Wiskunde en Fysica snakjes

Transcriptie

1 Handleiding voor beginners Wiskunde en Fysica snakjes Uitgave Auteur HC

2 Voorwoord Zoals de titel het laat vermoeden zal je hier geen diepgaande theorieën voorgeschoteld krijgen. Ik raad je aan om dit boek rustig te lezen. Gun jezelf de tijd om de materie te verwerken. Maak je ook geen zorgen als er iets is dat je niet onmiddellijk begrijpt. Ik begin dit boek met een aantal hoofdstukken over de wiskunde. Wiskunde is zo oud als de mensheid zelf. De wiskunde is zeer uitgebreid en heeft vele domeinen. Ik noem er een paar op: Rekenkunde: een aantal basisonderwerpen komen hier aan bod. Meetkunde: dit was niet mijn favoriete vak omdat ik het memoriseren van de bewijsvoeringen te tijdrovend en niet zinvol vond. De stellingen op zich zijn wel interessant. Misschien moet ik de vlakke meetkunde toch nog opnemen in dit boek? Algebra: de basis van de algebra komt hier aan bod. Driehoeksmeetkunde: een aantal begrippen komen hier aan bod. Differentiaal en integraal rekenen (Calculus): valt buiten het bestek van dit boek. Dit onderwerp behoort tot de hogere wiskunde. Rekenen met vectoren: valt buiten het bestek van dit boek. In mijn naslagwerk Vectoren kan je er één en ander over te weten komen. Het is niet mijn bedoeling hier alles over de wiskunde te schrijven, ik beperk mij tot wat iedereen zou moeten weten. Ik behandel de rekenkunde, algebra en driehoeksmeetkunde. Na de wiskundige inleiding waag ik een hoofdstuk aan elementaire kansrekening. Natuurkunde... ben ik nog aan het schrijven (want zoals steeds onderschat ik de vele uren die nodig zijn om een paar bladzijden op papier te zetten). 1

3 Inhoudsopgave 1 Rekenkunde Inleiding rekenkunde Indeling van de reële getallen Volgorde van de bewerkingen Machten Inleiding machten Regels van de machten Negatieve machten Gebroken machten Wortels Inleiding Regels van de wortels Bewerkingen met het getal nul Bewerkingen met het getal oneindig Algebra Inleiding De gelijkheid van de eerste graad Regels voor het oplossen van gelijkheden van de eerste graad Voorbeeld algebra Voorbeeld algebra Werken met haakjes Een assenstelsel De vergelijking van de eerste graad Voorbeeld algebra Voorbeeld algebra Voorbeeld algebra Voorbeeld algebra Opdrachten Besluit Driehoeksmeetkunde Inleiding de rechthoekige driehoek

4 3.2 Gelijkvormige rechthoekige driehoeken Sinus, cosinus en tangens Inleiding Definitie van de sinus van een hoek Definitie van de cosinus van een hoek Definitie van de tangens van een hoek Verband tussen sinus, cosinus en tangens Inverse functies Rekenvoorbeelden met sinus, cosinus en tangens Voorbeeld driehoeksmeetkunde Voorbeeld driehoeksmeetkunde Voorbeeld driehoeksmeetkunde Voorbeeld driehoeksmeetkunde De stelling van Pythagoras Combinaties berekenen Inleiding De productregel Voorbeeld Voorbeeld Voorbeeld Uitbreiding van de productregel Voorbeeld Voorbeeld Voorbeeld De productregel in het geval van een beperkt aantal opties Voorbeeld Voorbeeld Voorbeeld De productregel voor situaties zonder reset Binominaal coëfficiënt Voorbeeld Voorbeeld 11. De Lotto Voorbeeld Voorbeeld 13. Kop of munt Belangrijk

5 Lijst van figuren 2.1 Grafiek neerslag Figuur algebra voorbeeld Figuur algebra voorbeeld Figuur algebra voorbeeld Figuur algebra voorbeeld Een rechthoekige driehoek Gelijkvormige rechthoekige driehoeken Sinus, cosinus en tangens Figuur driehoeksmeetkunde voorbeeld Figuur driehoeksmeetkunde voorbeeld Figuur driehoeksmeetkunde voorbeeld Figuur driehoeksmeetkunde voorbeeld

6 Hoofdstuk 1 Rekenkunde 1.1 Inleiding rekenkunde Zoals in het voorwoord geschreven behandel ik in dit hoofdstuk alleen die zaken van de rekenkunde waarvan ik denk dat je er minstens moet van gehoord hebben. In de rekenkunde leren we vooral bewerkingen met de getallen uitvoeren. De som (optellen), het verschil (aftrekken), het product (vermenigvuldigen) en het quotiënt (delen) zijn bewerkingen die op zich geen uitleg meer behoeven. Elke bewerking heeft haar eigen symbool zoals: +,, en. Soms maken we gebruik van de haakjes ( en ) om alles in goede banen te leiden (dat leg ik straks wel uit). Wat wel belangrijk is is de volgorde waarin we die bewerkingen uitvoeren. Meer uitleg hierover in paragraaf 1.3. Nota s: In de plaats van het vermenigvuldigingsteken zal ik, net zoals in de alle wetenschappelijke boeken, het punt gebruiken, want dat leest gemakkelijker. In formules 1 laat ik het punt weg. Als je ab ziet dan is dit in weze a b = a b. Maar als ik getallen moet vermenigvuldigen dan gebruik ik (natuurlijk) steeds het punt, dus ik schrijf: 20 5 = 100. Bij een deling in formules gebruik ik steeds een breuklijn in plaats van, een voorbeeld: a b = c Maar als ik met getallen werk zal ik in dit boek soms het symbool gebruiken. In dit hoofdstuk ga ik ook de machtsverheffing en de worteltrekking uitleggen. Maar ik begin met de indeling van de getallen en de volgorde van de bewerkingen. 1 Die zullen we in de volgende hoofdstukken gebruiken. 5

