_., i _._ Lo-. -J EEN ANALYSE VAN EEN SPELLETJE MET DOMINOSTENEN. door. Jacob Wijngaard.
|
|
- Christiaan Kuiper
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 _., i _._ Lo-. -J EEN ANALYSE VAN EEN SPELLETJE MET DOMINOSTENEN door Jacob Wijngaard Bd/OR/75-06
2 Een veel beoefend spelletje met dominostenen is het volgende: Zet aile dominostenen rechtop, op afstanden van elaar die net iets leiner zijn dan de hoogte van de stenen. Gooit men dan de laatste steen om, dan rijgt men een ettingreatie van omvallende stenen. Dat an een grappig gezicht zijn, vooral als men de rij niet recht maar bijvoorbeeld S-vormig opbouwt. Ret probleem bij dit spel is dat de zaa vaa al voortijdig omvalt, doordat de opgezette steen meteen omvalt. Dat risio an men wei enigszins verleinen door eerst gaten open te laten en die later op te vullen; valt er dan een steen voortijdig om,danheeftdat tenminste niet al te atastrofale gevolgen. Nu dringt het probleem zich op hoeveel gaten men aanvanelij open moet laten; wat is de beste strategie bij het opzetten van de stenen. We idealiseren dit probleem nu wat en nemen aan dat aileen de steen waar men mee bezig is de troubles veroorzaat. Er is een ans p dat de steen naar lins valt en een ans p dat hij naar rechts valt. De tijd, nodig voor het opzetten van een steen noemen we een tijdseenheid. Om enig inzicht in het probleem te rijgen beijen we het geval van 3 stenen. Ret probleem an opgelost worden m.b.v. dynamische programmering. We onderscheiden de volgende toestanden: toestand 0 (een stip stelt een onbezette plaats voor, toestand 1 x een ruis staat voor een reeds staande toestand 2. x. steen ) toestand 3 x x. toestand 4 x. x toestand 5 x x x Op grond van de symmetrie in het probleem hoeven we geen onderscheid te maen tussen de toestanden x en.. x en de toestanden x x. en x x In toestand 0 an men iezen uit de aties + en + (een pijltje staat voor een nieuw op te zetten steen), in toestand 1 an men iezen
3 -2- uit de aties x + en x +, in toestand 2 is er geen euze mogelij (atie + x.), dat geldt oo voor de toestanden 3 en 4. Er zijn dus drie mogelije volgordes van opzetten, nl. I 2 3, I 3 2 en 2 I 3. Nu maat het natuurlij geen verschil of we de laatste steen lins of rechts van de vorige twee zetten, dat beteent dat we geen verschil hoeven te maen tussen de volgordes I 2 3 en 2 3. We hebben dus slechts twee echt verschillende strategieen, nl. 2 3 en I 3 2. Definieer nu t. als de verwachte tijd die minimaal nodig is om toel. stand i te bereien, t als de verwachte tijd die in totaal nodig I23 is als men de volgorde I 2 3 gebruit en t l32 als de verwachte totaaltijd als men I 3 2 gebruit. Dan geldt t s - = min(t I23, t I32 ) en verder t l = I + 2pt l t 2 t 3 = t l = t l + I + p.t 3 + P(t 3 -t l ), als de nieuwe steen naar t 4 lins valt moet je opnieuw beginnen, valt hij naar rechts dan blijft er nog een staan. = t + I I + P(t 4 -t I )+P(t 4 -t l ) t l23 = t 3 + t l32 = t P(tI23-t2)+P.tI23 + P(tI32-tl)+P(tI32-tl) Daaruit voigt I = t 2 = = = t l23 = 1+( I-P)tl I I-n ] -n _ n = ~ t =t + ~ t -2t + -L-- t I I I I I I+(l-2p)t] = 2t l 1+(I-p)t 3 I+2(l-P)tI (l-p)p = + t 2 l I+t -2pt I+2(l-p) t (l-2p) = Dus ti32<t123' de volgorde 3 2 is dus beter dan de volgorde I 2 3. De verwachte tijd onder volgorde 132 is eelij aan 2_ + 2 (I-2p)
4 -3- We willen deze aanpa nu generaliseren naar het opzetten van meer dan drie stenen. Nu hebben we bij het voorbeeld van drie stenen nogal gemaelij gesproen over een volgorde. Daarop moeten we nu eerst wat nader ingaan. Een volgorde is een strategie waarbij aan el van de posities een rangnummer is toegeend. In ele toestand zet men een steen op de vrije positie met het laagste rangnummer. Bij het opzetten van drie stenen zijn aile strategieen volgordes, iest men in toestand atie ~. dan heeft men de volgorde 2 1 3, iest men in toestand atie ~. en in toestand x atie xi. dan heeft men de volgorde 1 2 3, iest men in toestand atie i.. en in toestand x atie x i dan heeft men de volgorde 3 2. In het algemeen echter zijn de volgordes slechts een deellasse van aile strategieen. Bij vier stenen bijvoorbeeld an men een strategie hebben waarbij in toestand x atie x ~ wordt geozen, in toestand x x atie x ~ x en in toestand x. atie x ~ Deze strategie an geen volgorde zijn. Het is echter mogelij te bewijzen dat er onder de optimale strategieen minstens een volgorde is. Daarvoor hebben we oo nog het begrip -volgorde nodig. Stel het gaat om het opzetten van n stenen. Een strategie heet een -volgorde ( ~n) als aan posities de rangnummers 1 tim zijn toegevoegd en men, zolang er geen ongenummerde posities bezet zijn en wei genummerde vrij, steeds de positie met het laagste rangnummer iest om een steen op te zetten. Men zet dus eerst een steen op positie 1 dan een steen op positie 2, enz.; valt er iets om dan begint men weer bij de laagste positie, zo gaat men verder tot de genummerde posities bezet zijn, dan plaatst men stenen op ongenummerde posities, vallen er daarna genummerde om en blijven er ongenummerde staan, dan hoeft men niet weer te beginnen met de laagste genummerde positie.
