Samenvatting Dictaat Besliskunde Deeltentamen 2

Transcriptie

1 Samenvatting Dictaat Besliskunde Deeltentamen 2 lomoarcpsd Hoofdstuk 3 Lineair Programmeren 1. Inleiding Type Problemen: Bedrijven willen winst maximaliseren door zoveel mogelijk te produceren van verschillende typen producten, maar moeten rekening houden met de productiecapaciteit, de beschikbare grondstoffen, de werktijden van de werknemers, etc. Personeelsmanagers willen personeel inhuren, maar de personeelskosten moeten geminimaliseerd worden, terwijl er wel voldoende mensen beschikbaar moeten zijn voor al het werk dat gedaan moet worden. Een reclamebureau moet besluiten welke reclamemiddelen ze zullen inzetten om een zo groot mogelijk publiek te bereiken, terwijl het budget niet overschreven mag worden. Zelf moet je besluiten welke voedingsmiddelen je zal kopen, waarbij je niet teveel geld uit wil geven, maar toch gezond en afwisselend wilt eten. Ieder van deze problemen kunnen we schrijven als een lineair programmeringsprobleem met een lineaire doelfunctie en lineaire beperkingen. Programmeren wordt hier gebruikt in de betekenis van plannen. Voorbeeld: Je bent op vakantie en je hebt nog één dag (acht uur) om Praag te bekijken. Je hebt de keus uit museumbezoek en winkelen. Je vindt dat je thuis niet aan kan komen met het verhaal dat je meer dan twee uur lánger in winkels hebt doorgebracht dan in de wereldberoemde musea van Praag. De musea zijn per dag gedurende zes uur open. Winkelen bezorgt je per uur 4 eenheden plezier, museumbezoek levert 3 eenheden per uur. Het totale plezier, P, wil je natuurlijk maximaliseren, waarbij je wel aan alle randvoorwaarden wilt voldoen. Met welke verhouding tussen winkelen en museumbezoek zal je plezier maximaal zijn, gegeven de beperkingen? Beslissingsvariabelen: M = tijd voor museumbezoek (uur) W = tijd om te winkelen (uur) Beperkingen: Beschikbare tijd: M+W <= 8 Verplichting thuis: W <= M +2 Openingstijd musea: M <= 6 M >= 0 W >= 0 De beslissingsvariabelen zijn hier niet negatief dus M en W zijn groter of gelijk aan 0. (je kunt niet min 3 uur winkelen). Een optimale verhouding tussen M en W levert een maximaal plezierige dag. Het plezier noemen we P. Doelfunctie: max P = 4W + 3M Het is gebruikelijk om in de beperkingen alle beslissingsvariabelen links en de constante rechts van het ongelijkheidsteken te schrijven. Hoewel niet strikt noodzakelijk is het ook gebruikelijk om de beperkingen zo te schrijven dat alleen wordt gebruikt, behalve in de beperkingen die stellen dat de beslissingsvariabele niet negatief mogen zijn.

2 De uiteindelijke formulering van het lineair programmeringsprobleem luidt dan: Max P = 4W + 3M Met W+M <= 8 W-M <= 2 M <= 6 W >= 0 M >=0 Je wilt nu graag weten hoe je de dag moet indelen om je plezier te maximaliseren. 2. Formulering van een Lineair programmeringsprobleem Alle beperkingen worden geschreven met een -teken De constante (het getal) staat rechts Alle variabelen staan links Max/min X = c1 x1 + c2 x cn xn met a11 x1 + a12 x a1n xn b1 a21 x1 + a22 x a2n xn b2... am1 x1 + am2 x amn xn bm xj 0 voor 1 j n Als je bijvoorbeeld als beperking hebt 3x 4y + 3, dan wordt dit in de standaardvorm -3x+4y 3. Voorwaarden voor LP: Beslissingsvariabelen (Winkelen W, Museum bezoeken M) zijn elementen uit de verzameling reële getallen (kunnen alle waarden in een bepaald domein aannemen). Doelfunctie en beperkingen worden uitgedrukt als lineaire vergelijkingen en ongelijkheden. 3. Graphische methode Bij een LP-Probleem met slechts twee beslissingsvariabelen kunnen de beperkingen en de doelfunctie grafisch worden voorgesteld in twee dimensies. Elke beperking geeft een lijn, een grensrechte. Op de lijn geldt het gelijkheidsteken. Voorbeeld In het geval van ons voorbeeld zijn de grensrechten: Lijn 1: W + M = 8 Lijn 2: W - M = 2 Lijn 3: M = 6 Lijn 4: W = 0 Lijn 5: M = 0

3 De doorsnede van de gebieden die door de beperkingen zijn toegelaten, is de gesloten verzameling van punten (in grijs) in Figuur 1. Deze verzameling wordt de oplosruimte genoemd, ook wel het oplosgebied of het toegelaten gebied. Elk punt van dit gebied is een mogelijke oplossing, ook aanvaardbare of toegelaten oplossing genoemd: deze oplossingen binnen de beperkingen verwezenlijkt worden. Elke doelfunctielijn vormt binnen het toegelaten gebied een verzameling punten waar de beslissingsvariabelen allemaal eenzelfde winst (hier: plezier) opleveren. De lijn wordt daarom ook wel een isowinstlijn, of iso-opbrengstenlijn genoemd. Als de waarde van de doelfunctie, in een ander probleem, juist zo klein mogelijk zou moeten worden gemaakt (minimalisatieprobleem) wordt gesproken van een isokostenlijn. Voorbeeld Uit de grafische voorstelling van het LP-probleem blijkt dat de uiterste stand van de isowinstlijn bereikt wordt in het punt (5, 3). In dat punt zal het plezier dus maximaal zijn. Dit komt overeen met: W = 5 uur winkelen M = 3 uur museumbezoek met P = 29 eenheden plezier De grafische voorstelling laat ook zien, dat het maximum (of minimum) altijd in een hoekpunt of op een rand van het toegelaten gebied optreedt. 4. Simplex-methode Als de optimalisatie drie beslissingsvariabelen betreft, dan kan het probleem niet makkelijk meer grafisch worden weergegeven. Bij meer dan 3 variabelen is het zelfs niet meer ruimtelijk weer te geven. Het principe blijft echter gelijk: het optimum moet optreden op de rand van het toegelaten gebied dat door de beperkingen in de (in dat geval meer-dimensionale) ruimte wordt gevormd. Om ook in deze gevallen de optimale oplossing te vinden is onder andere de Simplex methode ontwikkeld.

