1 Techische Uiversiteit Eihove Faculteit Wiskue e Iformatica Set 3 Ileveropgave Kasrekeig (2WS20) 2014-2015 1. (Flesjes ie uit e ba sprige) Aa ee lopee ba wore bierflesjes gevul. Helaas gaat er zo u e a iets mis, e valt er ee flesje va e ba. Uit recete gegeves blijkt at er gemiel 3 flesjes per ag va e ba valle. (a) (20 pute) Wat is ee geschikt moel om het aatal gevalle flesjes te beschrijve? Als we ook zoue wete at er per ag 10.000 flesse over e ba gaa, wat is a ee geschikt moel voor het aatal gevalle flesse per ag? Waarom maakt het i e praktijk weiig uit welk va eze twee moelle je gebruikt? (b) (10 pute) Geef ee zo goe mogelijke beaerig va e kas at er i ee maa va 20 werkage 55 flesse of mier seuvele oor gebruik te make va e cetrale limiet stellig. 2. (20 pute) (Cetrale limiet stellig revisite) Stel U 1,..., U zij uiform op [0, 1] e U +1,..., U 2 zij uiform op [0, 2]. Alle raom variabele zij oafhakelijk. Hoe moet ik a e b kieze zoaig at U 1 + + U 2 a b Z, waarbij covergetie i verelig weergeeft e Z ee staaar ormale verelig? Waarom mag je e cetrale limiet stellig toepasse? 3. (Voetbalplaatjes) Ee supermarkt eelt voetbalplaatjes uit. Er is ee totaal va plaatjes ie alle met gelijke kas voorkome. (a) (10 pute) Wat is het verwachte aatal plaatjes at je krijgt voorat je alle plaatjes compleet hebt? Wat is e variatie hierva? (b) (10 pute) Laat zie at als heel groot is, at a het aatal voetbalplaatjes X at je krijgt voorat je alle plaatjes compleet hebt, voloet aa Hier is X log 1. covergetie i verelig. [Hit: gebruik e Chebychev ogelijkhei.] 4. (a) (10 pute) Bewijs at voor ee raom variabele X met verwachtigswaare µ = E[X] e E[X 4 ] < gelt at ( X µ > r) E[(X µ)4 ] r 4. (b) (20 pute) Stel X heeft ee staaar ormale verelig. Laat zie at e Chebychev ogelijkhei geeft at ( X > r) 1/r 2. Voor welke waare va r is e afschattig uit (c) beter a e Chebychev ogelijkhei?
2 Atwoore e putetellig Het maximaal aatal te behale pute is 100, vereel zoals aagegeve. De atwoore moete heler uitgeleg zij, met het oeme va e gebruikte resultate. Bij e atwoore is uielijk aagegeve voor welk eelresultaat je hoeveel pute krijgt. 1. (Flesjes ie uit e ba sprige) Aa ee lopee ba wore bierflesjes gevul. Helaas gaat er zo u e a iets mis, e valt er ee flesje va e ba. Uit recete gegeves blijkt at er gemiel 3 flesjes per ag va e ba valle. (a) (20 pute) Wat is ee geschikt moel om het aatal gevalle flesjes te beschrijve? Als we ook zoue wete at er per ag 10.000 flesse over e ba gaa, wat is a ee geschikt moel voor het aatal gevalle flesse per ag? Waarom maakt het i e praktijk weiig uit welk va eze twee moelle je gebruikt? Atwoor: We zij op zoek aar ee iscrete verelig, ie e waare k = 0, 1, 2,... aa ka eme (3pt). We hebbe i het eerste geval gee iformatie over het aatal gevule flesjes per ag. De oissoverelig is aarom geschikt (4pt), omat eze wort gebruikt bij het telle va het