Wiskunde in zelfstudie voor MPM KU Leuven

Transcriptie

1 Wiskunde in zelfstudie voor MPM KU Leuven 07-08

2 ii

3 Voorwoord Deze zelfstudiecursus Wiskunde is opgesteld voor studenten Bachelor in het milieu- en preventiemanagement (MPM) van KU Leuven campus Brussel. In de opleiding MPM wordt een degelijke basiskennis van Wiskunde in verschillende opleidingsonderdelen verondersteld of is het zeer nuttig, denk aan bijvoorbeeld vakken gebaseerd op chemie, mechanica, fysica, statistiek,... Van de studenten MPM wordt verwacht dat ze minstens de leerstof in deze cursus beheersen en vooral de vaardigheid hebben deze toe te passen waar nodig. Het materiaal in deze zelfstudiecursus werd aangeleverd door dr. Sophie Raedts, Monitoraat Wetenschappen KU Leuven, en komt grotendeels uit [3] en [4] (op hoofdstuk 7 na, dat werd gehaald uit [8]). Dit uitstekend basismateriaal werd waar nodig aangepast of aangevuld zodat het geschikter is voor studenten MPM en voldoet aan de noden voor wat betreft voorkennis voor die opleiding. Zoek je naast het materiaal in deze cursus nog extra oefenmateriaal dan kan je terecht in Basisboek Wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch, gratis online beschikbaar zonder oplossingen van de oefeningen of volledig in de bibliotheek. Met opmerkingen of vragen in verband met deze cursus kan je terecht op wendy.goemans@kuleuven.be. Wendy Goemans September 07 iii

4 iv

5 Inhoudsopgave Algebraïsch rekenen. Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren Rekenregels Rekenen met breuken Rekenregels De machtsverheffing: definitie en rekenregels Machtsverheffing met een reëel grondtal en een gehele exponent Machtsverheffing met een strikt positief reëel grondtal en een reële exponent. 5.4 Oefeningen Veeltermvergelijkingen. Veeltermvergelijkingen van graad en oplossen Lineaire veeltermvergelijkingen Kwadratische veeltermvergelijkingen Tekenverloop veeltermfuncties van graad en Werkwijze Tekenverloop en grafieken van lineaire functies Tekenverloop en grafieken van kwadratische functies Oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen Voorbeelden uit de fysica en chemie Oefeningen Goniometrie en vlakke meetkunde 7 3. Goniometrie Goniometrische cirkel Goniometrische formules Goniometrische functies Cyclometrische functies Vlakke meetkunde v

6 vi INHOUDSOPGAVE 3.. Driehoeken De cirkel Rechten Oefeningen Rekenen met vectoren in de fysica Scalaire versus vectoriële grootheden Vectoren in een cartesiaans assenstelsel vectorcomponenten Bewerkingen met vectoren Som en vermenigvuldiging met een scalar Scalair product Vectorieel product Voorbeeldvectoren uit de fysica Oefeningen Exponentiële en logaritmische functies Exponentiële functies Inleidend voorbeeld Machten met reële exponenten: rekenregels Exponentiële functie Logaritmische functies Inleidend voorbeeld Definitie en eigenschappen Bijzondere logaritmen log 0 = log en log e = ln Rekenregels Overgang naar andere grondtallen Voorbeeldoefeningen Oefeningen De afgeleide functie: rekenregels en toepassingen 6 6. Definitie Betekenis van de afgeleide Definitie Standaardafgeleiden en rekenregels Standaardafgeleiden Rekenregels Voorbeeldoefeningen Toepassingen Belang van afgeleiden in het bepalen van het verloop van functies

7 INHOUDSOPGAVE vii 6.4. Toepassingen uit de fysica Optimalisatieproblemen Oefeningen Integralen Definities en eigenschappen Definitie Eigenschappen Meetkundige betekenis Enkele primitieve functies Integratiemethoden Handige eigenschappen Substitutie Partiële integratie Toepassing Oefeningen

8 viii INHOUDSOPGAVE

9 Hoofdstuk Algebraïsch rekenen Inleiding In dit hoofdstuk worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen. Het eerste deel behandelt het uitwerken van haakjes en het buiten haken brengen van factoren. Hier wordt ook ontbinden in factoren in het algemeen besproken. In het tweede deel wordt het rekenen met breuken herhaald. In het laatste deel tenslotte worden de rekenregels voor machten met reële exponenten terug ingeoefend. Dit hoofdstuk biedt eenvoudige oefeningen aan waarin heel duidelijk bepaalde rekenregels dienen toegepast te worden. Het is natuurlijk de bedoeling dat deze rekenregels ook in een andere context gebruikt worden!. Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren In dit deel herhalen we eerst de belangrijkste rekenregels voor het uitwerken van haakjes en het ontbinden in factoren. De daarop volgende voorbeeldoefeningen geven de kans om deze rekenregels nog eens in te oefenen... Rekenregels Zij a,b,c,d R. Er geldt: c(a+b) = (a+b)c = ac+bc (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd (a+b) = a b (a b) = a+b ( a+b) = a b (a+b) = a +ab+b ab+ac = a(b+c) = (b+c)a a b = (a+b)(a b) distributiviteit van t.o.v. + minteken voor de haken binnenbrengen kwadraat van een tweeterm afzonderen van een gemeenschappelijke factor merkwaardig product, verschil van twee kwadraten

10 HOOFDSTUK. ALGEBRAÏSCH REKENEN Voorbeeldoefeningen Bestudeer eventueel eerst het volgende deel om het rekenen met breuken op te frissen.. Werk de haakjes uit en vereenvoudig (x,y,p,q R). (a) (x y ) = x+y + = x+y + (b) (p q)+p = p+q +p = q + (c) p (p+q)+q = p p q +q = q. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haakjes (a,b,c,d,x,y,p,q R). (a) 8x+4y +30p = 6 3x+6 4y +6 5p = 6(3x+4y +5p) (b) 0ab 3 +30bc+5b c 3 d = 5b 4ab +5b 6c+5b 5bc 3 d = 5b (c) 9x y 3xy = 3xy 3x 3xy = 3xy(3x+) (d) p q 3 p q pq +pq = 8 pq 4 pq ( ) pq pq pq p+ = 4 p+ of p q 3 8 p q pq +pq = pq 8 pq p +pq = pq ( pq 8 p ) + 3. Vul aan door de voorgestelde factor buiten haken te brengen (p,r,s,x R). ( 4ab +6c+5bc 3 ) d (a) ( ) ( ) p+ p+ +(p+) 3 = (...) Oplossing: ( ) p+ +(p+) 3 = ( ) ( ) p+ p+ (p+) 3 + = = = = = ( ) ) p+ (+ (p+)3 ( p+ ) ( ) ) p+ (+ 4(p+)3 (p+) ( ) p+ (+4(p+)) ( ) p+ (+4p+4) ( ) p+ (4p+5). ( p+ ) (b) (3p+) 4r 3 Oplossing: 4r(p ) = 4r 3 (...) (3p+) 4r 3 4r 4r 4r(p ) = (3p+) 3 3 = 4r 4r (3p+) 3 3 4r(p ) 4r 3 4r(p ) 3 4r = 4r 3 (3p+ (p ) 3)

11 .. REKENEN MET BREUKEN 3 (c) xs 8 + xs 4 +3x3 s 3 = xs 8 (...) Oplossing: = 4r 3 (3p+ 3p+3) = 4r 3 5. xs 8 + xs 4 +3x3 s 3 = xs xs = xs 8 xs 4 xs 8 + xs 8 (+ 8xs 4xs + 4x3 s 3 xs = xs 8 (+s+4x s ). 4. Ontbind volgende uitdrukkingen in factoren (x, y, r R). 3x 3 s 3 xs 8 ) (a) 8x y 5 = (9xy) 5 = (9xy +5)(9xy 5) (b) 9r 4r +6 = (3r) ( 3r 4)+4 = (3r 4) (verschil van twee kwadraten) (kwadraat van een verschil) Opmerking: als je hiermee vlot kan rekenen hoef je niet telkens alle tussenstappen op te schrijven.. Rekenen met breuken In dit deel geven we heel bondig de rekenregels voor het werken met breuken. Deze zijn heel eenvoudig, de bedoeling is echter dat je deze rekenregels kan toepassen in moeilijkere berekeningen zoals de daaropvolgende voorbeeldoefeningen... Rekenregels Zij a,b,c,d R. Er geldt: a+b c = a c + b c a b + c d = ad+cb bd ab ac = b c a b c = a bc = ac b a b c a b c d = ad bc indien c 0 indien b, d 0 indien a, c 0 indien b,c 0 indien b,c 0 indien b,c,d 0 breuken splitsen breuken optellen breuken vereenvoudigen rekenregels voor meerdere breukstrepen