4 1. Je begint in een van de hoekpunten van het toegelaten gebied meestal begin je bij (0,.., 0). 2. Op dat punt wordt de waarde van de doelfunctie bepaald. 3. Vervolgens kijk je naar welk aangrenzend hoekpunt een gunstigere waarde van de doelfunctie heeft (lager in het geval van een minimalisatieprobleem en hoger bij maximalisatie). 4. Vindt je geen beter punt, dan is het eerste hoekpunt de oplossing van de optimalisatie. 5. Vind je wel een beter aangrenzend punt, dan gebruik je dit punt om mee verder te werken. 6. Deze methode herhaal je door elke keer naar een gunstiger buurpunt te zoeken totdat er geen buurpunten meer zijn met een betere waarde. Deze manier van zoeken vindt altijd het optimum om de volgende drie redenen: Het optimale punt is altijd een hoekpunt van de oplosruimte. Als een hoekpunt beter is dan alle hoekpunten waarmee hij verbonden is, dan is dat hoekpunt de optimale oplossing. Dit is een gevolg van het feit dat zowel de doelfunctie als de beperkingen lineair zijn. Er is maar een eindig aantal hoekpunten, dus het afzoeken van de hoekpunten is altijd eindig. Voor grote problemen met veel beslissingsvariabelen kunnen de hoekpunten niet meer grafisch worden bepaald, daarom maakt de Simplex methode gebruik van een algebraïsche methode om de hoekpunten af te zoeken. Bij deze methode worden alle ongelijkheden geschreven als vergelijkingen, dus met een =, en wordt iedere keer een deelverzameling van deze vergelijkingen opgelost om zo een nieuwe hoekpunt te vinden dat beter is dan het vorige. Simplex Tableau methode Het omzetten van de ongelijkheden naar vergelijkingen gebeurt met behulp van zogeheten spelingsvariabelen (in het Engels: slack variables). Aan de hand van ons eerdere voorbeeld zullen we dat illustreren. Voorbeeld: W+ M 8 W + M + S1 = 8 W-M 2 W M + S2 = 2 M 6 M + S3 = 6 De variabelen S1, S2 en S3 zijn nu niet-negatieve spelingsvariabelen. Voor iedere niet-negatieve waarde van S1, S2 of S3 wordt voldaan aan de beperkingen. Een punt waarvoor alle spelingsvariabelen een niet-negatieve waarde hebben, behoort tot de oplosruimte. Een punt waarvoor dat niet geldt is geen toegestane oplossing. Voor het punt W=7, M=3, geldt S1 = -2, S2 = -2 en S3 =3. Dit punt is dus geen toegestane oplossing. Ook de doelfunctie schrijven we om, zodat de constante aan de rechterkant staat. max P = 4W + 3M P-4W-3M = 0 Voor iedere beperking die is geschreven in de standaardvorm, zoals gedefinieerd in 2, kunnen de spelingsvariabelen nooit negatieve waarden aannemen. M.b.v. deze spelingsvariabelen gaan we nu de hoekpunten van de oplosruimte afzoeken. Ieder hoekpunt wordt gevormd door het snijpunt van een deelverzameling beperkingen. In zo n hoekpunt worden de beperkingen uit die deelverzameling dan actief genoemd en de bijbehorende spelingsvariabelen zijn dan gelijk aan 0. Om de hoekpunten op een efficiënte manier af te zoeken, gebruiken we het Simplex tableau, zoals weergegeven in Tabel 1.

5 Op de eerste rij van het Simplex tableau staan de namen van alle variabelen, inclusief het doel. Daaronder komen de coëfficiënten van die variabelen in alle beperkingen. En op de laatste rij komen de coëfficiënten uit de doelfunctie te staan. Stappenplan oplossen Tableau: Simplex Stap 1. Als Ci 0, voor alle i, stop. De huidige oplossing is optimaal. Stap 2. Kies de variabele met de kleinste negatieve waarde voor Ci. Dan wordt de bijbehorende kolom i de pivotkolom. Stap 3. Bereken de ratio tussen Bj/Aij voor alle Aij>0 en selecteer die rij j waarvoor deze ratio het kleinste is. De pivot is dan het element Aij Step 4. Veeg de matrix zodat de pivotkolom een eenheidskolom wordt. Herhaal vanaf stap 1. Let op: Deze stappen gelden alleen voor maximalisatieproblemen, waarin het nulpunt een toegestane oplossing is. Voor minimalisatie problemen geldt over het algemeen dat het nulpunt niet toegestaan is, want dat zou dan altijd meteen het optimum geven waardoor het een triviaal probleem wordt.

6 5. Problemen bij het oplossen van een LP probleem Meerdere optimale oplossingen: Het is mogelijk dat de doelfunctie parallel loopt aan één van de grensrechten. In dat geval hebben we niet één maar ontelbaar optimale oplossingen omdat de beslissingsvariabelen alle waarden kunnen aannemen op die grensrechte. Onoplosbaar probleem: In sommige gevallen zijn de beperkingen zo rigide, dat ze elkaar zelfs kunnen tegenspreken. In dat geval is de oplossingsruimte leeg en kan er dus ook geen optimale oplossing gevonden worden. Onbegrensd probleem: Als laatste is het ook nog mogelijk dat er juist te weinig beperkingen zijn, waardoor de oplossingsruimte niet begrensd is en de doelfunctie dus groter en groter kan worden zonder dat er een optimum wordt bereikt. Het probleem is dan onder-gespecificeerd. In een probleem met slechts 2 beslissingsvariabelen zie je dat natuurlijk meteen als je de oplossingsruimte tekent. Je krijgt dan een ruimte zoals bijvoorbeeld in Figuur 2. Als er echter meer dan 2 beslissingsvariabelen zijn en de oplossingsruimte grafisch niet (makkelijk) weer te geven is, kan je er pas achter komen dat de oplossingsruimte niet begrensd is als je het probleem met de Simplex methode probeert op te lossen. 6. Schaduwprijzen Relaxatie: oprekken van een beperking De schaduwprijs is de waarde die de doelfunctie zou stijgen of dalen wanneer de rechterkant van één van de beperkingen met één eenheid verhoogd of verlaagd wordt.

