Scheien van variabelen een oplosmethoe voor eerste ore-ifferentiaalvergelijkingen WISNET-HBO NHL upate mei 2009 Inleiing Het met pen en papier berekenen van e analytische oplossing van een eerste ore ifferentiaalverglijking is een lastig karwei. We laten at het liefst aan e computer over. Echter voor het ontwikkelen van het begrip en het begrijpen van e oplossingsmethoen van ifferentiaalvergelijkingen leren we nog slechts één methoe: Het scheien van variabelen y t = k y y y = k t y y = k t Hierbij komt enige techniek van het herleien, het gebruik van breuken, rekenkregels van machten en logaritmen en integreren bij kijken. Bij e stappen ie tot e oplossing leien wort uitleg gegeven oner e knop met verwijzingen naar rekenregels. Bovenien zijn er vaak meer manieren om e oplossing op te schrijven. Het is an belangrijk at rekenregels snel herken woren ter bevorering van e communicatie tussen ingenieurs onerling. Aan e han van e oplossingsmethoe van het scheien van variabelen zullen we een aantal voorbeelen bekijken. In e voorbeelen is stees sprake van e functie y t tenzij aners vermel. Voorkennis + lijst met stanaarintegralen Q Repeteer nog even e rekenregels voor machten. Q en e rekenregels voor logaritmen. Q Verer moet je goe met het vereenvouigen van breuken en vergelijkingen met
breuken kunnen werken. Q Een lijstje met stanaarintegralen is ook aan te bevelen.
f x f x x x x 2 2 x n x n C n C sin a x K cos a x a cos a x sin a x a x ln x x 2 C 2 x x 2 C3 e a x arctan x ln x 2 C3 e a x a K Kx 2 arcsin x Kx 2 Karcsin x Cx 2 arctan x x x 2 K Kx2
Voorbeel Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e algemene oplossing van eze ifferentiaalvergelijking. t yt = k yt De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yt maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen y = k y t aanwijzing Breng nu alles met y naar e linkerkant van het isgelijkteken en e rest naar rechts. in twee stappen Dat kan ook in twee stappen: Links en rechts t y = k y t Daarna links en rechts elen oor y. y y = k t aanwijzing 2 Zet links en rechts een integraalteken ervoor en bereken e integralen. Vergeet aarbij e constante niet. Z je lijstje met stanaarintegralen weer eens op. y = k t y aanwijzing 3 Bij het integreren zoner grenzen komen eigenlijk twee constanten (integratieconstanten). Eentje links en eentje rechts. ln y CA = k tcb Dit is te herleien tot: ln y = k tcbka Noem nu BKA aners, bijvoorbeel C. ln y = k tcc aanwijzing 4
Let op e moulusstrepen van y. Er is namelijk niet gegeven at y altij positief moet zijn en omat we hier rekenen in e Reële getallen, kan oner e ln geen negatieve waare komen te staan. We zijn us geekt. aanwijzing 5 Verer gebruiken we e efinitie van e logaritme en e exponentiële functie om y expliciet te maken. ln y = p <==> y =e p y =e k t CC aanwijzing 6 Je gebruikt hier e rekenregel van e machten. a 3 a 4 = a 3 C4 = a 7 aanwijzing 7 y =e C e k t De waare van e C kan alleen positief zijn. (Kennis van exponentiële functies en grafieken.) Geef nu een nieuwe naam aan e constante e C = C en neem aan at eze ook negatief kan zijn. Daarmee vervallen e absoluutstrepen van y. y = C e k t. De constante C wort integratieconstante genoem. Deze ontstaat us bij het integreren. Als er beginvoorwaaren van e functie y t gegeven zijn, kan e integratieconstante geëlimineer woren. (Zie voorbeelen hieroner. ) oplossen met e computer Voorbeel 2 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e algemene oplossing van eze ifferentiaalvergelijking t yt = t3 yt