aatal gebeurteisse. I eze situatie gaat het amelijk om het omvalle va flesjes geuree ee bepaale tijsperioe. De verwachtigwaare is gelijk aa e parameter λ va e oissoverelig, us λ = 3 (2pt). Met e extra iformatie at er per ag 10.000 flesjes over e ba gaa is e biomiale verelig geschikt (4pt), omat het omvalle va ee flesje hier als ee succes i ee reeks va 10.000 oafhakelijke experimete ka wore gezie. De bijbehoree parameters zij = 10.000 e p = 3/10.000 (2pt). Het maakt i e praktijk weiig uit welk va e twee moelle we kieze, omat e biomiaalverelig met parameters e p voor grote sterk lijkt op ee oissoverelig met parameter λ = p = 3 (5pt). (b) (10 pute) Geef ee zo goe mogelijke beaerig va e kas at er i ee maa va 20 werkage 55 flesse of mier seuvele oor gebruik te make va e cetrale limiet stellig. Atwoor: Laat X i het aatal gevalle flesse op werkag i zij. We moge aaeme at het aatal flesse at seuvelt op verschillee age oafhakelijk e gelijk vereel is (2pt) volges ee gemeeschappelijk verelig X, ie biomiaal vereel is met parameters = 10.000 e p = 3/10.000. Y = 20 X i is a het totaal aatal geseuvele flesse. Vauit e CLS wete we at (2pt) 20 X i 20 EX 20VarX ogeveer staaar ormaal vereel is. Met e waare (2pt) EX = p = 3 e VarX = p(1 p) = 3 9.997 10.000 = 29.991 10.000, beaere we vervolges e gevraage kas (4pt) (Y 55) = Y 20 3 Φ ( 20 29.991 10.000 55 20 3 20 29.991 10.000 5 29.991/500 ) Φ( 0.645594) 0.259271.
3 2. (Cetrale limietstellig revisite) Stel U 1,..., U zij uiform op [0, 1] e U +1,..., U 2 zij uiform op [0, 2]. Alle raom variabele zij oafhakelijk. Hoe moet ik a e b kieze zoaig at U 1 + + U 2 a b Z, waarbij covergetie i verelig weergeeft e Z ee staaar ormale verelig? Waarom mag je e cetrale limiet stellig toepasse? Atwoor: Merk op at (3pt) U 1 +... + U 2 = (U i + U +i ), e efiieer V i = U i + U +i for i = 1,...,. Omat U 1,..., U 2 oafhakelijk zij, zij alle V i oafhakelijk (3pt). Boveie zij V 1,..., V ietiek vereel (3pt), e EV 1 = EU 1 + EU +1 = 1 2 + 1 = 3 2, Var V 1 = Var U 1 + Var U +1 = 1 12 + 1 3 = 5 12. (4 pt) Omat e V i s ee eiige variatie hebbe (2pt), moge we e CLS toepasse op V i. Hieruit volgt at V i EV 1 Var V1 = V i 3 2 5 12 Z. We moete us a = 3/2 e b = 5/12 (5 pt) moete kieze om e juiste covergetie te krijge. 3. (Voetbalplaatjes) (a) (10 pute) Wat is het verwachte aatal plaatjes at je krijgt voorat je alle plaatjes compleet hebt? Wat is e variatie hierva? Atwoor: Laat Y i het aatal plaatjes zij at je krijgt tusse het vie va het (i 1) e plaatje at je og iet ha e het i e. Het is uielijk at Y 1 = 1, omat het eerste plaatje at je krijgt, altij ee ieuwe is. Vervolges is e kas at je volgee gekrege plaatje ee ieuwe is ( 1)/, e het aatal trekkige tot het vie va het tweee ieuwe plaatje is us geometrisch vereel met succeskas ( 1)/. Dit iterere vie we at Y i geometrisch vereel is met parameter ( i + 1)/ (3pt) e het totaal aatal beoige trekkige om e set compleet te krijge is (2pt) X = Y i. De verwachtigswaare is (2pt) [ ] EX = E Y i = De variatie is (2pt) ( ) Var X = Var Y i = Var Y i = EY i = i + 1 = 1 k. ( ) 2 i 1 i + 1 = waarbij we hebbe gebruikt at e Y i s oafhakelijk zij (1pt). k k 2 = [ ( ) ] 2, k k
