Seminarie MATLAB. D. Deses Voorwoord 2

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Seminarie MATLAB. D. Deses 2012-2013. 1 Voorwoord 2"

Transcriptie

1 Seminarie MATLAB D. Deses Contents 1 Voorwoord 2 2 Het command venster Getallen, bewerkingen en variabelen Scripts Vectoren en matrices Bewerkingen Stelsels oplossen Eigenwaarden en eigenvectoren Grafieken D-Grafieken D-Grafieken Animaties Veeltermen Symbolische wiskunde Programmeren Functies Verdere oefeningen

2 1 Voorwoord Deze cursus bestaat uit dertien uren seminarie. Tijdens deze uren is het de bedoeling dat je deze nota s doorneemt en de voorbeelden en oefeningen onder begeleiding op computer uitvoert. Gaandeweg leer je met het wiskundepakket MATLAB werken. Na deze dertien uren volgt een evaluatie onder de vorm van een taak. Voor deze taak zal je twee verschille stellingen uit verschille cursussen kiezen en deze aan de hand van voorbeelden in MATLAB illustreren. Er is geen examen MATLAB. Zorg er dus voor dat je taak in orde is. Deze tekst is geschreven voor MATLAB R2010b. Na het opstarten krijg je verschille vensters. Het centrale venster is het command venster. Hierin kan je opdrachten ingeven die MATLAB zal uitvoeren. Verder draait deze tekst eerst en vooral om wiskunde. De verschille voorbeelden en oefeningen zullen het gebruik vergen van de leerstof uit andere cursussen. Denk daarom eerst na en begin dan pas MATLAB te gebruiken om het rekenwerk te verlichten, MATLAB zal niet voor jou denken! 2 Het command venster 2.1 Getallen, bewerkingen en variabelen Je kan gewoon getallen en bewerkingen gebruiken. >> De uitkomsten worden in de variabele ans gestoken, je kan aldus telkens het laatste antwoord verder gebruiken. >> sqrt(-36) >> ans^ i 2

3 -36 Opmerking 1. MATLAB gebruikt standaard complexe getallen, de uitdrukking 2i^2 is dus equivalent aan (2i) 2 en wordt dus -4. Dit in tegenstelling tot 2*i^2 dat gelijk is aan 2 (i 2 ) = 2. Verder kent MATLAB ook het getal π,voor e wordt dan weer de functie exp gebruikt. >> exp(i*pi) i Naast de getallen kent MATLAB ook alle nodige wiskundige functies: sin, cos, tan, sqrt, exp, sinh, cosh, tanh,... >> sqrt(4*(cos(pi/4)+i*sin(pi/4))) i Een van de andere meest gebruikte functies van MATLAB is de helpfunctie. Je kan altijd de helpfunctie gebruiken om meer informatie over een commando te krijgen. Gebruik je help commando, dan krijg je een korte beschrijving. Voor een meer uigebreide uitleg kan je doc commando gebruiken. Je kan ook kortweg doc ingeven om de help bladzijden te openen. >> help sqrt SQRT Square root. SQRT(X) is the square root of the elements of X. Complex results are produced if X is not positive. See also sqrtm, realsqrt, hypot. Overloaded methods: sym/sqrt Reference page in Help browser doc sqrt 3

4 MATLAB kent ook variabelen, om een waarde toe te kennen gebruik je gewoon =. In het workspace venster wordt er bijgehouden welke variabelen je al hebt gebruikt en welke waarde ze hebben. >>a=1;b=-1;c=-1; >>D=b^2-4*a*c D = 5 >> x1=(-b+sqrt(d))/(2*a),x2=(-b-sqrt(d))/(2*a) x1 = x2 = Opmerking 2. Met een komma kan je verschille commando s op eenzelfde lijn ingeven. Met een puntkomma kan je voorkomen dat een resultaat wordt weergegeven. Oefening 1. De NMBS gebruikt stukken spoor van een lengte van 50m, die in de zomer 1cm uitzetten. Verklaar waarom de treinen in de zomer vertraging oplopen. (hint: Een spoor dat uitzet buigt en komt van de grond, berken de hoogte door te benaderen met driehoeken) 2.2 Scripts Je hebt het reeds gemerkt, vaak moeten een aantal commando s achtereenvolgens worden uitgevoerd. Men kan zo n reeks commando s saven als een script. Je maakt een nieuwe script aan via het file-menu. We geven hier het voorbeeld van het oplossen van een vierkantsvergelijking ax 2 +bx+c = 0. a=1; b=-1; c=-1; D=b^2-4*a*c; 4

