Stabiliteit van een dragende-leuning brug uitgevoerd in beton

Transcriptie

1 Stabiliteit van een dragende-leuning brug uitgevoerd in beton Stability of a concrete pedestrian bridge with load bearing railings V. M. Weidema

2 Master of Science Thesis Stabiliteit van een dragende-leuning brug uitgevoerd in beton Stability of a concrete pedestrian bridge with load bearing railings Door: ing. V. M. Weidema Afstudeercommisie: Prof. dr. ir. J. C. Walraven dr. ir. C. van der Veen dr. ir. C. B. M. Blom dr. ir. P. C. J. Hoogenboom Versie.0

3

4 Inhoudsopgave Samenvatting 7 Summery 9. Inleiding. De dragende wering van de brug. Dragende leuningbrug in Rotterdam 3.3 Stellingen. De dragende leuningbrug 6. Het brugde 6. De leuningen 7.3 Mootafmetingen 8. Mootverbindingen 8.5 Fundatie 0.6 Uitvoering 0.7 Draadmodel van het referentieontwerp 0 3. Kniracht in de leuningbovenregel 3. Kniracht 3. Eulerni 3.3 Kniracht voor een verend ondersteunde ligger 3 3. De nilengte 3.5 De formule van Engesser Effect van een niet-constante normaalracht 3. De brugdoorsnede 37. Lineaire veerstijfheid van de brugdoorsnede 37. De buigstijfheid van de gescheurde brugdoorsnede 3

5

6 5. Stabiliteit van de brug 5. Reductiefactor ten gevolge van de imperfectie van de veerconstante 5 5. De normaaldruracht in de leuningbovenregel De stabiliteitsfactor 5 5. Resultaten van de stabiliteit versteringsfactor Sterte van de leuningbovenregel Toetsing op normaaldrusterte Het buigend moment Resultaten van de controle op sterte 7 6. Het verband tussen sterte en stabiliteit van de brug Vereenvoudigde methode voor ontwerpers Conclusies & Aanbevelingen Conclusie op de doelstelling Overige conclusies Aanbevelingen Literatuurlijst 9 9. Index van Symbolen 93 Tenslotte 97 Bijlagen 99 A. Dragende leuningbruggen uit het verleden 0 B. Programma van eisen voor een fiets- en voetgangersbrug 05 C. Vergelijing van numeriee tweede orde bereeningen met formule volgens Engesser 09 D. De uitwering van de niformule volgens de TU München 37 E. Referentiebereening van de niracht in de brug F. Samengestelde buigstijfheid van de gehele brug 7 G. Uitwering van het tweede orde effect 9 H. Bereening; sterte van de leuningbovenregel 57 5

7

8 Samenvatting Deze thesis is tot stand geomen als een vraag van Gemeenteweren Rotterdam. Gemeenteweren wil de huidige houten bruggen in Rotterdam vervangen voor bruggen die minder onderhoud nodig hebben. Een van de mogelijheden daarbij is om de brug volledig uit te voeren in beton, waarbij de brugleuningen de overspanning dragen. Het grootste voordeel hiervan is een dunner brugde, waardoor de toepassingsgebieden groter worden. Naast het toepassen van deze vernieuwende technie voor de betonindustrie, speelt de veiligheid een belangrije rol. Om grip te rijgen op deze veiligheid, moet in aart gebracht worden hoe groot het aandeel van de tweede orde effecten op de stabiliteit van de brug is. De doelstellingen van deze thesis zijn daarom: Deze thesis moet leiden tot een ader waarbinnen de architect alle vrijheid heeft om het ontwerp, voor een brug met dragende leuning, te maen naar zijn wens. Het in aart brengen wele importantie de tweede orde effecten hebben. Het antwoord op deze vragen is gevonden door eerst een goed model op te t antwoord op deze vragen is gevonden door eerst een goed mo t stellen de hand die bereend met de hand on worden. bereend Vervolgens on worden. is de Vervolgens niracht is inde niracht in de paald leuningbovenregel en het model geverifieerd bepaald en met het een model numeriee geverifieerd computer met een b numeriee computer niformule bereening. van De niformule Engesser an van worden Engesser gebruit an om worden nira gebruit om de niracht ningbovenregel de leuningbovenregel te unnen te bepalen. unnen De bepalen. grote van De de grote niracht van de niracht is afhanelij gstijfheid van de buigstijfheid van de leuningbovenregel van de leuningbovenregel en de veerstijfheid en de veerstijfheid die de d die de doorsnede n de leuningbovenregel: verleent aan de leuningbovenregel: u F = α EI regel doorsnede l u + imperf 3 De niracht is opgebouwd uit drie delen, waaronder twee factoren.. de niformule van Engesser. een verhouding voor die de vorm van de normaalracht in reening brengt (factor ) 3. een reductiefactor die de imperfectie in reening brengt op basis van de maximale horizontale uitwijing van de verenende ondersteuning (factor ) Met behulp van de optredende normaaldruracht in de leuningbovenregel en t de behulp bovenstaande van optredende niracht normaaldruracht is de stabiliteit versteringsfactor de leuningb te bereenen. venstaande Hiermee is niracht de extra horizontale is de stabiliteit verplaatsing versteringsfactor en het moment te ber als gevolg van normaal ra druracht horizontale in verplaatsing de leuningbovenregel en moment te als bepalen. gevolg van normaal ningbovenregel te bepalen is. 7

9 Naast de toetsing op stabiliteit is oo de toetsing op sterte van de leuningbovenregel belangrij. Het tweede orde deel van de optredende momenten wordt bepaald door de stabiliteitsbereening. De toetsingen op sterte zijn voornamelij gebaseerd op het niet overschrijden van de maximaal elastische druregrens ε c3 in de betondoorsnede van de leuningbovenregel. Dit is in hoofdstu 5 en 6 met behulp van diverse grafieen verduidelijt en uitgewert. Het ader voor een ontwerper of architect is gevonden in de vorm van een vuistregel. De uitwering van die vuistregel met bijbehorende voorwaarden staan in hoofdstu 6.5. De ontwerper zal goed moeten beseffen dat deze vuistregel een startpunt is. Er mogen geen eisen gesteld worden aan de afmetingen van de brug op basis van deze vuistregel. De tweede orde effecten blijen terug te omen in de toetsing op de maximale momenten in de leuningbovenregel. Grote horizontale verplaatsingen als gevolg van een groot tweede orde effect resulteren in een groot optredend moment in de leuningbovenregel. In combinatie met de beperte beschibare momenten capaciteit zal de leuningbovenregel dan bezwijen. Het blijt dat indien aan de toetsing op momenten in de leuningbovenregel voldaan wordt de stabiliteitsfactor n veelal boven de in de NEN-EN 99-- [] gestelde waarde van 0 uitomt.

10 Summery This thesis is developed as a respond to a problematical case at Public Wors Rotterdam. Public Wors wants to replace current wooden bridges for bridges that need less maintenance. An option here is to build the bridge completely out of concrete. In such a case the load bearing capacity mainly comes from the bridge railings. The biggest advantage of this solution is a thinner bridge dec, and therefore the fields of application increase. For the concrete industry, safety is very important at the application of this innovative technology. To mae safety hazards visible, the second order effects on the stability of the bridge have to be researched. Therefore the objectives of this thesis are: This thesis should lead to a framewor which gives the architect total freedom in designing a carrying-banister bridge. Mapping the importance of the second order effects. To answer these questions a good calculation model of the bridge is developed. t antwoord op deze vragen is gevonden door eerst een goed mo t Subsequently, de hand bereend the bucling on worden. strength Vervolgens in the handrail is de niracht is determined and the paald calculation en het model geverifieerd is verified with met a een numerical numeriee computer calculation. b The bucling niformule formula by Engesser van Engesser can be an used worden to determine gebruit om the de bucling nirastrength in the handrail. ningbovenregel The bucling strength te unnen depends bepalen. on De the grote bending van de stiffness niracht of the handrail and the gstijfheid spring stiffness van de which leuningbovenregel provides the en cross de veerstijfheid section to the die handrail. de d n de leuningbovenregel: u F = α l u + imperf EI regel doorsnede 3 The bucling strength can be divided into three parts, including two factors.. the bucling formula by Engesser. a ratio which taes the shape of the normal strength into account (Factor ) 3. a reduction factor which taes imperfections into account, based on the maximum horizontal deflection of the elastic bracings. (Factor ) Using the acting normal compressive force in the handrail and the bucling strength (see above), the stability gain factor of the structure can be determined. Using this t stability behulp van gain de factor, optredende the additional normaaldruracht horizontal displacement in de leuningband the moment due to venstaande normal compressive niracht force is de in stabiliteit the handrail versteringsfactor can be determined. ber ra horizontale verplaatsing en moment als gevolg van normaal ningbovenregel te bepalen is. 9

11 Besides checing the stability, checing the strength of the handrail is important as well. The second order part of the acting moments is determined by the stability calculation. The strength checings are primarily based on not exceeding the maximum elastic compressive strain limit ε c3 in the concrete cross section of the handrail. Using graphs this is clarified and discussed, see Chapter 5 and 6. The framewor for a designer or architect is devined in the form of a rule of thumb. The elaboration of this guideline, with corresponding conditions, are given in Chaptersection 6.5. The designer will have to realize that this guideline is a initial point. No requirements can be made to the dimensions of the bridge, based on this guideline. By testing the maximum moments in the handrail, the second order effects appears again. Large horizontal displacements, due to a large second order effect, result in a large acting moment in the handrail. Combined with the limited available capacity of moments, the handrail will collapse. It appears that, by correct checing the moments in the handrail, the stabilityfactor n often will reach above the NEN-EN 99-- [] set value of 0.

12 Inleiding Dragende leuningbruggen worden al meer dan een eeuw toegepast. (In Bijlage A worden een aantal van deze bruggen beschreven.) Dit type brug [] is ontstaan met de opomst van de spoorwegen. Door de steeds zwaarder wordende locomotieven en wagons moesten bestaande vlae plaatbruggen onder handen genomen worden. Met name de smalle bruggen werden aan beide zijden voorzien van een vawerligger. Hierdoor was het mogelij om de bruggen op een relatief eenvoudige manier stijf en ster genoeg te maen voor de zwaardere treinen. Halverwege de negentiende eeuw werden de meeste bruggen gebouwd van welijzer, staal of hout. Oo nu nog zijn veel voorbeelden te vinden van recent gebouwde dragende leuningbruggen uitgevoerd in staal, aluminium en hout. Na de intrede van gewapend beton als constructiemateriaal is de dragende leuning variant in beton nooit populair geworden. Drie belangrije redenen waarom beton minder wordt toegepast in dragende leuningbruggen zijn: Betonnen bruggen zijn zwaarder dan stalen en houten bruggen. Daardoor zal de drulast in de leuningbovenregel groter zijn. Het verrijgen van grotere doorsneden buigstijfheden gaat gepaard met veel meer massa, in tegenstelling tot de beende staalprofielen. De elasticiteitsmodulus van beton is leiner dan die van staal. De grotere elasticiteitsmodules van staal wert op gunstig de stijfheid van de doorsnede. Beton is een materiaal wat grote drusterte an weerstaan en slechts een leine tresterte. De maximale nibelasting is gerelateerd aan het buigtraagheidsmoment. Zodra beton scheurt, dat wil zeggen dat in de trezone het beton bezwijt en de wapening de trespanningen moeten opnemen, neemt het buigtraagheidsmoment snel af. Een materiaal waarin de buitenste vezel grotere tresterte an opnemen, zoals hout en staal, is daarom gunstiger en zal alleen al om die reden een leiner nirisico met zich mee brengen. Tegenwoordig is men in staat om steeds hogere drusterten in beton te realiseren. Het is zelfs mogelij om vezelverstert ongewapend beton te produceren die zowel dru- als trerachten unnen opnemen. Door deze nieuwe mogelijheden zou het wellicht oo voordelig zijn om dragende leuningbruggen in beton uit te voeren en daardoor de duurzame eigenschappen van beton te combineren met de slane en stijve brugvorm van de dragende leuningbrug. In de Eurocode beton [] wordt beton voornamelij geclassificeerd volgens drusterte. Toepassing van staalvezels en wat de mechanische gevolgen daarvan zijn, zijn nog niet vastgesteld in de nu gebruite normen.

13 . Inleiding Deze thesis zal zich daarom voornamelij richten op de betonsterten die in de huidige normen beschreven staan. Geozen is daarbij voor de betonmengsels C50/60 en C90/05. C50/60 is op dit moment door vrijwel ele betoncentrale in Nederland te leveren en wordt als meest gangbaar in de industrie gebruit. Mengsels met hoge sterte beton, zijn nog niet door alle betoncentrales te leveren. Oo zijn deze mengsels nog erg duur. De grondstoffen zijn duurder. Bovendien moeten de betoncentrales hun extra investeringen terugverdienen over een bepert aantal projecten, want de vraag naar deze mengsels is nog niet groot. De verwachting is, dat in de nabije toeomst de vraag langzaam zal toenemen van de mengsels die een hogere drusterte unnen opnemen, en dat daardoor de prijs zal dalen.. De dragende wering van de brug Het brugde draagt de belasting in de breedterichting af naar de dragende leuningen. De dragende leuningen zullen het brugde dan in de lengterichting van de brug ondersteunen. Voordelen Het brugde an dunner worden uitgevoerd omdat de overspanning van het brugde leiner is dan de overspanning van de brug zelf. Een dunner brugde resulteert, naar verwachting, in een lichtere brug en een ortere op- en afrit van de brug. Het an een esthetische wens zijn om een dunner brugde te hebben. De leuningen die toch al op de brug geplaatst zijn, worden nu efficiënter gebruit. Leuningen die niet deel uitmaen van de hoofddraagconstructie hebben alleen de taa om het vereer op de brug te beschermen om niet van de brug af te vallen. De leuningen vergroten de buigstijfheid van de brug, waardoor de doorbuiging ster gereduceerd wordt. Nadelen De leuning wordt op ni en/of ip belast, zoals duidelij blijt uit Figuur. Het bezwijmodel is hierbij minder gunstig, omdat het waarschuwende effect bij bezwijen weg is. De barrier van de brug is de leuning, wele nu deel uit maat van de hoofddraagconstructie. Of er moet een barrier voor de leuning worden gebouwd, wat esthetisch onaantreelij is. Beperte brugbreedte: Deze leuningen zullen zonder enige vorm van stabiliteit omvallen. De stabiliteit zal moeten omen uit het brugde. Het brugde zal dus een extra moment moeten opnemen om te vooromen dat de brugleuning omvalt.

14 . Inleiding De belangrijste stap om dergelije bruggen toch te veilig te unnen maen is zorgen dat de stabiliteit onder controle gehouden wordt. Maar waar liggen de grenzen? De brug is stabiel wanneer de constructie nadat een aangebrachte verstoring, in de vorm van een belasting, wordt weggenomen, de constructie terugeert in zijn oorspronelije vorm (grondtoestand). Waarom is het zo belangrij om het bezwijen op stabiliteit te vooromen? Figuur laat een bezween brug zien. De leuningbovenregel nit horizontaal weg, waardoor de inwendige momenten capaciteit verminderd. Maar nog belangrijer; door een leine horizontale uitwijing van de leuningbovenregel ontstaat er naast een normaal druracht in lengterichting oo een racht in dwarsrichting die de leuningbovenregel versnelt doet wegspatten. Figuur. Ingestorte Mabey brug (Bijlage A) Dit is het snelst uit te leggen aan de hand van een druligger. De druligger is op beide uiteinden scharnierend opgelegd. Door een onvolomenheid wordt de olom niet-centrisch belast. Het gevolg is dat er naast de normaalracht oo momenten en dwarsrachten in de ligger ontstaan. De belasting wordt opgevoerd totdat de druligger bezwijt. De druligger an op verschillende manieren bezwijen; ze an wegspatten en naen. In beide N Figuur. Druligger N gevallen valt de druligger plots weg waardoor de constructie direct zal instorten, indien er geen herverdeling an plaats vinden. Het overbelasten van een brug gebeurt vrijwel altijd wanneer er veel personen op de brug aanwezig zijn. Bij bezwijen op stabiliteit, dus zonder waarschuwing is de ans op slachtoffers zeer groot. Daarom dient bij de maatgevende bezwijvorm van stabiliteit altijd extra aandacht worden besteed aan het ontwerp.. Dragende leuningbrug in Rotterdam Deze thesis is mede mogelij gemaat door het Ingenieursbureau Gemeenteweren Rotterdam. De wens van Ingenieursbureau Gemeenteweren Rotterdam was om voor leine bruggen, voor fietsers en voetgangers, een duurzaam alternatief met een leine constructieve hoogte te bedenen. Hierbij dacht men onder andere in de richting van een betonnen brug uitgevoerd met dragende leuningen, zodat het brugde dunner an worden uitgevoerd. 3

15 . Inleiding De huidige bruggen zijn voornamelij uitgevoerd in hout en staal. Houten fietsen voetgangers bruggen hebben een levensduur van ongeveer 5 jaar [3]. Stalen bruggen hebben in beginsel deze bepering niet, maar ze vereisen wel inspectie. Bovendien zal een stalen brug op regelmatige basis opnieuw geconserveerd moeten worden om roestvorming tegen te gaan. In het algemeen an worden gesteld dat een brug uitgevoerd in hout of staal meer onderhoud verreist, dan wanneer deze brug van beton zou zijn. Dat wil niet zeggen dat beton geen onderhoud vereist, maar bij normaal gebrui zal de brug weinig tot geen onderhoud nodig hebben. Het benodigde onderhoud varieert per locatie (roet, groene aanslag en/of vandalisme). Op dit moment is men bezig om houten bruggen te vervangen door bruggen van zowel beton als unststof. Verder wil men bij vervanging niet afdoen aan het slane ontwerp. Eén van de mogelijheden is om een dragende leuningbrug in beton uit te voeren. Deze brug heeft een dunner brugde dan de gebruielije vlae plaatbrug. Om osten te druen is het wenselij om de brug in grote oplagen te unnen prefabriceren. In Rotterdam en omgeving zijn zo n 00 fiets- en voetgangersbruggen [3], dus serieproductie moet mogelij zijn. De minimale overspanning van de bruggen in Rotterdam is 5 meter en de maximale overspanning is 0 meter. Om aan deze wensen te voldoen gaat men uit van een modulair systeem []. De vraag van de vanuit IGWR (Ingenieursbureau Gemeenteweren Rotterdam) is: Ontwerp een fiets- en voetgangersbrug in beton of hoge stertebeton met een U-vormige dwarsdoorsnede met een zeer slan brugde en dragende leuningen..3 Stellingen Zoals eerder al is aangegeven hebben modulaire fiets- en voetgangersbruggen met dragende leuningen een aantal specifiee voor- en nadelen. Het grootste probleem is het uitnien van de bovenregel van de leuning. De probleemstelling voor deze thesis zal als volgt zijn: Geconstateerd is dat bij de gewenste slanheid van de leuningen, fenomenen optreden die we ennen vanuit de staalbouw: ni, ip en niplooi. De oplossing van dit probleem is enerzijds eenvoudig, maar tegelij oo complex. Het is een stabiliteitsprobleem, dat wil zeggen dat: Wanneer de brugleuning horizontaal uitbuigt, zullen de horizontale spatrachten in de brugleuning toenemen. Hierdoor zal de brugleuning na het bereien van een ritie punt snel bezwijen. De leuning is de hoofddraagconstructie van de brug, dientengevolge is de brug bezween wanneer de leuning bezween is.

16 . Inleiding Normaal gesproen geeft een grote doorbuiging een waarschuwing, maar in geval van een stabiliteitsprobleem is er nauwelijs sprae van een waarschuwend effect. Een te zware belasting zal leiden tot instorten zoals oo op Figuur te zien is. Het is voor een dergelije constructie extra van belang om exact te weten waar dat ritiee punt ligt en hier ver genoeg vandaan blijven, opdat de brug niet instort. Het ritiee punt an worden uitgedrut in een stabilisatiefactor n. Doelstelling van deze thesis: Deze thesis moet leiden tot een ader waarbinnen de architect alle vrijheid heeft om het ontwerp, voor een brug met dragende leuning, te maen naar zijn wens. Subdoelstellingen van deze thesis: Het in aart brengen wele importantie de tweede orde effecten hebben. De dragende leuningbrug zal seriematig in moten geprefabriceerd unnen worden. De onderlinge aansluiting van moten moet op een relatief eenvoudige manier plaats unnen vinden. 5

17 De dragende leuningbrug Een ader maen waarbinnen architecten de ruimte hebben hun eigen ontwerp te maen, vereist eerst een standaard- of referentieontwerp. De functionele eisen aan fiets- en voetgangersbruggen zijn in alle gevallen gelij aan elaar. Een brug is een unstwer dat gebruit wordt om verbinding te maen tussen twee infrastructurele netweren. De functionele eisen aan de brug zijn daarom vrijwel gelij aan de eisen van fiets- en voetgangerspaden. Als basis voor de niet constructieve functionele eisen wordt meestal de Aanbevelingen Stedelije Vereersvoorzieningen [5] gebruit. Voor de constructieve eisen gebruit men vanaf medio 008 de Eurocode, de algemeen aanvaarde richtlijn voor het reenen aan bruggen in Europa. De gebruite constructieve normen in deze thesis zijn: NEN-EN 990: Eurocode 0, Grondslag van het constructief ontwerp [6] NEN-EN 99: Eurocode, Belastingen op constructies [7] NEN-EN 99: Eurocode, Ontwerp en bereening van betonconstructies [] De Eurocode bevat vooral toetsingen op basis van sterte en vervormingen. In de toetsingen ten behoeve van tweede orde effecten voor liggers prefereert veiligheid. Het gevolg is de aanbeveling; de constructie zo ontwerpen, dat tweede orde effecten niet of nauwelijs vooromen. Wil men toch verder gaan met tweede orde effecten, dan zal men de veiligheid van de brug moeten garanderen op een manier wele niet expliciet in de Eurocode staat omschreven. Dat houdt in dat in deze thesis vooral gereend wordt met regels volgens de algemene mechanica, met waar mogelij terugoppelingen naar de Eurocode. De brug moet bestaan uit verschillende geprefabriceerde onderdelen die te vervoeren zijn op een leine vrachtwagen. Uit eerdere studies [] is gebleen dat de brug het beste opgenipt an worden in moten van enele meters lengte. Het resultaat zal een aaneenschaeling van U-profiel doorsneden zijn. Deze doorsneden unnen aan elaar geregen worden door middel van voorspanabels of natte nopen tussen de verschillende elementen.. Het brugde De leuningen zijn de hoofddraagconstructie en het brugde zal in dwarsrichting afsteunen op de leuningen. De belangrijste functies van het brugde zijn het afdragen van de belastingen naar de leuningen en stijfheid verlenen aan de leuningen zodat deze niet omvallen. In een ontwerp waarbij de brug uit meerdere 6

