Zoekproblemen met tegenstanders. Zoekalgoritmen ( ) College 9: Zoeken met een tegenstander (I) Een zoekprobleem met een tegenstander
|
|
- Hendrik de Kooker
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Zoekproblemen met tegenstanders Zoekalgoritmen (29 2) College 9: Zoeken met een tegenstander (I) Dirk Thierens, Tekst: Linda van der Gaag Zoekproblemen met meer dan één partij worden gekenmerkt door interventies door andere partijen; onzekerheid over het gedrag van de andere partijen; een beperking van de tijd die aan het zoeken besteed kan worden. Andere aspecten die bij dergelijke problemen een rol kunnen spelen, zijn volledige of onvolledige informatie over een probleemtoestand; de aan- of afwezigheid van een kanselement in de toegestane operatoren; twee of meer partijen; coöperatie of competitie tussen de verschillende partijen. Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander 226 / 353 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Inleiding 22 / 353 Een zoekprobleem met een tegenstander Een zoekprobleem voor een speler MAX met een tegenstander MIN is een tupel P = (T, B, E, O MAX O MIN, u, s) met T is de verzameling van probleemtoestanden; B T is de verzameling van begintoestanden; E T is de verzameling van eindtoestanden; O MAX P(T T) is de verzameling van operatoren voor de speler en O MIN is die voor de tegenstander; u: E IN is de (symmetrische) utiliteitsfunctie van de speler; s {MAX, MIN} is de partij die de eerste operator toepast. De speler en de tegenstander genereren een reeks probleemtoestanden door om de beurt een operator toe te passen. Beschouw het boter-kaas-en-eieren spel: een probleemtoestand is een plaatsing van i kruisjes en j nulletjes in de vakjes van het raam, met i j en i + j 9: de begintoestand is het raam met negen lege vakjes: een eindtoestand is een probleemtoestand waarin geen lege vakjes voorkomen; Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Definitie 228 / 353 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Definitie 229 / 353
2 vervolg Zoeken met een tegenstander de operator voor de speler is het plaatsen van een kruisje in een leeg vakje; de operator voor de tegenstander is het plaatsen van een nulletje in een leeg vakje; een utiliteitsfunctie u voor de speler is u(t) = als de eindtoestand t drie kruisjes op een rij bevat; u(t) = als de eindtoestand t drie nulletjes op een rij bevat; u(t) = anders. een optimaal algoritme voor zoeken met een tegenstander zoekt een uitputtende strategie voor de speler: de strategie schrijft voor elke mogelijke toestand na een zet van de tegenstander, voor welke zet de speler moet doen; de strategie maximaliseert de (verwachte) utiliteit voor de speler; enkele algoritmen voor zoeken met een tegenstander zijn: minimax search; expectiminimax search. Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Definitie 23 / 353 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Definitie 23 / 353 vervolg Veronderstel dat het nim-spel met zeven stenen wordt gespeeld en dat de tegenstander begint: Beschouw het nim-spel: het spel begint met een enkele stapel stenen; in elke zet mag een partij één stapel stenen in twee stapels van ongelijke grootte verdelen; het spel eindigt als elke stapel maximaal twee stenen bevat; de partij die het spel in een eindtoestand brengt, is de winnaar. Een zoekalgoritme moet een optimale strategie voor de speler vinden. 6, 5, 2 5,, 4, 2, 3, 2, 2 3, 3, 4,,, 3, 2,, 2, 2, 2, 3,,,, 2, 2,,, 2,,,,, De zoekgraaf bevat alle reeksen probleemtoestanden die door de speler en de tegenstander gegenereerd kunnen worden. Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Definitie 232 / 353 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Definitie 233 / 353
3 vervolg Het idee van minimax search 6, 5, 2 5,, 4, 2, 3, 2, 2 3, 3, 4,,, 3, 2,, 2, 2, 2, 3,,,, 2, 2,,, 2,,,,, Het idee van minimax search is het algoritme berekent voor elke knoop in de zoekboom de maximaal voor de speler te bereiken utiliteit onder de aannamen: de speler doet altijd de beste zet; de tegenstander doet altijd de voor de speler slechtste zet; het algoritme voert hiertoe een uitputtende depth-first search uit op de zoekboom. De optimale strategie voor de speler is als volgt: als de tegenstander de zet 6, doet, doe dan de zet 4, 2, ; als de tegenstander de zet 5, 2 doet, doe dan de zet 4, 2, ; als de tegenstander de zet doet, doe dan de zet 3, 3, ;... Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Definitie 234 / 353 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 235 / 353 Minimax search Beschouw nogmaals Beschouw een zoekprobleem met een tegenstander: minimax search construeert de gehele zoekboom van het probleem; minimax search berekent minimax(t) voor elke knoop t in de zoekboom: minimax(t) = u(t) als t een eindtoestand is; minimax(t) = max s succ(t) {minimax(s)} als t een toestand is waarin de speler aan zet is; minimax(t) = mins succ(t) {minimax(s)} als t een toestand is waarin de tegenstander aan zet is; minimax search construeert vervolgens een optimale strategie voor de speler. 6, 5, 2 5,, 4, 2, 3, 2, 2 3, 3, 4,,, 3, 2,, 2, 2, 2, 3,,,, 2, 2,,, 2,,,,, De minimax-waarde van een eindtoestand is de utiliteit van die toestand en geeft de wenselijkheid voor de speler weer. Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 236 / 353 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 23 / 353
4 vervolg vervolg 6, 5, 2 6, 5, 2 5,, 4, 2, 3, 2, 2 3, 3, 5,, 4, 2, 3, 2, 2 3, 3, 4,,, 3, 2,, 2, 2, 2, 4,,, 3, 2,, 2, 2, 2, 3,,,, 2, 2,,, 3,,,, 2, 2,,, 2,,,,, de minimax-waarde van een toestand waarin de speler aan zet is, veronderstelt dat de speler de beste zet doet; de minimax-waarde van een toestand waarin de tegenstander aan zet is, veronderstelt dat deze de voor de speler slechtste zet doet. Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 238 / 353 2,,,,, De optimale strategie schrijft voor elke toestand waarin de speler aan zet is, de zet met de hoogste minimax-waarde voor: als de tegenstander de zet 6, doet, doe dan de zet 4, 2, ; als de tegenstander de zet 5, 2 doet, doe dan de zet 4, 2, ; Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 239 / 353 De veronderstelling Minimax search is gebaseerd op de veronderstelling dat de tegenstander ook een optimale strategie hanteert. Voorbeeld In het volgende spel begint de speler: t De bruikbaarheid van minimax Beschouw een spel met een zoekboom met diepte d en vertakkingsfactor b: de rekentijd van het minimax algoritme is ruwweg van de orde b d ; het geheugenbeslag van de berekende strategie is ruwweg van de orde b d : t t 2 5 t 3 t 4 t 5 t 6 t 5 t 8 t 9 5 Gebaseerd op de veronderstelling schrijft de strategie de zet naar t voor: de beste eindtoestand t wordt al bij voorbaat opgegeven! Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 24 / 353 De zoekboom voor boter-kaas-en-eieren heeft al 9! = bladeren... Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 24 /
5 Het gebruik van een dieptegrens Het minimax basisalgoritme wordt meestal uitgebreid met een dieptegrens: de dieptegrens specificieert een maximum aan de diepte van de te genereren zoekboom; het gebruik van de dieptegrens heeft als doel de rekentijd van minimax search te beperken; een concrete dieptegrens wordt gekozen op basis van de beschikbare rekentijd; kennis van de winnende probleemtoestanden van het onderhavige spel. Het minimax algoritme schrijft nu uitsluitend de eerstvolgende zet voor. Beschouw het boter-kaas-en-eieren spel en veronderstel dat de speler begint met het plaatsen van een kruisje: o o o o o o o o o o o Minimax search met diepte 2 genereert de bovenstaande zoekboom (rekening houdend met symmetrieën). Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 242 / 353 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 243 / 353 De heuristische functie Op de verzameling probleemtoestanden van een spel wordt een heuristische functie gedefinieerd: de heuristische waarde van een toestand is een inschatting van de wenselijkheid van de toestand voor de speler; de heuristische functie is gebaseerd op kennis van het spel en van de winnende toestanden. De heuristische waarde van een toestand moet eenvoudig, zonder grote computationele kosten te berekenen zijn. Op de toestandsruimte van het boter-kaas-en-eieren spel definiëren we de volgende heuristische functie:, als t drie kruisjes op een rij bevat h(t) =, als t drie nulletjes op een rij bevat max(t) min(t), anders met max(t) = min(t) = het aantal open winnende rijen voor de speler het aantal open winnende rijen voor de tegenstander Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 244 / 353 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 245 / 353
