De cell mapping methode

Transcriptie

1 De cell mapping methode Oudemans, J.F. Gepubliceerd: 01/01/1997 Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website. The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review. The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers. Link to publication Citation for published version (APA): Oudemans, J. F. (1997). De cell mapping methode. (DCT rapporten; Vol ). Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven. General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal? Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim. Download date: 27. Dec. 2018

2 De cell mapping methode Stageverslag van: J.F. Oudemans Begeleider: Rapportnummer: dr. ir. A. de Kraker WEW: Datum: 9 januari 1997

3 Duffing n = [101,101] integratietijd = groep 5: een P-1 groep Stageverslag van: J.F. Oudemans Begeleider: dr. ir. A. de Kraker Rapportnummer: WFW: Datum: 9 januari 1997 Faculteit Werktuigbouwkunde Technische Universiteit Eind hoven

4 1

5 In houdsopgave INHOUDSOPGAVE SYMBOLENLIJST AFKORTINGEN Hoofdstuk 1 INLEIDING 1.1 Inleiding * Dissipatief lineair systeem Niet-lineaire systemen * Attractiegebieden Cellmapping methode Hoofdstuk 2 DE CELLMAPPING METHODE Inleiding Theorie van Simple Cell Mapping Discretisatie van de toestandsruimte Een aantal definities De bepaling van de beeldcel met SCM Bepaling van het integratie-interval At Enkele algemeenheden over SCM Hoofdstuk 3 TOEPASSING De Duffing vergelyking De Van der Pol vergelijking Van der Pol met integratie-interval At = 2,6 en At = 3, Bepaling van het integratie-interval At Van der Pol met p = 1, Hoofdstuk 4 CONCLUSIES Bijlage A CELLMAPPING ALGORITME

6 Inhoudsopgave Bijlage B LISTINGS IN MATLAB 24 Bijlage C HET PROGRAMMA XEDIT Bijlage E VOORBEELD VAN INV0ER.M 30 Bijlage F GEBRUIK VAN CELLMAP-PROGRAMMA 31 LITERATUUR LIJST 32 3

7 Symbolenlijst b m index van de beeldcel aantal cellmap bewerkingen 4 gegeneraliseerde coördinaat at tijdsintervai waarover geïntegreerd wordt Z index van de cel waarop cellmap operatie wordt uitgevoerd C G M N P S cellmap operatie groepsnummer van periodieke groep index van de laatste cel aantal graden van vrijheid periodenummer van een groep of cel stapnummer tot periodieke groep R 'interessante gebied van de toestandsruimte Afkort i n ge n DOF ODE SCM Degrees of Freedom, graden van vrijheid Ordinairy Differential Equation Simple Cell Mapping 4

8 Inleiding Het doel van deze stage was in eerste instantie om met behulp van de cellmapping methode een zogenaamde dubbelslinger te analyseren. Aangezien dit een systeem met twee graden van vrijheid (2 DOF) is leverde dit zoveel complicaties op, onder andere doordat de rekentijd de pan uitrees, dat er toen naar een oplossing is gezocht in de vorm van een andere opdracht. In Matlab heb ik vervolgens een programma geschreven voor Simple Cell Mapping (SCM). Dit heb ik getest aan de hand van de resultaten die onder andere Jeroen van der Spek heeft gevonden met het door hem geschreven programma in C. Daarna heb ik me beziggehouden met het nader bekijken van de Van der Pol vergelij king. De cellmapping methode is bedoeld om op een snelle manier inzicht te krijgen in het bestaan van periodieke en chaotische oplossingen in een bepaald gebied van de toes tandsruimte. Dit wordt gedaan door dit gebied van de toestandsruimte te discretiseren, op te delen in de zogenaamde cellen. Door vervolgens vanuit een celmiddelpunt te gaan integreren over een bepaalde tijd, komen we in een andere cel uit. De ene cel wordt dus afgebeeld op de andere cel. Zo kan van alle cellen de afbeelding worden bepaald. Doordat er steeds over een relatief korte tijd geïntegreerd wordt kan ook in een relatief korte tijd een vrij groot gebied van de toestandsruimte bekeken worden. Doordat bij de cellmapping methode wordt bijgehouden van welke cellen de afbeelding al bepaald is, hoeft er niet nog een keer gerekend te worden als een cel op een al berekende cel wordt afgebeeld. Hierdoor wordt de benodigde rekentijd geminimaliseerd. Als bepaalde cellen periodiek op elkaar worden afgebeeld wordt gesproken van een periodieke groep. Een periodieke groep geeft een oplossing van het systeem weer. Tevens is duidelijk welke cellen naar deze oplossing toegaan. Deze cellen vormen het zogenaamde attractiegebied van de desbetreffende periodieke groep. 5

9 Hoofdstuk 1 - Inleiding 1.I Inleiding Een model dat een dynamisch systeem goed beschrijft zal in het algemeen voldoen aan de volgende voorwaarden: 0 dissipatief bijvoorbeeld demping, wrijving of niet-elastische botsing 0 niet-lineair Zo n systeem is op de volgende manier te beschrijven: 4 = F(q, q, t, p) 1.1 Waarin q de kolom is met gegeneraliseerde coördinaten van het systeem. Met q en 4 worden de kolommen met respectievelijk de snelheden en de versnellingen aangegeven. Daarbij is t de tijd en p geeft de kolom met de systeem parameters weer. Het vinden van de oplossingen van vergelijking 1.1 is meestal de eerste stap bij het onderzoek aan een systeem. Om het lange termijn gedrag te bepalen moeten we de stabiele oplossingen vinden, deze worden ook wel attractoren genoemd. Er kan ook sprake zijn van een instabiele oplossing zoals een zadelpunt of een labiele focus Dissipatief lineair systeem Een dissipatief lineair systeem heeft slechts één stabiele oplossing. Deze oplossing heeft dezelfde frequentie als de uitwendige kracht. De amplitude van de oplossing is evenredig met de amplitude van die kracht. Alle initiële toestanden leiden tot deze ene oplossing. 0 Totdat het systeem op deze steady-state oplossing zit heet het systeem transiënt. I.I.2 Niet-lineaire systemen Bij niet lineaire systemen kunnen allerlei vreemde verschijnselen optreden zoals: 0 Het bestaan van meerdere attractoren: Ook wanneer een systeem dissipatief is kunnen er meerdere attractoren bestaan. De initiële toestand bepaalt naar wdke attractor wordt toegegaan. Chaotisch gedrag: Terwijl het systeem periodiek geëxciteerd wordt reageert het systeem toch chaotisch, dat wil zeggen niet periodiek. Als het chaotisch gedrag stabiel is wordt gesproken over een chaotische attractor. Een chaotisch systeem is extreem gevoelig voor variaties in de initiële toestand: Het systeem kan onvoorspelbaar worden genoemd. 0 Het optreden van bifurcaties, hierbij heeft een kleine verandering van een van de systeemparameters een essentiële verandering van de oplossing tot gevolg. 6

