Memo vakdidactische demonstratie

Transcriptie

1 Memo vakdidactische demonstratie Leren in dialoog: het stellen van vragen als hogere denkvaardigheid Naam auteurs Vakgebied Titel Tim Leenders en Dickens van der Werff Wiskunde Leren in dialoog: het stellen van vragen als hogere denkvaardigheid Onderwerp Vakdidactische presentatie Leren en Instructie 4 Opleiding Doelgroep Sleuteltermen Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam Vakdocenten en studenten Wiskunde, vragen stellen, hogere denkvaardigheid Bibliografische referentie Leenders, T., Van der Werff, D. (2014). Leren in dialoog: het stellen van vragen als hogere denkvaardigheid Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA. Studentnummers Leenders , van der Werff Begeleiders Beoordelaars Lidy Wesker-Elzinga, Erik Joling Lidy Wesker-Elzinga, Erik Joling Datum 4 juni

2 Inhoud 1. Beschrijving 2 2. Analyse 3 3. Verkenning van oplossingen 5 4.Verantwoording 5 Bijlagen 9 1. Beschrijving In het schooljaar 2015/2016 zal het nieuwe wiskundeprogramma van start gaan. De stimulering van wiskundige denkactiviteiten is een van de speerpunten van deze vernieuwing. Op een aantal pilotscholen heeft dit nieuwe programma al gedraaid. De pilotdocenten waren positief over de rol die wiskundige denkactiviteiten binnen het nieuwe programma spelen. In het samenvattend eindrapport van de evaluatie examenpilots wiskunde havo/vwo van het SLO (nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling) wordt het volgende geconcludeerd: Wiskundige denkactiviteiten vormen ook in de ogen van de pilotdocenten een belangrijk en gewaardeerd vernieuwingsaspect. De evaluatie laat echter tevens zien dat dit vernieuwingsonderdeel vooralsnog een (te) ondergeschikte rol speelt en onvoldoende uit de verf komt. Een forse investering in verdere doordenking, uitwerking (in lesmateriaal) en scholing/nascholing lijkt geboden. Dat geldt meer of minder voor alle zeven programma s, al steken wiskunde B havo, wiskunde B vwo en wiskunde C vwo op dit punt relatief gunstig af bij de andere vakken. Bij de oriëntatie op dit studieonderdeel vonden wij elkaar in nieuwsgierigheid naar didactische handvatten voor het begeleiden van probleemoplossen. Het bovenstaande rechtvaardigt onze wens om een vakdidactische demonstratie over probleemoplossen te geven. De eindtermen gaan spoedig veranderen en de praktijk wijst uit dat er behoefte is aan een steviger didactisch fundament voor het onderwijzen van wiskundige denkactiviteiten, waar het probleemoplossen een onderdeel van is. Daarnaast maakt het probleemoplossend vermogen deel uit van de zogenaamde 21st century skills: een set vaardigheden en competenties die nodig zijn om goed in de huidige kennissamenleving te functioneren. De hogere orde denkvaardigheden die verzameld zijn onder de noemer wiskundige denkactiviteiten zijn algebraïseren, ordenen en structuren, analytisch denken en probleemoplossen, formules manipuleren, abstraheren en logische redeneren en bewijzen. Probleemoplossen neemt in zoverre een speciale plek in dat de andere hogere denkactiviteiten in het proces van probleemoplossen aan bod kunnen komen. Het ontwerpen van geschikte problemen en het begeleiden van probleemoplossen kunnen gezien worden als hogere orde docentvaardigheden. In de studiehandleiding van dit studieonderdeel wordt reeds vermeld dat aandacht voor denkvaardigheden een docentenhandeling is die belicht kan worden. Meer specifiek: leerlingen vragen na te denken over leer- en oplossingsstrategieën en leerlingen leren hoe complexe problemen te vereenvoudigen. 2