6 vervolg Minimax search met begrensde diepte Beschouw de gegeven heuristische functie op de toestandsruimte van het boter-kaas-en-eieren spel. Dan geldt h(t) = 6 5 = h(t) = 4 6 = 2 Minimax search met begrensde diepte is in essentie gelijk aan het minimax basisalgoritme. Echter, minimax search met diepte n construeert voor een probleem een begrensde zoekboom tot en met diepte n; minimax search met diepte n berekent een heuristische minimax-waarde h-minimax(t) voor elke toestand t in de begrensde boom: h-minimax(t) = h(t) als t een blad van de begrensde boom is; h-minimax(t) wordt berekend met dezelfde rekenregels als minimax(t) voorheen; minimax search met begrensde diepte n selecteert als eerstvolgende zet een zet die in de hoogste h-minimax waarde resulteert. Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 246 / 353 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 24 / 353 vervolg vervolg Beschouw nogmaals het boter-kaas-en-eieren spel en veronderstel dat de speler begint met het plaatsen van een kruisje: Beschouw nogmaals 2 o o o o o o o o o o o o 2 2 Minimax search met begrensde diepte gebruikt de heuristische functie voor het berekenen van de h-minimax waarden voor de bladeren van de begrensde boom. o o o o o o o o o o o o 2 2 Minimax search met begrensde diepte berekent de h-minimax waarden voor de overige toestanden volgens de rekenregels van het basisalgoritme. Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 248 / 353 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 249 / 353
7 De veronderstelling Minimax search met begrensde diepte veronderstelt dat voor een interne toestand t in de boom geldt dat h-minimax(t) een betere inschatting geeft van de wenselijkheid van t voor de speler dan h(t) Vergelijk bijvoorbeeld de volgende zetten voor de speler: h(t) = 4 = 3 h(t) = 4 = 3 Zoekalgoritmen: Zoeken met tegenstander Minimax search 25 / 353
Een voorbeeld. Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander. Een voorbeeld vervolg. Een zoekprobleem met een tegenstander
Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander Beschouw het boter-kaas-en-eieren spel: een probleemtoestand is een plaatsing van i kruisjes en j nulletjes in de vakjes van het raam, met i j en
Nadere informatieComputationale Intelligentie Dirk Thierens
Computationale Intelligentie Dirk Thierens Organisatie Onderwijsvormen: Docent: Topic: Collegemateriaal: Boek: Beoordeling: hoorcollege, practicum, werkcollege Dirk Thierens Deel : Zoekalgoritmen Toets
Nadere informatieKosten. Zoekalgoritmen ( ) College 5: Zoeken met kosten. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route
Kosten Zoekalgoritmen (00 00) ollege 5: Zoeken met kosten Peter de Waal, Tekst: Linda van der aag Veel zoekproblemen omvatten kosten: een afstand in kilometers; een geldbedrag; een hoeveelheid tijd; ongemak;...
Nadere informatieKosten. Computationale Intelligentie. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route. Zoeken met kosten.
Kosten omputationale Intelligentie Zoeken met kosten Veel zoekproblemen omvatten kosten: een afstand in kilometers; een geldbedrag; een hoeveelheid tijd;... Voorbeelden van dergelijke problemen zijn: het
Nadere informatieZoeken met beperkt geheugen. Zoekalgoritmen ( ) College 7: Zoeken met beperkt geheugen. Een representatie van het kleuringsprobleem
Zoeken met beperkt geheugen Zoekalgoritmen (2009 2010) College 7: Zoeken met beperkt geheugen Dirk Thierens, Tekst: Linda van der Gaag algoritmen voor zoeken met beperkt geheugen zijn ontwikkeld voor problemen
Nadere informatieRecapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken. Zoekalgoritmen ( ) College 2: Ongeïnformeerd zoeken. Dynamische breadth-first search
Recapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken Zoekalgoritmen (009 00) College : Ongeïnformeerd zoeken Peter de Waal, Tekst: Linda van der Gaag een algoritme voor ongeïnformeerd zoeken doorzoekt de zoekruimte van
Nadere informatieComputationele Intelligentie
Computationele Intelligentie Uitwerking werkcollege Representatie, Ongeïnformeerd zoeken, Heuristisch zoeken 1 lokkenwereld a. De zoekboom die door het dynamische breadth-first search algoritme wordt gegenereerd
Nadere informatieComputationele Intelligentie
Computationele Intelligentie Uitwerking werkcollege Representatie, Ongeïnformeerd zoeken, Heuristisch zoeken 1 lokkenwereld a. De zoekboom die door het dynamische breadth-first search algoritme wordt gegenereerd
Nadere informatieConstraint satisfaction. Zoekalgoritmen ( ) College 11: Constraint Satisfaction. Voorbeelden. Een constraint satisfaction probleem
Constraint satisfaction Zoekalgoritmen (2009 2010) College 11: Constraint Satisfaction Dirk Thierens, Tekst: Linda van der Gaag Een constraint satisfaction probleem (CSP) bestaat uit: een verzameling variabelen;
Nadere informatieLokaal zoeken. Computationele Intelligentie. Een representatie van het kleuringsprobleem. Impliciete doeltoestanden. Lokaal zoeken
Lokaal zoeken Computationele Intelligentie Lokaal zoeken algoritmen voor lokaal zoeken zijn ontwikkeld voor problemen I met grote oplossingsdiepten; I waarbij een oplossing slechts een doeltoestand is;
Nadere informatieDuration: 2 hrs; Total points: 100 No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden.
