de Bach. IR Wet.: Architectuur Academiejaar 0-04 ste zittijd, januari 04 Wiskunde: Voortgezette Analyse. Gegeven is de reeks n x (x + ) n+ Toon aan dat de reeks puntsgewijs convergeert over R. Toon aan dat ze uniform convergeert over elk interval ]a, b[ met 0 < a < b.. Bereken{ de Fouriergetransformeerde van de volgende functie. sin (t) cos (t) als π t π. f(t) 0 anders.. Los de volgende differentiaalvergelijking op: x 6 y xy y 0 4. Bepaal de algemene integraal van het volgende differentiaalstelsel, { y y + z cos x z + z + 4y sin (x) 5. Bepaal het integraaloppervlak van de gegeven partiële differentiaalvergelijking dat door de gegeven kromme k gaat. xp (xy + y + x )q x { x + 4 yx x z z + 4, met k z 0. Het examen duurt 4 uur. Enkel het gebruik van het theoriegedeelte van de cursus is toegestaan. Puntenverdeling voor het oefeningenexamen (goed voor 45% van het totale eindresultaat); vraag : 0 ptn, vraag : 5 ptn, vraag : 0 ptn, vraag 4: 0 ptn, vraag 5: 0 ptn. Veel succes!
de Bach. IR Wet.: Architectuur Academiejaar 0-04 ste zittijd, januari 04 Wiskunde: Voortgezette Analyse. Los de volgende differentiaalvergelijkingen op: (a) x 6 y xy y 0 (b) y + y xe x. Bepaal de algemene integraal van het volgende differentiaalstelsel, { y y + z cos x z + z + 4y sin (x). Bepaal het integraaloppervlak van de gegeven partiële differentiaalvergelijking dat door de gegeven kromme k gaat. xp (xy + y + x )q x { x + 4 yx x z z + 4, met k z 0. 4. Bepaal van het volgende differentiaalstelsel twee verschillende eerste integralen. x y dy y + y x dz y + yz Het examen duurt 4 uur. Enkel het gebruik van het theoriegedeelte van de cursus is toegestaan. Puntenverdeling voor het oefeningenexamen (goed voor 45% van het totale eindresultaat); vraag : 0 ptn, vraag : 0 ptn, vraag : 0 ptn, vraag 4: 5 ptn. Veel succes!
Oplossingen. n x (x + ) u n+ n, Deze reeks convergeert puntsgewijs over R. Herinner het volgende, u n : R R, x n x (x + ) n+ als id est u n (x) s(x), voor een s : R R, (s n ) n p s, waarbij sn x 0 R : (s n (x 0 )) n s(x 0 ) n u i : R R. i s n (x 0 ) l(x 0 ) Beschouw dus de volgende numerieke positieve reeks, n x 0 (x 0 + ) v n+ n, (v n u n (x 0 )) Deze reeks is convergent wegens de regel van d Alembert, v n+ (n + ) x 0 (x 0 + ) n+ (n + ) lim lim lim v n (x 0 + ) n+ n x 0 (x 0 + ) n (x 0 + ) < ( x 0 R). Dus convergent. Besluit: De reeks n x is puntsgewijs convergent over R. (x + ) n+ Deze reeks convergeert uniform over elk interval ]a, b[, met 0 < a < b. We gebruiken hiervoor het criterium van Weierstrass. Dit zegt: u n (x) uniform conver- n gent als N : n > N, m n : x : u n (x) m n en n m n is een convergente numerieke reeks. Beschouw n x u n (x) (x + ) n+ n b (a + ) n+ n b e n+ : m n, n R met 0 < a < x < b. Er geldt dat n b m n e n+ b n e n+.
Deze laatste reeks vergelijken we nu met de convergente reeks We krijgen dan n. lim De reeks n e n+ n lim n e n+ H lim n e n+ H n b lim n e n+ H lim 0. 4en+ e n+ is dus convergent en het resultaat volgt dus uit het criterium van Weierstrass.. De Fouriergetransformeerde van f is, F (p) F{f}(p) π π π π + f(t)e ipt dt sin (t) cos (t)e ipt dt sin (t)e ipt dt We hebben dat sin (t)e ipt dt 4 cos (t)e ipt ip cos (t)e ipt dt 4 4 cos (t)e ipt ip 8 sin (t)e ipt + p 8 sin (t)e ipt dt, waaruit volgt dat sin (t)e ipt dt 4 ( 4 p 4 cos (t)e ipt ip 8 ) sin (t)e ipt. We hebben dus dat F (p) π π sin (t) cos (t)e ipt dt [ ( cos (t)e ipt ip )] π 4 p sin (t)e ipt π 4 p cos (π)e ipπ + cos (π)eipπ 4 p ( e ipπ e ipπ) 4 p i sin pπ 4 p.
. Eerst zien we dat y ontbreekt, daarom doen we de substitutie z y en zo krijgen we dat We hebben dat Stel z p, dan krijgen we x 6 z xz z 0 z x 6 z xz. z x 6 p xp z 6x 5 p + x 6 pp p xp p 6x 5 p + x 6 pp p xp. We hebben dus een tweedegraadsvergelijking in p, 6x 5 p + x 6 pp p xp 0 die we zullen ontbinden in factoren. Hierbij is de discriminant van de vergelijking gelijk aan (x 6 p ) + 4x 6 p (x 6 p + ) We vinden dus voor de nulpunten van onze tweedegraadsvergelijking en p x6 p + + x 6 p + x 5 x 5 p x6 p + x 6 p xp x 5. We vinden dus twee vergelijkingen die we moeten oplossen. Enerzijds hebben we dat Dit geeft ons dat x 5 p. p x z 5 8x y 4 4x, wat een singuliere oplossing is. (Invullen in de oorspronkelijke differentiaalvergelijking toont ons dat dit effectief een oplossing is.) Anderzijds hebben we de differentiaalvergelijking xp + p 0. Dit is een scheidbare differentiaalvergelijking, dus we hebben dp p x ln p ln x + ln c p c x. Of hieruit volgt, aangezien z x 6 p xp, dat Hieruit volgt z c x c x. y c x + c x + c. De algemene integraal van onze differentiaalvergelijking is dus gelijk aan xy c x + c + c x.
