Dynamica van de logistische afbeelding. chaos 08-09

Transcriptie

1 Dynamica van de logistische afbeelding. chaos Daniël Wedema January 12, inleiding In 1976 publiceerde May een artikel waarin hij liet zien dat hele simpele nietlineaire dynamische systemen chaotisch gedrag kunnen vertonen. Vanuit de ecologie was May geïnteresseerd in de evolutie van groepen dieren. Het model dat hij gebruikte voor de grootte van groepen dieren in opeenvolgende generaties was de logistische afbeelding, x n+1 = µx n (1 x n ). In tegenstelling tot de simpele formulering is de dynamica van de logistische afbeelding in sommige gevallen erg ingewikkeld en, zoals we later zullen zien, zelfs chaotisch. In dit verslag zal ik proberen de dynamica voor een deel bloot te leggen, en te achterhalen waardoor dit gedrag ontstaat. De dynamica van een afbeelding is te analyseren door te kijken naar de attractoren. Er zijn in het algemeen 3 typen attractoren te onderscheiden: stationaire, periodieke en chaotische attractor. Ik zal eerst een korte beschrijving geven van waar de afbeelding vandaan komt en hoe hij zo simpel mogelijk te schrijven is. Vervolgens laat ik zien hoe en waar de 3 typen attractoren in de logistische afbeelding te vinden zijn en hoe ze er uit zien. Ook zal ik een beschrijving geven hoe chaos in deze afbeelding kan meten. 2 ontstaan van de afbeelding Een simpele modellering van de groepsgrootte over verschillende generaties wordt gegeven door y n+1 = y n (a by n ) (1) Hierin staat y n voor de groepsgrootte op tijdstip n, a voor de hoeveelheid nakomelingen die ieder individu gemiddeld krijgt en b staat voor beperkende factoren zoals voedseltekort door overbevolking of een hoger sterftecijfer etc. Voor b = 0 is er sprake van exponentiele groei, en is de oplossing te schrijven als y n = a n y 0. Voor b > 0 is het niet direct triviaal wat het gedrag zal zijn. 1

2 Door nu x = by/a te nemen is de recursieve vergelijking te schrijven als x n+1 = f(x n ) = µx n (1 x n ) (2) en is de afbeelding nog maar afhankelijk van 1 parameter (µ = a2 b ). Deze afbeelding heeft nulpunten op x = 0 en x = 1, en dus ligt de top op x = 0.5. De maximale waarde van x die haalbaar is voor een gegeven µ is te vinden via f(0.5) = µ/4. Dit betekent dat µ niet groter mag zijn dan 4 om er voor te zorgen dat het interval (0, 1) wordt afgebeeld op zichzelf. Als µ wel groter wordt gekozen zullen sommige evoluties naar oneindig gaan. 3 dynamica 3.1 stationaire attractor De dekpunten van een afbeelding zijn de snijpunten van y = f(x) met de lijn y = x en zijn dus te vinden als oplossing van f(x) = x (3) In dit geval leidt dat tot x(µ(1 x) 1) = 0. Hieruit vinden we het triviale dekpunt x = 0 en links en rechts delen door x levert het tweede dekpunt x = 1 1/µ. Een dekpunt is een stationaire attractor als geldt df(x) 1 (4). De evolutie convergeert in dat geval lineair naar de attractor. Een speciaal geval is f (x) = 0, in dit geval zal de evolutie kwadratisch convergeren en dit wordt ook wel een superstabiele attractor genoemd. Voor een attractor geldt dat ieder punt wat er dicht bij in de buurt komt er dicht bij in de buurt zal blijven, ook als het lichtelijk verstoord wordt. Als een dekpunt geen attractor is, zal iedere minimale afwijking van dit punt juist zorgen voor divergentie. De afgeleide van de logistische afbeelding wordt gegeven door d f(x) = µ(1 2x) (5) Voor x = 0 levert dat f (0) = µ en dus is dit dekpunt een stationaire attractor voor 0 µ 1. Het punt x = 1 1/µ heeft als helling f (1 1/µ) = 2 µ. Dit dekpunt wordt een attractor voor µ 1 (alle beginwaarden convergeren naar x = 1 1/µ) en verliest zijn stabiliteit als µ > 3. 2