7 Beperking Rechterlid Plezier Rechterlid -1 Plezier Rechterlid +1 Plezier Schaduwprijs ,5 9 32,5 3, ,5 3 29,5 0, In de tabel zien we dat de schaduwprijs van beperking 3 gelijk is aan 0. Dat komt omdat beperking 3 niet actief is bij de optimale oplossing. De optimale oplossing wordt gevonden in het hoekpunt van grensrechte 1 en grensrechte 2. Als we die twee beperkingen dus met één eenheid veranderen, dan verandert het plezier mee. Eén uur extra tijd op die laatste vakantiedag levert 3,5 eenheden extra plezier op. Het versoepelen van de eis dat er maximaal 2 uur verschil mag zitten tussen het aantal uur winkelen en het aantal uur museumbezoek levert per uur maar 0,5 eenheid extra plezier op. Als je de mogelijkheid hebt weet je nu wel welke beperking je het liefst zou versoepelen. Het heeft niet altijd zin om de beperking met de hoogste schaduwprijs steeds verder op te schuiven in de hoop de doelfunctie steeds verder te verhogen. Het kan namelijk zo zijn dat een andere beperking op een bepaald moment actief wordt voor de optimale oplossing en het opschuiven van de eerste beperking heeft dan geen zin meer. 7. Het maximale stroom algoritme als LP probleem In het hoofdstuk grafentheorie: toepassingen en algoritmen hebben we het maximale stroom probleem besproken. Dit probleem konden we oplossen m.b.v. een residuele graaf. We kunnen het maximale stroom probleem echter ook herschrijven als een LP probleem en het daarna oplossen met de Simplex methode. Figuur 3 toont een simpel stromingsnetwerk. Om uit te vinden wat de maximale stromen zijn die over het netwerk van knoop 1 naar knoop 4 kunnen stromen, kunnen we dit probleem ook schrijven als een LP-probleem. We definiëren daartoe de stroom over een tak [i,j] als si,j. Dit zijn de beslissingsvariabelen in het LP-probleem. Deze stromen mogen de maximale capaciteit van de bijbehorende tak niet overschrijden. Daarmee vinden we de volgende beperkingen, voor iedere tak één: S1,2 5 S1,3 10 S3,2 15 S3,4 5 S2,4 10 Bovendien kan geen van de stromen negatief zijn. Dus er geldt ook: Si,j 0, voor alle [i,j] in het netwerk En wat de knopen 2 en 3 instroomt moet er ook weer uitstromen, dus er moet ook nog gelden: S1,2 + S3,2 = S2,4 S1,3 = S3,2 + S3,4

8 Deze laatste twee beperkingen zijn geen ongelijkheden, maar gelijkheden. Voor de Simplex methode maakt dat echter niet uit. De doelfunctie is het maximaliseren van de totale stroom T die de put instroomt, dus Max T = S3,4 + S2,4 Aangezien er 5 beslissingsvariabelen zijn kunnen we dit probleem niet in een 2D grafiek weergegeven, maar wel met de Simplex methode oplossen, bijvoorbeeld in Maple.

9 Hoofdstuk 4.1 Beslissen onder onzekerheid 1. Onzekerheid in beslissingssituaties Je kunt onzekerheid over externe factoren, causale relaties binnen het systeem, de consequenties van het handelen en preferenties hebben. We richten ons hier vooral op situaties waar de beslissers de gevolgen van hun handelswijzen niet kennen. Zo n beslissingssituatie geven we vaak weer in de vorm van een tabel. In deze tabel staan horizontaal de alternatieve handelswijzen (a) en verticaal de mogelijke scenario s (s) uitgezet. Merk op dat deze weergave een vereenvoudiging is. We gaan er van uit dat de gevolgen van alternatieven over alle criteria geaggregeerd kunnen worden. Daarbij geldt dat als wij > wik, alternatief aj in scenario si geprefereerd wordt boven alternatief ak. Op deze manier wordt dus binnen elk scenario een (sterke of zwakke) preferentierelatie op de alternatieven gedefinieerd. Wanneer de beslisser in alle scenario s si (i = 1,..., n) vindt dat alternatief aj ak, (dus wij wik), en in tenminste één scenario dat aij aik (dus wij > wik), dan noemen we alternatief aj stochastisch dominant over alternatief ak, en zeggen we dat alternatief ak stochastisch gedomineerd wordt door alternatief aj. De verzameling alternatieven die niet stochastisch gedomineerd worden noemen we de stochastisch efficiënte alternatieven. 2. Beslissen onder volledige onzekerheid Volledige onzekerheid: de beslisser heeft geen enkele informatie over de waarschijnlijkheid van de scenario s. Voorbeeld:

10 Het maximincriterium van Wald (1950) Het maximincriterium van Wald gaat uit van een risico-averse beslisser die verwacht dat er van alles mis zal gaan, en je daarom voor een bepaald alternatief moet kiezen op grond van het worst case scenario. Je kijkt bij elk alternatief in welk scenario de beslisser dit alternatief het laagst waardeert. Het maximincriterium van Wald stelt dan dat het alternatief met de hoogste laagste waardering de voorkeur heeft. Vandaar de term maximin : je maximaliseert de minimale waardering. In ons voorbeeld zou een risico-averse beslisser dus voor alternatief a2 moeten kiezen. Het minste-spijtcriterium van Savage (1950) Volgens Savage zijn beslissers bang om achteraf spijt te hebben van hun keuze. Het besliscriterium is daarom volgens hem minste maximale spijt. Hoeveel spijt de beslisser achteraf heeft moet je per scenario s berekenen. 1. Eerst bepaal je welk alternatief in scenario s i de hoogste waardering w scoort. 2. Vervolgens bereken je per alternatief a j de spijt r ij als het verschil van w MAX w IJ (hoogste waardering andere waardering) Op die manier heeft in scenario si de beslisser nul spijt van het in dat scenario meest gewaardeerde alternatief, en meer spijt naarmate een alternatief in dat scenario minder goed scoort. Volgens het minste-spijt criterium zou de beslisser voor a 4 moeten kiezen, omdat voor dat alternatief de maximale spijt het laagst is.

11 Het gemengde optimisme-pessimismecriterium van Hurwicz (1951) Bij dit besliscriterium wordt de mate waarin de beslisser risico-avers of juist risico-minnend is weergeven m.b.v. een parameter α [0, 1]. Als α=0 dan will de beslisser geen enkel risico nemen en voor α=1 gaat de beslisser geen enkel risico uit de weg. De waarde van het Hurwicz-criterium wordt berekent met: α wmax + (1-α) wmin Per alternatief wordt dus gekeken naar de hoogst mogelijke waardering (Wmax) en de laagst mogelijke waardering (Wmin). Het alternatief met de hoogste som verdient dan de voorkeur. Merk op dat als α = 0 het optimisme-pessimismecriterium van Hurwicz precies overeenkomt met het maximincriterium van Wald. De tegenhanger daarvan, dus α = 1, wordt daarom ook wel het maximax-criterium genoemd (of Hurwicz optimismecriterium). In dat geval kun je de gewogen somberekening achterwege laten, omdat het voorkeuralternatief direct uit de waarderingsmatrix blijkt, namelijk de kolom waarin de hoogste waarde in de matrix staat. In ons voorbeeld is dat alternatief a3.

