Dynamic Vibration Absorber voor een stuksgewijs lineair dynamisch systeem

Transcriptie

1 Dynamic Vibration Absorber voor een stusgewijs lineair dynamisch systeem D. J. F. Hec ( ) DCT Bachelor Eind Project Supervisor: dr.ir. R.H.B. Fey Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wertuigbouwunde Dynamics & Control Group Eindhoven, 24 juni 2008

2

3 Samenvatting In dit verslag is onderzoe gedaan naar passieve trillingsonderdruing van een stusgewijs lineair systeem (Piecewise Linear systeem of PWL systeem) en de onderdruing van de harmonische resonantie. Hierbij zijn twee verschillende systeemexcitaties onderzocht, namelij rachtexcitatie en ondergrondexcitatie. De onderdruing is bereit door toepassing van een Dynamic Vibration Absorber (DVA). De analyse is voor beide excitaties in dimensieloze vorm gedaan. Op deze manier is beter inzicht verregen in de invloed van de parameters. Oo unnen de resultaten hierdoor op meerdere systemen worden toegepast. Bij het PWL systeem met rachtexcitatie zijn een ongedempte en gedempte DVA toegepast. Met een ongedempte DVA is het mogelij de harmonische resonantie geheel te onderdruen, zodat de massa stil staat. Dit wordt bereit door de eigenfrequentie van de DVA gelij te stellen aan de harmonische resonantiefrequentie van het systeem. Met een gedempte DVA is het mogelij de responsie in het gehele frequentieberei tot een minimum te brengen. Hiervoor zijn optimale DVA-parameters bepaald. De resultaten van de trillingsonderdruing voor het PWL systeem zijn vergelijbaar met de resultaten van de trillingsonderdruing voor een lineair systeem. Bij het PWL systeem met ondergrondexcitatie zijn een lineaire en PWL ongedempte DVA toegepast. Met een lineaire DVA is het niet mogelij gebleen de systeemmassa bij de harmonische resonantie stil te zetten. Wel on de resonantie ster worden bepert. Bij een stere niet-lineariteit is gebleen dat een PWL DVA de resonantie beter onderdrut. Hierbij is de PWL DVA geschaald op het PWL systeem op een vergelijbare manier als een lineaire DVA wordt geschaald op een lineair systeem. Het is zelfs mogelij gebleen de resonantie bijna tien beter te onderdruen in vergelijing met een lineaire DVA. Met een PWL DVA is het niet mogelij gebleen de resonantie bij een zeer stere niet-lineariteit beter te onderdruen dan met een lineaire DVA. De oorzaa lijt het optreden van bifurcaties te zijn die tot resonerend a-periodie gedrag (quasi-periodie en chaotisch) leiden. i

4 ii

5 Symbolenlijst Symbool b b c b DV A F F 0 DV A s s,dv A m m DV A s s DV A t x y z z 0 ω d ω e ω s Beteenis Dempingsconstante van de demper van het systeem [Ns/m] Kritische demping [Ns/m] Dempingsconstante van de demper van de DVA [Ns/m] Excitatieracht [N] Amplitude excitatieracht [N] Veerstijfheid lineaire systeemveer [N/m] Veerstijfheid lineaire veer van de DVA [N/m] Veerstijfheid PWL systeemveer [N/m] Veerstijfheid PWL veer van de DVA [N/m] Massa van het systeem [g] Massa van de DVA [g] Speling van de PWL systeemveer [m] Speling van de PWL veer van de DVA [m] Tijd [s] Positie van de systeemmassa [m] Positie van de DVA [m] Positie van de ondergrond [m] Amplitude excitatie ondergrond [m] Eigenhoefrequentie van het lineaire gedempte systeem [rad/s] Excitatie hoefrequentie [rad/s] Eigenfrequentie van het lineaire ongedempte systeem [rad/s] iii

6 Symbool Beteenis S Dimensieloze speling van de PWL systeemveer [-] S DV A Dimensieloze speling van de PWL veer van de DVA [-] X Dimensieloze positie van de systeemmassa [-] Y Dimensieloze positie van de DVA [-] α Verhouding veerstijfheid PWL systeemveer en lineaire systeemveer [-] α DV A Verhouding veerstijfheid PWL veer van DVA en lineaire systeemveer [-] β Verhouding dempingsconstante DVA en systeemmassa [-] ζ Dimensieloze dempingsconstante [-] θ Dimensieloze tijd [-] κ Verhouding veerstijfheid lineaire veer DVA en systeemveer [-] µ Verhouding massa DVA en systeemmassa Ω Dimensieloze excitatie hoefrequentie [-] Ω DV A Dimensieloze eigenhoefrequentie van de DVA [-] Ω pwl Dimensieloze harmonische resonantie hoefrequentie van PWL systeem [-] iv

7 Inhoudsopgave Samenvatting Symbolenlijst i iii 1 Inleiding Motivatie Doelstellingen Overzicht verslag SYSTEEM MET KRACHTEXCITATIE 5 2 Bewegingsvergelijingen Dimensievolle bewegingsvergelijingen Dimensieloze bewegingsvergelijingen Steady-state responsie van het systeem Steady-state responsie lineaire systeem Steady-state responsie PWL systeem Lineair systeem met lineaire DVA Ongedempte DVA op ongedempt systeem Theorie Toepassing Ongedempte DVA op gedempt systeem Theorie Toepassing Gedempte DVA op gedempt systeem Theorie Toepassing Stusgewijs lineair systeem met lineaire DVA Speling nul Ongedempte DVA Gedempte DVA Speling groter nul Ongedempte DVA Gedempte DVA

8 SYSTEEM MET GRONDEXCITATIE 35 6 Bewegingsvergelijingen en responsie van het systeem Bewegingsvergelijingen Dimensievol Dimensieloos Responsie systeemmassa Lineair systeem Stusgewijs lineair systeem Toepassing DVA op PWL systeem Lineaire DVA Stusgewijs lineaire DVA Conclusie en aanbevelingen 55 Appendices 61 A Afleiding dimensieloze bewegingsvergelijingen 61 A.1 Systeem met rachtexcitatie A.2 Systeem met grondexcitatie B Resultaten tunen parameters DVA 65 B.1 Gedempte DVA op PWL systeem met rachtexcitatie met S = 0 (α = 5) B.2 PWL DVA op PWL systeem met grondexcitatie C Niet-harmonische responsies 69 C.1 Responsies bij α = C.2 Responsies bij α =