3 2. Analyse Probleemoplossend denken verwijst naar cognitieve strategieën die in meerdere kennisdomeinen toe te passen zijn. Het is een vorm van procedurele kennis verzameld in stappenplannen, methoden en/of heuristieken. Er is veel geschreven over probleemoplossend denken, en niet alleen in relatie tot wiskunde natuurlijk. In die zin is het een onderzoeksgebied op zich. Zonder uit te weiden naar aanverwante gebieden als cognitieve psychologie, volgt hieronder een beknopt theoretisch kader bij de hogere orde denkvaardigheid probleemoplossen. Martin Valcke meldt in zijn boek Onderwijskunde als ontwerpwetenschap dat in de jaren twintig van de vorige eeuw Graham Wallas een beschrijvend model publiceerde voor het (oplossen van problemen in het) creatieve proces. Dit model wordt gezien als een eerste poging tot het beschrijven van probleemoplossen als procedure. Wallas suggereerde dat het probleemoplossen uit vier achtereenvolgende stappen bestaat: 1. Voorbereiding het probleem bestuderen om de voorwaarden en het doel te leren kennen 2. Incubatie het probleem in laten werken, eventueel opzij schuiven 3. Verheldering de oplossing komt spontaan op 4. Controle het uitvoeren om te kijken of de oplossing de juiste was Zo n twintig jaar later verschijnt het boek How To Solve It van György Pólya, een Hongaarse wis- en natuurkundige. Pólya wordt als grondlegger van het probleemoplossen gezien, en How To Solve It als standaardwerk. Het boek baseert Pólya op zij studie naar methodes waarmee men oplossingen vindt, oftewel heuristiek. Zijn model voor het oplossen van problemen vindt nog altijd zijn weg naar huidige methoden. Volgens Pólya kunnen de juiste problemen de nieuwsgierigheid van de leerling prikkelen en plezier in het onafhankelijke denken verschaffen. Dit in tegenstelling tot routinematige bewerkingen die juist de belangrijkstelling van de leerling zal doden. Pólya introduceert vier fasen die doorlopen moeten worden om een probleem op te lossen. Allereerst moet de leerling het probleem begrijpen (1). Vervolgens moet de leerling zien hoe het gevraagde met de gegevens samenhangt om een idee voor de oplossing te ontwikkelen, kortom een plan maken (2). Daarna moet de leerling het plan uitvoeren (3) om afsluitend een terugblik (4) en zo het resultaat te controleren. Deze vier fasen worden ondersteund door een lijst van zorgvuldig gekozen vragen. Deze vragen zijn algemeen toepasbaar, dus niet toegespitst op specifieke soorten problemen, en geven een algemene richting aan die de leerling genoeg werk overlaten. Daarnaast zijn de vragen natuurlijk van aard en gaan ze uit van gezond verstand; de leerling kon er zelf op gekomen zijn. Wanneer de docent een vraag uit de lijst aan de leerling stelt, of de leerling een vraag uit de lijst gebruikt, dan kan dit een mentale actie tot gevolg hebben die bijdraagt aan het oplossen van het probleem. Zo helpt de lijst de leerling om problemen op te lossen. Wanneer een bepaalde vraag herhaaldelijk succes heeft, zal de leerling de neiging krijgen zelf deze vraag in soortgelijke situaties te stellen. Bij herhaaldelijk gebruik zal de leerling een keer op het juiste idee komen en het juiste 3

4 gebruik van de vraag ontdekken. Zo ontstaat een mentale gewoonte die tot gevolg heeft dat de leerling een betere probleemoplosser is geworden door een interne dialoog die tot succes leidt. Aan de hand van de lijst van Pólya kan een docent leerlingen dus laten nadenken over oplossingsstrategieën en leren hoe complexe probleem te vereenvoudigen. Omdat wiskundige denkactiviteiten de laatste jaren meer aandacht krijgen, wordt het probleemoplossen vanzelfsprekend ook voor het voetlicht gebracht. De commissie Toekomst WiskundeOnderwijs (ctwo) stelde in 2010 de werkgroep wiskundige denkactiviteiten in. Anne van Streun maakte deel uit van deze werkgroep. Van Streun noemt in zijn conceptversie Wiskundige denkactiviteiten voor deze werkgroep twee zaken die van belang zijn voor