Tentamen Inleiding Speltheorie

Transcriptie

1 entamen Inleiding Speltheorie Dit tentamen telt 5 opgaven die in 3 uur moeten worden opgelost. Het maximaal te behalen punten is 0, uitgesplitst naar de verschillende opgaven. Voor het tentamencijfer 0 zijn 00 punten benodigd, en voor een 6 minimaal 55. De punten die per opgave te behalen zijn wordt hieronder aangegeven. Per opgave wordt het maximale aantal punten alleen toegekend indien een vraag juist is beantwoord en voorzien is van een gedegen motivatie. en worden na afloop van het tentamen op lackboard gepubliceerd, en uitslagen volgen in de loop van de volgende week. Veel succes! Opgave (5) (a) Geef de definitie van Nash evenwicht voor een spel met spelers. (b) Geef een voorbeeld van een bi-matrix spel met precies drie Nash evenwichten in de gemengde uitbreiding. (c) Geef een voorbeeld van een behavioristische strategie die niet equivalent is met een gemengde strategie. (a) Zie dictaat/boek. (b) attle of the Sexes is een voorbeeld. wee Nash evenwichten in zuivere strategieën en een enkel evenwicht in gemengde strategieën. (c) In het dictaat staat het voorbeeld van een spel met ën enkele speler, speler, die twee keer achter elkaar een zet doet. In de eerste informatieverzameling kiest speler tussen L en R en in de tweede informatieverzameling weet speler niet meer wat de eerste zet is geweest, en kiest vervolgens tussen l en r. Speler heeft dus strategieën Ll, Lr, Rl, Rr. De gemengde strategie waarbij Ll en Rr beide met een kans gespeeld worden is niet uitkomst-equivalent met een behavioristische strategie. Opgave (5) Gegeven is het persoons spel G : L M R,,, 0 M,, 0,,,, De gemengde uitbreiding van G noteren we met Γ (G). (a) epaal IEW DS (G) en IEDS (G).

2 (b) epaal NE (G). (c) Laat zien dat N E (Γ (G)) geen evenwichten in volledig gemengde strategieën bevat. (d) Zijn er evenwichten in NE (Γ (G)) die niet zuiver zijn? (a) Er zijn geen gedomineerde strategieën dus bevat IEDS(G) alle 9 strategieën combinaties. Verder wordt voor (rij) speler strategie M zwak gedomineerd door, voor (kolom) speler wordt zowel M als R zwak door L gedomineerd. Na ronde van eliminatie blijft het volgende gereduceerde spel over: L,, Dan wordt in eliminatie ronde strategie door L gedomineerd. Conclusie: IEW DS(G) = {(, L)}. (b) Met behulp van een pijlendiagram volgt NE(G) = {(, L), (M, L), (, M), (, R)}. (c) In een evenwicht in volledig gemengde strategieën wordt iedere strategie met positieve kans gespeeld. Aan de andere kant geldt ook dat een zwak gedomineerde strategie daarin niet voorkomt. Aangezien beide spelers hier zwak gedomineerde strategieën hebben kan zo n evenwicht dus niet bestaan. (d) Als speler speelt dan is speler indifferent tussen L en M. Een evenwicht is bijvoorbeeld (L, (,, 0)) en deze is niet zuiver. Opgave 3 (0) Gegeven is het volgende twee perioden grondstoffen spel met twee spelers. In ronde is er een hoeveelheid van grondstof Y aanwezig. Spelers en bepalen onafhankelijk van elkaar de hoeveelheid die in beide perioden individueel geconsumeerd wordt. Daarbij kan de totale consumptie de aanwezige hoeveelheid niet overschrijden: als in periode hoeveelheden c en c geconsumeerd worden dan moet gelden c + c. De grondstof Y regenereert, om precies te zijn komt er, afhankelijk van de hoeveelheid x = (c + c ) die na consumptie in periode van Y overblijft, in periode twee een hoeveelheid 0 x van Y beschikbaar. Het nut voor speler i bij consumptie van c i eenheden in periode en c i eenheden in periode is voor i =, gelijk aan u i (c i, c i) = ln(c i ) + δ ln(c i), met constante δ (0, ). (a) Stel speler consumeert ϑ van Y in ronde. epaal het beste antwoord van speler op ϑ indien gegeven is dat in periode de aanwezige resterende hoeveelheid van Y gelijkelijk onder speler en wordt verdeeld.