7 1.2 Indeling van de reële getallen Getallen worden op meerdere manieren ingedeeld afhankelijk van het doel dat men voor ogen heeft. Ik beperk mij in dit boek tot de reële getallen. De reële getallen worden als volgt ingedeeld Rationele getallen Gehele getallen Natuurlijke getallen: 1, 2, + Het getal nul Negatieve getallen: 1, 2, Gebroken getallen (ook breuken genoemd) 1 Eindige breuken: 2 = 0, 5 1 Oneindige breuken: = 0, Repeterende breuken: = 0, Irrationele getallen. Het zijn getallen die niet als een gebroken getal (breuk) kunnen geschreven worden. Algebraïsche getallen, als voorbeeld vierkantswortel 2: 2 Transcendente getallen, als voorbeelden de getallen e = 2, 72 en π = 3, 14 3 Het symbool staat voor oneindig, straks meer hierover in paragraaf 1.7. In de groep van de natuurlijke getallen hebben we ook nog de priemgetallen. Wat een priemgetal is moet ik niet meer uitleggen, hé. Noteer dat er naast reële getallen ook imaginaire getallen bestaan. 1.3 Volgorde van de bewerkingen De rekenkundige bewerkingen moeten we in de volgende volgorde uitvoeren: 1. Eerst moeten we de haakjes uitwerken. 2. Dan komen de machtsverheffing en de worteltrekking. 3. Daarna komen het product en het quotiënt aan bod. 4. We eindigen met optellen en aftrekken. 2 Met dit overzicht kom je al heel ver. 3 Het getal e is het grondtal van de natuurlijke logaritme en π is de constante die onder andere de verhouding tussen de omtrek s van een cirkel en de diameter d ervan weergeeft: s = πd. 6

8 Opgelet: we moeten nog rekening houdend met een aantal voorschriften die ik hierna uitleg. Het lijkt allemaal simpel, maar toen ik jong was waren de voorschriften toch anders. Ik leg het uit aan de hand van voorbeelden. Wij leerden dat we eerst moeten vermenigvuldigen en dan pas delen. Op die manier is het resultaat van het volgend voorbeeld: = = 1 Maar dit is fout 4. Het moet zijn: vermenigvuldigen en delen moet uitgevoerd van links naar rechts. Ik herneem het voorbeeld van hierboven: = 5 5 = 25 Controleer dat maar even met de rekenmachine. Opmerking: als ik toch wil dat = = 1 dan moet de opgave als volgt schrijven 20 (4 5) = = 1. De haakjes verplichten mij eerst 4 5 uit te werken. Een gelijkaardig probleem doet zich voor bij het optellen en aftrekken. Ik toon dit ook aan met een voorbeeld. We leerden dat optellen voorrang heeft op aftrekken, dus: = 5 4 = 1 Maar ook dit is fout. Correct is: = = 3 De regel is: optellen en aftrekken moet uitgevoerd van links naar rechts. Om al die regels te onthouden bestaan er een aantal ezelsbruggetjes. Mijn voorkeur gaat uit naar het volgende ezelsbruggetje: Hoe Moeten Wij Van De Onvoldoendes Afkomen? Dit ezelsbruggetje staat voor: in volgorde en van links naar rechts Haakjes, Machtsverheffen, Worteltrekken, Vermeningvuldigen, Delen, Optellen en Aftrekken. De twee volgende paragrafen behandelen respectievelijk de machtsverheffing (1.4) en de worteltrekking (1.5). 4 Aan de basis hiervan liggen de afspraken die gemaakt werden in verband met rekenmachines en computers. 7

9 1.4 Machten Inleiding machten Men spreekt ook soms over exponenten. Stel ik moet in een berekening schrijven. Omslachtig hé. Gelukkig bestaat er een verkorte schrijfwijze: namelijk 2 6. We spreken dit uit als twee tot de zesde (macht). De algemene schrijfwijze van een macht is a n. a noemen we het grondtal en n is de exponent (of de macht). Dus 2 2 = 2 2 = 4. Dan is 2 1 = 2 (logisch hé). Hoeveel is 1 3 =? Niet moeilijk 1 3 = = 1. Dus algemeen 1 n = Regels van de machten Regel 1: Stel ik moet (2 4) 2 berekenen. Uitgerekend is het: (2 4) 2 = 8 2 = 64 = 4 16 = Hieruit leid ik de eerste regel af: (a b c) n = a n b n c n (1.1) Regel 2: Stel ik moet ( 6 2) 2 berekenen. Uitgerekend is het: ( ) 6 2 = = 9 maar ook = (3)2 = 9 De tweede regel is: ( a b ) n = a n b n (1.2) Even terzijde. a 1 kan ik schrijven als a b b en als ik nu 1 b = c dan is a b = a 1 = a c. De b vergelijking 1.2 kan ik nu als (a c) n schrijven en oplossen met de vergelijking 1.1 (a c) n = a n cn. Nu kan ik c terug vervangen door 1. Hiermee heb ik aangetoond dat de vergelijking 1.2 correct b is. Regel 3: De laatste regel luidt: (a n ) m = a n m = a m n (1.3) 8

10 Een voorbeeld: ( 2 2 ) 3 = 2 6 = 64 want ook = (4) 3 = Negatieve machten Regel 4: De exponent kan elk soort reëel getal zijn, dus ook een negatief getal. Voor een negatieve macht geldt: a n = 1 a n (1.4) Ik ga dit niet bewijzen maar ik geef wel een voorbeeld: 3 3 = = Gebroken machten Regel 5: Hiermee wordt bedoeld: de macht is een breuk. Voor een breuk als macht geldt: a 1 n = n a (1.5) n a spreken we uit als de n-de wortel van a. Hiermee kom ik bij de volgende paragraaf: de wortels. 1.5 Wortels Inleiding Vooraleer met de wortels van start te gaan wil ik nog een paar voorbeelden van machten geven: ( 2) 2 = 2 2 = 4 ( 2) 3 = = 8 ( 2) 4 = = 16 Vaststelling: Wanneer het grondtal negatief is en de macht is even dan is het resultaat positief. Wanneer het grondtal negatief is en de macht is oneven dan is het resultaat negatief. De algemene schrijfwijze van een wortel is: n a = b (hier is n de wortel, a is het grondtal en b is het resultaat) wat overeenkomt met b n = a (hier is n de macht, b het grondtal en a het 9

11 resultaat). Gebruikmakend met deze kennis kan ik de voorbeelden van hierboven als de volgende wortels schrijven: 2 4 = 2 maar ook = = 2 maar ook = fout, mag niet Opmerkingen: De 2 van 2 a schrijven we niet. We schrijven gewoon a. We noemen deze wortel de vierkantswortel. Een even wortel uit een positief getal heeft een positief en negatief resultaat. Een even wortel uit een negatief getal mag niet a. n 1 = 1 a Alhoewel, in de algebra heeft men toch een middel gevonden om hier mee overweg te kunnen Regels van de wortels Aangezien een wortel een speciale vorm van een macht is, zijn de formules die we in paragraaf 1.4 gezien hebben van toepassing. Daarom herinner ik je nog aan de formule 1.5. Deze formule laat mij toe een wortel te schrijven als een gebroken macht: n a = a 1 n (1.6) Ik som de belangrijkste regels voor de wortels op. Je moet ze niet van buiten leren, door het gebruik zal je ze wel leren. n a b c = n a n b n c (1.7) n a n a b = n (1.8) b n p a = np a (1.9) ( n a ) p = n a p (1.10) a n b = n a n b (1.11) 10

