Met de vernieuwde wiskundecurricul vn HAVO en VWO verndert in 2015 ook het meetkundeprogrmm voor VWO-wiskunde B: nlytische meetkunde met coördinten krijgt een prominentere plts. Dit is nleiding om in de Wiskrnt dieper op dit onderwerp in te gn. In het vierde en ltste rtikel vn deze serie chtergrondrtikelen bespreekt Ad Goddijn het inproduct, in zijn ogen een rijkere rol verdient dn de gebruikelijke ls hulpmiddel bij het berekenen vn hoeken en lengtes. Inproduct, projectie, terugblik Achtergronden bij meetkunde met coördinten, deel IV Wt voorf ging en wt hier volgt Dit is het vierde en ltste chtergrondrtikel bij het domein Meetkunde met Coördinten vn het nieuwe exmenprogrmm Wiskunde B VWO, nr verwchting in 2015 vn strt gt. Voorf gingen: Beweging, rklijn, snelheid in Nieuwe Wiskrnt, 31(2) vn december 2011, Snelheid, vector, fgeleide in Nieuwe Wiskrnt, 31(3) vn mrt 2012, Afgeleiden, coördinten, lgebr in Nieuwe Wiskrnt, 32(3) vn mrt 2013. In dit ltste rtikel stt het begrip inproduct centrl. Het inproduct functioneert trditioneel in het VO lleen ls een hndig gereedschp om hoeken en fstnden te berekenen met behulp vn coördinten (of kentllen), zowel in het pltte vlk ls in de ruimte. Wie de voorgnde rtikelen in deze reeks heeft gezien, zl verwchten ik g pogen het inproduct opnieuw op te bouwen, strtend vnuit een meetkundig probleem. Dt zou ik inderdd grg doen; mr bij het inproduct vlt niet mee, het inproduct verzet zich tegen mijn ontbstrheringen. Toch g ik vi meetkundige voorbeelden lten zien het inproduct meer is dn lleen een gereedschp voor hoek- en lengteberekening. De npk is hier en dr wel wt bstrcter dn in de voorgnde rtikelen; uiteindelijk neem ik zelfs een korte beschrijving vn het inproduct op die teruggt tot de New Mth-periode. Dt ws een glsheldere npk, mr veel leerlingenogen konden bij zoveel fel bstrct licht de wiskunde niet meer zien, weten we nu. Ik eindig met een historisch getnte slotbeschouwing over meetkundecoördinten en coördinten met meetkunde. Inproduct opertioneel ngepkt In de huidige schoolteksten wor het inproduct door de bnk genomen op twee verschillende mnieren ingevoerd. Methode A legt het inproduct vn de vectoren (in een vlk) vst vi de kentllen vn de vectoren. Als (en meestl is zo) de vectoren ls verschuivingen zijn ingevoerd, zijn die kentllen gerichte groottes vn de deelverschuivingen in de richtingen vn de twee coördintssen. 1 b 1 Zijn = en b = de twee vectoren, dn 2 b 2 wor hun inproduct gedefinieerd door b = 1 b 1 + 2 b 2 Als met lengte vn wor bedoeld, dn gel uiterrd = 2 en ls de hoek tussen de vectoren en b is, dn gel bovendien: b = b cos Dit wor onderbouwd door de b enerzijds vi de cosinusregel in, b en uit te drukken, en nderzijds vi Pythgors in de kentllen vn de vectoren. Methode B legt het inproduct vn de vectoren en b vst vi lengtes en ingesloten hoek vi de formule b = b cos en ook nu is = 2 duidelijk. De cosinusregel leert ons nu het inproduct in kentllen uit te drukken: b = 1 b 1 + 2 b 2. De ndcht in deze methoden ligt voorl op het hndig kunnen berekenen vn hoeken in figuren ls coördinten vn punten gegeven zijn; de kruisproductenformule, zols ik deze verder zl noemen, speelt drbij de hoofdrol. Het onderkennen vn loodrechte stnden speelt een belngrijke rol en is betrekkelijk eenvoudig; de loodrechtheid vn twee 2 Nieuwe Wiskrnt 32-4/juni 2013 39