5 x1=(-b+sqrt(d))/(2*a) x2=(-b-sqrt(d))/(2*a) Opmerking 3. Let op het gebruik van ; om het wel of niet tonen van de opdrachten uit een script te regelen. 2.3 Vectoren en matrices Alles is een vector in MATLAB. Ook functies zijn eigenlijk vectoren van functiewaarden. >> x=-2*pi:.1:2*pi; >> y=sin(x) y = Columns 1 through Columns 11 through Opmerking 4. Wanneer je werkt met grote vectoren is het gebruik van ; zeer nuttig. Ook getallen zijn eigenlijk 1 1-vectoren. >> size(x) >> size(pi) 1 1 5

6 Naast vectoren kent MATLAB ook matrices. Die voer je als volgt in. >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] A = Je kan rijen en kolommen uit een matrix halen. >> A(2,1:3) >> A(1:3,2) Opmerking 5. Let op! Het gebruik van, en ; is hier anders. We gebruiken, om elementen van een matrix te scheiden, terwijl ; de rijen van elkaar scheidt Bewerkingen >> A=[3,-1;5,-2] A = >> B=[2,4;3,-5] B = Je kan de gewone bewerkingen gebruiken voor matrices. 6

7 >> A*B,A^-1,B^ Opmerking 6. Een bewerking die we niet gewoon zijn in de wiskunde is het delen van matrices. In MATLAB gaat dit wel. A/B betekent hier A B 1. >> B/A >> B*A^ Opmerking 7. De bewerkingen *, ^ bestaan ook in een gepunte versie.*,.^ Deze versies werken element per element. >> A.*B,A.^-1,B.^ Stelsels oplossen Eenmaal je matrices kan invoeren, kunnen natuurlijk ook stelsels lineaire vergelijkingen worden opgelost. Daartoe gebruik je het commando linsolve. 7

8 Let wel, gezien het feit dat MATLAB numerieke methoden gebruikt, zullen enkel stelsels met een reguliere matrix tot een oplossing leiden. Het stelsel { 2x + 4y = 3 los je als volgt op. >> C=[2,4;3,8]; D=[3;7]; >> linsolve(c,d) x + 8y = 7 We hadden dit ook korter gekund door C^-1*D te gebruiken. Oefening 2. Gebruik een Vandermonde matrix (vander) om een veelterm van graad n 1 te bepalen door n punten Eigenwaarden en eigenvectoren We hernemen de matrix A van voorheen. en gaan opzoek naar eigenwaarden en eigenvectoren. Het commando [V,D]=eig(A) geeft de diagonaalmatrix D, die de eigenwaarden bevat, terug, samen met de overgangsmatrix V, die de eigenvectoren als kolommen heeft. We weten dat A = V DV 1. >> A=[3,-1;5,-2] A = >> [V,D]=eig(A) V = D = >> V*D*V^

9 De eigenvectoren uit V zijn genormeerd. We kunnen nagaan dat de eerste eigenvector, wel degelijk bij de eerste eigenwaarde hoort. >> E=V(1:2,1) E = >> norm(e) >> A*E >> D(1,1)*E Oefening 3. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van een draaing, een homothetie, een spiegeling en een puntspiegeling in het vlak. 2.4 Grafieken D-Grafieken De grafiek van een functie maken, herleidt zich tot het berekenen van twee vectoren. We geven eerst het voorbeeld van de sech functie. >> x=-6:.01:6; >> y=sech(x); >> plot(x,y) Voor de functie f : R R : x 2 1/x wordt dit het volge. Let op het gebruik van.^ en./! >> x=-6:.01:6; >> y=2.^(1./x); >> plot(x,y) Je ziet onmiddellijk dat de grafiek niet bruikbaar is, hiervoor moeten we eerst de assen aanpassen. >> axis([-6,6,-2,5]) 9

10 Je kan dus de eigenschappen van de grafiek aanpassen nadat je de grafiek hebt gemaakt. Om meerdere grafieken op een enkele tekening te krijgen gebruik je hold all. Hiermee worden alle eigenschappen van een grafiek behouden en zullen de verdere grafieken bijgevoegd worden in een andere stijl. Een andere mogelijkheid is om bij plot meerdere x,y vectoren mee te geven. >> x=-6:.01:6; >> y1=x.^2-6*x+8; >> plot(x,y1, LineWidth,2) >> axis([-6,6,-2,10]) >> hold all >> y2=abs(x.^2-6*x+8); >> y3=abs(x).^2-6*abs(x)+8; >> plot(x,y2,x,y3) Oefening 4. Elke functie f is de som f e + f o van een even en een oneven functie: f(x) + f( x) f e (x) = 2 f(x) f( x) f o (x) = 2 Gebruik dit om een aantal functies op te splitsen in een even en een oneven functie. Maak tevens de grafieken. Oefening 5. Gebruik MATLAB om de hypergoniometrische functies te onderzoeken. Hierbij is sinh het oneven deel van e x en cosh het even deel. Verder definieert men de hyperbolische tangens, cotangens, secans en cosecans analoog als in de goniometrie. Oefening 6. Als je een ketting tussen twee punten ( 1, 1) en (1, 1) laat hangen zou je denken dat de ketting volgens een parabool hangt. Niets is minder waar, de werkelijke kromme is een catenaire of kettinglijn. De vergelijking is een verschuiving van een hyperbolische cosinus: y = cosh(x) + c Bepaal c zodat de kromme door de gewenste punten gaat. Maak de grafiek en bepaal het minimum. Vergelijk met een parabool die door de eindpunten en door het minimum gaat. Maak hiervoor een grafiek van beide krommen. Oefening 7. Beschouw de functies f(x), f( x ) en f(x). Wat is het verband tussen hun grafieken? 10