10 Hoofdstuk 1 - Inleiding Attractiegebieden De attractiegebieden zijn alle gebieden van initiële toestanden die naar één specifieke attractor leiden. Deze gebieden zijn belangrijk bij het ontwerpen van mechanische systemen. Deze gebieden zeggen namelijk wat over de robuustheid van het systeem bij veranderingen van de begin toestand. I.I.4 Cellmapping methode Bij de cell mapping methode vindt discretisatie van de toestandsruimte plaats in zogenaamde cellen. Met deze methode kunnen in principe alle attractoren (dus zowel periodieke als chaotische) worden bepaald evenals de bijbehorende attractiegebieden. Deze methode wordt in het volgende hoofdstuk uitvoeriger besproken. Er kunnen een aantal cell mapping methoden worden onderscheiden, onder andere: SCM: Simple Cell Mapping robuust & efficiënt ICM: Interpolated Cell Mapping meer accuraat, meer geavanceerd 0 GCM: Generalized Cell Mapping meer geschikt voor chaotisch gedrag en fractal gebiedsgrenzen Ik zal me verder in dit verslag alleen met SCM bezighouden. 7

11 De cellmapping methode 2.1 Inleiding De cellmapping methode houdt ongeveer het volgende in: We verdelen een voor ons interessant gebied Q van de toestandsruimte op in kleine vakjes: de cellen. Netter gezegd we discretiseren een gebied van de toestandsruimte, dat wil zeggen dat er geen andere toestanden meer mogelijk zijn buiten deze discrete toestanden, zie Figuur 2.1. Door nu vanuit het midden van een cel te gaan integreren, komen we in een andere cel terecht. Weer vertrekken we vanuit het midden van deze nieuwe cel naar een volgende cel. Enzovoort. Het is hierbij mogelijk dat het eindpunt van de integratie buiten het afgebakende gebied R ligt. Het gebied buiten het gebied R wordt de sinkcell genoemd of ook wel de putcel in het Nederlands. De putcel heeft de eigenschap dat er niets meer uitkomt. Netter gezegd de afbeelding van de sinkcell is wederom de sinkcell. Het kan ook gebeuren dat een cel afgebeeld wordt op een cel waarvan de afbeelding al bepaald is, het is in dat geval natuurlijk zinloos om nog een keer die afbeelding te bepalen. Hierin zit nu juist een deel van de tijdwinst met de cellmapping methode. De derde mogelijkheid is dat een cel wordt afgebeeld op een cel die behoort tot zijn eigen afbeeldingen reeks, i~ di: geval is er een zogenaamde periodieke groep gevonden. Dit houdt in dat een aantal cellen steeds op elkaar afgebeeld worden. Als het bijvoorbeeld 3 cellen zijn dan heet dit een P-3 groep, zie Figuur 2.3. De sinkcell is per definitie een P-1 groep. Een cel die niet tot een periodieke groep behoort wordt een transiënte cel genoemd. Als van alle cellen de afbeelding is bepaald, dan is bekend welke periodieke groepen er in het interessante gebied R voorkomen. Tevens is bekend welke transiënte cellen naar welke periodieke groep leiden. Deze transiënte cellen worden het attractiegebied van die periodieke groep genoemd. 8

12 Hoofdstuk 2 - De cellmapping methode 2.2 Theorie van Simple Cell Mapping Discretisatie van de toestandsruimte Bij de cellmapping methode wordt de toestandsruimte gediscretiseerd, dit houdt in dat er geen andere toestanden mogelijk zijn dan deze discrete toestanden. Een rechtvaardiging voor het discretiseren van de toestandsruimte kan gezien worden in het volgende: Bij computerberekeningen wordt er op een gegeven moment afgerond vanwege de eindige nauwkeurigheid waarmee gerekend kan worden. Ook bij metingen aan een systeem is er sprake van een eindige meetnauwkeurigheid, om kort te gaan het is een illusie om te denken dat fysische grootheden volledig exact bepaald worden. Daarom kunnen we een toestandsgrootheid ook beter niet als een continue variabele bekijken, maar als een discrete grootheid waarbij niet alle mogelijke waarden x E B mogelijk zijn Een aantal definities Een systeem met N graden van vrijheid (N DOF) heeft een toestandsruimte met dimensie 2*N. De toestandsruimte van een systeem met één DOF is in een vlak weer te geven. Door nu een bepaald gebied R van de toestandsruimte op te delen in cellen krijgen we de volgende figuur: Figuur 2.1. Figuur 2.1: Het interessante gebied R van de toestandsruimte opgedeeld in cellen, de rest van de toestandsruimte wordt de sinkcell genoemd. Elke cel heeft een celnummer z, dat ook wel de index van de cel wordt genoemd. De laatste cel heeft index M. Dus z E { 1, 2, 3..., M}. De sinkcell heeft index O. Alle mogelijke toestanden binnen een cel worden gezien als één toestand. Vooral voor de sinkcell voelt dit in eerste instantie wat raar aan, maar we moeten bedenken dat we 9