18 . De dragende leuningbrug moten bestaat, zal het moeilij zijn om het brugde oo in de lengterichting te laten dragen. Voor het referentieontwerp is daarom geozen om fysie het brugde oo op te nippen. Spleten tussen de verschillende geprefabriceerde moten zorgen er oo voor dat de detaillering van het brugde vereenvoudigd wordt. Daarbij bieden de spleten de mogelijheid om water af te voeren, zonder dat extra voorzieningen zoals een doorgaande goot nodig zijn. Bij het streven naar een zo slan mogelij brugde zou het tegenstrijdig zijn om weer een verhoogd voetpad op de brug aan te leggen. De verschillende vereersstromen unnen oo gescheiden worden door het fietspad rood te leuren of belijning op de brug aan te brengen. Natuurlij zal deze euze gemaat moeten worden door een architect in goed overleg met een vereersundige, maar voor het referentieontwerp is het uitgangspunt dat er geen verhoogd voetpad op de brug omt.. De leuningen De leuningen bestaan uit een leuningbovenregel, de druzone, een leuningonderregel, de trezone en de vlavulling tussen de boven- en onderregel. Vlavulling In het voorlopig referentie-ontwerp wordt uitgegaan dat de vlavulling van de leuningen (tussen leuningbovenregel en leuningonderregel) een massieve plaat is. In werelijheid zal een ontwerper of architect hier leuningstijlen of andere open structuren voor ontwerpen. In beginsel is het mogelij om ele vorm van vlavulling toe te passen. Leuningbovenregel De afmetingen van de leuningbovenregel, de druzone, worden bepaald aan de hand van een nibereening. De stabiliteitsfactor [8] speelt daarbij een grote rol. De stabiliteitsfactor n is de niracht in de leuningboveregel gedeeld door de werelij optredende normaaldruracht. Stabiliteitsfactor: F n N Leuningonderregel De afmetingen van de leuningonderregel zijn van belang om de dwarsrachten en eventuele torsierachten op te unnen nemen. De leuningonderregel wordt op dru en tre belast. In het referentieontwerp is de uitgangspositie dat de moten van de brug aan elaar worden geregen door nagerete voorspanabels toe te passen door de leuningonderregels. 7

19 . De dragende leuningbrug.3 Mootafmetingen De maximale afmeting van één moot is bepert tot de maximale afmeting die te vervoeren is op een 3,5 ton vrachtwagen. Voor de massa van één moot geldt dezelfde eis. De meeste parbruggen zijn geen doorgaande wegen, dus de breedte van 3,5 meter (fietspad) +,0 meter (voetpad) is erg veel, zie oo Bijlage B. Bovendien is een mootbreedte van 5,5 6,0 meter te lang voor de laadba van een leine vrachtwagen van 3,5 ton. De brugbreedte voor het referentieontwerp is daarom op meter gesteld. Daarmee is de brug geschit voor een voetpad in combinatie met een fietspad met een enele rijbaan of een fietspad met een dubbele rijbaan zonder voetpad. Voor de meeste leine parbruggen is deze breedte voldoende. De mootlengte is afhanelij van de breedte van de vrachtwagen en is voor het referentieontwerp in eerste instantie vastgesteld op meter. Dat beteent direct dat het ontwerp een modulaire bruglengte heeft met een veelvoud van meter. Uiteraard is de mootlengte oo afhanelij van het maximaal te vervoeren gewicht, maar dat is op dit moment nog onbeend.. Mootverbindingen De moten zullen op locatie aan elaar geregen worden. Alleen de leuningbovenregel en de leuningonderregel van de brug zijn doorgaand. Dat beteent dat de mootaansluiting zich op vier punten zal concentreren. Voor de leuningbovenregel an een oude verbinding worden gebruit Leuningbovenregel Leuningbovenregel die alleen dwarsracht en normaal Beton Beton druracht zal overbrengen. Het gewicht van de brug en de variabele belasting op de brug zorgt dat de leuningbovenregel op normaal Deuvel Deuvel - RVS~ RVS druracht belast is. Men an als verbinding denen aan een soort pen Figuur 3. Voorbeeld van een deuvelverbinding en gat of deuvel- verbinding. Hier zal, nadat de stabiliteitseigenschappen van de brug beend zijn, nog in detail naar geeen moeten worden voor het definitieve brugontwerp. De verbinding tussen de verschillende moten in de leuningonderregel an met natte nopen of met voorspanabels plaatsvinden. Beide methoden hebben voordelen. De grootste voordelen van voorspanabels toepassen zijn de snelheid van monteren 8

20 . De dragende leuningbrug en eenvoudige demontage. De moten worden in één eer aan elaar geregen en met de voorspanabels nagespannen. Direct na het naspannen an de brug vol belast worden. De methode met natte nopen bespaart de duurdere voorspanabels, bovendien is de afmeting van de leuningonderregel niet meer afhanelij van de benodigde ruimte voor de aners die benodigd zijn bij het voorspannen. Oo an de wapening in de leuningonderregel doorlopend zijn. De beweringstijd en osten op locatie zullen toenemen. De nopen moeten eerst uitharden alvorens men de hulpconstructie of stelconstructie an weghalen. Pas nadat de nopen volledig zijn uitgehard (officieel na 8 dagen) an men de brug openstellen voor vereer. Hierbij moet oo reening gehouden worden met het feit dat men met een leine trucmixer op de definitieve locatie van de brug moet unnen omen. Het is daardoor nog de vraag of de optie met natte nopen oo daadwerelij goedoper is. Enele andere redenen om toch voor voorspanning te iezen zijn: Het verwijderen van de brug met voorspanabels an sneller. Dit gebeurt in de omgeeerde methode, als dat de brugmoten geplaatst zijn. De moten unnen dan, mits onbeschadigd door gebrui, gemaelijer hergebruit worden of als tijdelije brug dienen. De betonwaliteit is gegarandeerd en de leur van het beton over de gehele lengte gelij. Bij het aanstorten van beton heeft men oo geen naden of randen die er lelij uit unnen zien. Het plaatsen van de brug is minder weersafhanelij doordat men op locatie geen beton hoeft te storten. Na beschouwing van bovenstaande voor- en nadelen is geozen om voor het referentieontwerp uit te gaan van voorspanning in de leuningonderregel. Ter plaatse van de mootovergangen moet extra aandacht worden besteed aan de detaillering om te vooromen dat de voorspanabels niet beschadigd worden. Om een goede corrosieweerstand te unnen garanderen is het noodzaelij dat voorspanabels van nageret staal zonder aanhechting gebruit worden. Deze abels zijn ingeapseld in een vetoer en daardoor beter bestand tegen corrosie ter plaatse van de mootovergangen..5 Fundatie De fundering van de brug wordt niet meegenomen in deze thesis. Bij nieuwe bruggen zal er een nieuwe fundering nodig zijn. Bij het vervangen van een bestaande brug an misschien de bestaande fundering gebruit worden met eventueel enele leine aanpassingen. 9

21 . De dragende leuningbrug.6 Uitvoering De brugmoten zullen op of nabij de definitieve locatie van de brug aan elaar bevestigd worden. Dit an op twee manieren; men an een hulpconstructie maen om alle moten op de definitieve locatie van de brug te unnen stellen en alle moten aan elaar bevestigen. Het is oo mogelij de brugmoten te stellen op een open ruimte in de buurt van de definitieve locatie, om dan vervolgens met een raan de brug, nadat alle moten aan elaar bevestigd zijn, op zijn definitieve locatie te hijsen. Wele van deze twee methoden beter is, is afhanelij van de hoeveelheid beschibare ruimte en beschibare raancapaciteit..7 Draadmodel van het referentieontwerp Het voorlopig ontwerp in Figuur is een draadmodel. De globale afmetingen van de brug zijn beend, maar de afmetingen van de verschillende onderdelen nog niet en worden dus nog niet als zodanig geteend. Aan de hand van dit ontwerp zal in hoofdstu 6 beeen worden wat de minimale afmetingen moeten worden volgens bereeningen. Mootlengte Vlavulling Leuningbovenregel Brugbreedte b m Bruglengte L 6m Leuningonderregel Figuur. Voorlopig ontwerp (draadmodel) 0

22 3 Kniracht in de leuningbovenregel De ritische belasting op de brug geeft een ritische dru normaalracht in de leuningbovenregel. Deze ritische normaalracht wordt oo wel niracht genoemd. In theorie is het haalbaar om onder ideale omstandigheden de druligger of olom te belasten tot de ritische belasting. De pratij wijst anders uit. Zeer leine onvolomenheden in de druligger of olom veroorzaen excentrische belastingen. Deze leine excentrische belasting heeft tot gevolg dat de druligger bij een veel lagere belasting bezwijt dan de ritische belasting. In eerste instantie zal gezocht worden naar de bovengrens van de maximale ritische normaalracht of niracht in de leuningbovenregel. 3. Kniracht Kni [8] is een zuiver theoretisch begrip, omdat men bij ni initieel altijd uitgaat van een lineair elastisch materiaal van een zuiver rechte bal of olom die zuiver centrisch op normaalracht word belast. Door een beende of onbeende oorzaa rijgt deze olom een leine uitbuiging. Deze olom is stabiel indien hij na verdwijnen van de oorzaa van de uitbuiging weer in zijn rechte stand terugeert. Behalve de zuiver rechte toestand van de olom zijn meer toestanden van evenwicht mogelij. De theoretisch maximale grenswaarde van de racht waarbij de olom nog terugeert in een rechte toestand wordt de niracht F genoemd. In het verleden is al veel onderzoe gedaan naar dit fenomeen. In de achtiende eeuw stelde de wisundige Leonhard Euler [9] een formule op voor de niracht. Deze formule vormt heden ten dage nog steeds het uitgangspunt voor het bepalen van de niracht. F F Naast de formule volgens Euler die een nivorm beschrijft van een sinus, ennen we oo de partiele nivorm [8]. De partiele ni an het best worden vergeleen met een scharnierend opgelegde olom die omvalt omdat de constructie die hem op de uiteinden horizontaal vasthoud bezwijt. De op dru belaste olom bezwijt in dat geval niet. Eulerse ni Figuur 5. Knivormen Partiele ni

23 3. Kniracht in de leuningbovenregel 3. Eulerni Eulerni [9] is het verschijnsel waarbij een staaf zonder imperfecties op zuivere dru (enel normaalracht, geen momenten aanwezig) wordt belast, totdat de nigrens wordt overschreden. Zodra deze grens bereit is zal een staaf in één of meer sinusgolven loodrecht op de staaf-as uitbuigen, zoals afgebeeld in Figuur 6. Omdat deze vorm van instabiliteit leidt tot bezwijen voordat de volledige doorsnedencapaciteit op sterte bereit is, zal een gedrute constructie hierop altijd gecontroleerd moeten worden. Een staaf zal enel uitbuigen indien een ritische belasting aangebracht wordt. De wisundige Leonhard Euler stelde een formule op die de maximale belasting bepaalt die een lange, slane staaf an dragen zonder nien. In deze formule word de constructienormaal-racht geoppeld aan de doorsnedencapaciteit (buigtresterte). De Eulerse niracht is te bereenen met de formule: F E EI l EI l Is het traagheidsmoment met daarin de materiaalen vormeigenschappen. Is de nilengte, de afstand van een zuivere halve sinus. F E l F E Deze situatie zoals geschetst in Figuur 6 is niet hetzelfde als wat vooromt bij de leuningdragende regel. Figuur 6. Knilengte F l Figuur 7. Knilengte met verende ondersteuning F De leuningregel an worden gezien als een verend ondersteunde ligger, zoals afgebeeld in Figuur 7. Deze veerstijfheid levert een extra bijdrage aan de stabiliteit. De niracht is heeft dus een vorm van: EI F? l

24 3. Kniracht in de leuningbovenregel 3.3 Kniracht voor een verend ondersteunde ligger Om er achter te omen wat de invloed van de verende ondersteuning is, moeten we terug naar de basis. Het oplossen van de niracht an met behulp van de evenwichtsmethode [0,]. Door een stuje van de op dru belaste leuningbovenregel te isoleren en het evenwicht te nemen van alle rachten op het stuje leuningbovenregel, afgebeeld in Figuur 8, is het mogelij om de niracht eruit te halen. dx w V w q N M W dx Figuur 8. Definitie staafparameters x w+w dx M+M dx N V+V dx Evenwicht: V 0 V ( V V ' dx) qdx 0 V ' q 0 M 0 M Nw'dx Vdx M ' Nw' V 0 M M'dx 0 Het combineren van V 0 en M 0 resulteert in de volgende afleiding: M '' Nw'' q 0 De dwarsracht valt nu uit de differentiaalvergelijing. Door het moment M en de belasting q om te schrijven naar een functie van de verplaatsing, is de differentiaalvergelijing op te lossen. De niracht in de differentiaal is te verrijgen door de normaalracht te vervangen door de niracht. M EI EIw'' en q w(x) en N F d w( x) d w( x) d w( x) F d w( x) EI F w( x) 0 > w( x) 0 dx dx dx EI dx EI 3

25 3. Kniracht in de leuningbovenregel De Eulerni had de bezwijvorm van een sinus. Het is daarom aannemelij dat oo deze bezwijvorm een sinusvorm is, zie oo Figuur 9. De nilengte binnen deze sinus is l en deze functie wordt vermenigvuldigd met een willeeurige constante h, die desgewenst oo weg te laten is. w(x) l Figuur 9. Sinusfunctie x w x sinx x w x hsinx met l W(x) integreren en invullen in de differentiaal vergelijing geeft: d w x) dx ( d w x) dx ( h sinx en h sinx x F h sinx hsin x 0 EIh sin > EI F 0 De niracht wordt dan: F EI Na het invullen van β omt de formule tevoorschijn waarvan het eerste deel gelij is aan de Eulerni en wele bijdrage de veerconstante levert. EI l F l anders geschreven als EI l F l De grote onbeende in deze formule is de nilengte. Omdat het hier gaat om een verende ondersteuning is het onwaarschijnlij dat de nilengte gelij is aan de werelije lengte zoals in het basis geval met Eulerni. Maar hoe groot is de nilengte dan? 3. De nilengte De nilengte is de afstand tussen een top en een dal van de momentenfunctie en hoeft niet gelij te zijn aan de effectieve lengte van de staaf [9]. De nilengte heeft dus de vorm van een halve golflengte van een zuivere sinus, zie Figuur 9.

26 3. Kniracht in de leuningbovenregel Door de bovenregel van de druzone te beschouwen als een verend ondersteunde ligger an de golflengte uitgereend worden. Dit systeem omt erg overeen met het uitreenen van de golflengte in een funderingsblo of spoorrails. Hier volgen twee manieren om de nilengte te bepalen. Beide manieren omen op dezelfde nilengte uit. De eerste manier is een analytische benadering van de differentiaalvergelijing. De tweede manier is een grafische benadering van de niracht. In beide gevallen wordt gezocht naar de leinste nilengte waarbij de niracht het leinst is. De analytische benadering: De differentiaalvergelijing voor een elastisch ondersteunde buigligger is []: (zie oo Figuur 0) d w( x) d w( x) EI F w( x) q( x) dx dx Deze vergelijing is vrijwel gelij aan de differentiaalvergelijing die gebruit is om de niracht op te lossen. Het verschil zit in de mogelijheid om een verdeelde belasting q(x) op de regel te laten aangrijpen. F q(x) Figuur 0. Elastisch ondersteundende buigligger F Het zoeen is naar de algemene oplossing van deze differentiaalvergelijing. Uit de algemene oplossing volgt de golflengte en de benodigde nilengte. Wele waarde q(x) heeft, is vooralsnog niet interessant en maat niet uit voor oplossing, dus om de differentiaalvergelijing te vereenvoudigen wordt de q(x) vastgezet op nul. De gereduceerde differentiaalvergelijing is dan weer gelij aan de vergelijing die benodigd was om de niracht te bepalen. d w( x) d w( x) EI F w( x) 0 dx dx Oplossen van de gereduceerde differentiaalvergelijing: F met en gaat de vergelijing over in: EI EI d w( x) d w( x) w( x) 0 dx dx 5

27 3. Kniracht in de leuningbovenregel rx substitutie van w( x) e in de vergelijing: r r 0 6 r oplossen: r De oplossing wordt dan: w ( x) e rx Omdat het hier gaat om een opsomming van e-machten mag achtereenvolgens α & β gesteld worden aan 0. * 0 > r ( i) & 0 > r i De algemene oplossing met α = 0 en β = 0 is: w( x) Ae w( x) (i) x Be (i ) x Ce (i ) x De (i) x x ix ix x ix ix e ( Ae Be ) e ( Ce De ) Ee Ee ix ix Fe Fe ix ix met e ix cos x isin x & e ix cos x isin x x x w( x) e {( A B)cos x i( A B)sin x} e {( C D)cos x i( C D)sin x} ( E F)cosx i( E F) sinx Na omschrijven naar reële constanten wordt de algemene oplossing verregen: x x w( x) C cosx C sinx e { C3 cos x C sin x} e { C5 cos x C6 sin } x F met & EI EI Uit de algemene oplossing is het arater van de verplaatsing af te lezen. De verplaatsing heeft een versterte of uitdempende golvende beweging met een golflengte αx en/of βx. * Er is oo nog de mogelijheid om vanaf hier de oplossing proberen te verrijgen door β = χα toe te passen. Dit lijt voordelen te geven omdat hierdoor het aantal onbeende variabelen wordt gereduceerd van twee naar één. χ is in dit geval een constante. In de pratij is dit moeilij op te lossen met als resultaat een antwoord met complexe getallen. 6

28 3. Kniracht in de leuningbovenregel w(x) l? l? golflengte? x Figuur. Wat is de nilengte? De verplaatsing w(x), wele afhanelij is van de som van de amplitudes, is in dit geval niet interessant. Het is niet nodig om de zes onbeenden op te zoeen. Waar het hier om gaat is wat de halve golflengte is. Normaal is de golflengte gelij aan π, zoals oo al Figuur 9 was aangegeven. Beide beende golflengten moeten gelij zijn aan π. l & l Zoals uit Figuur blijt is de exacte nilengte hiermee nog niet beend. Er zijn meerdere theoretische nilengten mogelij. De nilengte is afhanelij van zowel α als β. Om combinaties van α en β mogelij te maen voegen we de volgende variaties toe. F * met EI EI F EI * met EI EI F F EI Er zijn nu vier mogelije nilengten. Alle vier behoren tot de mogelije maatgevende nilengte, en moeten dus oo alle vier worden ingevuld in de niracht formule. Op voorhand is het niet mogelij te zien wele van de onderstaande nilengte maatgevend zal zijn. Alleen de laagste waarde voor de niformule telt. 7

29 3. Kniracht in de leuningbovenregel De vier mogelije oplossingen zijn: EI l; ; F F EI ; EI F EI F F EI F Dit lijt een tegenstrijdige uitomst, dat is niet het geval, aangezien in dit geval β = 0 en dus = 0 is. Hier staat dus in werelijheid: F ;α = F. Met deze uitomst unnen we niet verder. l ; EI ; EI EI F 5 ; EI EI EI EI Hier geldt α = 0, dat houdt in dat de normaalracht (niracht) niet wordt meegenomen in de differentiaalvergelijing, waardoor de verwachting is dat de uitomst van deze waarde een te grote F geeft. EI ; l * ; F * ; EI EI EI EI EI EI De leinste waarde van is hier bepalend voor de leinste F α*. De leinste waarde hiervan is alleen te bereien wanneer de term boven de breu gelij is aan de term onder de breu; χ =. geeft de leinste waarde, wele resulteert in F * EI ; Zoals verwacht is deze niracht leiner dan F ;ß. 8

30 3. Kniracht in de leuningbovenregel EI F ; l * ; F * ; EI EI F EI F F EI F ( ) EI De leinste waarde van is hier bepalend voor de leinste F ;ß. ( ) Voor ele waarde voor χ, resulteert deze niracht in een imaginair getal. Deze niracht is niet bruibaar. De nilengten l ;α, l ;β en l ;β* vallen af; l ;α geeft geen oplossing voor F, l ;β geeft een te grote oplossing voor F en l ;β* geeft alleen een te imaginaire oplossing voor F. Met geeft de nilengte l ;α de leinste niracht. De nilengte die verantwoordelij is voor de leinste niracht is: EI EI l l * ; De grafische benadering De nilengte l uitzetten tegen F in Figuur [] en dan zoeen naar de laagste niracht. Deze methode is minder wisundig en gemaelijer visueel te begrijpen. Verwacht wordt dat met beide methoden de leinste niracht en de daarbij behorende nilengte verregen an worden. Omdat de nilengte onbeend is het handiger om l te vervangen voor ξl met L is de volledige lengte van de brug. Zo an de bruglengte op ele gewenste lengte worden ingevoerd. EI F l l EI L L 9

31 3. Kniracht in de leuningbovenregel F F Fe [=0] Fv [EI=0] F F F E v F EI L E F L F Fe [=0] Fv [EI=0] v Figuur. Grafische nibenadering In de formule moeten de waarden EI, en L als constante worden vastgesteld op een willeeurige waarde om de grafie te unnen teenen. De constanten vormen slechts een vergrotingsfactor in de formule en hebben geen invloed op het verloop van de grafie. Het uitzetten van F tegen ξ in Figuur geeft duidelij weer dat er één minimum is en daardoor ξ uitgedrut an worden in één vaste waarde. In Figuur is verder af te lezen wele wering de Eulerni F E en wele wering de niracht ten gevolge van de veerconstante F v heeft. v De leinste waarde van F wordt verregen als df 0. d df EI L 0 3 d L > EI L Hetzelfde resultaat is bereien door gelijstellen van de Eulerni aan de niracht ten gevolge van de veerconstante F E = F. In Figuur zijn beide v componenten van de niracht oo los afgebeeld. Het snijpunt van deze twee stippellijnen (nirachten) geeft oo de waarde voor ξ waarmee de leinste en. dus maatgevende niracht wordt bereit. EI regel L EI EI > & L L L 30

32 3. Kniracht in de leuningbovenregel De nilengte wele gelij is aan de analytische benadering wordt dan: l l L ; EI orende De bijbehorende niracht niracht is: is: EI EI F ; EI EI EI Deze geeft rechtstrees de leinste waarde voor F, die oo eerder door de meer analytische benaderingen gevonden is. EI 3.5 De formule van Engesser Het invullen van de nilengte in de formule voor de niracht geeft een bijzondere formule. Voor situatie zoals geschetst in Figuur 3, mogen we dus aannemen dat de minimale niracht is: F F l Figuur 3. Knilengte met verende ondersteuning F EI De gevonden niracht formule blijt beend te staan als Formule van Engesser [3] en heeft als grote voordeel dat de nilengte niet meer uitgereend hoeft te worden om de niracht te bepalen. Hierbij lijt de formule onafhanelij te zijn van de nilengte. Doordat de nilengte variabel is, zoet de constructie de weg van de minste weerstand. De nilengte zal voor de formule van Engesser altijd een variabele zijn die afhanelij is van het eigen buigtraagheidsmoment van de ligger en de veerstijfheid van de ondersteuning. Hiermee lijt de niracht van de leuningbovenregel beend te zijn. Het is interessant om te controleren of de numeriee bereening dezelfde waarde voor de niracht geeft als de handbereening met de formule van Engesser. Om een numeriee bereening te unnen maen moeten de afmetingen van de druligger (leuningbovenregel), de elasticiteitsmodules van de gebruite betonlasse, de veerstijfheid van de doorsnede en de lengte van de bal beend zijn (Zie Bijlage C). 3

33 3. Kniracht in de leuningbovenregel Voor deze vergelijing zijn die gegevens geschat op: Een bal verend ondersteund: Lengte: 6 m Breedte: 300 mm Hoogte: 00 mm Betonlasse: C50/B60 (E=37 GPa) Veerracht in y-richting: 600 N/m In z-richting is de bal over de volledige lengte opgelegd. In x-richting is geen oplegging aanwezig. De normaalracht in de druligger wordt opgewet door op beide uiteinden een puntlast te zetten van 3700N. Daarnaast is nog een puntlast loodrecht op de bal nodig om een eerste orde verplaatsing te introduceren. De puntlast is 00N. Belasting Puntlasten: x 3700N (normaalracht 3700N) Belasting Puntlast loodrecht: 00N Er zijn in totaal drie bereeningen uitgevoerd met de combinatie van bovenstaande belastingen: Een lineaire eerste orde bereening, een geometrisch niet lineaire tweede orde bereening en een lineaire stabiliteitsbereening. De numeriee stabiliteitsbereening geeft rechtstrees de stabiliteitsfactor n. Met de eerste en de tweede orde bereening is op basis van de verplaatsing de stabiliteitsfactor handmatig uit te reenen. Door de stabiliteitsfactor te vermenigvuldigen met de normaaldruracht is de niracht te bepalen. De lineaire eerste orde verplaatsing is in het midden,690mm. 3 De geometrisch niet lineaire tweede orde bereening geeft een verplaatsing van 30,9mm in het midden.