5 -4- Stelling I. Onder de optimale strategieen voor het opzetten van een willeeurig aantal stenen is er een volgorde. Bewijs. Ret bewijs gaat door volledige indutie naar het aantal op te zetten stenen. We hebben al gezien dat het geldt voor 3 stenen. Voor I steen en voor 2 stenen geldt het oo. Stel nu dat het geldt voor I, 2, 3,., n-i stenen. We moeten dan bewijzen dat het oo geldt voor n stenen. Dit gaat opnieuw door volledige indutie. Mer op dat een n-volgorde een volgorde is en dat ele strategie een I-volgorde is. Stel nu dat er een -volgorde v is die optimaal 1S. Onder strategie v omt men uiteindelij terecht in de toestand waarbij de genummerde plaatsen bezet zijn en de rest niet. Deze toestand wordt toestand genoemd en an als voigt symbolisch worden voorgesteld. Ele I. 1'---_ stelt een rijtje van naast elaar staande stenen voor, een. staat voor een vrije plaats. De lengte van een rijtje an oo nul zijn, dan beteent I I niets anders dan twee vrije plaatsen naast elaar. Er zijn n- lege plaatsen dus n-+1 rijtjes. Stel de lengte van het i~ rijtje, Onder strategie v wordt in toestand een van de vrije plaatsen (zeg de je van lins) aangewezen om bezet te worden. Valt de nieuwe steen naar lins of naar rechts, dan neemt hij het je of (j+l)e rijtje mee. Omdat v een -volgorde is moet dat groepje eerst weer opgebouwd worden. Uiteindelij omt men terecht in de toestand waarbij (t.o.v. toestand ) het je en (j+l)e rijtje verbonden zijn. Deze toestand noemt men de toestand +l. Stel s is de niminale verwachte tijd nodig voor het opzetten van m m dominostenen naast elaar. Omdat v optimaal is, geldt sn=t+l+r + 1, waarin t + 1 de verwachte tijd is die verloopt voor men onder v voor het eerst in toestand +l terecht omt en r + 1 de verwachte tijd nodig om onder strategie v van toestand +l in de eindtoestand te omen.
6 -5- Vanwege de optimaalheid van v geldt oo dat t + 1 gelij moet zijn aan de minimale verwachte tijd nodig voor het realiseren van toestand +l. Maar dat is juist gelij aan de som van de minimale verwachte tijden nodig voor het opzetten van el van de rijtjes in toestand +l. Dus j-i t = L s + s +1. I '+1+1 ~= ~ J J n-+1 + L i=j+2 Onder strategie v worden dus eerst zo sne1 moge1ij de rijtjes in toestand +1 opgebouwd. Zonder bepering der a1gemeenheid mag men dus aannemen dat de nummers I tim 11 in het eerste rijtje zitten, de nummers 1 +1 tim 1 +1 in het tweede rijtje, enz., terwij1 de rangorde binnen de rijtjes overeenomt met nummering in een optima1e vo1gorde voo~ 11' 1 2,. stenen. Onder strategie v zet men dus eerst zo slim mogelij rijtje lop, dan rijtje 2, enz. We zu11en nu bewijzen dat v een (+I)- vo1gorde is waarbij het rangnummer +1 is toegevoegd aan de je vrije p1aats in toestand, de positie die we in toestand vo1gens strategie v moeten iezen. We moeten dus aantonen dat in een toestand waarin geen ongenummerde posities bezet zijn en wei genummerde posities vrij, steeds de 1aagste genummerde positie bezet moet worden. A1s beha1ve de ongenummerde posities oo de positie met rangnummer +1 onbezet is voigt dit meteen uit het feit dat v een -vo1gorde is. Het prob1eem wordt dus gevormd door de toestanden waarbij de ongenummerde posities vrij zijn, de positie met nummer +1 bezet en een aanta1 posities met 1agere nummers vrij. In een derge1ije toestand an men slechts terecht omen via een toestand waarin t.o.v. de toestand +1 een of meer van de rijtjes 1,2,.., j-i, j+2,, n-+1 ontbreen. Deze toestanden duidt men aan met I, hierin is I een dee1verzame1ing van {1,2,.,j-l,j+2,,n-+I}, aanduidend de rijtjes die er nog wei staan. Ste1 r is de minima1e verwachte tijd nodig om vanuit toestand I de I eindtoestand te bereien. Een manier om de n stenen op te zetten is eerst zo snel moge1ij de rijtjes iei op te zetten en de rijtjes j en j+1 op te zetten en te verbindenen dan zo sne1 moge1ij vanuit toestand I naar de eindtoestand te gaan.