3 (b) epaal een symmetrisch evenwicht van dit perioden spel. (c) epaal het sociale optimum, oftewel het maximum van de geaggregeerde nutten U = u + u. (a) Stel speler consumeert in periode hoeveelheid ϑ. Speler maximaliseert dan De eerste orde conditie luidt max ln(x) + δ ln(5 (x + ϑ)). 0<x ϑ x δ ( (x + ϑ)) = 0. Hieruit volgt x = ϑ +δ. Controleer inderdaad dat x < ϑ. epaal de tweede afgeleide naar x: ( x + δ ( + δ) = ( (x + ϑ)) ( ϑ) δ ) < 0. 4 Dus inderdaad is de gevonden hoeveelheid x(ϑ) optimaal bij gegeven ϑ. (b) Uit (a) vinden we in evenwicht dat Dan volgt hieruit dat x(ϑ) = ϑ en ϑ = 4+δ. x(ϑ) = ϑ + δ, ϑ = x(ϑ). + δ (c) egin met een optimale verdeling te vinden van de hoeveelheid in periode. Stel dat hier na regeneratie nog y eenheden aanwezig is. Omdat het geaggregeerde nut stijgt in de geconsumeerde hoeveelheden geldt c + c = y. Het maximaliseringsprobleem voor periode luidt dus max c >0 ln(c ) + ln(y c ). De eerste orde conditie levert dan c = y c, en dus c = c = y. Kortom in een sociaal optimum wordt de overgebleven hoeveelheid gelijk verdeeld. Om het sociale optimum te berekenen moeten we dus het volgende probleem oplossen: max ln(c ) + ln(c ) + δ ln(5 c c ) c,c >0,c +c max ln(c ) + ln(c ) + δ ln( c c ) + δ ln 5. c,c >0,c +c 3

4 De eerste orde condities luiden nu voor i =, δ c i (c + c ) = 0. En dus volgt hieruit c = c en dan via c = δc komen we tot c = c = +δ. Hieruit volgen c = c = 5 δ +δ. Opgave 4 (5) Gegeven is een markt voor een perfekt deelbaar goed Z waarop twee bedrijven, bedrijf en bedrijf, actief zijn. eide bedrijven produceren tegen vaste marginale kosten en de kostenfuncties worden gegeven door c (q ) = 4q voor bedrijf en c (q ) = q voor bedrijf. De prijs p voor een eenheid van Z hangt af van de totale hoeveelheid Q = q + q die de bedrijven op de markt brengen, en wel door p(q) = a Q. Hierbij kan a twee waarden aannemen en wel a = a L = 6 of a = a H = 0. Neem aan dat de bedrijven onafhankelijk van elkaar en gelijktijdig hun productieniveau bepalen en er naar streven hun (verwachte) winst te maximaliseren. (a) epaal de Nash evenwichten in de spelen in strategische vorm in het geval dat de bedrijven de echte waarde van a kennen. (b) epaal het evenwicht in het spel in strategische vorm waarbij de bedrijven de echte waarde van a niet kennen, maar weten dat de kans op a L resp. a H gelijk is aan 4 resp Veronderstel nu dat de bedrijven de mogelijkheid hebben om marktonderzoek te doen, waaruit de preciese waarde van a blijkt. De kosten van zo n onderzoek zijn. Wanneer een bedrijf geen onderzoek laat uitvoeren kent deze alleen de kansen op a L en a H en deze zijn 4 resp (c) ereken het ayesiaanse evenwicht in het hoeveelheden spel waarbij alleen bedrijf het marktonderzoek laat uitvoeren, en bedrijf hiervan op de hoogte is. (d) Motiveer met behulp van de uitkomsten bij onderdelen (a) (c) waarom bedrijf wel, of juist niet een marktonderzoek moet uitvoeren. (a) In het geval a bekend is verkeren we in een normaal Cournot spel. Stel a = a L = 6, dan luiden de winstfuncties u (q, q ) = ( (q + q ))q, u (q, q ) = (4 (q + q ))q. 4

5 De eerste orde voorwaarden luiden q u (q, q ) = q q = 0, q u (q, q ) = 4 q q = 0. Hieruit volgen dan de evenwichtshoeveelheden q = 0 en q =. In het geval a = a H = 0 vinden we de winstfuncties Hieruit volgen de eerste orde voorwaarden u (q, q ) = (6 (q + q ))q, u (q, q ) = (8 (q + q ))q. q u (q, q ) = 6 q q = 0, q u (q, q ) = 8 q q = 0. ijbehorende evenwichtshoeveelheden zijn q = 4 3 en q = 0 3. (b) In deze situatie maximaliseren beide bedrijven de verwachte winst gegeven door E u (q, q ) = 4 ( (q + q ))q (6 (q + q ))q = (5 (q + q ))q, E u (q, q ) = 4 (4 (q + q ))q (8 (q + q ))q = (7 (q + q ))q. ereken dan de evenwichtshoeveelheden ( q, q ) als oplossing van het stelsel eerste orde voorwaarden Dan vinden we q = en q = 3. q E u (q, q ) = 5 q q = 0, q E u (q, q ) = 7 q q = 0. (c) Stel ((q L, q H ), q ) is een ayesiaans evenwicht. Dan geldt q L arg max q 0 ul (q, q ) = ( (q + q ))q, q H arg max q 0 uh (q, q ) = (6 (q + q ))q, q arg max q 0 E u (q L, q H, q ) = 4 (4 (ql + q ))q (8 (qh + q ))q = (7 ( 4 ql qh + q ))q, 5