het realiseren van de centrale plaats voor wiskundige denkactiviteiten in wiskundeonderwijs: de kwaliteit van de wiskundige opdrachten en de rol van de wiskundeleraar. Bij het probleemoplossen spelen deze zaken duidelijk een rol. Van Streun benadrukt het belang van een docent die coachend optreedt bij niet-routinetaken, zelf-monitoring van leerlingen stimuleert en helpt bij het reflecteren op en expliciteren van denkmethoden. Van Streun gebruikt het onderstaande schema om aan te geven wanneer er sprake kan zijn van wiskundige denkactiviteiten. Wanneer een leerling een opgave herkent en daarom meteen een oplossing kan formuleren, is er sprake van reproductie en niet van een probleem. Een opgave is voor een oplosser een probleem als zij/hij niet onmiddellijk een oplossingsweg ziet, zo stelt van Streun. Alleen als er sprake is van een probleem, is er sprake van productie en kunnen wiskundige denkactiviteiten naar voren komen. De probleemsituatie zal geanalyseerd moeten worden (analoog aan de eerste fase van Pólya) waarna met behulp van een heuristische methode (analoog aan de tweede fase van Pólya) een procedure voor het zoeken naar de oplossing ontwikkeld kan worden. Op deze manier kan het probleemoplossen ontwikkeld en gestimuleerd worden. 4

5 3. Verkenning van oplossingen Ons proces om een passende vorm te vinden voor het stimuleren en begeleiden van probleemoplossen kent een divergent karakter. Al in een vroeg stadium werden we aangetrokken door de frisheid en relevantie van het werk van Pólya. Onze keuze is daarom deels op de wens gebaseerd om onszelf te bekwamen in het begeleiden van probleemoplossen aan de hand van Pólya s lijst en dit te delen met onze medestudenten. In feite reikte Pólya ons een complete oplossing aan voor het stimuleren van de wiskundige denkactiviteit probleemoplossen, en ondersteunt van Streun met zijn theorie deze aanpak. 4. Verantwoording Voor onze vakdidactische demonstratie hebben we een afwisselend programma samengesteld, waarbij toelichting over de achtergronden en theorie van hogere denkvaardigheden zijn afgewisseld met het in praktijk brengen ervan, om daarna steeds met een groepsgesprek te kunnen reflecteren op ervaringen en inzichten. Bij aanvang is vooral aandacht besteed aan het eigen denkproces, daarna werd gevraagd zich in het denkproces van de leerling te verplaatsen en te bedenken hoe de leerling met vragen op weg te helpen is. Het eerste theoretische deel van onze presentatie is in dit memo nader uitgewerkt onder 1. Beschrijving. Kernpunt: door een mentale actie herhaaldelijk en met succes te oefenen leidt deze via assimilatie tot een gewenste gewoonte. Bij de eerste oefening werd de deelnemers gevraagd om bij de wiskundige denkactiviteiten analytisch denken en probleem oplossen aandacht te besteden aan de eigen interne dialoog die ontstaat bij het zoeken naar een oplossing. We hebben hierbij een overzicht met een selectie van 24 vragen van Pólya uitgedeeld en aan de deelnemers gevraagd welke vragen er aan de orde zijn geweest in hun denkproces, de nummers van de vragen werden genoteerd op post-it notitieblaadjes (voor de opgave en de score zie Bijlage 1). We hebben voor deze opgave een kwartier de tijd genomen, waardoor er voor iedereen voldoende tijd was om het probleem op verschillende manieren te benaderen. De opgave is gekozen uit de tientallen voorbeeldopgaven uit How to solve it van Pólya, en voldeed aan de eis dat de oplossing pas met een aantal denkstappen gevonden kan worden, terwijl er zonder veel voorkennis aan gewerkt kan worden (de groep deelnemers bestaat uit studenten en docenten wiskunde en scheikunde). De deelnemers hebben zichtbaar gebruik gemaakt van de lijst met vragen van Pólya. Slechts enkele deelnemers bleken uiteindelijk de