vectoren en b en (beide niet de nulvector) volgt nmelijk uit b =0. Niets nieuws onder de zon? Combineren we de kruisproductenregel en de cosinusregel, dn vinden we een directe uitdrukking voor de cosinus vn de hoek tussen de vectoren: cos 1 b 1 + 2 b = --------------------------- 2 A B Denken we n de driehoek OAB, dn zijn en b de vectoren OA en OB. Zijn en de hoeken vn deze vectoren met de positieve x-s, dn herkennen 1 we bijvoorbeeld in ----- de cosinus vn. Nu blijkt A de uitdrukking voor cos een oude bekende te zijn: cos = cos = cos cos + sin Is er dn heleml niets nieuws onder de zon? sin De meerwrde vn inproductnpk boven gonioregel begint zeker te tellen ls we uit het vlk stppen en nr de ruimte reizen. In de kruisproductenformule voor het inproduct komt dn een derde term voor: b = 1 b 1 + 2 b 2 + 3 b 3 (Ik lt de vrg of lles over hoeken, lengte, loodrechte stnd gewoon doorgt zols hierboven verteld even liggen; het ntwoord is j en blijkt strks.) Het berekenen vn de hoek tussen twee vlkken in de ruimtevi het inproduct vn de normlvectoren op die vlkken is eenvoudig ls we de vlkken gegeven hebben vi een lineire vergelijking vn de vorm x + by + cz = d, om we dn direct over een vector loodrecht op vlk beschikken, de vector met kentllen, b, c. Als we het vlk kennen vi een gegeven punt en twee vectoren die het vlk vnuit punt opspnnen, dn bie het uitproduct vn die twee vectoren ons een lgoritme voor het berekenen vn een vector loodrecht op het vlk en lukt het ook in deze vorm hoeken vn vlkken te beplen. Als de lezer uit het voorgnde concludeert ik niet heel enthousist ben over het gebruiken vn het inproduct in dimensie twee, dn is niet heleml juist; mijn gebrek n enthousisme ontstt voorl uit de beperking vn het inproduct tot het berekenen vn hoeken en bewijzen vn loodrechte stnden, zonder er ndere essentiële eigenschppen vn het inproduct gebruikt en belicht worden. Deze eigenschppen zijn meetkundig én lgebrïsch vn rd, en zijn bovendien betrekkelijk eenvoudig. Hoogtelijnen Als eerste voorbeeld vn gebruik vn het inproduct en de eigenschppen ervn geef ik een bewijs vn de stelling de drie hoogtelijnen vn een driehoek elkr in één punt snijden. Een bewijs voor de concurrentie vn de drie hoogtelijnen vn een driehoek vi vectoren en inproducten stond l eerder in de Nieuwe Wiskrnt, in Wt te bewijzen is, 57 vn Mrtin Kin (2012). Vijf regels telde bewijs. Mijn vrint is omvngrijker, mr zo ingericht ik er een trditioneel meetkundig bewijsschem mee bendruk én op het kopje vn deze prgrf vooruitloop. Lt ABC de driehoek zijn; net ls Mrtin Kin spreek ik de punten liever n met hun nmen A, B en C dn met hun woondressen zols (12, 5) die in de redenering geen enkele rol hebben. De hoogtelijnen uit A en B op de zijden CB en CA snijden elkr zeker, wnt ze zijn net ls CB en CA niet evenwijdig n elkr. Noem het snijpunt vn die twee hoogtelijnen H. Voor het vector-rekenwerk gebruik ik de korte notties = CA, b = CB en h = CH. De loodrechte stnden kunnen lgebrïsch ls inproduct = 0 worden smengevt. Voor de hoogtelijn uit A is h b = 0 en voor die uit B is het b h = 0. We moeten nu lten zien CH loodrecht op AB stt, ofwel b h = 0. Hier in het lgebrïsch hrt vn dit bewijs hebben we twee eigenschppen vn het inproduct nodig, die ik eerst zonder meer gebruik en lter benoem en toelicht. Uit h b = 0 volgt b h b = 0 en dus gel b = h b. Uit b h = 0 volgt b h = 0 en dus gel ook b = h. Nu gn we die twee resultten combineren. Om b = b, gel ook h = h b, en we leiden druit f: b h= 0 Dt gt bijvoorbeeld zo: b h = h b = h h b= 0 en dus stt CH lood- Inderdd, b h= 0 recht op AB. QED! 40 Inproduct, projectie, terugblik