12 1.6 Bewerkingen met het getal nul Is nul een getal? De één zegt van wel de andere zegt dat nul niets is. Maar in deze paragraaf wil ik je een aantal bewerkingen met nul leren. 1. Optellen en aftrekken: de som van 3 ± 0 = 3 (ik ben er zeker van dat je het wist). Dan is 0 ± 3 = ±3. 2. Vermenigvuldigen: het product van 3 0 = 0. Algemeen luidt het: a 0 = 0 (1.12) a is een willekeurig getal. 3. Delen: bij delen moet ik een onderscheid maken. Staat nul in de teller of in de noemer? (a) Nul in de teller: 0 3 = 0. Dus algemeen: a is een willekeurig getal. 0 a = 0 (1.13) (b) Nul in de noemer: 3 0 = mag niet. Onthoud: delen door nul mag niet. a is een willekeurig getal. a = fout, mag niet (1.14) 0 4. Machtsverheffen: Ook bij machtsverheffen moet ik een onderscheid maken. Is nul het grondtal of is nul de macht? (a) Nul is het grondtal. Volgens de definitie van de macht is 0 3 = = 0. Dus algemeen: n is een willekeurig getal. (b) Nul is de macht: en wat geeft 2 0 =? Wel 2 0 = 1. Onthoud: 0 n = 0 (1.15) a 0 = 1 (1.16) a is een willekeurig getal. (c) En er is nog een speciaal geval: 0 0 = fout, mag niet (1.17) 5. Worteltrekken: ik houd het eenvoudig n 0 = 0. 11

13 1.7 Bewerkingen met het getal oneindig Misschien vraag je jezelf af wat voor nut het heeft om met oneindig te rekenen. Zonder in detail te treden komen we in vele gevallen het getal oneindig in de wiskunde tegen. Maar ik ga me in deze paragraaf beperken tot optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met ± (ja, oneindig kan zowel positief of negatief zijn) en een willekeurig getal reëel a. 1. Optellen: a + = op voorwaarde dat a (het symbool wil zeggen niet gelijk aan of verschillend van ). 2. Aftrekken: a = op voorwaarde dat a. 3. Vermenigvuldigen: a (± ) = ±, a (0, ] (1.18) a (± ) =, a [, 0) (1.19) De voorwaarde bij de vergelijking 1.18 zegt dat a een positief getal moet zijn maar niet nul of oneindig. De voorwaarde bij de vergelijking 1.19 zegt dat a een negatief getal moet zijn maar niet min oneindig of nul. 4. Delen: a ± = 0 (1.20) ± = ±, a (0, ) (1.21) a ± =, a (, 0) (1.22) a De voorwaarde bij de vergelijking 1.21 zegt dat a een positief getal moet zijn maar niet nul. De voorwaarde bij de vergelijking 1.22 zegt dat a een negatief getal moet zijn maar niet nul (immers delen door nul mag niet). Deze paragraaf was niet gemakkelijk hé, maar ik beloof dat terug gemakkelijker wordt. 12

14 Hoofdstuk 2 Algebra 2.1 Inleiding De algebra is zeer uitgebreid. Ik beperk mij hier tot het strikte minimum. Ik ga alleen maar de gelijkheden van de eerste graad en de vergelijkingen van de eerste graad behandelen. 2.2 De gelijkheid van de eerste graad Een voorbeeld van een gelijkheid is = 7. Maar dat is toch gewoon rekenen? Juist maar als ik nu bij voorbeeld het cijfer 7 door de letter x vervang dan noemen we dit algebra. In de algebra gebruiken we letters in plaats van cijfers en zijn we op zoek naar een onbekende. Voor de onbekende gebruiken we dikwijls de letter x. De volgende voorbeelden moeten één en ander duidelijk maken = x 3 + x = 7 De x van het eerste voorbeeld is gemakkelijk te vinden want = 7, dus x = 7. De x van het tweede voorbeeld is iets moeilijker te vinden (je hebt ondertussen wel reeds door dat x = 4), maar er zijn regels die ons helpen om vergelijkingen op te lossen. Eerst nog dit: een gelijkheid bestaat uit twee delen gescheiden door een gelijkheidsteken. 2.3 Regels voor het oplossen van gelijkheden van de eerste graad Maak je vooral geen zorgen over de uitdrukking gelijkheden van de eerste graad. Ik gebruik deze term alleen maar voor de volledigheid, want er bestaan ook nog andere soorten gelijkheden die ik in dit boekje niet beschrijf. 13

15 Voor dit deel van de algebra moet je maar twee regels kennen: 1. Men mag bij de beide delen (meestal spreken we leden) eenzelfde getal optellen of aftrekken. 2. Men mag de beide delen vermenigvuldigen of delen door een zelfde getal (zolang dit getal niet gelijk is aan nul of oneindig). Ik maak dit duidelijk aan de hand van de volgende voorbeelden. Opgelet: tussen letters en getallen en tussen letters onderling plaats ik geen vermenigvuldigingsteken. Als vermenigvuldigingsteken tussen getallen gebruik ik alleen het symbool Voorbeeld algebra 1 Los de volgende gelijkheid op: 16x + 4 = 68. Met andere woorden bereken x. Mits een aantal bewerkingen wil ik ervoor zorgen dat ik een gelijkheid van de vorm x =??? krijg. 1. Stap 1: Ik wil de 4 in het linkse lid doen verdwijnen. Daarom trek van beide leden 4 af: 16x = x = Stap 2: Ik wil de 16 in het linkse lid doen verdwijnen zodat ik er alleen nog de x overhoud. Daarom deel de beide leden door 16: 16x 16 = x = 4 Daarmee is mijn vraag opgelost: x = Voorbeeld algebra 2 Los de volgende gelijkheid op: 19 = 266 x 1. Stap 1: Ik ga beide leden met x vermenigvuldigen. Daardoor verdwijnt de x uit de noemer van het rechtse lid: 19x = 266 x x 19x = Stap 2: Ik wil de 19 in het linkse lid doen verdwijnen zodat ik er alleen nog de x 14