9 Hoofdstu 1 Inleiding 1.1 Motivatie Dit onderzoe gaat over de toepassing van een Dynamic Vibration Absorber (DVA) op een stusgewijs lineair dynamisch systeem. Deze systemen worden in het Engels oo wel piecewise linear genoemd en rijgen daarom de aforting PWL. Deze PWL systemen omen in de wertuigbouwunde en civiele technie veel voor. Voorbeelden zijn de abels van een hangbrug, afmeerabels van schepen die beurtelings stra treen en slap gaan hangen, een as-naaf verbinding met meervoudige vertanding in tandwiel-overbrengingen en opgevouwen zonnepaneelsystemen voor satellieten waartussen zich veren bevinden die alleen drubelasting opnemen. Een PWL systeem is een systeem dat in verschillende delen van de toestandsruimte een ander lineair gedrag vertoont, b.v. een andere waarde heeft voor de veerstijfheid of de dempingsconstante. Dit an o.a. een gevolg zijn van speling of voorspanning. Het systeem is daardoor niet-lineair en vertoont dus de enmeren van niet-lineaire systemen, zoals super- en subharmonische resonanties. Een DVA is een systeem dat uit een massa, veer en (soms een) demper bestaat en heeft als doel storende trillingen van het systeem waar het mee verbonden is te onderdruen. De toepassing van een lineaire DVA op lineaire systemen is al door velen onderzocht, bijvoorbeeld Den Hartog [dh56] en Korenev en Rezniov [KR93]. Daarnaast is oo de toepassing van een lineaire DVA op een PWL systeem met speling gelij aan nul onderzocht door Bonsel et al. [BFN04]. 1.2 Doelstellingen In dit verslag zullen twee PWL systemen beeen worden. Beide systemen lijen veel op elaar. Bij het eerste systeem wordt de systeemmassa geëxciteerd door een excitatieracht die rechtstrees op de systeemmassa wert. Bij dit systeem zal de toepassing van een lineaire DVA worden onderzocht. Dit zal gedaan worden voor verschillende waarden van de speling in de PWL veer. Bij het tweede systeem is er sprae van een geëxciteerde ondergrond. Bij dit systeem zal de toepassing van zowel een lineaire DVA als een PWL DVA worden onderzocht. 3

10 1.3 Overzicht verslag Het verslag is opgedeeld in twee delen. In het eerste deel (hoofdstuen 2-5) wordt het systeem met rachtexcitatie behandeld. In het tweede deel (hoofdstuen 6-7) wordt het systeem met grondexcitatie onderzocht. In hoofdstu 2 zullen de bewegingsvergelijingen worden behandeld voor het eerste systeem. In het daaropvolgende hoofdstu wordt de steady-state responsie van dit systeem bepaald. Vervolgens zal de toepassing van een lineaire DVA op het lineaire systeem worden onderzocht in hoofdstu 4. In hoofdstu 5 wordt een lineaire DVA toegepast op een PWL systeem. In hoofdstu 6 van het tweede deel worden de bewegingsvergelijingen afgeleid voor het tweede systeem. Oo zal hier de steady-state responsie worden onderzocht. In het daaropvolgende hoofdstu wordt de toepassing van zowel een lineaire DVA als een PWL DVA onderzocht. Tenslotte worden de conclusies van het onderzoe en de aanbevelingen voor verder onderzoe gegeven in hoofdstu 8. 4

11 SYSTEEM MET KRACHTEXCITATIE 5

12 6

13 Hoofdstu 2 Bewegingsvergelijingen In dit hoofdstu zal de dimensieloze vorm van de bewegingsvergelijingen van het PWL systeem met rachtexcitatie en lineaire DVA worden afgeleid. Dit wordt gedaan op basis van de dimensievolle bewegingsvergelijingen. Het voordeel van de dimensieloze vorm is dat de toepassing van de DVA voor meerdere hieruit af te leiden dimensievolle modellen oo geldig is. Oo is het dan redelij eenvoudig om bepaalde parameters met invloed te herennen. In de analyse zal steeds gebrui gemaat worden van de dimensieloze bewegingsvergelijingen. Door bepaalde parameters gelij aan nul te iezen, is het mogelij om niet alle veren en dempers in de analyse mee te nemen. 2.1 Dimensievolle bewegingsvergelijingen Het systeem met de DVA is weergegeven in Figuur 2.1. Het systeem bestaat uit een massa m, een lineaire veer met veerstijfheid, een lineaire demper met dempingsconstante b en een stusgewijs lineaire veer met veerconstante s. Daarnaast zijn er nog een lineaire veer en demper van de DVA. Deze hebben respectievelij een veerstijfheid DV A en een dempingsconstante b DV A. De massa van de DVA is m DV A. De uitwijing van de systeemmassa is x, die van de DVA is y. De speling van de PWL veer wordt aangeduid met s en de excitatieracht is F(t). Aan het dimensievolle systeem zijn (tamelij arbitrair) de volgende eigenschappen toegeend: massa m van het systeem is 1 g. massa van de DVA m DV A is gelij aan 0.1 g. Het is gebruielij om voor de massa van de DVA niet meer dan 10% van de systeemmassa te nemen. eigenfrequentie van het lineaire ongedempt systeem ligt bij 20 Hz. het systeem is zwa gedempt: ζ = 0.03 << 1. de verhouding tussen de twee systeemveren s / is gelij aan 5. Hiermee zijn alle systeemparameters te bepalen. Deze staan vermeld in tabel 2.1. De bewegingsvergelijingen van het systeem inclusief de DVA zijn mẍ + bẋ + b DV A (ẋ ẏ) + x + DV A (x y) + f(x,s) = F 0 cos(ω e t) (2.1) m DV A ÿ + b DV A (ẏ ẋ) + DV A (y x) = 0 (2.2) 7

14 m DVA y DVA b DVA m x, F(t) b s s Figuur 2.1: PWL systeem met lineaire DVA Tabel 2.1: Dimensievolle systeemparameters systeemparameter Waarde Verlaring b 7.5 Ns/m dempingsconstante van het systeem b DV A 4.5* Ns/m dempingsconstante van de DVA f lin 20 Hz eigenfrequentie van het systeem N/m veerstijfheid lineaire systeemveer DV A 1579* N/m veerstijfheid lineaire veer van de DVA s N/m veerstijfheid PWL systeemveer m 1 g massa van het systeem m DV A 0.1 g massa van de DVA s 0 Speling van de PWL systeemveer * Deze parameters worden in waarde gevarieerd en zijn dus niet constant. Het getal onder Waarde geeft een richtlijn aan. 8

15 Hierin zijn ω e en F 0 respectievelij de excitatie hoefrequentie van de aangebrachte racht en de grootte van de excitatie racht. f(x, s) beschrijft het niet-lineaire gedrag van de PWL veer met zijn speling S t.o.v. de systeemmassa. Als de uitwijing van de systeemmassa niet leiner is dan s (de waarde van de speling S wordt positief verondersteld), dan ondervindt het systeem geen racht van de PWL veer. Zodra de uitwijing leiner wordt, wert er wel een racht van de PWL veer op het systeem. Uiteraard maat een limietwaarde s het systeem lineair. De functie f(x,s) is als volgt gedefinieerd { 0 als x s f(x,s) = s (x + s) als x < s 2.2 Dimensieloze bewegingsvergelijingen Om vergelijingen (2.1) en (2.2) dimensieloos te maen, dienen eerst de uitwijing, snelheid en versnelling van de systeemmassa en van de DVA dimensieloos gemaat te worden. Dit wordt gedaan door de posities te schalen met F 0 / en de tijd met de eigenfrequentie van het ongedempte lineaire systeem ω s = /m. De relatie tussen de dimensievolle en de dimensieloze grootheden voor uitwijing, snelheid en versnelling worden gegeven door x = F 0 X ẋ = F 0 ω sx ẍ = F 0 ω2 s X y = F 0 Y ẏ = F 0 ω sy ÿ = F 0 ω2 s Y Hierbij is een afgeleide naar de dimensieloze tijd θ = ω s t aangegeven met een. De dimensieloze grootheden worden met een hoofdletter weergegeven. Om de bewegingsvergelijingen geheel dimensieloos te maen, is voor de excitatie frequentie ω e oo een dimensieloze parameter vereist. Deze wordt als volgt gedefinieerd Ω = ω e /ω s Nu unnen de bewegingsvergelijingen volledig dimensieloos gemaat worden. Hieronder wordt alleen het resultaat gegeven. De gehele afleiding is weergegeven in bijlage A. Het resultaat van de afleiding is X + 2ζX + 2βζ(X Y ) + X + κ(x Y ) + F(X,S) = cos(ωθ) (2.3) µy + 2βζ(Y X ) + κ(y X) = 0 (2.4) Hierin is de dimensieloze functie F(X,S) als volgt gedefinieerd { 0 als X S F(X,S) = α(x + S) als X < S In de dimensieloze bewegingsvergelijingen bevinden zich acht dimensieloze parameters. Ω en θ zijn hierboven al gegeven. De overige parameters zijn 9

