PROJECT 4: Kinematics of Stephenson 2 mechanism

Transcriptie

1 KINEMATICA EN DYNAMICA VAN MECHANISMEN PROJECT 4: Kinematics of Stephenson 2 mechanism ien De Dijn en Celine Carbonez 3 e bachelor in de Ingenieurswetenschappen: Werktuigkunde-Elektrotechniek Prof. Dr. Ir. M. Abdel Wahab

2 1. Inleiding We bestuderen de beweging van het Stephenson 2 mechanisme. Een staaf AB is in A scharnierend verbonden met de grond, waardoor deze staaf enkel een rotatie kan ondergaan. In punt B zijn er twee staven met scharnieren bevestigd, namelijk BC en BF. De drie staven BC, BF en CF vormen een starre driehoek, dit wil zeggen dat hun onderlinge positie tijdens de beweging niet verandert. In punt C is een staaf CD scharnierend verbonden, in punt F een staaf FG. Staaf DG verbindt punten D en G van deze staven. Tenslotte vormen de drie staven DG, EG en DE een tweede starre driehoek. De x- en y-coördinaten van alle punten zijn gegeven in de tabel, evenals de materiaaleigenschappen. Hierbij is E Youngs modulus, v de Poisson coëfficiënt en rho de massadichtheid. E = 2 ٠ 1^9 N/m² v =.3 ρ = 78kg/m^3 Cross-sectional dimensions:.2 x.1m² Figuur 1: Stephenson 2 Mechanisme We bepalen de opeenvolgende posities van de staven gedurende één omwenteling gemaakt door staaf AB. Deze staaf heeft een hoeksnelheid van 3 rad/s, dus deze ene omwenteling zal 2π s = s 3 duren. Om dit te berekenen gebruiken we ANSYS. Dit is een numeriek eindige elementen softwarepakket dat steunt op de Newton-Raphsonmethode om een kinematische analyse uit te voeren. Meer specifiek bepalen we deze output-parameters: v B, a B, v D, a D, θ BA, θ BA, θ BC, θ BC, θ DE en θ DE. Tenslotte maken we een animatie van de beweging met behulp van ANSYS. Hierna controleren we onze resultaten door een plot van de beweging te maken van een punt in SAM en deze te vergelijken met een plot gemaakt in ANSYS.

3 2. Analyse 2.1 Flow chart Hierbij een schema van de toegepaste werkwijze. Elke stap gebeurt met de ANSYS software. Figuur 2: Flowchart 2.2 De eindige elementen methode We beschouwen een mechanisme als opgebouwd uit zeer veel kleine onvervormbare componenten, dit worden de eindige elementen genoemd. De beweging van het ene element legt restricties, randvoorwaarden, op aan het naburige element. Deze elementen worden aan elkaar gekoppeld met knopen, dit zijn de hoekpunten van de eindige elementen. Elke knoop krijgt een aantal vrijheidsgraden. Ook de belasting wordt aangebracht in de knopen. Er ontstaat een zeer groot stelsel van differentiaalvergelijkingen. De oplossing van dit stelsel convergeert naar de exacte oplossing wanneer de elementen en de tijdstap kleiner worden. 2.3 Het eindige element We gebruiken een 2D element om elke staaf te modelleren. ANSYS splitst elk element op in twee elementen; een balkelement en een cilinderelement. We nemen aan dat een element per staaf voldoende is voor dit project. Een cilinderelement heeft slechts twee vrijheidsgraden, namelijk een horizontale verplaatsing U i aan knoop i en een horizontale verplaatsing U j aan knoop j. Een balkelement heeft dan weer vier vrijheidsgraden: twee verticale verplaatsingen U i en U j en twee rotaties φ i en φ j. In totaal heeft een lineair eindig elementje dus 6 vrijheidsgraden en zullen de massa- en stijfheidsmatrix bijgevolg 6x6- matrices zijn.

