ONDERWERPEN LES 1 Spanningen en rekken in 3D en lineair LES 2 Grensspanningshypothesen voor materialen LES 3 Wapening bepalen voor beton 2D en 3D Geschreven door ir. J.W. Welleman Aangepast door dr. ir. P.C.J. Hoogenboom, juni 2016 1
NOTATIE VAN SPANNINGEN y z x xy xz xx xy is de spanning op het x-vlakje in de y-richting Het x-vlakje is het vlak met de normaalvector in de x- richting. Een normaalvector staat loodrecht op een vlak. 2
MOMENTEVENWICHT zx zz dz xx zx xz xx xz zz zx x dx xz dz dx = zx dx dus xz = zx dz z De schuifspanningen zijn paarsgewijs aan elkaar gelijk, dus er zijn slechts 3 onafhankelijke schuifspanningen. De spanningstoestand wordt vastgelegd met 6 componenten. 3
3D SPANNINGEN zz xx yy yz zx xy z x y spanning Spanningen op een elementair kubusje van een materiaal xx yy xx xy xz zz yx yy yz yz zx zy zz zx xy 4
TENSOR Fysische grootheid die op een bepaalde manier verandert als een ander assenstelsel wordt gekozen. nulde orde tensor = scalar bijvoorbeeld 3.1415 eerste orde tensor = vector 3.14 bijvoorbeeld 7.21 1.09 plaats, verplaatsing 3.14 7.21 1.09 tweede orde tensor = matrix bijvoorbeeld 7.21 8.97 0.01 1.09 0.01 3.34 spanning, rek, plaatmomenten, schaalkrommingen derde orde tensor = kubus met getallen, geen toepassingen vierde orde tensor = geen afbeelding mogelijk bijvoorbeeld materiaalstijfheid 5
NORMAALREK dz u x dx u x + du x xx u x x 6
AFSCHUIFREK dx u x dz u z u z + du z u x + du x xz u z x u x z 7
TENSOR NOTATIE xx normaalrek u x xx 1 2 x ux x afschuifrek u x x u u xz z x 1 ux uz xz 2 z x 2 x z xz ij algemeen 1 ui u j i, j x, y, z 2 j i 8
3D REKKEN zz xx yy xy yz zx z x rek y Rekken in een elementair kubusje van een materiaal xx xx yy yy xx xy xz zz zz 2 yx yy yz yz yz 2 zx zy zz zx zx xy 2xy 9
ELASTISCH GEDRAG Trekproef Lengterichting : l l Dwarsrichting : d d (d is negatief) l d+d l+l Contractie : d d l l const d = dwarscontractie coëfficiënt of de constante van Poisson ongescheurd beton 0,15 gescheurd beton 0 staal 0,3 rubber 0,5 10
SPANNINGS - REK RELATIE zz y yy z xx x 1 xx E 1 yy yy zz E 1 xx E xx yy zz xx zz zz yy 11
SCHUIFSTIJFHEID u z x x u x z xz z xz G xz G = glijdingsmodulus 12
VERBAND TUSSEN G, E en xy 4 1 2 E 1 2 G 3 E 2(1 ) 1 E 1 E 13
ISOTROOP LINEAIR-ELASTISCH MATERIAAL WET VAN HOOKE UT TENSIO, SIC VIS. (Als de verlenging, zo is de kracht.) FLEXIBILITEITSRELATIE xx 1 0 0 0 xx 1 0 0 0 yy yy 1 1 0 0 0 zz zz xy E 0 0 0 21 0 0 xy 0 0 0 0 21 0 yz yz 0 0 0 0 0 21 zx zx 14