16 overhoud. Daarom deel de beide leden door 19: 19x 19 = x = 14 Daarmee is mijn vraag opgelost: x = Werken met haakjes In het hoofdstuk over de rekenkunde heb ik het woord haakjes reeds vermeld. Wat tussen de haakjes is als het ware een geheel. Een voorbeeld verduidelijkt dit: 5(x 1) = 15 + x Opgelet: in deze gelijkheid staat de x in beide leden. 5(x 1) wil zeggen dat ik x en 1 met 5 moet vermenigvuldigen, dus 5(x 1) = 5x + 5 De vergelijking wordt na het uitwerken van de haakjes: 5x 5 = 15 + x Ik wil de 5 in het linkse lid weg hebben (door bij beide leden 5 op te tellen) en de x moet uit het rechts lid weg (door bij beide leden x af te trekken): 5x x = 15 + x + 5 x 5x x = 4x = = 20 Nu beide leden delen door 4: 4x 4 = 20 4 x = Een assenstelsel Deze paragraaf is een tussenstap voor de volgende. Ik geef de uitleg aan de hand van een voorbeeld. In onze tuin staat een pluviometer (dit is een meter om de hoeveelheid neerslag te meten). Vandaag zal het de ganse dag regenen. Ik heb een plan opgevat om elk uur de waterstand af te lezen. Bij de eerste lezing staat er 10 mm water in de pluviometer. Elk uur noteer ik de waterstand. Ik heb de resultaten in de volgende tabel verzameld. 15

17 Tabel 2.1: Waterhoogte in pluviometer Metingnummer Tijdstip (uren) Hoogte waterstand (mm) Laat ons eerlijk zijn deze tabel geeft ons geen duidelijk beeld van het verloop van de neerslag. Daarom heeft men een grafiek bedacht. Ik teken mijn grafiek als volgt: 1. Eerst teken ik een horizontale lijn en zet daarop op gelijke afstand acht streepjes. Deze streepjes nummer ik van 0 tot 7. Ze stellen de tijdstippen voor. Deze lijn noem ik de tijdstippen as. 2. Op de plaats van het streepje 0 teken ik nu een loodrechte op de tijdstippen as. Op gelijke afstand teken ik hierop terug acht streepjes. Deze streepjes stellen het aantal millimeter water in de pluviometer voor. Deze lijn noem ik de waterstand as. mm Meting neerslag met pluviometer waterstand h tijdstippen Figuur 2.1: Grafiek neerslag 3. Op de verticale lijn van tijdstip 0 (dit is de waterstand as) teken ik een bolletje op hoogte 10 mm. 4. Op de verticale lijn die vertrekt in tijdstip 1 teken ik een bolletje op hoogte 15 mm. 16

18 5. Zo doe ik verder tot tijdstip Tenslotte verbind ik alle bolletjes met lijnstukken (zie figuur 2.1). Je moet toegeven dit is toch veel duidelijker dan de tabel 2.1. Een bijkomende voordeel is dat ik kan afleiden hoeveel water er in de pluviometer stond op het ogenblik 5, 5 uur... Ik vertrek van het punt 5, 5 op de tijdstippen-as. Ik teken een verticale lijn tot ik de neerslaglijn snijd. Vanuit dit snijpunt teken ik een horizontale lijn tot ik de waterstand-as snijd. Ik kom uit bij 40 mm neerslag. Deze paragraaf heeft tot doel je vertrouwt te maken met een assenstelsel en hoe je het eventueel kunt gebruiken. Onthoud: Er zijn twee assen die loodrecht op elkaar staan. Het snijpunt van de assen is het nulpunt. Elke as stelt een veranderlijke voor. De ene veranderlijke is onafhankelijk van het gebeuren. In ons voorbeeld wat het de tijd. De tijd kunnen we immers niet beïnvloeden. De andere veranderlijke (in ons geval de neerslag hoeveelheid) is afhankelijk van de tijd. Tussen de twee veranderlijken is er eventueel een verband. Ik zou bij voorbeeld iedere morgen als ik opsta mijn hartslag meten en die in een assenstelsel uitzetten. Wanneer ik alle stipjes verbind zal ik iets krijgen dat er als een zaagtand uitziet. We zijn nu klaar om iets te leren over de rechte (lijn). 2.6 De vergelijking van de eerste graad Vanaf paragraaf 2.2 had ik het over gelijkheden zoals = x en hoe ze op te lossen. Wat valt er op bij de volgende vergelijking? y = ax + b (2.1) In de vergelijking zijn a en b reële getallen verschillend van en bovendien is a 0. x noemen we de onafhankelijke veranderlijke en kan alle waarden van de reële getallen aannemen. y noemen we de afhankelijke veranderlijke. y hangt immers af van a, b en x. Wiskundig schrijven we y = f(x) (lees: y is en functie van x). In de vorige paragraaf 2.5 over het assenstelsel heb je kennis gemaakt met de begrippen veranderlijke, onafhankelijk en afhankelijk. Ik stel daarom voor concrete voorbeelden te bekijken. 17

19 2.6.1 Voorbeeld algebra 3 In vergelijking 2.1 is a = 1 en b = 0 met andere woorden y = x. Ik ga nu x een waarde geven van nul tot en met 5 en ik bereken de respectievelijk y-waarden. Ik heb resultaten in de onderstaande tabel 2.2 genoteerd. Tabel 2.2: Voorbeeld algebra 3 x-waarde y-waarde Nu teken ik een xy-assenstelsel. Vervolgens teken ik de snijpunten van overeenkomstige xy waarden uit de tabel. Tenslotte verbind ik alle snijpunten. Het blijkt een rechte te zijn. y x Figuur 2.2: Figuur algebra voorbeeld 3 Besluit: De vergelijking van de eerste graad y = ax + b is de vergelijking van een rechte. Om een rechte te tekenen is het voldoende twee punten te kennen die op de rechte liggen en die punten te verbinden. In de volgende voorbeelden zal ik daarom x slechts twee waarden geven en daarmee y berekenen. 18

20 2.6.2 Voorbeeld algebra 4 In vergelijking 2.1 is a = 1 en b = 1 met andere woorden y = x + 1. Als x = 4 dan is y = 3 en als x = 3 dan is y = 4. y x Figuur 2.3: Figuur algebra voorbeeld Voorbeeld algebra 5 In vergelijking 2.1 is a = 2 en b = 2 met andere woorden y = 2x 2. Als x = 4 dan is y = 3 en als x = 3 dan is y = 4. y x Figuur 2.4: Figuur algebra voorbeeld 5 19

21 2.6.4 Voorbeeld algebra 6 In vergelijking 2.1 is a = 2 en b = 2 met andere woorden y = 2x + 2. Als x = 1 dan is y = 4 en als x = 3 dan is y = 4. y x Figuur 2.5: Figuur algebra voorbeeld Opdrachten 1. Bereken in de voorbeelden de y-waarden als x = 0 en controleer de respectievelijk figuren. 2. Bereken in de voorbeelden de x-waarden als y = 0 en controleer de respectievelijk figuren. 2.7 Besluit Dit is voorlopig alles wat je moet kunnen van de algebra. 20

