FORMULARIUM: STATISTIEK

Transcriptie

1 FORMULARIUM: STATISTIEK VARIABELE STEEKPROEF x,x,...,x POPULATIE X Dichtheid relatieve frequetie: f j kas met kasregels P(G C ) = P(G) P(G G ) = P(G ) + P(G ) P(G G ) P(G \ G ) = P(G ) P(G ) als G G voorwaardelijke kas P(G G ) = P(G G ) P(G ) G e G oafhakelijk: P(G G ) = P(G )P(G ) wet totale kas: P(G) = P(G G )P(G ) P(G G k )P(G k ) met G i partitie regel va Bayes: P(G G ) = P(G G )P(G ) P(G ) Dichtheidshistogram: h j = fj j DISCREET f(m j ) = P(X = m j ) met f(m j ) 0 e m j S f(m j) = P(X A) = m j A f(m j) CONTINU f(x) met f(x) 0 e S f(x)dx = P(X A) = A f(x)dx kasmodelle (zie p.3-4) Cumulatieve ˆF (x) = (aatal x i x) F(x) = P(X x) verdelig i =,..., Kwatielfuctie ˆQ (p) = x (i), p ] i, ] i Q(p) = F (p)

2 Gemiddelde STEEKPROEF x,x,...,x x = x i = i= k m j f j j= POPULATIE X E(g(X)) = k j= g(m j)f(m j ) (als X discreet) E(g(X)) = g(x)f(x)dx (als X cotiu) S delta: E(g(X)) g(ex) + Var(X)g (EX) Mediaa med(x) = { x + ( oeve) x +x + ( eve) Q(0.5) Variatie s = k (x i x) Var(X) = (m j EX) f(m j ) (als X discreet) i= j= = k (m j x) f j Var(X) = (x EX) f(x)dx (als X cotiu) j= Iterkwartielafstad ˆQ (0.75) ˆQ (0.5) Q(0.75) - Q(0.5) S Var(X) = E(X ) (EX) delta: Var(g(X)) = (g (EX)) Var(X) Lieariteits- ȳ = a x + b E(aX + b) = ae(x) + b eigeschappe med(y) = a med(x) + b Med(aX + b) = amed(x) + b Q Y (p) = g(q X (p)), dus Med(Y ) = g(med(x)) als g mootoo s y = a s x Var(aX + b) = a Var(X)

3 CONTINUE KANSMODELLEN aam dichtheid f(x) S E(X) Var(X) eigeschappe N(µ,σ ) e ( x µ σ ), µ R,σ > 0 x R µ σ Z = X µ πσ σ N(0,) F X (x) = Φ x µ Exp(λ) λe λx, λ > 0 x > 0 λ ) Weibull βλ β x β e (λx)β, λ,β > 0 x > 0 Γ( + λ /β β ) (Γ + λ /β β Γ + β χ r t r F,m logormale r/ Γ( r ) x r e x/, r > 0 x > 0 r r (r+)/, + x r r > 0 x R 0 r r Γ((r+)/) Γ(r/) πr Γ( +m ) Γ( )Γ( m ) / m m/ x e ( log(x) µ πσx (m+x) +m, m, > 0 x > 0 m m σ ), µ R,σ > 0 x R e µ+ σ λ m (m+ ) (m ) (m 4) e µ+σ e σ σ Q X (p) = µ + σφ (p) IQR(X) =.34σ kwatielplot: (Φ ((i 0.5)/),x (i) ) F(x) = exp( λx) kwatielplot: ( log ) i 0.5,x(i) F(x) = e (λx)β kwatielplot: ( log( log( i 0.5 )),log(x (i)) ) r i= Z i χ r met Z i N(0,) oafh. X t r met X N(0,) e Y χ Y/r r oafh. X/ Y/m F,m met X χ e Y χ m oafh. X = e Y met Y N(µ,σ ) bivariaat ormaal f(x, y) = π det(σ) e zt Σ z x,y R EX = µ X, Var(X) = σx, X N ( µ X,σX) e Y N µy,σy ( ) µ = (µ X µ Y ),z = (x y) µ e EY = µ Y Var(Y ) = σy X Y = y N µ X + ρ σx σ Y (y µ Y ),σx ( ρ ) σ Σ = X ρσ X σ Y Cov(X,Y ) = ρσ ρσ X σ X σ Y Y opm: Γ(t) = 0 x t e x dx σ Y

4

5 DISCRETE KANSMODELLEN aam dichtheid f(k) S E(X) Var(X) eigeschappe Beroulli f() ( = ) p, f(0) = p k = 0, p p( p) Biomiaal p k k ( p) k k = 0,..., p p( p) som va oafhakelijke Beroulli λ λk Poisso e k! k = 0,,,... λ λ limiet va biomiaal p = λ 0 e geometrisch ( p) k p p k =,,3... p p aatal herhalige tot ste succes k egatief biomiaal p r r ( p) k r r( p) r( p) k = r,r +,r +,... p p aatal herhalige tot rde succes r N r k k hypergeometrisch k = 0,..., cfr biomiaal, maar eidige populatie N N r N r(n r)(n ) N (N ) verbade tusse meerdere VARIABELEN STEEKPROEF POPULATIE KWALITATIEVE kruistabel op basis va relatieve frequeties op basis va kase: dichtheid: f(m x,m y ) = P(X = m x,y = m y ) met f(m x,m y ) 0 e f(mx,my) = m x S X P((X,Y ) A) = m y S Y f(m x,m y ) (m x,m y) A margiaal: f X (m x ) = P(X = m x,y = m y ) m y S Y voorwaardelijk: f X Y (m x m y ) = f(mx,my) f Y (m y) E(g(X,Y )) = m x m y g(m x,m y )f(m x,m y ) oafhakelijkheid χ =som over alle celle va P(X = m x Y = m y ) = P(X = m x ) (geobserveerde waarde - verwachte waarde) P(X = m verwachte waarde x,y = m y ) = P(X = m x )P(Y = m y ) verwachte waarde = rijsom kolomsom

