕ) Andere blauwe driehoek heeft opp. ¼ sin(2ϕ ) Rode driehoek heeft opp. ¼ sin(120 2ϕ)

46 Appendix 2 Dus te bewijzen: sin(2ϕ) + sin(2ϕ ) = sin(120 2ϕ) Symmetrischer: sin(2ϕ) + sin(2ϕ ) + sin(2ϕ 120 ) = 0 Symmetrie vectorsom in Q.E.D. Bonus: Analoge formules voor 360 /n ; ook voor cos.