TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen S60) op vrijdag 4 januari 0, uur.. Gegeven zijn twee stochastische variabelen X en Y met een simultane kansdichtheid e x, x 0, f X,Y x, y) = y, 0 anders. a) Bepaal de marginale kansdichtheden f X x) en f Y y) van X en Y. Tot welke families van stochastische variabelen behoren X en Y? We hebben dat f X x) = 0 voor x < 0 en f X x) = f X,Y x, y)dy = e x dy = e x, voor x > 0. Evenxo hebben we f Y y) = 0 voor y < en voor y > en f Y y) = f X,Y x, y)dx = 0 e x dx =, voor y. Conclusie: X is exponentieel verdeeld en Y is uniform verdeeld. b) Zijn X en Y onafhankelijk? Ja, X en Y zijn onafhankelijk aangezien f X,Y x, y) = f X x) f Y y) voor alle x en y. We deniëren een stochast W door W = X + Y. c) Bepaal E[W ] en Var[W ]. We hebben E[W ] = E[X]+E[Y ] = +0 = en bovendien omdat X en Y onafhankelijk zijn Var[W ] = Var[X] + Var[Y ] = + = 3. d) Laat zien dat de cumulatieve verdelingsfunctie F W w) van de stochastische variabele W gegeven wordt door 0, w <, F W w) = w + e w, w, e w+ + e w, w >. Voor w geldt F W w) = w y= w y x=0 e x dxdy = w y= e w+y ) dy = w + e w.

2 Voor w > geldt F W w) = y= w y x=0 e x dxdy = y= e w+y ) dy = e w+ + e w. e) Gegeven is de gebeurtenis B : X +Y. Bepaal de conditionele kansdichtheid f X,Y B x, y) van X en Y gegeven B. Er geldt en dus P B) = F W ) = e f X,Y B x, y) = fx,y x,y) P B) = e x als 0 x y, y, 0 anders. f) Zijn, gegeven dat de gebeurtenis B optreedt, X en Y onafhankelijk? We hebben en f Y B y) = y x=0 e x dx = e e +y, voor y f X B x) = x y= e x dy = x)e x, voor 0 x. Er geldt dus niet voor alle x en y dat f X,Y B x, y) = f X B x) f Y B y). Bijvoorbeeld geldt dat f X,Y B 3 4, 4 ) = 0, maar f X B 3 4 ) > 0 en f Y B 4 ) > 0. Gegeven dat de gebeurtenis B optreedt, zijn X en Y dus niet onafhankelijk.

3 . De stochastische variabele X is uniform verdeeld op het interval 0, 0). Denieer daarnaast Y = gx), met voor zekere 0 < a < b < 0, a, x a, gx) = x, a < x < b, b, x b. a) Is Y een discrete, continue of gemengde stochastische variabele? Motiveer uw antwoord. Geef cumulatieve verdelingsfunctie en kansdichtheid of kansmassa functie van Y. Y is een gemengde stochastische variabele met kansmassa in de punten a en b en positieve kansdichtheid voor a < x < b. De cumulatieve verdelingsfunctie van Y wordt gegeven door 0, y < a, y F Y y) = 0, a y < b,, y b. De kansdichtheid van Y wordt gegeven door waarbij f Y y) = a 0 a<y<b = δy a) + 0 a<y<b + 0 b 0 δy b),, a < y < b, b) Bereken E[Y ]. E[Y ] = a 0 a + 0 = 0 a + b ydy + 0 b 0 b a b a ) + 0b b ) = b b 0 + a 0. c) Bereken de moment genererende functie van Y. Voor de moment genererende functie van de stochastische variabele Y geldt φ Y s) = E[e sy ] = a 0 esa + 0 = 0 ae sa + s b a e sy dy + 0 b 0 e sb e sb e sa) + 0 b)e sb). d) Laat B de gebeurtenis zijn dat a < X < b}. Bereken E[Y B]. 3