22 Hoofdstuk 3 Driehoeksmeetkunde 3.1 Inleiding de rechthoekige driehoek In dit hoofdstuk zal ik de basis van de trigonometrie (ook goniometrie genoemd) uitleggen. Ik kan de uitleg geven vertrekkende van een cirkel (de goniometrische cirkel). Maar voor de eenvoud verkies ik om te beginnen met de studie van een rechthoekige driehoek. We zullen te maken hebben met hoeken en lengtes. De eenheid van hoek is de graad met als symbool. Een rechte hoek meet 90. Een cirkel is (graad) wordt in 60 (minuten) gedeeld. 1 (minuut) wordt op zijn beurt in 60 (seconden) gedeeld. Er bestaan nog andere systemen om hoeken in te delen, maar ik ga die in dit boekje niet behandelen. In figuur 3.1 heb ik een rechthoekige driehoek getekend. De hoeken geef ik een hoofdletter als naam. De zijden krijgen een kleine letter als naam. Voor de grootte van de hoeken gebruik ik een Griekse letter. A B β c a 90 α b C Figuur 3.1: Een rechthoekige driehoek Onze driehoek in figuur 3.1 bestaat uit de volgende delen : Hoeken De hoek A is een scherpe hoek met grootte α; De hoek B is ook een scherpe hoek, de grootte is β; 21

23 De hoek C is een rechte hoek. De grootte is 90. De som van de hoeken van alle driehoeken is steeds 180. Zijden De zijden a en b noemen we rechthoekszijden omdat ze een rechte hoek vormen. Deze zijden liggen aan de rechte hoek. De zijde c is de schuine zijde (een andere veel gebruikte benaming van schuine zijde is hypotenusa). Deze zijde ligt aan de schuine hoeken. De zijde a is de overstaande zijde van hoek α. De zijde b is de overstaande zijde van hoek β. De letters a, b en c symboliseren ook de respectievelijk lengten van de zijden. In de driehoeksmeetkunde bestuderen we de verbanden tussen de lengte van de zijden en de hoeken van driehoeken. 3.2 Gelijkvormige rechthoekige driehoeken In figuur 3.2 heb ik twee rechthoekige driehoeken boven elkaar getekend om duidelijk te maken dat de hoeken β gelijk zijn. Bijgevolg zijn de hoeken α ook gelijk. De beide driehoeken verschillen alleen maar op gebied van de lengte van hun zijden. D A c 2 α B β c1 α b a 1 C a2 E b2 Figuur 3.2: Gelijkvormige rechthoekige driehoeken Maar er is nog iets speciaal: a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 (3.1) Nu kan ik oneindig veel rechthoekige driehoeken tekenen warvan de scherpe hoeken gelijk zijn aan α en β. Ze zijn allemaal gelijkvormig en de gelijkheid 3.1 is geldig. Deze eigenschap kan ik gebruiken om volgende probleem op te lossen. Stel dat ik van ABC weet dat de zijde a 1 = 10 m en de zijde b 1 = 4 m lang. Van DBE weet ik dat de zijde a 2 = 20 m lang is. Dan kan ik de lengte van zijde b 2 berekenen. 22

24 Ik maak gebruik van de formule 3.1: a 1 = b 1 a 2 b = 4 b 2 In hoofdstuk 2 heb ik je geleerd dit probleem op te lossen (beide leden vermenigvuldigen met b 2 en 20 en beide leden delen door 10): 10 b = 4 b 2 20 b 2 10 b 2 = 8 m Knappe wiskundige filosofen hebben dit reeds ontdekt bij het begin van onze jaartelling. Meer nog zij zagen ook het verband tussen de hoek en verhouding van de zijden. In de middeleeuwen gaf men die verhouding ook namen: sinus, cosinus, tangens, Sinus, cosinus en tangens Inleiding E c 3 D b 3 c 2 60 c 1 A b 2 B a 90 C b 1 Figuur 3.3: Sinus, cosinus en tangens In figuur 3.3 heb ik drie driehoeken getekend met een gemeenschappelijke zijde BC. Van ABC is de hoek B = 30, van DBC is de hoek B = 45 en van EBC is de hoek B = 60. Ik beschouw nu de hoek B (opgelet drie verschillende waarden) van de drie driehoeken. Dan: zijn AC, DC en EC de overstaande rechthoekszijden; 23

25 is BC de aanliggende rechthoekszijde zijn AB, DB en EC de schuine zijden Definitie van de sinus van een hoek Per definitie is de sinus van een hoek van een rechthoekige driehoek: sinus hoek = lengte overstaande rechthoekzijde lengte schuine zijde In de ABC is dit: sin 30 = b 1 c 1 Opmerking: Het symbool voor sinus in berekeningen is sin. Bespreking: Wanneer ik de hoek B verklein dan verkleint b 1, maar c 1 verkleint maar weinig. Wanneer de hoek B = 0 dan is b 1 = 0. Dus sin 0 = 0. Wanneer ik de hoek B vergroot dan vergroten b 1 en c 1. Wanneer de hoek B = 90 dan zijn b 1 = c 1. Dus sin 90 = 1. De waarde van de sinus varieert dus tussen 0 en 1. De waarden van de sinus vindt je op je rekenmachine of via je computer Definitie van de cosinus van een hoek Per definitie is de cosinus van een hoek van een rechthoekige driehoek: cosinus hoek = lengte aanliggende rechthoekzijde lengte schuine zijde In de ABC is dit: cos 30 = a c 1 Opmerking: Het symbool voor cosinus in berekeningen is cos. Bespreking: Wanneer ik de hoek B verklein dan verkleint c 1. Wanneer de hoek B = 0 dan is c 1 = a. Dus cos 0 = 1. Wanneer ik de hoek B vergroot dan vergroot c 1. a kan niet veranderen. Wanneer de hoek B = 90 dan is c 1 =. Dus cos 90 = 0. De waarde van de cosinus varieert dus tussen 1 en 0. 24

26 De waarden van de cosinus vindt je op je rekenmachine of via je computer Definitie van de tangens van een hoek Per definitie is de tangens van een hoek van een rechthoekige driehoek: tangens hoek = lengte overstaande rechthoekzijde lengte aanliggende rechthoekszijde In de ABC is dit: tan 30 = b 1 a Opmerking: Het symbool voor tangens in berekeningen is tan. Bespreking: Wanneer ik de hoek B verklein dan verkleint b 1. Wanneer de hoek B = 0 dan is b 1 = 0. Dus tan 0 = 0. Wanneer ik de hoek B vergroot dan vergroot b 1. a kan niet veranderen. Wanneer de hoek B = 90 dan is b 1 =. Dus cos 90 =. Bekijk nu de DBC. De hoek B = 45. De tangens van deze hoek: tan 45 = b 2 a. Nu zijn b 2 = a. Dus tan 45 = 1. De waarde van de tangens varieert dus tussen 0 en oneindig. De waarden van de tangens vindt je op je rekenmachine of via je computer Verband tussen sinus, cosinus en tangens Tussen sinus, cosinus en tangens geldt het volgende verband: tan α = sin α cos α (3.2) 3.4 Inverse functies Herinner je de machtsverheffing (paragraaf 1.4) en de worteltrekking (1.5)? Ik schreef: De algemene schrijfwijze van een wortel is: n a = b (hier is n de wortel, a is het grondtal en b is het resultaat) wat overeenkomt met b n = a (hier is n de macht, b het grondtal en a het resultaat). 25