oplossing voor het probleem gevonden te hebben. In het aansluitende groepsgesprek hebben we gereflecteerd op de uitslag van de score. Duidelijk werd dat de eerste drie vragen het meest toepasselijk werden gevonden, deze hebben betrekking op de eerste fase van de heuristiek van Pólya: het probleem begrijpen. Maak een tekening werd door alle deelnemers gekozen. De deelnemer die de uiteindelijke oplossing gevonden had, bleek ook de meest toepasselijke vraag te hebben gesteld: (14.) Houd slechts een deel van de voorwaarden aan, laat de rest vallen; in hoeverre is het gevraagde nu bepaald, hoe kan het nog variëren? Tijdens het groepsgesprek zijn de mogelijkheden besproken hoe je kunt zoeken naar meerdere strategiën om de weg naar een oplossing te vinden. Als docent moet je veel tijd nemen om het stellen van vragen als vanzelfsprekend door de leerlingen te laten overnemen. 5

6 Het tweede deel van de toelichting van de theoretische achtergronden is in dit memo nader uitgewerkt onder 2. Analyse. Hierbij staan de opvattingen van George Pólya over heuristiek, de leer of kunst van het vinden centraal: Het doel van de heuristiek is het bestuderen van methoden en regels voor het ontdekken en uitdenken. Heuristisch redeneren is een manier van redeneren die niet als streng en definitief beschouwd wordt maar slechts als aannemelijk en voorlopig. We kunnen het voorlopige nodig hebben om het definitieve te bereiken. We hebben het vier fasenplan van Pólya als volgt samengevat: 1. HET PROBLEEM BEGRIJPEN - Wat wordt gevraagd? Wat zijn de gegevens? Wat zijn de voorwaarden? - Is het mogelijk om aan de voorwaarden te voldoen? - Maak een tekening. Voer een geschikte notatie in. 2. EEN PLAN MAKEN Analyse - Wat is het verband tussen de gegevens en het gevraagde? - Kun je een hulpprobleem gebruiken om het verband te vinden? - Heb je het probleem in een andere vorm gezien? - Kun je het probleem anders formuleren? Ga terug op definities. - Houd slechts een deel van de voorwaarden aan, laat de rest vallen - Gebruikte je alle gegevens? Gebruikte je alle voorwaarden? 3. HET PLAN UITVOEREN Synthese - Controleerde je elke stap? - Kun je duidelijk zien (of bewijzen) dat de stappen correct zijn? 4. TERUGBLIK - Kun je het resultaat en de argumentatie controleren? - Kun je het resultaat of de methode voor een ander probleem gebruiken? Om de heuristische methode in praktijk te brengen zijn drie opgaven uitgezocht en aan de deelnemers voorgelegd met het eerste commentaar van een leerling. In twee groepen zijn de mogelijkheden voor een dialoog tussen leerling en docent besproken. Aan de hand van een uitgebreide lijst met vragen van Pólya (zie bijlage 3) is gewerkt aan twee situaties. 6

7 Situatie 1 Wat is de volgende letter in de reeks: B C E G K M? De leerling begrijpt het probleem niet. LEERLING: Ik snap niet wat die letters met elkaar te maken hebben. Ik weet niet wat ik met de letters kan doen. Hoe gaan we deze leerling helpen? Hoe gaan we een mentale actie opwekken? Groep 1 was van mening dat dit een vreemde vraag is van een leerling, maar je zou de vragen kunnen stellen: ga op zoek naar de volgorde of liever: wat wordt hier gevraagd, schrijf het alphabet uit, maak een tekening.groep 2 was van mening dat je met het geven van een tip niet te ver moet gaan, omdat je dan de oplossing weggeeft. De stappen van letters naar getallen naar priemgetallen moet bij voorkeurr door de leerling zelf gezet worden. Uit de groep werd een nieuwe verwante opgave gegeven: Wat is de volgende letter in de reeks: B C N O? Situatie 2 Wat is de lengte van een lichaamsdiagonaal van een balk waarvan de lengte, breedte en hoogte bekend zijn? De leerling begrijpt de vraag. LEERLING: Ik moet de lengte van de lijn vinden die dwars door de balk gaat, van