De 15-stelling. Dennis Buijsman 23 augustus Begeleiding: S. R. Dahmen

De 15-stelling Dennis Buijsman 23 augustus 2015 Begeleiding: S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam

Samenvatting English In this thesis, we will look at the 15 theorem of Conway and Schneeberger. This theorem is proven by Bhargava. In this thesis, we will look at the proof of Bhargava. The calculations will be discussed. The calculations are done in Sage. In addition, we will apply calculations on some cases and examples and explain this. We also provide methods for these calculations. Nederlands In dit verslag zullen we de 15-stelling van Conway en Schneeberger behandelen. Deze stelling is bewezen door Bhargava. In dit verslag zullen we het bewijs van Bhargava behandelen. De berekeningen worden uitgebreid behandeld. De berekeningen worden gedaan in het computerprogramma Sage. Daarnaast zullen we berekeningen toepassen op een aantal gevallen en voorbeelden en deze toelichten. We geven ook methodes voor deze berekeningen. Titel: De 15-stelling Auteur: Dennis Buijsman, d.buysman@student.uva.nl, 10143815 Begeleiding: S. R. Dahmen Einddatum: 23 augustus 2015 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math 2

Inhoudsopgave 1. Inleiding 5 2. Definities 6 2.1. Kwadratische vormen en roosters...................... 6 2.2. Geslacht.................................... 12 3. De 15-stelling 17 3.1. Schets bewijs................................. 17 3.2. Twee-dimensionale uitbreidingen...................... 18 3.3. Drie-dimensionale uitbreidingen....................... 18 3.4. Vier-dimensionale uitbreidingen....................... 22 3.4.1. Uitbreidingen van diagonaalmatrices................ 22 3.4.2. Uitbreidingen van niet-diagonaalmatrices.............. 25 3.4.3. Equivalentieklassen.......................... 29 3.5. Niet-gerepresenteerde getallen........................ 30 3.5.1. Methode................................ 30 3.5.2. De uitzondering............................ 32 3.6. Op zoek naar een bovengrens........................ 34 3.7. Schrijfwijze bovengrens............................ 35 3.7.1. Methode................................ 35 3.7.2. Weer een uitzondering of toch niet?................. 36 3.8. Expliciete bovengrens............................. 37 3.8.1. Bovengrens voor diagonaalmatrices................. 38 3.8.2. Bovengrens voor de andere gevallen................. 39 3.9. Uizonderingen op de bovengrens....................... 40 3.10. Niet-universele uitbreidingen......................... 42 3.11. Vijf-dimensionale uitbreidingen....................... 43 3.12. Opmerkingen................................. 44 4. Uitbreiding 46 5. Populaire samenvatting 48 Bibliografie 50 A. Basisalgebra 51 3

B. Berekeningen 56 B.1. Drie-dimensionale roosters.......................... 56 B.1.1. Niet-gerepresenteerde getallen.................... 56 B.2. Vier-dimensionale uitbreidingen....................... 57 B.2.1. Schrijfwijze bovengrens........................ 58 B.2.2. Niet-universele uitbreidingen..................... 59 B.3. Tabellen.................................... 60 C. Code 63 C.1. Drie-dimensionale roosters.......................... 63 C.1.1. Uitbreiden naar dimensie 3...................... 63 C.1.2. Niet-gerepresenteerde getallen in Z/Z M............... 65 C.2. Vier-dimensionale roosters.......................... 65 C.2.1. Uitbreiden van diagonaalmatrices.................. 66 C.2.2. Uitbreiden van niet-diagonaalmatrices............... 68 C.2.3. Uitzonderingen vinden........................ 70 4