16 Tabel 2.2: Dimensieloze systeemparameters systeemparameter Waarde Verlaring α 5 verhouding veerstijfheid PWL systeemveer en lineaire systeemveer β 0.6* verhouding dempingsconstante DVA en systeemmassa ζ 0.03 Dimensieloze dempingsconstante κ 0.1* verhouding veerstijfheid lineaire veer DVA en systeemveer µ 0.1 Verhouding massa DVA en systeemmassa S 0 Dimensieloze speling van de PWL systeemveer * Deze parameters worden in waarde gevarieerd en zijn dus niet constant. Het getal onder Waarde geeft een richtlijn aan. α = s κ = DV A µ = m DV A m β = b DV A b ζ = b 2 m S = F 0 s Parameter α geeft de verhouding aan van de veerstijfheid van de PWL veer van het systeem ten opzichte van de lineaire veer van het systeem met veerstijfheid. De parameter α is een maat voor de sterte van de niet-lineariteit van het systeem. Parameter κ is de verhouding tussen de lineaire veerstijfheid van de DVA ten opzichte van de lineaire veer van het systeem. Parameter β geeft de verhouding tussen de dempingsconstante van de DVA en die van het systeem. Parameterµ is de verhouding tussen de massa van de DVA en de systeemmassa en ζ is de dimensieloze dempingscoëfficiënt van het systeem. S is de dimensieloze speling van de PWL veer van het systeem. De dimensievolle parameters uit tabel 2.1 unne nu vertaald worden naar de dimensieloze parameterwaarden gegeven in tabel 2.2. Nu de bewegingsvergelijingen dimensieloos zijn gemaat, an een begin worden gemaat met de steady-state analyse. In het volgende hoofdstu zal de steadystate responsie van de systeemmassa worden onderzocht. In de daaropvolgende hoofdstuen zullen verschillende DVA s worden toegepast om responsieamplitudes en met namede harmonische resonantie van het systeem te onderdruen. 10

17 Hoofdstu 3 Steady-state responsie van het systeem In dit hoofdstu zal de steady-state responsie van het systeem numerie worden bepaald. In paragraaf 3.1 wordt de responsie van het lineaire systeem beeen. In de daaropvolgende paragraaf wordt het PWL systeem beeen voor verschillende waarden van de speling S en de veerstijfheid verhouding α tussen de PWL veer en de lineaire veer van het systeem. In de volgende hoofdstuen zal met verschillende DVA s de harmonische resonantie van het systeem worden onderdrut. 3.1 Steady-state responsie lineaire systeem De steady-state responsies van het lineaire ongedempte en gedempte systeem zijn in Figuur 3.1 weergegeven. Aangezien alle grootheden dimensieloos zijn gemaat, ligt de eigenhoefrequentie van het lineaire systeem niet meer bij 20 Hz (zie tabel 2.1) maar bij 1, want er is geschaald met de lineaire ongedempte eigenhoefrequentie. Als de excitatie hoefrequentie ω e naar nul gaat, gaat oo Ω naar nul. Bij Ω 0 gaat de responsie van de systeemmassa X naar 1. Dit omt doordat de positie geschaald is met de statische responsie: F 0 /. De eigenhoefrequentie van het gedempte lineaire systeem ω d is afhanelij van de hoeveelheid demping en ligt bij ω d = ω s 1 ζ 2 (3.1) waarbij ω s de eigenhoefrequentie van het lineaire ongedempte systeem is. Doordat er sprae is van zwae demping, ζ = 0.03, liggen de ongedempte en gedempte eigenfrequentie dicht bij elaar. 3.2 Steady-state responsie PWL systeem Voor het PWL systeem met de parameterwaarden uit tabel 2.2 en een speling S = 0 is in Figuur 3.2 de steady-state responsie weergegeven. In deze figuur zijn een aantal eigenschappen van een PWL systeem te zien. De eerste is dat de harmonische resonantiefrequentie is verschoven t.o.v. het lineaire systeem, namelij van Ω = 1 naar Ω = Door de extra PWL veer is de totale veerstijfheid bij een negatieve uitwijing groter geworden. In het lineaire geval 11

18 X [-] ongedempt gedempt X [-] Ω [-] Figuur 3.1: Frequentie-respons van het lineaire systeem heeft een verhoging van de veerstijfheid oo een hogere eigenfrequentie tot gevolg. Volgens [SH83] omt de harmonische resonantiefrequentie voor het geval S = 0 te liggen bij Ω pwl = α ζ 2 1 ζ α ζ ζ 2 (3.2) Een PWL systeem vertoont (mogelij) super- en subharmonische resonanties. In dit geval treedt de 1/2 subharmonische resonantie op bij Ω = 2.84 (bij de frequentie die twee eer zo groot is als de harmonische resonantiefrequentie). Lins van de harmonische resonantie is de 2 e superharmonische resonantie te zien (bij 1/2 eer de harmonische resonantiefrequentie). Bij Ω = 0.95 is een leine 1/2 subharmonische resonantie te zien die waarschijnlij is geïnitieerd door een hogere orde superharmonische resonantie. Tenslotte is te zien dat in tegenstelling tot bij een lineair systeem het minimum van de steady-state oplossing in absolute zin leiner is dan het maximum. Dit omt doordat bij een negatieve uitwijing de PWL veer een racht omhoog uitoefent. Bij positieve uitwijing levert deze veer geen racht. Invloed van α De steady-state responsie van het systeem is ster afhanelij van de parameters α en S. Verhogen van α heeft tot gevolg dat de responsie een toenemende mate van niet-lineariteit vertoond. Dit wordt geïllustreerd in Figuur 3.3. Hierin is te zien dat een verhoging van α tot gevolg heeft dat de harmonische resonantie bij een hogere waarde van Ω terecht omt. Oo is te zien dat de super- en subharmonische resonanties iets groter worden. De euze α = 0 omt overeen met het lineaire geval (de PWL veer heeft dan immers geen stijfheid). 12