6 METRISCHE dim dichtheid dim histogram: dichtheid f(x,y) met f(x,y) 0 e S f(x,y)dxdy = P ((X,Y ) A) = A f(x,y)dxdy margiaal: f X (x) = S y f(x,y)dy voorwaardelijk: f(x y) = f(x,y) f Y (y) E(g(X,Y )) = S g(x,y)f(x,y)dxdy kasmodelle: bivariaat ormale verdelig fuctieverbad scatterplot covariatie cov(x,y) = (x i x)(y i ȳ) Cov(X,Y ) = E i= correlatie r = r(x,y) = cov(x,y) s x s y ρ(x,y ) = lieariteits- u = a + b x e v = a + b y (a,b,a,b R) eigeschappe cov(u,v) = a a cov(x,y) r(u,v) = r(x,y) ( ) (X E(X))(Y E(Y )) Cov(X,Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) Var(aX + by + c) = a Var(X) + b Var(Y ) + abcov(x,y ) Cov(X,Y ) Var (X) Var (Y ) oafhakelijkheid r 0 f(x,y) = f X (x)f Y (y) E(g(X)h(Y )) = E(g(X))E(h(Y )) ρ = 0 INFERENTIE: steekproef populatie Cetrale limietstellig: Als X,...,X oafhakelijke, idetiek verdeelde variabele met E(X) = µ e eidige variatie σ, da X N µ, σ Gevolg: Y B(,p) Y N (p,p( p)) ˆP ( = Y/ N cotiuïteitscorrectie: P(Y a) Φ p, p( p) ) a 0.5 p e P(Y b) Φ p( p) b+0.5 p p( p)

7 Schatte va parameters parameter schatter verdelig BI µ bij N(µ,σ ) X σ bij N(µ,σ ) S ( )S /σ χ mediaa proportie p Med(X) ˆP X µ σ/ N(0,) σ geked: [ x z α/ σ/, x + z α/ σ/ ] X µ S/ t σ ogeked: [ x t,α/ s/ ; x + t,α/ s/ ]. ˆP p N(0,) p( p) ˆP B(,p) [ ( )S χ,α/ ] ( )S, χ, α/ [ ] x(k),x ( k+) met k zoals i Tabel [ ] ˆp( ˆp) ˆp( ˆp) ˆp z α ; ˆp + z α Tabel : Betrouwbaarheidsiterval mediaa k k k > 50 k [ +.96 ]

8 Hypotheseteste H 0 Voorwaarde Teststatistiek oder H 0 µ = µ 0 + ormaliteit Z = X µ 0 σ/ N(0,) σ geked Med=c σ ogeked + ormaliteit gee ormaliteit T = X µ 0 S/ t A:aatal observaties c B(,0.5) p = p 0 beadered: Z = ˆP p 0 p 0 ( p 0 ) exact: ˆP B(,p 0 ) ogepaard µ = µ σ = σ ormaliteit ogepaard σ σ ormaliteit ogepaard gee ormaliteit gepaard ormaliteit gepaard gee ormaliteit T = T = X Ȳ S p + X Ȳ N(0,) t + met Sp = ( )S +( )S + S + S t r met r = Wilcoxo: W ( + +) ( + +)/ s + s (s / ) + (s / ) N(0,) met W: som va de rage va groep + H Vaderwaerde: ( ) t i= (Φ ((i 0.5)/( + ))) H met H = ν i= Φ ((r i 0.5)/( + )) Defiieer V = X Y e test H 0 : µ V = 0 Defiieer V = X Y e doe mediaa test

9 H 0 Voorwaarde Teststatistiek oder H 0 σ = σ ormaliteit F = S/S F, opm: P-waarde= P(F, > f) als f > Q (0.5) F, P(F, < f) als f Q (0.5) F, p = p Z = ρ = 0 oafhakelijkheid ormaliteit ormaliteit ˆP ˆP p ( p ) + p ( p ) Beadered: Z = R R t N(0,) ˆP ˆP ˆp ( ˆp ) + ˆp ( ˆp ) N(0,) χ χ m met m=(rije-)(kolomme-) correlatiecoëfficiët va ormale kwatielplot zie Tabel Tabel : ormaliteitstest α = 0.0 α =

10 Regressie model schatters Y i = a + bx i + ǫ i, i =,,...,, met ǫ i N(0,σ ) oderlig oafhakelijk ˆb = i= (yi ȳ)(xi x) i= (xi x) â = ȳ ˆb x s = i= r i = cov(x,y) s x = r sy s x residu s r i = y i (â + ˆbx i ) ANOVA tabel SST = SSM + SSE i= (y i ȳ) = i= (ŷ i ȳ) + i= (y i ŷ i ) R = SSM SST F = SSM / SSE als b = 0, da is F F,. iferetie schatters  a s.e.(â) t met s.e.(â) = s + ˆB b s.e.( ˆB) t met s.e.( ˆB) = s Cov(Â, ˆB) = xσ ( )s x x ( )s x ( )s x iferetie voorspellig gemiddelde respos bij x 0 [ â + ˆbx 0 ± t,α/ s idividuele respos bij x 0 [â + ˆbx 0 ± t,α/ s + (x0 x) ( )s x ] + + (x0 x) ( )s x ]