Coördinten en kentllen en uitwerken vn het inproduct ls som vn kruisproducten speelden in het hoogtelijnenbewijs geen enkele rol. Uiterrd kun je inproducten ps numeriek uitrekenen ls je de coördinten vn de betrokken punten of vectoren kunt gebruiken; wil je iets numeriek weten (een hoek of een lengte), dn kun je dr ntuurlijk niet omheen. Het voorbeeld vn de hoogtelijnen lt echter zien we met lleen de wrde vn het inproduct vn twee loodrechte vectoren ( is de wrde 0) in combintie met het meetkundig-lgebrïsch gereedschp in het inproductmechnisme voorhnden lijkt te zijn, l tot interessnte meetkunde kunnen komen. Lineir en symmetrisch Het inproduct heeft eigenschppen die nog niet geformuleerd zijn, mr hier heel expliciet gebruikt zijn. Ze lijken op de distributieve en commuttieve eigenschp vn de gewone vermenigvuldiging. Voor willekeurige vectoren p, q en r gel nmelijk ltijd: p q r = p r q r en p q = q p De tweede eigenschp is de zogenmde symmetrie vn het inproduct. De eerste eigenschp verruim ik nu iets, door ook de vermenigvuldigingen vn vectoren met een getl (de zogenmde sclire vermenigvuldiging) mee te nemen. De eigenschp is dn de lineriteit vn het inproduct: p + q r = p r + q r Uit de symmetrie volgt het inproduct óók lineir is in de tweede fctor. Het inproduct is, zols heet, bilineir. De genoemde eigenschppen vn het inproduct volgen direct uit de kruisproductenbeschrijving vn het inproduct; is gemkkelijk n te gn. Dit ter voorlopige geruststelling, wnt in de volgende prgrf g ik de wereld op z n kop zetten. Nu volgt nmelijk een ndere definitie vn inproduct, wrbij de lineriteit, de symmetrie, de lengteregel én het cosinusverbnd lleml vrij directe gevolgen zijn en wrn de kruisproductenregel volgt ls we over coördinten of kentllen beschikken. Loodrechte projectie en inproduct In het eerste rtikel vn deze reeks (in Nieuwe Wiskrnt, 31(2)), wr werd gespeeld met beweging en snelheid, kwm op diverse momenten het projecteren vn een vector op een gegeven lijn voor. Dt projecteren nemen we nogmls onder de loep; in de figuur hiernst zien we vectoren, b en de loodrechte projectie p b vn op de door b beplde lijn. p b In deze figuur heerst symmetrie, de vectoren en b hebben verschillende rollen. Om de situtie symmetrisch te mken, voegen we de projectie vn beplde lijn toe, zols in de vol- b op de door gende figuur. p b p b Gelijkvormige driehoeken springen nu in het oog. Er gel een verhoudingsgelijkheid voor de lengtes vn de vectoren, : p b = b : p b. Die schrijven we liever ls productgelijkheid, om we drmee veilig kunnen rekenen, óók ls een vn de componenten gelijk is n 0: p b = b p b Links stt hier het product vn de lengte vn met de lengte vn de projectie vn b op. De productgelijkheid zegt ons we hier en b mogen verwisselen, mkt niet uit. Symmetrie! Als de hoek tussen de vectoren stomp is, is de projectievector in richting tegengesteld n b ; de p b p b projectievector is dn ook in richting tegengesteld n. De oriënttie vn de lengte nemen we mee in de nieuwe definitie: het inproduct b vn de vectoren en b is het product vn de lengte vn met de gerichte lengte vn de projectie vn b op. De symmetrie vn dit inproduct, in de zin b gelijk is n b, is nu onderbouwd. De lengteregel ( = 2 ) volgt uit het feit projectie vn op weer is. Stn twee vectoren loodrecht op elkr, dn is de projectie vn de een op de nder de nul-vector, en ndersom. Kortom het inproduct vn loodrechte b b p b Nieuwe Wiskrnt 32-4/juni 2013 41