13 Hoofdstuk 2 - De cellmapping methode ons niet voor dat gebied interesseren, de sinkcell wordt weer op de sinkcell afgebeeld per definitie. Alles wat 'erin' zit blijft er ook 'inzitten'. Een cellmap operatie wordt op de volgende manier weergegeven: C( z) = b 2.1 Hierbij is b de index van de cel waarop z wordt afgebeeld door de cellmap operatie C. Per definitie geldt: C( O) = o 2.2 Dus de sinkcell wordt afgebeeld op de sinkcell. We volgen het systeem niet langer als het op de sinkcell wordt afgebeeld. Met de volgende vergelijking wordt aangegeven dat het beeld van z na m cellmap operaties gelijk is aan b. C"(z) = b 2.3 Als geldt dat: C"(Z) = z 2.4 Dan wordt z dus na m cellmap operaties afgebeeld op zichzelf. Dit betekent dat er sprake is van een zogenaamde periodieke groep. Nu wordt z een periodieke cel genoemd met periode nz, kortweg een P - m cel. Alle 'tussenliggende' cellen C( z), C2 (z),..., Cm-' (z) behoren tot deze periodieke groep en zijn ook P - m cellen. Deze periodieke groep bestaat dus uit m cellen en wordt een P - m groep genoemd. Als bijvoorbeeld 3 cellen periodiek op elkaar worden afgebeeld spreken we over een P - 3 groep, zie Figuur 2.3. Per definitie geldt dat de sinkcell een P - 1 cel is. De periodieke groepen geven het lange termijn gedrag van een systeem weer. Als een cel niet een periodieke cel is wordt de cel een transiënte cel genoemd. Op den duur kunnen er slechts twee dingen gebeuren met een transiënte cel: 0 De eerste is dat de cel op een periodieke groep wordt afgebeeld. De tweede mogelijkheid is dat de transiënte cel op de sinkcell wordt afgebeeld. Een transiënte cel is te zien als een cel die zich nog niet gesetteld heeft. De transiënte cellen geven de attractiegebieden van de periodieke groepen weer. Uit het voorgaande blijkt dat er bij de simple cell mapping methode alleen sprake kan zijn van periodieke groepen. Toch kinnen we ook systemen met chaotisch gedrag bekijken met de cellmapping methode, als we het volgende aannemen: Een chaotische beweging wordt weergegeven door een periodieke groep met een relatief lange periode. Een chaotische attractor wordt weergegeven door een aantal cellen die een deel van de attractor in de toestandsruimte bedekken. Om de stabiliteit van een periodieke groep te bepalen kunnen we gebruik maken van de volgende conventies: Als een periodieke groep is omgeven door transiënte cellen die naar deze periodieke groep leiden dan is de periodieke groep stabiel. 10

14 Hoofdstuk 2 - De cellmapping methode Als de periodieke groep geen transiënte cellen heeft dan is er sprake van een labiele oplossing (in het Engels: repellor) In alle andere gevallen is de periodieke groep een zadelpunt. Als van alle cellen in het interessante gebied s2 de beeldcel is bepaald, dan kan vervolgens bepaald worden welke cellen de periodieke groepen vormen en welke cellen naar deze periodieke groepen leiden. Op deze manier zijn dus de attractiegebieden bepaald van zowel de periodieke oplossingen als van de chaotische op!ossingen. Elst u!g^rit.np ^m dit in dc pr2ktijk te doen wordt besproken in Bijlage A De bepaling van de beeldcel met SCM De beeldcel b = C(z) van een cel z bepalen, gaat op de volgende manier: 1. Bereken het middelpunt van de cel z. 2. Integreer de set ODE S (die het systeem beschrijven) over integratieinterval At waarbij we het middelpunt als de initiële toestand nemen. 3. Bepaal wat de beeldcel is door te kijken in welke cel de oplossing ligt van de integratie. In Figuur 2.2 is dit te zien. Figuur 2.2: Het beeld b van de cel z wordt via een integratie over At bepaald. We vertrekken uit het middelpunt van de cel z en komen in de cel b uit. Bij de bepaling van de beeldcel is het mogelijk dat we tijdens een integratie over de sinkcell gaan, maar uiteindelijk toch op een gewone cel terechtkomen. Dus zolang we maar niet in de putcel landen is er niets aan de hand en blijven we ook niet steken in de sinkcell, zie Figuur

15 Hoofdstuk 2 - De cellmapping methode f Figuur 2.3: Hier is een periodieke groep te zien, dit is een P - 3 groep. Merk op dut er bij de integratie over een gebied van de sinkcell wordt gegaan, naar een cel die wel weer een gewone cel is Bepaling van het integratie-interval At Hoe we het integratie-interval At moeten kiezen hangt van een aantal dingen af: 0 Als het systeem expliciet van de tijd afhangt, een periodiek systeem dus, kunnen we het integratie-interval het beste gelijk aan (of een veelvoud van) de periode T van het systeem kiezen. Bij een autonoom systeem (hangt niet expliciet van de tijd af) kunnen we At arbitrair kiezen, zolang we maar niet een te korte tijd nemen. Verder geldt het volgende: 0 Als we een te klein integratie-interval nemen, dan kan het gebeuren dat we met een integratie niet buiten de grenzen van onze cel terecht komen, dit is niet gewenst. 0 Ais we een lange iijd At nemen kost het uiteraard meer rekentijd GX een berekening uit te voeren dan wanneer we een korte tijd nemen. Als het interval At te groot is dan kost het meer rekentijd dan nodig is. 12