7 -6- Er ge1dt du8 8: I..LEI r I n J J+ I. We hadden al j-i n-+1 8n=ig l sl.+sl.+l.+i+ i=~+2 sl.+r +1 I. J J I. Dus en omdat r I de minimale verwachte tijd is moet gelden Dat beteent dat men het sne1st vanuit toestand I in de eindtoestand terecht omt als men eerst zo sne1 mogelij de rijtjes i.ii weer opzet. Dat gebeurt a1s men steeds op de vrije positie met het 1aagste rangnummer een steen p1aatst. Hiermee is aangetoond dat we zonder bepering der a1gemeenheid mogen aannemen dat v een (+I)-volgorde is. We hebben dus middels indutie laten zien dat onder de optima1e strategieen voor het opzetten van n stenen een volgorde is. Daarmee is het bewijs van stelling 1 voltooid. Door dit resultaat wordt de analyse een stu gemaelijer. Stel we weten hoe 1,2,,n stenen moeten worden opgezet. Dan unnen we daaruit met behulp daarvan bepalen hoe n+1 stenen moeten worden opgezet. Beij de beste van aile volgordes waarbij de i e positie van lins het rangnummer n+1 rijgt. Voor deze strategie geldt dat eerst twee rijtjes van i-i en n+l-i stenen zo snel mogelij worden opgezet en daarna verbonden. Stel t 1. is de verwachte totaaltijd onder deze strategie n+,i. en definieer s als in het bewijs van stelling 1. m Dan geldt: t 1.=S. I+s +1.+I+p(t +1.-s. 1)+P(t 1.-s +1.) n+,i. I.- n -I. n,i. I.- n+,i. n -I., ofwe 1 1+(I-p)(s. I.-n I+ s +1 -I..) n+i,i. t.=.. als we afspreen dat so=o dan geldt deze betreing oo voor i=1 en i=n+l.
8 -7- Uit deze betreing volgt dat t +1. minimaal is als s. I+s +1. n,1 1- n-1 minimaal is. Omdat de beste strategie voor het opzetten van n+1 stenen een volgorde is geldt natuurlij oo dat s +I=min t +1., n i. n,1 de positie i waarvoor s. I+s +1. een minimum aanneemt rijgt het 1- n-1 rangnummer n+1 in de optimale volgorde. Roe de rangnummers I tim n verdeeld worden hangt af van de optimale volgordes voor i-i en n+l-i stenen. Men an eerst de liner groep opzetten en dan de rechter of andersom, of door elaar heen als de onderlinge volgorde binnen de groepen maar niet verstoord wordt. In de volgende stelling zullen we laten zien dat het minimum van s. I+s +1. wordt aangenomen daar waar het verschil tussen i-i en 1- n-1 n+l-i zo lein mogelij is. Stelling 2. Voor ele n geldt dat s. I+s +1. minimaal is als het verschil tussen 1- n-1 n+l-i en i-i zo lein mogelij is. Bewijs Ret bewijs wordt geleverd m.b.v. volledige indutie. Eerst zullen we laten zien dat het waar is voor n=2. I s 1=-- s = 2 1+(1 -p) sl De stelling is dus waar voor n=2. Neem aan dat het waar is voor n=2,3,,-1 We zullen bewijzen dat het oo geldt voor n= Eerst vergelijen we s+so en s_l+sl met elaar (i=1 en i=2) Voor s unnen we schrijven s = ---::--::=----~- I+(I-p)(s,+s)... m, waarbij l+m=-i, l~m en /l-ml zo lein mogelij
9 -8- Dan ge1dt dus 1+(1 -P)(sl+sm_l) s-i = en 1+(I-p)(sl+sm_l)+()sl s-l+ s l= Op grond van de indutieaanname ge1dt sm_l+sl~ sm,dus s_l+sl~ s Voor =3 hebben we de moge1ijheden so+s3 en sl+s2 en uit het bovenstaande vo1gt dat sl+s2 ~so+s3. Neem nu aan dat ~4. Kies i ZQ dat 2~i-l~+l-i Beschouw s. l+s Voor si-l unnen we op grond van de indutie-aanname schrijven l+(i-p)(sl+sm) si-l = waarbij 1+m = i-2, l~m en 11-m1 zo lein moge1ij. ZO oo voor s+l-i 1+(1 -p)(sh+s. ) s.= J +l-1. waarbij h+j Dan ge1dt en Dus = +l-i-l, h~j en Ih-jl zo lein moge1ij. 1+( I-p) (sl+sm_l) si-2 = S+l-i+1 = 1+(I-p)(sh+l+Sj) 2+(I-p)(Sl+s +sh+s.) m J si_l+s+l_i = ~I--2~p------~ en 2+(I-p)(Sl+s I+sh l+s.) m- + J si-2+ s +l-i+l=
10 Omdat ISm en hsj geldt dat msh+l. Het verschil tussen m en h is dus niet groter dan het verschil tussen m-i en h+1 Daaruit voigt sm+shssm_l+sh+1 en s. +s I.ss. 2+s. i-i l-l+1 Samen met s_l+siss voigt hieruit dat het minimum van si-l+s+l-i wordt aangenomen daar waar het verschil tussen i-i en +l-i zo lein mogelij is. Hiermee is het bewijs voltooid. Uit dit resultaat volgen meteen de optimale volgordes voor het opzetten van een willeeurig aantal stenen. Een optimale volgorde voor 8 stenen is bijvoorbeeld I. Maar er zijn natuurlij meer optimale volgordes, bijv. I , enz. Het hoeft zelfs niet altijd zo te zijn dat men als laatste steen de middelste of, bij een even aantal, een van de middelste moet iezen. en s +s = I 3 1+(1 -p)(s I+sO) 1+( l-p)(so+so) 1+(1 -P)(sl +so) + --~-=--.,;;,-- I+( I-p)(s I+S I ) + --:---:::---- Dus s2+s2=sl+s3. Bij het opzetten van 5 stenen an men dus evengoed de 2e positie het nummer 5 geven als de middelste positie. Optimale volgordes zijn en JW/IR.