34 Dragende leuningbrug Dragende leuningbrug 3. Kniracht in de leuningbovenregel De geometrisch niet lineaire tweede orde bereening geeft 30,9mm een verplaatsing het midden. van 30,9mm in het midden. De geometrisch niet lineaire tweede orde bereening geeft een verplaatsing van 30,9mm De geometrisch in het niet midden. lineaire tweede orde bereening geeft een verplaatsing van 30,9mm De geometrisch in het niet midden. lineaire tweede orde bereening geeft een verplaatsing van 30,9mm De geometrisch in het niet midden. lineaire tweede orde bereening geeft een verplaatsing van 30,9mm in het midden. Uit de de tweede orde orde verplaatsing is is oo oo te te halen halen dat dat de de maatgevende maatgevende stabiliteitsfactor en dus niracht voor deze constructie niet in het midden zit, maar op de uiteinden. De stabiliteitsfactor en dus niracht voor deze constructie niet in het midden zit, stabiliteitsfactor die door de stabiliteitsbereening is bepaald zal dus de Uit stabilitietswaarde maar tweede op de orde uiteinden. verplaatsing geven De die stabiliteitsfactor van is toepassing oo te halen is die op dat door de de uiteinden maatgevende stabiliteitsbereening van de stabiliteitsfactor drustaaf. De en dus Uit de formule is niracht bepaald tweede van zal orde engesser voor dus verplaatsing deze gaat stabiliteitswaarde constructie is oo is alleen te niet te halen vergelijen in geven het dat midden die de met van maatgevende de toepassing zit, middelste maar op uitwijing is stabiliteitsfactor de op uiteinden. omdat De en de dus stabiliteitsfactor Uit randeffecten uiteinden niracht tweede van orde voor niet die de verplaatsing worden drustaaf. deze constructie door de meegenomen stabiliteitsbereening De is numeriee oo niet te in halen in het die stabiliteitsbereening formule. dat midden de is bepaald maatgevende zit, maar op In dit geval zal dus is houdt stabiliteitsfactor de uiteinden. de reening De de en stabilitietswaarde stabiliteitsfactor dus Uit stabiliteitsbereening met niracht tweede randeffecten. orde voor die geven verplaatsing door deze De formule daarom die constructie de van stabiliteitsbereening onbruibaar van toepassing is oo Engesser niet te in halen is het als gaat op vergelijingsmateriaal. midden dat de is uit uiteinden bepaald van maatgevende zit, een maar zal oneindige van dus op de stabiliteitsfactor de drustaaf. uiteinden. ligger De De en stabilitietswaarde formule stabiliteitsfactor dus Met waarin niracht de van hand randeffecten engesser an voor die geven uit door deze die gaat niet bovenstaande is constructie van unnen stabiliteitsbereening toepassing alleen te plaatsvinden. vergelijen niet verplaatsingen is het op midden de met Daarom is uiteinden bepaald de volgens middelste zit, is de maar zal van numeriee stabiliteitsfactor dus de op uitwijing drustaaf. de uiteinden. en De omdat De de randeffecten formule stabilitietswaarde stabiliteitsfactor niracht van engesser stabiliteitsbereening niet worden worden die geven door bepaald. gaat die onbruibaar meegenomen is de van alleen stabiliteitsbereening toepassing te vergelijen als vergelijingsmateriaal. die is formule. op de met is uiteinden bepaald In middelste dit geval van zal Met dus de is uitwijing de drustaaf. de omdat De de randeffecten hand an uit formule stabiliteitsbereening stabilitietswaarde van engesser niet worden geven gaat meegenomen de bovenstaande verplaatsingen daarom die is alleen van onbruibaar toepassing te vergelijen die de volgens als is formule. stabiliteitsfactor vergelijingsmateriaal. op met de uiteinden In middelste dit geval van is uitwijing de de drustaaf. omdat De de en niracht worden randeffecten Met stabiliteitsbereening formule hand van Verhouding an niet engesser uit worden tussen daarom gaat bovenstaande meegenomen eerste is alleen onbruibaar tweede te verplaatsingen vergelijen die orde: als formule. vergelijingsmateriaal. met de In de volgens dit middelste geval stabiliteitsfactor is uitwijing de omdat en de Met bepaald. n u de niracht stabiliteitsbereening randeffecten hand an worden niet uit worden bepaald. daarom bovenstaande meegenomen onbruibaar verplaatsingen die als formule. vergelijingsmateriaal. de ordein volgens, tot dit geval stabiliteitsfactor is de en niracht u u ste u ste Met > n stabiliteitsbereening de hand worden an uit bepaald. de ordebovenstaande daarom n onbruibaar verplaatsingen als uvergelijingsmateriaal. de de volgens u stabiliteitsfactor en ste orde, tot orde niracht Met de Verhouding Verhouding hand worden an uit tussen tussen bepaald. de bovenstaande eerste eerste tweede tweede verplaatsingen orde: orde: de volgens stabiliteitsfactor en niracht Verhouding worden tussen bepaald. eerste en tweede orde: Stabiliteitsfactor: de orde, tot Verhouding de stetussen eerste n steen tweede > orde: u de orde 30,9 orde orde orde, tot u de u ste n u > n de ste,93 Verhouding orde orde tussen orde orde, tot orde 30,9,690 nn eerste en tweede orde: u u de de u ste orde, tot orde, tot u orde de u ste u ste > n orde orde orde n n u u de de orde u, tot ste Stabiliteitsfactor: u orde, tot orde de u ste u ste > n orde orde orde Stabiliteitsfactor: Kniracht: n u de u ste 30,9 orde, tot orde Stabiliteitsfactor: F, scia, 30,9 eng n N, , N n 30,9,690,93 Stabiliteitsfactor: 30,9 30,9,690 n,93 De niracht Kniracht: 30,9 30,9,690 n Kniracht: volgens de formule,93 van Engesser is: 30,9, scia, eng,690,933 3 Kniracht: hb , 300 N Kniracht: F, scia EI, eng n N leuningbovenregel,93 E , 835 N Nm FKniracht:, scia, eng n N, , N F, eng EI , 3N De niracht F, volgens n N de formule van Engesser is: De niracht scia, eng, , volgens de formule 3 van Engesser 3 is: Hiermee is aangetoond hb EI dat 3 de formule van 3 De niracht engesser Nmdezelfde niracht geeft als een volgens enregel de hb formule 3700 van is: numerie De niracht EIleuningbov eindige enregel volgens elementen E de 37 model. Het leine 835 verschil Nm 3 formule van 3Engesser is: tussen de formule van engesser De niracht volgens de en de nummeriee EI bereening hbformule EI is 00 van te verlaren 300 is: doordat N de uiteinden leine afwijing in de, leuningbov eng enregel E , Nm horizontale F, eng verplaatsing EI hb 600 in het 835 midden , veroorzaen. 3N EIleuningbov enregel E Nm F EI N Hiermee, is eng , 3 aangetoond dat de formule van engesser dezelfde niracht geeft als een Hiermee is aangetoond dat de formule van engesser dezelfde niracht geeft als een numerie F eindige, eng elementen EI 600 model. 835 Het 799, leine 3 verschil N tussen de formule van engesser en numerie Hiermee de nummeriee is eindige aangetoond elementen bereening dat de model. formule is te verlaren Het van leine engesser doordat verschil dezelfde tussen uiteinden niracht de formule leine geeft van afwijing als engesser een in de en de nummeriee bereening is te verlaren doordat uiteinden leine afwijing in de horizontale numerie Hiermee is eindige verplaatsing aangetoond elementen dat in het de model. midden formule Het veroorzaen. van leine engesser verschil dezelfde tussen niracht formule geeft van engesser als een horizontale en numerie de nummeriee eindige verplaatsing elementen bereening het model. is midden te verlaren Het veroorzaen. leine doordat verschil de tussen uiteinden formule leine afwijing van engesser in de 6 horizontale en de nummeriee verplaatsing bereening het midden is te verlaren veroorzaen. doordat de uiteinden leine afwijing in de 6 horizontale verplaatsing in het midden veroorzaen

35 3. Kniracht in de leuningbovenregel Hiermee is aangetoond dat de formule van Engesser dezelfde niracht geeft als een numerie eindige elementen model. Het leine verschil tussen de formule van Engesser en de nummeriee bereening is te verlaren doordat de uiteinden leine afwijingen in de horizontale verplaatsing in het midden veroorzaen. 750 N F, eng 7300 N F, scia, eng 750N nstante normaalracht 3.6 Effect van een niet-constante normaalracht venregel is in werelijheid niet constant over de de leuninbovenregel heeft de vorm van het moment Deze paragraaf De laat, normaalracht aan de hand van in de een leuningbovenregel numerie is in werelijheid niet-constant over de 750 een niet N constante gehele normaalracht lengte. De normaalracht doet met de in de leuningbovenregel heeft de vorm van het moment over de N gehele lengte van de brug. De hart-op-hart afstand tussen de leuningbovenregel en de leuningonderregel is constant over de gehele lengte van de brug. Deze venregel,0n is in werelijheid paragraaf laat, niet aan constant de hand over van de een numerie eindige elementen model, zien wat een niet-constante normaalracht elde belasting op de brug. 65N/m nstante tot 0N/m normaalracht de leuninbovenregel heeft de vorm van het moment doet Deze paragraaf met laat, de aan niracht. de hand L van een numerie t een niet constante normaalracht doet met de N N ug. elde belasting op de brug. 85N/m 65N/m tot 0N/m Simulatie van een gelijmatig verdeelde 7,50N,0N belasting op de brug. Gelijmatig verdeelde belasting: 65N/m tot 0N/m L Normaalracht in het midden 908,0N fde numeriee model gebruit als in paragraaf. De op de druligger (leuningbovenregel) N geplaatst. ug. de formule van Engesser te vergelijen met het 85N/m el Simulatie van een puntlast op de brug. zijn 3 verschillende numeriee bereeningen 7,50N ngen zijn oo voor deze normaalrachten verlopen Gelijmatig verdeelde belasting: 385N/m Normaalracht in het midden 37,50N t: L fde numeriee model gebruit als in paragraaf. Figuur. Simulaties De ng op de druligger (leuningbovenregel) Puntlast op de brug geplaatst. de formule van Engesser te vergelijen met het el zijn 3 verschillende Hiervoor numeriee wordt hetzelfde bereeningen numeriee model gebruit als in paragraaf 5. De is: ingen zijn De oo voor normaalrachten lineaire eerste deze orde normaalrachten worden verplaatsing als verlopen volgt is: op de druligger (leuningbovenregel) geplaatst.,690mm. Bij de vergelijingsbereening om de formule van Engesser te vergelijen met het t: numeriee eindige elementenmodel zijn drie verschillende numeriee bereeningen uitgevoerd. Deze zelfde drie bereeningen zijn oo voor deze twee normaalrachten ng Puntlast op de brug verlopen uitgevoerd. ng is: de orde g van De lineaire eerste orde verplaatsing is: De geometrisch,690mm. niet lineaire tweede orde bereening geeft een verplaatsing van 85,55mm in het midden. de orde g van n De geometrisch 3 niet lineaire tweede orde bereening geeft een verplaatsing van 85,55mm De stabiliteit in het bereening midden. geeft een

36 Bij de vergelijingsbereening om de formule van Engesser te vergelijen met het numeriee eindige elementenmodel zijn 3 verschillende numeriee bereeningen uitgevoerd. Deze zelfde 3 bereeningen zijn oo voor deze normaalrachten verlopen 3. Kniracht in de leuningbovenregel uitgevoerd. De resultaten daarvan zijn als volgt: De resultaten daarvan zijn als volgt: Gelijmatig verdeelde belasting Puntlast op de brug Puntlast op de brug Gelijmatig verdeelde belasting Puntlast op de brug De lineaire eerste orde verplaatsing is: De lineaire eerste orde verplaatsing is: De lineaire,690mm. eerste orde De lineaire,690mm. eerste orde verplaatsing is:,690mm. verplaatsing is:,690mm. De geometrisch niet lineaire tweede orde De geometrisch niet-lineaire tweede bereening geeft een verplaatsing van orde bereening geeft een verplaatsing 6,7mm in het midden. van 6,7mm in het midden. De geometrisch niet lineaire tweede orde bereening De geometrisch geeft niet-lineaire een verplaatsing tweede van orde 85,55mm bereening orde bereening geeft het geeft een midden. verplaatsing een verplaatsing van 85,55mm van 85,55mm in het in midden. het midden. De stabiliteit bereening geeft een De stabiliteit bereening geeft een stabiliteitsfactor van n=,0009. stabiliteitsfactor van n=,0009. Dragende leuningbrug Dragende leuningbrug De stabiliteit bereening geeft een De stabiliteitsfactor stabiliteit bereening van n=,000. geeft geeft een een stabiliteitsfactor van n=, De horizontale verplaatsing van de druligger in de lineaire eerste orde bereening De horizontale heeft De horizontale nis verplaatsing te maen verplaatsing met van de de normaalracht. druligger van de druligger in de De lineaire horizontale in de lineaire eerste eerste orde eerste orde bereening orde verplaatsing bereening heeft heeft nis te wordt maen nis te veroorzaat met maen de normaalracht. met door de normaalracht. een puntlast De horizontale van De 00N horizontale eerste loodrecht orde eerste op verplaatsing orde druligger verplaatsing wordt te wordt veroorzaat plaatsen. veroorzaat door een De tweede door puntlast een orde puntlast van 00N bereening van loodrecht 00N geeft in loodrecht op de druligger heeft gevallen op de de druligger te plaatsen. grootste te horizontale plaatsen. De tweede orde bereening geeft in heeft gevallen de grootste horizontale uitwijing in uitwijing De tweede in orde het midden. bereening De door geeft de in numeriee heeft gevallen lineaire de grootste stabiliteit horizontale bereening uitwijing in het midden. De door de numeriee lineaire stabiliteit bereening bereende stabiliteitsfactor bereende het midden. zal stabiliteitsfactor De door de numeriee een reële waarde zal een zijn reële lineaire voor waarde stabiliteit deze bereening. zijn voor bereening deze De met bereening. bereende de hand De met bereende stabiliteitsfactor hand stabiliteitsfactor bereende zal stabiliteitsfactor een reële waarde voor deze modellen voor zijn deze voor is: twee deze modellen bereening. is: De met de hand bereende stabiliteitsfactor voor deze modellen is: Verhouding tussen eerste en en tweede Verhouding tussen eerste en tweede orde: orde: n u de orde, tot u de ste u n u de ste > n orde, tot orde u de orde u ste orde ste orde n orde u > orde u n de u ste n orde, tot u orde u de orde, tot ste orde Stabiliteitsfactoren: Stabiliteitsfactoren: Gelijmatig verdeelde belasting Puntlast op de brug Gelijmatig Gelijmatig verdeelde verdeelde belasting belasting Puntlast Puntlast op de brug op de brug 6,7 85,55 n 6,7,03 n 85,55,073 6,7 n,690,03 6,7,690 85,55 n,690,073 85,55,690 Het opvallendste Het opvallendste is dat de is dat stabiliteitsbereening de stabiliteitsbereening in geval in geval van van een puntlast een veel Het opvallendste is dat de stabiliteitsbereening in geval van een puntlast leinere een stabiliteitsfactor veel leinere stabiliteitsfactor geeft dan de met geeft de hand dan nagereende stabiliteitsfactor. a a een puntlast een veel leinere stabiliteitsfactor geeft dan de a met de Het hand met verschil de nagereende hand tussen nagereende de stabiliteitsfactor. twee stabiliteitsfactor. bereeningen Het verschil is 7% Het verschil en dat is fors. Door de N N tussen de tussen bereeningen de bereeningen is 7% en is 7% dat is en fors. dat Door is fors. de Door de normaalracht normaalracht te laten te lijen laten op lijen figuur op figuur met afstand met afstand a is a is meter is meter de met is de hand met de nagereende hand nagereende stabiliteitsfactor stabiliteitsfactor bijna bijna 35 a

37 3. Kniracht in de leuningbovenregel normaalracht te laten lijen op Figuur 5 met afstand a is meter is de met de hand nagereende stabiliteitsfactor bijna gelij aan de stabiliteitsfactor volgens de gelijmatig verdeelde belasting. Dat houdt in dat het laatste beetje extra normaalracht, de pie met grondvla a vrijwel alleen een grotere normaalracht op de druligger introduceert. Dit orte stuje reageert op deze extra normaalracht als een gedrongen ligger. a N L Figuur 5. Normaalracht a Dit omt tot uitdruing door een grotere stabiliteitsfactor die de handbereening laat zien. De werelije stabiliteitsfactor van de belasting door een puntlast is de stabiliteitsfactor die de numeriee stabiliteitsbereening weergeeft. De nirachten voor deze twee modellen omen daarmee uit op: Bepaling van de niracht: F n N, scia, eng Knirachten: Gelijmatig verdeelde belasting Puntlast op de brug F scia eng q,03 908,0 959, 93N F scia eng P, , , 90N,,,,,, Deze nirachten omen daarmee een stu hoger uit dan de niracht volgens de formule van Engesser. Daarmee geeft de formule van Engesser een veel te conservatieve niwaarde. De niracht an vermenigvuldigd worden met een verhouding α om dit te compenseren. De verhouding α in deze bereening voor een gelijmatig verdeelde belasting is: F,, eng, q 959,93N F scia, scia, eng, P 0735,90N q,686 P, 708 F 799,3N F 799,3N, eng, eng Op basis van één model is het niet mogelij om de exacte waarde voor de verhouding α vast te stellen, bovendien is deze factor oo afhanelij van de vorm van het normaalrachten dru verloop. Op basis van de bovenstaande gegevens mogen we ervan uitgaan dat de verhouding op de formule van Engesser tussen de en de,5 zit. De niformule voor de leuningbovenregel wordt daarmee: F EI met, 5 36

38 De brugdoorsnede De verende ondersteuning van de leuningbovenregel wordt veroorzaat door de doorsnedestijfheid van de brug. De brugdoorsnede heeft daarmee een belangrij aandeel in de stabiliteit. In dit hoofdstu wordt met name gezocht naar de veerstijfheid die de doorsnede an geven aan de leuningbovenregel. Hierbij wordt de aanname gedaan dat de vlavulling tussen de leuningboven- en onderregel massief is en alleen over de mootvoegen onderbroen wordt. Voor het brugde geldt hetzelfde. De enige doorlopende delen over de gehele lengte van de brug zijn de leuningboven- en onderregels.. Lineaire veerstijfheid van de brugdoorsnede De formule voor de niracht is beend. De benodigde veerstijfheid moet omen uit het brugde en de vlavulling van de leuning. De verbinding tussen deze twee elementen wordt vooralsnog gehouden op oneindig stijf. In de pratij is dit niet het geval, maar aangenomen an worden dat de stijfheid van de noop veel groter is dan de stijfheid van het brugde en de leuning. Daarom zal dit geen bezwaar gaan vormen in de bereening. In Figuur 6 is goed te zien hoe de brugdoorsnede moet worden omgereend naar een translatieveer. Hartlijn EI regel Figuur 6. Bovenrand leuning als verend ondersteunende Eulerse nistaaf De veerstijfheid is afhanelij van de buigstijfheid EI van de leuningstijlen en het brugde. Een uitgangspositie voor deze bereening is dat de translatieveer theoretisch oneindig lineair elastisch is. De pratij zal echter anders zijn, alleen bij een leine uitwijing, waarbij de betondoorsnede ongescheurd blijft, zal de veer zich lineair elastisch gedragen. Zodra de betondoorsnede gaat scheuren zal de veerconstante er anders uit omen te zien. 37

39 . De brugdoorsnede.. Lineair elastische veerstijfheid van de brugdoorsnede Het bepalen van de veerstijfheid van de lineaire translatieveer gebeurt door een puntlast tegen beide leuningbovenregels te zetten zoals afgebeeld in Figuur 7. Het brugde en de leuningstijlen zullen als gevolg van puntlast F doorbuigen. F A w w w A 3 A Hartlijn In Figuur 7 is de horizontale verplaatsing als gevolg van de doorbuiging van het de en van de leuningstijlen apart weergegeven. B C Figuur 7. Veerstijfheid halve brugdoorsnede C De optredende horizontale verplaatsingen zijn: w verplaatsing door het brugde verplaatsing door de leuningstijlen w De veerstijfheid van de brug zoals geschetst in Figuur 7 an vereenvoudigd worden weergegeven tot de lineaire veerconstanten (brugde) en (vlavulling) in Figuur 8. F A w 3 A w Figuur 8. Halve dwarsdoorsnede brug A Met behulp van vergeet me nietjes [] zijn de horizontale uitwijingen ten gevolge van puntlast F: F eb w e EI de 3 Fe EI leuning w 3 Waarin: Waarin: e b de afstand tussen aangrijpingspunt van puntlast F en het hart van het de, de afstand AB in Figuur 7, de breedte van de brug, ofwel hart op hart afstand tussen de leuningen. 38

40 . De brugdoorsnede De lineair elastische veerconstanten zijn: w F EI w e b F 3EI e de leuning 3 Spiegelvla tot, lin F w w e b EI de e 3EI 3 leuning N m b Figuur 9. Afmetingen m De veerconstante is tot nu tot alleen als D, over de doorsnede, van de brug bepaald. Dit is terug te vinden in de eenheden. Om veerracht te unnen gebruien in de niformule moet oo de lengte van de brug worden inbegrepen, dit wordt gedaan door de D veerstijfheid tot,lin te delen door een meter lengte m van de brug. Zie oo Figuur 9. e b m EI e 3EI N m tot, lin doorsnede 3 m de leuning.. Niet lineairiteit in de veerstijfheid De werelije verplaatsing is niet oneindig lineair elastisch. De veerconstante van de doorsnede is direct geoppeld aan het buigtraagheids-moment van het brugde en de vlavulling. Een grote horizontale verplaatsing zal tot gevolg hebben dat de betontrezone scheurt en uiteindelij zal oo de wapening in de trezone gaan vloeien. Dat resulteert in grote plastische vervormingen en bezwijen van de veerconstante. Indien de betondruzone bezwijt dan is er sprae van brosse breu. Dit moet ten allen tijde vooromen worden. In Figuur 0 [5] is weergegeven hoe de trezone van de betondoorsnede zich zal gedragen onder toenemende belasting. De belasting is hierbij voor het gema even aangenomen als een puntlast loodrecht op de leuning, dus in één lijn met de veer. De huidige lineair elastische veerconstante is alleen geldig in fase en in fase 3, afhanelij van de bereende buigtresterte over de F F r 3 ongescheurde fase scheurvormings fase (onvoltooid scheurenpatroon) 3 voltooid scheurenpatroon vloeien wapening Figuur 0. Vervorming gewapend beton op tre 39