11 Je kan in MATLAB ook grafieken maken in poolcoördinaten. >> t=0:.01:2*pi; >> r=t/2; >> [x,y]=pol2cart(t,r); >> plot(x,y) >> axis equal Oefening 8. Onderzoek de volge polaire grafieken. r = sin(aθ), θ [0, 2π[ r = θ, θ > 0 Ook parameterkrommen kunnen getek worden. >> t=0:.01:2*pi; >> x=2*cos(t); >> y=3*sin(t); >> plot(x,y) Oefening 9. Onderzoek de Lissajous-krommen. { x = sin(at), t [0, 2π[ y = sin(bt) D-Grafieken Om 3D-grafieken te maken vertrek je van een meshgrid. Dit geeft twee matrices die x en y coördinaten bevatten voor een rechthoek van punten in het xy-vlak. Je kan een of twee parameters meegeven aan meshgrid (voor een vierkantig, resp. rechthoekig domein). Daarna gebruik je mesh, surf of contour voor de passe 3D-grafiek. >> [x,y]=meshgrid(-3:.1:3); >> z=x.*exp(-x.^2-y.^2); >> mesh(x,y,z) >> surf(x,y,z) >> contour(x,y,z) Soms is het handiger om bij mesh een zwart-wit grafiek te tekenen. dezelfde optie kan je ook bij surf de wireframe weglaten. Met 11

12 >> mesh(x,y,z, EdgeColor, black ) >> surf(x,y,z, EdgeColor, none ) Met colormap kan je kiezen het kleurepalet aan te passen. >> surf(x,y,z) >> colormap hot >> colormap cool >> colormap gray Je kan tenslotte ook kiezen om de kleur te laten afhangen van een functie. >> c=sqrt(x.^2+y.^2); >> surf(x,y,z,c) Oefening 10. Maak de grafiek van de hyperboloide gegeven door f(x, y) = x 2 y 2. Bepaal het raakvlak in (2, 3, f(2, 3)) en teken die op dezelfde grafiek. Gebruik eerst een surf-plot zonder wireframe, daarna een mesh-plot in zwartwit. Gebruik ten laatste hidden off. Wat doet dit? Oefening 11. Maak de grafiek van f(x, y) = 3 xy. Wat is hier het probleem? Hoe komt dit? Waarom biedt z=sign(x.*y).*(abs(x.*y)).^(1/3) een oplossing? Oefening 12. De grafiek van f(x, y) = 4 x 2 y 2 is een halve bol. Maak deze grafiek. Los de problemen die je tegenkomt zelf op. Je kan ook in 3D andere coördinatensystemen gebruiken. Voor sferische coordinaten doe je dit als volgt. >> [theta,phi]=meshgrid(0:.1:2*pi,-pi/2:.1:pi/2); >> r=1; >> [x,y,z]=sph2cart(theta,phi,r); >> surf(x,y,z) Ook cylindrische coördinaten kan je gebruiken. >> [theta,z]=meshgrid(0:.1:2*pi,-6:.5:6); >> r=1; >> [x,y,z]=pol2cart(theta,r,z); >> surf(x,y,z) Oefening 13. Waar ken je de vorm r = θ in sferische coördinaten van? 12

13 Oefening 14. Om het omwentelingslichaam gegeven door een 2D-kromme y = f(x) te bekomen kan je gebruik maken van cylindrische coördinaten. Je gebruikt hiervoor het oppervlak gegeven door r = f(z). Doe dit voor volge omwentelingslichamen: een kegel, een bol en ellipsoide. Oefening 15. De Belgische natuurkundige Joseph Plateau ( ) heeft geëxperimenteerd met zeepfilms. Hij zocht welke oppervlakte met minimale spanning men bekwam door zeepfilms tussen twee cirkels te maken. Het antwoord hierop is een catenoide, het omwentelingslichaam van een kettinglijn. Gebruik cylindrische coördinaten om een catenoide te maken. We kunnen tenslotte MATLAB ook gebruiken om oppervlakken in parametercoördinaten te tekenen. >> [u,v]=meshgrid(0:.1:2*pi); >> R=3;r=1; >> x=(r+r*cos(u)).*cos(v); >> y=(r+r*cos(u)).*sin(v); >> z=r*sin(u); >> mesh(x,y,z) Oefening 16. Een regeloppervlak wordt geparametriseerd door x = (1 u)p x (t) + uq x (t) y = (1 u)p y (t) + uq y (t), u [0, 1] z = (1 u)p z (t) + uq z (t) waarbij p(t) = (p x (t), p y (t), p z (t)) en q(t) = (q x (t), q y (t), q z (t)) twee krommen in R 3 zijn. Enkele voorbeelden: Cylinder: twee evenwijdige cirkels. p(t) = (cos(t), sin(t), 1), q(t) = (cos(t), sin(t), 1), t [0, 2π] Hyperboloide: twee evenwijdige cirkels doorlopen met een faseverschil. p(t) = (cos(t), sin(t), 1), q(t) = (cos(t+π/2), sin(t+π/2), 1), t [0, 2π] Möbiusband: p(t) = ((2 + cos(t)) cos(2t), (2 + cos(t)) sin(2t), sin(t)) q(t) = ((2 cos(t)) cos(2t), (2 cos(t)) sin(2t), sin(t)) t [0, 2π] 13