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Wat is Wiskunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00
Uitweringen Tentamen Wat is Wisunde (WISB101) Donderdag 10 november 2016, 9:00-12:00 Docenten: Barbara van den Berg & Carel Faber & Arjen Baarsma & Ralph Klaasse & Vitor Blåsjö & Guido Terra-Bleeer Opgave
Nadere informatieDifferentiequotiënten en Getallenrijen
Lesbrief 4 Binomiaalcoëfficiënten, Differentiequotiënten en Getallenrijen Binomiaalcoëfficiënten Het is beend dat (a + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 en dat (a + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. In het algemeen
Nadere informatieConvexe functies op R (niet in het boek)
Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de
Nadere informatieTelproblemen. K. P. Hart
Telproblemen K. P. Hart 1. Theorie en opgaven voor zelfstudie Inleiding Iedereen weet wat tellen is. Hoeveel studenten zijn er in de collegezaal? Even tellen: één, twee, drie,..., éénenvijftig,... Wat
Nadere informatie102 < 11. Je kunt ook snel na 102 < 10, 5 ( = 110, 25).
DE FORMULE VAN MACLAURIN. Inleiding: de wortel uit 0. Als je nou eens geen reenmachine had, hoe bereen je dan de wortel uit 0? Met proberen om je een heel eind. 0 > 0 omdat 0 > 0 en 0 < omdat reenen dat
Nadere informatieIntroductie Coach-modelleren
Inhoud Introductie Coach-modelleren... Coach-modelleren versus Excel...4 Opgave: Kennismaing met Coach-Modelleren...4 Satellietbanen in COACH-Modelleren...5 Opgave: GPS-satelliet...5 Alleen voor de geïnteresseerden...7
Nadere informatieOpgaven Bewijzen en Inductie 1 mei 2019, Datastructuren, Werkcollege.
Opgaven Bewijzen en Inductie mei 09, Datastructuren, Wercollege. Gebrui deze opgaven, naast die uit het boe, om de stof te oefenen op het wercollege. Cijfer: Op een toets rijg je meestal zes tot acht opgaven..
Nadere informatie-- III De variatiemethode berust voor de grondtoestand op het volgende theorema:
-- III - 1 - HOOFDSTUK III VARIATIEREKENING Alleen voor enele zeer eenvoudige systemen an de Schrödinger Vergeliing exact worden opgelost, in alle andere gevallen moeten benaderingen worden toegepast.
Nadere informatieOpgaven Kansrekening Datastructuren, 29 mei 2019, Werkgroep.
Opgaven Kansreening Datastructuren, 9 mei 019, Wergroep. Gebrui deze opgaven, naast die uit het boe, om de stof te oefenen op het wercollege. Cijfer: Op een toets rijg je meestal zes tot acht opgaven.
Nadere informatieMeetkundige berekeningen
Meetundige bereeningen 0. voorennis Sinus, cosinus en tangens De sinusregel In ele driehoe ABC geldt de sinusregel: sin cos B = c b B = c a tan B = a b Afspraa Bij het bereenen van een hoe geef je het
Nadere informatie1 Maasstroomtheorie of lusstroomtheorie.
Maasstrootheorie of lusstrootheorie.. oel. lle spanningen en stroen zoeen in een schaeling, aar et inder vergelijingen dan de wetten van Kirchhoff. Minder vergelijingen beteent oo inder onbeenden. O dat
Nadere informatieNATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN
II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,
Nadere informatie3 Elektronische structuur van materialen
3 Eletronische structuur van materialen (Aanvulling op hoofdstuen 7 en 8 van Rosenberg.) 3.1 Vrije eletron model In het voorgaande hebben we steeds de geometrische structuur van materialen besproen. Toch
Nadere informatieVerwachtingswaarde en spreiding
Les 3 Verwachtingswaarde en spreiding 3.1 Stochasten In een paar voorbeelden hebben we al gezien dat we bij een experiment vaa niet zo zeer in een enele uitomst geïneteresseerd zijn, maar bijvoorbeeld
Nadere informatie4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1
Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen
Nadere informatie1 Men beschouwt de vloeistoffen P en Q. 3
Voorronde 1983 Opgaven woensdag 9 maart Deze voorronde bestaat uit 5 opgaven. et geheel omvat 6 pagina s. De eerste opgave bestaat uit een verzameling van zeven meereuzevragen. De tweede opgave is een
Nadere informatieb) Op welk wijze kunnen de uitkomsten van de verschillende submodellen aan de hand van waarnemingen worden gecontroleerd?