41 . De brugdoorsnede ongescheurde of gescheurde doorsnede. De overgang van fase naar fase is het ontstaan van scheuren van de betondoorsnede in de trezone. Na het bereien van fase zal de veerconstante bereend moeten worden op basis van fase 3. De lagere buigtresterte voor de gescheurde doorsnede zal resulteren in lagere veerconstante in fase 3. Indien niet beend is in wele fase gereend moet worden dan is een veilige aanname om de veerstijfheid die overeenomt met fase 3 te hanteren. Een toets zal moeten garanderen dat fase niet bereit wordt. De plastische vervormingfasen beginnen wanneer: N N cr s, vl A c A s f ctm f yd A s f ctm E E s c scheurtreracht van het beton (begin van fase ) vloeitreracht van het betonstaal (begin van fase ) Waarin: A c A s f ctm f yd E c E s oppervlate betondoorsnede oppervlate wapeningstaal doorsnede gemiddelde betontresterte reenwaarde van de vloeigrens van betonstaal elasticiteitsmodules van beton elasticiteitsmodules van betonstaal Verder moet er reening mee gehouden worden dat de betonstuigrens, Figuur [7], van ε cu3 niet bereit wordt. Beton wat meer wordt ingedrut dan deze regrens is bezween. Fase 5 is de elastische betondruzone, wele de vooreur heeft. Loaal mag de plastische betondrufase 6 bereit worden in extreme gevallen, maar dat moet zoveel mogelij bepert worden om de risico s op brosse breu te beperen. F 5 c3 6 5 elastischedru fase 6 plastischedru fase cu3 3 Figuur. Vervorming op beton op dru 0

42 . De brugdoorsnede. De buigstijfheid van de gescheurde beton doorsnede De veerstijfheid van de doorsnede is geoppeld aan de buigstijfheid van het brugde en de vlavulling tussen de leuningboven- en onderregel. Daarnaast moet oo beend zijn wat het maximaal opneembaar moment is, om de maximale toegestane lineaire veerracht te unnen bepalen. In de vorige paragraaf is in Figuur 0 afgebeeld wele vervorming de betontrezone heeft. De treracht van de trezone van ongescheurd beton, aangeduid als fase, is zeer gering. Daardoor is oo het opneembare moment van de ongescheurde doorsnede zeer gering. Het toestaan van scheurvorming in de doorsneden geeft een hogere momentcapaciteit. Verder is het belangrij dat zowel het betonstaal als de betondrudoorsnede alleen elastisch wordt belast. Dit heeft twee redenen: Uitgangspunt is een lineaire veerstijfheid en dat is niet meer het geval wanneer de buigstijfheid van de doorsnede plastisch vervormt. De plastische restcapaciteit van de doorsnede brengt grote vervormingen met zich mee en die zijn ongewenst. De buigstijfheid en de doorsnede momentencapaciteit an op de volgende manier worden afgeleid. Voor het voorbeeld wordt uitgegaan van het brugde, zoals oo afgebeeld in Figuur, maar de vlavulling tussen de leuningboven- en onderregel an op precies dezelfde manier worden afgeleid. m s m Figuur. Dwarsdoorsnede over het brugde h. o. h. d c h Wanneer de treracht groter is dan wat beton an opnemen scheurt het beton. De gescheurde doorsnede heeft een leinere buigstijfheid dan de ongescheurde doorsnede. De treracht wordt volledig opgenomen door de wapening en de druracht zal door de druzone van de betondoorsnede worden opgenomen. Met behulp van het rediagram in Figuur 3 is te bepalen wat het grootst opneembare moment in deze elastische fase is en wele buigstijfheid de doorsnede heeft. Uitgangspositie hierbij is dat de beton trezone geen bijdrage levert aan de buigstijfheid.

43 . De brugdoorsnede y e N b ' trezone druzone N s x e d h c s Figuur 3. Rediagram gewapend betondoorsnede De verschillende waarden in Figuur 3, die nog niet eerder benoemd zijn, zijn: ε c3 de maximale elastische beton drure [] ε s de elastische re in betonstaal als gevolg van de uiterste grenstoestand x e de totale druzone van de betondoorsnede y bovenant druzone tot het resulterende druracht in de betondoorsnede Nc ' xe m c3 E N A E s s s s c de druracht (beton) in de doorsnede de treracht (betonstaal) in de doorsnede Met behulp het rediagram van de betondoorsnede in Figuur 3, zijn de volgende vergelijingen op te stellen: s c 3 xe ye 3 d x x e e trere van de staaldoorsnede afstand; aangrijpingspunt van de druracht tot de bovenrand s d h c effectieve hoogte van de dwarsdoorsnede c s m s As h. o. h. deing op de hoofdwapening diameter van de wapening oppervlate van de hoofdwapening (over een meter lengte met een h.o.h. van de wapening, zie Figuur );

44 . De brugdoorsnede Door de som van de inwendige rachten op nul te stellen, is de afstand x e te bepalen. xe m Ns N c ' > A s s E s c3 Ec > As Es As Es 0 x x m E m E d e e As E s e m E c x As Es As Es d m E m E c De bovenstaande vergelijing mag alleen gemaat worden zolang de vloeigrens van de staaldoorsnede niet bereit is. De betondoorsnede gedraagt zich alleen lineair elastisch zolang de beton drudoorsnede en de staaldoorsnede zich bevinden in de elastische refase. De controle op de vloeispanning zal veelal niet een maatgevende situatie opleveren, maar moet wel worden getoetst. De controle is: c3 Es d N s N s, vl > s Es f yd > x e, vl. wap x E f c e De eigenschappen van de gescheurde betondoorsnede op buiging in lineair elastische fase is: De buigstijfheid van de lineair elastisch gescheurde fase is: 3 m x e EIe Ec m xe xe ye Es As d xe Het grootste lineair elastisch moment van de gescheurde doorsnede is: M N d y N ' d y e s e c e c3 s yd c c 3

45 5 Stabiliteit van de brug In de eerdere hoofdstuen is met name ingegaan op de niracht in de leuningbovenregel van de brug en de bijdrage die de doorsnede aan het vergroten van de niracht geeft. Hoewel in eerdere hoofdstuen de stabiliteitsfactor n al even genoemd is, zal in dit hoofdstu deze stabiliteitsfactor uitgelegd worden. Een reductiefactor op de niracht zal worden toegevoegd om de geometrische imperfectie van de brugconstructie in reening te brengen. Eén van de doelstellingen voor deze thesis is: Het in aart brengen wele importantie de tweede orde effecten hebben. Naarmate de grens van unnen dichter benaderd wordt, dat wil zeggen een zo licht en slan mogelije constructie, worden tweede orde effecten belangrijer. Grote tweede orde effecten zullen de stabiliteit ster negatief beïnvloeden. Met behulp van de stabiliteitsfactor willen we grip op de tweede orde effecten behouden. Indien tweede orde effecten geen invloed zouden hebben, zou de leuningbovenregel, druligger, in theorie belast unnen worden totdat de leuningbovenregel op dru bezwijt. Deze toetsing op dru zal in hoofdstu 6 aan de orde omen. In dit hoofdstu omen de volgende punten aan bod: Reductiefactor ten gevolge van de imperfectie van de veerconstante. De normaal druracht in de leuningbovenregel. De stabiliteitsfactor. Resultaten van de stabiliteit versteringsfactor.

46 5. Stabiliteit van de brug 5. Reductiefactor ten gevolge van de imperfectie van de veerconstante p l p f In de uitgave van het tijdschrift Cement van juni 009 [6] is een artiel gewijd aan de nistabiliteit van anerpalen. In het artiel worden drie bereeningsmethodieen met elaar vergeleen voor zeer slane palen die op dru worden belast. Slanen palen zoals bijvoorbeeld GEWI-palen, groutinjectiepalen en schroefinjectiepalen. Dit probleem lijt op het probleem van de slane leuningen die verend ondersteund worden door de brugdoorsnede: p f p w w i l Figuur. Veerstijfheid relatieelatie w Citaat: Horizontaal elastische bedding Zijdelings nien van palen wordt door de steunende wering van de grond belemmerd. Theoretische beschouwingen van Engesser (eind 9e eeuw) met een horizontale elastische bedding met oneindig toenemende zijdelingse gronddru, tonen aan dat reeds bij een relatief leine bedding de draagracht aanzienlij toeneemt ten opzichte van een niet door grond gesteunde paal. Echter, in slappe grondlagen leidt deze modellering (van de oneindige zijdelingse grondweerstand op basis van een veelal gebruielije constante, horizontale bedding) tot nietrealistische resultaten. Het daadwerelije gedrag is meer viseus en plastisch. Dit an door plastisch bilineair gedrag worden weergegeven (Figuur 39). Hierbij neemt de weestand vanuit de grond op de paal, met toename van de horizontale paalverplaatsing, bepert toe en an niet groter dan de vloeidru van de grond worden. Daarom overschatten de meeste reenmodellen, die van een elastische horizontale bedding uitgaan, de nidraagracht. De bereening van ni met de formule van Engesser lijt veel te gunstig te zijn wanneer er plastisch bilineair gedrag optreed. Waarschijnlij is dit oo het geval bij de gesteunde leuningbovenregel. In plaats van het bilineaire gedrag van grond an daarvoor in de plaats het bilineaire gedrag van de doorsnede worden beeen. Om dit exact te bepalen moet een Moment-Kappa-diagram, zoals in hoofdstu reeds is omschreven, gemaat worden van de betondoorsnede. Er worden in het artiel verder drie alternatieven besproen voor de formule van Engesser die nauweurig zouden moeten zijn in geval van plastische bilineairiteit. De achtergrond van het artiel is in belangrije mate gebaseerd op het rapport Knicen von Pfählen mit leinem Durchmesser in breiigen Böden [7] waarin de verschillen tussen de drie alternatieven omschreven en deels uitgewert zijn. 5

47 5. Stabiliteit van de brug De drie alternatieven zijn: Reenmethode Mee Reenmethode Shields Reenmethode van de TU München 5.. Verschillende reenmethoden Alle drie de alternatieven lijen veel op de formule van Engesser. Sommige methoden zijn vereenvoudigingen van de formule andere een uitbreiding. Maar in alle drie de gevallen is het de formule van Engesser met een reductiefactor. De reenmethode van Mee heeft, volgens het artiel, in tegenstelling tot de twee ander methoden twee zwae punten. Ten eerste resulteert een hogere staalwaliteit van de paal niet tot een hogere draagracht (een hoger buigtraagheidsmoment). Ten tweede is plastische vervorming van palen vereist, terwijl in werelijheid het nien niet een probleem van de materiaalsterte is. De reenmethode van Shields voor het bepalen van de niracht is een stu eenvoudiger. De onderstaande formule van voor deze reenmethode is in het artiel [6] gegeven. F 8à cu EI Waarin: c u de ongedraineerde schuifsterte van de grond (dru sondeerwaarde) EI het buigtraagheidmoment van de paal Alle reductiefactoren zitten reeds in de factor 8 à. Het artiel in het tijdschrift Cement van juni 009 [6] geeft aan dat de factor 8 à in de originele formule een factor 9 zou moeten zijn. Citaat: In verband met initiële excentriciteiten van de palen door bijvoorbeeld de installatie, inhomogeniteiten in de grond, onregelmatige dite van de groutschil om de stalen staven en andere initiële spanningen, ligt de factor in werelijheid tussen de 8 en de. Met andere woorden, de paalafwijingen en de bandbreedte ten aanzien van ongedraineerde schuifsterte worden reenundig afgedet met een soort overall veiligheid van,5 à. Dit is gebaseerd op de vergelijing met proefresultaten. De reenmethode van Shields is minder geschit om toe te passen als alternatief voor de te gunstige beschouwing van de niracht volgens de formule van Engesser. Allereerst moet de formule worden omgebouwd, bovendien is de ongedraineerde schuifsterte van grond niet gelij aan de lineaire veerconstante 6

48 5. Stabiliteit van de brug uit de beton doorsnede. Verder is onbeend wat de nilengte zal gaan doen en hoe groot de reductie is ten opzichte van de formule van Engesser. Een geschatte voorspelling van deze methode zou unnen zijn om de niracht, bereend met de formule van Engesser, te delen door een factor van,5 à ten behoeve van het bilineaire plastische gedrag. Dit zou gestaafd unnen worden door proeven. De exacte niracht is hiermee nog niet bepaald, alleen de ans dat de brug bezwijt op basis van ni wordt leiner ten opzichte van de formule van Engesser, indien met deze formule gereend is. In het artiel wordt aangegeven dat de methode van de TU München de meest realistische resultaten geeft. De TU München heeft deze methode in een spreadsheet [8] verwert en vrij beschibaar gemaat voor iedereen via het internet. In Bijlage D is de afleiding van deze formule uitgewert. De formule voor de nilengte die gebruit is door TU München is: EI l LHw wi w i L Hw Ni LHw wi imperf Waarin: Waarin: N i de niracht L Hw de nilengte EI het buigtraagheid moment van de paal l lineaire elastische veerconstante van de gronddru w i mobiliseringweg van de bodemreactie imperf de imperfectiefactor (volgens DIN-EN 99) De mobiliseringfactor is volgens de TU München [7]: l wi pr waarin: waarin: l m N / m p r N / m lineaire elastische veerconstante de maximaal toelaatbare (bodem)reactie Deze formule lijt ster op de beende nilengte met de toevoeging van een reductiefactor. Het verband is beter zichtbaar waneer de formule op een ander manier geschreven wordt: EI l L wi F L L w i imperf 7

49 5. Stabiliteit van de brug De mobiliseringweg wordt bereend door de maximale bodemreactie (maximale elastische vervormingracht) te delen door de lineaire elastische veerconstante. Uitgangspunt is dat de vervorming van de reactieracht nooit in de plastische vervormingfase omt. Dit is een belangrij verschil met de eerder beschreven methode van Mee. Het is hierdoor niet heel interessant meer hoe de plastische vervorming er uit ziet. Dit gegeven is belangrij, omdat de plastische vervorming van horizontale gronddru een andere vorm heeft dan de plastische vervorming van de betonnen brugdoorsnede. N.B. Voor de betondoorsnede mag zowel plastisch als elastisch worden gereend. Belangrij is daarbij dat de grenswaarden van de desbetreffende fasen worden toegepast en de veerstijfheid altijd positief is. Voor plastische grondveer geldt dat de plastische veerstijfheid gelij is aan nul, waardoor voor de plastische grondveer de plastische vervorming buiten beschouwing gelaten moet worden. De reenmethoden van Shields en de reenmethode volgens de TU München liggen dicht bij elaar. Beide geven een reductie op de al beende niracht. Het verschil is dat de reenmethode volgens TU München een reductiefactie geeft die uit te reenen is. Verder is volgens het artiel [6] de reenmethode van de TU München nauweuriger. Dit alles maat het vanuit het oogpunt van de stabiliteit voor de leuningdragende brug interessant om te beijen of de reenmethode van de TU München oo toe te passen is voor onze situatie. 5.. De reductiefactor De reenmethode volgens de TU München is de formule van Engesser met als toevoeging een reductiefactor. De reductiefactor houd reening met de imperfectie van de constructie, op basis van de elastische veerconstante. De reductiefactor is: reductie TUM w i w i wi L wi w imperf imp De invloed van de imperfectie is groter naarmate de elastische vervormingcapaciteit w i leiner is. 8

50 5. Stabiliteit van de brug De imperfectiefactor is te halen uit de NEN-EN 99-- []: Kip van slane liggers (NEN-EN 99--, H5.9) [] II. Bij de toetsing van niet-geschoorde liggers behoort als geometrische imperfectie een zijdelingse uitbuiging van l/300 te zijn aangenomen, waarbij l = totale lengte van de ligger. In voltooide constructies mag met schoring door aansluitende elementen reening zijn gehouden. De imperfectiefactor voor niet-geschoorde liggers is 300. De imperfectiefactor is de geometrische imperfectie van de zijdelinse uitbuiging. Dit mag niet worden verward met de beginuitwijing die een hoeverdraaiing in reening brengt. Het verschil in de benadering is: dat, volgens de reenmethode van de TU München, de nilengte gedeeld moet worden door de imperfectiefactor, en volgens de NEN- EN 99-- gaat men er van uit dat de totale lengte van de ligger gedeeld moet worden door de imperfectiefactor. In de voltooide constructie mag deze waarde waarschijnlij gereduceerd worden tot de nilengte gedeeld door de imperfectiefactor, als gevolg van de verende ondersteuning. Daarbij moet men wel realiseren dat deze stelling moeilij op een reentechnische manier te controleren is, omdat in de NEN-EN 99-- nergens terug te vinden is waarop deze toetsing gebaseerd is. H e A B u A Figuur 5. Bepaling u b Hartlijn C C De maximale bodemreactie in grond is meestal beend, maar voor de brugdoorsnede moet deze maximale reactie uitgereend worden. De maximale horizontale uitwijing is uit te reenen, zie oo Figuur 5 ter verduidelijing: u H doorsnede m H u H e u Het brugde zal oo worden belast door de variabele belasting op het brugde en het eigen gewicht van het brugde. Deze belastingen reduceren de horizontale racht H. In Figuur 6 is uitgezet wel deel van de horizontale uitwijing mag worden meegenomen in de bereening van de reductiefactor. De extra veiligheid van de doorsnede die beschibaar is voor het opnemen van H H, e u i ubel e u, e u an ni Figuur 6. Uitwijing als gevolg van ni u e u u 9

51 5. Stabiliteit van de brug de tweede orde belasting in de doorsnede wordt met behulp van deze bereening meegenomen in de bereening ten behoeve van de maximale niracht. De maximale horizontale racht an worden teruggereend uit H F de doorsnede. De brug heeft e een breedte van meter en een q leuninghoogte van meter, dat beteend dat het te verwachten maatgevend moment in het midden van het de zit. In eerste b instantie zal in de bereening alleen geeen worden naar de Figuur 7. Momenten in de doorsnede maximale racht H op basis van de momenten in het midden van het brugde. Naderhand zal de doorsnede nog wel gecontroleerd moeten worden om zeer te zijn dat de zwaste schael in de doorsnede, het veldmoment van het brugde, zit als gevolg van de belasting H. Moment door een puntlast op de leuningbovenregel: M H H e Moment door belasting op het brugde: qb F b M d, de 8 M H e M e H De maximaal lineair elastische verplaatsing in het brugde M e zal worden bereend zoals in hoofdstu is omschreven. De horizontale racht H, wele de lineair elastische tweede orde verplaatsing op an nemen, zal hiermee uitomen op: H, e M e M d e H d Waarin H d de variabele puntlast loodrecht op de leuningbovenregel De veerstijfheid in de reductiefactor is de doorsnede veerstijfheid uit hoofdstu.. Het gaat hier over maximale horizontale uitwijing van de doorsnede. De niracht zal inclusief de reductiefactor en inclusief de imperfectiefactor volgens NEN-EN 99--, H5.9 [] zijn: 50 F EI l l u u l 300

52 5. Stabiliteit van de brug De leuningbovenregel is over de gehele lengte verend ondersteund. Zoals eerder is beredeneerd, wordt er van uitgegaan dat de lengte-aanduiding in de reductiefactor mag worden aangeduid als de nilengte. Met de toevoeging van de normaalracht vormfactor wordt de niracht dan, geschreven als de formule van Engesser: u F doorsnede EI regelt l u 300 Waarin: EI l H u doorsnede α regel t doorsnede doorsnede de nilengte van de leuningbovenregel de horizontale niuitwijing de veerconstante van de doorsnede de normaalracht verhouding 5. De normaal druracht in de leuningbovenregel Voordat de uitleg over de stabiliteitsfactor beschreven wordt, is het nodig om te weten wat de werelije normaal druracht in de leuningbovenregel is. De leuningen zijn dragend. De leuningen unnen gezien worden als een hoge slane bal, een vawerligger, een I-profiel, enzovoort. Het gaat erom dat het moment in de brug, over de overspanning in de lengterichting, wordt omgezet in een druracht in de leuningbovenregel en een treracht in de leuningonderregel. Alle belasting op het brugde wordt via de leuningonderegel en de vlavulling overgedragen als een normaal druracht in de leuningbovenregel. Uit Figuur 8 is de normaalracht in de leuning te herleiden. M N e De normaal druracht is M hiermee direct geoppeld aan het werelij optredend moment over de overspanning Figuur 8. Druracht in de bovenregel van de hele brug. De meest beende momenten die optreden zijn die met een gelijmatig verdeelde belasting over de gehele lengte en een puntlast in het midden van de brug. Er zijn veel N N L N N e 5

53 5. Stabiliteit van de brug belastingcombinaties mogelij die andere moment vormen opleveren, maar dat is te veel om hier weer te geven en bovendien zou het dan niet duidelij worden. M gelijmatig verdeeldebelasting qbrugl M puntlast in het midden F L 8 De optredende normaaldruracht in de leuningbovenregel wordt daarmee: q L brug F L N 8e 5.3 De stabiliteitfactor Instabiliteit treedt op wanneer de niracht leiner is dan de werelij optredende drubelasting op de bovenregel. Kniracht moet op z n minst groter zijn dan de normaal druracht. N F De niracht F is de zuivere niracht, maar staven zonder imperfecties bestaan niet. En een 00% zuivere drubelasting is vrijwel onmogelij te realiseren. In de pratij zal daardoor de niracht nooit gehaald worden. Wel wordt er reening gehouden met de maximale verplaatsing van de elastische veerconstante. Bovendien beteent instabiliteit instorten en niet een langzame doorbuiging. Dat beteent dat als de brug instabiel is of ans daarop is, er een gevaarlije situatie optreed. De brug waarschuwt niet, zodat er gelegenheid ans is om veilig van de brug af te omen. Het is daarom belangrij om de rachten F en N nooit te dicht bij elaar in de buurt te laten omen. Maar hoe groot moet het verschil zijn? Eén manier is door te zoeen naar een vergrotingfactor op de verplaatsing. De leuningregel an worden geschetst zoals voorgesteld in Figuur 9. Hierbij moet worden opgemert dat dit slechts een benadering is van de exacte situatie. De belasting en de verende ondersteuning wordt omgeschreven naar een racht op een plaats. Met behulp van de momentensom om het fictieve steunpunt A wordt dan de verplaatsing w bereend. N A q a Figuur 9. Stabiliteit in de bovenregel l q a l w l w N 5

54 5. Stabiliteit van de brug In de bereening wordt gezocht naar de versteringsfactor voor de verplaatsing en e de invloed invloed daar daarvan. T A 0 q al q al N w wl 0 > N l 0 w e totale De totale verplaatsing verplaatsing is: is: q al w l N Zonder druracht is de verplaatsing: q al q a N 0 > w0 l Tussenstap q a w0 De verplaatsing wordt: 0 l w w l N Door de niracht in te vullen wordt de tweede orde verplaatsing verregen. F F l > w w0 F N De uiteindelije tweede orde verplaatsing is dan: n w F w 0 met n n N Deze methode is hier in Nederland geïntroduceerd door Prof. D. Dice [8]. De exacte verplaatsing hoeft nu nog niet bepaald te worden. Voor de stabiliteit is met name de versteringsfactor erg interessant. De versteringsfactor heeft de volgende vorm: n n 53