STIJFHEIDSRELATIE 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 xx 1 1 xx yy 1 0 0 0 yy 1 1 1 zz E zz 1 2 xy 112 0 0 0 0 0 xy 21 yz 1 2 yz 0 0 0 0 0 zx 21 zx 1 2 0 0 0 0 0 21 15
BEGRIPPEN TRANSFORMATIES ISOTROPE SPANNING EN REK DEVIATORSPANNING EN -REK HOOFDSPANNINGEN INVARIANTEN OCTAEDERVLAK 16
TRANSFORMATIES y-as l-as k-as rotatiematrix T eerste orde tensor k kx ky kz x l lx ly lz y m mx my mz z x-as ij = cosinus van de hoek tussen de i-as en de j-as 17
getransponeerde rotatiematrix rotatiematrix spanningstensor kk kl km xx xy xz lk ll lm =Tyx yy yzt mk ml mm zx zy zz In het dictaat op blz. 1.3 is deze relatie uitgeschreven in vectornotatie. y x xx Acos xy Toepassing yx l cos cos( ) 0 2 cos sin 0 T cos( ) cos 0 sin cos 0 2 0 0 1 0 0 1 ky yy kx kk Acos( ) 2 k A T 18
T T cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 xx xy x z xx cosxy sin xx sin xy cos xz T yx yy yzt yxcosyy sin yxsin yy cos yz zx zy zz zx coszy sin zx sin zy cos zz xx cosxy sin xx sin xy cos x z T yxcosyy sin yxsin yy cos yz zx coszysin zx sin zy cos zz ( xx cosxy sin )cos ( y x cosyy sin )sin * * ( xx cosxy sin )sin ( y x cosyy sin)cos * * cos sin * zx zy zz Dus ( cos sin )cos ( cos sin )sin k k xx xy y x yy ( cos sin )sin ( cos sin )cos lk xx xy y x yy 19
Andere manier, Evenwicht Acos Asin A xx xy kx Asin Acos A yy xy ky cos sin kk kx ky cos sin kl ky kx ( cos sin )cos ( sin cos )sin k k xx xy y y xy ( sin cos )cos ( cos sin )sin kl y y xy xx xy Hetzelfde resultaat! Vereenvoudigd 2 2 k k xx xy yy cos sin cos sin sin 2 2 lk xy yy xx (cos sin ) ( )sin cos (Deze formules geven de Cirkel van Mohr, zie volgende les) 20
COMPRESSIE EN DISTORSIE xx xy xz o 0 0 sxx sxy sxz yx yy yz 0 o 0 syx syy syz 0 0 zx zy zz o szx szy szz ISOTROPE DEEL : 1 o 3 xx yy zz DEVIATORISCHE DEEL : s s s s s s xx xx o xy xz xy xz yy yy o yz yz zz zz o 21
WAAROM? DEVIATORSPANNINGEN ZIJN VERANTWOORDELIJK VOOR GEDAANTEVERANDERING. ISOTROPE SPANNINGEN ZIJN VERANTWOORDELIJK VOOR VOLUMEVERANDERING. BEZWIJKEN VAN MATERIALEN IS VAAK GEVOELIGER VOOR GEDAANTE- VERANDERING DAN VOOR VOLUME- VERANDERING 22
VOLUME REK y 1 zz Z 1 xx X 1 yy Y z x xx yy zz xx yy zz V ' 1. X 1. Y 1. Z V ' V 1 V ' V 1 dus xx yy zz xx yy yy zz zz xx xx yy zz V ' V V e V V xx yy zz 23
KOMPRESSIEMODULUS K VERBAND TUSSEN ISOTROPE SPANNING EN DE VOLUMEVERANDERING isotrope spanning : 1 3 volumerek : e o xx yy zz xx yy zz invullen wet van Hooke : 3(1 2 ) 1 e o o E K K E 3(1 2 ) 24