19 20 15 responsie speling X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 3.2: Frequentie-amplitude arateristie van het PWL systeem (α = 5 en S = 0) α = 0 α = 10 α = X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 3.3: Frequentie-amplitude arateristie van het PWL systeem voor verschillende α (S = 0). 13

20 Invloed van S De invloed van de speling S op het systeem is weergegeven in figuren 3.4 en 3.5. Vergroten van de speling heeft tot gevolg dat het systeem een grotere negatieve uitwijing rijgt. Dit omt doordat de PWL veer later ingrijpt bij een negatieve uitwijing. Hierdoor wordt bij het systeem de lineaire responsie dominanter en gaat de harmonische resonantie richting de eigenfrequentie van het lineaire systeem. Als de speling groot genoeg is zodat de massa de PWL veer niet meer raat, gedraagt het systeem zich lineair. De PWL veer is dan niet meer van invloed op de responsie. Dit is het geval bij S > 16.5 In de figuren 3.4 en 3.5 is nog een enmer van een PWL systeem met speling groter dan nul te zien. Voor een sweep-up (doorgetroen lijnen) van de excitatiefrequentie rijgt het systeem een andere responsie dan bij een sweepdown (gestreepte lijnen). Dit wordt wel frequency-hysteresis genoemd. In de sweep-up buigt de pie naar rechts in de frequentie-amplitude arateristie; dit wordt in het Engels stiffening genoemd. Het is afhanelij van de begincondities wele oplossing door het systeem gevolgd wordt. Zodra het systeem weer één oplossing heeft, schiet de responsie naar deze waarde toe. Dit is goed te zien in Figuur 3.4 bij een speling S = 5 waar de doorgetroen lijn na de harmonische resonantie direct naar beneden schiet. Nu beend is hoe het systeem zich gedraagt, zowel lineair als stusgewijs lineair, an er gestart worden met het ontwerp van een DVA met als doel de harmonische resonantie van de systeemmassa te onderdruen. In hoofdstu 4 zal eerst een lineaire DVA op het lineaire systeem worden toegepast om inzicht op te bouwen in de wering van de DVA. De theorie voor dit geval is beend. In hoofdstu 5 zal vervolgens voor het PWL systeem een lineaire DVA worden ontworpen. Hierbij wordt getracht de regels voor het ontwerp van een DVA voor een lineair systeem aan te houden. 14

21 20 15 S = 0 S = 5 10 X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 3.4: Frequentie-amplitude arateristie van het PWL systeem voor S = 0 en S = 5 (α = 5). De horizontale streep-stippel lijnen geven de speling aan S = 17 S = 1 10 X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 3.5: Frequentie-amplitude arateristie van het PWL systeem voor S = 1 en S = 17 (α = 5). 15

22 16

23 Hoofdstu 4 Lineair systeem met lineaire DVA In dit hoofdstu zal de toepassing van een lineaire DVA op het lineaire systeem worden behandeld. De parameters α en S zullen hierbij dus niet in beschouwing genomen worden, omdat zij het systeem niet-lineair maen. In paragraaf 4.1 zal eerst een ongedempte DVA voor het ongedempte systeem worden ontworpen. In paragraaf 4.2 wordt een ongedempte DVA op het gedempte systeem toegepast. In de laatste paragraaf wordt tenslotte een gedempte DVA toegepast op het gedempte systeem. 4.1 Ongedempte DVA op ongedempt systeem De toepassing van een ongedempte DVA op het ongedempte systeem zal eerst theoretisch worden beschreven. Daarna zal deze theorie worden toegepast op het ongedempte systeem Theorie Het idee van een Dynamic Vibration Absorber is dat de trilling van een systeem wordt onderdrut, of geabsorbeerd, door een tweede massa op het systeem te plaatsen. Deze absorbeert de energie van de trilling van het systeem. In het lineaire geval is het zelfs mogelij de uitwijing van het systeem bij één (willeeurige) excitatie hoefrequentie helemaal naar nul te brengen. Dit wordt bereit met een ongedempte DVA. Bij een ongedempte DVA wordt de responsie van het systeem naar nul gebracht door de eigenhoefrequentie van de DVA ω DV A = DV A /m DV A gelij te iezen aan de excitatie hoefrequentie ω e. Door de combinatie van DV A en m DV A an ω DV A iedere positieve waarde aannemen. Daarmee is het dus mogelij de responsie van het systeem voor iedere ω e naar nul te brengen. Het meest voor de hand liggende en het meest effectief is het onderdruen van de resonantie van de eigenhoefrequentie van het systeem. Deze ligt in het ongedempte geval bij ω s = /m. Door de eigenhoefrequentie van het systeem en de DVA gelij te iezen, an de eigenhoefrequentie van het systeem geheel naar nul worden gebracht. De verhouding van /m en DV A /m DV A dienen dus aan elaar gelij gesteld te worden m = DV A m DV A (4.1) 17

24 De prijs die echter voor de toepassing van de ongedempte DVA wordt betaald is dat er twee resonantiepieen ontstaan rondom de hoefrequentie waar de responsie naar nul is gebracht. Dit zal in paragraaf worden geïllustreerd. Het is afhanelij van de toepassing van het systeem of dit een probleem oplevert. In dat geval an beter een gedempte DVA worden toegepast Toepassing Het bovenstaande idee van de ongedempte DVA is behandeld voor het dimensievolle geval. Voor het dimensieloze geval an echter eenvoudig worden afgeleid wat de parameterwaarden moeten zijn voor een optimale onderdruing van de eigenfrequentie. In het dimensievolle geval moet de eigenhoefrequentie van de DVA dus overeenomen met die van het systeem: /m = DV A /m DV A. Dit is om te schrijven in de parameterwaarden µ en κ m DV A m = DV A µ = κ (4.2) De waarde κ moet dus overeenomen met de waarde van µ. Deze is voor het beschouwde systeem gegeven in tabel 2.2. De dimensieloze eigenhoefrequentie van de DVA is gelij aan Ω DV A = 1 als aan vergelijing (4.2) wordt voldaan. De dimensieloze excitatie hoefrequentie Ω van het systeem wordt oo gelij geozen aan 1 (er is geschaald met de eigenhoefrequentie van het systeem ω s, zie hoofdstu 2). In Figuur 4.1 is de frequentie-responsie van het ongedempte systeem met ongedempte DVA weergegeven met de doorgetroen lijn. De onderbroen lijn geeft het ongedempte systeem zonder DVA weer. De responsie van het systeem met DVA is bij Ω = 1 gelij aan nul, de massa van het systeem staat dus stil. Oo is te zien dat er pieen verschijnen bij Ω = 0.85 en Ω = Bij de eerste pie bewegen de systeemmassa en de massa van de DVA in fase. Bij de tweede pie bewegen zij in tegenfase. In Figuur 4.2 is de frequentie-responsie van de bijbehorende ongedempte DVA weergegeven. De toepassing van een ongedempte DVA op het ongedempte systeem is vrij eenvoudig. Het onderdruen van de resonantie is echter maar bij één frequentie mogelij. Om in een groter gebied de resonantie te onderdruen, is een gedempte DVA nodig. Deze toepassing wordt beschreven in paragraaf 4.3. Eerst zal nog een ongedempte DVA op het gedempte systeem worden toegepast. 4.2 Ongedempte DVA op gedempt systeem In deze paragraaf wordt een ongedempte DVA toegepast op het gedempte systeem. De waarde van ζ is terug te vinden in tabel Theorie Het toepassen van een ongedempte DVA op een gedempt systeem verschilt niet veel van de toepassing op het ongedempte systeem. Het idee is weer de eigenhoefrequenties van beide massa s aan elaar gelij te stellen om zo de pie bij de eigenhoefrequentie van het systeem te onderdruen. Echter is deze eigenhoefrequentie iets verschoven ten opzichte van het ongedempte systeem. Deze verschuiving is afhanelij van de hoeveelheid demping. In vergelijing 3.1 is 18