12 4 HOOFDSTUK. ALGEBRAÏSCH REKENEN Voorbeeldoefeningen. Numerieke voorbeelden 0+74 (a) Breuk splitsen: (b) Breuken optellen: = (c) Breuk vereenvoudigen: 50 = 5 5 = = = 97 5 = 5 (d) Rekenen met meerdere breukstrepen:. Symbolisch rekenen (x,y,p,q R) (a) Rekenen met meerdere breukstrepen: Stel x,y 0, dan is x+y x = (x+y)y y x (b) Rekenen met meerdere breukstrepen: x+y x = = 3 4 of = = = 80 0 = 80 0 = 4 Stel x,y 0, dan is = x+y y xy (c) Breuk vereenvoudigen verschil van twee kwadraten: Stel p q 0, dan is p q p q = (p+q)(p q) = p+q p q (d) Breuk vereenvoudigen, rekenen met meerdere breukstrepen factor afzonderen: Stel p,q 0, dan is p+qp pq p q = p(+q) pq p q = +q q p q = (+q)q q p = +q qp (e) Breuken splitsen, rekenen met meerdere breukstrepen: Stel x 0, dan is x+ = x ( ) + = x x = x = x = x.3 De machtsverheffing: definitie en rekenregels.3. Machtsverheffing met een reëel grondtal en een gehele exponent Definitie.3.. (Machtsverheffing met reëel grondtal en gehele exponent) Zij a R en n N. De macht a n (spreek uit: a tot de macht n of a tot de n-de) met grondtal a en exponent n wordt als volgt gedefinieerd: a n def = als n = 0 als n N 0. a a a }{{} n factoren Zij a R 0 en n N. De macht a n met grondtal a en exponent n wordt als volgt gedefinieerd: a n def = a n. Bijzondere gevallen.3.. Er geldt:

13 .3. DE MACHTSVERHEFFING: DEFINITIE EN REKENREGELS 5 a 0 = voor alle a R 0. a = a voor alle a R. a = a voor alle a R 0. 0 n = 0 voor alle n N 0. 0 z is niet gedefinieerd voor z Z. z = voor alle z Z. Rekenregels.3..3 Zij x,y R en m,n N. Er geldt: x m x n = x m+n x m x n = xm n als x 0 (xy) n = x n y n ( ) n x = xn y y n als y 0 (x m ) n = x mn Zij x,y R 0 en m,n Z. Er geldt: x m x n = x m+n x m x n = xm n (xy) n = x n y n ( ) n x = xn y y n (x m ) n = x mn.3. Machtsverheffing met een strikt positief reëel grondtal en een reële exponent Definitie.3.. (Machtsverheffing strikt positief reëel grondtal, rationale exponent) Zij a R + en n N 0. De macht a n met grondtal a en exponent wordt gedefinieerd als het n uniek positief reëel getal waarvan de n-de macht gelijk is aan a: { a n ( 0 en n an) = a. De macht a n wordt ook wel genoteerd met n a. Zij a R + 0, m Z en n N 0. De macht a m m n met grondtal a en exponent n gedefinieerd: ( m. a m def n = an) wordt als volgt

14 6 HOOFDSTUK. ALGEBRAÏSCH REKENEN Bijzondere gevallen.3.. Er geldt: a n = n a voor alle a R + 0 en alle n N 0, i.h.b. hebben we a = a voor alle a R + 0. a n = n a = n a voor alle a R+ 0 en alle n N 0. a m n = ( n a ) m = n a m voor alle a R + 0, alle m Z en alle n N 0. q = voor alle q Q. Machtsverheffing met een strikt positief reëel grondtal en een reële exponent We wensen tenslotte ook a r te definiëren met a R + 0 en r R. Dit is niet evident en we zullen de definitie hier ook niet in detail geven. Wel schetsen we hier kort één mogelijke manier om zin te geven aan de uitdrukking a r met a R + 0 en r R. Neem dus a R + 0 en r R. We weten reeds dat aq goed gedefinieerd is voor elk rationaal getal q. Ook weet je wellicht nog dat je elke reëel getal r oneindig goed kan benaderen d.m.v. rationale getallen. Concreet wil dit zeggen dat gegeven een reëel getal r er een oneindige rij q,q,q 3,... bestaat van rationale getallen die r met steeds hogere nauwkeurigheid benaderen, zodat uiteindelijk elke gewenste nauwkeurigheid vanaf een bepaald getal in de rij bereikt wordt. Men zegt in dit geval dat de rij q,q,q 3,... naar r convergeert en men noteert dit met q n r als n of met lim n q n = r. Stel nu dat q,q,q 3,... zo n rij is die naar r convergeert. We kunnen dan voor elke q n in die rij de macht a qn beschouwen. Op die manier bekomen we een nieuwe rij a q,a q,a q3,... Nu blijkt dat ook deze rij steeds zal convergeren naar een zeker reëel getal s en dat deze limiet niet afhangt van de keuze van de rij q,q,q 3,... die we gebruikt hebben om r te benaderen. Dit laat ons dan toe om de macht a r te definiëren als dat getal s dat je op die manier bekomt en dat enkel afhangt van a en r. Zelfs voor machten met reële exponenten(en dus i.h.b. voor machten met rationale exponenten) blijven de gebruikelijke rekenregels (zoals we die reeds zagen voor machten met gehele exponenten) gelden. We sommen ze hieronder nog eens op, (natuurlijk) zonder bewijs. Rekenregels.3..3 Zij x,y R + 0 en r,s R. Er geldt: x r x s = x r+s x r x s = xr s (xy) r = x r y r ( ) r x = xr y y r (x r ) s = x rs Voorbeeldoefeningen. Numerieke voorbeelden

15 .4. OEFENINGEN 7 (a) (b) (c) (d) ( ( ) ) 3 = ( ) = = 8 ( ) ( = 3) = ( 3 ) ( ) 6 = 6 = = 4 9 = 9 4 = 3 = = = = = = = ( 3 8) 4 = 4 = 6. Stel x,y R 0 dan geldt: (a) 4 x 3 x = x3 4 = x 4 = 4 x (b) ( x 3 4 x ) = 4 x6 ( x ) = x6 ( ) 4 ( (c) y x y x = y y )4 xy ( ) x 4 = x6 x 4 = x 6+ 3 = x = x 3 x 4 y 4 = y x4 y x 4 y 4 = y y = (d) 48x 9 y 4 = (6 3)(x 8 x)y 4 = 6 3 (x 4 ) x (y ) = 4x 4 y 3x.4 Oefeningen. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haken of vul aan. Stel u,s,t R. (a) 4st+t 60ut = (b) st 8 + s t +s t = (c) s+3 ( 5s (d) 8. Ontbind in factoren. +(s+3) = s+3 ) (u ) 5s(3u+) = (a) 5x y 4 64 = (b) 4x +4xy +36y = [...] ( 5s 8 ) [...] 3. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel a,b,c R 0. (a) a b c (b) (c) a b b a b a b c = a+b b a b = = 4. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel x,y,a,b R + 0. (a) a a 5 =

16 8 HOOFDSTUK. ALGEBRAÏSCH REKENEN (b) ( x 6 y 8) / = ( ) 3 (c) a 4 a b b 4 = ab 5. Vul aan. (a) 4x 5 3x = 4x [...] (b) (p+) + (p+)3 + (p+) = (p+) 6 (c) (m+n) m (m+n) m =... (m+n) (d) =... (e) 4 q 8+q q =... q (f) 8 x + 4 x + 3 (x ) =... x(x ) 6. Werk uit en vereenvoudig zo goed mogelijk. [...] (a) ( x6 y ) 3 = (b) (x+y)4 y 3 = y (c) 64x 5 = ( ) y 4 y 6 (d) y = y 4 (e) (f) 9p 6 9(3p+4) p = ( m+ m m+ ) = Oplossingen. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haken of vul aan. Stel u,s,t R. (a) 4st+t 60ut = t(s 5u+) (b) st 8 + s t ( st +s t = st +s+ t ) = st 8 4 (st+4s+3t) (c) s+3 +(s+3) = s+3 (4s+7) (d) ( 5s 8. Ontbind in factoren. ) (u ) 5s(3u+) = ( 5s 8 (a) 5x y 4 64 = (5xy 8)(5xy +8) (b) 4x +4xy +36y = 4(x+3y) ) ( 3u 9)