27 De worteltrekking is de inverse functie van de machtsverheffing: je kent de macht n en het resultaat van de machtsverheffing a maar je bent op zoek naar het grondtal b. Een gelijkaardig probleem kunnen zich voordoen bij de trigonometrische functies sinus, cosinus en tangens. De waarde van de sinus, cosinus of tangens is gekend maar ik ben op zoek naar de bijhorende hoek. De inverse functies noemen: boog sinus voor de sinus; boog cosinus voor de cosinus; boog tangens voor de tangens. Er zijn meerdere afkortingen (ik spreek liever van symbolen) voor deze functies. Boog wordt afgekort als bg of naar de Engelstalige vertaling arc of wordt als een macht 1 afgekort. Dus: arcsin x = sin 1 x = α arccos x = cos 1 x = α arctan x = tan 1 x = α Wanneer ik nu een macht van een sinus, cosinus of tangens gebruik schrijf ik: sin n α = x Omdat bij de schrijfwijze sin 1 x = α het niet onmiddellijk duidelijk is of we hier te maken hebben een macht of de boogfunctie gebruik ik deze schrijfwijze niet. Ik gebruik dus arcsin x = α. Stel van de functie sin α = x is x gekend en zoek ik α dan is: sin α = x arcsin[sin α] = arcsin[x] α = arcsin x Samengevat: de inverse functies van de sinus, cosinus en tangens zijn respectievelijk: arcsin x = α (3.3) arccos x = α (3.4) arctan x = α (3.5) Noteer: x is een getal en α is een hoek in graden (let dus op de hoekinstelling op uw rekenmachine). 26

28 3.5 Rekenvoorbeelden met sinus, cosinus en tangens Je hebt jezelf waarschijnlijk reeds de vraag gesteld wat kan ik hiermee doen?. Dus dringend tijd om enkele voorbeelden te geven. Om de volgende vraagstukken op te lossen raad ik je aan een schets te maken. Noteer alle bekende gegevens. De schets moet zelfs niet op schaal te zijn. Er zal altijd een rechthoekige driehoek in voorkomen Voorbeeld driehoeksmeetkunde 1 Een vliegtuig stijgt op onder een hoek van 10. Welke afstand a heeft het vliegtuig afgelegd op het ogenblik dat het de hoogte h = m bereikt? Figuur 3.4 is mijn schets. Ik moet dus de lengte van de schuine zijde berekenen. h = m A B 10 a s C h Figuur 3.4: Figuur driehoeksmeetkunde voorbeeld 1 Van de driehoek ABC ken ik de hoek B = α = 10 en de lengte van de rechthoekszijde AC = h = Ik ga dit oplossen met de sinus-functie oplossen. sin α = h a Waaruit ik afleid: a = h sin α Met mijn rekenmachine vind ik: sin 10 0, 174. Dus: a = , 174 = m Toemaatje: hoeveel bedraagt de horizontale afstand s? tan α = h s = s 0, 176 Waaruit ik s afleid: s = , 176 = m 27

29 3.5.2 Voorbeeld driehoeksmeetkunde 2 Op een afstand van s = 50 m van een toren heb ik een hoekmeter opgesteld. De hoekmeter bevindt zich 2 m boven de grond. Ik richt de hoekmeter op de torenspits en meet een hoek van 30. Hoe hoog is de toren? Figuur 3.5 is mijn schets. Ik moet dus de lengte van de overstaande zijde AC berekenen (en natuur niet vergeten er 2 m bij te tellen). A a h 30 B s = 50 m C 2 m Figuur 3.5: Figuur driehoeksmeetkunde voorbeeld 2 De tangens zal de oplossing brengen. In ABC is: tan 30 = AC BC = AC s = AC 50 = 0, 58 De waarde tan 30 = 0, 58 vond ik met mijn rekenmachine. Waaruit ik afleid: AC = 0, = 28, 87 De hoogte van de toren is h = , 87 = 30, 87 m Voorbeeld driehoeksmeetkunde 3 Op een bepaald ogenblik is de schaduw van een gebouw l = 20 m lang. Het gebouw is h = 10 m hoog. Onder welke hoek α vallen de zonnestralen op aarde? Figuur 3.6 is mijn schets. In de ABC ken ik de lengte van de beide rechthoekszijden AC = 10 m en BC = 20 m. De tangens zal de oplossing brengen: tan α = AC BC = = 0, 5 28

30 zon A h = 10 m α B l = 20 m C Figuur 3.6: Figuur driehoeksmeetkunde voorbeeld 3 Om α te vinden moet ik de inverse functie arctan gebruiken. arctan[tan α] = α = arctan 0, 5 Met mijn rekenmachine vind ik arctan 0, 5 = 26, 56. De zonnestralen vallen dus op aarde onder een hoek van α = 26, 56. Opgelet: de hoek is tiendeling uitgedrukt (dus geen minuten en seconden) Voorbeeld driehoeksmeetkunde 4 Een ladder met een lengte van l = 8 m staat tegen een muur. Op de grond is de afstand tussen de ladder en de muur a = 1, 5 m. Bereken de hoek α die de ladder met de grond maakt. Figuur 3.7 is mijn schets. In de ABC ken ik de lengte van de rechthoekszijde BC = 1, 5 m en de schuine zijde AB = l = 8 m. Met de cosinus zal ik de hoek ABC = α berekenen: cos α = BC AB = 1, 5 8 Om α te vinden moet ik de inverse functie arccos gebruiken: Met mijn rekenmachine vind ik arccos [ ] 1, 5 arccos[cos α] = α = arccos 8 [ ] 1,5 8 = 79, 19. De hoogte kan ik nu berekenen met sinus of de tangens, ik kies de tangens: tan α = h BC 29

31 A l = 8 m h =? α B a= 1,5 m C Figuur 3.7: Figuur driehoeksmeetkunde voorbeeld 4 Hieruit leid ik af: h = BC tan α = 1, 5 tan 79, 19 = 1, 5 5, 24 = 7, 86 m 3.6 De stelling van Pythagoras De stelling van Pythagoras heeft betrekking tot de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek. Het kwadraat van de lengte van de schuine zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. Voor de ABC van figuur 3.7 geldt: AB 2 = BC 2 + AC 2 (3.6) In de oefening was de lengte van de één rechthoekszijde en de schuine zijde gekend. Ik vul de gegevens in en bereken: 8 2 = 1, h 2 h 2 = 8 2 1, 5 2 = 64 2, 25 = 61, 75 h = 61, 75 = 7, 858 m 30