vectoren is 0. De cosinusformule volgt net zo direct. Mr ook de lineriteit heeft nu een meetkundige bodem! In het volgende pltje is de vectorsom vn q 1 en q 2. Voor de drie projecties (ls vectoren) op één lijn gel dn ook de vectorsomreltie. Uiteindelijk gel de somreltie dn óók voor de geörienteerde lengtes (OQ 1, OQ 2, OQ 3 in de figuur) vn de projecties; is goed te zien door even op de twee (congruente, gelijkgerichte) grijze driehoekjes te letten. O q 2 q 1 Q 1 Q 2 De somreltie blijft behouden onder projectie, zo zou je het bondig kunnen smenvtten. Voor de lijn wrop geprojecteerd wor, nemen we de door een vector p beplde lijn. We vinden zo direct de optelreltie voor de inproducten vn p met de vectoren q 1, q 2 en q 3, door de gerichte lengtes vn de lijnstukken de vste fctor p mee te geven. Volgens de definitie vn inproduct stt er dn: De ndere optelreltie volgt uit de l bewezen symmetrie. Lineriteit gt ook om het vermenigvuldigen met scliren; dit inproduct voldoet ntuurlijk ook n Dit is ook direct uit de (nieuwe) definitie f te leiden. Alle lgemene eigenschppen vn het inproduct blijken dus gevolgen vn de gegeven definitie. Een klein ddertje zit nog wel onder de figuur met de projecties. Gel het behoud vn de optelreltie ook in hogere dimensies? Wnt de figuur suggereert toch wel het pltte vlk... Het ntwoord op de vrg is: j. Vt het pltje mr op ls een nzicht vn een ruimtelijke situtie. N deze theoretisch onderbouwing wil ik een concrete toepssing vn de projectie-interprettie vn het inproduct lten zien. Drvoor moeten we wel eerst nog het contct met de kentllen leggen. Dt is niet moeilijk. q 3 q 3 Q 3 p q 1 + p q 2 = p q 1 + q 2 p q = p q Nr de kruisproductenformule Houden we het even bij drie dimensies, dn is een vector ltijd som vn sclire veelvouden vn drie eenheidsvectoren; zijn drie vectoren die loodrecht op elkr stn en lengte 1 hebben. Hieronder uitgeschreven voor en b : 1 0 0 = 1 0 + 2 1 + 3 0 0 0 1 1 0 0 b = b 1 0 + b 2 1 + b 3 0 0 0 1 Bij het uitwerken vn b gebruiken we de symmetrie en de lineriteitsregels. Dn moeten we (onder ndere) weten 1 1 0 0 = 1 0 0 0 1 en 0 0 = 0. 1 0 Deze wrden zijn hier ntuurlijk niet bepld door de kruisproductenformule, mr volgen uit de bewezen lengteformule en de loodrechte stndeigenschp! Vn de negen combinties vn diverse eenheidvectoren overleven er in de uitwerking slechts drie, die vn de eenheidsvectoren met zichzelf, en j hoor: b = 1 b 1 + 2 b 2 + 3 b 3 Concrete toepssing: cilinder door blk De foto op de volgende bldzijde toont een blok vn 16 bij 9 bij 5 centimeter, doorboord door een cilinder met dimeter 6,4 centimeter. De s vn de cilinder gt door twee overstnde hoekpunten vn de blk. Alles is vn dun krton gemkt en het pst zo te zien lleml perfect. Hoe is gedn is de vrg wr het nu om gt. Nst de foto stt de helft vn een uitslg vn de blk. Hebben we die uitslg gemkt, dn is de rest niet moeilijk meer. De ndere helft mken we met het kopieerpprt; de cilinder levert l heleml weinig problemen op. Het tekenen vn de hlve bouwplt voor de doorboorde blk gt meer vi denkwerk dn zwr rekenwerk. We mken eerst een stppenpln: A: An de blk vstgemkt denken we ons een 3D-coördintenstelsel zo xy-, yz, en zx-vlk de drie zijvlkken vn de blk zijn. Kortom: O 42 Inproduct, projectie, terugblik