16 Hoofdstuk 2 - De cellmaming methode Enkele algemeenheden over SCM Bij SCM geldt over het algemeen het volgende: 0 Als we de tijd At waarover geïntegreerd wordt twee keer zo lang maken neemt de rekentijd ook met een factor twee toe. De nauwkeurigheid van de oplossingen neemt ook toe. 0 Als we de cellen in twee richtingen twee keer zo klein maken, dan zijn er dus vier keer zoveel cellen en stijgt de rekentijd ook met een factor vier. Celverfijning leidt niet per definitie tot nauwkeuriger oplossingen, de contouren van de attractiegebieden worden wel scherper. 0 De ligging van de cellen heeft wel invloed op het uiteindelijke resultaat. Bij een ongelukkige keuze kan het gebeuren dat bepaalde oplossingen niet gevonden worden. Dit komt doordat SCM steeds naar het midden van de cel teruggaat, waar vandaan dan de nieuwe integratie wordt uitgevoerd. Het kan voorkomen dat de oplossing eerst in de ene cel ligt en dan weer in de cel er direct naast. 0 Bij een autonoom systeem moeten we het integratie-interval At zo kiezen dat is voldaan aan de voorwaarden zoals die in paragraaf zijn beschreven. Bij periodieke systemen moeten we At zo kiezen dat At gelijk is aan een of meerdere periodetijden T van het systeem. Met behulp van een zogenaamde Poincaré sectie worden de oplossingen weergegeven. Een Poincaré sectie is een periodieke opname van de toestandsruimte. We zien dus niet alle toestanden op ieder moment, maar alleen de toestand op na elkaar liggende discrete tijdstippen met een gelijk tijdsinterval ertussen. Dit is te vergelijken met het verlichten van de toestandsruimte met een stroboscoop lamp waarbij de toestand alleen te zien is op het moment dat de lamp aan is. 13

17 3 Toepassing In dit hoofdstuk worden enige toepassingen van de cellmap methode bekeken. 3.1 De Duffing vergelijking Een van de bekendste niet lineaire differentiaalvergelijkingen is de Duffing vergelijking. Deze ziet er als volgt dk-q+ p q3 = a cos(ot) 3.1 Deze vergelijking kunnen we omwerken in twee eerste orde differentiaalvergelijkingen als we x1 = q en x2 = 4 nemen: x1 =x2 x2 = -dx, + x, - p x; + a cos(ot) In Figuur 3.1 is het resultaat te zien van een cellmap operatie waarbij d = 0,15 p = 1,O; a = 0,3 en O = 1,O. Het interessante gebied i2 is hierbij opgedeeld in 101 bij 101 cellen die een maat hebben van 0,04 bij 0,04. Het integratie-interval is gelijk aan de excitatie periode: At = 2~ / O- In Figuur 3.1 zijn de volgende resultaten te zien: e Een P - 1 groep (o) met het attractiegebied aangegeven met punten (e), stelt de periodieke oplossing voor met periode At 0 Verder twee groepen (een 3-22 en een P - 16 groep) die De chaotische attractor voorstellen (*) waarvan het attractiegebied wit gelaten is. 0 De zadelpunt oplossing (+) welke een P - 1 groep is, met als attractiegebied 13 cellen (x) die op de rand van de attractiegebieden van de chaotische en de periodieke oplossing liggen. 0 Als laatste een aantal cellen linksonderaan die op de sinkcell worden afgebeeld deze cellen zijn wit gelaten. De resultaten zijn hetzelfde als de resultaten die Jeroen van der Spek [ 11 vindt, met dit verschil dat ik een ander aantal cellen vind die de chaotische attractor representeren. Ik vind twee grotere groepen terwijl Jeroen van der Spek er drie vindt: Een P - 19 een P - 16 en een P - 10 groep. Dit verschil zit waarschijnlijk in het feit dat ik de dit

18 Hoofdstuk 3 - Toepassinn Duffing n = [lol,1011 integratietijd = groep 5: een P-1 groep m m m (e). f O (4 Figuur 3.1: Uitkomst van de DufSing vergelijking met het Matlab SCM programma, waarbijd = 0,15; a = 0,3 en ci) = 1,O: We zien een stabiele P - 1 groep (o) met de transiënte cellen De witte cellen linksonder in de hoek worden op de sinkcell afgebeeld. De cellen die met een ster (*) zijn aangeduid representeren de chaotische attractor, het attractiegebied is wit gelaten. Als laatste is de P - I groep te zien die het zadelpunt voorstelt (+) met transiënte cellen (x). integraties met een andere nauwkeurigheid berekend heb. Ik heb mei een nauwkeurigheid van 1 E -3 gerekend terwijl Jeroen van der Spek met 1 E -6 heeft gerekend. Ik heb ook met een ander integratie algoritme gewerkt, namelijk met de Matlab-functie ODE23, terwijl Jeroen van der Spek met een eenvoudig, zelf geschreven, integratie algoritme heeft gerekend. De integratienauwkeurigheid moet minstens een factor tien kleiner zijn dan de celgrootte, volgens Didier Lemmens [3]. Als we de resultaten van het Matlab SCM-programma vergelijken met de resultaten die Jeroen van der Spek [i] heeft gevonden, dan zien we dat deze zeer goed overeenkomen. 15

19 Hoofdstuk 3 - Toepassing 3.2 De Van der Pol vergelijking Een andere zeer bekende niet lineaire differentiaalvergelijkingen is de vergelijking van Van der Pol. Deze luidt als volgt: q - p(1- q*)q + q = o 3.3 Ueze verge!ijbg is weer cm te werken in de volgende twee eerste orde differentiaalvergelij kingen: x1 =x2 x, = p(1-x;)x2 -xl De Van der Pol vergelijking is een voorbeeld van een autonoom systeem, er komt immers geen term in voor die expliciet afhangt van de tijd. Als p < O dan is er maar één stabiel evenwichtspunt, dit is (xl; x2) = (O; O), en dit is tevens de enige attractor. Als p > O dan is de periodieke oplossing een grenskringloop (in het Engels wordt dit limit cycle genoemd). Als p = 0,l dan ontstaat er een cirkel met straal 2. Als we nu Van der Pol n = [101,101] integratietijd = 1.3 groep 2: een P-150 groep O ,.... h I I Figuur 3.2: Hier is het resultaat te zien van het Matlab - SCMprogramma voor de Van der Pol vergelijking met p = O,l. De cirkel met straal twee is zichtbaar en wordt gevormd door een P groep (o), het attractiegebied is weergegeven met de puntjes (.). De witte gebieden aan de randen worden op de sinkcell afgebeeld. De negen witte cellen in het midden vormen tezamen de labiele focus in het punt (O; O). 16