32 Hoofdstuk 4 Combinaties berekenen 4.1 Inleiding Iedereen weet dat met de getallen die voor de Lotto ter beschikking staan zeer veel combinaties van zes getallen te maken zijn. Dit verklaart waarom de kans om de Lotto te winnen zo klein is. In dit hoofdstuk ga je leren het aantal combinatie te berekenen. 4.2 De productregel Ik ga de productregel (of vermenigvuldigingsregel) uitleggen aan de hand van een aantal voorbeelden Voorbeeld 1 Stel het is zomers warm en je hebt trek in een ijsje. Je kan kiezen tussen drie verschillende hoorntjes en zes verschillende smaken. Vooraleer je keuze te maken moet je mij vertellen hoeveel verschillende combinaties van hoorntjes en smaken er zijn. Denk even na, je kan dit oplossen zonder formule. Gevonden? OK, hier is mijn oplossing: De drie verschillende hoorntjes noem ik A, B en C. De zes verschillende smaken noem ik 1, 2, 3, 4, 5 en 6. Hoorntje A kan ik combineren met de zes smaken. Ik noem deze ijsjes respectievelijk A1, A2, A3, A4, A5 en A6. Dus zes combinaties. Hoorntje B kan ik eveneens combineren met de zes smaken. respectievelijk B1, B2, B3, B4, B5 en B6. Ook zes combinaties. Ik noem deze ijsjes 31

33 Tenslotte kan ik hoorntje C ook combineren met de zes smaken. Ik noem deze ijsjes respectievelijk C1, C2, C3, C4, C5 en C6. Ook zes combinaties. Er zijn dus in totaal = 18 combinaties mogelijk. Voor elk van de drie hoorntjes waren er zes opties. Het aantal hoorntjes noem ik posities en ik gebruik hiervoor de letter m. Voor de opties gebruik ik de letter n. Ik mijn voorbeeld is n = 3 en m = 6. Het aantal combinaties C wordt: C = mn (4.1) De productregel luidt: Het aantal combinaties is gelijk aan het product van het aantal posities en het aantal opties. Ik gebruik de formule 4.1 voor ons voorbeeld: C = 3 6 = Voorbeeld 2 Hoeveel twee-letterwoorden kan je vormen met ons alfabet (het mogen ook niet bestaande woorden zoals xz zijn)? Oplossing: het alfabet heeft 26 letters. Er zijn dus 26 posities, dus n = 26. Elke positie heeft 26 opties, dus m = 26. Er zijn dus: C = mn = = 676 combinaties of twee-letterwoorden Voorbeeld 3 In een Italiaans restaurant kan je kiezen tussen acht verschillende pasta schotels. Bij elke schotel kan je bovendien al dan niet Parmesan nemen. Hoeveel mogelijke combinaties zijn er. De oplossing zal ondertussen gemakkelijk zijn: er zijn m = 8 posities en n = 2 opties. Dus er zijn C = 8 2 = 16 combinaties mogelijk. We kunnen dus besluiten: Elke bijkomende keuze (optie) verdubbelt het aantal combinaties. 32

34 4.3 Uitbreiding van de productregel Tot nu toe heb ik mij beperkt tot twee opties. Maar de productregel werkt ook met meerdere opties. Als formule schrijf ik dan: C = n 1 n 2 n 3 (4.2) Wanneer er meer dan twee posities zijn vermenigvuldigen we het aantal opties van alle posities met elkaar Voorbeeld 4 Stel je hebt drie paar schoenen, vier verschillende broeken en zes verschillende T-shirts. Hoeveel verschillende combinaties kan je maken? Het antwoord berekenen we met de formule 4.2: De eerste positie (schoenen) heeft drie opties: n 1 = 3. De tweede positie (broeken) heeft vier opties: n 2 = 4. De derde positie (T-shirts) heeft zes opties: n 3 = 6. Ik pas de formule 4.2 toe: C = n 1 n 2 n 3 = = 72 Je kan dus 72 verschillende combinaties maken Voorbeeld 5 In voorbeeld 2 heb ik berekend dat we met de 26 letters van het alfabet 676 twee-letterwoorden kunnen maken indien we niet bestaande woorden aanvaren. Nu ga ik berekenen hoeveel vijf-letterwoorden we kunnen maken (onbestaande woorden inbegrepen). Een vijf-letterwoord heeft vijf posities. Elke positie heeft 26 mogelijkheden. Dus n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 5 = 26. Het aantal combinaties is: C = = 26 5 = Voorbeeld 6 Vele gsm s maken gebruik van een viercijfer toegangscode. Iedere positie heeft 10 verschillende opties (van nul tot en met negen). Hoeveel verschillende combinaties kan je maken? 33

35 De oplossing zal je nu ondertussen reeds zelf kunnen berekenen: C = = 10 4 = De kans dat iemand de correcte code gist in drie pogingen is dus heel gering aangezien er verschillende combinaties mogelijk zijn. 4.4 De productregel in het geval van een beperkt aantal opties Ik ga dit uitleggen aan de hand van een paar voorbeelden Voorbeeld 7 Ik heb een hoed met vier gekleurde ballen erin. 1. Opdracht 1 : Ik trek een bal en stop die onmiddellijk na de trekking terug in de hoed. Ik herhaal dit viermaal. De opdracht is: bereken het aantal mogelijke combinaties. De formule om het aantal combinaties te berekenen ken je nog van de vorige paragrafen: C = n 1 n 2 n 3 = = 4 4 = 256 Er zijn dus 256 mogelijke combinaties om viermaal één van de vier ballen te trekken. 2. Opdracht 2: Ik trek een bal maar stop die niet terug in de hoed. Er zitten nu maar drie ballen meer in de hoed. Ik herhaal dit tot er geen ballen meer zijn. De opdracht is: bereken het aantal mogelijke combinaties. Bij de eerste trekking heb ik vier verschillende mogelijkheden, dus n 1 = 4. Bij de tweede trekking zitten er maar drie ballen meer in de hoed, dus n 2 = 3. Bij de derde trekking zitten er nog twee ballen in de hoed, dus n 3 = 2. Bij de vierde trekking zit er maar één bal meer in de hoed, dus n 4 = 1. Het aantal combinaties wordt dus: C = n 1 n 2 n 3 n 4 = = 24 Het product C = wordt in de wiskunde onder de verkorte vorm C = 4! geschreven. We spreken dit uit als vier faculteit. Het uitroepteken is het symbool voor faculteit. Dus C = 4! =