HOOFDSPANNINGEN IS ER EEN RICHTING WAARBIJ ALLEEN NORMAALSPANNINGEN WERKEN OP EEN VLAKJE, DUS GEEN SCHUIFSPANNINGEN. WISKUNDIG BETEKENT DIT : DE SPANNINGSVECTOR VALT SAMEN MET DE NORMAALVECTOR VAN HET VLAK px nx py ny p n z z 25
z n p y x Opp=1 px xx xy xz nx py xy yy yz ny pz zx yz zz nz 26
EIGENWAARDE PROBLEEM : xx xy xz nx nx xy yy yz ny ny zx yz zz nz nz HOOFDSPANNINGEN = EIGENWAARDEN HOOFDRICHTINGEN = EIGENVECTOREN UITWERKEN xx xy xz nx xy yy yz ny zx yz zz nz 0 27
Een niet triviale oplossing bestaat indien de determinant nul is. 1 3 2 I1 I2 I3 met : I I 2 xx yy zz 0 yy yz xx xz xx xy yz zz xz zz xy yy I 3 xx xy xz xy yy yz xz yz zz Een derde-graadsvergelijking heeft in het algemeen 3 wortels. 28
Hieruit volgen - 3 hoofdspanningen 1, 2 en 3-3 normaalvectoren n 1, n 2 en n 3 De normaalvectoren staan loodrecht op elkaar. 1 2 De hoofdspanningen zijn invariant. Dat wil zeggen dat ze onafhankelijk zijn van de initiële richting van de x-, y- en z-as. 3 29
INVARIANTEN DE HOOFDSPANNINGEN VERANDEREN NIET BIJ ASSENTRANSFORMATIES DUS : DE CONSTANTEN I 1, I 2 en I 3 MOGEN DUS NIET VERANDEREN DEZE CONSTANTEN HETEN DAAROM INVARIANT 30
DEVIATORHOOFDSPANNINGEN sxx s sxy sxz nx sxy syy s syz ny szx syz szz s nz MET : s s s xx xx o xy xy yy yy o xz xz zz zz o yz yz en : s s s 1 3 o xx yy zz 0 31
KARAKTERISTIEK POLYNOOM (EIGENWAARDE-PROBLEEM) 3 2 1 2 3 s J s J sj 0 met : J1 I13 o 0! 2 1 2 J2 3 o I2 I1 I2 3 1 2 J I I I I I I 3 27 3 3 3 3 2o 2o 3 1 2 1 DE WAARDE J 2 KAN WORDEN HERLEID TOT : J 2 1 6 2 2 1 2 2 3 3 1 2 32
OCTAEDERVLAK x 1 x y x 2 z x 3 oct oct p vlak met normaalvector n = ( 1 / 3 3, 1 / 3 3, 1 / 3 3) ten opzichte van de hoofdrichtingen 33
SPANNINGEN OP HET OCTAEDERVLAK NORMAALSPANNING SCHUIFSPANNING 1 1 oct 1 2 3 o I1 3 3 1 2 9 3 2 2 2 oct 1 2 2 3 3 1 J2 DIT IS EEN INTERPRETATIE VAN I 1 en J 2 34
HOOFDSPANNINGSRUIMTE 3 1 2 35
HOOFDSPANNINGSRUIMTE 3 -vlak loodrecht op de ruimtediagonaal door de oorsprong ruimtediagonaal 1 2 3 2 1 36
HOOFDSPANNINGSRUIMTE 3 ruimtediagonaal -vlak r 1 2 37
CILINDERCOORDINATEN Afstand tot het -vlak I 3 1 o 3 3 oct Afstand tot de ruimtediagonaal 1 3 2J 3 2 2 2 1 2 2 3 3 1 r ( ) ( ) ( ) 2 oct Hoek in het -vlak 2 J 1 arccos 3 3 3 oct 38
SAMENVATING INVARIANTEN DE 3D SPANNINGSSITUATIE LIGT VAST MET HOOFDSPANNINGEN,, 1 2 3 DE 3D SPANNINGSSITUATIE LIGT VAST MET INVARIANTEN I, I, I 1 2 3 DE 3D SPANNINGSSITUATIE LIGT VAST MET INVARIANTEN o, J, J 2 3 DE 3D SPANNINGSSITUATIE LIGT VAST MET DE CILINDERCOORDINATEN, r, 39