20 Hoofdstuk 3 - Toepassing een cellmap berekening gaan uitvoeren met p. = 0,l; celgrootte (0 05; 0 05) en als integratie-interval At = 1,3 dan krijgen we een plaatje als in Figuur 3.2. In deze figuur is het volgende te zien: 0 Aangegeven met de rondjes (o) zijn de cellen die de grenskringloop weergeven. Deze cirkel wordt gevormd door een P groep. De cellen die met een puntje (-) zijn aangegeven vertegenwoordigen de cellen die worden afgebeeld op deze cirkel. Deze cellen vormen dus het attractiegebied van deze periodieke groep. Als we een nummerieke intergratie uitvoeren op een van deze celmiddelpunten dan komen we netjes op de grenskringloop uit. 0 Negen witte cellen in het midden, deze bestaan uit één P - 1 en twee P - 4 groepen. Deze geven samen de oplossing (xi; x2) = (O; O) weer. Deze oplossing is niet stabiel want er liggen geen cellen omheen die naar deze groepen leiden. Deze oplossing wordt een labiele focus genoemd. 0 De witte gebieden in de hoeken worden afgebeeld op de sinkcell. Als we het integratie-interval verlengen naar bijvoorbeeld At = 3.3 dan zien we dat deze gebieden niet langer wit zijn, zie Figuur 3.4. Dit komt doordat we over de sinkcell heenvliegen en toch weer op een gewone cel terecht komen, zie paragraaf Van der Pol met integratie-interval Af = 2,6 en Af = 3,3 Als we de cellmap operatie op de Van der Pol vergelijking met integratie-interval At = 2,6 en At = 3 3 vergelijken dan zien we het volgende: Van der Pal n = [101,101] inlegralietijd = 2 6 groep 2 een PA6 groep Van der Poln = [IO inlegrabetijd = 3 3 groep 2 en 3 twee P-61 groepen q 9 Figuur 3.3: Van der Pol met als Figuur 3.4: Van der Pol met integratieintegratie-interval At = 2,6 interval At = 3,3 In het geval dat At = 2 6 geldt dat er maar drie periodieke groepen zijn: Een P - O groep (de sinkcell dus), hierop worden de witte gebieden aan de randen afgebeeld. Een P - 46 groep, deze is weergegeven met de cirkels (o), het attractiegebied is weergegeven met de puntjes (-). 0 Een P - 1 groep, dit is de cel in het punt (O; O). 17

21 Hoofdstuk 3 - ToeDassing Wanneer At = 3,3 blijkt dat er opeens 11 groepen zijn: 0 De cirkel wordt nu gevormd door twee P - 61 groepen. Rond de labiele focus in het punt (O; O) liggen zeven P - 2 groepen. Dit laatste komt doordat het integratie-interval blijkbaar zodanig ongelukkig is gekozen dat steeds twee 'tegenover' elkaar liggende cellen rond het punt (O; O) op elkaar afgebeeld worden Bepaiing van net integratie-intervai af Het integratie-interval At = 1,3 is vrij willekeurig gekozen. Omdat het een autonoom systeem betreft is er niet eenvoudig een veelvoud van de periode tijd te kiezen. Er zijn enige overwegingen op basis waarvan het integratie-interval gekozen moet worden, zoals reeds besproken in paragraaf 2.2.4: 0 Het interval moet niet te kort zijn, anders wordt de cel niet afgebeeld op een volgende cel maar op zichzelf. 0 Een te groot interval heeft als gevolg dat dit onnodig veel rekentijd kost. Als integratie-interval is onder andere At = 1,3 genomen omdat Jeroen van der Spek [ 11 met datzelfde interval berekeningen heeft uitgevoerd. Het lijkt logisch dat de witte gebieden aan de randen kleiner worden als we het integratie-interval vergroten. In Figuur 3.5 is wederom de cellmap operatie te zien van de Van der Pol vergelijking met als integratie-interval At = 2,6. Nu is echter het attractiegebied van de periodieke oplossing wit gelaten en de gebieden die op de sinkcell worden afgebeeld zijn weergeven met puntjes (e). In Figuur 3.5 kunnen we Zien hoe de I - -3 I -3 Van der poi n = [IOI,IOII integratietijd = 2 6 groep 2. een P-46 groep... $i]]iitii'... Eiiiiiir' O O O x O O O / I integratie verloopt vanuit het punt (-2,5; 2,5): met een ster (*) tot t = 1,3 0 met een kruis (x) tot t = 2,6 met een doorgetrokken lijn (-) tot t = 5,2 met een stippellijn (--) tot t= O 1 2 q Uit Figuur 3.5 kunnen we een aantal Figuur 3.5: Integratie vanuit het punt dingen opmaken: Als eerste kunnen (-2,5; 2,5) met verschillende eindtijden: we concluderen dat het punt t = 1,3; t = 2,6; t = 5,2 en t = 10. (-2,5; 2,5) op den duur op de grenskringloop terecht zal komen. Ten tweede is te zien dat de cel met als middelpunt (-2,5; 2,5) op de sinkcell afgebeeld wordt, als het integratie-interval At = 1,3 en als At = 2,6, de sterretjes (*) en de kruisjes (x) houden immers op voordat we weer terug zijn in het interessante gebied Q. Afhankelijk van hoe groot het integratie-interval gekozen wordt, wordt deze cel dus wel of niet op het interessante gebied L2 afgebeeld. Het blijkt dus zo te zijn dat het niet zondermeer zinvol is om het integratie-interval te verlengen. 18

