Parametervariatie voor Cell-Mapping: Toepassing op een 1-DOF model van een draagbare CD-speler. Rob de Bruyn. Rapportnummer: WFW-93.

Transcriptie

1 Parametervariatie voor Cell-Mapping: Toepassing op een -DF model van een draagbare CD-speler. Rob de Bruyn Rapportnummer: WFW-9.

2 Parametervariatie voor Cell-Mapping: Toepassing op een -DF model van een draagbare CD-speler. auteur: Rob de Bruyn stagebegeleider: J.A.W. van der Spek Eindhoven, januari 994 VAKGREP FUNDAMENTELE WERKTUIGKUNDE FACULTEIT WERKTUIGBUWKUNDE TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHVEN

3 Inhoudsopgave Inhoudsopgave Samenvatting Symbolenlij st. Inleiding. Modellering van de CD-speler. Simple Cell Mapping. Inleiding. Discretisatie van de toestandsruimte. Systeemevolutie.4 Toepassing van SCM op de CD-speler 4. Parametervariatie met PARVAR 4. Inleiding 4. Methode Vergelijking van SCM en PARVAR Conclusies Aanbevelingen Literatuur Bijlagen A tot en met J.

4 Samenvattins Samenvatting In dit verslag worden, met behulp van de Simple-Cell- Mapping-methode (SCM), attractoren (stabiele oplossingen) en attractiegebieden bepaald van een -dof-model van een harmonisch geexciteerde, portable cd-speler. In de context van SCM worden attractoren gerepresenteerd door een (verzameling) cel(en) in het fasevlak. De bijbehorende verzameling van cellen, die leiden tot die oplossing, representeert het attractiegebied. Door het variëren van systeemparameters kunnen er veranderingen in de oplossingen (in vorm, grootte,aantal, stabiliteit of soort) optreden. Met behulp van het programma PARVAR kan de vormverandering van attractiegebieden, als gevolg van parametervariatie, bepaald worden. PARVAR is ook in staat om het verdwijnen van oplossingen te voorspellen. Dit programma stelt ons in staat om de gevoeligheid van oplossingen ten opzichte van bepaalde parameters te bekijken. Doel van deze stage is het testen van PARVAR. De attractiegebieden, verkregen met PARVAR, kunnen vergeleken worden met de attractiegebieden, verkregen met een Simple-Cell-Mapping-som die gedraaid is bij de gevarieerde systeemparameters. Er blijkt dat, wanneer de systeemparametervariatie niet groter is dan lo%, de attractiegebieden van beide methoden vrijwel overeenkomen, maar dat de methode die gebruik maakt van PARVAR ongeveer keer sneller is dan de SCM-methode. Deze verkorting van rekentijd levert vooral voordelen op wanneer veel cellen beschouwd worden en/of bij systemen met meerdere ( of meer) graden van vrijheid. De nauwkeurigheid van PARVAR is mede afhankelijk van de soort parameter die gevariëerd wordt.

5 Symbolenliist Symbolenlijst amp~itucie van de excitatie dempingsconstante veerconstante o t * x hoeksnelheid tijd positie snelheid I