1. Inleiding In 1770 heeft Lagrange de vier-kwadratenstelling van Lagrange bewezen. Deze stelling zegt dat elk natuurlijk getal geschreven kan worden als de som van vier kwadraten. Oftewel, de functie f = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 representeert elk natuurlijk getal. Hiermee bedoelen we dat er voor elk natuurlijk getal N er x, y, z, w Z bestaan zodat x 2 +y 2 +z 2 + w 2 = N. We noemen f dan universeel. De functie f is niet de enige universele functie. We bekijken alleen polynomen met gehele coëfficiënten. Wanneer is een dergelijke functie universeel? Conway en Schneeberger formuleerden in 1993 een stelling hiervoor. Deze stelling heet de 15-stelling en gaat als volgt: Hoofdstelling. Laat f een positief-definiete kwadratische vorm met een geheeltallige matrix. Als f de natuurlijke getallen 1 tot en met 15 representeert, dan representeert f alle natuurlijke getallen. Met een kwadratische vorm met een geheeltallige matrix bedoelen we dat f een polynoom is zodat elke term graad 2 heeft, de coëfficiënten geheel zijn en de coëfficiënten van de kruistermen even zijn. Het is verrassend dat de getallen 1 tot en met 15 voldoende zijn. Het blijkt dat zelfs maar 8 van deze getallen voldoende zijn voor de stelling. Deze stelling is in 2000 bewezen door Bhargava. We zullen in dit verslag het bewijs van Bhargava behandelen. De berekeningen en de gebruikte code worden ook behandeld. 5

2. Definities Voordat we de stelling en het bewijs gaan bekijken, zullen we eerst gaan kijken naar basisalgebra, kwadratische vormen en roosters. Deze basisalgebra staat in Appendix A. We zullen ook de link tussen de onderwerp bekijken. Dit is nodig om de stelling te kunnen bewijzen. 2.1. Kwadratische vormen en roosters We zullen in deze sectie kijken naar specifieke definities. Zoals de titel doet vermoeden, gaan we kwadratische vormen en roosters definiëren. De 15-stelling gaat over kwadratische vormen. Het is dus logisch dat we kwadratische vormen definiëren. De rol van roosters is niet meteen duidelijk. Dit zal duidelijker worden in Stelling 2.18. We beginnen met de kwadratische vormen. Daarvoor hebben we eerst de volgende definitie nodig. Definitie 2.1. Een homogeen polynoom is een polynoom, waarvoor geldt dat alle monomen dezelfde graad hebben. Een lineaire afbeelding is een voorbeeld van een homogeen polynoom. Elke lineaire afbeelding is een homogeen polynoom van graad 1. Andere voorbeelden van homogene polynomen zijn x 2 of 5x 3 + 6xy 2 + xyz + πz 3. We kunnen ook polynomen over andere ringen bekijken. Niet elke polynoom is homogeen. Het polynoom 3x 2 +y is niet homogeen, omdat de eerste term graad 2 heeft en de tweede term heeft graad 1. We hebben nu een definitie geven voor hetgene waarmee we willen werken. Definitie 2.2. Een kwadratische vorm is een homogeen polynoom van graad 2 in een aantal variabelen met coëfficiënten in een commutatieve ring R. Oftewel, een kwadratische vorm definieert een functie f : R n R die te schrijven is als voor een n Z 0. f(x 1, x 2,..., x n ) = n c ij x i x j, c ij R i,j=1 i j Opmerking. In het vervolg zullen we niet overal de ring R noemen. Hier bedoelen we dan de ring Z. We mogen dan een polynoom ook een functie noemen. We willen niet steeds een kwadratische vorm f over Z uitschrijven. We kunnen f ook compacter opschrijven. Dit doen we met behulp van matrices. 6