14 Helicoide: p(t) = (cos(2t), sin(2t), t), q(t) = (0, 0, t), t [0, 2π] Je kan tenslotte ook krommen in de ruimte tekenen. plot3. >> t=0:.01:1; >> x=cos(2*pi*t); >> y=sin(2*pi*t); >> z=t; >> plot3(x,y,z) Dit doe je met Oefening 17. Maak de grafieken uit de vorige oefening opnieuw, maar nu met de randen bijgetek. Oefening 18. Onderzoek een 3D versie van de Lissajous-krommen Animaties Het is ook mogelijk om met MATLAB animaties te maken. Dit wordt gedaan door een aantal grafieken uit te rekenen en die achtereenvolgens te tekenen en op te slaan met getframe. Het afspelen zelf gebeurd met movie. We gebruiken voor dit alles een for-lus, die uitgevoerd zal worden als je ze sluit met. >> for k=1:50 t=0:.05:2*pi; e=-2+k/50*4; r=1./(1+e.*cos(t)); [x,y]=pol2cart(t,r); plot(x,y) axis([-3,3,-3,3]); M(k)=getframe; >> movie(m) Je mag niet vergeten om na elke grafiek de assen juist te zetten. Voordat je movie aanroept is het best om elk bestaand grafisch venster te sluiten. Met movie(m,30) herhaal je het filmpje dertig keer. Oefening 19. Maak een animatie die het oppervlak z = f(x, y) continu omvormt tot het oppervlak z = g(x, y). Werk een aantal voorbeelden uit. Oefening 20. Maak een script die voor de regeloppervlakken uit vorige oefeningen een animatie maakt waarbij het regeloppervlak rechte per rechte verschijnt. 14

15 2.5 Veeltermen Naast numerieke computerprogramma s bestaan er ook symbolische programma s. MATLAB werkt numeriek. Om te laten zien wat symbolische berekeningen zijn zullen we in eerste instantie gaan kijken naar veeltermen. Voor MATLAB is een veelterm een vector van coëfficiënten. >> v=[1,0,-2]; >> polyval(v,[-1,0,1,sqrt(2),2]) >> roots(v) >> poly([sqrt(2),-sqrt(2)]) Met poly kan ook je de characteristieke veelterm van een matrix vinden. En daarmee dus ook de eigenwaarden. >> A=[3,-1;5,-2]; >> p=poly(a) p = >> roots(p) Met conv kan je het product van veeltermen uitrekenen. >> poly([1,2,3]) >> conv(conv([1,-1],[1,-2]),[1,-3]) >> roots(ans)

16 MATLAB kan tenslotte ook veeltermen integreren en afleiden. >> p=poly([1,2,3]) p = >> q=polyint(p) q = >> polyder(q) Oefening 21. Gebruik polyval om de grafiek van een veelterm te maken. Oefening 22. In de oude Islamkultuur worstelde men met volg probleem: vind getallen m, n zodat m + n = S en mn = P indien S en P gegeven zijn. Men wist dat m en n de oplossingen zijn van de vierkantsvergelijking x 2 Sx + P = 0. Gebruik deze methode om m en n te bepalen voor S = 10, P = 16 en S = 2000, P = Waarom had men problemen voor S = 10, P = 90? Controleer je antwoorden. Oefening 23. Maak met MATLAB een derdegraadsveelterm V (x) die in x = 1, 2 en 3 de waarde 6 heeft. Maak een grafiek van V (x) en de rechte y = 6. (hint: beschouw V(x)-6) Oefening 24. Bepaal de oppervlakte tussen de parabolen y = x 2 + 3x en y = x 2 + x + 4. Oefening 25. Gebruik polyfit om een veelterm van graad n 1 te bepalen die door n punten gaat. Vergelijk met de oefening op Vandermonde matrices. Wat gebeurt er als je de graad van de veelterm doet dalen? Maak ook telkens de nodige grafieken. Oefening 26. Implementeer het algoritme van Newton-Raphson om nulwaarden te vinden voor veeltermen. Gebruik dit om de nulwaarden te benaderen van 2x 3 x 2 3x Symbolische wiskunde De functionaliteit van MATLAB kan uitgebreid worden dmv toolboxes. Een ervan is de Symbolic Math Toolbox dat MATLAB in staat stelt om echte symbolische berekeningen te doen. Deze toolbox is gebaseerd op Mupad dat een programma is om symbolische wiskunde te doen en dat gratis te downloaden is op internet. 16