6 Inleidincl Inleiding Er bestaat een methode, die van een niet-lineair dynamisch systeen alle periodieke en niet-periodieke opiossingen kan vinden: Cell Mapping[l]. Tevens worden hiermee de attractiegebieden bepaald voor de stabiele oplossingen, ook wei attractoren genaamd. m deze methode toe te kunnen passen dient de toestandsruimte opgedeeld te worden in cellen. m nauwkeurige berekeningen uit te kunnen voeren dienen deze cellen klein te zijn. Hoe kleiner de cellen, des te nauwkeuriger de berekeningen, maar des te meer rekentijd er nodig is. Wanneer voor een vaste systeemparameterset een SCM uitgevoerd is en de attractoren en attractiegebieden bepaald zijn, willen we graag weten wat er met het systeem gebeurt voor een andere set parameters. Een manier is uitvoeren van een nieuwe SCM met de nieuwe set parameters, maar dat kan veel tijd kosten. Een andere manier is het gebruik van PARVAR. PARVAR is een programma dat, met informatie uit een eerder gemaakte SCM, een parametervariatie uitvoert en de nieuwe attractiegebieden uitrekent die horen bij de gevarieerde systeemparameterset. Hoewel PARVAR ook gebruik maakt van SCM, worden bij deze methode veel minder cellen beschouwd en vergt PARVAR derhalve minder rekentijd. In dit verslag worden deze snellere methode en het bijbehorende programma PARVAR beschreven en getest op een model van een portable CD-speler. Eerst wordt een SCM gedaan. p de resultaten hiervan worden kleine parameter-variaties uitgevoerd met PARVAR. Controle op de resultaten van PARVAR gebeurt weer door het uitvoeren van een SCM met de nieuwe waarden voor de systeemparameters.

7 Modellerins van de CD-speler 4. Modellering de portable CD-speler. We beschouwen een portable CD-speler, hangend aan een draagriem om de schouder van een jogger. We veronderstellen dat het ophangpunt (de schouder) harmonisch geëxciteerd wordt met amplitude a en frequentie f. Het systeem heeft één graad van vrijheid, x, welke de verticale positie van de CD-speler aangeeft. De draagriem wordt gerepresenteerd door een éénzijdige veer met veerconstante k en een éénzijdige demper met dempingsconstante b. De CD-speler heeft massa m. p het systeem werkt nog de zwaartekracht met versnelling g.een schematische voorstelling van het systeem wordt gegeven in figuur.. Figuur.. Een schemat i sche voorstelling van de CD-speler. De bewegingcvergelijking luidt : met: 6 = a-sin (o t) -x( t) (.) en: s>o H(6) = i o s<o

8 Modellerinq van de CD-speler 5 De tijd wordt dimensieloos gemaakt met: = at. De positie wordt dimensieloos gemaakt met: De snelheid wordt gegeven door: met x(t) = a.4 (). (.) (t) = a.e/(z)*o, (.4) Voor de versnelling geldt dan: (t) = a-t (.c) -o. (.5) Verder geldt: 6 = a.(sin(z) -4 ()), (.6) De bewegingsvergelijking, in dimensieloze vorm, luidt nu : Na invullen van (.5),(.6) en (.7) in (.8) levert dit: E (7) = -- g + H(6).[-- k d (sin() a-o m-o mu - E (7) ) +- (cos (7) -E (T) ) I

9 Simple Cell Mamincl 6.Simple Cell Mapping. Inleiding Voor het gebruik van de SCM-methode wordt een toestandsvariabele, die een deel van de toestand van een dynamisch systeem beschrijft, niet beschouwd als een continuum, liiâaï als se= grootheid, die slechts discrete waarden kan aannemen.de gehele toestandsruimte van het systeem moet dan beschouwd worden als een discrete verzameling van cellen; de cel-toestandsruimte. Voor meer informatie wordt de lezer verwezen naar [l].. Discretisatie van de toestandsruimte De toestand van een dynamisch systeem ligt meestal binnen een deelverzameling van de gehele toestandsruimte. Deze deelverzameling, a, delen we op in M rechthoekige cellen, het overige deel laten we buiten beschouwing en heet de sink-cell. Iedere cel krijgt een index, lopend van tot M. De toestand van het systeem wordt nu niet meer beschreven door een vector x(t), maar door de index van een cel die deze toestand bevat. t(n)=j * x(n0 e celj waarbij n=0,,,.. en T de tijd tussen twee toestandsbeschouwingen voorstelt. Figuur. toont een schematische discretisatie van een -dimensionale toestandsruimte. I * Y Y Figuur.. Schematische voorstelling van de toestandsruimte.