Lemma 2.3. Voor elke kwadratische vorm f over Z bestaat er een unieke symmetrische matrix A f zodat f(x 1, x 2,..., x n ) = ( ) x 2 x 1, x 2,..., x n Af. x 1 x n Bewijs. Als we beide kanten uitschrijven, dan volgt dat f(x 1, x 2,..., x m ) = x 1 x 2 x n ( ) x1, x 2,..., x n Af. = n c ij x i x j i,j=1 i j n a ii x i x i + i=1 n (a ij + a ji )x i x j. We weten dat A symmetrisch is, dus a ij = a ji. Beide kanten zijn gelijk als a ii = c ii en a ij = 1c 2 ij voor alle i, j {1, 2,..., n} met i j. Hieruit volgt dat er een unieke symmetrische matrix A f bestaat die voldoet. Opmerking. In het bewijs is te zien dat A f niet alleen maar gehele elementen hoeft te bevatten. De matrix A f bevat wel alleen maar rationale getallen. Voor onze hoofdstelling is het alleen maar interessant om te kijken naar kwadratische vormen met een geheeltallige matrix. De volgende definities hebben we wel nodig, maar deze termen zullen we niet veel zien in het bewijs. Definitie 2.4. De determinant van een kwadratische vorm is gelijk aan de determinant van de bijbehorende matrix. Definitie 2.5. We noemen een kwadratische vorm singulier als de determinant gelijk is aan 0. Als dit niet het geval is, dan noemen we de vorm regulier. Naast deze twee definities, definiëren we ook een paar interessante eigenschappen van een kwadratische vorm. Deze eigenschappen hebben we nodig voor de stelling en voor het bewijs. Definitie 2.6. Een kwadratische vorm f representeert een natuurlijk getal n N als er een x Z m bestaat zodat f(x) = n. We zijn op zoek naar kwadratische vormen die alle natuurlijke getallen representeren. Deze eigenschap geven we ook een naam. Definitie 2.7. Een kwadratische vorm f noemen we universeel als f alle natuurlijke getallen representeert. i,j=1, i>j 7

Het is duidelijk dat niet alle kwadratische vormen universeel zijn. De functie x 2 is duidelijk een kwadratische vorm. Deze kwadratische vorm representeert het getal twee niet. Dit is het kleinste natuurlijke getal die niet gerepresenteert wordt door x 2. Deze eigenschap geven we ook een naam. Definitie 2.8. Laat f een kwadratische vorm die niet universeel is. De truant van f is het kleinste natuurlijk getal die niet door f gerepresenteerd wordt. De truant is erg belangrijk in ons bewijs. We willen alleen kijken naar de kwadratische vormen die interessant zijn voor onze hoofdstelling. Daarvoor hebben we kwadratische vormen nodig die voldoen aan de volgende definitie. Definitie 2.9. Een kwadratische vorm heet positief-definiet als f(x) > 0 x 0. De functie x 2 + y 2 + z 2 + w 2 uit de vier-kwadratenstelling van Lagrange is duidelijk positief-definiet. De functie f = x 2 + 2xy + y 2 is daarentegen niet positief-definiet. Deze functie f kunnen we schrijven als f = (x+y) 2. We zien dat (x+y) 2 0 voor alle x, y Z. Als we y = x nemen en x 0, dan volgt dat (x+y) 2 = 0, terwijl (x, y) (0, 0). We zien daarnaast dat we f op meerdere manieren kunnen schrijven, namelijk als x 2 + 2xy + y 2 en als z 2 = (x + y) 2. Het is handig als we maar één van deze twee vormen hoeven te bekijken. Daarvoor gebruiken we de volgende definitie. Definitie 2.10. Laat f en g twee kwadratische vormen. Laat A f en A g de bijbehorende symmetrische matrices. We noemen f en g equivalent over Z als er een M GL n (Z) bestaat zodat M T A f M = A g. Opmerking. In het vervolg zullen we ook gaan praten over het vermenigvuldigen van een matrix A f, die hoort bij een kwadratische vorm f, met een M GL n (Z). Hiermee bedoelen we dat we de bewerking M T A f M toepassen. Dit doen we ook voor het vermenigvuldigen van een matrix met een vector. Als we vermenigvuldigen met een scalair, dan praten we niet over deze vermenigvuldiging. Twee equivalente kwadratische vormen hebben een aantal gelijke eigenschappen. De determinant, universaliteit en de truan zijn een paar van deze eigenschappen. Dit zullen we wel eerst moeten bewijzen. Lemma 2.11. Als twee kwadratische vormen equivalent zijn, dan hebben ze een gelijke determinant. Bewijs. Laat f en g twee equivalente kwadratische vormen. We weten dat er dan een M GL n (Z) bestaat zodat M T A f M = A g. We weten ook dat de determinant van elementen uit GL n (Z) gelijk is aan ±1. Hieruit volgt het gewenste resultaat. Propositie 2.12. Laat f en g twee kwadratische vormen. Als f en g equivalent zijn, dan representeren f en g dezelfde getallen. In het bijzonder geldt dan dat: f is universeel g is universeel en dat de truant van f gelijk is aan de truant van g. 8