25 20 18 zonder DVA met DVA X [-] Ω [-] Figuur 4.1: Frequentie-responsie ongedempte systeem met en zonder ongedempte DVA DVA X [-] Ω [-] Figuur 4.2: Frequentie-responsie ongedempte DVA op ongedempte systeem 19

26 20 18 zonder DVA met DVA X [-] Ω [-] Figuur 4.3: Frequentie-responsie gedempte systeem met en zonder ongedempte DVA deze dempingsafhanelijheid beschreven. Gelij stellen aan de eigenhoefrequentie van de DVA levert ω s 1 ζ 2 = ω DV A (4.3) In de volgende sectie zal deze vergelijing als uitgangspunt dienen voor de toepassing op het systeem Toepassing Vergelijing (4.3) dient eerst omgeschreven te worden naar de dimensieloze vorm. Invullen van ω s = /m en ω DV A = DV A /m DV A en vervolgens omschrijven levert /m 1 ζ 2 = DV A /m DV A DV A = m DV A 1 ζ 2 m κ = µ 1 ζ 2 (4.4) Omdat het systeem onderhevig is aan zwae demping, is de oplossing bijna gelij aan die van het ongedempte systeem. In Figuur 4.3 is de onderdruing van de resonantie bij de eigenhoefrequentie van het gedempte systeem weergegeven. Het grootste verschil met Figuur 4.1 is de hoogte van de resonantie pieen. Deze gaan in Figuur 4.3 niet naar oneindig door de aanwezigheid van demping. Het is dus mogelij om met een ongedempte DVA de responsie van de eigenhoefrequentie van een zwa gedempt systeem naar nul te brengen. In de volgende paragraaf zal een gedempte DVA worden toegepast op het gedempte systeem. Met deze DVA zal de responsie over een groter frequentieberei worden onderdrut, maar an deze niet naar nul worden gebracht. 20

27 4.3 Gedempte DVA op gedempt systeem In deze paragraaf wordt de toepassing van een gedempte DVA op het gedempte systeem beschreven. Eerst zal weer de theorie worden besproen. Vervolgens wordt de theorie toegepast op het systeem Theorie Het voordeel van een gedempte DVA is dat deze de resonantie van het systeem in een groter gebied an onderdruen. Bij de ongedempte DVA is dit maar bij één frequentie mogelij, maar an de responsie geheel naar nul worden gebracht. Dit is niet het geval bij de gedempte DVA. Hierbij an echter wel de resonantie over het hele frequentieberei aanzienlij worden verlaagd. De twee parameters van de DVA die bepaald moeten worden zijn DV A en b DV A. In [dh56] is de afleiding gegeven voor de optimale waarde van deze twee parameters voor een ongedempt systeem waarbij de twee resonantie pieen even hoog zijn. Bij afwijing van de optimale waarden zal één van de pieen hoger worden. Het resultaat van de afleiding is ω DV A ω s = b DV A b c = µ (4.5) 3µ 8(1 + µ) 3 (4.6) met b c = 2m DV A ω s de ritische dempingsconstante. Indien de waarde van µ te lein is, zullen de eigenhoefrequenties van beide massa s bij benadering aan elaar gelij zijn. In de volgende sectie zal de theorie worden toegepast op het gedempte systeem Toepassing De vergelijingen zullen weer omgeschreven worden naar de dimensieloze vorm. Dit levert voor vergelijing (4.5), samen met de ongedempte eigenfrequentie van de DVA DV A /m DV A /m = DV A µ = m ( ) DV A 1 2 m 1 + µ ( ) 1 2 κ = µ (4.7) 1 + µ Dimensieloos maen van vergelijing (4.6) levert de waarde voor de demping van de DVA β b DV A 3µ = 2m DV A /m 8(1 + µ) 3 b DV A b b 2µ m = 3µ 8(1 + µ) 3 β = µ 3µ ζ 8(1 + µ) 3 (4.8) 21

28 4 3.8 optimale DVA bereende DVA X [-] Ω [-] Figuur 4.4: Frequentie-responsie gedempte systeem met bereende en optimale gedempte DVA De twee parameters van de DVA in dimensieloze vorm zijn alleen afhanelij van de beende parameters µ en ζ. Aangezien het systeem gedempt is, zijn dit niet de correcte waarden voor κ en β. Echter vormen zij een goede indicatie, omdat de demping van het systeem zwa is. De demping van de systeemmassa levert een grotere bijdrage bij hogere hoefrequenties. Gevolg is dat de ongedempte eigenhoefrequentie van de DVA een leine verschuiving naar een lagere frequentie moet maen. Oo an met een iets lagere dempingswaarde van de DVA worden volstaan, omdat er al demping aanwezig is. Voor het systeem op basis van tabel 2.2 wordt de optimale DVA gevonden bij κ = en β = De parameterwaarden die uit vergelijingen (4.7) en (4.8) volgen zijn κ = en β = In Figuur 4.4 is voor beide parameter euzes de frequentie-respons weergegeven. De onderbroen lijn is het systeem met de DVA bereend voor het ongedempte systeem. De doorgetroen lijn geeft de optimale DVA weer. In Figuur 4.5 is de responsie van het systeem met optimale DVA en zonder DVA weergegeven. De toepassing van een gedempte DVA op een zwa gedempt systeem levert goede resultaten met betreing tot de onderdruing van resonanties over een breed excitatie frequentieberei van het systeem. Hetzelfde an gezegd worden van de toepassing van een ongedempte DVA maar dan voor één specifiee excitatiefrequentie. In het volgende hoofdstu wordt onderzocht of dit oo mogelij is voor het PWL systeem. Daar zal eerst een ongedempte DVA worden toegepast om de harmonische resonantie te onderdruen. Oo wordt een gedempte DVA toegepast om de resonantie in een groter frequentieberei te onderdruen. 22

29 5 4.5 zonder DVA met optimale DVA X [-] Ω [-] Figuur 4.5: Frequentie-responsie gedempte systeem met en zonder gedempte DVA 23