4 Deze matrices hebben de volgende vorm: [m] = ρa [ & [k] = ] EA [ 12EI ³ 6EI EA 12EI ³ 6EI EA 6EI 4EI EA 6EI 2EI 12EI ³ 6EI 12EI ³ 6EI 6EI 2EI 6EI 4EI ] Een belangrijk gegeven is dat de stijfheidsmatrix berekend wordt voor kleine verplaatsingen, als deze groter zouden zijn, wordt deze matrix een functie van de verplaatsing. 2.4 Randvoorwaarden in ANSYS Een vast punt verkrijgen we door de verplaatsingen in de x-en y-richting gelijk aan nul te stellen. Een scharnier tussen twee staven modelleren we door twee knopen te creëren met dezelfde coördinaten. Deze knopen krijgen dan eenzelfde verplaatsing in beide richtingen, maar wel een verschillende rotatie. 2.5 Kinematische analyse met ANSYS De algemene vorm van de bewegingsvergelijkingen voor een systeem met n vrijheidsgraden wordt gegeven door de 2 e wet van Newton: [m] n x n {U } n x 1 + [c] n x n {U } n x 1 + [k] n x n {U} n x 1 = {F} n x 1 waarbij [m] de massamatrix, {U } de versnellingsvector, [c] de dempingsmatrix, {U } de snelheidsvector, [k] de stijfheidsmatrix, {U} de verplaatsingsvector en {F} de krachtenvector voorstellen. In dit project voeren we een kinematische analyse uit, dit houdt in dat we de massamatrix, dempingsmatrix en krachtenvector buiten beschouwing laten. Dit geeft ons nieuwe bewegingsvergelijkingen: [k] {U} = [k ] {U } met {U } de voorgeschreven verplaatsingsvector in functie van de tijd en [k ] de hiermee geassocieerde stijfheidsmatrix. Aan de hand van de Newton-Raphsonmethode, die hieronder wordt uitgelegd, worden de verplaatsingen in functie van de tijd bepaald. Afleiden geeft de snelheden en versnellingen. De beweging wordt dan wel voornamelijk bepaald door de verplaatsingen in een kinematische analyse, toch moeten de materiaaleigenschappen en eigenschappen van doorsnede meegegeven worden in de code in ANSYS.

5 2.6 Newton-Raphsonmethode Zoals reeds kort vermeld in paragraaf 2.3 wordt de stijfheidsmatrix bepaald voor kleine verplaatsingen. Bij grote verplaatsingen is deze bijgevolg niet meer geldig, deze moet een functie worden van de verplaatsing {U}. De reden hiervoor is dat de rek niet meer uitgedrukt kan worden als ε x = u x x. De meer correcte uitdrukking wordt dan ε x = u x x ( u x x )2. Om in dit bijzondere geval de kinematische vergelijkingen op te lossen, maakt ANSYS gebruik van de Newton-Raphsonmethode. Dit is een numerieke, niet-lineaire, iteratieve procedure om niet-lineaire vergelijkingen op de lossen, vertrekkende van de Newton-Raphsonvergelijking [K i T ] { u i } = {F a } {F i nr } {u i+1 } = {u i } + { u i } met [K i T ] de tangentiële stijfheidsmatrix, {F i nr } de inwendige krachtvector, {F a } de opgelegde krachtvector op het einde van de tijdsstap en {u i } de verplaatsingsvector. De oplossing wordt iteratief benaderd door middel van een raaklijn aan de F(u)-curve. De convergentie van deze methode is een belangrijk gegeven die we verder gaan bestuderen. Eerst definiëren we {R} = {F a } {F i nr } als de residuele vector. Het criterium voor convergentie, krachtcriterium of out-of balance convergentiecriterium wordt gegeven door {R} < ε R R ref (ε R = tolerantie, typisch 1 3 ; R ref = referentie residuele out-of-balance vector, typisch gelijk aan {F a } of 1). Hieruit leiden we af dat het proces convergeert wanneer {F i nr } (bijna) gelijk wordt aan {F a }. Er zijn drie soorten normen mogelijk; de oneindignorm, 1-norm of 2-norm.. Zolang {R} onder de limietwaarde blijft, kan een convergerende oplossing gevonden worden. 3. ANSYS code In het bijgevoegde bestand is de ANSYS code te vinden. Hierin wordt de kinematica van het mechanisme berekend. Ook hebben we een animatie gemaakt in dit programma. Hieronder tonen we enkele afbeeldingen van deze animatie in volgorde. Figuur 3: Animatie ANSYS

6 4. Resultaten Figuur 4: (Hoek)snelheids- en (hoek)versnellingsverlopen van het mechanisme