17 Een variabele in MATLAB moet eerst symbolisch gemaakt worden alvorens ze te kunnen gebruiken in symbolische berekeningen. >> syms x y z >> (x+y)*x-z+(x-z)*(1-y) x*(x + y) - z - (x - z)*(y - 1) >> simplify(ans) x^2 + x - 2*z + y*z Soms is het ook nodig om getallen in symbolische vorm om te zetten. >> sym( 1/sqrt(2) ) 2^(1/2)/2 >> pretty(ans) 1/ Verder kan MATLAB hiermee ook berekeningen uitvoeren. >> syms a b c x >> p=a*x^2+b*x+c p = a*x^2 + b*x + c >> solve(p,x) -(b + (b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a) -(b - (b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a) >> diff(p,x) b + 2*a*x >> diff(p,x,2) 2*a >> int(p,x) (a*x^3)/3 + (b*x^2)/2 + c*x Ook matrices kunnen in symbolische vorm voorkomen. Hiermee kan je de exacte waarden van de eigenwaarden vinden ipv een benadering! 17

18 >> A=sym( [3,-1;5,-2] ) A = [ 3, -1] [ 5, -2] >> [V,E]=eig(A) V = [ 1/2-5^(1/2)/10, 5^(1/2)/10 + 1/2] [ 1, 1] E = [ 1/2-5^(1/2)/2, 0] [ 0, 5^(1/2)/2 + 1/2] De symbolische toolbox kent ook de functies ezplot, ezplot3, ezsurf, ezcontour en ezmesh om grafieken van symbolische uitdrukkingen te maken. >> syms x y >> f=exp(-x^2-y^2) f = 1/exp(x^2 + y^2) >> int(int(f,x,-inf,inf),y,-inf,inf) pi >> ezmesh(f,[-3,3,-3,3]) Oefening 27. Gebruik factor en expand om een aantal veeltermen te ontbinden in factoren en uit te werken. Oefening 28. Gebruik de symbolische toolbox om de functie f : R R : x 2 1/x zo volledig mogelijk te onderzoeken. Oefening 29. Bepaal de oppervlakte tussen de grafieken van de hyperbolische sinus, hyperbolische cosinus en de y-as. Bepaal ook de oppervlakte onder de hyperbolische secans. Oefening 30. Gebruik taylor om achtereenvolge benaderingen te maken van de sinus functie. Maak de nodige grafieken. Oefening 31. Zoek het verband tussen de volumes van een cilinder, een kegel en een paraboloide met eenzelfde grondvlak en gelijke hoogten. 3 Programmeren Er bestaan verscheidene soorten programmeertalen: 18

19 1960: spaghetti programeren (BASIC) 1970: procedureel programmeren (PASCAL) 1990: object georienteerd programmeren (JAVA) MATLAB beschikt over een volwaardige procedurele programmeertaal. Iedere programmeertaal beschikt over volge commando structuren: 1. variabelen (a,b,c,...) en elementaire bewerkingen (+,*,sin, ) 2. voorwaardelijke structuren: als a < b dan (doe dit) anders (doe dat) 3. lussen: voor k = 1 to 10 (doe dit) 4. commando s inherent aan de taal zelf: Java: internet MATLAB : wiskunde Variabelen en bewerkingen heb je ondertussen al onder de knie, en de for-lus ben je al tegengekomen. De if-structuur ziet er als volgt uit. >> x=35; >> relpriem=[]; >> for k=1:x if gcd(k,x)==1 relpriem=[relpriem, k]; >> relpriem relpriem = Columns 1 through Columns 18 through Functies Soms is het handig om zelf een functie te kunnen schrijven die een uitkomst teruggeeft. Dit doe je ook via het file-menu. 19

20 function [ c ] = sommod( a,b,n ) % Som modulo n % sommod(a,b,n) geeft a+b mod n weer. c=mod(a+b,n); De twee lijnen met commentaar zijn optioneel, maar worden wel gebruikt door het helpsysteem van MATLAB. Probeer maar eens help sommod of doc sommod. Het aanroepen gebeurt zoals je zou verwachten. >> sommod(3,4,5) 2 Oefening 32. Schrijf een functie die n! uitrekent. Doe dit zowel iteratief als recursief. Oefening 33. Schrijf een functie die het nde Fibonacci getal uitrekent. Doe dit zowel iteratief als recursief. Ga na dat de verhouding van twee opeenvolge Fibonacci getallen naar de gulden snede convergeert. Oefening 34. Schrijf een functie die nagaat of een getal in een bepaalde verzameling zit. Een functie doorgeven aan een andere functie, gebeurt via een function handle die je aanmaakt Onderstaande functie gaat na of de bewerking b op de verzameling S commutatief is. 20