17 .4. OEFENINGEN 9 3. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel a,b,c R 0. (a) a b c (b) (c) a b b a b a+b b a b a b c = = a = a c 4. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel x,y,a,b R + 0. a (a) a 5 = a = 9/ a 4 a (b) ( x 6 y 8) / = x 3 y 4 ( ) 3 (c) a 4 a b b 4 = a 4 b 4 ab 5. Vul aan. (a) 4x 5 ( x 3x = 4x 5 3 ) 4 (b) (p+) + (p+)3 (c) (m+n) + (p+) 6 = (p+) m (m+n) m = mn (m+n) (d) = (e) 4 q 8+q 7q 8 q = q ( p+ 0 ) 3 (f) 8 x + 4 x + 3 (x ) = 4x 8 x(x ) = 7x 4 x(x ) 6. Werk uit en vereenvoudig zo goed mogelijk. (a) ( x6 y ) 3 = x 9 y 3 (b) (x+y)4 y 3 = (x+y) y / y (c) 64x 5 = 8x x ( ) y 4 y 6 (d) y = y y 4 (e) (f) 9p 6 9(3p+4) p = +35p+6 8p 7p+35 ( m+ m m+ ) = m+

18 0 HOOFDSTUK. ALGEBRAÏSCH REKENEN

19 Hoofdstuk Veeltermvergelijkingen van maximaal tweede graad en stelsels eerstegraadsvergelijkingen oplossen Inleiding Terminologie In dit deel zullen we het eerst hebben over het oplossen van veeltermvergelijkingen van graad kleiner of gelijk aan twee. Daarna behandelen we oplossingsmethoden voor eenvoudige stelsels van eerstegraadsvergelijkingen. We geven eerst wat meer uitleg bij al deze begrippen. Zij n N. Een (reële) veelterm van graad n in de veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a n x n +a n x n + +a x+a 0 met a i R voor i {0,...,n} en met a n 0. De reële getallen a i zijn de coëfficiënten van de veelterm en de coëfficiënt a n, horende bij de hoogste voorkomende macht van x, heet de leidende coëfficiënt of de hoogstegraadscoëfficiënt. Deze is steeds verschillend van nul. De nulveelterm 0 (een veelterm in de veranderlijke x waarvan alle coëfficiënten gelijk zijn aan nul) valt voorlopig niet onder deze definitie van veelterm, want in een veelterm van graad n N is er altijd minstens één coëfficiënt (vb. de leidende coëfficiënt) verschillend van nul. Toch beschouwen we 0 ook als veelterm. De nulveelterm heeft (per afspraak) graad. De veeltermen van de laagste graden zijn in hun meest algemene vorm gegeven in onderstaande tabel (a,b,c,d R). veelterm opmerking graad naam 0 nulveelterm c c 0 0 constante veelterm ax+b a 0 lineaire veelterm ax +bx+c a 0 kwadratische veelterm Een (reële) veeltermvergelijking in de onbekende x is een vergelijking in de onbekende x van de vorm a n x n +a n x n + +a x+a 0 = 0 (.)

20 HOOFDSTUK. VEELTERMVERGELIJKINGEN met n N en a i R voor i {0,...,n}. De graad van de veeltermvergelijking is per definitie de graad van de veelterm in het linkerlid van (.). Een (reële) veeltermfunctie f (in één veranderlijke) is een functie f van R naar R met een functievoorschrift van de vorm f(x) = a n x n +a n x n + +a x+a 0 (.) waarbij n N en a i R voor i {0,...,n}. De graad van de veeltermfunctie is per definitie de graad van de veelterm in het rechterlid van (.). Een nulpunt van een (veelterm)functie f is een reëel getal x 0 waarvoor f(x 0 ) = 0. Een nulpunt van een veeltermfunctie is dus een oplossing van de geassocieerde veeltermvergelijking. Zo is 3 een nulpunt van x 3 5x +4x+6, want = = 0. Als x 0 een nulpunt is van de veeltermfunctie f, dan betekent dit dat (x x 0 ) een factor is van deze veelterm: we zullen dan de veelterm kunnen ontbinden als f(x) = (x x 0 )g(x) waarbij g(x) opnieuw een veelterm is. In bovenstaand voorbeeld kan je controleren dat inderdaad geldt dat x 3 5x +4x+6 = (x 3)(x x ). In wat volgt zullen we ons concentreren op veeltermen van graad en : hoe ziet hun grafiek eruit, hoe vinden we de nulpunten, en hoe leidt dat tot een ontbinding in factoren.. Veeltermvergelijkingen van graad en oplossen.. Lineaire veeltermvergelijkingen We bekijken eerst reële lineaire veeltermvergelijkingen in één onbekende x, of eenvoudiger gesteld, vergelijkingen van de vorm ax+b = 0 met a R 0 en b R. Deze vergelijkingen zijn zeer eenvoudig op te lossen: ax+b = 0 ax = b (beide leden verminderen met b) x = b a (beide leden vermenigvuldigen met /a, a 0). We kunnen besluiten dat een vergelijking van de vorm ax+b = 0 met a R 0 en b R steeds juist één oplossing heeft, m.n. x = b/a. We kunnen de vergelijking ook herschrijven als ( ( ax+b = a x a)) b = a(x x ). Zo kunnen we de oplossing x = b/a gewoon aflezen. De bijhorende exponent duidt op de multipliciteit van deze oplossing. Voorbeeld Stel dat een getal x voldoet aan de volgende vergelijking: 3x+7 = x+. Bepaal de getalwaarde van x.

21 .. VEELTERMVERGELIJKINGEN VAN GRAAD EN OPLOSSEN 3 Oplossing: 3x+7 = x+ 5x+7 = (Tel bij linker- en rechterlid x op) 5x = 6 (Tel bij linker- en rechterlid -7 op) x = 6 5 (Deel linker- en rechterlid door 5). Hiermee is in drie stappen het onbekende getal x gevonden. Ter controle kun je de gevonden waarde x = 6/5 in de oorspronkelijke vergelijking substitueren en constateren dat het klopt. We hebben gebruik gemaakt van de volgende algemene regels: De geldigheid van een vergelijking verandert niet als je bij linker- en rechterlid hetzelfde getal optelt. De geldigheid van een vergelijking verandert niet als je linker- en rechterlid met hetzelfde getal vermenigvuldigt of door het hetzelfde getal deelt, mits dat getal niet nul is. De beide eerste stappen van de oplossing in het gegeven voorbeeld kun je ook zien als het verplaatsen van een term van de ene kant van het gelijkheidsteken naar de andere kant waarbij die term van teken wisselt (van plus naar min en omgekeerd). Voorbeeld uit de fysica Twee treinwagons bewegen op hetzelfde spoor. De eerste heeft massa m en beweegt met snelheid v, de tweede heeft massa m en beweegt met snelheid v. Op een bepaald moment maken ze contact met elkaar en zo worden ze aan elkaar gekoppeld, om dan als één geheel verder te rijden met snelheid v f. De vergelijking die de grootheden met elkaar verbindt is dan (zie [0] p 68), v f = m v +m v m +m. Stel dat we alle grootheden kennen, behalve m, we willen de vergelijking dus oplossen naar m. Dit doen we als volgt: door beide leden te vermenigvuldigen met m +m, verkrijgen we een eerstegraadsvergelijking: v f (m +m ) = m v +m v. Dan werken we de haakjes uit, de verdere uitwerking verloopt als in het vorige voorbeeld: v f m +v f m = m v +m v v f m v m = m v v f m (v f v )m = m (v v f ) m = m v v f v f v... Kwadratische veeltermvergelijkingen Nu bekijken we reële kwadratische veeltermvergelijkingen in één onbekende x of vergelijkingen van de vorm ax + bx + c = 0 met a R 0 en b,c R. Een dergelijke vergelijking kunnen we als volgt

22 4 HOOFDSTUK. VEELTERMVERGELIJKINGEN oplossen: ax +bx+c = 0 ( ) ax +bx = c (beide leden verminderen met c) x + b a x = c a (beide leden vermenigvuldigen met /a, a 0) x + b b x+ a 4a = c a + b 4a (beide leden vermeerderen met b /4a, a 0) ( x+ b ) = b 4ac (volkomen kwadraat, op gelijke noemer brengen) ( ) a ( x+ b a ) = D 4a 4a (D def = b 4ac) ( ). De term b 4ac die optreedt in de teller van het rechterlid van ( ), speelt een cruciale rol in het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Deze term wordt de discriminant van de vergelijking genoemd en wordt genoteerd met D. We zien bijvoorbeeld dat wanneer D < 0, ook D/4a < 0 en bijgevolg Vergelijking ( ) geen reële oplossingen zal hebben, want het linkerlid van ( ) is een kwadraat en dit kan nooit strikt negatief zijn. Wanneer D 0 echter, zijn er wel oplossingen mogelijk. We moeten dus een gevalsonderscheid maken naargelang het teken van de discriminant D. Veronderstellen we nu dat D 0, dan kan Vergelijking ( ) als volgt verder worden opgelost: ( x+ b ) = D a 4a x+ b a x = ± D = ± 4a = ± D a b a D a = b± D a (D 0) (beide leden verminderen met b/a) x = x def = b+ D a of x = x def = b D a. Als D 0 heeft ( ) dus twee reële oplossingen, nl. x = ( b + D)/a en x = ( b D)/a. Als D > 0 zijn dit twee verschillende oplossingen. Als D = 0 vallen beide oplossingen samen: x = x = b/a. Daarom spreken we in dit laatste geval van twee samenvallende oplossingen of van een oplossing met multipliciteit. Als D > 0 kan de veelterm ax +bx+c als volgt geschreven worden: ( )( ) ax +bx+c = a x b+ D x b D a a = a(x x ) (x x ). Men kan dit gemakkelijk nagaan door het rechterlid van (.3) via distributiviteit uit te werken. Op deze manier kunnen we de oplossingen x en x gewoon aflezen. Bovendien is x x. Beide oplossingen x en x hebben bijgevolg elk multipliciteit. Als D = 0 kan ax +bx+c ontbonden worden als ax +bx+c = a (.3) ( x+ b ) (.4) a