: Computationele Intelligentie (INFOBCI) Midterm Exam Duration: hrs; Total points: No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden. Question
Nadere informatieConstraint satisfaction. Computationele Intelligentie. Voorbeelden. Een constraint satisfaction probleem. Constraint Satisfaction
Constraint satisfaction Computationele Intelligentie Constraint Satisfaction Een constraint satisfaction probleem (CSP) bestaat uit: een verzameling variabelen; een domein van waarden voor elke variabele;
Nadere informatieDuration: 2 hrs; Total points: 100 No documents allowed. You can use a regular calculator.
: Computationele Intelligentie (INFOCI) Exam II Duration: hrs; Total points: No documents allowed. You can use a regular calculator. Question [ points] In de Allais paradox krijgen mensen de keuze tussen
Nadere informatieDerde college algoritmiek. 18 februari Toestand-actie-ruimte
Derde college algoritmiek 18 februari 2016 Toestand-actie-ruimte 1 BZboom: zoeken Na het bomenpracticum 60 20 80 10 40 70 100 1 15 30 75 5 25 35 2 BZboom: verwijderen 60 20 80 10 40 70 100 1 15 30 75 5
Nadere informatieDerde college algoritmiek. 23 februari Toestand-actie-ruimte
College 3 Derde college algoritmiek 23 februari 2012 Toestand-actie-ruimte 1 BZboom: verwijderen 60 20 80 10 40 70 100 1 15 30 75 5 25 35 100 verwijderen = 60 20 80 10 40 70 1 15 30 75 5 25 35 verwijderen
Nadere informatieTentamen Kunstmatige Intelligentie (INFOB2KI)
Tentamen Kunstmatige Intelligentie (INFOB2KI) 12 december 2014 8:30-10:30 Vooraf Mobiele telefoons en dergelijke dienen uitgeschakeld te zijn. Het eerste deel van het tentamen bestaat uit 8 multiple-choice
Nadere informatieDerde college algoritmiek. 16/17 februari Toestand-actie-ruimte
Derde college algoritmiek 16/17 februari 2017 Toestand-actie-ruimte 1 Toestand-actie-ruimte Probleem Toestand-actie-ruimte Een toestand-actie-ruimte (toestand-actie-diagram, state transition diagram, toestandsruimte,
Nadere informatieVierde college algoritmiek. 2 maart Toestand-actie-ruimte Exhaustive Search
Algoritmiek 2018/Toestand-actie-ruimte Vierde college algoritmiek 2 maart 2018 Toestand-actie-ruimte Exhaustive Search 1 Algoritmiek 2018/Toestand-actie-ruimte Kannen Voorbeeld 4: Kannenprobleem We hebben
Nadere informatieMijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen.
Voorstel project Mijn project noemt Het Wari-spel. De doelgroep van mijn programma is iedereen die houdt van strategische spelen. Het doel van mijn project is de spelers een ontspannende, plezierige en
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2014 2015, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieOpgaven Kunstmatige Intelligentie 1 maart 2017
Opgaven Kunstmatige Intelligentie 1 maart 2017 Opgave 1. a. Denkt een schaakprogramma? b. Denkt een (Nederlands-Engels) vertaalprogramma? c. Denkt een C ++ -compiler? d. Denkt Watson, the IBM-computer
Nadere informatieVierde college complexiteit. 26 februari Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2019/04 College 4 Vierde college complexiteit 26 februari 2019 Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2019/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair
Nadere informatieAan de tafel! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de tafels te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.