55 5. Stabiliteit van de brug,30,0,0,00.00 Instabiel,90 n n,80,70,60,50,0,30 Instabiel?,0,0,00. Stabiel,00 3,00,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 0,00,00,00 3,00 n Figuur 30. Versteringsfactor tweede orde Stabiel? Deze versteringsfactor is in Figuur 30 uitgezet. Uit de grafie valt af te lezen dat wanneer n, dat de versteringsfactor naar gaat. En voor n + weten we zeer dat de leuningregel bezwijt op ni. Uit de pratij blijt dat constructies bestaande uit een vrije olom structuur met een n 0 als stabiel beschouwd [8], [] unnen worden. De bereening mag dan verder plaats vinden door de versteringsfactor te vermenigvuldigen met de belasting. Oo is beend dat wanneer n, constructies zo goed als zeer bezwijen. De eerste orde verplaatsing zal hierbij als gevolg van de stabiliteitsfactor n verdubbeld worden. Dit is zeer inefficiënt voor het ontwerp en risicovol bij overschrijding van de bereende belasting. Figuur 30 bevestigd deze redenering, echter tussen n 0 zit nog een behoorlij grijs vla waarin niet beend is of de constructies als stabiel of als instabiel beschouwd moeten worden. Een stabiliteitsfactor van 5 geeft een versteringsfactor op de verplaatsing van,5. Dit omt dichter in de buurt van de stabiele stabiliteitsfactor 0 dan van de instabiele stabiliteitsfactor van. Om toch een betere benadering van de stabiliteitsfactor te rijgen zal in de volgende paragraaf worden gezocht naar een ondergrens voor de stabiliteitsfactor. 5

56 5. Stabiliteit van de brug 5. Resultaten van de stabiliteit versteringsfactor Deze paragraaf zal op basis van een ontwerpbereening resultaten weergeven van de stabiliteit versteringsfactor. Door het variëren van verschillende afmetingen van de brug is in de resultaten terug te vinden wele afmeting variabele grote invloed heeft op de tweede orde verplaatsing. In Bijlage E is een complete bereening van de stabiliteit van de brug gemaat. De formules in die bereening zijn eerder uitgelegd en uitgewert in de voorgaande hoofdstuen. Het referentieontwerp in Bijlage E omt uit op de volgende waarden: 5.. Afmetingen ontwerp brug: Lengte brug Breedte brug Leuning hoogte L = mm b = 000 mm a = 000 mm a b a h b Hartlijn Breedte leuningbovenregel a b = 300 mm Hoogte leuningbovenregel a h = 0 mm a Breedte leuningonderregel b b = 300 mm Hoogte t.b.v. veranering b h = 60 mm c h b h c b b b Dite vlavulling Hoogte de Een meter breedte c b = 0 mm c h = 0 mm m = 970 mm Figuur 3. Afmetingen. De combinatie van het eigen gewicht van de brug met een variabele belasting op de brug van 5 N/m geeft een stabiliteitsfactor n van 6,9. De combinatie van het eigen gewicht van de brug met een geconcentreerde belasting op de brug van 50 N geeft een stabiliteitsfactor n van 8,9. Deze waarden zijn om te reenen naar een stabiliteit vergrotingsfactor, wele in grafisch wordt afgezet tegen: Lengte van de brug Breedte van de brug Leuningbovenregel Dedite Breedte van de leuning/vlavulling Leuningonderregel Deing op de wapening Invloed van een gelijmatig verdeelde belasting op de brug Invloed een geconcentreerde belasting op de brug Als basis voor de grafieen is uitgegaan van; betonlasse C50/60, een deing op de wapening van 5 mm, de diameter van de wapening in het brugde is 3 mm en de diameter van de wapening in de brugleuning is 5 mm. 55

57 5. Stabiliteit van de brug 5.. Lengte van de brug Een langere brug resulteert in een grotere normaaldruracht in de leuningbovenregel. Hoe groot dat effect is, is uitgezet in de onderstaande grafie. De grafie is gemaat op basis van de referentiebereening in Bijlage E, met als enige variabele de lengte van de brug. De resultaten zijn in de grafie afgezet tegen de stabiliteit versteringsfactor, wat overeenomt met de vergoting van de horizontale verplaatsing va de leuningbovenregel als gevolg van de optredende normaalracht. n n,30,5,0,5,0,05 q last P last Er zijn twee bereeningen gemaat; één op basis van het eigen gewicht met een gelijmaingverdeelde belasting op de brug en de leuningbovenregel q en één op basis van het eigen gewicht van de brug met een puntlast op de brug en de leuningbovenregel.,00,0 3,0,0 5,0 6,0 Bruglengte [m] Figuur 3. Invloed van de lengte op de stabiliteit vergrotingsfactor 7,0 8,0 9,0 0,0 De belasting op de leuningbovenregel is een horizontale belasting. De resultaten zijn niet verrassend. Een langere brug ent een groter eigen gewicht en een groter belastbaar oppervla, wat resulteert in een grotere normaaldruracht in de leuningbovenregel. De stabiliteitsfactor n wordt leiner en de stabiliteit vergrotingsfactor wordt groter naarmate de brug langer wordt. Doordat de totale verticale geconcentreerde belasting (P-last) niet toeneemt, naarmate het belastbaar oppervla van de brug groter wordt, stijgt deze stabiliteit vergrotingsfactor minder snel als die van de gelijmatig verdeelde belasting (q-last) Breedte van de brug Een bredere brug bij gelije dedite resulteert in lagere doorsnede stijfheid van de leuningbovenregel. Als gevolg daarvan zal de niracht afnemen en dus de stabiliteitsfactor oo. De invloed van de stabiliteitsfactor neemt toe naarmate de stijfheid van de doorsnede leiner wordt. Oo het belastbaar oppervla van de brug wordt groter naarmate het brugde breder wordt. 56

58 5. Stabiliteit van de brug De grafie is gemaat aan de hand van de referentiebereening uit Bijlage E, met als enige variabele de brugbreedte, op dezelfde manier als bij de bepaling met variabele bruglengte. Net als bij de resultaten bij een variabele lengte van de brug is stijgt oo hier de gelijmatig verdeelde belasting sneller dan de geconcentreerde belasting.,50,5,0,35,30 n n,5,0,5,0,05,00 q last P last,0,5 3,0 3,5,0,5 5,0 Brugbreedte [m] 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 Figuur 33. Invloed van de brugbreedte op de stabiliteit vergrotingsfactor In de grafie valt op dat tot een lengte van 6 meter de vergroting lineair lijt te zijn. In werelijheid is deze lijn niet lineair, maar vergrotingsstap wordt heel langzaam groter, tot de brugbreedte van 6 meter is bereit. Bij een brugbreedte van 6 meter verplaatst het plastisch scharnier van de onderin de leuningvlavulling naar het midden van het brugde. Het gevolg is dat de niracht in hoog tempo afneemt. De oorzaa hiervan in de theoretische formule is te herleiden naar de reductiefactor. b Mogelije plastische nopen Hartlijn F, TUM F, eng l u u 300 Figuur 3. Plastische nopen De waarde voor u neemt in hoog tempo af bij grotere brugbreedtes dan 6 meter. Het gevolg is een stere daling van de niracht waardoor de stabiliteit vergrotingsfactor snel stijgt. 57

59 5. Stabiliteit van de brug 5.. Leuningbovenregel De leuningbovenregel is de druligger van de constructie. De hoogte en de breedte van deze ligger zijn van grote invloed op de niracht en daardoor de stabiliteit van de brug. De invloed van deze afmetingen is uitgezet in de onderstaande grafie. De grafie is gemaat aan de hand van de referentiebereening uit Bijlage E, met als enige variabele de n n,30,5,0,5,0,05, q last P last Leuningbovenregel hoogte [mm] Figuur 35. Invloed van de hoogte van de leuningbovenregel op de stabiliteit vergrotingsfactor 0 hoogte en de breedte van de leuningbovenregel. In de referentiebereening is de afmeting van de leuningbovenregel aangehouden op 0 millimeter hoog bij 300 millimeter breed. Het verbreden en verhogen ven de leuningbovenregel heeft een gunstig effect op de stabiliteit versteringsfactor. Deze gunstig invloed wordt steeds minder naarmate de afmetingen groter worden Dedite In de constructie is het brugde een ritie onderdeel in de doorsnede stijfheid. Het brugde bepaald in belangrije mate hoe groot de veerstijfheid uit de doorsnede is. Het brugde ent twee geometrische variabelen, waarvan één al in subparagraaf 5.. is beeen. De dedite is de variabele waarvan in deze paragraaf de invloed op de stabiliteit en de tweede orde effecten wordt beeen. De invloed van deze afmeting is uitgezet in de onderstaande grafie. De grafie is gemaat aan de hand van de referentiebereening uit Bijlage E. In de referentiebereening is de brugdedite aangehouden op 0 millimeter. 58 n n,30,5,0,5,0,05, Brugdedite [mm] Figuur 36. Invloed van de brugdedite op de stabiliteit vergrotingsfactor q last P last 80

60 5. Stabiliteit van de brug De plastische noop zit in het brugde bij een dite leiner dan 30 mm. De reductiefactor van de imperfectie zorgt er voor bij leinere dediten dat de niracht snel afneemt, waardoor de stabiliteit vergrotingsfactor in de grafie snel stijgt. Nadat de maatgevende plastische noop in de doorsnede niet meer in het brugde zit, is de invloed van de dedite niet meer zo groot. Het brugde speelt oo een belangrije gewichtsfactor in de brug. De extra stijfheid van het brugde zal daardoor, na een brugdedite van mm in de huidige bereening, geen meerwaarde meer geven voor de stabiliteit Breedte van de leuning/vlavulling De vlavulling van de leuning is bijna net zo belangrij voor de veerstijfheid van de doorsnede als het brugde. De hoogte van de leuningbovenregel boven het de is constant over de gehele lengte van de brug. De dite of breedte van de vlavulling is een vrije variabele waarvan de invloed in een grafie is uit te zetten. In de referentiebereening in Bijlage E is voor deze waarde 0 millimeter aangehouden. De grafie met de invloed van de breedte van de vlavulling voor betonlasse C50 is: n n,30,5,0,5,0,05 q last P last Deze grafie omt in vorm en mechanisme overeen met de grafie van het brugde. Tot een vlavullingbreedte van 30 millimeter zit de plastische noop uit Figuur 37 in de vlavulling. De invloed van de breedte van de vlavulling wordt negatief zodra de plastische noop in het hart van het brugde omt., Vlavullingbreedte [mm] Figuur 37. Invloed van de vlavullingbreedte op de stabiliteit vergrotingsfactor De ideale situatie zou dus zijn dat de plastische noop gelijtijdig in het brugde als onderin de vlavulling ontstaat. De restcapaciteit van de horizontale veer uitgedrut in u is dan gelij voor de plastische nopen in het brugde en in de vlavulling. Dit is oo de meest efficiënte ontwerp van deze onderdelen, omdat ele mm meer materiaal nauwelijs effect heeft op de stabiliteit. 0 59

61 5. Stabiliteit van de brug 5..7 Deing op de wapening Gewapend beton ent een minimale deing op de wapening, het betonstaal, om te vooromen dat corrosie ontstaat. Constructief is deze deing alleen maar ballast, de deing in de trezone wordt constructief niet gebruit. Deze paragraaf zal even in het ort laten zien hoe groot de invloed van de deing is op de beperte constructiehoogte waarmee deze bereening is gemaat. De deing in de referentiebereening in Bijlage E is 5 millimeter. Daarbij is van belang dat de hoogte van de constructie niet varieert, maar alleen de hoogte van de deing op de wapening. Je zou dus unnen stellen: Stel dat we de wapening een te grote of een te leine deing geven als is voorgeschreven; wele invloed heeft dat op de stabiliteit. Een leinere deing bij een gelijblijvende hoogte heeft met name invloed op de veerstijfheid van de doorsnede. Een grotere veerstijfheid leid direct tot een grotere niracht en een hogere stabiliteit vergrotingsfactor. In de pratij wel eens wil vooromen dat de wapening een paar millimeter hoger of lager in de doorsnede is geplaatst dan is voorgeschreven. Het is van belang om de invloed daarvan dan juist in te unnen schatten. Dat an met deze grafie. n n,30,5,0,5,0,05, Deing op de wapening [mm] 35 q last P last Figuur 38. Invloed van de deing op ng de op wapening de wapening op de stabiliteit vergrotingsfactor Invloed van een gelijmatig verdeelde belasting op de brug. In de referentiebereening in Bijlage E zijn twee vormen van een gelijmatig verdeelde belasting meegenomen: Een gelijmatig verdeelde belasting van 5 N/m op het brugde. Een lijnlast van 3 N/m tegen de leuningbovenregel. De invloed van de lijnlast tegen de leuningbovenregel is niet bijzonder. Omdat het gaat om een lijnlast over de volledige lengte neemt deze belasting een deel van de capaciteit van de verende ondersteuning weg. De invloed op de stabiliteit is alleen terug te vinden in de reductiefactor op imperfectie. 60

62 5. Stabiliteit van de brug,30,5,0 n n,5,0,05 q last,00 0,00,00,00 3,00,00 5,00 6,00 7,00 8,00 Toename q last horizontaal op de leuningbovenregel [N/m ] Figuur 39. Invloed van de gelijmatig verdeelde belasting op de stabiliteit vergrotingsfactor De gelijmatig verdeelde belasting op het brugde heeft een grote invloed op de normaaldruracht in de leuningbovenregel. De grafie toont een lineair verband tussen de gelijmatig verdeelde variabele belasting op het brugde en de stabiliteit versteringsfactor. De lineaire helling is toevallig en afhanelij van de stijfheid van de brug.,30,5,0 n n,5,0,05 q last,00 0,00,00,00 3,00,00 5,00 6,00 7,00 Toename q last op het brugde [N/m ] Figuur 0. Invloed van de gelijmatig verdeelde belasting op de stabiliteit vergrotingsfactor 8,00 ng 6

63 5. Stabiliteit van de brug 5..9 Invloed een geconcentreerde belasting op de brug. Net als bij de gelijmatig verdeelde belasting is in de referentiebereening oo reening gehouden met twee geconcentreerde belastingen op de brug. Een geconcentreerde belasting van 50 N op het brugde, deze geconcentreerde belasting is gesitueerd op een afstand van een half L gereend vanaf de opleggingen van de brug. En op een afstand van een derde b uit de leuning van de brug. De puntlast is bewust niet in het midden van de breedte van de brug geplaatst, omdat deze leine verschuiving naar één van beide leuningen een groter invloed op de zwaarst belaste leuning zal hebben. Dit is te vergelijen met een voertuig die niet in het midden van de brugbreedte staat. Een geconcentreerde belasting van 3 N op de leuningbovenregel. Volgens de richtlijnen moet er reening gehouden worden met een horizontale puntlast op de leuningbovenregel. De invloed van deze belasting is net als de horizontale gelijmatig verdeelde belasting op de leuningbovenregel zeer lein. Het heeft daarom geen toegevoegde waarde om oo deze waarde in een grafie weer te geven. 3 PN h= 3 N b 3 asten Figuur. Puntlasten P v=50 N De invloed van de puntlast is niet groot heeft met name te maen omdat de brug al een grote massa heeft. De reenwaarde voor het eigen gewicht van de deze brug is 96 N.,30,5,0 n n,5,0,05 P last, Toename P last horizontaal op het brugde [N/m ] Figuur. Invloed van de geconcentreerde belasting op de stabiliteit vergrotingsfactor 6

64 6 Sterte van de leuningbovenregel Sterte en stabiliteit zijn twee verschillende toetsingen, maar ze zijn allebei even belangrij. Het theoretisch model wat in hoofdstu 3 is opgesteld gaat uit van een verend ondersteunde druligger (Figuur 3). De druligger is de leuningbovenregel en de verende ondersteuning omt uit de doorsnede. Indien de veer oneindig stijf is an de druligger belast worden totdat deze op drusterte bezwijt. De stabiliteit is dan niet maatgevend. Vooraf is het niet beend of de veerstijfheid stijf genoeg is om bezwijen op sterte maatgevend te maen. Dit hoofdstu zal daarom met name ingaan op de toetsingen op normaal drusterte en het buigend moment in de leuningbovenregel. De dwarsracht is achterwege gelaten, aangezien in het referentieontwerp wordt uitgegaan van een massieve valvulling tussen de leuningboven- en onderregel, waardoor de ofdstu zal daar dwarsrachtcapaciteit erg groot zal zijn. De dwarsracht op de leuningbovenregel gend moment i in is het wel referenti van belang bij de mootovergangen. Hiervoor is een detailbereening gboven- nodig wele en ond vooralsnog niet is toegevoegd. In een later stadium moet deze racht detailbereening op leu wel gemaat worden. or is een detail adium moet de 6. Toetsing op normaaldrusterte tsing De toetsing is: is: tsing N Ed is:,0 N Rd arde De waarde voor voor op de optredende normaaldruracht N Ed is hetzelfde als reeds in arde hreven. hoofstu de voor de 5. de beschreven optredende is. normaaldruracht De waarde voor de opneembare is hetze normaaldruracht arde hreven. van voor de doorsnede de op N Rd wordt in de NEN-EN 99--, H.6.5. [] gegeven in een arde N vereenvoudigde 99--, de voor de de H opneembare reenmethode normaaldruracht als: van de doo N 99--, H.6.5. [] gegeven in een N Rd = Ac fcd Φ is Waarin: is is het het totale betonoppervla van de doorsn A c is het totale betonoppervla van de doorsnede is is de de r reenwaarde van de drusterte van is de reenwaarde van de drusterte van beton f cd e tot l e Φ = tot, 0,0 hw hw hw in: is de totale afstand van het aangrijp normaalracht tot het hart van de d is breedte of hoogte van de doorsne excentriciteit plaats vindt is de nilengte; 63

65 6. Sterte van de leuningbovenregel Waarin: e tot h w l is de totale afstand van het aangrijpingspunt van de normaalracht tot het hart van de doorsnede is breedte of hoogte van de doorsnede waarover de excentriciteit plaats vindt is de nilengte De afstand e tot is in dit geval gelij aan de initiële excentrische aangrijping van de normaalracht als gevolg van imperfecties. De initiële uitwijing an bereent worden met behulp van de in NEN-EN 99--, H5. []: l ei = α h 00 Waarin: α h = reductiefactor voor de lengte, α h, 0 l 3 van en Het van de invullen bovensta de van de formules, de bovenstaande uitgaande formules, van de nilengte uitgaande uit van bijlage de nilengte uit C50 se C50 geeft geeft een een op ullen Bijlage van E en de bovenstaan betonlasse embare normaal C50, geeft druracht een opneembare van 83,8 normaal N. De druracht N ng terug is terug vinden te bijlage H Rd lasse van invullen 83,8 C50 van geeft N. de een bovenstaande De opne bereening formules, is terug te uitgaande vinden in van Bijlage de nilengt H. dende onlasse ning is terug normaal normaal C50 te dru geeft vinden dcht een i uit opneembare bijlage E is: normaal druracht van 8 eening De optredende is terug te normaal vinden druracht in bijlage H N Ed uit Bijlage E is: redende normaal drur optredende N Ed, q last = 9, normaal 6N druracht uit bijlage E is: N Ed, P last = 666, 33N ng at laat zien zien dat met dat bovenstaande md opneembare normaal druracht de ie sing niet laat voldoet zien dat wr de met vereenvoudigde de reenmethode is gebruit. De toetsing laat zien dat met de bovenstaande opneembare normaal druracht de uctie toetsing niet voldoet wanne constructie laat zien niet dat voldoet, met de indien bovenstaande vereenvoudigde opneembare reenmethode normaal dr gebruit is. structie De onderstaande niet voldoet wanneer waardes de zijn vereenvoudigde bereend in Bijlage reenmethode H. is g 6 N N N Ed, N Ed, q last Rd P last Rd 9,6 = =,,0 8,55 666,33 = = 0,8,0 8,55 Voldoet NIET Voldoet e methoden om de maxim dere n Andere zijn methoden gebaseerd methoden om op om of om de d maximale de de maximaal opneembare normaalracht in de doorsnede te opneembare normaalracht in de d bepalen druspanning zijn zijn gebaseerd zijn gebaseerd in op de of dop de of maximale de maximale elastische elastische drure drure in de door in de doorsnede of de maximale druspanning druspanning vo in de in doorsnede. de doorsnede. De maximale druspanning volgens NENmaximale e EN maximale 99 H6.5. druspanning druspann [] waarmee volgens in NEN-EN ongescheurde 99 H6.5. drustaven [] waarmee mag worden gereend is: rustaven staven mag mag worden worden gereend is: σ = Rd,max f cd Deze spanning mag maximaal gebruit worden indien de doorsnede over het gehele oppervla op dru belast wordt. at beteend beteend dat dat wanneer wann de leuningbovenregel centrisch belast is, de ormaal maal druracht druracht op op de leuning is:

66 De maximale druspanning volgens NEN-EN 99 H6. drustaven mag worden gereend is: Dat beteent dat wanneer de leuningbovenregel Dat centrisch beteend belast dat is, wanneer de opneembare de leuningbovenregel normaal centr normaal druracht druracht op de leuning op de leuning is: is: N = A σ Rd, max, centr c Rd,max = ,33= 099, 89 Een excentrische belasting benaderen met de maximale Een excentrische druspanning belasting geeft benaderen veel te conservatieve met waarden. maximale Dat zou druspanning namelij beteenen geeft veel dat te bovenstaande conservatieve waarden. gehalveerd Dat zou namelij wordt. Het is daarom beteenen beter dat om bovenstaande in re relatie waarde te zoeen gehalveerd naar de beste wordt. maximale Het is daarom elastische beter drure. om in de Met rerelatie de wet van Hooe te zoeen word naar dan de de beste re weer maximale omgereend elastische naar spanning. drure. Met de wet van Hooe wordt vervolgens de re weer omgereend naar spanning. N 6. Sterte van de leuningbovenregel risch belast is, de opneembare ab ε σ εc3=,75 re spanning Figuur 3. Re- en spanningrelatie De grenswaarde van de drure die an optreden voordat er plastische drure of nswaarde tre in de van dwarsdoorsnede de drure die an van an de optreden leuningbovenregel voordat te er ontstaat plastische te reduceren is d met een weergegeven en in de dwarsdoorsnede van de leuningbovenregel ontstaan ng op basis wee van spanningen en in Figuur 3. Omdat hier teruggereend wordt naar de reen en de maximale. Omdat hier terug gereend wordt naar de reen en rmaal de maximale druracht d in van de drure plaatsvindt loaal is het plaatsvindt niet nodig is om het de niet maximale nodig om sterte de maximale te reduceren sterte met te reduceren met aal veiligheidsfactor een materiaal veiligheidsfactor van,5 zoals bij van de bereening,5, zoals bij op de basis bereening van spanop basis van spanningen wel is gereend. en rachten De maximale wel is gereend. opneembare De maximaal normaal druracht opneembare in vnormaal doorsnede druracht is: in de dwarsdoorsnede is: 58 r daarbij moet wel opgemert N Rd, max = Ac ε c3 Ec0 300,75 = 076, 39 N 0 ele buiging. Het weglaten van g gehouden moet worden. De tsingen toetsingen op de druspanning op de druspanning voldoen voldoen nu wel, maar nu daarbij moet wel op n dat er nog geen reening is gehouden met dubbele buiging. Het wegl x wel, maar daarbij moet wel worden opgemert ε nc c = aal veiligheidsfactor vereist dat hier wel reening gehouden moet wor R gen dat hulp op er van nog de het druspannin geen optredende reening moment is gehouden over met de R K at dubbele van er nog de brug geen buiging. en reening de Met buigstijfheid behulp van van het de optredende brug is ε = K veiligheidsfactor moment mming over in lengte de vereist lengte richting dvan van de de brug brug en te de εc p buigstijfheid n. van De het romming optredende van an brug worden mmomis de omgereend romming K in e de drure lengterichting in de leuningbovenregel. e xnc brug de buigstijfhe van de brug te bepalen. De ing romming lengte an richting worden va omgereend naar de De romming ure drure in de an leuningbovenregel. worden in de leuningboven De drure bovenin de leuningbovenregel is: ε = K x c, top [ ] nc De drure bovenin de leuningbovenregel is: ε = K x a c, ond [ ] nc h 0,3 Figuur. Drure in lengterichtingg L c x nc ale re omt voor bovenin venregel, Voor het beree e normaal druracht wo met t de drure onderin d venregel. De formule vvoor e betondruracht wordt 65 ment wat in hoofdstu 5. en uitgewert in bijlage F.