22 Hoofdstuk 3 - Toepassing Van der Pol met p = 1,0 Als p = 1,0 dan zien we dat de grenskringloop niet langer een cirkel is maar een soort ellips wordt. In Figuur 3.6 kunnen we dit zien. Bij deze cellmap operatie is het integratie-interval At = 1,3. Van der Pol n = [201,201] integratietijd = 1.3 groep 2 en 3: twee P-41 groepen S $ 0 n -1-2 X F- + X + X + X + X + + x + x X O O Figuur 3.6: Hier is de Van der Pol vergelijking te zien met p = 1,O. De grenskringloop wordt hier weergegeven door twee P - 41 groepen (+ en X) waarvan het attractiegebied is wit gelaten. In het midden is de labiele focus zichtbaar (o). De cellen weergegeven met de puntjes (-) worden op de sinkcell afgebeeld. + X + X In Figuur 3.6 is het volgende te zien: 0 Twee 1-41 gïoepeïì die de grenshingloop representeren weergegeven met plusjes en kruisjes (+ en x). Het attractiegebied van deze groepen is wit gelaten. In het midden is de labiele focus te zien, deze P - 1 groep heeft geen attractiegebied. De cellen die op de sinkcell worden afgebeeld zijn weergegeven met puntjes (.). 19

23 4 Conclusies De volgende conclusies zijn te trekken: Het Matlab SCM-programma geeft de juiste resultaten. 0 Bij autonome systemen verdient de keuze van het integratie-interval extra aandacht, om de beste resultaten te verkrijgen. 0 Om vast te stellen of een attractor chaotisch of periodiek is, moet het systeem verder onderzocht worden, bijvoorbeeld met behulp van nummerieke integratie. 20

24 A Cellmapping algoritme Bij de SCM methode is het de bedoeling dat van alle cellen bepaald wordt tot welke groep zij behoren. Met G(z) wordt de groep aangegeven waar z toe behoort, G(z) is dus het groepsnummer. We kunnen tevens bepalen hoeveel cellmap operaties er nodig zijn voordat z op een periodieke groep wordt afgebeeld. Met het stapnummer S(z) wordt dit weergegeven. Voor een periodieke cel geldt dus dat het stapnummer nul is. Met g ( z ) en s ( Z ) worden het groepsnummer en het stapnummer van z weergegeven. Met c ( Z ) wordt de beeldcel weergegeven. Per definitie wordt de sinkcell gezien als de eerste periodieke groep. Initialisatie: g(sinkcel1) = 1; s(sinkcel1) = O; c(sinkcel1) = O; In eerste instantie wordt het groepsnummer van alle overige cellen op nul gezet, dit worden zogenaamde virgin cellen genoemd: g = zeros(1,m); Nu moet van alle cellen het beeld bepaald worden. Dit gebeurt volgens de reeks z, C(z), C (z),... hiermee wordt net zolang doorgegaan totdat de beeldcel geen virgin cel meer is. Met B wordt deze reeks bijgehouden. In B staan dus de indices van de beeldreeks van b. Zodat zichtbaar is welke cellen tot deze reeks behoren, wordt het groepsnummer van deze cellen tijdelijk op -I gezet. Als de beeldcel op een gegeven moment groepsnummer -1 heeft dan wordt de reeks dus weer op zichzelf afgebeeld, dit betekent dat een nieuwe periodieke groep is gevonden. Heeft de beeldcel een ander groepsnummer dan -1 of O dan betekent het dat de reeks op een andere groep wordt afgebeeld. We kunnen dit op de volgende manier programmeren: j = O; b = Z; while g(b) == O g(b) = -1; B = [B b]; c (b) = IMCELL(b) ; b = c (b) ; 21

25 end j=j+l; Bijlage A - Cellmapping algoritme Hierin is I M C (b) ~ een functie die het beeld bepaald van b. Met deze herhaling wordt dus net zolang doorgegaan totdat de beeldcel geen virgin cel meer is. Als deze herhaling afgerond is moeten dus de twee mogelijkheden onderzocht worden, in eerste instantie wordt gekeken of de beeldcel weer op deze reeks afgebeeld wordt, dus dat een nieuwe groep is gevonden. Er is dan een i waarvoor geldt: B(i) = cpg(b(i)) if g(b) == -1 Ng = Ng + 1; g(b) = Ng * ones (size(b ) ; i = find( (B - b*ones(size(b) ) == O) ; s(b(1:i-1) = [i-l:-l:li; s (B(i:j ) = zeros(size(b(i:j ) ) ; Hierbij krijgen alle cellen uit de reeks B hetzelfde groepsnummer toegewezen. Het stapnummer wordt in de laatste twee regels toegewezen. Hierbij krijgen de cellen die tot de periodieke groep behoren stapnummer O en de cellen die tot deze groep leiden een oplopend stapnummer, afhankelijk van het aantal stappen tot aan de periodieke groep. XZ - Figuur A.?: H~Y- is te zien hoe em nieuwe periodieke groep wordt gevonden. Rechtsonder in de cellen staat weer de index, dit is de reeks B(l) tot B(6), links boven staat het stapnummer vermeldt. De cellen van de periodieke groep hebben stap nummer O. In dit geval is i = 4. Het andere geval is dat g(b) > O wat inhoudt dat we op een al bestaande periodieke groep zijn uitgekomen, of op een cel die naar een periodieke groep leidt: elseif g(b) > O g(b) = g(b) * ones (size(b ) ; st = [s(b)+j:-l:l]; s (B) = st (length(b ) ; 22

26 Bijlage A - Cellmapping algoritme Hierin wordt het groepsnummer van alle cellen uit deze reeks gelijk gemaakt aan het groepsnummer van deze groep. De laatste stap wordt ondernomen omdat anders de vector-lengten niet overeenkomen. Als we zorgen dat alle cellen een keer aan bod komen, dan zijn na deze procedure alle periodieke groepen en alle attractiegebieden bekend. De nauwkeurigheid waarmee de integratie wordt uitgevoerd zit verborgen in de fmctie mcm waarir, de Matlab functie ODE^^ wordt amgvroepen. Deze nauwkeurigheid wordt in de mom-file via EPS ingesteld. Deze nmwkeurigheid moet minimaal een factor 10 kleiner zijn dan de celgrootte. Zowel in de programma s van Jeroen van der Spek [ 11 als in het Matlab programma krijgen de groepen een oplopend nummer toegewezen als naam: Het zogenaamde groepsnummer. Dit is & hetzelfde als het nummer van een periodieke groep. Dus als het groepsnummer 3 is betekent dit niet dat het een P - 3 groep betreft. De totale groep met een bepaald groepsnummer geeft bovendien zowel het attractiegebied als de periodieke groep zelf weer. Uit het algoritme blijkt dat de groep met groepsnummer 1 de groep is die op de sinkcell wordt afgebeeld. 23