Aan de tafel! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de tafels te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.nl Aan de tafel 1. Zeeslag 2. Snelle Jelle 3. Vier op een
Nadere informatieUitwerking tentamen Algoritmiek 9 juli :00 13:00
Uitwerking tentamen Algoritmiek 9 juli 0 0:00 :00. (N,M)-game a. Toestanden: Een geheel getal g, waarvoor geldt g N én wie er aan de beurt is (Tristan of Isolde) b. c. Acties: Het noemen van een geheel
Nadere informatieVierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie
Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen
Nadere informatieBreukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.
Breukenpizza! Ga je mee om de wonderlijke wereld van de breuken te ontdekken? Bedacht en ontwikkeld door Linda van de Weerd. www.klasvanjuflinda.nl Breukenpizza! 1. Knijpkaart 2. Decimalen 3. Domino 4.
Nadere informatieDatastructuren en Algoritmen
Datastructuren en Algoritmen Tentamen Vrijdag 6 november 2015 13.30-16.30 Toelichting Bij dit tentamen mag je gebruik maken van een spiekbriefje van maximaal 2 kantjes. Verder mogen er geen hulpmiddelen
Nadere informatieBranch-and-Bound en Cutting Planes
Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme
Nadere informatieUitwerking tentamen Algoritmiek 9 juni :00 17:00
Uitwerking tentamen Algoritmiek 9 juni 2015 14:00 17:00 1. Clobber a. Toestanden: m x n bord met in elk hokje een O, een X of een -. Hierbij is het aantal O gelijk aan het aantal X of er is hooguit één
Nadere informatieUitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 5 juni 2007, uur
Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag juni 00, 0.00.00 uur Opgave. a. Een toestand bestaat hier uit een aantal stapels, met op elk van die stapels een aantal munten (hooguit n per stapel).
Nadere informatieHet minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve
1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2005 2006, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Splaybomen
Nadere informatieTwaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST
College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2009 2010, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieOpgaven Kunstmatige intelligentie 4 mei 2012
Opgaven Kunstmatige intelligentie 4 mei 2012 Opgave 28. (opgave tentamen 12 augustus 2002) Stel dat we een handelsreizigersprobleem op willen lossen, en dat we dat met een genetisch algoritme willen doen.
Nadere informatieUitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 2 juni 2009, uur
Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 2 juni 2009, 10.00 13.00 uur Opgave 1. a. Een toestand wordt bepaald door: het aantal lucifers op tafel, het aantal lucifers in het bezit van Romeo,
Nadere informatieVierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen
College 4 Vierde college complexiteit 14 februari 2017 Restant zoeken Beslissingsbomen 1 Binair zoeken Links := 1; Rechts := n; while Links Rechts do Midden := Links + Rechts 2 ; if X = A[Midden] then
Nadere informatie8. Complexiteit van algoritmen:
8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het
Nadere informatie5 VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER
VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER Deze praktische opdracht gaat over het slim spelen van spelletjes. Kun je zo slim spelen dat je altijd wint? Of dat je in ieder geval nooit verliest? Dit geldt natuurlijk
Nadere informatieHeuristisch zoeken. Computationele Intelligentie. Een heuristische functie op de toestandsruimte. Voorbeelden van kennis. Heuristisch zoeken
Heuristisch zoeken Computationele Intelligentie Heuristisch zoeken een algoritme voor heuristisch zoeken oorzoekt e zoekruimte van een proleem op een systematische wijze, gestuur oor kennis van het proleem;
Nadere informatieUitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni :00 13:00
Uitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni 2014 10:00 13:00 1. Dominono s a. Toestanden: n x n bord met in elk hokje een O, een X of een -. Hierbij is het aantal X gelijk aan het aantal O of hooguit één hoger.
Nadere informatieKLOK MONOPOLY. Iedere speler heeft 1 pion en de 32 huisjes in dezelfde kleur nodig. Je neemt dus maar de helft van de paarse kaartjes uit de doos!