12 Het onverschilligheidscriterium van Laplace Bij dit besliscriterium wordt verondersteld dat alle mogelijke scenario s even waarschijnlijk zijn. Omdat elk scenario even waarschijnlijk wordt geacht wordt het criterium van Laplace ook wel het onverschilligheidscriterium of het principe van onvoldoende reden (Engels: principle of indifference) genoemd1. Het belangrijkste argument om dit criterium te gebruiken is dat het gebruik maakt van alle informatie m.b.t. de waarderingen. In Tabel 6 staan weer de waarderingen uit ons voorbeeld, met onderaan een rij toegevoegd waarin het criterium van Laplace wordt berekend volgens de formule: Omdat in dit voorbeeld de gewogen som van de waarderingen voor a1 en a3 beide gelijk zijn aan 9,0 geldt volgens het onverschilligheidscriterium van Laplace dat (a1 a3) a2 a4. Berekening: = 45 45/5 (aantal scenarios) = 9

13 3. Beslissen onder risico Bij beslissen onder risico weten we wat de kans (p) is dat een toekomstscenario (s) zich voordoet. Verder zijn ook voor elk scenario (s) de waarderingen (w) van de beslisser bekend. De rangorde kan worden berekend met de gewogen som e(a j )= Σ p i *w ij. Dus de som van de kans keer de waardering per alternatief.

14 4. Sequentiele beslissingen onder risico Wanneer een beslisser achtereenvolgens meer dan één beslissing moet nemen, spreken we van sequentiële beslissingen. Bij analyse van sequentiële beslissingen onder risico wordt vaak een gebeurtenis-beslisboom (Engels: decision event tree) geconstrueerd. Een GBB bevat drie soorten knopen: Beslisknopen doorgaans weergegeven als vierkanten. Takken die vanuit een beslisknoop vertrekken geven alternatieve handelwijzen weer waaruit de beslisser kan kiezen. Kansknopen doorgaans weergegeven als cirkels. Takken die vanuit een kansknoop vertrekken geven alternatieve gebeurtenissen weer. Bij elk van deze takken moet een kans (dus een getal tussen 0 en 1) worden gegeven zodanig dat de som van deze kansen gelijk is aan 1. Eindknopen doorgaans weergegeven als driehoeken. Bij elke eindknoop moet een getalswaarde worden gegeven voor het besliscriterium. Een gebeurtenis-beslisboom heeft een impliciete tijdsdimensie: de takken geven volgtijdelijkheid aan. De wortel van de boom moet een beslisknoop zijn die de nu te maken keuze weergeeft. Elk pad vanaf de wortel tot aan een eindknoop beschrijft een mogelijke toekomst. De criteriumwaarde bij de eindknoop geeft dan aan hoe de beslisser de eindsituatie waardeert. Om te bepalen welke keuze(s) rationeel zijn bereken je van rechts naar links werkend voor elke tak de verwachte criteriumwaarde: Een tak die eindigt in een eindknoop heeft als verwachte waarde de waarde van de eindknoop zelf. Een tak die eindigt in een kansknoop heeft als verwachte waarde de gewogen som van de waarde van de takken die uit die kansknoop vertrekken, dus Σ(kans uitkomst). Een tak die eindigt in een beslisknoop heeft als verwachte waarde de waarde van de uit die knoop uitgaande tak met de gunstigste waarde, dus de hoogste waarde als het besliscriterium bijvoorbeeld opbrengsten is, en de laagste waarde als het besliscriterium bijvoorbeeld kosten is of het aantal slachtoffers. Beslissingen (vierkant) Door de beslisser te maken keuzes Voor elke beslissing 2 of meer discrete alternatieven Gebeurtenissen (cirkel) Door de beslisser niet te beinvloeden (mogelijk wel door andere actoren) Voor elke gebeurtenis 2 of meer verschillende uitkomsten kansverdeling

15 Gebeurtenis-Beslisboom Een gebeurtenis-beslisboom construeer je volgens onderstaand stappenplan: 1. Bepaal de nu te nemen beslissing. a. Wie is de beslisser en wat is de keuze die de beslisser op dit moment moet nemen 2. Kies het besliscriterium. a. Op basis waarvan beslist de beslisser? Bijvoorbeeld het aantal slachtoffers 3. Benoem de mogelijke alternatieve handelwijzen (keuze-opties). a. Waaruit kan de beslisser kiezen? 4. Bedenk welke externe factoren van belang zijn. Dit wil zeggen dat ze van invloed moeten zijn op het besliscriterium, en bovendien dat hun impact per keuze-optie moet verschillen (zo niet, dan zou deze factor immers niet uitmaken voor de keuze van de beslisser). a. Factoren moeten van invloed zijn op het besliscriterium b. 5. Vertaal deze externe factoren naar gebeurtenissen. 6. Ga per gebeurtenis na of de beslisser daarna nog kan handelen (indien ja, herhaal vanaf stap 3). 7. Teken de boomstructuur: begin met de nu te nemen beslissing (de wortel van de boom) en teken voor elke beslissing een vierkant met opties als uitgaande takken, en voor elke gebeurtenis een cirkel met uitkomsten als uitgaande takken. a. Je begint altijd met een beslisknoop 8. Bepaal voor elk blad de waarde van het criterium, gegeven de betreffende opeenvolging van keuzes en uitkomsten langs het pad van wortel naar blad. 9. Schat voor elke gebeurtenis de kansverdeling voor de uitkomsten. 10. Reken de boom door van rechts naar links werkend voor elke tak (= horizontale lijn) de verwachte waarde uit te rekenen: voor een tak die in een blad eindigt is dat simpelweg de waarde van het criterium, voor een tak links van een kansknoop is dat de gewogen som (kans waarde) van de verwachte waarde van elk van de takken die rechts uit die gebeurtenisknoop spruiten, en voor een tak links van een beslisknoop is dat de meest gunstige verwachte waarde van uit die beslisknoop spruitende takken. Voorbeeld: zie dictaat