4 (b) (10 pute) Laat zie at als heel groot is, at a het aatal voetbalplaatjes X at je krijgt voorat je alle plaatjes compleet hebt, voloet aa Hier is X log 1. covergetie i verelig. [Hit: gebruik e Chebychev ogelijkhei.] Atwoor: De covergetie i verelig gevraag i e opracht is equivalet met e limiet ( ) X log 1 > x 0, als voor alle x > 0 (2pt). Merk op at EX log = (1/k) log 1, als vauit e eigeschappe va e harmoische reeks (2pt). Met behulp va e riehoeksogelijkhei vie we eerst ( ) ( X log 1 > x X log EX ) log + EX log 1 > x ( X = log EX ) log > x EX log 1 (2pt). Noem α = EX /( log ) 1. Da vie we met Chebychev s ogelijkhei (2pt) ( X log EX ) log > x α VarX 2 log 2 1 (x α ) 2, waar we voloee groot eme at α < x. Nu vie we at (2pt) VarX 2 log 2 = 2 1/k2 1/k 2 log 2 = 1/k2 log 2 1/k log 2 π2 /6 log 2. [Geef ook pute voor ee aere correcte bovegres ie aar 0 covergeert voor.] Samevatte volgt hieruit at ( ) X log 1 > x voor e alle x > 0. π2 /6 log 2 [Als e stuet heeft geoteer, ( X log EX ) log > x 1 (x α ) 2 0, VarX x 2 2 log 2, om vervolges aa beie kate e limiet te eme, geef a 5 pute i totaal.]
5 4. (a) (10 pute) Bewijs at voor ee raom variabele X met verwachtigswaare µ = E[X] e E[X 4 ] < gelt at ( X µ > r) E[(X µ)4 ] r 4. Atwoor: Omat r > 0 e e fucties f(x) = x e f(x) = x 4 mootoo zij voor x 0, gelt (2pt) ( X µ > r) = ( X µ 4 > r 4 ). (1) Door vervolges Markov s ogelijkhei (Y > a) E[Y ]/a (2pt) toe te passe op Y = X µ 4 e a = r 4 (6pt), volgt het resultaat. Achtereevolges leest it; ( X µ > r) = ( X µ 4 > r 4 ) = (Y > a) E[Y ] a = E[ X µ 4 ] r 4. (2) (b) (20 pute) Stel X heeft ee staaar ormale verelig. Laat zie at e Chebychev ogelijkhei geeft at ( X > r) 1/r 2. Voor welke waare va r is e afschattig uit (c) beter a e Chebychev ogelijkhei? Atwoor: Omat µ = 0 e σ 2 = 1, geeft Chebyshev s ogelijkhei omielijk at (2pt) De ogelijkhei i (a) is beter waeer (4pt) ( X > r) = ( X µ > r) σ2 r 2 = 1 r 2. (3) E[ X µ 4 ] r 4 = E[ X 4 ] r 4 1 r 2, (4) m.a.w. waeer r E[ X 4 ]. Omat X e staaar ormaal verelig heeft, kue we het viere momet expliciet uitrekee of opzoeke (2pt), E[ X 4 ] = 1 2π x 4 e x2 /2 x = 3. (5) We cocluere at e ogelijkhei i (a) us beter is voor r 3 (2pt). [Ee berekeig ka b.v. met partiele itegratie, fg = fg f g. Kies f(x) = x 3, g (x) = xe x2 /2, zoat f (x) = 3x 2, g(x) = (1/2)e x2 /2. Dit geeft E[ X 4 ] = 2 x 4 e x2 /2 x = 1 x 3 e x2 /2 + 3 x 2 e x2 /2 x = 3, (6) 2π 2π 0 2π 0 waarbij we izie at e eerste term ul is, e we i e tweee term het tweee momet va e staaar ormaalverelig herkee (E[X 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2 = 1 0 = 1).] 0