KLOK MONOPOLY Materiaal: Het speelbord van Monopoly Iedere speler heeft 1 pion en de 32 huisjes in dezelfde kleur nodig 1 dobbelsteen De klok kaartjes in de verschillende kleuren op het speelbord) (deze
Nadere informatieDivide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
Nadere informatieDerde college algoritmiek. 23 februari Complexiteit Toestand-actie-ruimte
Algoritmiek 2018/Complexiteit Derde college algoritmiek 2 februari 2018 Complexiteit Toestand-actie-ruimte 1 Algoritmiek 2018/Complexiteit Tijdcomplexiteit Complexiteit (= tijdcomplexiteit) van een algoritme:
Nadere informatieJe kunt de kansen met wiskunde technieken berekenen (bijvoorbeeld boomdiagramman), maar je kunt ook deze door simulaties achterhalen.
Spelen met Kansen Bij wiskunde A, havo en vwo In een heleboel gezelschapsspellen speelt het toeval een grote rol, bijvoorbeeld Patience, Ganzenbord, Thodi, Black Jack, Risk, Poker, Bridge. Deze spellen
Nadere informatie144 Samenvatting. Onderzoeksvraag 1: Hoe kunnen we Monte-Carlo Tree Search aanpassen
Samenvatting Dit proefschrift onderzoekt hoe selectieve zoekmethoden de prestaties van een spelprogramma kunnen verbeteren voor een bepaald domein. Selectieve zoekmethoden hebben als doel om alleen de
Nadere informatieV = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.
WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,
Nadere informatieDerde college algoritmiek. 22 februari Complexiteit Toestand-actie-ruimte
Algoritmiek 2019/Complexiteit Derde college algoritmiek 22 februari 2019 Complexiteit Toestand-actie-ruimte 1 Algoritmiek 2019/Complexiteit Opgave 1 bomenpracticum Niet de bedoeling: globale (member-)variabele
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke
Nadere informatieOpgave 2 ( = 12 ptn.)
Deel II Opgave 1 (4 + 2 + 6 = 12 ptn.) a) Beschouw bovenstaande game tree waarin cirkels je eigen zet representeren en vierkanten die van je tegenstander. Welke waarde van de evaluatiefunctie komt uiteindelijk
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieExamen Algoritmen en Datastructuren III
Derde bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Algoritmen en Datastructuren III Naam :.............................................................................. Stellingen
Nadere informatieDatastructuren: stapels, rijen en binaire bomen
Programmeermethoden Datastructuren: stapels, rijen en binaire bomen week 12: 23 27 november 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 Inleiding In de informatica worden Abstracte DataTypen (ADT s)
Nadere informatieKunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015
AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie
Nadere informatieDatastructuren: stapels, rijen en binaire bomen
Programmeermethoden : stapels, rijen en binaire bomen Walter Kosters week 12: 26 30 november 2018 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 en Vierde programmeeropgave Othello programmeren we als volgt:
Nadere informatieTentamen Inleiding Speltheorie 29-10-2003
entamen Inleiding Speltheorie 9-0-003 Dit tentamen telt 5 opgaven die in 3 uur moeten worden opgelost. Het maximaal te behalen punten is 0, uitgesplitst naar de verschillende opgaven. Voor het tentamencijfer
Nadere informatieOefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1
Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in
Nadere informatie-
Een strategisch spel voor 2 spelers - vanaf 8 jaar. Duurtijd: ca. 30 minuten. 1 houten spelbord (dit spel maakt geen gebruik van de rode stippen op het spelbord) 14 lichte pionnen 14 donkere pionnen De
Nadere informatieMateriaal. Voorbereiding. spelverloop. deelnemers spel begeleiding. aantal leeftijd doelgroep spelsoort duur aantal. bosspel
HANDEL VOOR JE LEVEN deelnemers spel begeleiding aantal leeftijd doelgroep spelsoort duur aantal minimum 8, maximum 60 personen 10-16 jaar Jeugd Rode Kruis jeugdverenigingen bosspel pleinspel +/- 1 uur
Nadere informatieAlgoritmiek. 15 februari Grafen en bomen
Algoritmiek 15 februari 2019 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices) en E een verzameling van
Nadere informatieMaak automatisch een geschikte configuratie van een softwaresysteem;
Joost Vennekens joost.vennekens@kuleuven.be Technologiecampus De Nayer We zijn geïnteresseerd in het oplossen van combinatorische problemen, zoals bijvoorbeeld: Bereken een lessenrooster die aan een aantal
Nadere informatieSpelsystemen sjoelen. Combinatie-IV (First Loss)... 9 Combinatie-V... 9 Libre One Hundred And Eighty Moyenne Moyenne-2...