16 Een GBB interpreteren In het echt word een GBB zelden of nooit gebruikt om rechttoe-rechtaan via een berekening hét beste alternatief te bepalen. Veel belangrijker is de mogelijkheid om een gevoeligheidsanalyse uit te voeren. In dit geval zul je dat vooral doen door het model door te rekenen voor verschillende kansen. De vraag is eigenlijk bij welke kansverdeling moet je een andere keuze maken? De vraag is nu of de vookeursoptie verandert wanneer je de GBB doorrekent met deze andere kansen. Is dat het geval, dan noemen we het beslismodel gevoelig. De gegeven kansen leiden tot de volgende uitkomsten:

17 Zoals viel te verwachten zijn de verwachte aantallen slachtoffers vanwege het verschil in hoeveelheid vuurwerk in de linker boom veel lager in de rechter. Niettemin blijft in alle gevallen evacueren de beste keuze. Het model is dus niet gevoelig. In dit geval kun je dat al zien aan de uitkomsten: de optie evacueren geeft over de hele linie lagere uitkomsten. Zet de 2 opties gelijk aan elkaar om daarmee de kansen te berekenen die er voor zorgen dat het niet meer uit maakt welke beslissing je neemt. Sequentiële beslissingen en adaptieve strategieën De voorbeelden tot nu toe bevatten alle slechts één beslisknoop. Een GBB kan echter ook méér dan één beslisknopen bevatten. Zo zou je in het vuurwerkvoorbeeld ook rekening kunnen houden met de mogelijkheid dat op een lichte explosie een tweede, zware explosie volgt.

18 Andere Besliscriteria Voor het maken van keuzes onder onzekerheid bestaan diverse strategien, waarvan elke uit een andere opvatting van de beslisser voort komt. Beslissers kunnen winst erg belangrijk vinden, waarbij ze dus risico-minnend zijn (risk loving). Een andere beslisser kan juist het risico op verlies willen minimaliseren. Hier spreek je over een risico-averse (risk avoiding) beslisser. De standaard strategie voor het doorrekenen van een GBB gaat uit van het normatieve nutsmodel van de rationele beslisser, en is dus gericht op maximalisatie van het verwachte nut. Gegeven een keuze uit verschillende opties wordt díe optie gekozen waarvan de verwachte uitkomst (kans uitkomstwaarde gesommeerd over alle opties) het gunstigst is. Deze strategie houdt geen rekening met risico-aversie. Een risicomijdende strategie is Wald s maximin-strategie. Bij deze strategie kiest de beslisser voor het alternatief dat de hoogst mogelijke gegarandeerde opbrengst oplevert (maximin: het maximale minimum). Ongeacht de kansverdeling kijkt hij bij een beslisknoop naar het minst aantrekkelijke pad vanuit die knoop tot aan de bladeren, en kiest dan voor díe tak die uiteindelijk de meest gunstige waarde oplevert. Volgens de maximin-strategie zou je in het zojuist gegeven investeringsvoorbeeldje voor de investering van 500 kiezen (het maximale verlies is dan het kleinst). Zijn hoge criteriumwaarden juist ongunstig, dan moet je de maximin-strategie uiteraard gespiegeld uitvoeren, d.w.z. als minimax. Iets minder risicomijdend het is de minste spijt-strategie van Savage. Net als bij het minste-spijtcriterium bij beslissen onder volledige onzekerheid kun je deze strategie ook bij een GBB toepassen. Je kijkt bij deze strategie dan als het ware langs elk pad in de boom terug om te zien of de beslisser dan spijt zou hebben van de gemaakte keuzes. Spijt wordt daarbij gedefinieerd als het verschil tussen

19 de uitkomst van de optie die de beslisser zou hebben gekozen als hij van tevoren zou hebben geweten wat er ging gebeuren, en de uitkomst van de werkelijk gekozen optie. Figuur 9 laat zien hoe je de boom van Figuur 5 volgens deze strategie doorrekent: In plaats van de uitkomst U van een blad neem je de spijtwaarde, gedefinieerd als het absolute verschil G U waarin G de gunstigste uitkomst is onder dezelfde loop van gebeurtenissen. Als je bijvoorbeeld hebt gekozen voor blussen en er treedt geen explosie op, dan heb je 0 spijt, want in geval van geen explosie leidt ook de meest gunstige keuze-optie tot 0 slachtoffers. Dit gaat ook op voor evacueren en niets doen, vandaar de spijtwaarde (0) onder elke tak gelabeld met geen. In geval van een lichte explosie heb je wél spijt als je voor blussen hebt gekozen, want bij evacueren had je dan 0 slachtoffers gehad. het verschil in uitkomst is dan 14 (blussen + lichte explosie geeft 14 slachtoffers, evacueren + lichte explosie 0). Ook van niets doen heb je dan spijt, maar minder (6). De spijtwaarde van de gunstigste optie (in dit geval evacueren) is per definitie 0. In geval van een zware explosie sterven er bij de gunstigste keuze-optie (evacueren) 19 mensen. De spijtwaarde voor blussen is daarom = 19, en die voor niets doen = 11. Net als bij de maximinstrategie houd je nu geen rekening met kansen: je kiest zodanig dat je maximale spijtwaarde zo klein mogelijk is. Zo zie je dat in Figuur 9 de keuze-optie blussen een hoogste spijtwaarde heeft van 19, en de keuze-optie niets doen 11. Niet verrassend blijkt ook bij deze rekenmethode de keuze-optie evacueren het meest gunstig. Hoofdstuk 4.2 Speltheorie Speltheorie gaat over spellen van actoren tegen elkaar. Beslissers moeten dus rekening houden met beslissingen van andere beslissers. Men noemt dit multi-actorspelsituaties. Gebeurtenis Beslisboom in de Speltheorie

20 Een GBB is een game agianst nature, aangezien de kans knopen stochastisch zijn (ze worden door het lot bepaald). Uitkomst: payoff voor de beslisser Handelen van andere actoren = gebeurtenissen o Beslisknoop: zet door de beslisser o Kansknoop: zet door andere actor Zetten van andere actoren worden ook beslisknopen met actor naam erboven Voor bijde actoren wordt de payoff berekend 1. Zero-sum games Er bestaat geen win-win situatie o De winst van de een is het verlies van de ander De Payoff tabellen zijn identiek, behalve dat het voorteken omgekeerd is

21 Gedomineerde strategie R3 wordt gedomineerd omdat het slechter scoort dan R1, R2 en R4. K3 wordt ook gedomineerd door K1 en K2. Zuivere strategie R4 levert in alle gevallen (wat speler K ook doet) de meeste. inst op. Dit heet een dominante-zuivere strategie. Speler K zal hier K2 spelen, aangezien hij zo het minste verlies (-1) en speler R de laagste winst (1) heeft. Gemengde strategieen Gemengd: spelers houden rekening met de waarschijnlijkheid van de keuze voor een bepaalde strategie door de opponent. Bij dominante strategien hoef je dit niet te doen omdat je dan zeker weet welke keuze je opponent gaat maken. Zuivere stratiegien: de kans dat je een strategie kiest is ofwel 0 ofwel 1 o De dominante strategie heeft kans 1, de gedomineerde strategie kans 0 Bij gemengde strategien liggen deze kansen tussen 0 en 1 in.

