Voorblad bij Tentamen

Transcriptie

1 Studentnaam: Studentnummer: Voorblad bij Tentamen (in te vullen door de examinator) Vaknaam: Inleiding Werktuigbouwkunde Vakcode: 4GA01 Datum: Begintijd: 9:00 Eindtijd: 10:30 Aantal pagina s: 4 Aantal vragen: 4 Aantal te behalen punten/normering per vraag: Totaal 100 punten. Vraag 1, 3, 4: 30 punten per vraag; Vraag 2: 10 punten. Wijze van vaststellen eindcijfer: aantal punten delen door 10 Wijze van beantwoording vragen : open vragen Inzage: Via aan m.a.reniers@tue.nl Overige opmerkingen: Tentamenopgavenblad mag meegenomen worden Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook Rekenmachine Grafische rekenmachine Dictaat/boek 1 A4-tje met aantekeningen Woordenboek(en). Zo ja, welke: Anders, namelijk: Theoriedictaat met aantekeningen daarin Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend / uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij regeling centrale tentamenafname TU/e

2 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Werktuigbouwkunde Tentamen Inleiding Werktuigbouwkunde (4GA01) 30 Oktober, 2015, 9:00 10:30. Opmerkingen vooraf: Werk de opgaven in stappen uit. Alleen het correcte antwoord, zonder uitwerking en tussenstappen, levert geen punten op! Werk zolang mogelijk in symbolen en vul pas aan het einde getallen in! Meteen getallen opschrijven zonder voorafgaande symbolische formule (zodat onduidelijk is wat die getallen voorstellen) levert NUL punten op! Als u een gegeven mist dat noodzakelijk lijkt voor een berekening (omdat u bijvoorbeeld het vorige onderdeel van de opgave niet heeft kunnen maken), doe dan een redelijke aanname. Laat duidelijk blijken dat u die aanname maakt. Schrijf duidelijk en leesbaar. Onleesbaar werk kan niet worden gecorrigeerd. 1. Eenvoudig dynamica model In deze opgave beschouwen we een eenvoudig dynamisch model van een massa-veer-demper-systeem onder invloed van de zwaartekracht: massa m die met een veer k en een demper d aan een horizontaal oppervlak is bevestigd. Dit is schematisch weergegeven in de figuur. Neem aan dat het blok een massa m = 1 [kg] heeft, dat de veer een stijfheid k = 3 [N/m] heeft en dat de dempingsconstante d = 4 [Ns/m] is. De kracht die op de massa wordt uitgeoefend is de zwaartekracht g. a) Toon aan dat de bewegingsvergelijking, die de verticale beweging van de massa beschrijft, als volgt is: ẍ + 4ẋ + 3x = g Antwoord (5 punten): Op massa m werken opwaartse krachten F d en F v (in negatieve x-richting) en neerwaartse kracht F (in positieve x-richting). We weten F = m a en F v = k x en F d = d ẋ. Vanwege F F d F v = m ẍ krijgen we dan F = m ẍ + d ẋ + k x = m g. Invullen m, d en k gefet, ẍ + 4 ẋ + 3 x = 9.