dit naar dat hoekpunt. Voor die lengte moet ik een formule maken met de lengte, breedte en hoogte erin. DOCENT: Weet je een probleem waarin iets vergelijkbaars werd gevraagd. LEERLING: Ja. Bijvoorbeeld de lengte van een zijde van een rechthoekige driehoek. Maar ik zie niet hoe ik dat moet gebruiken. Hoe gaan we deze leerling verder helpen? Hoe gaan we een mentale actie opwekken? Groep 1 zou de leerling de vragen stellen: kun je een tussenstap maken?, ken je een verwant probleem?, maak een tekening, de gegeven tekening nodigd door zijn abstracte opzet de leerling al uit om er verder aan te gaan tekenen. Groep 2 zou de vraag hebben gesteld: wat zou je kunnen gebruiken, wat zijn de verschillen tussen een vlak en een balk en maak een tekening!. De deelnemers hebben niet gevraagd naar een notitie die op het bord stond: WWPA. Het antwoord op de niet gestelde vraag naar de betekenis ervan is: What Would Pólya Ask 7

8 Feedbackvragen Aan het eind van onze presentatie hebben we de deelnemers gevraagd twee feedbackvragen te beantwoorden. 1. Welk element van deze vakdidactische demonstratie zou je behouden als je m zelf zou gaan geven, en waarom? Samenvattend was er waardering voor: - goede interactie met de deelnemers en tussen de deelnemers - de bruikbaarheid van de vragenlijsten van Pólya - oefening aan het begin: de deelnemers aan het werk zetten ter oriëntatie 2. Welk element van deze vakdidactische demonstratie zou je veranderen als je m zelf zou gaan geven, en waarom? Mogelijke punten voor verbetering zijn: - enkele deelnemers hadden moeite met de individuele werkvorm bij de eerste opgave - in situatie 1 kon de vraag van de leerling beter worden gesteld De antwoorden op de feedbackvragen zijn hieronder weergegeven. + lijstjes erg inzichtelijk/bruikbaar - 1 probleem bespreken is genoeg, introdia staat een beetje los van de rest van het verhaal (wel leuk alle leerstijlen v.d. filosofen + prima interactie met de toehoorders en tussen de toehoorders - ook tweede voorbeeld met muntjes laten maken (korter de tijd voor elk probleem dus, maar niet erg, want na 5 minuten denken is het wel duidelijk) + opgaven, vraagjes (goede basis en voorbeelden) - 2 spelletjes: 1 alleen en 1 met z'n 2-en, uitwisseling in groep, strategiën -? meer interactie. 1 voorbeeld minder. + het laatste voorbeeld - de uitleg van de eerste opdracht kon wat duidelijker, wat precies gevraagd werd was voor mij eerst niet duidelijk, dan kon ik me meer richten op het doel van de memo en niet zozeer op de taak. + oefening aan het begin mooi: ons aan het werk zetten ter oriëntatie - link lessen met systematische probleemaanpak + prima opbouw, houden zo. mooi dat het blad van Polyavragen na de ongesorteerde lijst komt. - probleem 1 mag korter, evt ook overleg toestaan, jammer dat probleem 2 niet aan de orde kwam. situatie 1 aanpassen naar beter probleem. de 24 cijfers op het bord met post-its blijven houden. Literatuur Valcke, M. (2007). Onderwijskunde als ontwerpwetenschap. Gent: Academia Press Pólya, G. (1974). Heuristiek en wiskunde. Den Bosch: Malmberg Van Streun, A. (2011). Wiskundige denkactiviteiten (conceptversie). ctwo: werkgroep wiskundige denkactiviteiten 8

9 Bijlage 1 MDA lesplan vakdidactische presentatie voor Leren en Instructie 4 Docenten: Tim Leenders en Dickens van der Werff Datum: 8 mei 2014 Tijd: 11:00-12:30 Vakdidactische demonstratie Lesonderwerp Het stellen van vragen als hogere denkvaardigheid Beginsituatie Aantal deelnemers: 6 Kennis over en ervaring met het toepassen van wiskundige denkactiviteiten (WDA) bij vakdocenten en studenten is aanwezig (in gedifferentieerde niveau s) Leskern Wiskundige denkactiviteit: het werken met vragen stellen Docentdoelen Het belang ervaren en de mogelijkheden zien van het vragen