4 Er geldt 3. en dus f X B x) = b a, a < x < b, 0, anders, E[Y B] = E[gX) B] = b x=a x b a dx = a + b). Gegeven is een zwak stationair stochastisch proces Xt). Denieer verder de stochastische processen Y t) = Xt + ) en Zt) = Xt). a) Zijn de processen Xt) en Y t) gezamenlijk zwak stationair? Motiveer uw antwoord. We hebben en µ Y t) = E[Y t)] = E[Xt + )] = µ X R Y t, τ) = E[Y t)y t + τ)] = E[Xt + )Xt + τ + )] = R X τ) dus Y t) is ook zwak stationair. Bovendien geldt dat ook R XY t, τ) = E[Xt)Y t + τ)] = E[Xt)Xt + τ + )] = R X τ + ) niet van t afhangt. De processen Xt) en Y t) zijn dus gezamenlijk zwak stationair. b) Zijn de processen Xt) en Y t) gezamenlijk zwak stationair? Motiveer uw antwoord. We hebben en µ Z t) = E[Zt)] = E[Xt)] = µ X R Z t, τ) = E[Zt)Zt + τ)] = E[Xt)Xt + τ)] = R X τ) dus Zt) is ook zwak stationair. Nu geldt echter dat R XZ t, τ) = E[Xt)Zt + τ)] = E[Xt)Xt + τ)] = R X t + τ) wel van t afhangt. De processen Xt) en Zt) zijn dus niet gezamenlijk zwak stationair. Neem in het vervolg aan dat Xt) een Gaussisch stochastisch proces is met verwachting µ X = 0 en autocorrelatiefunctie R X τ) = τ. c) Geef de gezamenlijke kansdichtheid van f Xt),Y t) x, y) van de stochastische variabelen Xt) en Y t) op een gegeven tijdstip t. De stochastische variabelen Xt) en Y t) op een gegeven tijdstip t zijn beide Gaussisch met verwachting µ = 0 en variantie σ =. Bovendien geldt CovXt), Y t)) = R X ) = en dus ook ρ Xt),Y t) =. Er geldt dus zie sectie 4.) f Xt),Y t) x, y) = e 3 x xy+y ) π 3. 4

5 4. Een zwak stationaire stochastische rij X n gaat door een een lineair lter met impulsresponsie, n = 0 h n =, n =, De uitgang Y n van dit lter is een zwak stationaire stochastische rij met verwachting µ Y = 0 en autocorrelatie functie, n = 0 R Y [n] =, n =,, n =, a) Bepaal de spectraaldichtheid van de uitgang Y n.. De autocorrelatie functie en de spectraaldichtheid zijn Fourier transformatie paar, dus S Y φ) = e j4πφ e+j4πφ. b) Bepaal de spectraaldichtheid van de ingang X n. De overdrachtsfunctie van het lter wordt gegeven door Hφ) = e jπφ. Bovendien geldt de relatie oftewel S Y φ) = Hφ) S X φ) e j4πφ e+j4πφ = e jπφ ) e +jπφ )S X φ) Hieruit kan afgeleid worden dat oftewel S X φ) = = e jπφ e +jπφ )S X φ) cos4πφ) cosπφ)) = sin πφ) sin πφ) = cos πφ) = + cosπφ) S X φ) = + e jπφ + e+jπφ. c) Bepaal de autocorrelatie functie van de ingang X n. 5

6 We gebruiken weer het feit dat de autocorrelatie functie en de spectraaldichtheid Fourier transformatie paar zijn om te concluderen dat, n = 0 R X [n] =, n =,, n =, d) Bepaal de kruiscorrelatie functie van ingang X n en uitgang Y n. Voor de kruisspectraaldichtheid geldt S XY φ) = Hφ)S X φ) = e jπφ ) + e jπφ + e+jπφ ) = + e+jπφ e jπφ e j4πφ en dus, n = 0, n =, R XY [n] =, n =,, n =, 6