De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossen met scheien van variabelen y = t 3 y t aanwijzing Links en rechts met t vermenigvuligen en aarna links en rechts oor y elen. in twee stappen Eerst links en rechts t y = t 3 y t Daarna links en rechts geeel oor y. y y = t3 t aanwijzing 2 Vervolgens links en rechts een integraalteken ervoor en uitrekenen. y y = t3 t aanwijzing 3 Let op e moulusstrepen van y. Er is namelijk niet gegeven at y altij positief moet zijn en omat we hier rekenen in e Reële getallen, kan oner e ln geen negatieve waare komen te staan. We zijn us geekt. aanwijzing 4 Voor een aanwijzing over e constante C zie integratieconstante. Bij voorbeel aanwijzing 3. ln y = t4 4 CC aanwijzing 4 Voor het expliciet maken van y gaan we e rekenregel en e efinitie van e logaritme gebruiken. Zie ook aanwijzing 5 van voorbeel exponentiele functie en logaritme. y = C e aanwijzing 5 Zie voor bovenstaane stap e rekenregel voor machten bij aanwijzing 6 van voorbeel en tevens bij aanwijzing 7 van voorbeel, e behaneling van e moulusstrepen. t 4 4
met e computer Voorbeel 3 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e oplossing van eze ifferentiaalvergelijking met als ranvoorwaare at y =0 als t =. 2 t yt = yt t De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yt maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen aanwijzing t y t = y 2 Vermenigvulig links en rechts met t en eel links en rechts oor y 2 en eel ook links en rechts oor t. in rie stappen Vermenigvulig links en rechts met t. Deel links en rechts oor y 2. t y = y 2 t Deel links en rechts oor t. t y y 2 = t y y 2 = t t aanwijzing 2 Zet links en rechts een integraalteken ervoor en reken uit. y 2 y = t t aanwijzing 3
Met e rekenregels van e machten weet je at y K2 = y 2 en natuurlijk y K = y. aanwijzing 4 Schrijf e linker integraal als y K2 y en kijk of je nu begrijpt at e berekening aarvan oplevert: y K2 y = Ky K CA Zie in een eerere aanwijzing voor e behaneling van e integratieconstante. K y =ln t CC aanwijzing 5 Links en rechts vermenigvuligen met K en vervolgens links en rechts het omgekeere nemen. aanwijzing 6 Het omgekeere van y is y en het omgekeere van ln t CC is ln t CC y = K ln t CC Dit is e algemene oplossing. Vervolgens moeten we e oplossing vinen ie voloet aan e ranvoorwaare y =0. aanwijzing 7 Vul t = in en an moet y =0 zijn. Je kunt an e integratieconstante C berekenen en us elimineren. 0 = K ln CC aanwijzing 8 Ga na at ln =0. 0 = K ==> C = K C 0 De oplossing is us y = K ln t K 0 aanwijzing 9 Liever geen breuken in e breuk us teller en noemer met 0 vermenigvuligen. 0 y = K 0 ln t K
oplossing met e computer Voorbeel 4 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e oplossing van eze ifferentiaalvergelijking met als ranvoorwaare at y =0 als t =0. t yt =eky sin 2 t t De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yt maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen y t =e Ky sin 2 t aanwijzing Scheien van variabelen oor links en rechts met t te vermenigvuligen en aarna links en rechts met e y te vermenigvuligen. Immers e Ky e y =e 0 =. e y y =sin 2 t t aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en uitrekenen. Klik op e link voor informatie over e integratieconstante. e y y = sin 2 t t e y = K cos 2 t CC 2 aanwijzing 3 Als je bij een vergelijking links en rechts e logaritme neemt, moet je van het hele linkerli oen en van het hele rechterli in één keer e logaritme nemen. a = b ln a =ln b ln e y =ln CK cos 2 t 2 aanwijzing 4 Met e bekene rekenregel voor logaritmen weet je at ln e y = y ln e = y.