67 6. Sterte van de leuningbovenregel ximale re re omt omt voor voor bovenin bovenin de de gbovenregel, De regel, maximale Voor Voor re het het omt bereen bereen voor van v boven de in de leuningbovenregel. Voor het bereenen bare van ormaal normaal de toelaatbare druracht druracht normaal wordt wordt dus druracht all nd met de drure onderin de wordt daarom alleen gereend met de de drure onderin de gbovenregel. drure onderin De formule de leuningbovenregel. voor de De formule voor de maximaal toelaatbare tbare regel. normaal De formule druracht voor de wordt maxim dus alleen end bare etondruracht met betondruracht de drure wordt wordt onderin wordt daarmee: daarmee: de gbovenregel. N Rd,max = A De c [ ε formule c3 ε c ] Evoor de maximaal c tbare betondruracht wordt daarmee: n: Waarin: ε = ε = K a c c, top ε c, ond h mmingwaarde De rommingswaarde appa appa is te is appa bepalen te bepk is dote bepalen door het moment, wele in E al bepaald is bepaald te delen te delen de buigstijfheid de buigs hoofdstu 5. en Bijlage E al bepaald is, te delen door de buigstijfheid wele is ommingwaarde uitgewert in Bijlage appa F. is te bepalen door he e E al is bepaald te delen de buigstijfheid wel EI = EI + EI + EI brug, z Waarin: EI EI EI bovenregel onderregel voorspanstaal bovenregel ab a = Ec b = Ec = E Waarin: x nc E = c s b onderregel 3 h ( c + b ) h + a b 3 h ah x + b voorspanstaal b nc a h ( c + b ) bh + ch Ap a xnc + ah ab ah + bb E h h bh + c a xnc + c + b h h ( ch + bh ) a + + Es c[ ab ah + bb ( ch + bh ) ] + Es Ap De toetsing op drure voldoet wanneer de maximale druregrens gesteld toetsing is op,75. op p drure p drure De invloed voldoet voldoet van wanneer wanneer de imperfectie de maximale de de maximale op de druregrens druregrens normaal druracht gesteld gesteld is op is op is in 5. bovenstaande De nvloed invloed van de vergelijingen van imperfectie de de imperfectie op niet de op meegenomen. op normaal de de normaal druracht De druracht scheefstand is in bovenstaande is is in in bovenstaande van 0,758 mm gelijingen over n niet de halve n meegenomen. niet nilengte meegenomen. De van scheefstand De De 630 scheefstand mm, van als 0,758 gevolg van 0,758 mm van over imperfectie, mm de over halve de de halve heeft h vrijwel lengte van geen n 630 invloed 630 mm, op als mm, de gevolg onderstaande als als gevolg van imperfectie, van toetsing. imperfectie, heeft heeft vrijwel vrijwel geen invloed geen invloed op de op d derstaande e toetsing. e toetsing. De onderstaande waardes zijn bereend in Bijlage H. N Ed, q last 9,6 = = 0,9,0 Voldoet N Rd,max, q last 006 N Ed, P last 666,33 = = 0,65,0 Voldoet N 05 Rd,max, P last h ch + bh Ap a + de leuningbovenregel zit oo een buigend moment. Het buigend momen oorzaat door ongelijmatig verdeelde horizontale rachten op de ningbovenregel, maar oo door het tweede orde effect van de dru norm euningbovenregel. In NEN-EN-99-- H5.8.9 [] wordt staat de toets bbele 66 buiging:

68 Voldoet 6. Sterte van de leuningbovenregel 6. Het buigend moment In de leuningbovenregel zit tevens een buigend moment. Het buigend moment wordt leuningbovenregel veroorzaat zit door oo ongelijmatig een buigend moment. verdeelde Het horizontale buigend moment rachten op orzaat door ongelijmatig verdeelde horizontale rachten op de de leuningbovenregel, maar oo door het tweede orde effect van de dru ngbovenregel, maar oo door het tweede orde effect van de dru norm uningbovenregel. normaalracht in In de NEN-EN-99-- leuningbovenregel. H5.8.9 In NEN-EN-99-- [] wordt staat de H5.8.9 toetsi [] wordt de bele toetsing buiging: voor dubbele buiging beschreven: a a M M Edz Edy +,0 M Rdz M Rdy Waarin: is de reenwaarde van het moment M Edz/y is de reenwaarde van het moment is de momentweerstand M Rdz/y is voor is de rechthoeige momentweerstand doorsnede een lineaire inte a tussen: is voor rechthoeige doorsnede een lineaire interpolatie tussen: N Ed /N Rd 0, 0,7,0 a=,0,5,0 is de reenwaarde voor de normaalracht Waarbij: N Ed is de reenwaarde voor de normaalracht N Rd = A c f cd (voor ongescheurt ongewapend beton) In Bijlage G wordt uitgewert hoe de reenwaarde voor het moment M Edy bepaald age an.. Wordt worden. uitgewert De formule hoe die de daar reenwaarde wordt gevonden voor het voor moment deze waarde bepaald is: an n. De formule die daar wordt gevonden voor deze waarde is: 3 q d l Pd l 5 q + d l + Pd l EI y EI regel y EI y M = 8 π + regel, 38, 8 regel, Edy + u i l n l + l + 96 EI regel, y 96 EI regel, y Waarin: is de reenwaarde van de totaal gelijmatig verdeelde q d belasting is de horizontaal reenwaarde op van de leuningbovenregel de totaal gelijmatig verdeelde is de reenwaarde belasting horizontaal van de geconcentreerde op leuningbovenregel belasting P d horizontaal is de reenwaarde op leuningbovenregel van de geconcentreerde belasting is de nilengte horizontaal van op de leuningbovenregel l is de buigstijfheid van de is de nilengte van de leuningbovenregel EI is de veerstijfheid van de brugdoorsnede regel,y is de buigstijfheid van de leuningbovenregel is de stabiliteitsfactor is de veerstijfheid van de brugdoorsnede is de uitbuiging als gevolg van imperfectie in de n leuningbovenregel is de stabiliteitsfactor u i is de uitbuiging als gevolg van imperfectie in de leuningbovenregel tredend moment an worden teruggeend met de gevonden waarde voor g in langsrichting in de vorige paragraaf. 67

69 is de ve is de sta is de uit 6. Sterte van de leuningbovenregel leuning Het optredend moment M Edz an worden teruggereent met de gevonden waarde tredend voor de moment romming van an de wo brug in langsrichting in de vorige paragraaf. ming van de brug in langsrich N Ed e M Edz = EI regel, z EI Waarin: brug, z N Ed e EI brug,z EI regel,z is de re is de ve is de reenwaarde voor de normaalracht en onde is de verticale hart op hart afstand tussen de is de bu leuningboven- en onderregel is de bu is de buigstijfheid van de brug in lengterichting over de z-as lengteri is de buigstijfheid van de leuningbovenregel in lengterichting over de z-as eerstandsmoment is op basis respanningen in de leuningb astisch Het weerstandsmoment opneembaar weerstan is op basis van de ongescheurde doorsnede bereend. roleerd Er omen worden geen of trespanningen het plastis in de leuningbovenregel voor. Het elastisch ede opneembaar omt. weerstandsmoment is maatgevend, maar er zal nog wel gecontroleerd worden of het plastisch weerstandsmoment hoger is, wat de veiligheid ten goede omt. De treracht van dit beton is zeer lein en an derhalve worden verwaarloost. Door het doorbuigen van de leuningbovenregel zal oo de neutrale lijn, ofwel het aangrijpingspunt van de normaalracht verplaatsen. Zowel elastisch evenwicht als het plastisch evenwicht wordt daardoor gevonden door de maximale trespanning in de doorsnede gelij aan 0 te stellen. Deze redenatie geeft direct oo weer dat zonder normaalracht geen moment in de doorsnede op te nemen is, zie Figuur 5. σ σ σ σ x x x e x u h of N d M d elastisch plastsich Figuur 5. Doorsnede spanningen in de leuningbovenregel afstand is de op buiging belaste hoogte van de doorsnede. Het weerstandsmoment elastisch indien de maximale dru in de uiterste vezel leiner is dan de stuire gren n het beton. 68 elastische betondru en het maximaal opneembaar (inwendig) moment van de gescheurde doorsnede is:

70 6. Sterte van de leuningbovenregel De afstand h is de op buiging belaste hoogte van de doorsnede. Het weerstandsmoment is de is op elastisch buiging indien belaste de hoogte maximale van de dru do in de uiterste vezel leiner is dan de tand tisch stuire indien grens de maximale van het beton. dru in de uiterste vez t beton. s de op buiging b σ Ndien, c + σde M, cmaximal ε c3 -> elastische betondru. Ec on. ε ε -> plastisch betondru c3 c ε c3u stische betondru en het maximaal opneembaar cheurde De elastische doorsnede betondru is: en het maximaal opneembaar (inwendig) moment van de betondru ongescheurde en he he doorsnede is: e betondru De doorsnede en en trespanning, is: het het maximaal m opn als gevolg van het moment, leiner of gelij te stellen aan de doorsnede is: de druspanning die optreed als gevolg van de normaalracht. σ N, c σ M, t Waarin: σ σ σ N, c M, t M, c = = = N Ac M = Wt M = W c M I M x I ( h x ) regel regel e e de normaalracht druspanning de trespanning t.g.v. een buigend moment de druspanning t.g.v. een buigend moment 3 Met x e = h en I regel = b h resulteert dit in een voorwaarde voor de maximale 3 waarde voor het uitnien in de elastische fase van de leuningbovenregel: M Rdy / z h N 8 astische fase wordt overschreden elastische Indien de fase elastische e volgende vergelijingen wordt fase overschred fase wordt zijn wordt overs me overschreden dan omt de doorsnede in de plastische De e volgende vergelijingen e drufase. plastische volgende De restcapaciteit vergelijingen volgende vergelijingen van zijn het m zijn met name bedoeld om te controleren of en de hoe plastische groot e plastische de restcapaciteit plastische restcapaciteit restcapaciteit van h van het weerstandsmoment is. De maximale druracht op de doorsnede mag niet groter zijn dan de De maximale druracht op de doorsnede niet groter mag zijn dan opneembare plastisch belasting: plastisch belasting: Ec ε c3 b x E ( ) N plastischopneembaar = Ec ε c3 b x + = c ε c3 Ac ε cu3 ε c3 + ε cu3 Ac σ N, c σ M +, c σ M, t ε c 3 x Ec b x + σ -> 69

71 6. Sterte van de leuningbovenregel De neutrale lijn in de uiterste situatie is: x h x xu ε c3 = ε c3 + ( x xu ) ε c3 -> x u = + -> -> De trespanning, als gevolg van het moment, leiner of gelij te stellen aan de druspanning die optreed als gevolg van de normaalracht. rmaalracht. σ N, c σ M, t x u σ x = h Figuur 6. Plastische belaste doorsnede x = h ( ε ε ) cu3 ε x cu3 c3 Waarin: N σ N, c = Ac M M h x σ M, t = = W I σ M, c = I regel = t ( ) regel M M x = u Wc Iregel 3 b h u de normaalracht druspanning de trespanning t.g.v. een buigend moment de druspanning t.g.v. een buigend moment het buigtraagheidsmoment; ongescheurd Dit resulteert in een voorwaarde voor de maximale waarde voor het uitnien in de plastische fase van de leuningbovenregel: N A c ( ) h h ε cu3 ε c M h ε cu3 -> 3 b h -> 3 -> M Rdy / z, plast h N 9 3 cu ε ( ε ε ) plastische e restcapaciteit restcapaciteit van het opneemb van het opneembaar moment an dus uitgedrut wo wele e De factor restcapaciteit plastische restcapaciteit vrijwel wele altijd vrijwel van leiner het altijd opneembaar van het opneembaar moment an dus uitgedrut dan leiner dan momen an is: ele worden vrijwel in een altijd factor leiner wele dan vrijwel an is: altijd leiner dan an is: δ plast = 9 3( ε ) cu3 ε c3 8 8 ε cu3 Voor betonlasse C50 & C90 beteent dit: δ plast = ( 3,50,75), C50 = 8 3,50 0,933 δ plast = cu3 c3 (,60,30), C90 = 8,60 Er is geen plastische restcapaciteit in het weerstandsmoment in de leuningbovenregel! 0,9 Het weerstandsmoment is afhanelij van de normaalracht in de leuningbovenregel. Voor de normaalracht moet de meest ongunstigste reenwaarde worden bepaald. Dit 0,9 maal de optredende normaalracht als gevolg NErep,g. In NEN-EN 99-- [] staat niet dat het weerstandsmoment gedeeld moet worden 70 door de materiaal veiligheidsfactor. Doordat de normaalracht het aandeel van de variabele belasting op de brug wordt verwaarloost is dit oo niet noodzaelij.

72 6. Sterte van de leuningbovenregel Het weerstandsmoment is afhanelij van de normaalracht in de leuningbovenregel. ndsmoment is Voor afhanelij de normaalracht van de normaalracht moet de meest in de ongunstigste leuningbovenregel. reenwaarde maalracht worden bepaald. moet de Dit meest is 0,9 ongunstigste maal de optredende reenwaarde normaalracht worden bepaald. als gevolg Dit is N Erep,g. optredende normaalracht als gevolg NErep,g In NEN-EN [] staat 99-- niet dat [] het staat weerstandsmoment niet dat het weerstandsmoment gedeeld moet worden gedeeld moet eriaal riaal veiligheidsfactor. worden veiligheidsfactor. Doordat door de materiaal Doordat de veiligheidsfactor. de normaalracht normaalracht het Doordat het aandeel aandeel van normaalracht van de de asting het asting op aandeel op de van de brug brug wordt de variabele wordt verwaarloost verwaarloost is belasting op is dit de dit oo brug oo niet niet noodzaelij. wordt noodzaelij. verwaarloost is dit oo niet dsmomenten smomenten in in beide beide richtingen richtingen omen omen daarmee daarmee uit uit op: op: noodzaelij. De weerstandsmomenten in beide richtingen omen daarmee uit op: a M = Rdy a M = Rdz b 0 Erep,g,9 N 8,9 N 8 h 0 Erep,g In Bijlage H is de toetsing op het moment uitgewert. Het resultaat van deze H s de is de de toetsing toetsing is: op op op het het het moment moment uitgewert. uitgewert. Het Het Het resultaat resultaat van van van deze deze deze toetsing toetsing is: is: is: a a M M Edz Edy +,0 M Rdz M Rdy Toetsing op gelijmatig verdeelde belasting:,9,8,78 +,06,5,78 = 0, +, =,3,0 Toetsing op een geconcentreerde belasting: 0,9,83, + 5,5,5, = 0,+,79 =,90,0 Voldoet NIET Voldoet NIET rijste De belangrijste oorzaen van van het oorzaen het niet niet van voldoen het van niet van aan voldoen aan de boventstaande bovenstaande toetsingen toetsingen rizontale over de y-as horizontale y-as zijn: zijn: y-as zijn: Het weerstandsmoment mag geen reening houden met de extra normaaldruracht in de leuningbovenregel die afomstig is uit de variabele belasting op de brug. De imperfectie zorgt voor een groot tweede orde moment in de leuningbovenregel. De veiligheidsfactoren vergroten M Ed en verleinen M Rd, waardoor het moeilijer wordt om aan deze toetsing te voldoen. Een geconcentreerde belasting op de brug geeft een grote loale horizontale verplaatsing van en horizontale belasting op de leuningbovenregel. Zonder reening te houden met de extra normaalracht die optreed, zoals is voorgeschreven in de norm, ontstaat hier al een theoretisch niet opneembaar eerste orde moment van 8,5 Nm in de leuningbovenregel. 7

73 6. Sterte van de leuningbovenregel Indien een voertuigbelasting een voertuigbelasting op de brug op wel de brug meegereend wel meegereend mag worden mag dan worden veroorz dan veroorzaat extra weerstandsmoment dit een extra weerstandsmoment MRdy van: M Rdy van: M Pq, ab 0,9 = 8 voert L e 0,300 0, ,05 Rdy, voertuig = = 3, 35 Nm Oo met het meereenen van dit extra weerstandsmoment, is het weerstandsmoment nog altijd leiner dan het eerste orde moment. 6.3 Resultaten van de controle op sterte fdstu 5 is geeen naar wele invloed bepaalde afmetingen en de belastinge biliteit In hoofdstu van de brug 5 is geeen hebben. Dit naar zelfde wele an invloed gedaan bepaalde worden op afmetingen basis van en de de ster euningbovenregel. belastingen op de Als stabiliteit basis voor van de de bereening brug hebben. zal de Dit bereening zelfde an in gedaan bijlage worden H op t. Net als bij de bereening op stabiliteit zal oo hier de resultaten beeen basis van de sterte in de leuningbovenregel. Als basis voor de bereening zal de n door de onderstaande waarden te variër en: bereening in Bijlage H gebruit worden. Net als bij de bereening op stabiliteit zal oo Lengte hier van de de resultaten brug beeen worden door de onderstaande waarden te variëren: Lengte van de brug Breedte van de brug Leuninghoogte Leuningbovenregel Dedite Breedte van de leuning/vlavulling Deing op de wapening Invloed van een gelijmatig verdeelde belasting op de brug Invloed een geconcentreerde belasting op de brug 6.3. Lengte van de brug Kortere bruggen hebben een lagere normaaldruracht in de leuningbovenregel als gevolg van de leinere overspanning en de lagere totale massa van de brug. Deze lagere normaaldruracht bij ortere bruggen is gunstig voor de toetsing (U.C.) op de normaalracht maar zeer ongunstig bij de toetsing op het moment. Het opneembaar moment is afhanelij van de normaalracht die de brug opwet door alleen het eigen gewicht van de brug. U.C. Bruglengte [m] Figuur 7. Invloed bruglengte op de sterte 7

74 6. Sterte van de leuningbovenregel 6.3. Breedte van de brug Een bredere brug zal zwaarder zijn. De normaaldruracht in de leuningbovenregel zal daardoor stijgen. Dit effect is duidelij waarneembaar in de toetsingen op normaalracht. U.C. Een bredere brug, bij een gelij brugdehoogte, is oo slapper. De hoeverdraaiing van het brugde zal daardoor toenemen. Het gevolg Brugbreedte [m] is dat geconcentreerde belasting (P-lasten) op het brugde een Figuur 8. Invloed brugbreedte op de sterte grotere loale verplaatsing van de leuningbovenregel sing van de leuningbovenregel geeft, waardoor geven, waardoor deze deze niet niet voldoet moment. voldoet aan de toetsing op het moment. n ongeveer 5 meter is geeft de toetsing op het moment van de elasting weleens waar een te hoge waarde maar de grafie toont Tot een brugbreedte van ongeveer 5 meter geeft de toetsing op het moment van e brugbreedte is niet gevoelig voor gelijmatige belasting opdat de gelijmatig verdeelde belasting een te aardoor hoge de waarde, leuningbovenregel de grafie over de echter gehele lengte toont van de brug or geen extra moment wordt geïn tro duceerd. dat deze niet oploopt. De brugbreedte is oeligheid niet gevoelig op. De oorzaa voor daarvan gelijmatig is het oplopen verdeelde van het tweede belasting omdat deze gespreid is. Daardoor ent. In beweegt hoofdstu 5..3 de leuningbovenregel staat de grafie met de invloed over van de liteit vergrotingsfactor wele verantwoordelij is voor het de gehele lengte van de brug gelij, waardoor et moment. er geen extra moment wordt geïntroduceerd. Na 5 meter loopt de gevoeligheid op. De oorzaa daarvan is het oplopen van het tweede orde deel van het moment. In hoofdstu 5..3 staat de grafie met de invloed van de brugbreedte op de stabiliteit vergrotingsfactor, wele verantwoordelij is voor het tweede orde deel van het moment Leuninghoogte Een hogere leuninghoogte zorgt voor een lagere normaaldruracht en dat is terug te zien in de grafie. Het gevolg van een lagere normaaldruracht is tevens een leiner opneembaar moment. De reden dat de geconcentreerde belasting niet een stijgende lijn laat zien op een leiner opneembaar moment, is dat de grotere leuninghoogte de vlavulling tussen de leuningboven- en onderegel e U.C. Leuninghoogte a [mm] Figuur 9. Invloed leuninghoogte op de sterte vloed hebben op de leuningbovenregel. 73

75 6. Sterte van de leuningbovenregel slapper maat. Hierdoor heeft de concentreerde belasting op het brugde minder invloed op de leuningbovenregel Leuningbovenregel De leuningbovenregel hoger maen heeft als voordeel dat de oppervlate toeneemt waardoor de opneembare normaalracht groter wordt. Tegelijertijd wordt de leuningbovenregel stijver en zal het dus meer moment naar zich toe treen. De extra stijfheid resulteert in een grotere nilengte. Met name de grotere nilengte zorgt voor een extra gevoeligheid op het moment in de leuningbovenregel. l hoger maen heeft als voordeel dat de oppervlate toeneemt bare normaalracht groter wordt. Tegelijertijd wordt de jver en zal het dus meer moment naar zich toe treen. De extra een grotere nilengte. Met name de grotere nilengte zorgt voor d op het moment in de leuningbovenregel.,50 U.C.,00 De breedte van de leuningbovenregel Figuur 50. Invloed van leuningbovenregel hoogte op de sterte hebben. Alleen bij een geconcentreerde belasting is een voordeel heeft een grote invloed op het eft vooral te maen met de gevoeligheid voor de nilengte in dit opneembare moment. Het vergroten van deze breedte heeft eveneens het effect dat de leuningbovenregel meer moment naar zich toetret. De nilengte over de leuningbovenregel wordt aanzienlij groter. Het optredend moment neemt daardoor oo fors toe en zal het grotere weerstandsmoment vrijwel geheel nodig hebben. Alleen bij een geconcentreerde belasting is een voordeel op te meren. Dat heeft lengte over vooral de te maen met de gevoeligheid voor de nilengte in dit geheel. ingbovenregel rd aanzienlij De er. Het horizontale gelijmatig verdeelde belasting op de leuning wert het meest edend moment mt negatief daardoor wanneer deze is geplaatst over exact de nilengte. Daardoor zal, in fors toe en zal absolute zin voor de bereening, de totale horizontale belasting toenemen rotere naarmate rstandsmomen de nilengte groter wordt. De geconcentreerde belasting neemt niet toe wel geheel nodig hebben. Alleen bij een geconcentreerde belasting is een voordeel naarmate de nilengte toeneemt. e meren. Dat heeft vooral te maen met de gevoeligheid voor de nilengte in dit el. 3,00,50,00 0,50 0, UC N_q-last UC M_q-last UC N_P-last UC M_P-last 00 0 Hoogte a h [m] sterte 0 U.C. Breedte a b [mm] Figuur 5. Invloed van leuningbovenregel breedte op de sterte 7