10 Simple Cell Mappinq 7. Systeemevolutie We nemen aan dat de evolutie van het systeem uitgedrukt kan worden door de volgend-e relatie: waarbij C een afbeelding is van N -f N. Van een cel <(n) wordt, door middel van integratie van de bewegingsvergelijking(en) over een periode T, de beeldcel <(n+l) bepaald. Relatie. is dan geldig wanneer T gelijk is aan de periodetijd T van het onderzochte systeem. We onderscheiden verschillende soorten cellen: een evenwichtscel is een cel die na één stap op zichzelf wordt afgebeeld. Een periodieke cel is een cel die na m stappen op zichzelf afgebeeld wordt en heet daarom een P-m-cel. Een transiente cel is een cel die niet periodiek is. Wanneer van iedere cel de beeldcel bepaald is kunnen de cellen ingedeeld worden in groepen. Een oplossing wordt gerepresenteerd door een groep periodieke cellen. Alle transiente cellen die leiden tot die oplossing vormen het attractiegebied van die oplossing. Niet-periodieke (chaotische) bewegingen kunnen gerepresenteerd worden door een relatief grote groep periodieke cellen. Wanneer een groep periodieke cellen gevonden is kan met numerieke integratie onderzocht worden wat deze groep voorstelt (bv. periodiek of chaotisch gedrag).

11 Simple Cell Maminq 8.4 Toepassing van SCM op de CD-speler De SCM-methode is toegepast op de harmonisch geëxciteerde, portable CD-speler uit H, voor de volgende parameterwaarden: a = 0.05 m k = 0 Nm d= Ns 0. 6 ~ - m LI: -4 XI < 0, - < xz < Met M = 00 cellen (0*0) werden er bij o= 6 7 met behulp van de scm-methode (integratie-interval T) twee verschillende groepen gevonden: een P--oplossing en een P-4-oplossing. In figuur. zijn de verschillende groepen en hun attractiegebieden te zien. Figuur.a en.b tonen de resultaten van numerieke integratie: van beide oplossingen is een verplaatsing-tijd-grafiek en een snelheid-verplaatsing-grafiek gemaakt. Bij o= 8 7 werden weer twee verschillende oplossingen gevonden (integratie-interval T): een chaotische en een P-6- oplossing. Figuur. toont hiervan de grafische resultaten. Door middel van numerieke integratie is weer nagegaan wat de gevonden groepen voorstellen. In figuur.a zien we het chaotische gedrag, in figuur.b het gedrag van de P-ó-oplossing. In figuur.~ is de Poincaré-sectie van de chaotische oplossing te zien. In beide gevallen werden twee oplossingen en twee bijbehorende attractie-gebieden gevonden: de grens tussen deze twee gebieden zal een belangrijke rol spelen bij parametervariaties o

12 ~ Simple Cell Mappin9 9 x Figuur.. Attractoren en attractiegebieden gevonden met de SCM-methode bij 0=67r. Het zwarte gebied stelt de sink-cel voor, het witte het attractiegebied van de P--oplossing met attractoren (o),het grijze gebied representeert het attractiegebied van de P-4-oplossing met attractoren (*).

13 Simple Cell Mappinq 0 c\ X - J o X Figuur.a Positie-snelheid-grafiek en tijd-positie-grafiek van de P--oplossing. t

14 Simple Cell Mappinq m X t -l I I I t I I I I I.5 I xl I I I I I.5 4 X I I I I I t Figuur.b Positie-snelheid-grafiek en tijd-positie-grafiek van de P-4-oplossing.

15 Simple Cell Mappinq Figuur.. Attractoren en attractiegebieden gevonden met de SCM-methode bij o=8n. Het zwarte gebied stelt de sink-cel voor, het witte het attractiegebied van de chaotische oplossing met chaotische attractor(o),het grijze gebied representeert het attractiegebied van de P-6-oplossing met attractoren (*). Door de relatief lage demping wordt de P-6-oplossing gerepresenteerd door meer dan 6 punten.