Examen Vereersunde (H01I6A) Katholiee Universiteit Leuven epartement Burgerlije Bouwunde atum: woensdag 5 september 2007 Tijd: Instructies: 9.00 13.00 uur Er zijn 4 vragen over het gedeelte van het va
Nadere informatieRode Jas, Blauwe Jas. Afklokken. De Ladder van een Cruiseschip
Inleiding We hebben altijd gedacht dat onze hersencellen eindig waren, zoals spliterwten in een pot: als je ze eruit haalt, ben je ze voor altijd wijt. Daardoor zouden onze mentale vermogens steeds verder
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld
Nadere informatieMNP Rapport /2006. Gevoeligheidsanalyse van de bepaling van de duurzaamheidsindex. Peter S.C. Heuberger en Peter H.M.
MNP Rapport 550031004/2006 Gevoeligheidsanalyse van de bepaling van de duurzaamheidsindex Bijlage III bij het Methoderapport Duurzaamheidsverenning (MNP Rapport 550031001/2006) Peter S.C. Heuberger en
Nadere informatieVerwachtingswaarde en spreiding
Les 13 Verwachtingswaarde en spreiding 13.1 Stochasten In een paar voorbeelden hebben we al gezien dat we bij een experiment vaa niet zo zeer in een enele uitomst geïneteresseerd zijn, maar bijvoorbeeld
Nadere informatieBerekenen van dynamisch evenwicht
Bereenen van dynamisch evenwicht Voor het bereenen van dynamische evenwichten zijn er verscheidene methodes. De meest beende zijn het gebrui van traagheidsreacties. Deze traagheidsreacties unnen verder
Nadere informatie4 B-splines. 4.a Definities en elementaire eigenschappen 4 B-SPLINES 40
4 B-SPLINES 4 4 B-splines 4.a Definities en elementaire eigenschappen In plaats van de bereening van een spline-benadering via een loale-polynoomrepresentatie per deelinterval, unnen we oo een basis iezen
Nadere informatieDit project vereist ongeveer 6 lessen voorbereidende dag vóór de vergadering. Stap 1 - Definitie van gezamenlijk project met leerlingen
Project Muzie Het thema is muzie de uitwisseling omvat meerdere worshops over dit onderwerp. De leerling van de partnerschol om 's ochtds bij elaar om deel te nem aan worshops rondom muzie. 's Middags
Nadere informatieZin en onzin van de normale benadering van de binomiale verdeling
Zin en onzin van de normale benadering van de binomiale verdeling Jef Hendricx 1, 18 november 26 In lassiee handboeen van statistie worden ansen van de binomiale verdeling bereend met tabellen. Voor grotere
Nadere informatieSysteemtheorie en Regeltechniek
Systeemtheorie en Regeltehnie Oefenzitting Lineaire Tijds-invariante (LTI) Disrete tijdssystemen: Oplossen van de differentievergelijing wouter.biesmans@esat.uleuven.be Hoe unnen we een system voorstellen?
Nadere informatieUniversiteit Leiden, 2015 Wiskundewedstrijdtraining, week 14
Universiteit Leiden, 0 Wisundewedstrijdtraining, wee Wee : reesen Een rees is een speciaal soort rij, dus: den altijd eerst na over convergentie! bijzonder: monotone, begrensde rijen convergeren In het
Nadere informatieOneindige spelen. Dion Coumans. Begeleider: dr. W. Veldman
Oneindige spelen ion Coumans Begeleider: dr. W. Veldman Inhoudsopgave 1 Voorwoord 3 2 efinities 4 3 A is aftelbaar 6 4 Gale-Stewart-stelling 7 5 Stelling van Wolfe 11 2 1 Voorwoord Banach, Mazur en Ulam
Nadere informatiesignificantie van de co-occurentiescore bepalen. De vraag is echer of dit zinnig is
Het idee achter een rbabilistische interretatie van ccurentie vr een beaald enbject is dat de uiteindelije scre te interreteren is als een leesans ver dat enbject f anders gezegd dat deel van de ttale
Nadere informatieVerwachtingswaarde en spreiding
Les 3 Verwachtingswaarde en spreiding 3.1 Stochasten In een aantal voorbeelden hebben we gezien dat we bij een experiment vaa niet zo zeer in een enele uitomst geïneteresseerd zijn, maar bijvoorbeeld wel
Nadere informatieDynamic Vibration Absorber voor een stuksgewijs lineair dynamisch systeem
Dynamic Vibration Absorber voor een stusgewijs lineair dynamisch systeem D. J. F. Hec (0595478) DCT2008.086 Bachelor Eind Project Supervisor: dr.ir. R.H.B. Fey Technische Universiteit Eindhoven Faculteit
Nadere informatieThe bouncing balls and pi
The bouncing balls and pi naar een idee van Dir Dancaert 9 september 05 Samenvatting Wisundecollega Dir Dancaert ontdete onlangs een merwaardig filmpje op het internet (https://wwwyoutubecom/user/numberphile
Nadere informatieHoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7
Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede
Nadere informatieIII (vervolg) Lineaire Transformaties in R
III (vervolg) Lineaire Transformaties in R III.7 a Opmeringen over dit hoofdstu Oorspronelij waren de volgende paragrafen deel van hoofdstu III. De bedoeling ervan is om na te gaan hoe binnen het ader
Nadere informatieSamenvatting. r! n r! Het aantal permutaties van r uit n is gelijk aan. n r! Hoofdstuk 5
Hoofdstu Saenvatting Machten en faculteiten Machten en je al: 3 4 3 3 3 3 81 Je ent nu oo faculteiten:! 4 3 2 1 12 Machtsboen en faculteitsboen Een achtsboo is een boodiagra waarbij het aantal taen gelij