76 6. Sterte van de leuningbovenregel Dedite De dite van het brugde heeft een grote invloed op de toetsing op het moment in de leuningbovenregel. Een dier brugde ent vier voordelen: De brug wordt zwaarder waardoor de permanente normaalracht in de leuningbovenregel toeneemt met als gevolg dat het opneembare moment toeneemt. De veerstijfheid wordt groter. Het gevolg is dat de nilengte orter wordt. De stijfheid van het brugde wordt groter. Het brugde zal daardoor minder doorbuigen. Met name bij ongelijmatige belastingen zoals geconcentreerde lasten op de brug is dit een voordeel. De leinere hoerotatie zorgt voor een leinere loale horizontale verplaatsing in de leuningbovenregel. Oo het tweede orde moment neemt tot een dedite van 0mm af; daarmee omt de vorm van het moment overeen met de grafie van de stabiliteit vergrotingsfactor in hoofdstu Oo het tweede orde moment neemt tot een dedite van 0mm af; daarmee omt de vorm van het moment overeen aan de grafie van de stabiliteit Het vergroten vergrotingsfactor van de dedite in hoofdstu is de enige mogelijheid om de geconcentreerde belasting te laten voldoen aan de toetsing op het moment. De toename in het Het vergroten van de dedite is de enige mogelijheid om de geconcentreerde eigen belasting gewicht onder van te laten de voldoen brug zal aan de oo toetsing tot gevolg op het moment. hebben De toename dat de in afmetingen het van de leuningbovenregel eigen gewicht van de brug iets zal vergroot oo tot gevolg moeten hebben worden dat afmetingen om de van toetsing de op sterte te leuningbovenregel iets vergroot moeten worden om de toetsing op sterte te unnen unnen weerstaan. weerstaan. U.C. Brugdedite [mm] Figuur 5. Invloed brugdedite op de sterte 75

77 Sterte van de leuningbovenregel Breedte van de leuning/vlavulling Voor de gelijmatig verdeelde belasting geldt oo, net als bij de brugdedite, dat het tweede orde effect gelij opgaat met de toetsing op het moment. Echter een stijver vla tussen de leuningboven- en onderregel vergroot de invloed van de geconcentreerde belasting op de leuningbovenregel. Het gevolg is dat de leuningbovenregel extra belast wordt door een moment uit de geconcentreerde belasting op het brugde. e belasting geldt oo, net als bij de brugdedite, dat het aat met de toetsing op het moment. Echter een stijver vla nderregel vergroten de invloed van de geconcentreerde regel. Het gevolg is dat de leuningbovenregel extra belast de geconcentreerde belasting op het brugde. U.C. Breedte c b [mm] de deing op de wapening is hetzelfde als het vergroten van de Figuur 53. Invloed van de vlavullingbreedte op de e betondoorsnede. De massa van de brug veranderd niet, oo ijfheid sterte van de leuningbovenregel en de brugdoorsnede in e brug (zie oo bijlage F) veranderd oo niet. De toetsing op leuningbovenregel is derhalve constant over de gehele lengte Deing op de wapening g groter wordt, wordt oo de toetsing op het moment groter. Het vergroot doordat het tweede orde deel van het moment vergroot, ie is weergegeven in hoofdstu Het verleinen van de deing op de wapening is hetzelfde als het vergroten van de nuttige hoogte van de betondoorsnede. De massa van de brug veranderd niet, oo veranderd de buigstijfheid van U.C. de leuningbovenregel en de brugdoorsnede in lengterichting van de brug niet (zie oo Bijlage F). De toetsing op normaal-racht in de leuningbovenregel is derhalve constant over de gehele lengte. Deing [mm] Figuur 5. Invloed van de deing van op de Naarmate de deing groter wordt, wapening op de sterte wordt oo de toetsing op het moment groter. Het optredend moment vergroot doordat het tweede orde deel van het moment vergroot, zoals oo in een grafie is weergegeven in hoofdstu e 76

78 6.3.8 Invloed van een gelijmatig verdeelde belasting op de brug In de referentiebereening is reening gehouden een horizontale gelijm belasting over de nilengte op de leuningbovenregel en een gelij matig belasting op het brugde. 6. Sterte van de leuningbovenregel De invloed van de gelijmatig verdeelde belasting horizontaal op de leun terug te vinden in de toetsing op het moment. De horizontale belasting is verantwoordelij voor het eerste orde moment op de leuningbovenregel In de referentiebereening is reening gehouden een horizontale gelijmatig verdeelde belasting over de nilengte op de leuningbovenregel en een gelijmatig verdeelde belasting op het brugde. U.C. De invloed van de gelijmatig verdeelde belasting horizontaal op de leuning is alleen terug te vinden in de toetsing op het moment. De horizontale belasting is verantwoordelij voor het eerste orde moment op de leuningbovenregel. De toename van de veranderlije belasting op het brugde verhoogt de normaaldruracht in de De toename van de veranderlije belasting leuningbovenregel op het brugde en verhoogt de alpha factor in de toetsing normaaldruracht in de leuningbovenregel op het moment. en alpha factor in de toetsing op het moment. De vergroting in de normaalracht De vergroting zorgt in oo de voor een vergroting van de normaalracht zorgt oo stabiliteit vergrotingsfactor op het tweede orde deel van het moment. voor een vergroting van q-last [N/m ] Figuur 55. Invloed van de gelijmatig verdeelde belasting horizontaal op de leuningbovenregel U.C. q-last [N/m ] Figuur 56. Invloed van de gelijmatig verdeelde belasting op het op het brugde 77

79 6. Sterte van de leuningbovenregel Invloed van een geconcentreerde belasting op de brug loed van de centreerde bela cht De invloed op de van de geconcentreerde gbovenregel belasting loodrecht is op de leuningbovenregel stijgende lijn is een lineair ng stijgende op het mome lijn in de toetsing op het eaire moment. vorm De is te lineaire vorm is terug ren te voeren op de volge op de volgende functie e die in het mom U.C. die in het moment verwert is. rt is. P l hor M = loed De invloed begint al begint z al zo hoog doordat er er in in dedeze referentientie bereening bereening al reening ening gehouden gehouden is met een verticale n verticale centreerde geconcentreerde bela belasting op het brugde. op het brugde. ng P-last [N] Figuur 57. Invloed van een geconcentreerde belasting horizontaal op de leuningbovenregel De geconcentreerde b belasting op het brugde heeft meer invloed op de brug. De toename brugde heeft in verticale m belasting zorgt voor een toename van de normaal druracht d met op de als brug. gevolg Deeen toename van de toetsing op normaalracht. me in verticale ng zorgt voor e g me De van snelle de norm stijging van de toetsing op het moment heeft met name te maen met de grote invloed die die racht in deze referentiebereening heeft op de hoerotatie van het brugde en daardoor op de horizontale verplaatsing van de leuningbovenregel. Daarnaast zorgt een stijgende stabiliteit versteringsfactor (zie oo hoofdstu 5..9) voor een toename van de invloed van het tweede orde deel van het moment. brugde. U.C. P-last [N] Figuur 58. Invloed van een geconcentreerde belasting op het brugde op /3 van de breedte e oo hoofdstu 5..9, voor een toename van de invloed et moment. 78

80 6. Sterte van de leuningbovenregel 6. Het verband tussen sterte en stabiliteit van de brug De toetsing op sterte en stabiliteit zijn op zichzelf staande toetsingen. Bij de tsing bereening op sterte van en het stabiliteit moment zijn in de op leuningbovenregel zichzelf staande toetsingen. zit een stabiliteitsfactor Bij de beree t op oetsing ingesloten. moment sterte op en sterte De de stabiliteit toetsing leuningbovenregel en stabiliteit zijn op het op zichzelf moment zijn zit op een zichzelf staande volgens stabiliteitsfactor staande toetsingen. de NEN_EN toetsingen. ingesloten. Bij 99-- de bereening Bij de De [] toe is: ment moment het moment in de volgens leuningbovenregel de de leuningbovenregel NEN_EN 99-- zit een stabiliteitsfactor zit [] een is: stabiliteitsfactor ingesloten. ingesloten. De toetsing De het a a ent moment volgens volgens M de M NEN_EN de NEN_EN [] is: [] is: Edz Edy +,0 M Rdz M Rdy rin: Waarin: π EI regel, y M Edy = M ste + u ste Edy, orde Edy, orde l n Deze toets is om te schrijven naar: a a π EI regel, y a M Edz M ste + u ste M Edy orde Edy orde Rdy,, l n M Rdz Stel, we houden a aan op de meest ongunstige waarde van : π EI regel, y M Edz u ste M Edy orde Rdy M ste, Edy, orde l n M Rdz Daarmee Daarmee wordt een wordt minimaal een minimaal benodigde benodigde stabiliteitsfactor stabiliteitsfactor gevonden voor d ordt rmee bereening: Daarmee een wordt minimaal gevonden wordt een minimaal benodigde een voor minimaal de benodigde bereening: stabiliteitsfactor benodigde stabiliteitsfactor stabiliteitsfactor gevonden gevonden voor gevonden voor de voor Daarmee wordt een minimaal benodigde stabiliteitsfactor gevonden voor eening: bereening: bereening: π EI regel, y u ste Edy, orde l n + M Edz M Rdy M ste Edy, orde M Rdz Voorwaarde: M Edz M Rdy M ste > 0 Edy, orde M Rdz Of anders geschreven: M M ste Edz Edy, orde + M Rdz M Rdy Dit is een alternatieve manier van toetsen op het maximale moment in de leuningbovenregel. Dit is een alternatieve Het manier voordeel van van toetsen deze methode op het maximale ten opzichte moment van de in de Dit is een alternatieve manier van toetsen op het maximale moment in de eer Dit gebruite leuningbovenregel. methode is Het dat voordeel stabiliteitsfactor van deze methode nog niet ten uitgereend opzichte van hoeft de te ee leuningbovenregel. is een alternatieve Het manier voordeel van toetsen van deze op methode het maximale ten opzichte moment van in de de ee Wanneer gebruite methode geen tweede is dat de orde stabiliteitsfactor verplaatsing in nog zich niet heeft uitgereend is deze toetsing hoeft te leuningbovenregel. gebruite methode Het is dat voordeel stabiliteitsfactor van deze methode nog niet ten uitgereend opzichte van hoeft de eerder tei tegenstelling Wanneer tot geen de gebruite tweede orde toets verplaatsing hoofdstu in 6. zich en heeft de grafieen is deze toetsing Wanneer geen tweede orde verplaatsing in zich heeft is deze toetsing 6.3 v gebruite bereenen tegenstelling methode met tot eerste de is gebruite dat stabiliteitsfactor orde bereeningen. toets hoofdstu nog 6. niet en uitgereend de grafieen hoeft in 6.3 te worden. Wanneer tegenstelling tot de gebruite toets hoofdstu 6. en de grafieen 6.3 bereenen M met eerste orde bereeningen. bereenen Edz geen tweede orde verplaatsing in zich heeft is deze toetsing, in met eerste orde bereeningen. tegenstelling tot de gebruite toets in hoofdstu 6. en de grafieen in 6.3, volledig te bereenen met eerste orde bereeningen. 79

81 6. Sterte van de leuningbovenregel Alle toetsingen op sterte van de leuningbovenregel van de brug zijn daarmee: Toetsing op normaal druracht van de leuningbovenregel: Toetsing op normaal druracht van de leuningbovenregel: Toetsing N op normaal druracht van de leuningbovenregel: Ed,0 N Rd Toetsing op momenten in de leuningbovenregel: Toetsing Toetsing op op momenten momenten in in in de de de leuningbovenregel: leuningbovenregel: a a M M Edz Edy +,0 M Rdz M Rdy Controle op de stabiliteitsfactor in de leuningbovenregel. Oo te gebruien Controle op de stabiliteitsfactor in in in de de de leuningbovenregel. Oo Oo Oo te te te gebruien gebruien a als abiliteitsfactor alternatieve methode in leuningbovenregel. om te toetsen op het Oo moment te gebruien in de leuningbovenregel. als alternatieve alternatieve methode methode om om te te te toetsen toetsen op op op het het het moment moment in in in de de de leuningbovenregel. leuningbovenregel. hode om te toetsen π op EI het moment in de leuningbovenregel. regel, y u ste Edy, orde F, TUM l = n + N Ed M Edz M Rdy M ste Edy, orde M Rdz oorwaarde: Voorwaarde: M M ste Edz Edy, orde + M M Rdz Rdy 6.5 Vereenvoudigde methode voor ontwerpers De doelstelling van deze thesis is: Deze thesis moet leiden tot een ader waarbinnen de architect alle vrijheid heeft om het ontwerp, voor een brug met dragende leuning, te maen naar zijn wens. Deze paragraaf zal een methode beschrijven hoe een architect of een andere ontwerper van de brug snel in aart an rijgen wat de belangrijste afmetingen moeten zijn. De theoretische achtergrond van de bereening is reeds in de voorgaande hoofdstuen behandeld, daarom zal deze paragraaf alleen de handvaten aanreien en geen achtergrondinformatie meer verschaffen. Met behulp van een eenvoudig stappenplan zijn de grote lijnen snel uit te zetten waarna de ontwerper an beslissen hoe de brug er uit zou moeten omen te zien. Om de constructie zo eenvoudig mogelij te houden wordt de doorsnede van de brug afgeschat op een u-profiel zoals in figuur.. is afgebeeld. De breedte, de lengte en de hoogte van de brugleuning mogen als beend worden beschouwd. De brugdedite, de hoogte van de leuningbovenregel en de dite van de vlavulling 80

82 6. Sterte van de leuningbovenregel er an verzinnen hoe de brug er uit zou moeten omen te zien zo eenvoudig mogelij te houden wordt de doorsnede van de b worden ofiel zoals allemaal in figuur als.. is gelije afgebeeld. dite De breedte, beschouwd. de lengte Eerder en de in h de grafieen in hoofdstu mogen als 6.3 beend is al worden gezien beschouwd. dat de dedite De brugdedite, dier moet de h zijn dan de vlavullingdite en enregel de hoogte en de dite van de van leuningbovenregel. de vlavulling worden De allemaal reden als daarvoor geli was, dat een stijvere Eerder in de grafieen in hoofdstu 6.3 is al gezien dat de de leuningbovenregel n de vlavullingdite en en vlavulling de hoogte van meer de leuningbovenregel. horizontale belasting uit het de naar boven tret, as, dat wat de een negatief stijvere wert leuningbovenregele op de momentencapaciteit vlavulling meer van de leuningbovenregel. Onderstaand t het de naar een boven eenvoudig tret en dat model wert van negatief de doorsnede op de momenvan de brug: ngbovenregel. Onderstaand een eenvoudig model van de door a b t 3 a= meter t t Breedte brug b Figuur 59. Vereenvoudigde doorsnede van een trogligger brug & & b' t L a b = & t = t3 = & t = + b mm n orte formules zijn door middel van trail and error gevonde De en gevonden unnen oo orte vertaald formules worden zijn in de door grafieen. middel Onderstaand van trail and error gevonden. vonden oor met orte de variabele formules lengte zijn van door de brug middel en de van variabele trail and breedt error gevonden. waarden Deze en. Duidelij waarden unnen is dat unnen oo op basis vertaald oo van vertaald worden bovenstaande worden in grafieen. aannames in de grafieen. Onderstaand Onderstaand zijn de zijn de en grafieen normaalracht voor met voor de in met variabele de leuningbovenregel de variabele lengte van lengte maatgevender brug van en brug de is variabele dan en dde variabele breedte van breedte de van de gegeven. brug actor. weer Oo Duidelij gegeven. deze grafieen is dat Duidelij op zijn basis weer van dat gebaseerd de op bovenstaande basis op van voorbeel bovenstaande aannames toetsing aannames de en in bijlagen E en H. nt toetsing en normaalracht op moment in en de normaalracht leuningbovenregel de maatgevender leuningbovenregel is dan maatgevender stabili is otingsfactor. dan de stabiliteits Oo deze vergrotingsfactor. grafieen zijn weer Oo gebaseerd deze grafieen op de zijn voorbeeld weer gebaseerd op de eningen voorbeeld in bijlagen bereeningen E en H. in Bijlagen E en H. U.C. Bruglengte [m] Figuur 60. Invloed bruglengte op de sterte Bruglengte [m] Figuur 6. Invloed bruglengte op de stabiliteit met daarin de toetsing op moment en normaalracht, over Uit de bovenstaande grafie, met daarin de toetsing uidelij, dat op de moment formule alleen en geldig normaalracht, is voor bruglengten over de lengte van de brug, blijt duidelij dat de abiliteit formule vergrotingsfactor alleen zit geldig tot een lengte is voor van 0,5 meter chte waarde van 0% vergroting []. Stabiliteit is hier dus bruglengten van,5 tot 9,0 meter. De stabiliteit vergrotingsfactor zit tot een lengte van 0,5 meter nog onder de veelal veilig geachte waarde van 0% vergroting []. Stabiliteit is hier dus niet maatgevend. 8

83 6. Sterte van de leuningbovenregel De toetsing op het moment van de brugbreedte gaat tussen een breedte van,0 meter en 8,0 meter goed op. Doordat de breedte van de leuningbovenregel /0 van de breedte van de brug is, daalt de stabiliteit van de brug sneller dan de breedte van de brug. Dit is terug te zien in de grafie in de vorm van een neergaande stabiliteit versteringsfactor in de grafie in Figuur 6. Brugbreedte [m] rugbreedte op de stabtiliteit Figuur 6. Invloed brugbreedte op de stabiliteit met d uideli abilite U.C. Brugbreedte [m] Figuur 63. Invloed van de brugbreedte op de sterte oetsing op het moment van de brugbreedte gaat tussen een breedte van,0 meter Deze vereenvoudigde vorm om de meter afmetingen goed op. Doordat af de te breedte schatten van de leuningbovenregel mag gebruit /0 worden van breedt de brug is, zat stijgt de stabiliteit van de brug sneller dan breedte van de brug. D tussen een bruglengte van 5,0 en g te 8,5 zien in meter de grafie en in de een vorm brugbreedte van een neergaande tussen stabiliteit versteringsfacto de,0 en de 8,0 meter. De voorwaarden hierbij grafie zijn: in figuur De leuningboven- en onderregel vereenvoudigde hebben vorm een om gelije de afmetingen breedte af schatten zijn mag gebruit doorgaand worden n een bruglengte van 5 en 8,5 meter en een brugbreedte tussen de en de 8 over de hele lengte van de brug. r. De voorwaarden hierbij zijn: De vlavulling tussen de leuningboven- en onderregel is beschouwd als een massieve plaat, wele niet doorloopt over de gehele lengte, maar wel massief, zonder sparingen, over de mootlengte. De huidige grafieen gaan uit van betonlasse C50/60. Het gebrui van een andere betonlasse zal de minimale en maximale bruglengte beïnvloeden. De brug mag niet zwaarder worden belast dan een gelijmatig verdeelde belasting van 5 N/m of een geconcentreerde belasting van 50 N. Met de toetsing ter plaatse van de opleggingen is geen reening gehouden, evenals de toetsingen van de belasting op het brugde. Totdat deze en andere toetsingen op de brug oo zijn gecontroleerd mogen de aannamen van de afmetingen van de brug niet als harde eis worden opgesteld. 8

84 6. Sterte van de leuningbovenregel Wat is nu de invloed van de beton stertelasse op de lengte van de brug? evenals de toetsingen van belasting op het brugde. Totdat deze en a Om deze vraag te beantwoorden staan hieronder twee grafieen. Een lagere toetsingen op de brug oo zijn gecontroleerd mogen de aannamen van betonlasse afmetingen ent van een de brug lagere niet als harde materiaalstijfheid. eis worden opgesteld. Een lagere materiaalstijfheid is gunstiger in de vlavullingen. De invloed van de hoeverdraaiing van het brugde op de momenten in de leuningbovenregel verleint daarmee. Om deze vraag te beantwoorden staan hieronder grafieen. Een lagere beton Tegelijertijd ent een lagere materiaalstijfheid. neemt de doorsnedecapaciteit Een lagere materiaalstijfheid is van gunstiger de leuningbovenregel op vlavullingen. De invloed van de hoeverdraaiing van het brugde op de mom normaal de leuningbovenregel druracht verleint af. daarmee. Tegelij neemt de doorsnede capacit leuningbovenregel op normaal druracht af. U.C. Bruglengte [m] Figuur 6. Invloed van de bruglengte op de sterte bij C5/30 U.C. Bruglengte [m] Figuur 65. Invloed van de brugbreedte op de sterte De vereenvoudigde formule voor de afmetingen geeft een veilige waarde voor De vereenvoudigde volgende bruglengten. formule voor de afmetingen geeft een veilige waarde voor de volgende bruglengten. Betonlasse (afgelezen minimale lengte uit de grafieen maximale op sterte) lengte C5/30,0 m 7,5 m C50/60,5 m 9,0 m C90/05 Betonlasse 6,0 m minimale lengte,0 m maximale lengte C5/30,0 m 7,5 m C50/60,5 m 9,0 m C90/05 6,0 m,0 m 83

85 volgende bruglengten. Betonlasse minimale lengte maximale lengte C5/30,0 m 7,5 m 6. Sterte van de leuningbovenregel C50/60,5 m 9,0 m C90/05 6,0 m,0 m Bruglengte [m] Figuur 66. Invloed van de bruglengte op de stabiliteit bij C90/05 met d uideli n Een bruglengte bruglengte groter dan,0 meter zal een grotere tweede orde verplaatsing abilite groter dan meter zal een grotere tweede orde verplaatsing ennen ennen 0%. Op dan 7 meter 0%. Op is de 7,0 stabiliteitsfactor meter is de stabiliteitsfactor en op n=7,37 meter een en op stabiliteitsfact,0 meter een stabiliteitsfactor. Een stabiliteitsfactor van n=9,03. van 9 Een zal niet stabiliteitsfactor direct tot bezwijen van 9 zal leiden, niet direct maar de tot co s bezwijen zullen wel leiden, iets toenemen. maar de risico s zullen wel iets toenemen. leinst toegestane waarde van de stabiliteitfactor teruggereend uit het moment De leinst toegestane waarde van de stabiliteitfactor n teruggereend uit het gens de formule in hoofdstu 6. is: moment volgens de formule in hoofdstu 6. is: M π EI regel, y l M u ste Edy, orde Edz Rdy M ste Edy, orde M Rdz , , + = + = + = 8,03,8 6,66 83,,89 3,8 Hierbij wordt uitgegaan dat de bruglengte L=,0 meter is en de brugbreedte b =, meter. De Bijlagen E en H unnen worden gebruit om de in te vullen momenten en eerste orde verplaatsingen uit te reenen. verschil tussen de minimaal vereiste stabiliteitsfactor en de werelije rschil tussen de minimaal vereiste stabiliteitsfactor en d biliteitsfactor Het verschil tussen is lein. de Voor minimaal de stabiliteit vereiste vergrotingsfactor stabiliteitsfactor beteend en de werelije dit een verschi teitsfactor is lein. Voor de stabiliteit vergrotingsfactor stabiliteitsfactor maar: is lein. Voor de stabiliteit vergrotingsfactor beteent dit een aar: verschil van maar: 8,03 9,03 = 0,077 8,03 9,03 totale verplaatsing mag dus maar maximaal,5% overschreden worden al vorens d ale De verplaatsing totale verplaatsing mag dus mag maar dus maximaal maar maximaal,5% overschr,5% overschreden worden g bezwijt. ezwijt. eerste alvorens orde de verplaatsing brug bezwijt. was De 0,39 eerste mm. orde Dat verplaatsing beteend dat was de leuningbovenregel 0,39 mm. Dat beteent nie ste dat orde leuningbovenregel verplaatsing was 0,39 niet meer mm. Dat dan beteend 0,8 mm dat uitwijing d mag hebben, omdat het dan 0,8 mm meer uitwijing max hebben, omdat het an anders bezwijt op de toetsing op moment. ng op moment. nt Dit aan toont dat aan deze dat vereenvoudigde deze vereenvoudigde methode methode niet maatgev niet maatgevend, maar als worden indicatief beschouwd. moet worden beschouwd. 8