ligt in een hoekpunt en de ssen liggen (hndig!) lngs de ribben vn de blk. B: Vn de cilinder kennen we de srichting: die vn de vector over de hoofddigonl vn de blk. We kennen ook de strl. Met die twee gegevens stellen we de vergelijking vn de in het ssenstelsel schuin liggende cilinder op. (Wie denkt moeilijk is, kent de wre krcht vn het inproduct nog niet! Lees voorl verder.) C: In de vergelijking die we hebben gevonden, vullen we z = 0 in. Anders gezegd: we snijden de cilinder met het (zij)vlk z = 0. Een vergelijking in x en y blijft over en die tikken we letterlijk over in de invoerblk vn Geogebr. De doorsnede vn de cilinder met een vn de zijvlkken vn de blk verschijnt. (Lt in de figuur het grootste zijvlk zijn, rechtsboven in de figuur). D: Het volgende zijvlk is het xz-vlk. Hiervoor stellen we y = 0 in de vergelijking vn stp B. Dt levert een xz-vergelijking op. Geogebr moeten we nu even helpen door in deze vergelijking x en z te vervngen door x en -y, wnt Geogebr heeft zo hr eigen gedchten over x en y op het tekenscherm. Het derde zijvlk ontstt op vergelijkbre wijze. F: Het Geogebrscherm vertoont uiteindelijk de drie volledige doorsneden door elkr. Geogebr heeft genoeg toeters en bellen n boord om de correcte bouwplt mogelijk te mken; desnoods ook met sleepschuifjes voor de mten vn het blok en strl vn de cilinder. (Het GGB-bestnd vin u ls digitle bijlge op de website vn de Nieuwe Wiskrnt 1.) De vergelijking vn de cilinder De kern vn het pln wor gevormd door de stppen B en C, het opstellen vn de vergelijking vn de cilinder en het snijden met een vlk. De s vn de cilinder is de lijn door O (0, 0, 0) en H (16, 9, 5). Het werken met de gegeven coördinten lijkt nu lles heel concreet te mken. Mr het is ook verwrrend: bij het rekenwerk sluipen llerlei getllen de vergelijking binnen, wrvn de betekenis niet meer zichtbr is. Ik houd het drom liever op een korte nm voor de richtingsvector, q = OH. Net zo noem ik de strl vn de cilinder grg r. Voor een punt W op de cilinder is de fstnd vn W tot de hoofddigonl gelijk n r, dit volgens de rd vn de cilinder. Ltste nottiefsprken: w = OW en de hoofddigonl (ls lijn) heet kortweg h. De vergelijking die we zoeken is een verbnd tussen q, r en w. De punten W die n de vergelijking voldoen, zijn de punten vn de cilinder. Zie de (ruimtelijke) figuur hieronder; drin is P het punt op h de fstnd vn W tot h reliseert, de projectie vn W op h. O q w W OP is de enige onbenoemde zijde in rechthoekige driehoek OWP. Kunnen we de lengte vn OP weten? OP is de loodrechte projectie vn w op h. Het gt dus lukken met het inproduct q w; wnt is per definitie gelijk n het product vn de lengte vn q en de (gerichte) lengte vn de projectie vn w op de lijn h. Druit volgt OP r q w = ---------- q P h Nieuwe Wiskrnt 32-4/juni 2013 43
Om volgens de stelling vn Pythgors gel OW 2 OW 2 = r 2, voldoet w n de volgende vergelijking: w 2 q w ----------------- 2 = r 2 q 2 Deze vergelijking zetten we tenslotte om nr de gewone coördintvribelen x, y en z. We gebruiken dus nu x 16 w = y en q =. 9 z 5 Ps nu wor vi de kruisproductenformule de krt met de kentllen uitgespeeld. Tegelijk met de kentllen vullen we voor r de wrde 3.2 in. x 2 + y 2 + z 2 16x + 9y + 5z 2 --------------------------------------- = 3.2 16 2 + 9 2 + 5 2 2 Even een terugblik. Vn meet f n in coördinten rekenen zou op zijn minst een hoop meer schrijfwerk hebben opgeleverd en het is de vrg of we de vergelijking dn wel in deze rdige vorm hdden gekregen. Het inproduct hielp ons een hoop lgebrhndwerk te vermijden! Nu stp C, invullen vn z = 0 om de xy-vergelijking vn een zijvlk te verkrijgen: x 2 y 2 16x + 9y 2 + ------------------------------- = 3.2 16 2 + 9 2 + 5 2 2 We erven de vorm vn deze vergelijkingen vn de vorige (ruimtelijke) vergelijking. Het is een tweedegrdsvergelijking