22 Eventwicht: als voor beide spelers het verwachte nut (kans * effect) van hun strategien even groot is Het verwachte nut is dus voor beide spelers even groot: E(R1) = e(r2) = e(k1) = e(k2) = 3,74 Eventwicht bij p=12/19 en q=17/19 Wat betekent dit nu? Net als bij een gevoeligheidsanalyse zoek je een tipping point, waarmee je dus kunt inschatten welke strategie je het beste kunt spelen.

23 Je kunt naar de beslisboom in evenwicht kijken. Stel je bent speler R. Schat je de kans dat speler K strategie K2 uitvoert hoger dan 2/19, dan wordt de strategie R1 gunstiger omdat de kans op de Payoff (voor speler R) van 10 groter is. Schat je de kans dat speler K strategie K1 speelt hoger dan 17/19, dan kun je als speler R zijnde beter R2 spelen en daarmee je kansen op een payoff van 5 vergroten. Je bepaald dus eerst het tipping point, om daarna in te schatten hoe je opponent zal kiezen, om daarmee de voor jou gunstigste keuze te maken. Je kunt dit ook andersom doen voor speler K. 1. Non-zero sum games Bij non-zero sum games zijn de payoffs assymetrisch. Prisoners dilemma twee personen gearresteerd voor een klein vergrijp

24 o 1 jaar gevangenisstraf Beiden verdacht van een grote misdaad o 10 jaar gevangenisstraf Als X bekent (en Y dus verlinkt) terwijl Y zwijgt, wordt X beloond met vrijspraak (0 jaar), en krijgt Y de volle straf (10 jaar) Als beiden bekennen krijgen ze strafvermindering (5 jaar) De dominante strategieën zorgen hier niet voor de beste oplossing. Battle of the sexes R wil naar voetbalwedstrijd, K naar het theater Beiden zijn ongelukkig als ze niet samen uit gaan o Payoff -1 Beiden zijn het meest gelukkig als de ander mee gaat naar hun geprefereerde uitje Je kunt hier weer de gemengde strategie toepassen.

25

26 Hoofdstuk 5.2 Wachtrijtheorie 1. Wachtrijsystemen De figuur hierboven is een grafische weergave van een eenvoudig wachtrijsysteem. In dit wachtrijsysteem komen klanten van tijd tot tijd aan en gaan in de rij (wachtrij) staan. Als een klant aan de beurt is, wordt deze bediend. Na bediening verlaat deze klant het wachtrijsysteem. Dit concept van wachtrijsystemen is toepasbaar op call centers, vele service-faciliteiten, productiesystemen, reparatie- en onderhoudssystemen, communicatie- en computersystemen, transportsystemen en materiaalverwerkende systemen. Wachtrijsystemen bestaan uit klanten en servers. Klant: ieder soort object wat om service (bediening) vraagt binnen het systeem. o Mensen, machines, vrachtwagens, patiënten, pallets, vliegtuigen, opdrachten etc. o Alles wat bij een faciliteit komt voor bediening. Server: elk soort object dat een service kan bieden binnen het wachtrijsysteem o Telefonist, monteur, medisch personeel, automatische opslag- en ophaalmachines (hijskraan), startbanen van een vliegveld, inpakmachines etc. o Alles en iedereen die de gevraagde bediening kan uitvoeren.

27 Toestand van het wachtrijsysteem: Toestand van de wachtrij o Leeg geen klanten meer in de wachtrij o Niet-leeg Toestand van de servers o Vrij o Bezet blijft bezet zolang er nog klanten in het wachtrijsysteem bediend (moeten) worden De wachtrij kan dus leeg zijn terwijl de server bezet is Het is onmogelijk dat de wachtrij niet-leeg is en de server vrij De toestand van een wachtrijsysteem verandert als er een gebeurtenis (event) optreedt o Een gebeurtenis zorgt voor een instantane (discrete) verandering in de toestand van het systeem o Aankomstgebeurtenis: een nieuwe klant komt aan o Vertrekgebeurtenis: een klant verlaat het systeem

28 De klant vindt de server bezet of vrij en zal afhankelijk daarvan in bediening worden genomen of in de wachtrij terecht komen. Merk eveneens op dat het onmogelijk is dat een server onbezet raakt na een bediening terwijl de wachtrij nog niet leeg is. Het ontstaan van de wachtrij Q en de omvang daarvan is afhankelijk van de volgende vijf factoren: 1. de tussenaankomsttijden (tijd tussen twee klanten die bellen); 2. de bedieningstijd (tijd die een telefonist nodig heeft om een persoon te woord te staan); 3. het aantal parallelle servers (aantal telefonisten); 4. de capaciteit van het systeem (hoeveel mensen kunnen er in de wachtrij staan); 5. de omvang van de doelgroep (hoeveel mensen kunnen er bellen). 1.2 Aankomstproces Bij wachtrijmodellen met een oneindige doelgroep kan het aankomstproces van klanten beschreven worden in termen van intervaltijden tussen aankomsten (tussenaankomsttijden) van opeenvolgende klanten. Deterministische tussenaankomstijd: de aankomsten kunnen worden beschreven volgens een bepaald (deterministisch) schema. De klanten komen het systeem op bepaalde vaste tijden binnen. Stochastische tussenaankomsttijd: de tussenaankomsttijden kunnen met behulp van kansrekening beschreven worden. Je weet dus niet precies wanneer de klant aankomt. Klanten kunnen ook groepsgewijs arriveren. De groepsgrootte kan deterministisch of stochastisch zijn. Poisson verdeling Is een discrete verdeling die vaak wordt gebruikt om het aantal willekeurige gebeurtenissen gedurende een tijdsinterval te modelleren (λ aankomsten per uur). Het aankomstproces volgens Poisson verdeling wordt toegepast om aankomsten van mensen bij OV-Reisinformatie te beschrijven. Verder ook aankomsten bij restaurants, drive-in, een bank of een service bij een reparatiebedrijf. Als het aantal aankomsten per tijdseenheid Poisson verdeeld zijn, dan is de tijd tussen twee aankomsten per definitie exponentieel verdeeld.