3 b) Is dit systeem boven-kritisch of onder-kritisch gedempt? Antwoord (10 punten): Bovenkritische gedempt. ξ = d = 4 k m 2 = 3 1 = 1, 155. Aangezien ξ > 1 is het systeem boven-kritisch gedempt. Neem aan dat de responsie voor het eerste deel van de beweging van de volgende vorm is: x(t) = Ae t + Be 3t + C [m] c) Bereken de constanten A, B, en C ervan uitgaande dat x(0) = 0 en ẋ = 0. Antwoord (10 punten): Uit x(0) = 0 leiden we af dat A e 0 +B e 0 +C = 0, dus A + B + C = 0. Uit ẋ(0) = 0 en ẋ(t) = A e t 3B e 3t leiden we af dat A 3B = 0. Uit ẍ(t) = A e t + 9B e 3t en ẍ(0) = g leiden we af A + 9B = g. Rekenen levert dan B = 1/6 g, A = 1/2 g en C = 1/3 g. d) Teken in een x-t-diagram het verloop van de positie tegen de tijd. Geef in het diagram de belangrijkste parameters weer. Antwoord (5 punten): Algemene vorm is lijn door (0,0) eerst licht stijgend dan sneller stijegend en dan weer langzamer stijgend naar x waarde 1/3 g. 2. Druk in een pijp Beschouw de ronde pijp uit het figuur. Vloeistof stroomt door de pijp van links naar rechts (zoals aangegeven door de richting van de pijlen). De doorsnede van de pijp op punten 1 en 3 is 20 [mm] en op punt 2 is deze 8 [mm]. Bepaal in welke van de punten (het kunnen er meerdere zijn) de druk het grootst is. Antwoord (10 punten): De druk is het grootst in de punten 1 en 3. Volgens de continuiteitsvergelijking moet het zo zijn dat A 1 v 1 = A 2 v 2 = A 3 v 3. Hieruit volgt direct dat de snelheden v 1 en v 3 even groot zijn (aangezien de doorsneden A 1 en A 3 even groot zijn). Hieruit volgt ook dat snelheid v 2 groter is dan snelheden v 1 en v 3 (aangezien A 2 kleiner is). De punten 1 en 2 liggen op een stroomlijn. Volgens Bernouilli hebben we dan P 1 + ρ g h ρ v2 1 = P 2 + ρ g h ρ v2 2. Aangezien beide punten

4 op dezelfde hoogte liggen, vallen de termen met daarin de hoogte tegen elkaar weg: P ρ v2 1 = P ρ v2 2. Aangezien v 2 groter is dan v 1, moet het wel zo zijn dat P 1 groter is dan P Industriële waterkoker M.b.v. een brander willen we een reservoir water met 10 [kg] water (c = 4.2 [kj/kgk]) aan de kook brengen. We plaatsen het reservoir op de brander. We willen het water binnen 2 minuten op 100 [ C] gebracht hebben. Het water is initieel 10 [ C]. Experimenteel blijkt dat 65% van de verbrandingswarmte wordt overgedragen aan het water. a) Bereken het vermogen dat de brander moet leveren om aan de gestelde eisen te kunnen voldoen? Verwaarloos hierbij de warmte-inhoud van het reservoir zonder water. Antwoord (5 punten): Q = m c T = 10 4, (100 10) = 3, [J]. P nuttig = Q t = 3, = [W]. η = P nuttig P verbruikt 100 = 65, dus P verbruikt = P nuttig 0.65 = 48, [W] = 48,46 kw Als brandstof gebruiken we butaan: C 4 H 10. Daarvan is bekend dat de molaire massa 58 [g/mol] is en de vormingsenergie [kj/mol]. b) Schrijf de reactievergelijking op voor de volledige verbranding van butaan met zuurstof. Antwoord (5 punten): We zoeken a, b, c, en d in a C 4 H 10 + b O 2 c CO 2 + d H 2 O zodanig dat het alle vier gehele getallen zijn en alle atomen links en rechts in gelijke hoeveelheden voorkomen. Dus 4a = c, 10a = 2d, 2b = 2c + d. Hieruit volgt c = 4a, d = 5a, 2b = 13a. Dus, om gehele getallen te krijgen, nemen we a = 2, b = 13, c = 8 en d = 10. De resulterende reactievergelijking is dan: 2 C 4 H O 2 8 CO H 2 O c) Bereken de hoeveelheid energie die vrijkomt bij de verbranding van 1 [kg] butaan.