Bewijs. Laat f en g twee equivalente kwadratische vormen. We weten dat er een matrix M bestaat zodat M T A f M = A g. Laat n N gerepresenteerd worden door f. Dan bestaat er een x Z n zodat f(x) = n. Nu volgt dat n = f(x) = x T A f x = x T (M T ) 1 M T A f MM 1 x = x T (M 1 ) T A g M 1 x = (M 1 x) T A g (M 1 x) = g(m 1 x). Dit geldt voor alle n die gerepresenteerd worden door f. Dus g reperenteert alle getallen die gerepresenteerd worden door f. Met hetzelfde argument volgt dat f alle getallen representeert die ook door g gerepresenteerd worden. Hieruit volgt dat f universeel is g universeel is. Ook geldt de f en g gelijke truant hebben. Met de equivalentierelatie voor kwadratische vormen kunnen we equivalentieklassen vinden. Het fijne van de bovenstaande eigenschappen is dat zij gelijk zijn binnen een equivalentieklasse. We gaan later uit elke equivalentieklasse een bepaalde representant nemen. We kijken dan naar universaliteit en de truant van deze representant. We hoeven ons dan niet druk te maken over de keuze van representant. We hebben nu gepraat over kwadratische vormen. De titel van deze sectie doet al vermoeden dat we ook gaan kijken naar roosters. Definitie 2.13. Laat b 1, b 2,..., b n een aantal lineair onafhankelijke punten in R m, zodat deze verzameling uit te breiden is tot een basis van R m. Laat L 3 een verzameling punten opgespannen door (b 1, b 2,..., b n ) door lineaire combinaties te nemen met gehele coëfficiënten. Dan noemen we L 3 een rooster. Opmerking. Uit de definitie volgt dat een rooster een vectorruimte over Z is. We kunnen dan ook praten over een rooster met een inproduct. Net als bij vectorruimtes en deelruimtes, kunnen we nu ook praten over deelroosters. Definitie 2.14. Met een deelrooster bedoelen we een deelverzameling van een rooster. Deze deelverzameling moet zelf ook een rooster zijn. Net als equivalente matrices en equivalente kwadratische vormen, bestaan er ook equivalente roosters. We zullen eerst een concept geven. Deze definitie zullen we niet aan blijven houden, maar het geeft wel een idee van wat we willen hebben. Definitie 2.15 (concept). Twee roosters L 1 en L 2 in R n noemen we equivalent over R als er een rotatie φ O n (R) bestaat zodanig dat L 1 = φl 2. We willen een bepaalde afbeelding vinden zodat we het ene rooster over kunnen voeren in het andere. Dit moet andersom ook mogelijk zijn. We hebben nu rotaties. Deze definitie past niet goed bij onze andere definities. Op deze manier wordt het lastiger om de link tussen kwadratische vormen en roosters te vinden. We gaan proberen om een definitie te geven met matrices. Dit werkt handiger in het bewijs en het is handiger voor de link tussen kwadratische vormen en roosters. We zullen gebruik maken van de volgende definitie. 9