16 Simple Cell Mappin w o r\l.5 - I, I I I I I xl - - T-l X I i I I I I I I I t Figuur.a Positie-snelheid-grafiek en tijd-positie-grafiek van de chaotische oplossing.

17 Simple Cell Mappinq 4 0 xl I I I I I I Figuur.b Positie-snelheid-grafiek en tijd-positie-grafiek van de P-6-oplossing. t

18 Simple Cell Mappinq c\ X xl 4 5 Figuur.~ Poincaré-sectie van de chaotische oplossing.

19 Parametervariatie 6 4. Parametervariatie 4.. Inleiding In dit hoofdstuk wordt een methode gepresenteerd, dbe het verloop van de grenscellen bij een paramëtervariâtiz RIr=n U I L velgen. Grenscellen zijn cellen die grenzen aan een cel, die, als periodieke of als transiente cel tot een andere groep behoort. De CPU-tijd, nodig voor de toepassing van deze methode, is beduidend korter dan de tijd die nodig is om een geheel nieuwe cell-map-som door te rekenen, omdat nu alleen grenscellen beschouwd worden in plaats van het hele gebied SZ []. 4.. Methode We gaan uit van een niet-lineair dynamisch systeem met één graad van vrijheid, dat periodiek geëxciteerd wordt, XI =X waarin p een systeemparameter is. Er is een SCM uitgevoerd bij p = po, waarbij iedere cel, zowel periodiek als transient, een groepsnummer gekregen heeft, dat aangeeft bij welke groep hij hoort. We nemen aan dat er zijn twee verschillende groepen gevonden zijn, genummerd en, die ieder een attractor representeren. Per definitie heeft de sinkcell groepsnummer. De attractiegebieden van beide groepen, B en B,, zijn gescheiden door een grens SB. Gebied B bevat alle grenscellen. zie figuur 4.. en figuur 4.. Figuur 4. Definitie van B, B,, 6B.

20 Parametervariatie 7 I Figuur 4. Defintie van B. De grenscellen voor p = p0 zijn een eerste schatting voor B. Parametervariatie gaat nu 9s volgt: bepaal de beeldcel van iedere cel uit B voor p = p en bepaal het nieuwe groepsnummer van iedere cel uit B, aan de hand van dieng beeldcel. Een cel die afgebeeld worgt buiten B op een cel z, krijgt hetzelfde groepsnummer als z. Nu is er een nieuwe grens 6B gevormdldoor de nieuwe groepsnummers van de cellen in B. Wanneer 6B op de grens van B ligt op bepaalde plaatsen, moet B daar uitgebreid worden. Zie figuur 4.. Na uitbreiding van B met nieuwe grenscellen worden weer de groepsnummers bepaald van deze nieuwe grenscellen. Verdere uitbreiding van B gebeurt herhaaldelijk, totdat er geen nieuwe grenscellen meer gevonden worden. Dan zijn alle cellen definitief ingedeeld bij een groep. Deze groepen vormen de nieuwe attractiegebieden van het systeem voor de gevarieerde systeemparameter. Voor meer gedetailleerde informatie wordt de lezer verwezen naar []. Figuur 4. Uitbreiding van B, nieuwe grens 6B.

21 Verseliikins van SCN en PARVAR 8 Vergelijking van SCM en PARVAR Vergelijking tussen SCM en PARVAR kan gemaakt worden door de attractie-gebieden, verkregen met PARVAR, te bekijken naast de attractie-gebieden, die verkregen zijn met de SCM-methode bij de nieuwe parameter. A tot eri r,et j bevatteli tellkzns Grie plotc: linksboven staat de uitgangssituatie, rechtcboven staan de PARVAR-resultaten en linksonder de attractie-gebieden die berekend zijn met de SCM-methode voor de nieuwe parameterwaarde. Verschillende parameters zijn gevarieerd (a,k,d,a), zowel in positieve als in negatieve richting. Er werd steeds één parameter tegelijk gevarieerd en dit gebeurde in één stap. In onderstaande tabel zijn de rekentijden (in sec.) gegeven voor alle variaties voor beide methoden. o (677) o Variatie Parvar-tijd SCM- t i j d d k k o (877) 0.5~ k a