3 Figuur 1: de attractoren voor 0 < µ < periodeverdubbelingen Voor µ > 3 zijn er geen stationaire attractoren meer, beide dekpunten zijn onstabiel geworden. Als we kijken naar de evolutie zien we een nieuw soort evolutie; na 2 tijdstappen herhaalt het traject zichzelf. Er is dus sprake van een cyclische attractor met periode 2. Voor periode 2 betekent dat f(x 0 ) = x 1 en f(x 1 ) = x 0, Of anders gezegd, de vergelijking f(f(x)) = x levert de dekpunten, en de verzameling stabiele dekpunten van deze afbeelding is de attractor. In het vervolg zal ik de notatie f (2) (x 0 ) = f(f(x 0 )) = x 2 gebruiken. De stabiliteit is nog steeds volgens (4) te vinden, alleen hebben we nu niet f (1) (x), maar f (2) (x) waar we de afgeleide van moeten vinden. Volgens de ketting regel is dit in het algemeen te schrijven als df (n) (x) Voor het geval n = 2 levert dit = n i=1 f (2) (x) = f (f(x)) f (x) df (i) df (i 1) (6) = µ(1 2f(x)) µ(1 2x) (7) Voor µ > 1+ 6 zijn alle dekpunten van de periode 2 attractor ook onstabiel geworden, en treedt er een nieuwe periodeverdubbeling op. De functie die nu stationaire attractoren zal hebben is f (2) (f (2) (x)) = f (4) (x). Dit is een achtste graads polynoom, en het vinden van de dekpunten en hun helling wordt vanaf nu erg lastig. 3

4 Deze reeks van periode verdubbelingen zal doorgaan tot in het oneindige, met telkens een periode 2 n. Figuur 2: de attractoren voor 2.9 < µ < feigenbaum-constante Ook al gaat de periodeverdubbeling door tot in het oneindige, de intervallen waarop attractoren stabiel zijn worden steeds korter. Feigenbaum ontdekte in 1978 dat de ratio van opeenvolgende intervallen naar een constante convergeren. Als µ j de punten zijn waarop een bifurcatie optreedt, dan is de feigenbaum constante gedefinieerd als δ = lim j µ j 1 j > µ j+1 µ j µ. Deze limiet komt uit op ongeveer Een andere manier om dit te zeggen is dat µ j = µ j µ j 1 Cδ j. Feigenbaum suggereerde dat deze schaling niet alleen voor de logistische afbeelding gold, maar voor een hele familie van afbeeldingen. Dit concept is later bewezen door Lanford (1982) en Epstein (1985). Feigenbaum gebruikte het idee van renormalizatie, waarbij hij een hele rij functies definieert die elkaar in de limiet benaderen. Het idee is dat voor grote waarden van k, juist geschaalde versies van de functies fµ 2k 1 k en fµ 2k j+1 elkaar zouden moeten benaderen rond het punt x = 0. Dit leidt tot de vergelijking g(x) = αg(g(x/α)) (zie ook Coppersmith(1998)). Iedere functie die aan die vergelijking voldoet heeft dezelfde schalingsconstanten, en behoren dus tot dezelfde groep. 3.3 chaos Doordat de intervallen steeds kleiner worden, wordt er op den duur een waarde µ bereikt waarop de period oneindig is. Vanaf dit punt gaat de attractor over van periodiek naar chaotisch. In dit gebied zal een evolutie zichzelf nooit herhalen. Ook is de afbeelding in dit gebied erg gevoelig voor begincondities. 4

5 Figuur 3: de attractoren voor 3.4 < µ < meten van chaos Sinds de ontdekking van chaotisch gedrag zijn er meerdere pogingen geweest om deze chaos te meten. De meeste methodes meten de gevoeligheid voor begincondities. In deze sectie zal ik twee methodes beschrijven. Een veelgebruikte methode is het vinden van lyapunov exponenten. Stel dat we een meting doen van een systeem, en een schatting x 0 krijgen, in deze meting zal vaak een kleine error x zitten. De echte waarde van het systeem wordt dus gegeven door x 0 = x 0 + x 0. Van belang is nu de vraag hoe deze error zich over tijd zal gedragen. Als hij te groot wordt kunnen we niets meer zeggen over de werkelijke toestand van ons systeem. Om een schatting te maken van de evolutie van deze error zou je dus 2 punten moeten nemen die vlak bij elkaar liggen, en kijken hoe de afbeelding de error, de afstand tussen deze twee punten, vergroot. De grootte van x n is te schrijven als x n x 0 e n λ. Hierin is λ de lyapunov exponent. λ > 0 wil zeggen dat de evolutie chaotisch is, λ < 0 is een stabiele evolutie. De exponent is te schrijven als λ = lim 1/n ln x n n x 0 0 x 0 = lim n 1/n ln df (n) (x) Als we hierin de afgeleide uit (6) invullen, wordt dit voor de logistische (8) 5