27 Listings in Matlab %CELLMAP is een celhpping programma % Eerst in de file INV0ER.M de juiste gegevens invoeren % Er dient ook een functie gedefinieerd te zijn met dezelfde % naam als de string 'vgl' in de INVOER-file % Versie 2 dec 1996, Jelle Oudemans %initialisatie clear clear global tijd = cputime; invoer Ng = 1; M = n(1) *n(2); g = zeros(1,m) ; c = -1 * ones(1,m) ; s = -1 * ones(1,m) ; sinkcell = M + 1; g(sinkcel1) = 1; c (sinkcell) = O; s(sinkcel1) = O; % in ïnv0id.m worden de invoer waarden % gegeven % Ng is aantal periodieke groepen % M is aantal cellen % g is vector met groepsnummer van de ce1,n % alle cellen worden virgin cellen gemaakt % c is vector met beeldcel index van de cel % s is stapnmer tot aan periodieke groep % alle stap en beeldindex worden op -1 gezet % dit is de index van de sinkcell % per definitie geldt dit %Hoofdprogramma for z = l:m % z is cel index nummer if g(z) == O j = O; % stap teller b = z; % plaatselijke cel index B = [I; % matrix die gevult wordt met beeldcellen while g(b) == O % er wordt net zolang naar beeldcellen % gesprongen totdat een cel geen virgin % cel meer is g(b) = -1; % tijdelijke groep aanduiding B = [B b]; c(b) = imcell(b, ) % imcell geeft de beeldcel van b b = c(b); if b == O b = sinkcell; end 24

28 Bijlage B - Listings in Matlab j=j+l; end if g(b) == -1 % dwz een nieuwe groep is gevonden Ng = Ng + 1; g(b) = Ng * ones (size(b) 1 ; i = find((b - b*ones(size(b))) == O); s(b(1:i-1)) = [i-1:-1:11; s (B(i: j ) ) = zeros (size(b(i:j ) ) ; elseif g(b) > O g(b) = g(b) * ones(size(b)); st = is (biij :-1:l]; s (B) = st (l:length(b ) ; end end end cputijd = (cputime- tijd)/60 % De cputijd in min disp ( 'minuten') ts = ndstr(tfina1); ps = find(ts=='. I); ts(ps) = I-'; eval(['save ' vgl ndstr(n(1)) 't' ts '.mat']) hold off plotgroep % plotprogramma dat de groepen plot Hieronder staat de functie IMCELL.M weergegeven: function [b, x] = imcell(z) %IMCELL(Z) bepaalt de (index van de) beeldcel van Z % versie 2 dec 1996 global punt0 puntl punt2 n % deze variabelen zijn global gedeclareerd global celgrootte vgl tfinal EPS zp = z/n(l); Fzp = floor (zp) ; if zp == Fzp Fzp = Fzp - 1; end po = punt0 + [ (zp - Fzp) *n(l) Fzpl.* celgrootte; [t,x] = ode23 (vgl,o.o,tfinal,po,eps); bp = [x(max(size(x)),l) x(max(size(x)),2)1; if bp(î) <= puntï(1) I bp(1) > punt2(1) I bp(2) <= puntî(2) I bp(2) > Punt2 (21 b = O; else end a = ceil((bp - puntl)./ celgrootte); b = (a(2)-1)*n(l) + a(1); 25

29 C Het programma Xedit XEDIT-HELP is een m-file die de belangrijkste functies van het programma Xedit verklaard. Xedit is een heel simpele text editor. Aanroepen met xedit 'filename' waarbij de de filename eventueel weggelaten kan worden. De backspace toets werkt gewoon evenals de pijltjestoetsen. Met Home en End kan naar het begin en het eind worden gesprongen. Op de bovenste regel staan drie 'knoppen' Quit, Save en Load deze zijn met de muis aan te klikken. Daarnaast staat de filename die aan te passen is door met de muis aanwijzer in dat vak te staan! Het 'daktekentje' onder de regel is de cursor. De muisaanwijzer moet dus ALTIJD in dat vak staan waar je wat wilt aanpassen! De volgende sneltoetsen zijn onder andere beschikbaar: Cntrl A - Home Cntrl C - Copy --> 1 eerst juiste tekst selecteren 2 dan op juiste plaats gaan staan met cursor 3 dan Cntrl C of middelste muisknop Cntrl E - End Cntrl D - Delete (een karakter) Cntrl K - Kill tot einde regel Cntrl H - Backspace Cntrl V - ga naar laatste positie Cntrl W - Wipe (is DELETE, hiermee kan een selectie weggehaald worden) Cntrl R - Replace Cntrl S - Search Knippen, plakken kan dus op de volgende manier: 1 eerst juiste tekst selecteren 2 Cntrl W (knippen) 3 dan op juiste plaats gaan staan met cursor 3 dan Cntrl C (plakken) of met de middelste muisknop 26

30 Bijlage C - Het programma Xedit Voor alle duidelijkheid: Xedit onthoudt dus altijd wat de laatste selectie is geweest, dit in tegenstelling tot wat bij Windows normaal is, waar eerst geselecteerd moet worden en dan deze selectie naar het klembord moet worden verplaatst door te kopiëren waarna het op de gewenste plaats kan worden geplakt. PLAKKEN kan dus ook met de middelste muisknop gebeuren dit geldt overigens voor iedere Xwindow-toepassing! 27