in x en y. H xy coördinten kunnen mken die géén mengterm heeft, wrn de rd vn de figuur (cirkel, hyperbool, prbool, ellips?) bepld kn worden. Mr wrom zouden we doen? Eerst hkjes wegwerken en de mengterm xy lten verschijnen, dn nder coördinten kiezen om de mengterm weer te lten verdwijnen? Ho, sjeblieft! We weten llng een schuine doorsnede vn een cilinder met een vlk een opgerekte cirkel is. We kunnen ook bedenken de lnge s vn die ellips de loodrechte projectie vn lijn h op het xy-vlk is. (Zelfs de lengte vn de lnge en korte s vn de ellips kunnen we meetkundig beplen, zij het met een beetje rekenwerk.) Geogebr bevestigt ook direct onze vermoedens ls we x 2 + y 2 16x + 9y 2 16 2 + 9 2 + 5 2 = 3.2 2 invoeren en de lijn door O en H xy (16, 9) tekenen. Voor de rest vn het pln is geen gedetilleerde beschrijving nodig, wijst zich lleml wel. Mr hier volgt wel een Geogebrtip, hndig voor de verdere relistie vn de uitslg en te gebruiken in ndere projecten wr het uiterlijk vn de tekening telt. Het te gebruiken deel vn de ellips ligt in het eerste kwdrnt. De rest vn de ellips willen we in de tekening verbergen. Uiteindelijk lukte het mij zo: Teken een segment AB met A op de positieve y-s en B op de positieve x-s. Leg een punt Q op AB en trek de strl OQ. Deze snij de ellips binnen het eerste kwdrnt. Teken nu de meetkundige plts vn het snijpunt S ls Q segment AB doorloopt. Het stuk we willen zien, wor nu getekend. Verberg de ellips zelf en de sporen (AB, Q, OQ, S) vn deze ctie. Tot slot vn de cilinder-exercitie een foto vn het doorboorde blok zonder de cilinder; de foto is genomen in de richting vn de cilinders. De mengterm xy is in deze vorm niet in de vergelijking zichtbr. Ps ls we het kwdrt in de tweede term zouden uitwerken, krijgen we die term te zien. In een vn de eerdere rtikelen in deze serie (het derde) is verteld we vn zo n tweedegrdsvergelijking middels kiezen vn ndere coördintssen een tweede grdsvergelijking in de nieuwe Terugblik 1: hoe bstrct wil je zijn? In dit chtergrondrtikel over het inproduct probeerde ik het inproduct meer vnuit de eigenschp- 44 Inproduct, projectie, terugblik
pen ervn te benderen dn vnuit een lgoritmische regel die lleen vertelt hoe je een inproduct uitrekent. Voor een inpssing in de huidige VWO-B en -D wiskundelijnen gt het theoretische deel zols in dit chtergrondrtikel wt ver, mr de voorbeelden (drie hoogtelijnen door één punt, cilinder snij blok) lten echter zien concreet gebruik vn de eigenschppen vn het inproduct, dus lineriteit en projectiekrkter, toch niet heel ver vn de mogelijkheden in de kls vn nu liggen. Ik houd dn ook wel stnde de lgoritmische introducties zols ik die in het begin schetste, te mger zijn. De bsiseigenschppen vn het inproduct niet noemen en niet leren gebruiken is bizr. De exmenbeschrijving vn het Subdomein D3, De Ruimte, in het wiskunde D-progrmm 2015, zie www.ctwo.nl, doet het hels op de mgere mnier. Gelukkig is lleen een schoolexmen en we hebben dus lleml de gelegenheid het zinniger te doen. Bijvoorbeeld vi een werkstukje ls de cilinder door de blk of iets vergelijkbrs zols Kegel door Kubus? Terugblik 2: hoe nders ws de New Mth? De introductie vn het inproduct vi het begrip projectie veronderstelde een meetkundige ruimte wrin we kunnen steunen op begrippen ls fstnd, hoek en loodrechte stnd. De bnd met een concreet-intuïtieve ingng op de meetkunde werd drmee niet losgelten. In de inleiding vn dit rtikel stt echter ook: het inproduct verzet zich tegen mijn ontbstrheringen. Het