6 hetgeen equivalent is met q L arg max q 0 ( (q + q ))q, q H arg max q 0 (6 (q + q ))q, q arg max q 0 (7 ( 4 ql qh + q ))q. Hieruit lossen we q L, q H en q middels eerste orde condities: q L q = 0, 6 q H q = 0, 7 ( 4 ql qh ) q = 0. Dit lineaire stelsel vergelijkingen heeft geen positieve oplossing. Dan moet (?) gelden dat q L = 0. Hiermee vinden we dan q H = 0 3 en q = (d) Hier zijn verschillende antwoorden mogelijk, naargelang de bedrijven op de hoogte zijn van mogelijk marktonderzoek van de tegenstander. Stel dat de bedrijven van precies van elkaar weten wanneer marktonderzoek heeft plaatsgevonden. Geval (i): bedrijf doet geen onderzoek. Als bedrijf ook geen onderzoek doet dan zijn de uitbetalingen als in het evenwicht in onderdeel (b), te weten. Stel bedrijf doet in deze situatie wel marktonderzoek, dan bereken het ayesiaanse evenwicht als in onderdeel (c) waarbij nu de rol van bedrijf en zijn omgedraaid. Dan vinden we als evenwicht Verwachte winst voor bedrijf is dan (q, (q L, q H )) = (, ( 3, 7 )). (5 ( )) =. Dus als bedrijf geen onderzoek laat verrichten is de verwachte uitbetaling gelijk aan. Geval (ii): bedrijf doet onderzoek. Als bedrijf ook onderzoek doet dan wordt met kans 4 een Cournotspel als in onderdeel (a) gespeeld met a = a L en met kans 3 4 het spel met a = a H. Het enige verschil is de uitbetaling, aangezien kosten in mindering moet worden gebracht. De evenwichten veranderen niet. Maar dan is de a priori uitbetaling voor bedrijf gelijk aan = Doet bedrijf geen onderzoek, dan zitten we in geval (c), met verwachte uitbetaling ( ) = 69. Zonder marktonderzoek verdient bedrijf in verwachting altijd, en met onderzoek minder dus op basis van dit argument zou bedrijf geen marktonderzoek moeten uitvoeren. 6

7 Opgave 5 (5) eschouw het volgende statische ayesiaans spel G. Nature bepaalt of de uitbetalingen zijn als in bi-matrix spel G of G waarbij elk spel even waarschijnlijk is: L R, 0, 0, 0 0, G L R,, 3 0, 0 3, G Rijspeler weet welk spel gespeeld wordt, G of G, speler is niet op de hoogte. Speler kiest of en speler kiest tegelijkertijd L of R. (a) Vind alle ayesiaanse evenwichten in zuivere strategieën. Veronderstel nu dat speler de keus van speler observeert alvorens voor L of R te kiezen. Noem het zo ontstane signaleerspel G. (b) epaal het separating perfect ayesiaanse evenwicht in G. (c) epaal het pooling perfect ayesiaanse evenwicht in G. Vergeet in onderdeel (b)-(c) niet in ieder geval de evenwichtsstrategieën en de beliefs te formuleren. (a) De situatie beschrijven we met een spel in uitgebreide vorm met imperfekte informatie: Nature L R L R L R L R, 0,0,0 0,,,3 0,0 3, 7

8 Stel speler speelt L in evenwicht. Dan spelen type en van speler de strategieën en, waarop speler zich kan verbeteren via R. Dus in evenwicht speelt speler R. Dan speelt speler in G zet of en in G de zet. Dit bepaalt precies de evenwichten. (b) Het signaleerspel heeft de volgende struktuur: Nature L R L R l r l r, 0,0,,3,0 0, 0,0 3, Het unieke separating PE is het evenwicht waarbij type (G ) van speler signaleert en type (G ) signaleert. Dan reageert speler als volgt s ( ) = L, s () = r. Nature L R L R l r l r, 0,0,,3,0 0, 0,0 3, eliefs voor speler zijn triviaal b =, b = en voor speler worden deze gegeven door 8

9 b = (, 0), b = (0, ). (c) Het unieke pooling PE wordt gegeven door s = (s, s ) = (, ) en (s ( ), s ()) = (R, r) waarbij de beliefs voor speler als in onderdeel (b) zijn en de beliefs van speler door b = (, ) en b = (p, p) met p 3 worden gegeven. Nature L R L R l r l r, 0,0,,3,0 0, 0,0 3, Namelijk de condities voor de twee types speler zijn vervuld u (, (R, r)) = 0 = u (, (R, r)), u (, (R, r)) = < 3 = u (, (R, r)). ijbehorende beliefs van speler zijn triviaal. Voor speler geldt via ayesian updating dat na signaal geldt dat beide beslisknopen even waarschijnlijk zijn, via ayesian updating volgt b = (, ). In evenwicht mag afwijken van antwoord r na mag niet lonen voor speler, wat gewaarborgd wordt door u (l b ) = = 0 < + = u (r b ). Informatieverzameling voor speler, na signaal L, ligt buiten het evenwichtspad. Derhalve schrijft een perfect ayesiaans evenwicht niets anders voor dan dat voor bijbehorend belief b = (p, p) moet gelden u (L b ) u (R b ). Maar dit betekent niets anders dan p + ( p) 0 + 3( p) oftewel p 3. 9