86 7 Conclusies & Aanbevelingen In hoofdstu zijn de volgende stellingen opgeschreven: De probleemstelling is: Geconstateerd is dat bij de gewenste slanheid van de leuningen, fenomenen optreden die we ennen vanuit de staalbouw: ni, ip en niplooi. Doelstelling van deze thesis: Deze thesis moet leiden tot een ader waarbinnen de architect alle vrijheid heeft om het ontwerp, voor een brug met dragende leuning, te maen naar zijn wens. Subdoelstellingen van deze thesis: Het in aart brengen wele importantie de tweede orde effecten hebben. De dragende leuningbrug zal seriematig in moten geprefabriceerd unnen worden. De onderlinge aansluiting van moten moet op een relatief eenvoudige manier plaats unnen vinden. 7. Conclusie op de doelstelling De leuningen op een betonnen brug constructief benutten in overspanning van de brug heeft als voordeel dat de brug lichter geconstrueerd an worden. De vergrote afstand tussen de dru- en trezone in de constructie maat de brug stijver en minder gevoelig voor doorbuiging. De nadelen van de brugleuning constructief benutten zijn de wetsbaarheid voor horizontale belastingen en de plotselinge bezwijvorm. Ondans deze nadelen is toch geprobeerd om een eenvoudige formule of vuistregel te vinden die als basis unnen dienen voor een ontwerper of architect. 85

87 ofiel zoals in figuur.. is afgebeeld. De breedte, de lengte en de h mogen als beend worden beschouwd. De brugdedite, de h enregel en de dite van de vlavulling worden allemaal als geli 7. Eerder Conclusies in de & grafieen Aanbevelingen hoofdstu 6.3 is al gezien dat de de n de vlavullingdite en de hoogte van de leuningbovenregel. as, dat de een stijvere leuningbovenregele en vlavulling meer Deze t het vuistregel de naar boven is gevonden tret en dat in wert de vorm: negatief op de momen ngbovenregel. Onderstaand een eenvoudig model van de door a b t 3 a= meter t t Breedte brug b Figuur. Vereenvoudigde doorsnede van een trogligger brug & & b' t L a b = & t = t3 = & n orte formules zijn door middel van trail and terror = mm 0 gevonde 50 0 en unnen oo vertaald worden in de grafieen. Onderstaand Deze oor met formule de variabele is geldig lengte voor van bruggen de en die de variabele een breedte breedt hebben tussen de en de vonden en. Duidelij orte is formules dat op basis zijn van door de middel bovenstaande van trail aannames and error de gevonden. waarden 8 meter. normaalracht unnen De lengte in oo de van leuningbovenregel vertaald de brug worden is naast maatgevender in de grafieen. bovenstaande is dan Onderstaand d vuistregel zijn oo de afhanelij en van actor. voor de betonwaliteit. Oo met deze variabele grafieen De zijn lengte vuistregel weer van gebaseerd de is brug geldig op en de voor de voorbeel variabele bruglengten breedte tussen van de en de gegeven. 3 en meter, in bijlagen Duidelij afhanelij E en H. is dat van op de basis betonsterte van de bovenstaande lasse: aannames de toetsing nt en normaalracht in de leuningbovenregel maatgevender is dan de stabili otingsfactor. Betonlasse Oo deze grafieen minimale zijn lengte weer gebaseerd maximale op de voorbeeld lengte eningen C5/30 in bijlagen E en H.,0 m 7,5 m C50/60,5 m 9,0 m C90/05 6,0 m,0 m Daarbij worden verder de volgende eisen of uitgangspunten aan het ontwerp gesteld om deze vuistregel te mogen gebruien: De leuningboven- en onderregel hebben een gelije breedte en zijn doorgaand over de hele lengte van de brug. De vlavulling tussen de leuningboven- en onderregel is een beschouwd als een massieve plaat, wele niet doorloopt over de gehele lengte, maar wel massief, zonder sparingen, over de mootlengte. De brug mag niet zwaarder worden belast dan een gelijmatig verdeelde belasting van 5 N/m of een geconcentreerde belasting van 50 N. Met de toetsing ter plaatse van de opleggingen is geen reening gehouden, evenals de toetsingen van de belasting op het brugde. Totdat deze en andere toetsingen op de brug oo zijn gecontroleerd mogen de aannamen van de afmetingen van de brug niet als harde eis worden opgesteld. 86

88 7. Conclusies & Aanbevelingen De subdoelstelling voor seriematige productie en in moten fabriceren is meer een voorwaarde dan een doelstelling. Om hieraan te voldoen, is gesteld dat de brug uit meerdere moten moet bestaan. De brugmoten bestaan uit een stuje of een schijf van de brug in lengterichting. De breedte van deze schijf of moot is de breedte van de brug en de lengte is begrenst door hetzij het gewicht wat één moot mag wegen of de breedte van een vrachtwagen. Deze voorwaarden maen het transport van de geprefabriceerde moten van de brug gemaelij. De verbinding tussen de moten wordt gedaan middels een voorspanabel in de leuningonderregel en deuvels in de leuningbovenregels. In de leuningbovenregels zorgt de dru normaalracht ervoor dat de deuvelverbinding goed in elaar grijpt. Een uitwering van deze verbindingen is niet gegeven. Het in aart brengen van de tweede orde effecten is een grotere uitdaging. Om een goed beeld te rijgen van wat er nu gebeurt, is veel met de hand uitgewert. Het blee dat de niformule volgens Engesser [Bijlage C] een goed inzicht geeft over het gedrag van de ni in de leuningbovenregel. De niracht gedeeld door de werelije normaal druracht geeft de stabiliteitsfactor n, waarmee de stabiliteit vergrotingsfactor op de horizontale uitwijing en het tweede orde deel van het moment te bepalen is. Het is duidelij geworden dat in veel gevallen de sterte maatgevend is in de constructie. Doordat de leuningbovenregel over de hele lengte verend is ondersteund, an de bezwijgrens op sterte op normaaldruracht benaderd et worden. is duidelij Geconcentreerde geworden dat belastingen veel gevallen op de brug sterte zorgen maatgevend voor grote is in loale de co oordat verplaatsingen de leuningbovenregel de leuningbovenregel. over de hele lengte Deze grote verend loale is ondersteund verplaatsingen an d ezwijgrens veroorzaen op een sterte moment op normaaldruracht wat in veel gevallen benaderd maatgevend worden. is. Een Geconcentre dier brugde elastingen zal minder op snel de brug een grote zorgen hoeverdraaiing voor grote loale geven verplaatsingen waardoor de in horizontale de uningbovenregel. Deze grote loale verplaatsingen veroorzaen een momen verplaatsingen en het optredend moment in de leuningbovenregel afneemt. eel gevallen maatgevend is. Een dier brugde zal minder snel een grote oeverdraaiing geven waardoor de horizontale verplaatsingen en het optrede oment Vanuit in de de toetsing leuningbovenregel op sterte van afneemt. het moment in de leuningbovenregel is het mogelij om het tweede orde deel te isoleren en terug te reenen naar een anuit stabiliteitsfactor de toetsing op n, sterte wele minimaal van het moment vereist in is de om leuningbovenregel aan de sterte eis is van het de mtoetsing m op het moment tweede te orde voldoen. deel te isoleren en terug te reenen naar een stabiliteitsfac ele minimaal vereist is om aan de sterte eis van de toetsing op moment te v π EI regel, y u ste Edy, orde F l = n + N Ed M Edz M Rdy M ste Edy, orde M Rdz 87

89 7. Conclusies & Aanbevelingen 7. Overige conclusies De overige conclusies zijn conclusies die niet direct een antwoord geven op de doelstelling van deze thesis, maar unnen wel uit de thesis herleid worden. Bereenen met de hand of via een eindige elementenpaet? De bereening met de hand en met een eindige-elementenpaet dat niet-lineair an reenen laat zien dat de bereening volgens het eindige-elementenpaet sneller en nauweuriger is dan de handbereening. Een geometrische en fysische niet-lineaire tweede orde bereening met behulp van zo n paet zou de constructeur in staat stellen om sneller een goed ontwerp neer te zetten. Belangrije voorwaarde is wel dat de constructeur een goed inzicht moet hebben van hoe dat paet wert en moet er een goed model gemaat worden. Deze paetten hebben als nadeel dat men maelijer met het vereerde model reent, waardoor de resultaten onbetrouwbaar zijn. Oo is vaa niet beend hoe het paet en op wele plaats de constructie als eerst zal bezwijen. Indien de handbereening in een spreadsheet is verwert, is een handbereening eenvoudiger en sneller te optimaliseren. Een nadeel hiervan is dat het opmaen van een spreadsheet veel tijd ost. Elastisch of plastisch reenen? In hoofdstu 6. is een elastische en een plastische doorsnedebereening van de capaciteit van de leuningbovenregel uitgewert. Hieruit blee dat de doorsnedecapaciteit verminderd na het bereien van de maximaal elastische opneembare drugrens. Er is dus geen plastische reservecapaciteit en het heeft oo geen enele zin om plastisch te reenen. Heeft het nut om de leuningbovenregel voor te spannen? Ja, het heeft nut, indien de leuningbovenregel voldoende reserve capaciteit heeft om de extra druracht in de druzone van de constructie op te nemen. De consequentie is wel dat de leuningbovenregel zwaarder uitgevoerd moet worden in verband met de extra vereiste ruimte ten behoeve van de voorspanabel en de extra druspanningen. Voorspanning in de leuningbovenregel vergroot het maximaal inwendig opneembare moment. Daardoor zal de ondergrens op tresterte minder snel of in sommige gevallen zelfs helemaal geen problemen meer opleveren. Met name de invloed van geconcentreerde belastingen om de constructie wordt daarmee verleint. Is het nuttig om het brugde in dwarsrichting voor te spannen? Op deze vraag an geen eenduidig ja worden gegeven. De veerstijfheid van de doorsnede wordt bepaald door het brugde en de vlavulling tussen de leuningboven- en onderregel. Uit de bereening is te herleiden wele van deze twee maatgevend is. Indien de vlavulling maatgevend is, wordt de niracht 88

90 7. Conclusies & Aanbevelingen als gevolg van de reductiefactor op imperfectie afgevlat door de grenswaarde in de vlavulling. Op dat moment zou de extra stijfheid in het brugde als gevolg van de voorspanning wel een bijdrage geven, maar deze wordt niet volledig benut. Het is daarom in dat geval beter om te controleren of deze bijdrage zin heeft. Bij langere of bredere bruggen is voorspannen in dwarsrichting sneller gunstig dan bij ortere bruggen. Een langere brug en/of een bredere brug vereisen een grotere stijfheid in het brugde, de toevoeging van voorspanning zou dan materiaal- en gewichtsbesparing te weeg unnen brengen. Een afname van het eigen gewicht beteend een toename van de opneembare belasting. Is het toepassen van hoge sterte beton C90 beter dan normale sterte beton C50? Ja. Hoge sterte beton heeft een hogere materiaalstijfheid, wat leidt tot een hoger opneembare belasting. De invloed van hoge sterte beton is met name terug te vinden indien de maatgevende ondergrens van de stabiliteitsfactor een bezwijing op druracht is. De grotere opneembare elastische druracht en de hogere materiaalstijfheid omen hier samen en zijn allebei van invloed op het verlagen van de ondergrens. De invloed van tweede orde effecten zijn dan beduidend lager ten opzichte van normale sterte beton, bij gelijblijvende afmetingen. Indien de ondergrens gedomineerd wordt door de bezwijgrens op trespanningen in de leuningbovenregel, zal hoge sterte beton slechts een zeer lein voordeel geven. Indien dat het geval is, dan is het beter om eerst te ijen of de trespanningen op een andere manier onder controle gehouden unnen worden. Het toepassen van hoge sterte beton zal in dat geval vooral prijsverhogend weren. Is de normregel in NEN-EN 99-- H5.9 (3) geldig voor deze brug? Hoofdstu 5.9: Kip van slane liggers (3) Tweede orde effecten in relatie met ip mogen zijn verwaarloosd indien. Nee. Deze normregel gaat uit van balen, waarbij de breedte gelij is over de volledige hoogte. Bovendien houd deze regel geen reening met de toegevoegde stijfheid uit het brugde over de volledige lengte van de brug. De gaffeloplegging in het in deze thesis behandelde brugmodel ontbreet oo. 7.3 Aanbevelingen De verhouding α in de niracht bepalen. De verhouding α brengt de normaalracht verdeling in de druligger, de leuningbovenregel, in reening. Nu is de verhouding α een constante, gebaseerd op één bereening. Voor de huidige brug mag deze constante gebruit worden, maar er is niet aangetoond dat deze waarde goed is voor een brugmodel met andere parameters. 89

91 7. Conclusies & Aanbevelingen Hoe ziet de vlavulling tussen de leuning bovenregel- en de leuningonderregel eruit? Het huidige model gaat uit van een vlae plaat met een onderbreing ter plaatse van de brugmoten. De vlavulling is dat deel van de brug wat iemand die op een afstand van de brug nog ziet. Een architect of ontwerper wil het liefst een zo groot mogelije vrijheid in dit deel van de brug hebben. Hoeveel vrijheid unnen we een architect hierin geven? Wele verschillende mogelijheden zijn er om deze vlavulling in te passen en wele invloed hebben de verschillende mogelijheden op de stabiliteit? Uitweren van de voegovergangen tussen de verschillende moten. In deze thesis is niet tot in detail op de voegovergangen ingegaan. Wele vorm van deze overgang is het beste en wat is de invloed daarvan op de constructie. Is de uitvoering van de dragende leuningbrug mogelij? Dit is een meer pratische vraag of aanbeveling. De afmetingen zijn aangenomen als uitvoerbaar. Maar dit is niet bewezen nog bevestigd door een leverancier van leine betonbruggen of een aannemer. Ander constructieve bereeningen. Deze thesis gaat alleen in op het stabiliteitsdeel van de bereening, zoals in de doelstelling oo gevraagd is. Naast de stabiliteit moet niet vergeten worden dat er nog vele andere bereeningen en toetsingen nodig zijn. Zo zijn bijvoorbeeld tijdsafhanelije effecten niet meegenomen, wele nog wel invloed hebben op de stabiliteit in de vorm van een constante. Hoeveel ruimte is er nodig voor de voorspananers. De afmetingen van de leuningonderregel en eventueel ander voor te spannen onderdelen worden voor een groot deel bepaald door de ruimte die nodig is voor de voorspananers. Hier unnen standaardaners voor gebruit worden, hier is echter oo nog ruimte voor optimalisatie waardoor afmetingen niet onnodig groot worden 90

92 8 Literatuurlijst Inleiding [] Jacson, D.C. (988). Great American Bridges and Dams. Washington, DC: Preservation Press. [] NEN-EN Ontwerp en bereening van betonconstructies. - Deel.: algemene regels en regels voor gebouwen. [3] IGWR, intern (006). Studie 00 bruggen. Kleine bruggen in Rotterdam en omgeving. [] IGWR, intern (008). Rapport Innovatiestudie. Deel. Versie. De dragende leuningbrug [5] CROW (00). ASVV 00. Aanbevelingen voor vereersvoorzieningen binnen de bebouwde om. Ede: CROW. [6] NEN-EN 990. Grondslag van het constructief ontwerp. [7] NEN-EN-99-. Vereersbelastingen op bruggen. [8] Dice, D. (99). Stabiliteit voor ontwerpers. Delft: VSSD. Kniracht in de leuningbovenregel [9] Wiipedia: Eulerni. Geraadpleegd in september 009 via [0] Martens, J. (00). Knilast van gedeeltelij ontgraven heipalen. BSC eindrapport. [] Bouma, A.L. (000). Mechanica van constructies. Elastostatica van slane structuren. Delft: Delft University Press. [] Blom, C.B.M. Document: Sterte slane HSB voetgangersbrug. [3] Vandepitte, D. Bereeningen van constructies Boedeel. Gent: E Story-Scientia via De brugdoorsnede [] Hartsuijer, C en Welleman, H. Toegepaste Mechanica. Deel 3. Statisch onbepaalde constructties en Bezwijanalyse. Den Haag: Academic Service. [5] Walraven, J.C. en Galjaard, J.C. (997). Voorgespannen Beton. s Hertogenbosch: ENCI Media. Stabiliteit van de brug [6] Cement (juni 009). Knistabiliteit anerpalen. [7] Technische Universität München, Zentrum Geotechni. (005). Knicen von Pfählen mit leinem Durchmesser in breiigen Böden. Stuttgart: Fraunhofer IRB Verlag. [8] Technische Universität München. Knicen von Pfählen mit leinem Durchmesser in breiigen Böden. Geraadpleegd in april 00 via 9

93 9

94 9 Index van symbolen 93

95 9

96 95

97 96

98 Tenslotte... Mijn drang om constructeur te worden heeft mij uiteindelij via een MBO Bouwundige opleiding en een HBO civiele opleiding gebracht tot deze civiele universitaire opleiding in delft. Door dit pad te bewandelen heb i veel geleerd. Met name het verschil tussen de hoge school en de universiteit is bijzonder groot op theoretisch vla. Het was voor mij een worsteling om alle theoretische ennis die i in de jaren ervoor nooit had opgebouwd bij te spijeren. Nooit had i verwacht dat i ooit mijn thesis zou maen over een ni en ip probleem. Hoewel i altijd mechanica als een van de interessantste vaen vond van de opleiding heb i altijd moeite gehad om het fenomeen ni goed te begrijpen. Het maen van deze thesis heeft mijn ennis en begrip op dit gebied aanzienlij doen toenemen. I heb veel steun gehad aan de opmeringen van mijn begeleiders en oo wil i ze bedanen voor de ruime mate van geduld. Het heeft mijn ennis op het gebied van constructiemechanica veel goed gedaan. I heb daarnaast veel steun gehad aan mijn lieve Afina, die mij altijd blijft steunen en helpen, mijn vader en schoonouders en mijn inmiddels overleden oma, Janny Bossemeijer, waarbij i gedurende enele jaren van deze opleiding in huis heb gewoond, wat het volgen van deze opleiding voor mij mogelij maate. En nu? We zijn nog maar aan het begin. Wat het leven gaat brengen, wie zal het weten? We gaan het allemaal meemaen!... Vincent Weidema 97

99 98

100 Bijlagen A. Dragende leuningbruggen uit het verleden 0 B. Programma van eisen voor een fiets- en voetgangersbrug 05 C. Vergelijing van numeriee tweede orde bereeningen met formule volgens Engesser 09 D. De uitwering van de niformule volgens de TU München 37 E. Referentiebereening van de niracht in de brug F. Samengestelde buigstijfheid van de gehele brug 7 G. Uitwering van het tweede orde effect 9 H. Bereening; sterte van de leuningbovenregel 57 99

101 00

102 A Dragende leuningbruggen uit het verleden Door de geschiedenis heen zijn veel vormen van dragende leuningbruggen ontworpen en uitgevoerd. In de verenigde staten ent men deze bruggen als pony truss bridges. Deze naam is gebruielij geworden in het begin van de 0er jaren van vorige eeuw ( ). De oorsprong [A] van deze naam is onbeend, maar aangenomen an worden dat de term pony wat in werelijheid lein paard beteend in deze naam staat voor lein vawer (= truss). Figuur A. Brug over de leine Tacuarembó rivier (Uruguay) De beteenis volgens www. dictionary.com [A]is: Pony Truss: a through bridge truss having its dec between the top and bottom chords and having no top lateral bracing. Een doorgaande vawer brug met het de tussen de onderregels en zonder horizontale ondersteuning aan de bovenzijde. De meeste bruggen volgens dit principe zijn van hout en staal (en ijzer). In beton zijn deze bruggen maar heel zelden uitgevoerd. Enele voorbeelden hiervan zijn: Betonen brug over de leine Tacuarembó rivier (te Tacuarembó in Uruguay). Figuur A Stalen brug bij Fairfax-Burban (in Kansas, VS). Figuur A Figuur A. Stalen brug bij Fairfax-Burban (Kansas, VS) 0

103 Bijlage A Dragende leuningbruggen uit het verleden Houten bruggen die op een dergelije manier zijn gemaat zijn meestal lichtere voetgangersbruggen. Vaa worden tuinbruggen en parbruggen nog op een dergelije manier gemaat. Tegenwoordig zijn er nog steeds bruggen die gemaat worden met vawerleuningen. Enele bijzonder ontwerpen hierin zijn: Rolling bridge (te Londen in UK). Figuur A3 Rolling bridge [A3] is ontworpen als een bijzonder beweegbare voetgangersbrug. De brug heeft in 005 de British Structural Steel Award gewonnen. De brug is ontworpen door Heatherwic Studio. Figuur A3. Rolling Bridge in Londen (UK) Borneo-Sporenburg brug (te Amsterdam in Nederland). Figuur A Deze naam hoort bij drie bruggen, gebouwd tussen 998 en 00, waarvan de grootste het meest in het oog springt. De brug met de grootste overspanning is oo gemaat volgens het principe met dragende vawer leuningen [A]. De brug is niet te missen, de bijzondere vormgeving en de rode leur geven een ster contrast met de achtergrond. De brug is ontworpen door het Architectenbureau West8. Figuur A. Borneo-Sporenburg brug in Amsterdam 0

104 Dragende leuningbruggen uit het verleden Bijlage A Mabey bruggen (VS). Figuur A5 Deze bruggen [A6] worden veelal gebruit als tijdelije brug of goedope permanente oplossing, met beperte levensduur. Deze modulaire brug an worden geplaatst zonder veel engineering wer vooraf. Deze brug an snel worden opgebouwd [A7] en afgebroen [A5]. Het US Army Corp gebruit deze bruggen veel in verband met de snelheid en het gema van opbouwen en verwijderen. In veel landen gebruien ze deze bruggen oo als permanente brug, omdat er geen geld is om een definitieve brug te plaatsen. In 006 en 007 is deze brug tijdelij ingezet omdat de bestaande brug vervangen in winterset (VS) moest worden. In Nederland ennen we deze brug onder de naam Baileybrug. In Europa worden deze bruggen nog veel toegepast als tijdelije brug. Figuur A5. Demonteren van een Mabey brug Nog steeds worden dragende leuningbruggen nauwelijs in beton uitgevoerd. Op dit moment zijn er enele ingenieursbureaus in Nederland die een dergelij ontwerpen in beton aanbieden. FDN-engineering heeft inmiddels zijn eerste proefbrug gerealiseerd. Deze brug (figuur A6), uitgevoerd in vezelverstert ultra hogestertebeton, wordt volledig geprefabriceerd en an wanneer de fundering reeds aanwezig is in één dag geplaatst worden. Figuur A6. Dragende leuningbrug FDN - engineering 03