Inleiding Het Spelreglement van de A.N.S. is van toepassing. De uitzonderingen op dit spelreglement bij de spelsystemen worden aangegeven. Het aantal schijven waarmee wordt gesjoeld kan anders zijn. De
Nadere informatieJijbent.nl: spelregels Rozenkoning. Dirk Henn Copyright 2019 Jijbent.nl
Jijbent.nl: spelregels Rozenkoning Dirk Henn Copyright 2019 Jijbent.nl Inhoud Spelregels Rozenkoning...1 Inleiding en doel van het spel...1 Spelmateriaal en spelvoorbereiding...1 Het spelverloop...2 1.
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2010 2011, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieVijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2017/05 College 5 Vijfde college complexiteit 21 februari 2017 Selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2017/05 Opgave 28 Gegeven twee oplopend gesorteerde even lange rijen
Nadere informatieImpartiële spellen. Marie Beth van Egmond, Lisa Steverink. 12 juli 2013. Project wiskunde 2 Begeleiding: dr. Roland van der Veen
Impartiële spellen Marie Beth van Egmond, Lisa Steverink 12 juli 2013 Project wiskunde 2 Begeleiding: dr. Roland van der Veen Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieM. E. J. N. B. K. E. B. S. S. Sluipwegtikkertje DAS BEURS 2018
M. E. J. N. B. K. E. B. S. S. Sluipwegtikkertje DAS BEURS 08 Deckers Gert: school de berk Hasselt, K.I.D.S. Hasselt (gert.deckers@deberk.be) .) Mens-erger-je-niet. a) De lln worden verdeeld in groepjes.
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Het binomiaalgetal ( n
Hoofdstuk 1 Inleiding Het binomiaalgetal ( n berekent het aantal -combinaties van n elementen; dit is het aantal mogelijkheden om elementen te nemen uit n beschikbare elementen Hierbij is herhaling niet
Nadere informatieCombinatoriek en rekenregels
Combinatoriek en rekenregels Les 4: Rekenregels (deze les sluit aan bij de paragraaf 8 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieOude tentamens Kunstmatige intelligentie Universiteit Leiden Informatica 2005
Oude tentamens Kunstmatige intelligentie Universiteit Leiden Informatica 2005 Opgave 1. A* (20/100 punten; tentamen 1 juni 2001) a. (5 punten) Leg het A*-algoritme uit. b. (2 punten) Wanneer heet een heuristiek
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4
Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 28 oktober 2016 Vraag 1: Toon aan dat de klasse van context vrije talen gesloten is onder concatenatie en ster. Antwoord Meerdere manieren zijn mogelijk:
Nadere informatieOverzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.
Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling
Nadere informatieIndexen.
Indexen joost.vennekens@kuleuven.be Probleem Snel gegevens terugvinden Gegevens moeten netjes geordend zijn Manier waarop hangt af van gebruik Sequentieel Gesorteerde gegevens, die in volgorde overlopen
Nadere informatie20 witte Doelvakjes. Raster voor solovariant Strafpunten Eindscore
EEN SPEL VAN BRUNO CATHALA EN LUDOVIC MAUBLANC Werp je dobbelstenen, kies een kleur of een waarde, en vul je scoreblad in door de juiste beslissingen te nemen! Kleuren (kleine vierkantjes stellen het aantal
Nadere informatieModule Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden
Module Limieten van de berekenbaarheid : antwoorden Gilles Coremans 2018 This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International license. Dit werk is gebaseerd
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieOverzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search
Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:
Nadere informatieHet stappenplan om snel en goed iets nieuws in te studeren
Studieschema voor goed en zelfverzekerd spelen Page 1 of 5 Het stappenplan om snel en goed iets nieuws in te studeren Taak Een nieuw stuk leren zonder instrument Noten instuderen Opname beluisteren Notenbeeld
Nadere informatieDatastructuren Uitwerking jan
Datastructuren Uitwerking jan 16 1 1a) Een ADT wordt gekenmerkt door de opgeslagen gegevens en de beschikbare operaties. De Priority Queue bevat en verzameling elementen waarbij elk element en eigen waarde
Nadere informatie5 VWO SPELEN OP EEN SLIMME MANIER
Geachte collega, U treft hier aan een wiskunde werkstuk met de titel Spelen op een slimme manier. Dit werkstuk is gegeven aan alle 5 vwo leerlingen en na hen geïnterviewd te hebben aangepast. Het gehanteerde
Nadere informatie(vi) Als u een stelling, eigenschap,... gebruikt, formuleer die dan, toon aan dat de voorwaarden vervuld zijn, maar bewijs die niet.