23 .. VEELTERMVERGELIJKINGEN VAN GRAAD EN OPLOSSEN 5 = a(x x, ). Men kan dit nagaan door het rechterlid van (.4) uit te werken en in rekening te brengen dat D = 0 en dus dat b def = 4ac. De unieke reële oplossing x, = x = x heeft dus multipliciteit (of twee samenvallende oplossingen). Onderstaande tabel vat onze bevindingen samen. Discriminant Oplossingen van D = b 4ac ax +bx+c = 0 D < 0 D = 0 D > 0 geen reële oplossingen twee samenvallende reële oplossingen = één reële oplossing met multipliciteit : x, = b a twee verschillende reële oplossingen, elk met multipliciteit : x = b+ D a en x = b D a Voorbeelden De vergelijking x + = 0 heeft geen oplossingen, want het linkerlid is voor elke keuze van x groter dan of gelijk aan (een kwadraat is altijd groter dan of gelijk aan 0). De discriminant van deze vergelijking is D = 4 < 0. De vergelijking x +x+ = 0 heeft één oplossing, want het linkerlid kan geschreven worden als (x+), en dat is alleen maar gelijk aan 0 als x+ = 0 is, dat wil zeggen als x =. De discriminant van deze vergelijking is D = 0. De vergelijking x = 0 heeft twee oplossingen. Het linkerlid kan geschreven worden als x = (x+)(x ). Deze uitdrukking wordt nul als x = of x =. De discriminant van deze vergelijking is D = 4 > 0. In sommige gevallen vereist het oplossen van een tweedegraadsvergelijking geen speciale techniek. Als voorbeeld nemen we x 3x = 0. Door deze vergelijking te herschrijven als x(x 3) = 0 en op te merken dat een product van twee getallen 0 is, als en alleen als één van die getallen 0 is, zien we dat x = 0 of x 3 = 0 moet zijn. De oplossingen zijn dus x = 0 en x = 3. Voorbeeld uit de fysica Een bolvormig object met straal r, massa m en traagheidsmoment I rolt van een hellend vlak met beginhoogte h. Uit het behoud van mechanische energie kan de eindsnelheid v bepaald worden (zie

24 6 HOOFDSTUK. VEELTERMVERGELIJKINGEN [0] p 38): mgh = ( mv + I ) mr v = v = mgh m ( + I gh + I. mr Dusalhoewelditeentweedegraadsvergelijkingindeonbekendev was(wantv stondindevergelijking), hebben we de formule met de discriminant niet nodig gehad. Aangezien er wel een term met v stond, maar geen term met v, konden we oplossen naar v =..., waaruit we meteen v konden halen. mr ). Tekenverloop veeltermfuncties van graad en.. Werkwijze We zullen het in deze sectie hebben over het tekenverloop van veeltermfuncties van graad en. We starten in deze paragraaf met het uitleggen van een werkwijze om tot zo n tekenverloop te komen. Deze werkwijze is geldig voor veeltermfuncties van om het even welke graad en we zullen dan ook het algemene geval behandelen. Pas in de volgende twee paragrafen hebben we het dan specifiek over veeltermfuncties van graad en. We trachten dus na te gaan waar (voor welke x-waarden) een gegeven veeltermfunctie positieve waarden aanneemt, waar ze negatieve waarden aanneemt en waar ze nul wordt. Hoe pakken we dit nu aan? Vooreerst is het belangrijk op te merken dat een veeltermfunctie steeds continu is. Intuïtief kan je je bij dit begrip voorstellen dat de grafiek van een dergelijke functie een ononderbroken kromme is. Natuurlijk is dit geen voldoende karakterisatie van continuïteit, maar het maakt wel een belangrijke eigenschap van continue functies duidelijk. Namelijk dat een continue functie nooit van positieve functiewaarden kan overgaan in negatieve functiewaarden (of omgekeerd) zonder eerst nul te worden. Iets exacter geformuleerd klinkt dit als volgt: als f een veeltermfunctie is en a,b R met a < b en f(a) f(b) < 0 (d.w.z. dat f(a) en f(b) niet 0 zijn en een verschillend teken hebben), dan bestaat er een c ]a,b[ waarvoor f(c) = 0. Men noemt dit resultaat uit de analyse De tussenwaardestelling voor continue functies. Deze stelling impliceert dus dat tussen twee naburige nulpunten, het teken van een veeltermfunctie niet verandert. Het eerste dat we dus moeten doen indien we een tekenverloop willen opstellen, is op zoek gaan naar alle nulpunten van de beschouwde veeltermfunctie. Hierbij weten we uit de algebra dat een veeltermfunctie van graad n N ten hoogste n reële nulpunten kan hebben. Om de nulpunten van veeltermfuncties van graad en te kunnen bepalen, hebben we het nodige gedaan in de eerste sectie van dit hoofdstuk. Immers, het zoeken van de nulpunten van een veeltermfunctie is niets anders dan het oplossen van een veeltermvergelijking van dezelfde graad. Eens we de nulpunten kennen, moeten we nog het juiste teken zien te bepalen van de functiewaarden tussen elk paar naburige nulpunten, vóór het eerste nulpunt en na het laatste nulpunt. Hiervoor bestaat een eenvoudige regel die gebruik maakt van de multipliciteiten van de nulpunten. Deze multipliciteiten moeten we dus ook bepalen samen met de nulpunten zelf. We zullen hier echter niet verder ingaan op het bewijs van deze regel. Het eenvoudigst te bepalen teken is dat van de functiewaarden voorbij het laatste nulpunt. Het teken daar is altijd het teken van de hoogstegraadscoëfficiënt, van a dus als we de notaties gebruiken uit Sectie. Een manier om dit in te zien is als volgt. Als f een veeltermfunctie is met leidende coëfficiënt a is de limiet van f(x) voor x gaande naar + steeds + als a > 0 en steeds als a < 0. Voor het vinden van het teken van f over de andere intervals gaan we na of dat teken al dan niet verandert

25 .. TEKENVERLOOP VEELTERMFUNCTIES VAN GRAAD EN 7 wanneer we over een nulpunt springen. Nu is het zo dat het teken van een veeltermfunctie bij het springen over een nulpunt, wijzigt voor elke multipliciteit van dat nulpunt. D.w.z. dat het teken verandert wanneer we springen over een nulpunt van oneven multipliciteit en niet verandert wanneer we springen over een nulpunt van even multipliciteit. Een andere manier om dit te onthouden is door te stellen dat het teken van de functiewaarden bij het springen over een nulpunt altijd wijzigt, tenminste als we de nulpunten tellen met hun multipliciteit. Dus als we over een nulpunt springen met multipliciteit 3, springen we eigenlijk over drie nulpunten tegelijk en voor elk nulpunt wijzigt het teken van de functiewaarden. Op die manier vinden we het juiste teken van f over de gehele reële rechte... Tekenverloop en grafieken van lineaire functies Een lineaire functie f met als voorschrift f(x) = ax+b waarbij a R 0 en b R, heeft steeds juist één nulpunt, nl. x = b/a. De multipliciteit van dit nulpunt is bovendien steeds. Dit wil zeggen dat het teken van f rechts van x = b/a gelijk is aan het teken van a, terwijl het teken van f links van dit nulpunt steeds gelijk is aan het teken van a. Wat betreft het tekenverloop zijn er dus eigenlijk twee mogelijkheden afhankelijk van het teken van de leidende coëfficiënt a. Als we ook nog het teken ( /0/+) van b in rekening brengen, kunnen we in totaal zes gevallen onderscheiden. De tabel hieronder geeft voor elk van deze zes gevallen een mogelijke grafiek met bijhorend tekenverloop. a > 0 a < 0 y y = ax+b y b b b > 0 -b/a x -b/a x y = ax+b a > 0 a < 0 y y y = ax b = 0 x x y = ax