30 24

31 Hoofdstu 5 Stusgewijs lineair systeem met lineaire DVA Zoals in het vorige hoofdstu is uitgelegd, an bij een lineair systeem met een lineaire ongedempte DVA de resonantie bij één frequentie tot nul worden onderdrut. Eveneens voor een lineair systeem an met een gedempte lineaire DVA in een breed frequentieberei de resonantie worden onderdrut. De speling van de PWL veer wordt in eerste instantie gelij aan nul verondersteld. Daarna zullen beide DVA s worden toegepast bij speling groter dan nul. 5.1 Speling nul Voor het systeem met speling gelij aan nul is de frequentie-responsie van het systeem voor α = 5 weergegeven in Figuur 3.2. Hieronder zal eerst de toepassing van een ongedempte DVA worden besproen. Daarna volgt toepassing van de gedempte DVA in subsectie Ongedempte DVA In het geval van een lineair systeem is het mogelij de responsie bij de eigenhoefrequentie met een ongedempte DVA geheel naar nul te brengen. In [BFN04] is aangetoond dat dit oo mogelij is bij een PWL systeem. De harmonische resonantie treedt volgens vergelijing (3.2) op bij Ω pwl = Door de eigenhoefrequentie van de DVA hieraan gelij te stellen, wordt de harmonische resonantie maximaal onderdrut. De eigenhoefrequentie van de DVA wordt in dimensieloze vorm gegeven door Ω DV A = κ/µ. Hierin ligt de waarde van µ vast (zie tabel 2.2). De optimale waarde voor κ wordt κ = µω 2 pwl (5.1) Voor het systeem met α = 5 wordt dit κ = In Figuur 5.1 is de responsie weergegeven met en zonder ongedempte DVA. Hierin is te zien dat in het eerste geval de responsie naar nul gaat bij Ω = Ω pwl = Ω DV A. Doordat de responsie bij positieve en negatieve uitwijing niet hetzelfde zijn (zie paragraaf 3.2), zijn beide responsies weergegeven in de figuur. De pie bij Ω = 2.44 is de 1/2 subharmonische resonantie van de eerste harmonische pie. In Figuur 5.2 zijn de rachten weergegeven die op de systeemmassa weren bij Ω = Ω pwl = De veer van de DVA (gestippelde lijn) heft de excitatieracht 25

32 20 15 zonder DVA met DVA speling X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 5.1: PWL systeem met en zonder ongedempte DVA (S = 0, α = 5). (gestreepte lijn) geheel op, met als resultaat dat de som van de rachten op de systeemmassa (doorgetroen lijn) gelij is aan nul. Als het systeem zeer ster niet-lineair wordt gemaat door bijvoorbeeld α = 100 te iezen, is het succesvol toepassen van een ongedempte DVA oo mogelij. Dit is geïllustreerd in Figuur 5.3. Doordat de PWL veer veel stijver is dan bij α = 5 is de negatieve uitwijing sterer onderdrut. De PWL veer levert bij een negatieve uitwijing een grotere pieracht. De waarde van κ is weer bereend met vergelijing (5.1). De resonantiefrequentie van het PWL systeem wordt bepaald met vergelijing (3.2). Bij α = 100 ligt de resonantiefrequentie van het systeem bij Ω pwl = Hiermee wordt κ = In Figuur 5.4 zijn de rachten die op het systeem weren weergegeven. De som van de rachten is weer gelij aan nul, omdat de veer van de DVA de excitatieracht opheft. Het resultaat is hetzelfde als bij α = 5. Het is voor een systeem met gematigde niet-lineariteit (α = 5, bij Ω = 1.42) en voor het systeem met een stere niet-lineariteit (α = 100, bij Ω = 1.818) mogelij gebleen de massa stil te zetten. Het is echter niet uitgesloten dat er naast deze nuloplossing nog een andere stabiele oplossing bestaat, omdat het systeem niet-lineair is. Het is daarom noodzaelij bij de toepassing van een ongedempte lineaire DVA op een PWL systeem hier aandacht aan te besteden. In dit verslag wordt hier echter geen verdere aandacht aan besteed. In de volgende sectie zal een gedempte DVA worden toegepast op het PWL systeem om de resonantie in een breder spectrum van frequenties te onderdruen Gedempte DVA Bij een lineair systeem an de resonantie met een gedempte DVA in een breed frequentieberei worden onderdrut. In [BFN04] is aangetoond dat dit oo mogelij is voor het PWL systeem met speling nul. In Figuur 5.5 is de optimale gedempte DVA, samen met de responsie van het 26

33 1.5 F( θ) F,dva 1 F tot 0.5 rachten [-] θ [-] Figuur 5.2: Krachten PWL systeem met ongedempte DVA bij Ω = zonder DVA met DVA speling X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 5.3: PWL systeem met en zonder ongedempte DVA (S = 0, α = 100). 27

34 F( θ) F,dva F tot rachten [-] θ [-] Figuur 5.4: Krachten PWL systeem met ongedempte DVA bij Ω = (S = 0, α = 100). systeem zonder DVA weergegeven. Met optimaal wordt hier bedoeld een minimale X max over het hele frequentieberei. In de figuur is te zien dat de responsie op een gelije manier wordt onderdrut als bij het lineaire systeem (zie Figuur 4.5). De maximale uitwijing is X max = De waarden van de DVA-parameters zijn κ = en β = Deze (zo goed als) optimaal gedempte DVA is bereit na tunen van κ en β. In bijlage B zijn de resultaten van de tuning weergegeven. In het lineaire geval hadden de DVA-parameters de waarden κ = 0.1 en β = Parameter κ heeft in het geval van een PWL systeem een hogere waarde, omdat de resonantie bij een hogere frequentie ligt. Om de responsie van het systeem optimaal te onderdruen, moet de eigenhoefrequentie van de DVA oo groter worden. Dit an worden bereit door κ te verhogen of µ te verlagen. Aangezien de massaverhouding van de DVA ten opzichte van het systeem vast ligt, an alleen κ worden verhoogd. Een grotere demping van de DVA is nodig om de extra veerracht van de PWL veer op te vangen. Zowel een ongedempte als een gedempte DVA zijn succesvol toe te passen op het stusgewijs lineaire systeem met speling gelij aan nul. De resultaten zijn vergelijbaar met de resultaten van het lineaire geval. In de volgende paragraaf zal worden onderzocht of hetzelfde geldt voor speling groter dan nul. 5.2 Speling groter nul Als de speling groter dan nul wordt, verandert de responsie. In hoofdstu 3 is de responsie van het PWL systeem met speling groter dan nul weergegeven. De hoefrequentie met de grootste resonantie ligt tussen de frequenties van het lineaire en PWL systeem met S = 0. Bij een speling groter dan nul staat de resonantie pie niet meer rechtop, zoals in het geval van S = 0 en S = (dit is gelij aan het lineaire geval), maar buigt de pie naar rechts. Bij excitatiefrequenties nabij de resonantie pie zijn er twee stabiele oplossingen mogelij. 28