Examen Functieruimten - Deel theorie 15 januari 2016, 08:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven; geen
Nadere informatieAlgoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen
Universiteit Twente 2009-2010/2 Afdeling Informatica, Faculteit EWI Tentamen dinsdag 19 januari 2010, 8.45-12.15 Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit (214020 en 214025) Uitwerkingen Bij dit tentamen
Nadere informatieDynamisch Programmeren III. Algoritmiek
Dynamisch Programmeren III Vandaag Dynamisch programmeren met wat lastiger voorbeelden: Handelsreiziger Longest common subsequence Optimale zoekbomen Knapsack 2 - DP2 Handelsreiziger Een handelsreiziger
Nadere informatieAutomaten en Berekenbaarheid
Automaten en Berekenbaarheid Bart Demoen KU Leuven 2016-2017 Les 2: 20-35 reguliere expressies NFA DFA minimalisatie Van RE naar NFA I 2/11 structureel (als algebra s) zijn RegExp en de NFA s gelijk voor
Nadere informatieRegels REVERSI. Figuur 1: Bord met beginpositie.
REVERSI Reversi is net als schaken, dammen en go een klassiek bordspel voor twee spelers. De strijd gaat tussen zwart en wit, tussen donker en licht, tussen kwaad en goed. Reversi is een erg dynamisch
Nadere informatieChoice RESTTABEL SOMMENTABEL DOBBELWORPEN. KHBO-Spellenarchief p p p
Choice SOMMENTABEL RESTTABEL -p x1 x2 x3 x4 x5 x6 min plus 2 5 6 7 8 9 10 3 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 5 5 6 7 8 9 10 6 5 6 7 8 9 10 7 5 6 7 8 9 10 30p 8 5 6 7 8 9 10 9 5 6 7 8 9 10 10 5 6 7 8 9 10 11
Nadere informatieblok 11 groep 4 Malmberg s-hertogenbosch
blok 11 groep 4 naam:... Malmberg s-hertogenbosch blok 11 les 6 0 Kleur de antwoorden van de tafel van 2 geel en de tafel van 5 rood. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Nadere informatieSorteer netjes! 1. Knip de kaartjes van bijlage 1 uit. Sorteer
Sorteer netjes! 1 Knip de kaartjes van bijlage 1 uit. Sorteer a de rozen (*1) b de kleine bloemen (*2) c de bloemen zonder bladeren (*3) d de bloemen, niet tulpen (*4) Omcirkel de dieren. Omcirkel de dieren
Nadere informatieHet Queens n 2 graafkleuring probleem
Het Queens n 2 graafkleuring probleem Wouter de Zwijger Leiden Institute of Advanced Computer Science Universiteit Leiden Niels Bohrweg 1 2333 CA Leiden The Netherlands Samenvatting In dit artikel behandelen
Nadere informatieExamen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Nadere informatieSpelregels IK BOX spel (3 of 4 personen)
IK BOX spelregels Spelregels IK BOX spel (3 of 4 personen) Spelmateriaal 1 spelbord (binnenkant van de IK BOX) met aan de zijkanten de grote ZaaiGoedkaarten. 4 pionnen (Tess, Mo, Max en Kate). 4 bakjes.
Nadere informatieDe regels van het spel
Het bordspel hex De regels van het spel I Er zijn twee spelers, die om beurten een steen in één van de lege zeshoekjes plaatsen; De regels van het spel I Er zijn twee spelers, die om beurten een steen
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
Nadere informatieDoel: Opzet: Spelregels: De speler met de groene pion begint.
Doel: Als projectopdracht moet er een game ontworpen worden door verschillende studenten en hiervoor is een team nodig wat bestaat uit minimaal 1x Game Designer, 1x Programmeur en 1x Artist. Twee spelers
Nadere informatieReglement Diksmuidse zevenkamp caféspelen
Reglement Diksmuidse zevenkamp caféspelen Start om 14 u., einde verwacht rond 18 u. Maximum 8 teams (beperkte plaatsen). Teams van 3 spelers, de spelers wisselen elkaar af per discipline. Elk team beslist
Nadere informatie