ln x p = p ln x y =ln CK cos 2 t 2 Dit is e algemene oplossing van e ifferentiaalvergelijking. Nu e oplossing met e ranvoorwaare y 0 =0 aanwijzing 5 Vul in e algemene oplossing t =0 en y =0 in en an kan C geëlimineer woren. Hierin is cos 0 =. 0 = ln CK 2 aanwijzing 6 Ga na at ln e 0 =0 met e rekenregels van logaritmen. CK 2 =e0 C =e 0 C 2 aanwijzing 7 Deze gevonen waare van C invullen in e algemene oplossing: oplossing is y =ln e 0 C 2 K cos 2 t 2 aanwijzing 8 Eventueel kun je e vorm oner e ln ook nog als één breuk schrijven: y =ln 2 e0 C Kcos 2 t 2 en met e rekenregels voor logaritmen eventueel nog uit elkaar trekken y =ln 2 e 0 C Kcos 2 t Kln 2 aanwijzing 9 Als a en b beie groter zijn an 0 gelt e volgene rekenregel voor logaritmen: ln a b =ln a K ln b met e computer Voorbeel 5 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e oplossing van eze ifferentiaalvergelijking met als ranvoorwaare at y = als
t =0. t yt = t2 e yt De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yt maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen aanwijzing y t = t 2 e y Eerst links en rechts t en vervolgens links en rechts e Ky. Immers e Ky # e y =. e Ky y = t 2 t aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en uitrekenen. Klik op e link voor informatie over e integratieconstante. e Ky y = t 2 t Ke Ky = t3 3 CC aanwijzing 3 Links en rechts vermenigvuligen met K. aanwijzing 4 e Ky = CK t3 3 Je zou eigenlijk moeten schrijven e Ky = K t3 3 KC. Maar om een overvloe aan mintekens te vermijen, kunnen we e constante KC vervangen oor een anere ie we C noemen. De algemene oplossing van e ifferentiaalvergelijking is hier impliciet geschreven. Eventueel kunnen we e oplossing ook expliciet schrijven. Echter we gaan nu eerst e constante C elimineren oor e ranvoorwaare y 0 = in te vullen. aanwijzing 5
We moeten us t =0 en y = invullen en vervolgens C berekenen. Let hierbij op at e K = e De oplossing wort an in impliciete vorm: C = e e y = e K t 3 Vervolgens e oplossing expliciet maken. aanwijzing 6 Maak van het rechterli één breuk. e y = 3 Kt 3 e 3 e aanwijzing 7 Links en rechts e breuken omkeren. e y 3 e = 3 Kt 3 e aanwijzing 8 Links en rechts e logaritme nemen waarbij natuurlijk ln e y = y. y =ln 3 e 3 3 Kt 3 e aanwijzing 9 Met e rekenregels voor logaritmen is it nog uit elkaar te trekken. ln a b c =ln a C ln b K ln c y =ln 3 C Kln 3 Kt 3 e met e computer Voorbeel 6 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t.