35 5 4 zonder DVA met DVA speling 3 X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 5.5: PWL systeem met speling nul met en zonder gedempte DVA (S = 0, α = 5). Wele oplossing resulteert is afhanelij van de begincondities. Om dit zichtbaar te maen is steeds de frequentie-responsie weergegeven van een sweep up en een sweep down. In het eerste geval wordt bij de numeriee generatie de excitatiefrequentie steeds opgehoogd van een minimale naar een maximale waarde. Bij de sweep down die aansluit op de sweep-up, wordt de excitatiefrequentie verlaagd van de maximale naar de minimale waarde. Hieronder wordt weer een ongedempte en een gedempte DVA behandeld. In deze sectie geldt voor alle gevallen α = Ongedempte DVA Met een ongedempte DVA is het oo bij speling groter dan nul mogelij de responsie geheel naar nul te brengen voor iedere gewenste excitatiefrequentie. Om dit te realiseren moet de eigenfrequentie van de DVA gelij geozen worden aan de excitatiefrequentie. In Figuur 3.4 bij S = 5 is duidelij te zien dat bij een sweep up de maximale resonantie bij een andere hoefrequentie ligt dan bij de sweep down. Voor de pie van de sweep up zal een DVA ontworpen worden. Oo wordt geeen naar een DVA bij een hoefrequentie iets lager op de helling tussen de top van de sweep up en sweep down. Resonantie pie van sweep up De resonantie pie van de sweep up voor het systeem met S = 5 en zonder DVA ligt bij de hoefrequentie Ω = Met vergelijing (5.1) is de waarde van κ te bepalen. Deze is κ = In Figuur 5.6 is de responsie weergegeven voor het systeem met DVA. De horizontale streep-stippel lijn geeft de waarde van de speling weer. In het geval X min < S is de responsie lineair. De verticale lijn geeft de hoefrequentie van de resonantie weer van de sweep up bij het systeem zonder DVA. De responsie bij deze hoefrequentie wordt nu geheel 29

36 20 15 sweep up sweep down 10 X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 5.6: PWL systeem (S = 5, α = 5) met ongedempte DVA (bij Ω DV A = 1.26). onderdrut. De twee nieuwe pieen vertonen vergelijbaar gedrag als bij het systeem zonder DVA. In Figuur 5.7 is oo nog de responsie van de ongedempte DVA weergegeven bij het PWL systeem met S = 5. Resonantie halverwege de helling De resonantie die halverwege de helling onderdrut wordt, ligt bij Ω = De eigenfrequentie van de DVA wordt weer aan deze frequentie gelij gesteld. Hierbij is κ = De frequentie-amplitude arateristie is weergegeven in Figuur 5.8. Weer is te zien dat de resonantie bij de eigenhoefrequentie van de DVA naar nul gaat. De responsie is qua vorm gelij aan de vorm bij de onderdruing van de sweep up resonantie pie. Dat voor beide gevallen de responsie echt naar nul gaat, wordt geïllustreerd in Figuur 5.9. Hierin zijn de externe en de DVA rachten die op het systeem weren weergegeven samen met de som van deze rachten, die gelij wordt aan nul Het succesvol toepassen van een ongedempte lineaire DVA op het PWL systeem met speling is dus mogelij. In de volgende sectie wordt onderzocht of op dit systeem oo een gedempte lineaire DVA succesvol an worden toegepast Gedempte DVA In Figuur 4.5 is aangetoond dat de responsie van het lineaire systeem met een gedempte DVA an worden teruggebracht tot X max = Indien bij het PWL systeem de speling groter of gelij aan deze waarde is, is het uiteraard nog steeds mogelij dezelfde DVA als in het lineaire geval toe te passen. Het systeem met DVA gedraagt zich dan immers als een lineair systeem. Dit wordt geïllustreerd in Figuur

37 60 50 DVA X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 5.7: Ongedempte DVA (bij Ω DV A = 1.26) op PWL systeem (S = 5, α = 5) sweep up sweep down 10 X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 5.8: PWL systeem (S = 5, α = 5) met ongedempte DVA (bij Ω DV A = 1.15). 31

38 1 0.8 F( θ) F,dva F( θ) F,dva 0.6 F tot 0.6 F tot rachten [-] rachten [-] θ [-] θ [-] Figuur 5.9: Krachten PWL systeem (S = 5, α = 5) met ongedempte DVA bij Ω = 1.26 (liner figuur) en Ω = 1, 15 (rechter figuur) zonder DVA met DVA speling X max [-] en X min [-] Ω [-] Figuur 5.10: PWL systeem (S = 3.76, α = 5) met gedempte DVA. 32

39 simulatie fit simulatie fit κ [-] β [-] S [-] S [-] Figuur 5.11: Optimale DVA parameters. Lins de speling uitgezet tegen κ. Rechts de speling uitgezet tegen β. In paragraaf is voor het PWL systeem met speling gelij aan nul de optimale gedempte DVA bepaald. Voor waarden van speling groter dan 0 en leiner dan 3.76 zullen de parameters van de DVA een waarde rijgen tussen de waarden van het lineaire en het PWL systeem met speling nul. Voor iedere waarde van de speling an zo een optimale DVA worden ontworpen. Voor een aantal spelingen is dit gedaan. In Figuur 5.11 zijn de optimale waarden voor κ en β weergegeven voor verschillende waarden van de speling. De cirels duiden de resultaten van de simulaties aan. De doorgetroen lijn is een fit door deze waarden. Het is dus mogelij een optimale DVA te ontwerpen voor speling groter dan nul. Voor iedere waarde van de speling an een specifiee DVA ontworpen worden. Als de speling groter dan 3.76 wordt, an volstaan worden met de DVA voor het lineaire systeem. De resonantie is in dit geval leiner dan de speling, waardoor de PWL veer niet wordt betroen bij het systeemgedrag. 33

40 34

41 SYSTEEM MET GRONDEXCITATIE 35

42 36

43 Hoofdstu 6 Bewegingsvergelijingen en responsie van het systeem In hoofdstu 5 is de toepassing van zowel een gedempte als een ongedempte lineaire DVA op het PWL systeem met rachtexcitatie succesvol gebleen. Of succesvolle toepassing van een DVA oo mogelij is bij hetzelfde systeem met grondexcitatie, wordt onderzocht in dit en het volgende hoofdstu. Hierbij wordt met name ingegaan op de toepassing van een ongedempte lineaire en een ongedempte stusgewijs lineaire DVA. In dit hoofdstu wordt alleen ingegaan op de bewegingsvergelijingen en de responsie van het systeem zonder DVA. In het volgende hoofdstu zullen een lineaire en PWL DVA worden toegepast. 6.1 Bewegingsvergelijingen Het systeem met bijbehorende parameters is weergegeven in Figuur 6.1. Hierin is s,dv A de stijfheid van de PWL veer van de ongedempte DVA. De bijbehorende speling van de PWL veer is s DV A. De overige parameters zijn gelij aan de parameters van Figuur 2.1. Op de systeemmassa wert nu geen excitatieracht. Bij dit systeem wordt echter de ondergrond geëxciteerd. Dit gebeurt door een verplaatsing z(t) voor te schrijven. Eerst worden de bewegingsvergelijingen van het systeem met DVA afgeleid in dimensievolle vorm. Vervolgens worden deze omgeschreven naar de dimensieloze vorm. Hieruit unnen de relevante parameters die invloed hebben op de excitatie worden bepaald. Tevens zijn de bevindingen dan weer geldig voor alle hieruit af te leiden dimensievolle systemen Dimensievol In het systeem in Figuur 6.1 wordt de ondergrond geëxciteerd. Dit gebeurt door de verplaatsing z(t) voor te schrijven. Deze is z(t) = z 0 cos(ω e t) (6.1) Hierin is z 0 de amplitude van de excitatie, ω e de excitatie hoefrequentie en t de tijd. De bewegingsvergelijingen van het systeem met DVA zien er als volgt uit mẍ + b(ẋ ż) + b DV A (ẋ ẏ) + (x z) + DV A (x y) +f(x,z,s) g(x,y,s DV A ) = 0 (6.2) 37