29 1.3 Het bedieningsproces en het servicemechanisme Na aankomst van een klant in een wachtrijsysteem wordt indien alle servers bezet zijn een klant in een wachtrij geplaatst. De wachtrijvolgorde of prioriteitsvolgorde bepaalt welke klant als eerstvolgende in aanmerking komt voor bediening als er een server vrij komt. Gebruikelijke wachtrijvolgordes zijn onder andere: First in, first out (FIFO) als eerste in, als eerste eruit Last in, first out (LIFO) als laatste in, als eerste eruit Service in random order (SIRO) bediening in willekeurige volgorde Shortest processing time first (SPT) kortste verwerkingstijd eerst Service according to priority (PR) hoogste prioriteit eerst De bedieningstijden bij een server kunnen deterministisch of stochastisch van aard zijn. Voor het modelleren van stochastische bedieningstijden kan bijvoorbeeld gebruik gemaakt worden van kansverdelingen zoals de normaalverdeling, de exponentiële verdeling, de Weibull- en gammaverdeling. 1.4 Het aantal parallelle servers Elk wachtrijsysteem bestaat uit een of meerdere servers en een wachtrij. Indien er meerdere servers zijn dan werken de servers parallel. Single server: bedieningsstation met een enkele server callcenter met een telefonist Multiple server: meerdere servers callcenter met 10 telefonisten Unlimited servers: oneindig veel servers zelfservice afdeling van een supermarkt (de producten zijn de klanten) Een systeem met servers die in serie zijn geschakeld kan gezien worden als een aantal gekoppelde wachtrijsystemen met parallele servers. Voorbeeld:

30 1.5 Capaciteit van het systeem Capaciteit van het systeem: maximum aantal klanten dat in het wachtrijsysteem toegelaten kan worden. de som van de maximale lengte van de wachtrij en het aantal bedieningsplaatsen. Een aankomende klant die een volle wachtrij aantreft kan dan niet aansluiten en gaat gelijk weer terug naar de doelgroep. Effectieve aankomsten: het aantal klanten dat aankomt en het systeem daadwerkelijk ingaat De omvang van de doelgroep Doelgroep: groep potentiele klanten kan eindig of oneindig verondersteld worden. o Potentiele klanten van de OV-Reisinformatie, restaurant, bank of andere vergelijkbare service-instanties Vuistregel: Als op elk willekeurig moment het aantal bediende klanten en het aantal klanten in de wachtrij een verwaarloosbaar klein deel is van de gehele groep potentiële klanten is, dan mag bij benadering worden uitgegaan van een oneindig grote doelgroep. Oneindige doelgroep: de hoeveelheid aankomsten wordt niet beïnvloed door het aantal klanten dat de doelgroep verlaten heeft en zich in het wachtrijsysteem bevindt Eindige doelgroep: de hoeveelheid aankomsten in de wachtrij hangt wel degelijk af van het aantal wachtende klanten en het aantal klanten in de bediening. o Computerreparatie probleem: De computers zijn de klanten en de tijd in de doelgroep wordt ook wel uitvaltijd genoemd (d.w.z. de tijd vanaf gerepareerd zijn tot volgende uitval). o Uitvaltijden voor dit soort machines worden weergegeven door de exponentiële, de Weibull- of de gammaverdeling Uitgewerkt voorbeeld callcenter Zie voor de hele uitwerking het dictaat. De kans dat een klant moet wachten o Kans (wachten) = totaal aantal klanten dat moet wachten / totaal aantal klanten De gemiddelde wachttijd voor een klant o Gemiddelde wachttijd = totale wachttijd van alle klanten/ totaal aantal klanten Onbenutte tijd van de server o Kans op onbenutte server = totale onbenutte tijd van de server/ totale looptijd simulatie Gemiddelde servicetijd o Gemiddelde servicetijd = totale servicetijd / totaal aantal klanten Gemiddelde tussenaankomsttijd o Som van alle tussenaankomsttijden / aantal aankomste -1 Benutte tijd van de server o Kans op benutte server = totale benutte tijd van de server/ totale looptijd simulatie

31 2.1. Markov ketens Kendall notatie Kendall heeft vanwege de diversiteit van wachtrijsystemen een notatiesysteem voor parallelle server systemen voorgesteld dat algemeen erkend en overgenomen is. A/B/c/N/K A: De aankomsttussentijdenverdeling; o Letters die staan voor een bepaalde verdeling M = exponentieel D = constant of deterministisch E k = Erlang verdeling van orde k G = random of algemeen B: De bedieningstijdverdeling; c: Het aantal parallelle servers; o Numerieke waarde N: De Capaciteit van het systeem; o Numerieke waarde K: De grootte van de doelgroep; o Numerieke waarde Voorbeeld: M/M/1/ / duidt een single-server systeem aan met onbegrensde capaciteit en een oneindige doelgroep. De aankomsttussentijden en de bedieningstijden zijn exponentieel verdeeld. Als N en K oneindig zijn, mogen ze uit de notatie weggelaten worden. De notatie M/M/1/ / wordt dus vaak afgekort tot M/M/ Overgangs- versus stationair gedrag In de loop van de tijd zal zich (ervan uitgaande dat het systeem stabiel is) een evenwicht instellen. Als de winkel open gaat is er sprake van overgangs (transient) gedrag. Het stationaire (steady state) gedrag treedt op bij t= Stationair gedrag van Markov keten Markov keten: een reeks van stochastische gebeurtenissen waarbij de huidige toestand van het systeem onafhankelijk is van alle voorgaande toestanden van het systeem, uitgezonderd de huidige toestand. Wachtrijsystemen waarvoor geldt dat de tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld zijn met een gemiddelde van λ aankomsten per tijdseenheid (de tussenaankomsttijden zijn exponentieel verdeeld met parameter λ) kunnen ook beschreven worden als een Markov keten. Door de wachtrijsystemen als een Markov keten te beschrijven kunnen we formules afleiden waarmee we de prestaties van de wachtrijsystemen kunnen berekenen. Dit geldt echter alleen als de bedieningstijden exponentieel (M), Erlang van orde k (Ek), constant (D) of random (G) zijn en de prioriteitsvolgorde van dergelijke modellen is First In First Out (FIFO). Deze systemen kunnen met de