stellen en reflecteren op de denkmethode bij probleemoplossen Boek Polya, G. (1945) How to solve it, a new aspect of mathematical method Media, spullen, hulp Beamer met presentatie, lesmateriaal (zie bijlagen) Tijd Fase Lesdoel 11:00 1, 2 11: :25 3, 4, 5, 6 11: :50 12:10 3, 4, 5, 6 3, 4, 5, 6 12:20 3, 6 12:30 oriënteren, voorkennis activeren, informeren informeren, instrueren verwerking begeleiden voorkennis activeren, informeren interne dialoog opwekken interne dialoog opwekken evalueren, feedback Wat we doen en (letterlijk) zeggen inleiding theorie: de plaats van analytisch denken en probleemoplossen als WDA als voorbeeld examenpilots tijd voor een voorbeeld: opgave probleem 1 met lijst genummerde vragen bepalen van de aanpak: welke vragen zijn nodig? inventariseren met post-its toelichting: manieren van leren / WDA van Streun, heuristiek, Polya stappenplan gebruiken opgave situatie 1: hoe gaan we de leerling helpen? mentale actie opgave situatie 2: hoe gaan we de leerling helpen? mentale actie wat zou je willen veranderen / behouden in deze presentatie? Wat zij doen (werkvorm) luisteren, onthouden aantekeningen maken individueel: hoe een oplossing te bedenken voor een probleem uitkomst in de groep bespreken luisteren, onthouden aantekeningen maken zich in de leerling verplaatsen, bespreken in de groep zich in de leerling verplaatsen, bespreken in de groep beoordelen, alternatieven bedenken Leeractiviteit (specifieke) onderscheiden beredeneren, onderscheiden, analyseren patroon zien evalueren en reflecteren onderscheiden beredeneren, analyseren, voorspellen beredeneren, analyseren, voorspellen analyseren beoordelen Lesfasen 1. Oriënteren op doel, voorkennis diagnosticeren/activeren 2. Informeren over begrippen / instrueren over vaardigheden 3. Check & feedback 4. Verwerking instrueren 5. Verwerking begeleiden 6. Afronden (evalueren en reflecteren) 9

10 Bijlage 2 Vragenlijst (score) bij PROBLEEM 1 Construeer een vierkant in een gegeven ongelijkzijdige driehoek. Twee hoekpunten van het vierkant moeten op de basis van de driehoek liggen, de andere twee hoekpunten van het vierkant op de twee andere zijden van de driehoek, op elk een. 1. (5x) Wat wordt gevraagd? Wat zijn de gegevens? Wat zijn de voorwaarden? 2. (4x) Is het mogelijk om aan de voorwaarden te voldoen? Zijn de voorwaarden voldoende om het gevraagde te bepalen? Of onvoldoende? Of zijn er teveel voorwaarden? Of zijn er voorwaarden die met elkaar in strijd zijn? 3. (6x) Maak een tekening. 4. (2x) Voer een geschiktee notatie in. 5. (-) Zet de verschillende delen van de voorwaarden apart. Kun je ze opschrijven? 6. (-) Heb je het eerder gezien? 7. (1x) Heb je hetzelfde probleem in een net iets andere vorm gezien? 8. (1x) Ken je een verwant probleem? 9. (3x) Ken je een stelling die van pas kan komen? 10. (-) Kijk naar wat gevraagd wordt! Probeer op een bekend probleem te komen dat hetzelfde of soortgelijk gevraagde heeft. 11. (-) Ken je een probleem dat met het jouwe te maken heeft en al eerder opgelost is? Zou je het kunnenn gebruiken? Zou je het resultaat ervan kunnen gebruiken? Kun je een tussenstap maken zodat je er toch gebruik van kunt maken? 12. (-) Zou je het probleem anders kunnen formuleren? Zou je het nog anders kunnen formuleren? Ga terug op de definities. 13. (-) Zou je je een eenvoudiger verwant probleem kunnen voorstellen? Een meer algemeen probleem? Een meer speciaal probleem? Een analoog probleem? 14. (1x) Zou je een deel van het probleem kunnen oplossen? Houd slechts een deel van de voorwaarde aan, laat de rest vallen; in hoeverre is het gevraagde nu bepaald, hoe kan het nog variëren? Zou je iets bruikbaars uit de gegevens kunnen afleiden? 15. (1x) Zou je je andere gegevens kunnen indenken die ook geschikt zijn om het gevraagde te bepalen? 