26 8 HOOFDSTUK. VEELTERMVERGELIJKINGEN a > 0 a < 0 y y y = ax+b y = ax+b b < 0 -b/a x -b/a x b b a > 0 a < 0 b R x b/a + ax+b 0 + x b/a + ax+b Tekenverloop en grafieken van kwadratische functies We beschouwen de functie f met functievoorschrift f(x) = ax +bx+c waarbij a R 0 en b,c R. Voor het aantal en de multipliciteiten van de nulpunten van f zijn er drie mogelijkheden:. twee verschillende reële nulpunten, elk met multipliciteit (D > 0),. één reëel nulpunt met multipliciteit (D = 0), 3. geen reële nulpunten (D < 0). In elk van de drie gevallen hangt het tekenverloop ook nog eens af van het teken van a. Er zijn dus in totaal zes verschillende tekenverlopen mogelijk. De tabel hieronder geeft een samenvattend overzicht. a > 0 a < 0 y = f(x) x_ x_ x x_ x_ x D > 0 y = f(x) x x x + f(x) x x x + f(x) 0 + 0

27 .3. OPLOSSEN VAN STELSELS EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN 9 a > 0 a < 0 y = f(x) x_ = x_ x x_ = x_ x D = 0 y = f(x) x x = x + f(x) x x = x + f(x) 0 a > 0 a < 0 y = f(x) x x D < 0 y = f(x) x + f(x) + x + f(x).3 Oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen In tegenstelling tot vorige paragraaf waar veeltermvergelijkingen in één onbekende werden behandeld, bekijken we nu vergelijkingen met meerdere onbekenden. We beperken ons tot lineaire- of eerstegraadsvergelijkingen. De vergelijking 3x 4y + 5z = 7 noemt men een lineaire vergelijking in de onbekenden x,y,z. De getallen 3, 4, 5 en 7 heten de coëfficiënten van deze vergelijking; het getal 7 wordt ook wel het rechterlid genoemd. Oplossen van deze vergelijking betekent het zoeken van alle waarden die de onbekenden x, y, z kunnen aannemen als ze aan de genoemde betrekking voldoen. De algemene vorm van een lineaire vergelijking is a x +a x +...+a m x m = b, waarin x,...,x m de onbekenden zijn en a,...,a m,b de (bekende) reële coëfficiënten; b is het rechterlid en m N. Als we eisen dat de onbekenden aan meerdere vergelijkingen moeten voldoen, spreken we van een stelsel lineaire vergelijkingen. We bekijken hier twee methoden om stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen: de subsitutie- en combinatiemethode. Een lineaire vergelijking met slechts één onbekende kan eenvoudig opgelost worden (zie paragraaf..). Als we een lineaire vergelijking hebben in twee onbekenden x en y kunnen we de getalwaarden hiervan niet bepalen, bijvoorbeeld x+y = 0 kan zowel voor x =,y = als voor x =,y =, enz.

28 0 HOOFDSTUK. VEELTERMVERGELIJKINGEN Als we echter evenveel vergelijkingen hebben als onbekenden kunnen we de getalwaarden wel bepalen. Dit noemen we het oplossen van een stelsel van vergelijkingen. Een voorbeeld van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in twee onbekenden x en y: { x+5y = 9, () 3x 4y =. () Om de oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen te vinden, gaan we op een systematische manier variabelen elimineren. x+5y = 9 x = 9 5y (beide leden van () verminderen met 5y) x = 9 5y (beide leden delen door ). In vergelijking () vervangen we x door deze uitdrukking (substitutie). Dit wordt: ( ) 9 5y 3 4y = ( ) y 4y = 7 5 y 4y = (haakjes uitwerken) 7 ( 5 +4 )y = (y buiten haken brengen) 7 ( ) 5+8 y = 7 3 y = 3 y = 7 ( y = 7 ) 3 y = 3 3 =. (op dezelfde noemer brengen) (beide leden 7 ) (beide leden 3 ) Substitutie van y = in een van beide oorspronkelijke vergelijkingen () of () geeft een vergelijking waaruit x kan worden opgelost. We kiezen de eerste vergelijking: x+5 = 9 x = 9 5 (beide leden 5) x = 4 x = (beide leden delen door ). Een tweede methode om dit stelsel op te lossen kan m.b.v. combinatie. Vermenigvuldig in vergelijking () het linker- en rechterlid met 3, en in vergelijking () het linker- en rechterlid met, zodat de coëfficiënten van x in beide vergelijkingen hetzelfde worden:

29 .3. OPLOSSEN VAN STELSELS EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN 6x+5y = 7 6x 8y = 4. Trek vervolgens de tweede vergelijking van de eerste af. Je houdt dan een vergelijking over waarin alleen nog maar de onbekende y voorkomt. 3y = 3 met als oplossing y =. Substitutie van deze waarde in een van beide oorspronkelijke vergelijkingen () of () geeft op een analoge manier als hierboven uitgelegd x =. Hiermee zijn de getallen x en y gevonden. Je kunt ter controle nagaan dat de combinatie x = en y = inderdaad aan beide oorspronkelijke vergelijkingen () en () voldoet. Men kan een stelsel ook grafisch oplossen. De oplossing vindt men door het snijpunt te zoeken van de twee rechten die door de vergelijkingen beschreven worden. Tenslotte een kort lineair raadseltje. De leeftijden van Jan en zijn moeder zijn samen 7 jaar, terwijl de moeder vorig jaar twee keer zo oud was als Jan toen was. Hoe oud zijn Jan en zijn moeder? Noem de leeftijd van Jan x, die van zijn moeder y, dan zegt het eerste gegeven dat x+y = 7, terwijl het tweede gegeven zich vertaalt in y = (x ). We krijgen de twee vergelijkingen: { x+y = 7 x y =. Het is niet moeilijk hieruit af te leiden dat x = 4 en y = 47 (tel bijvoorbeeld de twee vergelijkingen op, je elimineert dan de onbekende y). Grafisch is de oplossing in dit eenvoudige voorbeeld ook te bepalen. Beide vergelijkingen stellen immers een rechte in het xy-vlak voor. Oplossen van het stelsel correspondeert met het vinden van het snijpunt van de twee rechten. Overigens zoeken we in dit probleem slechts geheeltallige oplossingen..3. Voorbeelden uit de fysica en chemie In de fysica komen talloze problemen voor waarin een aantal onbekenden moeten gezocht worden aan de hand van een aantal vergelijkingen. We beperken ons hier tot enkele uitgewerkte eenvoudige voorbeelden van stelsels lineaire eerstegraadsvergelijkingen uit [0]. Bij het uitwerken van het elektrisch netwerk bestaande uit een spanningsbron en drie dezelfde weerstanden voorgesteld in Figuur. zijn de spanning U = 5 V en de weerstand R = 00 Ohm gegeven. Bereken nu de stromen I, I en I 3 doorheen het circuit. Aan de hand van de wetten van Kirchhoff, kunnen de volgende vergelijkingen opgesteld worden: Uit vergelijking (3) volgt, omdat R 0, dat: I I I 3 = 0, () U I 3 R I R = 0, () I 3 R I R = 0. (3) I 3 R = I R I 3 = I. Door substitutie van I 3 door I volgt uit vergelijking () dat: I I I 3 = I I = 0 I = I I 3 = I = I.