Definitie 2.16. Laat V R m een inproductruimte met inproduct, en geordende basis b = (b 1, b 2,..., b n ). De gramiaan van b is een nxn-matrix A met elementen: met i, j {1, 2,..., n}. a ij = b i, b j Opmerking. We zullen gaan praten over roosters met een bepaalde gramiaan. Hier noemen we niet de gebruikte basis en we noemen ook de specifieke ruimte niet. Dit is niet interessant voor ons. Het gaat om de bijbehorende gramiaan. We gaan nu een goede definitie voor equivalente roosters geven. We maken hier gebruik van de gramiaan. Definitie 2.17. Laat L 1, L 2 twee roosters zijn in R m. Laat G 1 en G 2 de bijbehorende gramianen. We noemen L 1 en L 2 equivalent over Z als er een M GL n (Z) bestaat zodat M T G 1 M = G 2. Opmerking. De matrices M die we gebruiken in de bovenstaande definitie, zijn niets anders dan basistransformaties. Opmerking. Als we twee roosters hebben die in een verschillende ruimte leven, dan kunnen we alsnog over equivalentie spreken. Laat L 1 een rooster in R n en L 2 een rooster in R m, waarbij n m. We kunnen dan R n inbedden in R m. Met behulp van de bovenstaande definitie kunnen we praten over equivalentie. We hebben niet voor niets gezocht naar matrices voor kwadratische vormen en roosters. We gebruiken deze matrices voor het bewijs. De voornaamste reden is de link tussen kwadratische vormen en roosters. Deze link wordt duidelijk in de volgende stelling. Stelling 2.18. Er bestaat een bijectie tussen equivalentieklassen van positief-definiete kwadratische vormen met geheeltallige matrices en roosters met een geheeltallig inproduct. Bewijs. Laat F de ruimte van equivalentieklassen van positief-definiete kwadratische vormen met geheeltallige matrices. Laat R de ruimte van equivalentieklassen van roosters met een geheeltallig inproduct. We definiëren de functie φ : F R : [f] [A f ]. We laten eerst zien dat φ goed gedefinieerd is. Laat f een positief-definiete kwadratische vorm met een geheeltallige matrix. Laat A f de bijbehorende matrix zijn. Het is duidelijk dat A f bilineair, symmetrisch en positiefdefiniet is. Hieruit volgt dat A f een geheeltallige gramiaan is van een rooster. Uit Definitie 2.10 en Definitie 2.17 volgt nu dat φ goed gedefinieerd is. We moeten nu nog laten zien dat φ een bijectie is. Laat f en g twee positief-definiete kwadratische vormen met geheeltallige matrix, zodat φ(f) equivalent is aan φ(g). Oftewel, er bestaat een nxn-matrix M zodat M T A f M = A g waarbij de elementen van M en M 1 geheeltallig zijn. Dus dan zijn f en g equivalent. Hieruit volgt dat φ injectief is. Laat nu r een basis op een rooster. Laat G de bijbehorende gramiaan. Dan geldt dat B(x, x) = x T Gx = n i,j=1 g ijx i x j. Er geldt dan dat B(x, x) een positief-definiete kwadratische vorm met een geheeltallige matrix is. Samen met Definitie 2.10 en Definitie 2.17 volgt nu dat φ surjectief is. Dus φ is een bijectie. 10

Opmerking. In het vervolg nemen we aan dat een kwadratische vorm positief-definiet is en een geheeltallige matrix heeft. Met een rooster bedoelen we een rooster met een geheeltallig inproduct. Daarnaast zullen we over roosters praten in plaats van de equivalentieklassen van roosters. We zullen ook niet meer praten over equivalentieklassen van kwadratische vormen. We zullen dus de termen kwadratische vormen en roosters gebruiken. Als we van de ene term overgaan naar de andere, dan gebruiken we de bovenstaande equivalentierelatie. We zullen de notatie voor een kwadratische vorm ook gebruiken voor roosters. Dit doen we ook andersom. Dankzij de stelling zal dit niet verkeerd gaan. We hebben nu een link tussen kwadratische vormen en roosters. Met behulp van Lemma 2.18 kunnen we nu praten over universele roosters en over de truant van een rooster. We maken gebruik van het feit de truant binnen een equivalentieklasse gelijk blijft. Definitie 2.19. Een rooster met geheeltallig inproduct heet universeel als de kwadratische vormen in de bijbehorende equivalentieklasse universeel zijn. Als een rooster niet universeel is, dan is de truant van een rooster gelijk aan de truant van de kwadratische vormen in de equivalentieklasse die hoort bij het rooster. Een belangrijk ingrediënt van het bewijs is het uitbreiden van roosters. Het idee is simple, maar we moeten dit wel nog definiëren. Definitie 2.20. Laat L een niet-universeel rooster zijn. De uitbreiding van L is een rooster dat gegenereerd wordt door L en een vector x, zodat de uitbreiding een vector bevat met norm gelijk aan de truant van L. We hebben nog een belangrijk ingrediënt niet gedefinieerd. Dit is het begrip Minkowskigereduceerd. We geven twee definities voor dit begrip. Één voor kwadratische vormen en de ander voor roosters. We beginnen bij de kwadratische vormen. Definitie 2.21. Laat f een positief-definiete kwadratische vorm met een geheeltallige matrix A. We noemen A Minkowski-gereduceerd als er geldt dat x T Ax e T i Ae i met i {1, 2,..., n}, x 1, x 2,..., x n Z, x i 0. De vector e i is de i-e basisvector. Dan volgt nu de definitie voor roosters. Definitie 2.22. Laat b = (b 1, b 2,..., b n ) een geordende basis voor het rooster L met een geheeltallig inproduct. We noemen deze basis Minkowski-gereduceerd als voor alle i {1, 2,..., n} en voor alle x 1, x 2,... x n Z met x i, x i+1,..., x n relatief priem geldt dat x 1 b 1 + x 2 b 2, + x n b n b i. We hebben nu twee verschillende definities voor Minkowski-gereduceerd. We laten zien dat deze definities equivalent zijn. Laat L een Minkowski-gereduceerd rooster met een geheeltallig inproduct. Dan geldt voor alle i {1, 2,..., n} en voor alle x 1, x 2,..., x n Z met x i, x i+1,... x n relatief priem dat x 1 b 1 + x 2 b 2, + x n b n b i 11