Nadere informatieINTRODUCTIE VERPLAATSINGENMETHODE
IRODUCIE VERPLSIGEMEHODE Blo op eren Op onderstaande blo, in het platte la, grijpen in het massaentrum een ertiale raht, een horizontale raht u en/of een oppel aan. Het blo is in, B en C met eren elastish
Nadere informatieIV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire
IV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire Transformaties in R IV0 Meetundige inleiding: delijnen en eigenvectoren Bij veel toepassingen van de Gauss-Jordan methode gaat men uit van de delijnen van
Nadere informatieMet passer en liniaal
Met passer en liniaal De opgaven in deze opdracht gaan over het teenen met passer en liniaal. Een liniaal gebrui je om rechte lijnen te teenen, dat an dus een recht latje zijn. Je mag daarvoor oo je geodriehoe
Nadere informatieTentamen Topologie, Najaar 2011
Tentamen Topologie, Najaar 2011 27.01.2012, 08:30-11:30, LIN 8 (HG00.308) Toelichting: Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine, telefoon, etc.) gebruiken, behalve de boeken van Gamelin/Greene
Nadere informatieThis item is the archived peer-reviewed author-version of:
This item is the archived peer-reviewed author-version of: Kettingbreuen, weefpatronen en de erststelling van Fermat Reference: Levrie Paul, Penne Rudi.- Kettingbreuen, weefpatronen en de erststelling
Nadere informatieVolatility estimation and visualization for stock/option traders Bachelorscriptie leerstoelen SST/SP
Volatility estimation and visualization for stoc/option traders Bachelorscriptie leerstoelen SST/SP Peter Bosschaart Jeroen Spoor Berend Steenhuisen 9 juni 2011 Inhoudsopgave 1 Introductie 3 2 Discretisatie
Nadere informatieModule 7 Uitwerkingen van de opdrachten
Modue 7 Uitweringen van de opdrachten Hoofdstu Ineiding Opdracht Het verschi in aanpa betreft het evenwicht in de verpaatste ( vervormde) toestand. Tot nu toe werd bij een evenwichtsbeschouwing van een
Nadere informatieWandelen voor Water Kenia, Oeganda en Tanzania 2016-2018
Kenia, Oeganda en Tanzania 2016-2018 is de landelije sponsorloop waarbij basisschoolleerlingen van groep 7 en 8 ervaren hoe de toegang tot schoon drinwater verschilt in Nederland en Afria. Tijdens lopen
Nadere informatieIn Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:
Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel
Nadere informatieOEFENOPGAVEN OVER REEKSEN
OEFENOPGAVEN OVER REEKSEN Opgave. Bereen n=0 ( 3 n + 6n 7 n ) (antwoord 0). Opgave. Ga voor de volgende reesen na of ze convergent of divergent zijn: a) (convergent); (ln ) b) c) d) e) f) g) h) 5 5 3 +
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieUitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
Nadere informatieSteekproeftheorie 0t. Deelthema: Herhaald ald wegen. José Gouweleeuw en Paul Knottnerus. Statistische Methoden (08006)
07 Steeproeftheorie 0t rie Deelthema: Herhaald ald wegen José Gouweleeuw en Paul Knottnerus Statistische Methoden (08006 Den Haag/Heerlen 008 Verlaring van teens. = gegevens ontbreen * = voorlopig cijfer
Nadere informatie1 Stelsels lineaire vergelijkingen
1 Stelsels lineaire vergelijingen 1.1 Methode van Gauss (p. 50) Omzetten naar bovendriehoesvorm 0 0 0 Achterwaarste substitutie Om meerdere stelsels (zelfde coëfficiëntenmatrix A, verschillende rechterleden
Nadere informatieOverzicht Nascholing Module Quantumwereld. Peter Christianen HFML Nijmegen
Derde bijeenomst maart 1 Overzicht Nascholing Module Quantumwereld Peter Christianen HFM Nijmegen P.Christianen@science.ru.nl plaats in module Verdieping van de tijdsonafhanelije Schrödingervergelijing
Nadere informatieMet passer en liniaal
Met passer en liniaal Deze opdracht gaan over het teenen met passer en liniaal, oo wel construeren genoemd. Een liniaal gebrui je om rechte lijnen te teenen, dat an dus een recht latje zijn. Je mag daarvoor
Nadere informatieProjectieve Vlakken en Codes
Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop
Nadere informatieUitwerking Tweede Quiz Speltheorie,
Uitwerking Tweede Quiz Speltheorie, 28-11-2012 Attentie! Maak van de onderstaande drie opgaven er slechts twee naar eigen keuze! Opgave 1 [50 pt]. Van het tweepersoons nulsomspel met de 2 4-uitbetalingsmatrix
Nadere informatieBegrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten
Nadere informatieVijfde college complexiteit. 21 februari Selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2017/05 College 5 Vijfde college complexiteit 21 februari 2017 Selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2017/05 Opgave 28 Gegeven twee oplopend gesorteerde even lange rijen
Nadere informatieSet 2 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)
1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wisunde en Informatica Set Inleveropgaven Kansreening (WS) 14-15 1. (Functies van normale verdelingen) Stel dat X een standaard normale verdeling heeft. (a)
Nadere informatieBij vragen over deze brochure kunt u contact opnemen met de GaN: info@gegevensautoriteitnatuur.nl of 030 2398860.