32 Kendall notatie beschreven worden maar dat geldt ook voor andere wachtrijsystemen. Die andere wachtrijsystemen laten we hier echter buiten beschouwing. Voor het meten van de prestatie van het systeem wordt een aantal prestatie-indicatoren gebruikt Bezettingsgraad De bezettingsgraad van een server is de tijd dat een server gedurende een bepaalde tijdseenheid bezet is. De bezettingsgraad is afhankelijk van: Gemiddelde aantal klanten dat per tijdseenheid arriveert (λ) Gemiddeld aantal klanten dat per tijdseenheid bediend kan worden (µ) Aantal servers (c) Bezettingsgraad: ρ = λ / (µ*c) Een wachtrijsysteem komt alleen in evenwicht als de bezettingsgraad kleiner is dan 1. Is de bezettingsgraad groter dan 1 dan komen er per uur meer klanten aan dan de servers kunnen verwerken. Het aantal klanten dat in het systeem aanwezig is, blijft dan groeien. Als de bezettingsgraad 1 is, dan betekent dit dat er evenveel klanten aankomen als de server kan verwerken. Ook in dit geval gaat het aantal klanten in het systeem voor t naar oneindig. Stel dat een server 10 minuten doet over het helpen van een klant en er elke 10 minuten een klant aankomt. Als er de eerste 5 minuten geen klanten zijn heeft de server dus niets te doen. Maar deze eerste vijf minuten kan de server nooit meer inhalen omdat het aantal klanten dat per tijdseenheid aankomt gelijk is aan het aantal klanten dat per tijdseenheid bediend kan worden door één server. Elke keer dat de server niets te doen heeft wordt de gemiddelde wachttijd dus langer.

33 2.5. Evenwichtstoestand Het evenwicht treedt in de wachtrijsystemen met oneindige capaciteit en doelgroep alleen op als de bezettingsgraad kleiner is dan 1 (zie hierboven). Het systeem is in evenwicht, of stationair, als de waarschijnlijkheid dat het systeem zich in een gegeven toestand (n klanten in het systeem) bevindt, niet tijdsafhankelijk is; dus: P(L(t)=n)=Pn(t)=Pn 2.6. De Behoudsvergelijking L=λ*w (Little s equation) De relatie tussen het aantal klanten in het systeem, de gemiddelde wachttijd en het gemiddelde aantal klanten dat per tijdseenheid aankomt, kan beschreven worden met de behoudsvergelijking. Zie voor uitwerking het dictaat. Met behulp van deze vergelijking kunnen de prestatie-indicatoren gemiddelde tijd in het systeem (w), gemiddelde tijd in de wachtrij (wq) en het gemiddelde aantal klanten in de wachtrij (LQ) berekend worden: Gemiddelde tijd in het systeem (w) o W= L / λ Gemiddelde tijd in de wachtrij (w Q ) o W Q = w - (1/µ) Gemiddeld aantal klanten in de wachtrij (L Q ) o L Q = λ* W Q

34 3. Voorbeelden van Markov modellen In deze paragraaf wordt een aantal voorbeelden van Markov systemen behandeld. Voor het M/M/1 systeem wordt de waarde van L, het gemiddeld aantal klanten in het systeem, afgeleid. Vervolgens zullen met behulp van L de overige prestatie-indicatoren worden afgeleid. Voor de overige modellen kunnen de verschillende prestatie-indicatoren op eenzelfde manier worden afgeleid M/M/1 systeem Zie voor volledige uitwerking het dictaat M/G/1 systemen: één server

35 3.3. M/E k /1 systeem 3.4. M/D/1 systeem

36 3.5. Belangrijk om te weten Exponentiele verdeling: standaarddeviatie en gemiddelde zijn gelijk Erlang verdeling: standaarddeviatie = gemiddelde/k 1/2 o o Een Ek-model wordt dus gebruikt als de bedieningstijden scheef verondersteld worden met een gemiddelde dat groter is dan de standaarddeviatie (alleen voor kleine k). De erlang verdeling gebruik je als er meerdere handelingen plaatsvinden. Het aantal handelingen is de orde k Het effect van de variatie in de bezettingsgraad en de bediening Te lange wachtrijen in M/../1 systemen kunnen worden gereduceerd door: 1. Het verminderen van de bezettingsgraad van de server door: a. λ te verlagen; b.µ te verhogen. Of 2. De variantie σ 2 in de bedieningstijd te verminderen M/M/1/N systeem: één server, beperkte systeem capaciteit Sommige M/M/1 systemen hebben een beperkte capaciteit N. Dat betekent dat terwijl een klant bediend wordt er N-1 klanten in de rij kunnen wachten. Als een aankomst plaatsvindt als het systeem vol is, dan wordt deze afgewezen. Er is dus een verschil tussen de aankomstintensiteit en het aantal klanten dat daadwerkelijk het systeem binnen gaat. Het aantal klanten dat per uur daadwerkelijk het systeem binnengaat wordt ook wel de effectieve aankomstintensiteit genoemd en wordt aangeduid met λ e. Het spreekt voor zich dat voor alle systemen geldt dat λ e <= λ. Voor systemen met een onbeperkte capaciteit geldt λ e = λ en voor systemen met beperkte capaciteit λ e < λ. a = λ/µ Behoudsvergelijking: o L= λ e *w

37 4.3. M/M/c systeem: multi server systeem 5.4. M/M/1/K/K systeem: Eindige doelgroep systeem Als de doelgroep klein is, dan heeft de aanwezigheid van één of meer klanten in het systeem invloed op de kansverdeling van de toekomstige aankomsten. Als we een model gebruiken dat werkt met een oneindige doelgroep, dan kunnen de resultaten misleidend zijn. Een voorbeeld van een situatie met een eindige doelgroep is een kleine groep van machines die kapot kunnen gaan. Als 5 van de 10 machines kapot is, en het kost tijd om ze te repareren omdat er maar een beperkt aantal monteurs aanwezig is, dan zijn er nog maar 5 machines die kapot kunnen gaan, met een kleinere kans dan de oorspronkelijke kans als er nog 10 machines zijn. Dit type problemen wordt vaak het machine-reparatie-probleem genoemd. De monteurs zijn de servers en de machines zijn de elementen die service behoeven. Let op: De aankomstintensiteit λ is nou anders gedefinieerd dan voor de andere wachtrijsystemen. λ is nu het aantal keren dat één klant om service vraagt in een zeker tijdsinterval. Dus als iedere machine iedere 2 uur onderhoud behoeft, dan λ = ½ per uur. De effectieve aankomstintensiteit hangt nu af van het gemiddeld aantal klanten (L) dat zich in het systeem bevindt. Λ e.

38