21 function [ res ] = iscomm( S, b ) % gaat na of b een comm bewerking is res=true; for k=1:length(s) for l=1:length(s) if not(b(s(k),s(l))==b(s(l),s(k))) res=false; break; if not(res) break; Nu maken we een bewerking aan. function [ c ] = bew( a,b ) c=sommod(a,b,5); We kunnen nu de functie iscomm oproepen. >> S=0:4 S = >> 1 Oefening 35. Maak een functie die voor een bepaalde bewerking op een verzameling een Cayley-tabel maakt. Oefening 36. Schrijf een verzameling functies die nagaan of een gegeven bewerking op een gegeven verzameling een commutatieve groep is. 3.2 Verdere oefeningen Oefening 37. Maak een script die de driehoek van Pascal genereert (< 50 lijnen, wat gebeurt er voor meer lijnen?). Zet dan alle p-vouden op 1 en alle andere op 1 voor een bepaald priemgetal p (begin met 2). Maak dan de grafiek, welk beeld krijg je? 21

22 Oefening 38. Onderstaand script maakt de Mandelbrot fractaal. wat elke regel doet. Leg het algoritme uit. clear for k=1:500 x=-2.5+k/500*4; for l=1:500 y=-1.5+l/500*3; z=x+y*i; c=z; for it=1:50 z=z^2+c; if abs(z)>2 M(k,l)=it; break image(m) axis equal Ga na Oefening 39. Maak een animatie van een kromme in poolcoordinaten die afhangt van een parameter, vb: r = a 2 cos(2θ). Oefening 40. Maak een aantal scripts om π te benaderen. (hint: arctangens (taylorreeks), oppervlakte cirkel, Monte-Carlo methode, integratie... bedenk maar iets) Oefening 41. Schrijf een procedure die het beeld van een kromme in C maakt voor de Moebius-transformatie z 4z 6 2z 4 Bepaal hiermee de beelden van de krommen a(t) = 2 + 2e Iπt, t = 0..1 en b(t) = 4 (2 + 4I)t, t = 0..1 en c(t) = (2 4I)t, t = Maak een tekening van de krommen en van hun beelden. Oefening 42. Maak een functie die, gegeven een dataset, de statistieken ervan teruggeeft. Doe dit eventueel ook voor twee dimensionale statistieken. Oefening 43. Onderstaand script maakt de Koch kromme. Het eerste deel maakt een programma aan het tweede deel gebruikt dit om een turtlegrafiek te maken. Ga na wat elke regel doet. Leg het algoritme uit. 22

23 % Koch kromme L=[1]; S=[1,60,1,-120,1,60,1]; h=1/3; n=5; % substituties s=1; for k=1:n NL=[]; s=s*h; for l=1:length(l) if L(l)==1 NL=[NL,S]; else NL=[NL,L(l)]; L=NL; % turtle grafiek x=0;y=0; t=0; for l=1:length(l) x1=x;y1=y; if L(l)==1 x=x+s*cos(t*pi/180);y=y+s*sin(t*pi/180); line([x1,x],[y1,y], Color, black ) else t=t+l(l); axis([0,1,-.1,1]) 23

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

Matlab-Introductie (les 1)

Matlab-Introductie (les 1) Matlab-Introductie (les 1) Wat is Matlab? MATLAB staat voor MATrix LABoratory. Opstarten van Matlab Dit hangt af van het onderligge systeem (Windows, Linux,...), Maar kortweg geldt bijna altijd: ga met

Nadere informatie

Introductie in R. http://www.math.montana.edu/stat/tutorials/r-intro.pdf http://www.math.montana.edu/stat/docs/splus_notes.ps

Introductie in R. http://www.math.montana.edu/stat/tutorials/r-intro.pdf http://www.math.montana.edu/stat/docs/splus_notes.ps Introductie in R R is een programmeer taal met een groot aantal voorgeprogrammeerde statistische functies. Het is de open source versie van S-plus. Wij gebruiken R dan ook omdat het gratis is. Documentatie

Nadere informatie

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht

ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Dr Didier Deses KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com Inleiding Wat omvat ICT in de wiskunde? Rekenmachine Wetenschappelijk Grafisch Symbolisch

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong

( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

5 Eenvoudige complexe functies

5 Eenvoudige complexe functies 5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2

Oefening 1. Welke van de volgende functies is injectief? (E) f : N N N : (n, m) 7 2m+n. m n. Oefening 2 IJkingstoets 30 juni 04 - reeks - p. /5 Oefening Een functie f : A B : 7 f () van verzameling A naar verzameling B is injectief als voor alle, A geldt: als 6=, dan is f () 6= f (). Welke van de volgende

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/.

Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. Softmaths 1 Softmaths Het installatiepakket haal je af van de website http://www.gedesasoft.be/. De code kan je bekomen op de school. Goniometrie en driehoeken Oplossen van driehoeken - Start van het programma:

Nadere informatie

In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen.

In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen. Hoofdstuk Een DERIVE-tour In dit hoofdstuk komen korte onderwerpen aan bod die we uitwerken met DERIVE. Zo leer je heel wat functies van DERIVE kennen..1 Exact en benaderend rekenen Met de standaardinstelling

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Machtsfuncties, Exponentiële, en Logaritmische Krommen

Machtsfuncties, Exponentiële, en Logaritmische Krommen (HOOFDSTUK 1, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling; het deel

Nadere informatie

maplev 2010/7/12 14:02 page 135 #137 Plaatjes in drie dimensies

maplev 2010/7/12 14:02 page 135 #137 Plaatjes in drie dimensies maplev /7/ 4: page 35 #37 Module Plaatjes in drie dimensies Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Zie ook Driedimensionale plots. Module 9. plot3d, spacecurve, contourplot, gradplot, cylinderplot

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Gebruik van een grafisch rekenmachine in de 3de graad ASO

Gebruik van een grafisch rekenmachine in de 3de graad ASO in de 3de Dr Didier Deses Koninklijk Atheneum Koekelberg Vrije Universiteit Brussel T 3 -Vlaanderen wiskak@yahoo.com Overzicht 1 2 ::een grafiek maken Dmv y= en zoom [zdecimal]: ::een grafiek maken Dmv

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Matlab introductie. Kees Vuik

Matlab introductie. Kees Vuik Matlab introductie Kees Vuik 2014 Delft University of Technology Faculty of Electrical Engineering, Mathematics and Computer Science Delft Institute of Applied Mathematics Copyright 2014 by Delft Institute

Nadere informatie

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd

Nadere informatie

Inleiding goniometrie

Inleiding goniometrie Inleiding goniometrie We bekijken de volgende twee hellingen: 1 2 Duidelijk is dat de tweede helling steiler is dan de eerste helling. Ook zien we dat hellingshoek 2 groter is dan hellingshoek 1. Er bestaat

Nadere informatie

Wetenschappelijk Rekenen

Wetenschappelijk Rekenen Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 3 september 204. Beschouw de matrix A = 8 6 3 5 7 4 9 2 Deze matrix heeft 5 als dominante eigenwaarde. We proberen deze eigenwaarde

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Graphics. Small Basic graphics 1/6

Graphics. Small Basic graphics 1/6 Small Basic graphics 1/6 Graphics Naast het werken met tekst kan je in Small Basic ook werken met grafische elementen: lijnen, vormen en kleuren. Hierbij gebruik je het grafische venster met de witte achtergrond.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Illustratie 2

Hoofdstuk 1. Illustratie 2 Hoofdstuk 1 Numerical Methods College 2 A. Floating-point representatie (Hoofdstuk 1) B. Matlab A.A.N. Ridder Twee belangrijke onderwerpen die moeten leiden tot een beter begrip van de numerieke problematiek:

Nadere informatie

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking 5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in

Nadere informatie

Mijmeringen over met de TI-84+

Mijmeringen over met de TI-84+ Mijmeringen over met de TI-84+ Dr Didier Deses Samenvatting Het begrip oneindig komt in de lessen van het ASO regelmatig voor. Het duikt op in verschillende contexten: rijen, limieten, asymptoten, integralen,

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB)

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Domein : Bewerkingen Onderwerp: vervolg breuken B11 B11 B11 De leerlingen kunnen ongelijknamige breuken gelijknamig maken, optellen en aftrekken. De leerlingen kunnen bij

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 4 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Inhoud Aan de student V Studiewijzer Aan de docent VII IX Over de auteurs XI Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Leereenheid 0.1 Elementaire algebra 3 0.1.1 Verzameling van getallen en het symbool 4 0.1.2 Merkwaardige

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

Nadere informatie

Enkele voorbeelden volstaan. Zie verder de Help-file van Matlab.