Bepaal e oplossing van eze ifferentiaalvergelijking met als ranvoorwaare at y =2 als t =0. t yt = et yt De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yt maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen y t = et y aanwijzing Eerst links en rechts met t vermenigvuligen en aarna links en rechts y. y y =e t t aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en aarna berekenen. Let op e truc met e integratieconstante. y y = e t t y 2 2 =et CC De oplossing staat nu in impliciete vorm. Voorat we verer gaan kun je eerst e integratieconstante elimineren oor e ranvoorwaare y 0 =2 nu in te vullen. aanwijzing 3 Vul us y =2 en t =0 in bovenstaane vorm en bereken C. 4 2 =e0 CC 2=CC C = aanwijzing 4 Links en rechts met 2 vermenigvuligen. De oplossing in impliciete vorm is us
y 2 2 =et C y 2 =2 e t C2 aanwijzing 5 y = 2 e t C2 Eigenlijk is het natuurlijk y = 2 e t C2 of y = K 2 e t C2. Echter e negatieve wortelvorm voloet niet aan e ranvoorwaare us is alleen e positieve tak een oplossing van e ifferentiaalvergelijking. met e computer O O restart;v:=iff(y(t),t) = exp(t)/y(t); solve({v,y(0)=2},y(t)); v := t yt = yt = et yt 2 e t C2 Voorbeel 7 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van t. Bepaal e algemene oplossing van eze ifferentiaalvergelijking. t yt = ytc2 tk20 De functie y is een functie van t. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees y t maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van t. oplossing met scheien van variabelen y t = y C2 tk20 aanwijzing Vermenigvulig links en rechts met t en eel vervolgens links en rechts oor y C2. y y C2 = t tk20
aanwijzing 2 Links en rechts het integraalteken ervoor en uitrekenen. Klik ope link voor informatie over integratieconstanten y C2 y = tk20 t aanwijzing 3 Ga eventueel nog even je lijstje met stanaarintegralen volleig maken. ln y C2 =ln tk20 Cln C aanwijzing 4 Je zou kunnen zeggen at ln y C2 =ln tk20 CC ook zou kunnen. Maar of je nou C of ln C neemt, it zijn beien willekeurige constanten. De constante aan e rechter kant stel je zo algemeen mogelijk. (Zie ook bij Integratieconstante.) Echter ter voorbereiing van e volgene stap kun je beter e constante ln C noemen, want an kunnen e logaritmen gemakkelijk bij elkaar genomen woren met e volgene rekenregel. ln a C ln b =ln a b aanwijzing 5 Vervolgens us aan beie kanten één logaritme maken. ln y C2 =ln C tk20 aanwijzing 6 Omat nu links en rechts één logaritme staat, kun je eze weghalen. y C2 = C tk20 aanwijzing 7 Als je nu afspreekt at e constante C ook negatief mag zijn, an kunnen e moulusstrepen wel weg. y C2=C tk20 y = C tk20 K2 Dit is e algemene oplossing van e ifferentiaalvergelijking. met e computer O O restart; v:=iff(y(t),t) = (y(t)+2)/(t-20); v := yt C2 yt = t t K20 solve(v,y(t)); yt = K2 C t K20 _C
Voorbeel 8 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van x. Bepaal e algemene oplossing van eze ifferentiaalvergelijking. x y x yx =2 yx 2 K8 De functie y is een functie van x. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yx maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van x. oplossen met scheien van variabelen x y y x =2 y2 K8 aanwijzing Links en rechts vermenigvuligen met x. En links en rechts elen oor x. aanwijzing 2 y y = Links en rechts nog elen oor 2 y 2 K8 2 y2 K8 x x y y 2 y 2 = x K8 x aanwijzing 3 Nu links en rechts het integraalteken ervoor. y 2 y 2 y = K8 x x aanwijzing 4 De rechter integraal kun je rechtstreeks uit het lijstje van stanaar-integralen halen De linker integraal is met e logaritme want e graa van e teller is één lager an e graa van e noemer. In ergelijke gevallen kun je vaak e logaritme proberen! aanwijzing 5 ln 2 y 2 K8 4 =ln x Cln C
Differentiëer maar eens e logaritme en vergeet e kettingregel niet! Je hoeft an alleen nog maar met een 4 goe te maken! aanwijzing 6 Het is hanig bij het toevoegen van e constante in het rechterli at je werkt met ln C. Immers ln C is toch ook een constante. Het heeft het vooreel at e logaritmen bijelkaar genomen kunnen woren. (Zie rekenregels logaritmen.) ln 2 y 2 K8 =4 ln C x aanwijzing 7 Met e rekenregels van logaritmen kun je e 4 in e logaritme werken. aanwijzing 8 ln 2 y 2 K8 =ln C x 4 Je kunt irect C 4 vervangen oor C an is het wat overzichtelijker. Vervolgens kan links en rechts e logaritme weg. 2 y 2 K8 = C x 4 Deze laatste vorm is e meest simpele afgezien van het feit at je nog iets naar e anere kant van het isgelijkteken kunt brengen. Voorbeel 9 Gegeven e ifferentiaalvergelijking waarbij y een functie is van x. Bepaal e algemene oplossing van eze ifferentiaalvergelijking. x y y' Ky x 2 C=0 De functie y is een functie van x. Voor het rekenen met e han schrijven we niet stees yx maar volstaan met y waarbij we in het achterhoof houen at y een functie is van x. Maak y' vrij uit e ifferentiaalvergelijking Soms wil je y' isoleren om bijvoorbeel e richtingscoëfficiënt van een lijnelement te bekijken. De betekenis van y' is x yx.