De Nationale Databan Flora en Fauna Natuurbewust plannen, besluiten en adviseren De Nationale Databan Flora en Fauna bundelt natuurgegevens in Nederland en maat ze toeganelij. Snel, betrouwbaar, eenvoudig
Nadere informatieVierde college complexiteit. 26 februari Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument
Complexiteit 2019/04 College 4 Vierde college complexiteit 26 februari 2019 Beslissingsbomen en selectie Toernooimethode Adversary argument 1 Complexiteit 2019/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair
Nadere informatieOplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin
Oplossen van lineaire differentiaalvergelijingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Calculus II voor S, F, MNW 7 november 2005 1 De n-de afgeleide van het product van twee functies Voor we
Nadere informatiex x y y Omdat de som van twee kwadraten niet negatief kan zijn, is er geen enkel punt van het oppervlak dat in het grondvlak ligt.
Hoofdstu 4 Functies van twee of meer variabelen 4.13 Herhalingsopgaven 1a z x y 4x y 6 Doorsnijden met grondvla geeft 0 x y 4x y 6 x 4x y y 6 0 x x y y 4 4 4 11 6 0 x y x y 4 1 1 6 0 1 1 Omdat de som van
Nadere informatieKnik en de Voorschriften
Kni en e Voorschriten Overgenomen uit : Basisboe Toegepaste Mechanica, J.W. Welleman,. Doling en J.W. Hartman, Waltman, ISB 90-1-911-6, 001 Kni en e Voorschriten Bij het imensioneren van een constructie
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen
WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen 1 C D O A O B Omdat driehoek ACD gelijkbenig is, is CAD = ACD en daarmee zien we dat 2 CAD+ ADC = 180. Maar we weten ook dat 180 = ADC + ADB. Dus ADB = 2 CAD. Driehoek
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieVoortplanting van trillingen - lopende golven
Voortpanting van triingen - opende goven 8. Eigenschappen van goven Interferentie van goven Interferentie doet zich voor as goven ekaar samentreffen. Het is dus een samensteen van goven. COHERENTIEVOORWAARDE:
Nadere informatieWISKUNDE-ESTAFETTE 2015 Uitwerkingen
WISKUNDE-ESTAFETTE 2015 Uitwerkingen 1 (20 punten) Omdat de som van a en c deelbaar is door 4 en kleiner is dan 12, is deze som 4 of 8. Daarom zijn a en c ofwel de getallen 1 en 3 ofwel de getallen 3 en
Nadere informatieTweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen
Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat
Nadere informatieDIGITALE ELEKTRONICA. demopracticum
tl V V tl. E D d r E D rg B D F m V F m e n N N DIGITAE EEKTRONA dempracticum Digitale eletrnica Dem-practicum Inhudspgave Blz. NAND-prt Blz. Algemene spelregels Opdracht Draadverzicht aarheidstabel Blz.
Nadere informatieAVS Centrum Educatief Leiderschap
AVS Centrum Educatief Leiderschap Goed onderwijs door visionair leiderschap Boeiend onderwijs in lerende scholen Hoogstaand onderwijs, daar heeft ieder ind recht op. Het bereien van goede resultaten met
Nadere informatieDe vergelijking van Schröder
Radboud Universiteit Bachelor Scriptie De vergelijing van Schröder Voor functies met vaste punten Auteur: Jasper de Klein Supervisor: Michael Müger June 5, 015 VOORWOORD Toen i in 01 aan mijn studie wisunde
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieStatistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012
Statistiek voor A.I. College 5 Dinsdag 25 September 2012 1 / 34 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 34 Percentages 3 / 34 Vragen: blikkie Kinderen worden slanker als ze anderhalf jaar lang limonade
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieAuteur: Bart Goris Promotor: Dr. Sandra Van Aert
Kwantitatieve dite- en positiebepaling van atoomolommen uit een complexe eletronen uittreegolf gebrui maend van statistische parameterschattingstheorie Auteur: Bart Goris Promotor: Dr. Sandra Van Aert
Nadere informatieNieuw Autarkisch Wonen 2015
20.000 35.900 10.000 Nieuw utarisch Wonen 2015 Het ontwerp van de woning streeft er naar zijn bewoners zo lang mogelij en zo onafhanelij en duurzaam mogelij te laten wonen. Het biedt de bewoners de mogelijheid
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieDus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de
CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze
Nadere informatieTENTAMEN. x 2 x x2 1. cos( x y) cos ( x) cos( y) + sin( x) sin( y) d dx arcsin( x)
FACULTEIT TECHNISCHE NATUURWETENSCHAPPEN Opleiding Technische Natuurunde Kenmer: 46055879/VGr/Hsa Va : Inleiding Optica (460) Datum : februari 008 Tijd : 3.30 uur 7.00 uur TENTAMEN Indien U een onderdeel
Nadere informatieGeldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Nadere informatieNaai- en participatieatelier aan de Badhuislaan
euwsbrief Nieuwsbrief Nieuwsb ef WerpleinNieuwsbrief Nieuw sbrief Nieuwsbrief Nieuwsbrief Uiteringsnormen 1 januari 2013 Lees verder op pagina 2 1Nieuwsbrief februari 2013 Nieuw Naai- en participatieatelier
Nadere informatieEengezinswoningen aan het park. Thuis in het park Thuis in Houten
Eengezinswoningen aan het par Thuis in het par Thuis in Houten Inhoud Parzicht Steenen Poort Inhoud Parzicht Steenen Poort, je zult er maar wonen 04 Situatieschets Parzicht Steenen Poort 05 Archeologisch
Nadere informatieAVS Centrum Educatief Leiderschap
AVS Centrum Educatief Leiderschap Goed onderwijs door visionair leiderschap Boeiend onderwijs in lerende scholen Hoogstaand onderwijs, daar heeft ieder ind recht op. Het bereien van goede resultaten met
Nadere informatieThe Planck-energy is not fundamental in a rotating holographic universe. De Planckenergie is niet fundamenteel in een roterend holografisch heelal.