Enkele voorbeelden volstaan. Zie verder de Help-file van Matlab. 1 Inleiding Bij Stochastische Operations Research (2DD21 + SOR-deel van 2DD18) wordt software gebruikt: routines en procedures uit het pakket Matlab en uit een toolbox met Matlab-m-files die hoort bij

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS. deel 1 LOTHAR PAPULA. 2e druk > ACADEMIC SERVICE WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH ONDERWIJS deel 1 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC SERVICE inhoud 1 Algemene grondbegrippen 1 1.1 Enkele basisbegrippen in de verzamelingenleer 1 1.1.1 Definitieenbeschrijvingvaneenverzameling

Nadere informatie

Integratie voor meerdere variabelen

Integratie voor meerdere variabelen Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie, 27/28 Les 4 Integratie voor meerdere variabelen In deze les bekijken we het omgekeerde van de afgeleide, de integratie, en gaan na hoe we een integraal voor functies

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

Poolcoördinaten (kort)

Poolcoördinaten (kort) Poolcoördinaten (kort) WISNET-HBO update juli 2013 Carthesiaanse coördinaten In het algemeen gebruiken we voor de plaatsbepaling in het platte vlak de gewone (Carthesiaanse) coördinaten voor, in een rechthoekig

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Samenvatting dictaat programmeren III (M. Oude Alink, P. Oost, M. Timmer. 2008-2009)

Samenvatting dictaat programmeren III (M. Oude Alink, P. Oost, M. Timmer. 2008-2009) Samenvatting dictaat programmeren III (M. Oude Alink, P. Oost, M. Timmer. 2008-2009) Hoofdstuk 1: Zoeken & Sorteren Er bestaan al heel veel standaardfuncties in Matlab voor zoeken en sorteren van lijsten:

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES In Excel bestaat reeds een uitgebreide reeks van functies zoals SOM, GEMIDDELDE, AFRONDEN, NU enz. Het is de bedoeling om functies aan deze lijst toe te voegen door in Visual

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012

Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90) wordt evenals in de cursus Calculus 1 gebruikt het boek: Calculus, Early Transcendental

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

college 2: partiële integratie

college 2: partiële integratie 39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:

Nadere informatie

De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin.

De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin. Rekenmachine 1. Rekenmachine De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin. Onze rekenmachine geeft het resultaat

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Examenvragen Numerieke Wiskunde 2012

Examenvragen Numerieke Wiskunde 2012 Examenvragen Numerieke Wiskunde 2012 Dennis Frett, Karel Domin, Jonas Devlieghere 3 oktober 2014 1 Inhoudsopgave 1 Programma verschil, verklaar afwijking 4 2 Matrix met dominante eigenwaarde 6 3 Functiewaarden

Nadere informatie

2. Het benaderen van nulpunten

2. Het benaderen van nulpunten Het benaderen van nulpunten Benaderen van vierkantswortels Als we met een numerieke rekenmachine benadering, 7 =,64575 7 berekenen, krijgen we als resultaat een Het numeriek benaderen kan met een recursieve

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

OEFENINGEN PYTHON REEKS 5

OEFENINGEN PYTHON REEKS 5 Vraag 1: Interpoleren (vervolg) OEFENINGEN PYTHON REEKS 5 Bouw verder op je code van Reeks 3, vraag 4. Voeg vier constanten toe aan je code: X0 = 280, Y0 = 0, Z0 = 50 en SIZE = 8. a) Teken een kubus met

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Een eerste kennismaking met Mathematica

Een eerste kennismaking met Mathematica Een eerste kennismaking met Mathematica Marcel Vonk November 2013 Inhoud 1 Over Mathematica 1 2 Notebooks en invoer 2 3 Mathematica als rekenmachine 3 4 Werken met variabelen 5 5 Het gebruik van functies

Nadere informatie

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden: Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

GEOGEBRA 4. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet.

GEOGEBRA 4. R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet. ? GEOGEBRA 4 R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@skynet.be Roger Van Nieuwenhuyze GeoGebra 4 Pagina 1 1. Schermen

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het

Nadere informatie

Tussendoelen in MathPlus

Tussendoelen in MathPlus MALMBERG UITGEVERIJ B.V. Tussendoelen in MathPlus Versie 1 Inhoud Tussendoelen onderbouw in MathPlus... 2 Tabel tussendoelen... 2 1HVG... 7 Domein Rekenen... 7 Domein Meten en tekenen... 9 Domein Grafieken

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Vergelijkingen met wortelvormen

Vergelijkingen met wortelvormen Vergelijkingen met wortelvormen WISNET-HBO NHL update sept. 2010 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. 1 Voorkennis Voor deze les moet je bekendheid hebben met het oplossen

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen

3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 007/008 Als in een kritiek punt x 0 ook de tweede afgeleide f (x 0 ) = 0 is, kunnen we nog steeds niet beslissen of de functie een minimum, maximum of een zadelpunt

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

MATLAB Quickstart. Versie 1.14 voor MATLAB 7.x. G.J. Bex

MATLAB Quickstart. Versie 1.14 voor MATLAB 7.x. G.J. Bex MATLAB Quickstart Versie 1.14 voor MATLAB 7.x G.J. Bex Oktober 2009 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 1.1 Doel en doelpubliek van deze tekst.......................... 4 1.2 Wat is MATLAB?...................................

Nadere informatie