antwoor x y y'ky 2 C=0 aanwijzing Breng eerst wat naar e rechterkant van het isgelijk-teken en eel aarna links en rechts oor x y. x y y' = y 2 K y' = y2 K x y Let op at er geen lijnelement bestaat in het punt waarvoor y' = 0 0. Dat zijn hier us e punten 0, en 0, K. Los e ifferentiaalvergelijking op Het gaat om e algemene oplossing omat er geen ranvoorwaaren gegeven zijn. We gebruiken weer e methoe van het scheien van variabelen. Probeer nu eerst zelf eze som te oen. Als je som 8 kent, moet het lukken. oplossing x y y'ky 2 C=0 x y y x Ky2 C=0 aanwijzing Hoewel je alles met y links wilt houen, breng toch Ky 2 C naar rechts. x y y x = y2 K aanwijzing 2 Vermenigvulig links en rechts met x en eel links en rechts oor x. y y = y2 K x x
aanwijzing 3 Deel nu nog links en rechts oor y 2 K. y y y 2 = x K x aanwijzing 4 Nu e variabelen gescheien zijn, kun je links en rechts een integraalteken ervoor zetten. y y 2 y = K x x aanwijzing 5 De rechter integraal is weer makkelijk en e linker integraal staat ongeveer ook in je lijstje. Beie integralen met e logaritme. Bij e linker integraal heb je weer e situatie at e graa van e teller één lager is an e graa van e noemer, us met ln proberen! ln y 2 K 2 =ln x Cln C aanwijzing 6 Het is hanig om e constante ook ln C te noemen omat vervolgens e logaritmen weer bijelkaar genomen kunnen woren. (Rekenregels van e logaritmen.) Tegelijk kan an ook links en rechts met 2 vermenigvulig woren. ln y 2 K =2 ln C x aanwijzing 7 Werk e 2 in e rechter logaritme met e rekenregels en vervang vervolgens C 2 oor C. ln y 2 K =ln C x 2 aanwijzing 8 Nu kunnen links en rechts e logaritmen weggehaal woren.