inproduct is een wiskundig construct zeer nuttig blijkt, ook in concrete zin, mr zich niet vnzelf ndient. Het is dn ook illustrtief eens terug te kijken nr een nog veel bstrctere opzet zols die in de oude New Mth pste. New Mth ws de onderwijsgerichte uitwerking vn de Bourbki-herstructurering vn de wiskunde. Uiterste bsis ws drin het begrip verzmeling, en op llerlei mnieren werd in kleine stpjes structuur n een verzmeling toegevoegd, zo steeds rijkere structuren werden gebouwd. Ps vrij ver op die route komen we dn meetkunde tegen wrin we misschien iets vn de wereld terugzien, l zl de wre New Mth-belijder ons dr zeker niet op wijzen. Nicols Bourbki (geen individu, mr een groep wiskundigen) herschreef volgens dit schem de hele wiskunde. Binnen de New Mth-visie zouden we op weg nr het inproduct moeten beginnen met een verzmeling die l verrijkt is met een structuur wrin opteleigenschppen en vermenigvuldigen met scliren smenwerken, wil zeggen beginnen met een lineire ruimte over een getllenlichm. Drbij bestuderen we dn het begrip biliniire symmetrische functie op ons systeem; een functie in twee vribelen en lineir in beide, en symmetrisch in de twee rgumenten. Heeft het getllenlichm een ordening (zo er ook een begrip positief getl is) dn kn zo n functie bovendien positief definiet zijn, wil zeggen de wrde positief is ls beide rgumenten hetzelfde, mr ongelijk de nulvector zijn. De New Mth-wiskundige kiest nu één vn die bilineire symmetrische positief definiete functies uit, en zegt: is voortn HET inproduct. N het uitkiezen vn dit inproduct liggen fstndsbegrip en hoek binnen het systeem vst. De lengte (in New Mth-spek de norm ) vn v is dn gedefinieerd ls de wortel uit het inproduct vn v en v. Drn wor in de vectorruimte een bsis vn onderling loodrechte eenheidsvectoren gebouwd; met ndere woorden, het coördintenstelsel wor zó gekozen de kruisproductenformule gel. In de stoere houten collegebnk vn 1965 riep de hele gng vn zken bij mij een mengsel vn bewondering en weerstnd op. Bewondering voor de elegnte wiskundige constructie, weerstnd om ik het niet cceptbel vond de lengte vn een vector fhing vn de willekeurige verkiezing vn het inproduct. Lengte hd de vector toch l? Op zich is conceptuele conflict wel wrdevol geweest: de bewustwording ook/zelfs het begrip lengte binnen de wiskunde een gedefinieerd begrip is en niet vnzelf bestt ls door de ntuur gegeven. Mr deze opzet is toch voorl een opzet voor een tweede ronde in de meetkunde. Een eerste ronde inproduct moet het concept goed nzetten en drbij nog enig contct met de l nwezige intuïtie houden; de tweede ronde mg dn lten zien er zo n bstrcte constructie mogelijk is, voor wie wil of rdig vin. Optimist Descrtes krijgt kritiek In het resterende deel vn dit rtikel keer ik nog even terug nr eerdere rtikelen in deze serie. In het derde rtikel presenteerde ik Descrtes ls degene die de nlytische methode met gebruik vn coördinten in de meetkunde expliciet mkte. Descrtes hd een pln hoe de meetkunde te bedrijven. In pln schuilt een nstekelijk optimisme. Kies de juiste vribelen in je figuur, benoem ze en gebruik de lgebr om vergelijkingen op te stellen en drn op te lossen. Succes verzekerd! Het optimisme is wt getemperd toen ontdekt werd niet lle vergelijkingen expliciet zijn op te lossen met behulp vn de klssieke lgebrïsche bewerkingen. Al bij vergelijkingen vn grd 5 loopt het mis. Michiel Doormn wees me op een voorbeeld op heel nder niveu tot nder ndenken stemt. Leerlingen werd een flexibel prllellogrm vn vier stven en vier dripunten voorgelegd. Dt prllellogrm heeft in elke stnd een oppervlkte en in de loodrechte versie is die oppervlkte mximl en gelijk n het Nieuwe Wiskrnt 32-4/juni 2013 45