30 HOOFDSTUK. VEELTERMVERGELIJKINGEN Figuur.: Een eenvoudig elektrisch netwerk dat m.b.v. de wetten van Kirchhoff kan uitgerekend worden. Bron: [0]. Uit vergelijking () tenslotte volgt dat: U I R I R = 0 U I ( ) R +R 3R = 0 U I = 0 U = I 3R. Hieruit volgt dat: I = U 3R = U 3R = 30 V = 0. A, 300 Ohm I = I 3 = 0.05 A. Onderstaand stelsel gelijkheden vindt zijn oorsprong in de Newtonmechanica ([0] p 67), { T = m a () m g T = m a () Hierin stellen m en m de respectievelijke massa s voor van twee objecten A en B, de constante g is de valversnelling en de variabelen T en a staan respectievelijk voor de spankracht en de versnelling. Veronderstel dat m, m en g gekend zijn. Bepaal T en a. m g = m a+m a (Vergelijkingen () en () optellen en zo T elimineren) m g = (m +m )a (a buiten haken brengen) a = m g m +m (Beide leden delen door (m +m )). Hieruit volgt dus dat: a = m g m +m, T = m a = m m g m +m. Ook in de Chemie wordt het oplossen van stelsels gebruikt in bijvoorbeeld chemische reacties. In welke verhouding worden waterstof en zuurstof verbruikt bij de reactie tot water? Concreter, de reactievergelijking xh +yo zh O

31 .4. OEFENINGEN 3 voert tot de getallen x =, y =, z = (ook x = 4, y = en z = 4 leveren een oplossing), d.w.z. twee moleculen waterstof combineren met één molecule zuurstof tot twee moleculen water. Deze oplossing kan je vinden door uit de reactievergelijking twee (wiskundige) vergelijkingen te halen. Door de aantallen atomen waterstof links en rechts van de pijl in de reactievergelijking te vergelijken krijgen we x = z. Vergelijken van de aantallen atomen zuurstof levert de vergelijking y = z. We krijgen dus twee vergelijkingen waarin drie onbekenden x, y en z moeten voldoen. We leiden makkelijk af dat { x = z, z = y. Bij elke keuze van y liggen x en z vast, er zijn dus oneindig veel oplossingen mogelijk. Voor de chemie zijn echter alleen gehele getallen als oplossing relevant, en zelfs alleen de meest zuinige oplossing (x =,y =,z = )..4 Oefeningen. Zoek de reële nulpunten van de functie f : R R : x f(x) en schets de grafiek ervan als (a) f(x) = x x (b) f(x) = x +x (c) f(x) = x x+ 3. Ook in de economie wordt het oplossen van stelsels gebruikt, bijvoorbeeld in het bepalen van een marktevenwicht. We zullen volgende terminologie gebruiken. De hoeveelheid die een consument van een bepaald product wil kopen noemen we de vraag naar dat product. De hoeveelheid van een product dat door de producent op de markt aangeboden wordt noemen we het aanbod van dat product. Doorgaans willen consumenten producten kopen aan een voor hen aanvaardbare prijs. Producenten willen al hun producten verkopen en daarbij liefst zo veel mogelijk winst maken. Deze twee belangen zijn tegenstrijdig. In een gezonde economie is er een evenwicht tussen deze twee belangen, we noemen dit economisch evenwicht. We bespreken enkele voorbeelden van economisch evenwicht. (a) We beschouwen een eerste eenvoudig voorbeeld waarbij er één product op de markt is. De vraag naar een product is een dalende functie van de prijs van dat product. In het meest eenvoudige geval is dan q V = a bp. Hierbij staat q V voor de vraag naar het product, zijn a en b strikt positieve constanten en is p de prijs van het product. Het aanbod van een product is een stijgende functie van de prijs van het product, q A = c+dp. Met q A geven we hier het aanbod van het product weer. De getallen c en d zijn strikt positieve constanten. Er heerst een marktevenwicht als vraag en aanbod gelijk zijn aan elkaar. Dit marktevenwicht wordt alleen bereikt bij één welbepaalde prijs, namelijk de evenwichtsprijs. Bereken die evenwichtsprijs en de bijhorende evenwichtsproductie.

32 4 HOOFDSTUK. VEELTERMVERGELIJKINGEN (b) Nu kijken we naar een markt waarbij twee producten een rol spelen. In het voorbeeld dat we hier zullen behandelen zijn de twee producten uitwisselbaar of concurrerend. Stel bijvoorbeeld dat de vraag van de twee producten gegeven wordt door en het aanbod door q V = 5 p +p q V = 5 p +p q A = 5+p q A = +p. Bepaal de evenwichtsprijzen. Geef een grafische voorstelling van het stelsel dat je hiervoor oplost. Oplossingen. Zie Figuur. voor de grafieken. (a) Twee reële nulpunten, x = + 5 en x = 5, zwarte grafiek. (b) Een dubbel reëel nulpunt, x, =, donker grijze grafiek. (c) Geen reëel nulpunt, licht grijze grafiek. Figuur.: Grafieken van de functies: zwart: (a), donker grijs: (b) en licht grijs: (c).. Economische toepassing. (a) Eén product. De evenwichtsprijs is De bijhorende evenwichtsproductie is p = a+c b+d. q = ad bc b+d. (b) Twee concurrerende producten.

33 .4. OEFENINGEN 5 Het marktevenwicht is nu vraag = aanbod { qv = q A q V = q A { 5 p +p = 5+p 5 p +p = +p { 3p +p = 0 p +4p = 37. Lossen we dit stelsel van twee vergelijkingen in de twee onbekenden p en p op naar die twee onbekenden dan vinden we de evenwichtsprijzen p = 7 en p =. Figuur.3: Het snijpunt van de twee rechten is de oplossing van het stelsel.

34 6 HOOFDSTUK. VEELTERMVERGELIJKINGEN

35 Hoofdstuk 3 Goniometrie en vlakke meetkunde Inleiding Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor vakken natuurkunde. Bij het vectorrekenen maken we gebruik van goniometrie en vlakke meetkunde. In dit hoofdstuk willen we de belangrijkste definities en eigenschappen herhalen en toepassen in oefeningen. 3. Goniometrie 3.. Goniometrische cirkel Een goniometrische cirkel is een cirkel met als middelpunt de oorsprong van een cartesiaans assenstelsel en met straal. Met elke hoek α kan een punt P van de goniometrische cirkel geassocieerd worden. Hiertoe laat men het eerste been van de hoek samenvallen met de positieve x-as. Het tweede been snijdt de goniometrische cirkel in het punt P. De lengte van de cirkelboog tussen de twee benen geeft ons de hoek in radialen. De hoek is positief indien die in tegenwijzerzin gemeten wordt vanaf de x-as. Merk op dat een hoek gemeten in radialen eigenlijk dimensieloos is, en dat je de eenheid radialen mag weglaten. Aangezien de omtrek van een eenheidscirkel π is, vinden we dat het verband tussen een hoek gemeten in graden en radialen gegevenisdoor360 = π. Wevindendus: π sinα 6 = 30, π 4 = 45, 3π 4 = 35, π = 80, π = 90, 3π = 70 = 90,... De hoeken worden ingedeeld in 4 kwadranten: 0 tanα cotα P α cosα 7

36 8 HOOFDSTUK 3. GONIOMETRIE EN VLAKKE MEETKUNDE eerste kwadrant: hoeken tussen 0 en π/, tweede kwadrant: hoeken tussen π/ en π, derde kwadrant: hoeken tussen π en 3π/, vierde kwadrant: hoeken tussen 3π/ en π. De cosinus en sinus van de hoek α zijn gedefinieerd via de coördinaten van het punt P(cosα,sinα). Merk op dat cosα en sinα. De tangens (afgekort tan of tg) en de cotangens (afgekort cot of cotg) zijn gedefinieerd als tanα = sinα cotα = cosα cosα sinα en kunnen eveneens aangeduid worden op de goniometrische cirkel. Nu zijn tanα, cotα R. Enkele veelvoorkomende hoeken en hun goniometrische getallen zijn gegeven in onderstaande figuur. sinα tanα cotα 5π 6 3π 4 π 3 3 π π 3 π 4 π 6 3 π cosα 7π 6 5π 4 4π 3 3 3π π 3 π 4 π 6 3 3

37 3.. GONIOMETRIE Goniometrische formules Tegengestelde hoeken: α en α cos( α) = cos α sin( α) = sinα tan( α) = tanα cot( α) = cotα sinα sinα α cosα 0 α tanα tanα Supplementaire hoeken: hoeken waarvan de som 80 of π is. sin(π α) = sinα cos(π α) = cosα tan(π α) = tanα cot(π α) = cotα cosα tanα sinα π α α α cosα 0 tanα Complementaire hoeken: hoeken waarvan de som 90 of π is. ( π ) sin α = cosα ( π ) cos α = sinα ( π ) tan α = cotα ( π ) cot α = tan α cosα sinα α π α α cosα 0 sinα

38 30 HOOFDSTUK 3. GONIOMETRIE EN VLAKKE MEETKUNDE Anticomplementaire hoeken: hoeken waarvan het verschil 90 of π is. ( sin α+ π ) = cosα ( cos α+ π ) = sinα ( tan α+ π ) = cotα ( cot α+ π ) = tanα cosα sinα α+ π α sinα α cosα 0 Antisupplementaire hoeken: hoeken waarvan het verschil 80 of π is. sin(α±π) = sinα cos(α±π) = cosα tan(α±π) = tanα cot(α±π) = cotα sinα tanα α±π cosα α cosα α 0 sinα Grondformule en afgeleide formules sin α+cos α = sin α = cos α cos α = sin α tan α+ = cos α als cos α 0 +cot α = sin α als sin α 0 Som- en verschilformules cos(α β) = cosαcosβ +sinαsinβ cos(α+β) = cosαcosβ sinαsinβ sin(α β) = sinαcosβ cosαsinβ sin(α+β) = sinαcosβ +cosαsinβ

39 3.. GONIOMETRIE 3 Formules voor de dubbele\halve hoek sin(α) = sinαcosα cos(α) = cos α sin α cos(α) = sin α = cos α cos(α) = tan α +tan α sin(α) = tanα +tan α tan(α) = tanα tan α Formules van Simpson sinα+sinβ = sin α+β sinα sinβ = sin α β cosα+cosβ = cos α+β cosα cosβ = sin α+β cos α β cos α+β cos α β sin α β sinαcosβ = sin(α+β)+sin(α β) cosαcosβ = cos(α+β)+cos(α β) sinαsinβ = cos(α+β) cos(α β) Toepassing Gegeven: sinα = en π < α < π. Gevraagd: cosα, tanα, cotα. Oplossing: we hebben cos α = sin α = 4 = 3 4. Dus is cosα = ± 3 en daar π < α < π moet cosα = 3. We berekenen tanα = sinα cosα = 3 = 3 3. En gelijkaardig is cotα = tanα = Goniometrische functies We tekenen de grafieken van de goniometrische functies. De cosinusfunctie cos : R [,] : α cosα. De sinusfunctie sin : R [,] : α sinα. Figuur 3.: Zwart: de sinusfunctie, grijs: de cosinusfunctie.