44 DVA m DVA s,dva s y DVA m x s b s z(t) Figuur 6.1: PWL systeem met PWL DVA m DV A ÿ + DV A (y x) + g(x,y,s DV A ) = 0 (6.3) Hierin is ż de tijdsafgeleide van z en luidt ż(t) = z 0 ω e sin(ω e t) (6.4) De functies f(x,z,s) en g(x,y,s DV A ) worden gegeven door { 0 als (x z) s f(x,z,s) = s (x z + s) als (x z) < s { 0 als (y x) sdv g(x,y,s DV A ) = A s,dv A (y x + s DV A ) als (y x) < s DV A Deze vergelijingen geven de stusgewijze lineariteiten weer van respectievelij de PWL systeemveer en de PWL veer van de DVA. De waarde van de spelingen wordt niet-negatief verondersteld. Zodra een PWL veer geen contact maat met de massa erboven, is de rachtsbijdrage gelij aan nul. Indien (6.1) en (6.4) worden ingevuld in de bewegingsvergelijingen en de functies f(x,z,s) en g(x,y,s DV A ), ontstaat mẍ + b(ẋ + z 0 ω e sin(ω e t)) + b DV A (ẋ ẏ) + (x z 0 cos(ω e t)) + DV A (x y) + f(x,s) g(x,y,s DV A ) = 0 (6.5) m DV A ÿ + DV A (y x) + g(x,y,s DV A ) = 0 { 0 als (x z0 cos(ω f(x,s) = e t)) < s s (x z 0 cos(ω e t) + s) als (x z 0 cos(ω e t)) < s { 0 als (y x) sdv g(x,y,s DV A ) = A s,dv A (y x + s DV A ) als (y x) < s DV A In de volgende sectie wordt de dimensieloze vorm van de bewegingsvergelijingen afgeleid. 38

45 6.1.2 Dimensieloos Het dimensieloos maen van de bewegingsvergelijingen zal zoveel mogelij op dezelfde manier gedaan worden als in hoofdstu 2. Het dimensieloos maen van de posities van de systeemmassa x en de DVA y an echter niet gedaan worden met F 0 /, omdat er geen constante racht aanwezig is in de bewegingsvergelijingen. Echter an wel geschaald worden met de amplitude van de excitatie z 0. De uitwijingen en tijdsafgeleiden in dimensieloze vorm worden dan X = x z o X = ẋ ω s z o X = ẍ ω 2 sz o Y = y z o Y = ẏ ω DV A z o Y = ÿ ω 2 DV A z o In dimensieloze vorm wordt een afgeleide naar de dimensieloze tijd θ aangegeven met een. De dimensieloze tijd θ is gedefinieerd als θ = ω s t Parameter ω s is de eigenhoefrequentie van het lineaire ongedempte systeem en ω DV A is de eigenhoefrequentie van de lineaire DVA. Deze zijn als volgt gedefinieerd ω s = /m ω DV A = DV A /m DV A Beide spelingen van de massa worden op dezelfde manier dimensieloos gemaat als de uitwijingen S = s z o S DV A = s DV A z o Om vergelijingen (6.3), (6.5) en bijbehorende functies dimensieloos te maen, wordt wederom gebrui gemaat van de dimensieloze excitatie hoefrequentie Ω Ω = ω e /ω s Hieronder wordt alleen het resultaat gegeven van het dimensieloos maen. In bijlage A is de gehele afleiding gegeven. Het resultaat van de afleiding is X + 2ζ(X + Ω sin(ωθ)) + (X cos(ωθ)) + κ(x Y ) +F(X,S) G(X,Y,S DV A ) = 0 (6.6) µy + κ(y X) + G(X,Y,S DV A ) = 0 (6.7) { 0 als (X cos(ωθ)) S F(X,S) = α(x cos(ωθ) + S) als (X cos(ωθ)) < S { 0 als (Y X) SDV G(X,Y,S DV A ) = A α DV A (Y X + S DV A ) als (Y X) < S DV A Hierin hebben de dimensieloze parameters de volgende waarden α = s κ = DV A α DV A = s,dv A 39

46 Tabel 6.1: Dimensieloze systeemparameters systeem met grondexcitatie systeemparameter Waarde Verlaring α 5 verhouding veerstijfheid PWL systeemveer en lineaire systeemveer α DV A 0.5* verhouding veerstijfheid PWL veer van de DVA en lineaire systeemveer ζ 0.03 Dimensieloze dempingsconstante κ 0.1* verhouding veerstijfheid lineaire veer DVA en systeemveer µ 0.1 Verhouding massa DVA en systeemmassa S 0 Dimensieloze speling van de PWL systeemveer S DV A 0 Dimensieloze speling van de PWL veer van de DVA * Deze parameters worden in waarde gevarieerd en zijn dus niet constant. Het getal onder Waarde geeft een richtlijn aan. ζ = b 2 m µ = m DV A m Parameter α geeft de verhouding tussen de PWL veer van het systeem en de lineaire systeemveer. Parameter α DV A is de verhouding van de PWL veer van de DVA ten opzichte van de lineaire systeemveer. Parameter κ is de verhouding tussen de lineaire veren van de DVA en de systeemmassa. Parameter ζ is de dempingscoëfficiënt van de systeemmassa en µ is de verhouding tussen de massa van de DVA en de systeemmassa. In de volgende paragraaf zal de responsie van het systeem worden geanalyseerd met behulp van bovenstaande dimensieloze bewegingsvergelijingen. In het volgende hoofdstu zal de toepassing van de DVA worden besproen. 6.2 Responsie systeemmassa In deze paragraaf wordt de responsie van het systeem nader beeen. Dit zal voor zowel het lineaire als het PWL systeem worden gedaan. De frequentieamplitude arateristie wordt steeds numerie bepaald. De gebruite parameterwaarden staan vermeld in tabel 6.2. Deze waarden omen voor een groot deel overeen met de waarden uit tabel Lineair systeem Het lineaire systeem ent twee varianten, namelij het ongedempte en het gedempte systeem. Aangezien het ongedempte systeem in dimensieloze vorm overeenomt met het ongedempte systeem met rachtexcitatie, zal de responsie hetzelfde zijn. In geval van een gedempt systeem omt er een extra term bij. Deze is afhanelij van de dimensieloze dempingsfactor ζ. Doordat het systeem zwa gedempt is, zal deze extra term een geringe bijdrage leveren. In Figuur 6.1 is voor beide gevallen de responsie van het systeem weergegeven. Op het oog is de responsie precies gelij aan de responsie van het systeem met 40