The Planc-energy is not fundamental in a rotating holographic universe. Author: Dan Visser [0] Date: April 8 08 Abstract. This article discards the constant Planc-energy. This will be in service of a rotating
Nadere informatieOpdracht Maatschappijleer Profielkeuzewerkstuk
Opdracht Maatschappijleer Profieleuzewerstu Opdracht door een scholier 3896 woorden 22 maart 2006 5,4 49 eer beoordeeld Va Maatschappijleer Hst 1. Oriëntatie op jezelf I. I ben Kirsten. tenminste, dat
Nadere informatiei 35 indicator Gebruikershandleiding
i 35 indicator WWW.PRECIAMOLEN.COM Gebruiershandleiding 04-52-05-3 MU - 12/2012 Deze handleiding is bestemd voor de gebruiers van de i 35 indicator. Danzij deze handleiding zult u het apparaat snel onder
Nadere informatieTentamen Humane Stromingsleer (3T160) blad 2/3 op maandag 19 juni, 9-12 uur, zaal In een model van het arteriele systeem wordt een harmonische
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT TECHNISCHE NATUURKUNDE, vagroep Transportfysica FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE, vagroep Fundamentele Wertuigunde Tentamen Humane Stromingsleer (3T160) blad 1/3
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
42 Hoofdtu 3 - Teroeen adzijde 70 V-1a In een oodiagra teen je eert 5 taen (vijf euren) en daarna aan het eind van e van deze vijf taen nog een twee (a of reed) dan zie je dat er 5 2 = 10 verhiende uitvoeringen
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, , Examenzaal
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, 14.00 17.00, Examenzaal Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatieo o o het oude jaar ligt achter ons en wensen u en de uwen
ZCZC --------------------------------------------------------------- QST de PI4GAZ, PI4GAZ, PI4GAZ Afdelingsstation van de VERON in Gouda, R17, JO22IA Uitgezonden door PA0POS vanuit Haastrecht, JO21JX
Nadere informatieVerzoek om budget advieskosten voor grondverwerving OVW en krediet voor open planproces Natuur in Flevoland
FLEVOLAND VERSLAG STATENGRIFFIE Registratienummer: 1380353 Betreft: vergadering van Opinieronde 1 Datum: woensdag 5 september 2012 Tijd: 14.00 uur locatie: Commissieamer, Provinciehuis, Visarenddreef 1
Nadere informatieGreedy algoritmes. Algoritmiek
Greedy algoritmes Algoritmiek Algoritmische technieken Trucs, methoden, paradigma s voor het ontwerpen van algoritmen Dynamisch Programmeren Divide & Conquer Greedy 2 Greedy algoritme Bouwt de oplossing
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)
1 Tentamen Numeriee Wisunde WISB51 Maa één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelij je naam en studentnummer. Laat duidelij zien hoe je aan de antwoorden omt. Onderstaande formules mag je zonder
Nadere informatiePARADOXEN 2 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN Dr. Luc Gheysens SPELEN MET ONEINDIG Historische nota De Griekse filosoof Zeno (ca. 90-0 v. Chr.) bedacht een aantal paradoen om aan te tonen dat beweging eigenlijk een illusie is. De meest bekende
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieWeek 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.
Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten
Nadere informatieGroen wonen op niveau Ruime 2- en 3-kamerappartementen, huur en koop
Groen wonen op niveau Ruime 2- en 3-amerappartementen, huur en oop Belvédère is misschien wel het best bewaarde geheim van Ede. De appartementen liggen mooi verscholen in het groen omgeven door een sfeervolle
Nadere informatieLenstra s wonderlijke kaartspel
Lenstra s wonderlijke kaartspel Een generalisatie van de Chinese Reststelling voor niet-commutatieve ringen Birgit van Dalen dalen@math.leidenuniv.nl 11 mei 2005 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 De Chinese
Nadere informatie3. Structuren in de taal
3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we
Nadere informatieTentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Tentamen in2505-ii Berekenbaarheidstheorie 16 juni 2008, 14.00 17.00 uur Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen. Totaal
Nadere informatieEstafette. 36 < b < 121. Omdat b een kwadraat is, is b een van de getallen 49, 64, 81 en 100. Aangezien a ook een kwadraat is, en
26 e Wiskundetoernooi Estafette 2017 Uitwerking opgave 1 Noem het getal dat gevormd wordt door de laatste twee cijfers van het geboortejaar van rnoud a en de leeftijd van rnoud b. Dan is a + b = 2017 1900
Nadere informatie