16. (-) Zou je het gevraagde of de gegevens of zonodig beide kunnen wijzigen zo dat het nieuwe gevraagdee en de nieuwe gegevens dichter bij elkaar liggen? 17. (2x) Gebruikte je alle gegevens? Gebruikte je alle voorwaarden? 18. (-) Heb je met alle bij het probleem betrokken essentiële begrippen rekening gehouden? 19. (1x) Kun je duidelijk zien dat elke stap correct is? 20. (1x) Kun je zelfs bewijzen dat elke stap correct is? 21. (1x) Kun je het resultaat controleren? Kun je de argumentatie controleren? 22. (-) Kun je het resultaat op een andere manier afleiden? 23. (-) Kun je het in één oogopslag zien? 24. (-) Kun je het resultaat of de methode voor een ander probleem gebruiken? 10

11 Bijlage 3 G. Polya, Heuristiek en wiskunde Een andere kijk op de werkwijze van de wiskunde bewerking van de vertaling van K. Morcus EEN LIJST VRAGEN OM DENKSTAPPEN TE KUNNEN MAKEN 1. HET PROBLEEM BEGRIJPEN o Ten eerste: Je moet het probleem begrijpen o Wat is het onbekende? Wat wordt gevraagd? Wat zijn de gegevens? Wat zijn de voorwaarden? o Is het mogelijk om aan de voorwaarden te voldoen? Zijn de voorwaarden voldoende om het gevraagde te bepalen? Of onvoldoende? Of zijn er teveel voorwaarden? Of zijn er voorwaarden die met elkaar in strijd zijn? o Maak een tekening. Voer een geschikte notatie in. o Zet de verschillende delen van de voorwaarden apart. Kun je ze opschrijven? 2. EEN PLAN MAKEN o Ten tweede: Zoek het verband tussen de gegevens en het gevraagde o Misschien ben je genoodzaakt om hulpproblemen te beschouwen als er geen direct verband kan worden gevonden. Misschien kun je een tussenstap maken zodat je eerst een deel van het probleem kunt oplossen. Uiteindelijk moet je een plan voor een oplossing van het probleem maken. o Heb je het eerder gezien? Heb je hetzelfde probleem in een net iets andere vorm gezien? o Ken je een verwant probleem? Ken je een stelling die van pas kan komen? o Kijk naar wat gevraagd wordt! Probeer op een bekend probleem te komen dat hetzelfde of soortgelijk gevraagde heeft. o Ken je een probleem dat met het jouwe te maken heeft en al eerder opgelost is? Zou je het kunnen gebruiken? Zou je het resultaat ervan kunnen gebruiken? Kun je een tussenstap maken zodat je er toch gebruik van kunt maken? o Zou je het probleem anders kunnen formuleren? Zou je het nog anders kunnen formuleren? Ga terug op de definities. o Als je het gegeven probleem niet kunt oplossen probeer dan eerst een verwant probleem op te lossen. Zou je je een een eenvoudiger verwant probleem kunnen voorstellen? Een meer algemeen probleem? Een meer speciaal probleem? Een analoog probleem? o Zou je een deel van het probleem kunnen oplossen? Hou slechts een deel van de voorwaarde aan, laat de rest vallen; in hoeverre is het gevraagde nu bepaald, hoe kan het nog variëren? Zou je iets bruikbaars uit de gegevens kunnen afleiden? Zou je je andere gegevens kunnen indenken die ook geschikt zijn om het gevraagde te bepalen? o Zou je het gevraagde of de gegevens of zonodig beide kunnen wijzigen zo dat het nieuwe gevraagde en de nieuwe gegevens dichter bij elkaar liggen? o Gebruikte je alle gegevens? Gebruikte je alle voorwaarden? Heb je met alle bij het probleem betrokken essentiële begrippen rekening gehouden? 3. HET PLAN UITVOEREN o Ten derde: voer je plan uit o Als je je plan voor de oplossing uitvoert, controleer dan elke stap. Kun je duidelijk zien dat de stap correct is? Kun je zelfs bewijzen dat deze correct is? 4. TERUGBLIK o Ten vierde: Onderzoek je verkregen oplossing o Kun je het resultaat controleren? Kun je de argumentatie controleren? o Kun je het resultaat op een andere manier afleiden? Kun je het in één oogopslag zien? o Kun je het resultaat of de methode voor een ander probleem gebruiken? 11