y 2 K=C x 2 De algemene oplossing is nu in impliciete vorm gegeven. Het wort er niet mooier op als je vorm expliciet maakt maar misschien is iets naar e anere kant brengen ook wel elegant. y 2 CC x 2 = Als je e grafiekmanipulaties kent, kun je begrijpen at it een bunel ellipsen is als C groter is an 0 en het is een bunel hyperbolen als C kleiner is an 0. met e computer Voorbeel 0 (uit het hoof leren) Exponentiële groei Het is een eerste ore gestuur systeem Er is nu een aantal eigenschappen na te gaan van e functie ie e oplossing is van e ifferentiaalvergelijking: t yt = k y t CA De oplossing van it soort ifferentiaalvergelijkingen is e functie y t en heeft altij eze vorm. yt = K A k C C ek t berekening Gegeven e ifferentiaalvergelijking t yt = k y tca aanwijzing Scheien van variabelen y k y CA = t
aanwijzing 2 Links en rechts integreren k y CA y = t aanwijzing 3 Let op e kettingregel als je e logaritme gebruikt. aanwijzing 4 Links en rechts maal k. ln k y CA k = tcc aanwijzing 5 Links en rechts e e-macht nemen. aanwijzing 6 De e-macht uitelkaar trekken. ln k y CA = k tck C k t Ck C k y CA =e aanwijzing 7 k y CA =e k t k C e Stel e constante ek C = C2. k y = KACC 2 e k t aanwijzing 8 Links en rechts elen oor k. y = K A k C C 2 e k t k aanwijzing 9
Stel e constante C 2 k = C. y = K A k CC ek t Leer it stappenplan uit het hoof. Dit moet een ingenieur kennen! Het is een eerste ore gestuur systeem. met e computer Voorbeel (uit het hoof leren) Lineaire groei. Los e volgene ifferentiaalvergelijking op waarbij e ranvoorwaare gegeven is. met ranvoorwaare y 0 = y 0. τ t yt = oplossing τ t yt = t yt = τ Schrijf het ifferentiaalquotiënt als breuk waarbij je in geachten hout at y = y t. : y = t τ Links en rechts vermenigvuligen met t. y = t τ Links en rechts integreren waarbij e ranvoorwaaren overeen moeten komen, at wil zeggen at als t =0 at y = y 0.
y y 0 y = 0 t τ t y Ky 0 = t τ yt = y 0 C t τ Voorbeel 2 (uit het hoof leren) Lineaire groei. Los e volgene ifferentiaalvergelijking op waarbij e ranvoorwaare gegeven is. met ranvoorwaare y 0 =5. t yt = 0 oplossing t yt = 0 Schrijf het ifferentiaalquotiënt als breuk waarbij je in geachten hout at y = y t. : y = t 0 Links en rechts vermenigvuligen met t. y = t 0 Links en rechts integreren waarbij e ranvoorwaaren overeen moeten komen, at wil zeggen at als t =0 at y =5. y 5 y = t 0 0 t y K5= t 0
yt =5C t 0 Voorbeel 3 (uit het hoof leren) Exponentiële groei. Ongestuur systeem Het is gemakkelijk na te gaan at e ifferentiaalvergelijking van e vorm t yt = k y t een oplossing heeft met een exponentiële functie. Aan e han van e oplossingsmethoe van het scheien van variabelen zullen we it bekijken. y t = k y Breng nu alles met y naar e linkerkant van het isgelijkteken en e rest naar rechts. y y = k t Zet links en rechts een integraalteken ervoor. Int y, y = k t ln y = k tcc y =e k t CC = e C e k t Geef nu een nieuwe naam aan e integratieconstante e C = C en neem aan at eze ook negatief kan zijn. Daarmee vervallen e absoluutstrepen van y. y = C e k t De constante C en C woren integratieconstanten genoem. Deze ontstaan us bij het integreren.
Als er beginvoorwaaren van e functie y t gegeven zijn, kan e integratieconstante geëlimineer woren. Voorbeel 4 (uit het hoof leren) Gegeven e ifferentiaalvergelijking t yt = k y tca Los op met A =, k = K2 en y 0 =3 Zie voorbeel 0 De algemene oplossing is y = K A k CC ek t Invullen van e systeemconstanten A en k levert: y = 2 Invullen van e beginvoorwaare y 0 =3 CC ek2 t 3= 2 CC ==> C = 5 2 Oplossing: y = 2 C 5 ek2 t 2 met e computer Los op met A =2, k = K3 en y 0 =6 Zie voorbeel 0 De algemene oplossing is y = K A k CC ek t Invullen van e systeemconstanten A en k levert: y = 2 3 Invullen van e beginvoorwaare y 0 =6 CC ek3 t 6= 2 3 CC ==> C = 6 3 Oplossing:
y = 2 3 C 6 ek3 t 3 met e computer