We gaan deze vergelijking omschrijven in termen van de gramiaan G. Dan krijgen we de vergelijking n x k x j b k, b j b i, b i k,j=1 n x k g k,j x j g i,i k,j=1 x T Gx e T i Ge i. Uit Stelling 2.18 volgt nu dat de tweede definitie voldoet aan de eerste definitie. Op dezelfde manier kunnen we het omgekeerde bewijzen. De twee definities zijn equivalent aan elkaar. In het bewijs van de 15-stelling zullen we veel gebruik maken van roosters met een Minkowski-gereduceerde gramiaan. We kunnen met Minkowski-gereduceerde matrices makkelijk rekenen. We zullen in deze paragraaf nog een definitie geven. Definitie 2.23. We noemen een nxn-matrix A geordend als geldt dat a i,i a j,j voor alle i j met i, j {1, 2,..., n}. We hebben ook een lexicografische ordening voor vectoren uit R n of uit een deelruimte ervan. We schrijven f g als geldt dat f = g of als er een m n bestaat zodat f m < g m en f i g i i m. Als we nu een Minkowski-gereduceerde kwadratische vorm hebben, dan geldt dat de bijbehorende matrix geordend is. Dit volgt direct uit de definitie van Minkowskigereduceerd. 2.2. Geslacht We hebben nog één ingrediënt nodig voor het bewijs. Dit gaat over het geslacht van een kwadratische form. De term geslacht is nu nog nietszeggend. Om dit te kunnen definiëren, hebben we eerst een definitie voor Z p nodig. Dit is de verzameling van de p-adische getallen. We hebben de definitie nodig om te kijken naar equivalentie over Z p. We gaan nu aan de slag om Z p te definiëren. We beginnen met bepaalde afbeeldingen. Definitie 2.24. Laat F een lichaam. Een afbeelding : F F heet een valuatie als: 1. a 0 a F. 2. a = 0 a = 0. 3. ab = a b a, b F. 4. a + b a + b a, b F. Een voorbeeld van een valuatie is de absolute waarde. De absolute waarde voldoet duidelijk aan de 4 voorwaarden. Een norm is een ander voorbeeld van een evaluatie. We gaan kijken naar een bepaalde valuatie over Q. 12