22 Verseliikins van SCM en PARVAR 9 In bijlage A. is de hoeksnelheid in positieve richting gevariëerd: PARVAR vindt exact dezelfde resultaten als de SCM-methode. In bijlage B., variatie in negatieve richting, gaat het mis: de variatie is te groot. In bijlage C. en D. is de demping gevariëerd: voor beide variaties vindt PARVAR de exacte oplocsing. Uit bijlage E. en F. blijkt dat een te grote variatie van de veerkonstante foutieve resultaten oplevert. Het attractiegebied van de P--oplossing wordt hier niet gevonden door PARVAR. ok bij een relatief grote variatie van de excitatieamplitude gaat het mis: PARVAR vindt weer het attractiegebied van de P--oplossing niet. Bijlage H. Bijlagen I.(variatie veerkonstante) en J.(variatie amplitude) laten zien dat het verdwijnen van oplossingen ook door PARVAR geregistreerd wordt.

23 Conclusies en aanbevelinsen 0 Conclusies * PARVAR is ongeveer een factor drie sneller dan de SCM-methode. * PARVAR benadert de werkelijke attractie-gebieden goed, Z iany- de L.-- *. VclL~clLie~ niet te grûût zìn (kleiner dan 5 a I %). * het verdwijnen van oplossingen wordt ook geregistreerd door PARVAR. * sommige parameters (@,a) zijn relatief veel gevoeliger voor variaties dan andere (k,d), zie bijlagen B. en G. Aanbevelingen * betere resultaten voor grote variaties kunnen wellicht geboekt worden door dit in stappen te doen. * de variatie van twee parameters tegelijkertijd moet nog onderzocht worden.

24 Literatuur [i] C.S. Hsu. Cell to Cell Mapping; A Method of Global Analysis for Nonlinear Systems. Springer-Verlag,l987. [] J. van der Spek. The Cell Mapping Method: a Tool for Investigating Nonlinear Dynamic Systems, 99,WFW9.. [] J.W.W. van der Spek e.a. Parame%er Variation Methods or Ceii îvîappfng, Noïiliììeâï Dyricimizs f SUUmftted.

25 I Bijlage A SCM, Lcr=67c PAXVAR A* =. z X 0.5 x 0.5 (I.: -5 r - x SCM* W=ó. 7c.5.5 X 0.5 C.5 r 'L

26 Bijlage B SCM, cii=4a.5.5 X 0.5 C -6.5 ri -L 5 0 x x.5.5 x 0.5 a.5 r -L 5 0

27 Bijlage C SCM9 d=.8 PARVAR, Ad= ic *.d.5 x 0.5 x x x SCM, d=! x 0.5 -a.5 fi -L

28 Bijlage D SCM, d=.8 PARVAR bd=q..5.5.j.5 x 0.5 x 0.5 a.5.5 c - D x x.5.5 x

29 Bijlage E.5 i.5 x 0.5 C.: SCM, k=0 PARVAR, Ak=-5 I x.5.5 x 0.5 o.5 - SCM, k= '. 0

30 Bijlage F.5 i.5 SCM, k= 0 PARVAR, Ak=5 x 0.5 x ' lo io X x.5 \.5 x 0.5 (I.5 -

31 Bijlage G SLM, a=0.05 PARVAR, Aa= i-.- 5 i X 0.5 c.5 6 I 5 0 *- Al Al.... í i SCM, a=,045,.5.5 x 0.5 a x

32 Bijlage H SChll, w =8x PARVAR, AL =. 5x i.5-5 lo

33 Bijlage I S Ck4, k= 0.5 FARVAR, bk=l í 5 *.d x 0.5 f Iri * * E x,.5-5 0

34 Bijlage J PARVAR, aa=-q I.5 x 0.5 E x x SCM9 a=g.04$.5-5 0