36 Hier wat extra info over het begrip faculteit. Het uitroepteken (!) is het symbool voor faculteit. 1! = 1 2! = 2 1 = 2 3! = = 6 4! = = 24 5! = = 120 6! = = 720 7! = = ! = = Maar 0! = Voorbeeld 8 In een kamer staan vijf stoelen en er zijn vijf personen aanwezig. Ik ga elke persoon een stoel aanwijzen. Hoeveel verschillende combinaties heb ik? De eerste stoel kan ik toewijzen aan om het even wie, dus n 1 = 5. Voor de tweede stoel zij er nog vier personen beschikbaar, dus n 2 = 4. Voor de derde stoel zij er nog drie personen beschikbaar, dus n 3 = 3. Voor de vierde stoel zij er nog twee personen beschikbaar, dus n 4 = 2. Voor de laatste stoel is er maar één personen beschikbaar, dus n 5 = 1. Het aantal combinaties wordt dus: C = n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 = = 5! = Voorbeeld 9 Ik ga nu voorbeeld 8 wat aanpassen. In een kamer staan er nu maar drie stoelen en er zijn vijf personen aanwezig. Ik ga drie personen een stoel aanwijzen. Hoeveel verschillende combinaties heb ik? De eerste stoel kan ik toewijzen aan om het even wie, dus n 1 = 5. Voor de tweede stoel zij er nog vier personen beschikbaar, dus n 2 = 4. Voor de derde en laatste stoel zij er nog drie personen beschikbaar, dus n 3 = 3. 35

37 Het aantal combinaties wordt dus: C = n 1 n 2 n 3 = = De productregel voor situaties zonder reset In deze paragraaf ga ik de formule voor de productregel afleiden voor situaties die niet gerest worden. Stel ik n boeken op mijn bureau liggen en ik wens die willekeurig op een schap te plaatsen. Op hoeveel mogelijke wijzen kan ik de boeken naast elkaar zetten. Voor het eerste boek n 1 zijn er n mogelijkheden. Voor het volgende boek n 2 is er één mogelijkheid minder, dus zijn er (n 1) mogelijkheden. Voor het volgende boek n 3 zijn er (n 2) mogelijkheden. Enz... Tenslotte voor het laatste boek n n is er maar 1 mogelijkheid meer. De productregel schrijf ik dan als volgt: C = n(n 1)(n 2)... 1 = n! (4.3) In voorbeeld 8 heb ik deze formule (onbewust) toegepast. Onthoud: Bij het toepassen van de productregel moeten we ons de vraag stellen of de situatie al (opdracht 1 voorbeeld 7) dan niet (opdracht 2 voorbeeld 7) gerest wordt. Als ik zeven boeken willekeurig op mijn schap wil plaatsen dan heb ik C = 7! = mogelijke combinaties. 4.6 Binominaal coëfficiënt Wanneer we k voorwerpen kiezen uit een verzameling van n objecten dan berekenen we het aantal mogelijkheden (combinaties) met de formule van de binominaal coëfficiënt: C(n, k) = n! (n k)!k! (4.4) Ik ga deze formule even toepassen op voorbeeld 9: In een kamer staan er er drie stoelen en er zijn vijf personen aanwezig. Ik ga drie personen een stoel aanwijzen. Hoeveel verschillende combinaties heb ik? 36

38 In dit geval is k = 3 en n = 5, dus: C(5, 3) = 5! (5 3)!3! = 5! 2!3! = = 10 Heb ik mij vergist? Want de uitkomst van voorbeeld 9 was 60 combinaties en bereken dat er maar 10 combinaties zijn... Ik ga eerst nog een ander voorbeeld oplossen Voorbeeld 10 Uit een groep van 8 personen moet ik er 5 uitkiezen. Hoeveel mogelijkheden heb ik. 1. Ik maak gebruik van de formule van de binominaal coëfficiënt (4.4): het aantal te kiezen personen is k = 5 en het totaal aantal personen is n = 8. C(8, 5) = 8! (8 5)!5! = = 56 Dus volgens deze berekeningsmethode zijn er 56 mogelijke combinaties. 2. Ik bereken het aantal mogelijkheden op de klassieke manier (zie voorbeeld 9): C = = De oplossingen verschillen terug. Er is een zeer groot verschil tussen de beide berekeningsmethodes. Beide antwoorden zijn correct. Ik verklaar mij nader. In noem de acht personen A, B, C, D, E, F, G en H. ABCDE is een keuze van vijf personen. Maar ABCED is ook een keuze van vijf personen. Voor de klassieke productregel berekening is ABCDE ABCED. De volgorde waarin de opties voorkomen is belangrijk. Voor de binominaal coëfficiënt berekening is ABCDE = ABCED. De volgorde waarin de opties voorkomen is niet belangrijk. Het is duidelijk dat er in dit geval (veel) minder combinaties zullen zijn. Onthoud: Wanneer de volgorde belangrijk is: gebruik de productregel. Wanneer de volgorde niet belangrijk is: gebruik het binominaal coëfficiënt Voorbeeld 11. De Lotto Eindelijk hoor ik je zeggen. Denk eerst even na of de volgorde van belang is of niet. De volgorde is niet van belang want het maakt niet uit in welke volgorde ik de (winnende) nummers kies. We gebruiken dus het binominaal coëfficiënt gebruiken. 37

39 Om de lotto te winnen moet uit 49 getallen de 6 winnende getallen raden. Die zes getallen zullen deel uitmaken van de mogelijke combinaties. Het aantal mogelijke combinaties bereken ik als volgt: C(49, 6) = 49! = (49 6)!6! Er zijn dus bijna 14 miljoen mogelijke combinaties van 6 getallen Voorbeeld 12 Ik heb een lijst met tien verschillende activiteiten. Ik moet er drie uitkiezen. Hoeveel combinaties zijn er? 1. Indien de volgorde van de keuze belangrijk is dan is n 1 = 10, n 2 = 9 en n 3 = 8. C = = Indien de volgorde van de keuze niet belangrijk is: C(10, 3) = 10! (10 3)!3! = Voorbeeld 13. Kop of munt. Ik ga een muntstuk zesmaal omhoog gooien. Op hoeveel mogelijke manieren kan ik 4 maal kop hebben? Als men u die vraag stelt vraag dan eerst of de volgorde belangrijk is. Mijn antwoord: de volgorde is niet belangrijk, dus gebruik ik de formule 4.4. C(6, 4) = 6! (6 4)!4! = Belangrijk De productregel werkt alleen maar voor onafhankelijke gebeurtenissen. Voorbeelden hiervan zijn een munt gooien en een teerling werpen. Telkens we deze handeling herhalen heeft het resultaat van de vorige worp er geen invloed op. Hetzelfde geldt voor het trekken een kaart op voorwaarde dat we na iedere trekking de kaart terug steken. 38