product vn de lengtes vn de stven. De vrg ws: in welke stnd is de oppervlkte de helft drvn? Het probleem is het niet zo duidelijk is welk onderdeel je nu ls onbekende moet bestempelen. Het tekenen vn de hoogtelijn vn een vn de bovenste punten is net zo n vondst ls het beruchte vinden vn de juiste hulpijn bij een meetkundevrgstuk. Descrtes npk helpt niet zonder meer, zelfs niet om het probleem in een lgebrïsche vergelijking te vertlen. Lnding vn de vliegende stf Deze rtikelenserie is begonnen rond de them s beweging en snelheid; voornmelijk om ze een ntuurlijke instp op de vectoren in de meetkunde geven. Drnst zijn coördinten voorl ls belngrijk meetkundig gereedschp besproken en drbij is enige fstnd genomen vn het definiëren vn meetkundige begrippen vi coördinten. Voorl in dit ltste rtikel is dit gedn om een ruimer zicht te geven op het begrip inproduct. Ter fsluiting breng ik beweging en inproduct smen en kom drmee tegelijk een belofte n uit het eerste rtikel. Drin werd de zogenmde Wet vn de Vliegende Stf besproken: Als AB een strre stf is wrvn de uiteinden bewegen zols de pijlen in de figuur ngeven, dn zijn de loodrechte projecties vn en b op de lijn AB n elkr gelijk. A p p = p b Wie op internet zoekt nr Vliegende Stf, komt snel op pgin s over UFO s terecht. De Wet vn de Vliegende Stf ws gelegenheidsterminologie in het eerste rtikel; in wiskundige teksten over kinemtic komt de inhoud vn deze wet wel voor, mr niet onder deze nm. Beloofd ws een exct bewijs vn deze wet. Zo n bewijs loopt bijvoorbeeld ls volgt, nsluitend bij de nottie in de figuur vn zoëven. De uiteinden A en B vn de stf vtten we op ls vectoren en ls beschreven door prmetervoorstellingen, At en Bt. Ook de snelheidspijlen in de p b b B figuur geven we de prmeter tijd mee; t en bt. We moeten bewijzen de projecties vn t en bt op de stf gelijk zijn. Het gelijk zijn vn de projecties betekent het verschil t bt loodrecht stt op het verschil At Bt. Vertld in inproducttl: Ofwel: At Bt t bt = 0 At Bt d At Bt = 0 Het inproduct vn iets met zijn fgeleide, is immers die ltste fctor! De stf heeft vste lengte; betekent het inproduct vn At Bt met zichzelf constnt is en de fgeleide drvn gelijk 0 is: d At Bt At Bt = 0 Over blijft dn de vrg hoe hieruit die loodrechtsformule kn worden fgeleid. Als we weten voor het differentiëren vn een inproduct net zo n regel gel ls voor het diffentiëren vn een gewoon product, dn is de conclusie mkkelijk te onderbouwen. Voor ft en gt zou (ngenomen de snelheden bestn) dn moeten gelden d ft gt = d ft gt + ft d gt Uiteindelijk kiezen we dn zowel f ls g gelijk n het verschil vn A en B, mr we hebben dn wel mooi een extr lgemene eigenschp vn het inproduct bewezen. Wie hier in het bewijs de inproducten in coördinten uitschrijft, mkt het zich gemkkelijk, wr n dit lnge rtikel niets op tegen is. Wie niet wil, bouwt een hem/hr bekend bewijs voor de gewone productregel om nr deze regel over de fgeleide vn het inproduct, wrbij wel de eigenschppen vn het inproduct (lineriteit voorl) gebruikt worden, mr niet de coördintenvoorstelling. Ad Goddijn, Freudenthl Instituut Litertuur Kin, M. (2012). Wt te bewijzen is (57). Nieuwe Wiskrnt, 31(4), 19-21. Noot [1] http://www.fisme.science.uu.nl/wiskrnt/ bij_de_nummers/bijlgen/324/cilinderdoor blok.ggb 46 Inproduct, projectie, terugblik