7 In figuur 4 zien we een hele reeks plots van (hoek)snelheids- en (hoek)versnellingsverloop. Deze zijn gemaakt in Excel met de waarden verkregen door ANSYS, aangezien de grafieken in Excel duidelijker zijn. In de eerste grafiek zien we de snelheid en versnelling van punt B. Dit zijn zoals te verwachten sinusoïdale vormen, aangezien we hier te maken hebben met een eenparige cirkelvormige beweging. Dit wordt bevestigd in de tweede grafiek van staaf BA. Hier zien we een lineair verband voor de grootte van de hoek, een constante snelheid van 3 rad/s en geen versnelling. Bekijken we nu de grafieken van staaf BC. Hier zien we zowel bij de snelheid als bij de versnelling pieken na,6 seconden en na 1,1 seconde. Op de animatie zien we dat op deze tijdstippen punt G een soort knik vertoont. Bij,6 seconden is dit een plotse versnelling naar linksonder en bij 1,1 seconde naar rechtsboven. Dit heeft een effect op staaf BC, want die knik duwt of trekt BC met een verhoogde snelheid. Dit zien we ook in de grafieken: na,6 seconden een plotse verhoging van de hoeksnelheid tijdens de knik en net erna vertraagt de hoeksnelheid bijna tot stilstand. Op de grafiek van de hoekversnelling zien we ook eerst een plotse versnelling in positieve zin en net daarna een vertraging. Na 1,1 seconden trekt het mechanisme staaf BC snel naar rechts zodat de rotatiezin verandert en de hoeksnelheid dus plots negatief wordt. Dit zien we op de grafiek als de negatieve piek. Daarna wordt de hoeksnelheid minder negatief en de hoekversnelling dus positief. Tot ongeveer 2 seconden blijft staaf BC in negatieve zin draaien voor hij weer van zin verandert door het terug duwen van het mechanisme. Ook de grafieken van staaf DE vertonen pieken op,6 en,11 seconden. Ze zijn heel gelijkaardig aan die van BC met als enige verschil de negatieve versnelling (en dus dalende snelheid) tussen de twee pieken. Dit zien we ook duidelijk op de animatie: staaf DE vertraagt bijna tot stilstand voor de tweede knik. Merk wel op dat E een vast punt is en staaf DE dus enkel op een cirkel met straal DE kan bewegen Er is een duidelijk verband tussen de beweging van punt D en de hoeksnelheid en -versnelling van staaf DE. Eerst en vooral gaat punt D sneller bewegen wanneer de hoeksnelheid omhoog gaat. Ook het omgekeerde is waar, namelijk als de hoeksnelheid daalt, gaat D ook trager bewegen. Eerst draait DE in positieve zin en D bevindt zich in het eerste kwadrant. Dit betekent dat D naar linksboven geduwd wordt. De snelheid in de x- richting is dus negatief en positief in de y-richting. Dit verandert echter wanneer D zich in het tweede kwadrant bevindt, aangezien D dan naar linksonder wordt geduwd. Ook de snelheid in de y-richting is dan negatief. Tot hiertoe was de snelheid ook behoorlijk constant. Dan zien we een plotse versnelling en daarna vertraging in negatieve richting, wat we ook kunnen zien als een negatieve piek in de snelheidsgrafiek. Na ongeveer 1 seconde verandert de rotatiezin van DE en worden dus zowel de y-richting als de x-richting van de snelheid positief. We zien weer een piek bij de tweede versnelling ( knik ), maar deze keer een positieve voor zowel x-richting als y-richting. Dit is logisch want D wordt naar rechtsboven getrokken. Wanneer punt D terug in het eerste kwadrant terechtkomt wordt de y-richting van de snelheid weer negatief, maar de x-richting blijft positief.

8 5. Validatie v x v y a x a y Θ Θ Θ Figuur 5: Snelheid en versnelling punt B Figuur 6: Hoeksnelheid en -versnelling staaf AB Figuur 7: Versnelling punt D Figuur 6: Hoeksnelheid staaf BC Figuur 7: Hoekversnelling staaf BC Figuur 89: Hoeksnelheid staaf DE Figuur 98: Hoekversnelling staaf DE

9 v x v y a x a y Figuur 1: Snelheid punt D Figuur 11: Versnelling punt D Bovenstaande figuren zijn gemaakt door het mechanisme in SAM te modelleren. Er kan onmiddellijk geverifieerd worden dat de grafieken dezelfde zijn als in figuur 3. Aangezien de plots uit ANSYS en SAM overeenkomen, kunnen we stellen dat de ANSYS code grotendeels zal kloppen. 6. Conclusie We hebben de kinematica van een Stephenson 2 mechanisme bestudeerd. In dit mechanisme zijn 2 punten vastgemaakt aan de grond. Negen staven worden scharnierend bevestigd aan elkaar, van deze negen staven zijn er twee keer drie staven verbonden tot starre driehoeken. Deze driehoekige vlakken beperken de beweging van de drie staven. Staaf AB heeft een constante snelheid. We analyseren de complexe beweging van dit mechanisme voor één omwenteling. De analyse werd uitgevoerd met het eindige elementen pakket ANSYS. De kinematische parameters worden berekend door het opdelen van het mechanisme in eindige elementen, waarvan dan de beweging wordt bepaald van elk element afzonderlijk. We bekijken de berekeningswijze van één lineair eindig elementje, wat in dit programma wordt voorgesteld door een cilinder- en balkelement. De volgende stap is het opstellen van het verband tussen de verplaatsing en de krachten met behulp van de tweede wet van Newton. Uiteindelijk leidt dit tot de bewegingsvergelijkingen van een systeem met n vrijheidsgraden. Dit zijn nietlineaire vergelijkingen. ANSYS lost deze vergelijkingen op met de Newton-Raphsonmethode. In ANSYS maken we een animatie van de beweging, zo kan de code gecontroleerd worden. We plotten enkele parameters in functie van de tijd. Deze kunnen we dan tenslotte vergelijken met enkele plots gemaakt in SAM ter validatie van de resultaten.