5 Antwoord (10 punten): Voor de vorming van één kg butaan met molaire massa 58 [g/mol] is 1000/58 = 17,24 [mol] butaan nodig. De hoeveelheid energie die er vrij komt bij verbranding van 2 mol butaan kan m.b.v. de reactievergelijking bepaald worden: E vrij = (H na H voor ) met H na = 8 393, , = [J] en H voor = 2 124, = 248, [J]. Dit geeft E vrij = 5317, [J]. De hoeveelheid energie die dus vrij komt is 17, 24 (1/2 5317, ) = 45, [J]. Maak gebruik van het Theorieboek, voor de vormingsenergieën van enkele brandstoffen. In deze brander maken we gebruik van een voorgemengde vlam. Het gasmengsel wordt aangevoerd door een ronde leiding. d) Bereken hoeveel kg lucht er nodig is voor stoichiometrische verbranding van 1 kg butaan als we aannemen dat 20 massa-procent van de lucht uit zuurstof bestaat? Antwoord (5 punten): Één kilo butaan bestaat uit 17,24 mol butaan. Voor de verbranding daarvan is 13/2 maal zoveel mol zuurstof nodig. Dit is dus 112, 07 mol zuurstof. De massa van 112,07 mol zuurstof is 112, = 3, 586 kg zuurstof. Aangezien in lucht 20 % zuurstof aanwezig is is er dus vijf maal zoveel massa aan lucht nodig. Dit geeft 17, 93 kg lucht. e) Bereken met welke massastroom het gasmengsel moet worden toegevoerd om het eerder berekende vermogen te kunnen leveren? Antwoord (5 punten): Het (berekende) benodigde vermogen is 48,46 [kj/s]. Verbranding van één mol butaan levert 1/2 5317, 4 = 2658, [J]. Het aantal mol butaan dat verbrand moet worden om het benodigde vermogen te halen is dan 48, , = 0, mol butaan. Dus is er een massastroom van 0, ,24 17, 93 = 0, [kg/s] = 19,0 [g/s] nodig.

6 4. Trillingsgedrag Een bijna wrijvingsloze geleiding kan bewerkstelligd worden door gebruik te maken van luchtlagering. Er zijn verschillende uitvoeringen op de markt. In de figuur ziet u een veelgebruikte uitvoering. De geleiding (guide) is vaak een granieten plaat. In de bewegende slede (table) zit een opening waardoor lucht gepompt wordt. Bij voldoende druk komt de slede los van de geleiding en bevindt zich er een luchtfilm tussen de geleiding en de slede. In deze opgave willen we het trillingsgedrag van de luchtlagering onderzoeken. We doen daartoe een aantal experimenten. Opmerking: In werkelijkheid vertoont een luchtlagering complex niet-lineair dynamisch gedrag. In deze opgave benaderen we de luchtlagering als een lineair massa-veer-demper-systeem. Allereerst meten we een verandering in statische doorzakking. De slede heeft een massa van m = 25 [kg]. Bij een luchtdruk p 1 is de afstand d tussen de slede en de geleiding [mm]. We plaatsen een extra massa van m 2 = 15 [kg] op de slede, de afstand d tussen de slede en de geleiding (bij gelijke luchtdruk) neemt af tot [mm]. a) Bepaal de stijfheid van de luchtlagering bij luchtdruk p 1. Antwoord (10 punten): Uit x = F volgt k = F. We hebben x = 0, 824 k x 0, 830 = 0, 006 [mm] en F = (15 9, 81) [N]. Dus k = 15 9,81 = 24, , [N/m]. Vervolgens verwijderen we de extra massa weer en meten de afstand d van de slede tot de geleiding met behulp van laserinterferometrie. De afstand d is als functie van de tijd weergegeven in onderstaande figuur. b) De trillingstijd van de trilling bedraagt [s]. Ga na dat dit overeenkomt met de bovenstaande grafiek. Bepaal de hoekfrequentie van de trilling.

7 Antwoord (5 punten): Volgens de grafiek zijn er 4 trillingen in 0,025 s. De trillingstijd is dus 0,025 = 0, Dus klopt wel ongeveer. 4 k ω n = = 24, = 990, 45 [rad/s] m 25 c) Bereken de dempingsfactor ζ. Antwoord (10 punten): Gegeven is dat ω d = ω n 1 ζ 2. Dus 1 ζ 2 = ω d Dus ζ = 1 ω d 2 ω n. We hebben ω n = 990, 45 (zie vorige opgave). We berekenen ω d a;s volgt: ω d = 2π T d = 2π = 981, 75. 0,0064 Uiteindelijk krijgen we dus ζ = 1 981, ,45 = 0, ω n 2. De luchtlagering reageert het heftigst op trillingen die in de buurt liggen van zijn (on)gedempte eigenfrequentie. Vaak is het gewenst om deze eigenfrequentie zo hoog mogelijk te hebben. d) Hoe kunnen we de eigenfrequentie van dit luchtgelagerde systeem omhoog brengen zonder de luchtdruk te veranderen? Antwoord (5 punten): massa verlagen, want dan wordt k groter, en ook m wordt groter en daarmee natuurlijk ook ω n. k m