6 afbeelding: λ = lim t, x 0 0 1/n ln i df (i) (x) = ln i µ 2 µ x i = i ln µ 2 µ x i (9) Om de lyuapunov exponent uit te rekenen neem je een punt x 0 op de attractor. Vervolgens volg je deze over n tijdstappen, en berekent in ieder punt x i de afgeleide. De exponent volgt uit (9). In figuur 4 is het resultaat te zien. Duidelijk is te zien hoe λ 0 als de afbeelding periodiek is en λ > 0 als hij niet periodiek is. Als er geen exacte formulering is voor de afgeleide in ieder punt, en je dus moet vertrouwen op tijdseries, dan is het lastiger om de lyapunov exponent te berekenen. Een methode om toch een schatting te geven kan met behulp van reconstructievectoren, waarmee je de functie als een piecewise linear functie kan benaderen [1]. Figuur 4: lyapunov exponent λ in het groen als functie van µ. Waarden voor λ < 0.1 zijn afgekapt op 0.1. De horizontale zwarte lijn is de lijn λ = 0. Een andere verwante methode is ontwikkeld door Broer en Takens (zie ook [1]). Deze methode berekent de zogenaamde dispersie exponent op basis van 1 evolutie. E(s, ɛ) = max 0< x n+s x m+s <ɛ E = lim s ɛ 0 x n+s x m+s x n x m (10) 1 ln E(s, ɛ) (11) s 6

7 Deze methode evalueert 1 evolutie op basis van het principe dat wat in het verleden gebeurde zich waarschijnlijk in de toekomst zal herhalen. Om te kunnen voorspellen wat zich waarschijnlijk in de toekomst zal gaan gebeuren zoek je een tijdstip waarop x n maximaal ɛ verschilde van de huidige toestand x m. Het zal niet mogelijk zijn om exact te kunnen voorspellen wat er met x m zal gebeuren in de toekomst, vanwege de onnauwkeurigheid in de schatting x n uit het verleden. Deze onnauwkeurigheid zal in de toekomst vergroot worden. De maximale factor waarmee de error wordt vergroot is een maat voor de dispersie. De dispersie exponent wordt vervolgens gevonden met (11). De exponent kan 3 verschillende waarden aannemen in de limiet voor s en ɛ 0. Als E 0, dan is er sprake van een stationair of periodiek gedrag. Als E <, dan is er sprake van chaos. E = komt alleen voor bij nietdeterministische evoluties periodieke vensters Ondanks dat we nu vol in het chaotische bereik zitten met µ > µ blijken er toch nog opeens waarden te zijn voor µ waarop de attractor weer periodiek is. Dit is duidelijk te zien aan de periodieke vensters in figuur 3. Tot nu toe hebben we alleen nog maar gekeken naar de afbeeldingen die periodiek gedrag veroorzaakten, dit waren de functies f (2), f (2),..., f (2n). Maar er zijn nog erg veel tussenliggende functies die we nog niet bekeken hebben, maar die wel attractoren kunnen hebben. Stel dat we kijken naar de afbeelding f (3) (x). Eventuele stationaire attractoren op deze afbeelding zouden overeenkomen met een periode 3-cyclus. Uit figuur 3 is te zien dat er een klein interval zou moeten zijn voor µ waarop deze afbeelding 3 stabiele attractoren heeft. Myrberg (1958) liet zien dat dit gebeurt voor µ = (2) Ook deze attractor zal op den duur onstabiel worden, en zal overgaan in de attractoren van f (6). Op deze manier ontstaat er weer een periodeverdubbeling op waarin alle periodes 3 2 k voorkomen. Dit gaat wederom door tot een maximum waarde, waarna er weer chaos optreedt. Voor de afbeelding f (5) treedt hetzelfde effect op, alleen op een ander, kleiner, interval. Op deze manier komen alle periodes 1, 2, 3,... in de afbeelding voor. 4 conclusie In dit verslag heb ik laten zien hoe de dynamica van de logistische afbeelding eruit ziet, en wat de voornaamste redenen hiervoor zijn. Ook heb ik laten zien hoe de chaos in de afbeelding is te analyseren en numeriek te benaderen met behulp van de lyapunov- en dispersie-exponenten. 0 µ < 3: er is stationair gedrag (als µ < 1 gaat de evolutie altijd naar 0, anders naar 1 1/µ). 3 µ < µ : er is periodiek gedrag met periodeverdubbelingen (bv. bij µ = 1 + (6) begint periode 4). 7

8 µ > µ : er is voornamelijk chaotisch gedrag, met uitzondering van de periodieke vensters die ontstaan als gevolg van zadel-knoop bifurcaties (bv. bij µ = (2) begint periode 3). 5 literatuur [1 ] H.W. Broer, F. Takens, Dynamical Systems and Chaos, (2009) [2 ] R.M. May, Simple methematical models with very complicated dynamics, Nature (1976) [3 ] M.J. Feigenbaum, Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Stat. Phys. 19, (1978) [4 ] S.N. Coppersmith, A simpler derivation of Feigenbaum s renormalization group equation for the period-doubling bifurcation sequence, American Journal of Physics 67, (1999) 8