31 Gebruik van CELLMAEM Bij gebruik van het Matlab SCM programma CELLMAP moet eerst in het bestand INVOER.M het een en ander ingevuld worden. Te beginnen met puntl, dit is het punt linksonderaan van het gebied!2 dat we in cellen willen opdelen. Met punt2 wordt bedoeld het punt rechtsbovenaan van dit gebied. Vervolgens moet nog aangegeven worden in hoeveel cellen het gebied opgedeeld moet worden in n = [nî, n2 1. Zie onderstaande figuur. Punt22 x2 sinkcell Figuur D.1: In deze figuur kunnen we zien waar punt1 en punt2 liggen. Ook is te zien hoe nî en n2 gedefinieerd zijn. In het bestand INVOER.M wordt ook ingevuld wat het integratie interval is. Tevens wordt ingevuld hoe de vergelijking heet waar de cellmap bewerking op wordt uitgevoerd. Deze naam moet tussen aanhalingstekens staan, het is een string. Er moet een functie gedefinieerd zijn met precies dezelfde naam waarin op de standaard Matlab manier een differentiaalvergelijking wordt beschreven. Voor een voorbeeld zie Bijlage E. Als alles goed is ingevuld kan bij de Matlab-prompt CELLNAP gedraaid worden. Als alle groepen zijn berekend, worden alle gegevens opgeslagen in een.mat - file met als 28

32 Biilage D - Gebruik van CELLMAP.M naam de vergelijking, nî en het integratie-interval. Bijvoorbeeld: v~o1101tl-3.mat. dat is dus de vdpol vergelijking met nî = 101 en integratie-interval At = 1,3. Aan het eind van CELLMAP wordt het programma P ~ R O E P gedraaid, hiermee worden de groepen geplot. Indien meer groepen geplot moeten worden dan simpelweg nog een keer PLOTGROEP draaien. In PLOTGROEP wordt de plot steeds vast gehouden, zodat nieuwe groepen steeds bij de oude in hetzelfde plaatje worden bijgeschreven. Dit wordt gedaan met het Matlab commando hold on. Als we weer een schoon plaatje willen, dan bij de Matlab-prompt hold off intikken. 29

33 Voorbeeld van INPIBERM Hieronder is een voorbeeld van INVOER. M te zien. %INVOER bevat de invoer voor het programma CELLMAP % De waarden in het gebied tussen de sterretjes kunnen gewijzigd worden... punt1 = [ ; % Dit is het punt linksonder van het gebied punt2 = [ ; % Dit is het punt rechtsboven van het gebied n = [lol 1011; vgl = 'vdpol' tfinal = 3.3; EPS = 13-3; % Het aantal cellen in de twee richtingen % Vergelijking die is gedefinieerd in de % gelijlmaxige Matlab-functie, die wordt % gecellmapped % Het integratie interval % ik integratie nauwkeurigheid... celgrootte = abs (punt2-puntl). /n; punt0 = puntl + 0.5* [-celgrootte(1) celgrootte(2) I ; global punt0 puntl punt2 n % deze variabelen worden global gedeclareerd global celgrootte vgl tfinal EPS Hieronder is te zien hoe de Matlab-functie VD~L.M eruitziet. Dit is dus de manier waarop een differentiaal vergelijking in Matlab geprogrammeerd wordt. Dit is een apart bestand met de naam VDFOL.M. function ypunt = vdpo1 &,y) % Dit is de eigenlijke vergelijking die geintegreerd wordt. % Let erop dat nadat je de waarde van mu gewijzigd hebt, je bij de % MATLAB-prompt eerst: CLEAR VDFûL typt voordat je gaat % integreren. mu = 0.1; 30

34 Gebruik van cellmap-programma Hieronder staat beschreven hoe het programma voor simple cell mapping (SCM) dat door Jeroen van der Spek [ 11 is geschreven gebruikt kan worden. Directory: Systeem vgl: Cellgrootte enz.: celmap/gcm/omi ( /datf iles) in main. c (In het gedeelte genaamd: system defenition.) /datf iles/param Als main. c is aangepast dient een nieuwe run-versie van omi gemaakt te worden. Hierbij worden alle files gecompileerd en gelinked. Dit gebeurt met het commando: MAKE. Als alleen param wordt aangepast hoeft dit niet te gebeuren. Vervolgens kunnen we een cell-map-berekening uitvoeren door het commando ortmi uit te voeren. De uitkomst hiervan is dat er in de subdirectory /datfiles een aantal.dat files ontstaan. Zogenaamde tx#-l.dat, tx#-2.dat, x#-î.dat en x#-2.dat. De eerste twee geven de transiënte cellen weer (per richting) de laatste twee geven de periodieke oplossing, met # wordt bedoeld het groepsnummer. Door deze te plotten met behulp van Matlab kunnen we plaatjes krijgen. De plotfiles staan ook in de subdirectory /datf iles. BV plotgr2.m enz. TiPS bij het Werken in UNIX Op het net. Wanneer er een file aangepast moet worden is het programma Xedit zeer makkelijk. Dit is een zeer eenvoudige editor, die met een muis is te besturen. Xedit aanroepen met xedit I f ilenme l. De muisknopindeling is als volgt: - Linker muis knop plaats cursor selecteren en tekst selecteren, - Middelste muisknop geselecteerde tekst 'plakken', - Rechter muisknop meerdere regels selecteren. Let er wel op, dat bij het veranderen van bijvoorbeeld de filename de aanwijzer van de muis zich ook in het filename-veld bevindt (en dus niet alleen de cursor), aangezien er anders niets gebeurt! Zie ook Bijlage C. 31

35 Literat uur1 ijst UI r21 r3 r4 J.A.W. van der Spek. Cell mapping methods: Modifications and extensions. Dissertatie aan de Technische Universiteit Eindhoven, 1994 prof. dr. ir. D.H. van Campen. Niet-lineaire Dynamica, dictaat 4661, Technische Universiteit Eindhoven, Didier Lemmens. Onderzoek aan niet lineaire systemen met behulp van simple cell mapping. Technische Universiteit Eindhoven, WFW rapportnummer , Eindhoven 1992 E.J.R.W. Thijssen. Onderzoek aan een niet-lineair uitlaatsysteem met behulp van de cell mapping methode. Technische Universiteit Eindhoven, WFW rapportnummer , Eindhoven