40 3 HOOFDSTUK 3. GONIOMETRIE EN VLAKKE MEETKUNDE De tangensfunctie tan : R\{ π (k+) k Z} R : α tanα en de cotangensfunctie cot : R\{πk k Z} R : α cotα. Figuur 3.: Links: zwart: de cotangensfunctie, grijs: de tangensfunctie. Rechts: zwart: de cosecansfunctie, grijs: de secansfunctie. De cosecansfunctie De secansfunctie cosec : R\{πk k Z} R : α cosecα := sinα. sec : R\{ π (k +) k Z} R : α secα := cosα Cyclometrische functies Met de cyclometrische functies bedoelen we de inverse functies van de goniometrische functies. We moeten wel oppassen met het begrip inverse functie. Dit wordt duidelijk wanneer we de grafiek van de sinusfunctie nog eens bekijken. De grafiek van de inverse relatie sin is ook aangeduid (dit is de spiegeling ten opzichte van de eerste bissectrice). We zien dat sin geen functie meer is. Als we Figuur 3.3: Links: zwart: de sinusfunctie, grijs: de spiegeling van de sinusfunctie ten opzichte van de eerste bissectrice. Rechts: zwart: de sinusfunctie, grijs: de inverse van de sinusfunctie ten opzichte van de eerste bissectrice beperkt tot het interval [ π, π ]. nu het beeld van sin beperken tot [ π, ] π, dan hebben we wel een functie. We definiëren dan de boogsinus als [ Bgsin : [,] π, π ] : x Bgsinx = sin x. Dit laatste betekent dat y = Bgsinx als en slechts als siny = x en y [ π, π ].

41 3.. VLAKKE MEETKUNDE 33 Op analoge wijze verkrijgen we de inverse functies van cos, tan en cot: Bgcos : [,] [0,π] : x Bgcosx = cos x, ] Bgtan : R π, π [ : x Bgtanx = tan x, Bgcot : R ]0,π[: x Bgcotx = cot x. Dit is hetzelfde als y = Bgcosx als en slechts als cosy = x en y [0,π], ] y = Bgtanx als en slechts als tany = x en y π, π [, y = Bgcotx als en slechts als coty = x en y ]0,π[. Figuur 3.4: Links: zwart: de Boogsinusfunctie, Grijs: de Boogcosinusfunctie. Rechts: zwart: de Boogcotangensfunctie, grijs: de Boogtangensfunctie. 3. Vlakke meetkunde In deze sectie vatten we de belangrijkste eigenschappen van driehoeken, de cirkel en rechten samen.

42 34 HOOFDSTUK 3. GONIOMETRIE EN VLAKKE MEETKUNDE 3.. Driehoeken Eigenschappen 3... (willekeurige driehoeken). De oppervlakte van een driehoek is basis hoogte.. De som van de hoeken in een driehoek is 80 of π: α+β +γ = π. basis hoogte 3. Sinusregel a sinα = b sinβ = c sinγ. 4. Cosinusregel c = a +b ab cosγ. β c a α γ b Eigenschappen 3... (rechthoekige driehoeken) Voor een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden x en y, schuine zijde r en θ de hoek ingesloten tussen x en r, geldt: x +y =r (Stelling van Pythagoras), cosθ = x ( ) aanliggende rechthoekszijde =, r schuine zijde sinθ = y ( ) overstaande rechthoekszijde =, r schuine zijde ( ) =. tanθ = sinθ cosθ =y x overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde θ r x y Eigenschap (gelijkbenige driehoek) Bij een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk. Gevolg: de hoeken van een gelijkzijdige driehoek meten 60 of π 3. π 3

43 3.. VLAKKE MEETKUNDE De cirkel Een cirkel met middelpunt O en straal r is de verzameling van alle punten die op een afstand r van het punt O liggen. De belangrijkste eigenschappen van een cirkel zijn: Eigenschappen 3... (cirkel). De omtrek is πr.. De oppervlakte is πr. 3. De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. O r s = αr 4. Als je op een cirkel met straal r een boog s tekent die vanuit het middelpunt O onder een hoek α wordt gezien, dan is de booglengte s gegeven door αr, met de hoek α uitgedrukt in radialen. O α r 5. Een omtrekshoek meet de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog. α/ α

44 36 HOOFDSTUK 3. GONIOMETRIE EN VLAKKE MEETKUNDE Speciaal geval: de omtrekshoek op een halve cirkel is 90 of π Rechten De vergelijking van een niet verticale rechte in een vlak door twee punten (x 0,y 0 ) en (x,y ) wordt gegeven door y y 0 = y y 0 x x 0 (x x 0 ). Eigenschap (overstaande hoeken) Overstaande hoeken bij twee snijdende rechten zijn gelijk. c d Eigenschap (Stelling van Thales) De evenwijdige projectie behoudt de verhouding van evenwijdige lijnstukken: a b = c d. a b c b a d

45 3.3. OEFENINGEN 37 Eigenschappen (twee evenwijdige rechten en een snijlijn) Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte dan zijn: elke twee overeenkomstige hoeken gelijk, elke twee verwisselende binnenhoeken gelijk, elke twee verwisselende buitenhoeken gelijk, elke twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair, α π α α elke twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn supplementair. π α 3.3 Oefeningen. Bepaal cosα, sinα, tanα en cotα en het kwadrant waarin α ligt (zonder gebruik te maken van een rekenmachine) indien (a) cosα = 6/6 en sinα < 0, (b) tanα = 3/4 en sinα > 0.. Bepaal de voorwaarden waaraan r R moet voldoen opdat sinα = r en cosα = r+. 3. Bepaal de voorwaarden waaraan r R moet voldoen opdat cosα = r 5.

46 38 HOOFDSTUK 3. GONIOMETRIE EN VLAKKE MEETKUNDE Oplossingen. (a) cosα = 6/6; sinα = 30/6; tanα = 5; cotα = 5/5; vierde kwadrant. (b) cosα = 4/5; sinα = 3/5; tanα = 3/4; cotα = 4/3; tweede kwadrant.. r = ± r 6.

47 Hoofdstuk 4 Rekenen met vectoren in de fysica Inleiding Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor het vak fysica. Bij het vectorrekenen maken we gebruik van goniometrie en vlakke meetkunde. In dit hoofdstuk bespreken we het verschil tussen een scalair getal en een vector. We vatten de belangrijkste eigenschappen en rekenregels voor vectoren samen: vectoren optellen, vectoren vermenigvuldigen met een reëel getal, de componenten van een vector t.o.v. een basis bepalen. Tot slot geven we ook enkele voorbeelden van vectoren uit de fysica. 4. Scalaire versus vectoriële grootheden Elementaire fysische grootheden kunnen in twee grote categorieën opgedeeld worden: scalaire fysische grootheden en vectoriële fysische grootheden. Scalars of scalaire grootheden zijn volledig gekend door een algebraïsch maatgetal (reëel getal) en een eenheid, bv. een massa m van 5kg, een lengte l van m, een temperatuur T van 0 C. Vectoriële fysische grootheden zijn gekenmerkt door een grootte (met eenheid), richting en zin. Vectoren worden aangeduid met een pijltje of worden vet gedrukt. Voorbeelden van vectoriële grootheden zijn positie ( r), snelheid ( v), versnelling ( a), kracht ( F), elektrisch veld ( E). Vectoren worden op een figuur aangeduid met een pijl. De rechte waarop een vector gelegen is wordt de drager genoemd. Figuur 4.: x, y-assenstelsel met eenheidsvectoren ˆx en ŷ. Bron: [0]. 39