4. Eerst leiden we de eerste vergelijking af, zo krijgen we y y z sin (x) y + z + 4y. Vervolgens { gaan we z elimineren uit het volgende stelsel y y + z + 4y z y. + y + cos (x) Zo krijgen we y y y + y + cos (x) + 4y y + 6y + cos (x) y y 6y cos (x). We bepalen de algemene oplossing van de geassocieerde homogene differentiaalvergelijking. Daarvoor bekijken we de karakteristieke vergelijking. y y 6y 0 λ λ 6 0 (λ + )(λ ) 0. De homogene oplossing is dus y h c e x + c e x. Vervolgens bepalen we de particuliere oplossing met de methode van de onbepaalde coëfficiënten. y p A cos (x)+b sin (x) y p A sin (x)+b cos (x) y p 4A cos (x) 4B sin (x). Drukken we uit dat dan vinden we y p y p 6y p cos (x), cos (x) 4A cos (x) 4B sin (x) + A sin (x) B cos (x) 6A cos (x) 6B sin (x) We vinden dus dat ( 0A B) cos (x) + ( 0B + A) sin (x). Onze particuliere oplossing is dus A 5 5, B 5. y p 5 5 cos (x) sin (x) 5 en onze algemene oplossing is y c e x + c e x + 5 5 cos (x) sin (x). 5 We bepalen tot slot nog z. z y + y + cos (x) ( c e x + c e x + 0 5 sin (x) 5 cos (x)) + (c e x + c e x + 5 cos (x)) 5 + ( 5 sin (x)) + cos (x) 4 c e x c e x + 9 cos (x) sin (x). We bekomen dus als oplossing het volgende stelsel { y c e x + c e x + 5 cos (x) sin (x) 5 5 z 4c e x c e x + cos (x) sin (x). 9 4
5. We zoeken twee eerste integralen van het geassocieerde differentiaalstelsel x dy xy + y + x z z + 4dz x x + 4. Een eerste eerste integraal bekomen we door te kijken naar de vergelijking x Hieruit halen we de differentiaalvergelijking dy xy + y + x. xy + (x + )y x. We bepalen eerst de oplossing van de geassocieerde homogene differentiaalvergelijking, We bekomen ( y h c exp xy + (x + )y 0. x + x ) c x e x. De particuliere oplossing bepalen we met de methode van de variatie van de constante. y p c(x) x e x y p c (x) x e x c(x) x e x c(x) x e x. We drukken uit dat Zo krijgen we dat xy p + (x + )y p x. Dus c (x)e x c(x) x e x c(x)e x + c(x)e x + c(x) x e x x. De particuliere oplossing is dus c (x) x e x c(x) x e x + xe x e x. y p (x) ( x e x + xe x e x ) x e x x + x. De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is dus y c x e x x + x c yxe x + x e x xe x + e x. Een tweede eerste integraal bekomen we door te kijken naar de vergelijking x z z + 4dz x x + 4 Daaruit halen we de scheidbare differentiaalvergelijking x x + 4 z z + 4dz 5
We hebben dus Of, (x + 4) (z + 4) + c. (x + 4) (z + 4) c. Voor het integraaloppervlak krijgen we yxe x + x e x xe x + e x c (x + 4) (z + 4) c. yx x z 0 Of we krijgen (x + 4) e x c en Het integraaloppervlak wordt dus (x + 4) (c + 8). ((x + 4) (z + 4) + 8 ) yx x + x 0. 6. We bekijken voor onze eerste eerste integraal de volgende vergelijking x y Daaruit halen we de differentiaalvergelijking De homogene oplossing is dan De particuliere oplossing is dan dy y + y x. y + y x x yy x y yx, met y 0. y h c exp ( ) x x c x. y p (x) c(x)x. Zo bekomen we x c (x) + c(x)x c(x)x c(x) x. Dus onze particuliere oplossing is y p (x) x en de algemene integraal is dan y c x x c y x + x. Voor onze tweede eerste integraal bekijken we de vergelijking x y 6 dz y + yz
We hebben de scheidbare differentiaalvergelijking Zo krijgen we x dz + z. x ln + z + c c + ln + z. x 7. We bepalen eerst de oplossing van de geassocieerde homogene differentiaalvergelijking De karakteristieke vergelijking is y + y 0. λ + 0 (λ + )(λ λ + ) 0 De discriminant van de tweedegraadsvergelijking hierboven is negatief, dus we hebben twee complex toegevoegde wortels, z + i, z i De homogene oplossing is dus y h c e x + e x (c cos Voor de particuliere oplossing stellen we Zo krijgen we y p (Ax + B)e x x ( ) ( )) x + c sin x. y p (Ax + Bx)e x + (Ax + B)e x y p (Ax + Bx)e x (Ax + B)e x + Ae x y p (Ax + Bx)e x + (Ax + B)e x 6Ae x. (Ax + Bx)e x + (6Ax + B)e x 6Ae x + (Ax + Bx)e x xe x Hieruit volgt dat A en B. Onze particuliere oplossing is dan gelijk aan 6 ( y p (x) 6 x + ) x e x en de algemene oplossing is gelijk aan ( ) ( )) ( y(x) c e x + e (c x cos x + c sin x + 6 x + ) x e x. 7