48 40 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET VECTOREN IN DE FYSICA 4. Vectoren in een cartesiaans assenstelsel vectorcomponenten Wanneer we vectoren in een vlak willen beschrijven hebben we twee assen nodig. Deze assen zullen we othogonaal (loodrecht) kiezen met de eenheid op iedere as dezelfde, i.e. een cartesiaans assenstelsel. Conventioneel worden de assen voor een vlak benoemd met x en y (zie Figuur 4.). De eenheidsvectoren ˆx en ŷ respectievelijk volgens de x- en y-as vormen een basis. Dit betekent dat elke vector A in het xy-vlak op éénduidige wijze kan ontbonden worden in vectorcomponenten volgens ˆx en ŷ (zie Figuur 4.(a)): A = A xˆx+a y ŷ. De vectorcomponent volgens ˆx of de coördinaatprojectie op x van A is dan A x = A xˆx. Analoog wordt A y = A y ŷ de vectorcomponent volgens ŷ of de coördinaatprojectie op y genoemd. Figuur 4.: (a) De vector A kan geschreven worden met behulp van eenheidsvectoren: A = Axˆx+A y ŷ. (b) De vectorcomponenten zijn de projecties van de vector A op de x- en y-as. Bron: [0]. Figuur 4.3: De algebraïsche componenten van de vector A op de x- en y-as als de hoek tussen de vector A en de x-as gekend is. Bron: [0]. In vele situaties is de hoek gekend tussen de vector en één van de assen. In Figuur 4.3 bijvoorbeeld is en e y. In sommige tekstboeken worden ook andere notaties voor eenheidsvectoren volgens de x- en y-as gebruikt, zoals e x

49 4.. VECTOREN IN EEN CARTESIAANS ASSENSTELSEL VECTORCOMPONENTEN 4 de hoek θ gekend tussen de vector A en de x-as. In dit geval zijn de algebraïsche componenten A x = Acosθ en A y = Asinθ. Afhankelijk van het kwadrant waar de vector A in ligt zullen de algebraïsche componenten positief of negatief zijn (zie Figuur 4.4). Indien omgekeerd de algebraïsche componenten A x en A y gekend zijn, kan men als volgt de hoek θ berekenen: θ = bgtan A y A x. Figuur 4.4: Voorbeelden van verschillende vectoren A met hun componenten. Bron: [0]. Om een vector in de driedimensionele ruimte te beschrijven, hebben we drie assen nodig. Orthogonaal op de x- en y-as wordt de z-as ingevoerd (eenheidsvector ẑ). In de fysica maakt men een onderscheid tussen vrije en gebonden vectoren. Als je een vrije vector verschuift in het vlak of in de 3-dimensionele ruimte, blijft dit dezelfde vector (zie Figuur 4.5). Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillende malen dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke lengte die in dezelfde richting wijzen. Twee vrije vectoren zijn gelijk als ze dezelfde lengte, richting en zin hebben. Gebonden vectoren hebben ook een vast aangrijpingspunt. Hierdoor ligt de grafische voorstelling van een gebonden vector volledig vast: op één afbeelding kan men slechts op één manier de gebonden vector tekenen. De vectoren A in Figuur 4.5 zijn gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar verschillend als het gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend aangrijpingspunt hebben. Kijk steeds in de juist driehoek om zo A x en A y te bepalen via de definities van sin en cos.

50 4 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET VECTOREN IN DE FYSICA Figuur 4.5: Vrije vectoren A. Bron: [0]. 4.3 Bewerkingen met vectoren 4.3. Som en vermenigvuldiging met een scalar De som van twee vectoren A en B bekomt men door B te verschuiven zodat het beginpunt samenvalt met het eindpunt van A. De vector die men bekomt door het beginpunt van A te verbinden met het eindpunt van B is de vector A+ B. 3 Figuur 4.6: De vector C is de som van de vectoren A en B. Anders genoteerd C = A+ B. Bron: [0]. Indien de algebraïsche componenten van de vectoren A en B gegeven zijn, kunnen we de vectorsom berekenen door component per component op te tellen (zie Figuur 4.7): A+ B = (A x +B x )ˆx+(A y +B y )ŷ. 3 Deze grafische constructie noemt men de kop-staart-methode.

51 4.3. BEWERKINGEN MET VECTOREN 43 Figuur 4.7: (a) De x en y componenten van de vectoren A en B. (b) De x en y componenten van de vector C = A+ B. Bron: [0]. Wanneer we de vector A vermenigvuldigen met een scalar m verkrijgen we de vector m A die dezelfde richting heeft als de vector A. Indien m > 0 heeft die vector ook dezelfde zin; indien m < 0 heeft die vector een tegengestelde zin. De lengte van de vector m A is m keer de lengte van de vector A. Zie Figuur 4.8 voor enkele voorbeelden. Figuur 4.8: Vermenigvuldiging van een vector met een scalar. Bron: [0]. Vectoren met de som en de vermenigvuldiging met een scalar gedefinieerd zoals hierboven vormen een vectorruimte. Er gelden dus volgende eigenschappen. Eigenschappen Zij a, b en c vectoren en m,n R.. Het optellen van vectoren is associatief: ( a+ b)+ c = a+( b+ c).

52 44 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET VECTOREN IN DE FYSICA. De vector met lengte 0 wordt genoteerd met 0 en de nulvector genoemd. Er geldt: 0+ a = a+ 0 = a. 3. De tegengestelde vector van a is a. Er geldt: a+ a = a+( a) = Het optellen van twee vectoren is commutatief: a+ b = b+ a. 5. Het vermenigvuldigen van een vector met een scalar is distributief ten opzichte van de optelling van scalairen: (m+n) a = m a+n a. 6. Het vermenigvuldigen van een vector met een scalar is distributief ten opzichte van de vectoroptelling: n( a+ b) = n a+n b. 7. Het vermenigvuldigen van een vector met een scalar is associatief ten opzichte van de vermenigvuldiging van scalairen: m(n a) = (mn) a. 8. a = a Scalair product Het scalair product van twee vectoren a = a xˆx+a y ŷ en b = b xˆx+b y ŷ wordt genoteerd als a b en het resultaat is steeds een scalaire grootheid: a b = abcosθ = a x b x +a y b y. Hierbij is θ de kleine hoek tussen de twee vectoren en bcosθ de projectie van b op a. Het scalair product is dus eigenlijk gelijk aan de projectie van b op a vermenigvuldigd met de grootte van de vector a. Eigenschappen Zij a, b en c vectoren.. Het scalair product is commutatief: a b = b a.. Het scalair product is distributief ten opzicht van de optelling van vectoren: a ( b+ c) = a b+ a c. Lengte of norm De lengte, grootte of norm van de vector A = A xˆx+a y ŷ (zie Figuren 4. en 4.3) kan berekend worden via A = A = A x +A y = A A. Dit is een rechtstreeks gevolg van de stelling van Pythagoras die geldt in een rechthoekige driehoek Vectorieel product Het vectorieel product van twee vectoren a en b noteert men als a b. Het resultaat is steeds een vector met als lengte: a b = a b sinθ

53 4.4. VOORBEELDVECTOREN UIT DE FYSICA. 45 met θ de kleine hoek tussen de twee vectoren. De richting van a b staat loodrecht op het vlak dat gevormd wordt door a en b. De zin bepaalt men via de regel van de rechterhand (zie Figuur 4.9: plaats de rechterhand met de vingers gekromd van de eerste vector naar de tweede vector over de kleinste hoek; de rechterduim geeft dan de zin aan van het vectorieel product). Figuur 4.9: Rechterhandregel voor het bepalen van de zin van het vectorieel product van twee vectoren. bron: hand rule cross product.svg Eigenschappen Zij a, b en c vectoren. Het vectorieel product is niet commutatief maar anticommutatief: a b = b a. Het vectorieel product is distributief ten opzichte van de optelling van vectoren: a ( b+ c) = a b+ a c. Bijzondere gevallen Zij a en b vectoren. a a = 0. a b = a b als de richting van a loodrecht staat op de richting van b. ˆx ŷ = ẑ, ŷ ẑ = ˆx en ẑ ˆx = ŷ. Hieruit volgt dat a b = (a y b z a z b y )ˆx+(a z b x a x b z )ŷ +(a x b y a y b x )ẑ. Of, voor wie een determinant kan ontwikkelen naar de eerste rij: a ˆx ŷ ẑ b = a x a y a z b x b y b z. 4.4 Voorbeeldvectoren uit de fysica. In de fysica wordt de positie van een massapunt weergegeven met een vector r die de oorsprong van het assenstelsel verbindt met de locatie van het massapunt. Deze positievector r wordt weergegeven