Definitie 2.25. Laat p een priemgetal. Dan kunnen we elke q Q 0 schrijven als q = p α a b met α, a, b Z, p a en p b. De afbeelding p : Q Q : q p α met 0 p = 0 noemen we de p-adische valuatie. Uit de schrijfwijze voor q volgt dat α uniek bepaald wordt door p en q. De afbeelding is goed gedefinieerd. We moeten nog wel laten zien dat de p-adische valuatie een valuatie is. Het bewijs, dat de p-adische valuatie aan de eerste drie eisen voldoet, is triviaal. We laten niet alleen zien dat ook aan de vierde eis voldoet, maar ook dat de afbeelding aan een sterkere ongelijkheid voldoet. Laat p een priemgetal. Laat q, r Q 0. We kunnen q en r schrijven als q = p α a/b en r = p β c/d, waarbij a, b, c en d niet deelbaar zijn door p en α, β, a, b, c, d Z. Zonder verlies van algemeenheid geldt dat α β. Nu volgt dat q + r = p α (ad + p β α bc)/cd = p α+γ e/cd. met ad + p β α bc = p γ e, p e en γ 0. We weten dat p cd, dus dan volgt dat a + b p = p α γ p α = a p = max( a p, b p ) a p + b p. De p-adische valuatie is dus een valuatie. De afbeelding voldoet ook aan de ongelijkheid a + b p max( a p, b p ). Definitie 2.26. Een valuatie over een lichaam F noemen we niet-archimedisch als, voor alle a, b F geldt dat a + b max( a, b ). We zullen gaan praten over een volledig lichaam. Voordat we dit kunnen doen, geven we eerste nog een paar andere definities. Definitie 2.27. Een rij (x n ) n 1 in een metrische ruimte M heet convergent als er een x M bestaat, zodat geldt: ɛ > 0 N N, zodanig dat n > N geldt dat d(x n, x) < ɛ. We noemen x dan het limiet van de rij. Definitie 2.28. Een rij (x n ) n 1 in een metrische ruimte M heet Cauchy-convergent als de rij aan het volgende voldoet: ɛ > 0 N N, zodanig dat i, j > N geldt dat d(x i, x j ) < ɛ. De rij noemen we een Cauchy-rij. Het is duidelijk dat elke convergente rij een Cauchy-rij is. Het omgekeerde is niet altijd waar. De vorige twee definities zijn nodig om het volgende te definiëren. Definitie 2.29. Een metrische ruimte heet volledig als elke Cauchy-rij convergent is. 13

Niet elk lichaam is volledig. Als we een niet-volledig lichaam hebben, dan willen we een manier hebben om dit lichaam volledig te maken. Dit heet het completeren van een lichaam. Definitie 2.30. Elk lichaam met een valuatie kunnen we inbedden in een volledig lichaam. Dit volledige lichaam noemen we de completering van een lichaam. We gaan straks rekenen over de completering van Q. Een voorbeeld van een completering van Q is R. Het lichaam R is duidelijk volledig en bevat Q. Dan volgt dat R de completering is van Q ten opzichte van de absolute waarde. We kunnen de completering van Q vinden ten opzichte van bepaalde andere valuaties. Deze bepaalde andere valuaties zijn de p-adische valuaties. Lemma 2.31. Er bestaat een lichaam Q p Q en een niet-archemedische valuatie p op Q p die voldoet aan: 1. Op Q is p gelijk aan de p-adische valuatie. 2. Het lichaam Q p is volledig ten opzichte van p. 3. Het lichaam Q p is de afsluiting van Q ten opzichte van de topologie gedefinieerd door p. Ook geldt dat Q p uniek is op isomorfisme na. Het lemma komt uit [3]. Hier wordt het lemma ook bewezen. We zullen niet ons niet verder verdiepen in Q p, maar in een deelverzameling ervan. Definitie 2.32. Laat p een priemgetal en laat q Q p met q p 1. Deze getallen q vormen samen de p-adische gehele getallen Z p. Naast de p-adische gehele getallen, definiëren we ook eenheden. Definitie 2.33. Laat p een priemgetal en laat q Q p met q p = 1. Deze getallen q vormen samen de p-adische eenheden U p. Definitie 2.34. Laat p een priemgetal ongelijk aan -1. We noemen een kwadratische vorm f over Z p een eenheidsvorm als de determinant van f en p relatief priem zijn. Als geldt dat p = 1, dan heet een kwadratische vorm f een eenheidsvorm als f positiefdefiniet is. Opmerking. In de bovenstaande definitie wordt er gesproken over een priemgetal ongelijk aan -1. We zullen -1 behandelen als een priemgetal. Dit is handig voor onze berekeningen. Als we praten over priemgetallen, dan praten we dus ook over het priemgetal -1. We kunnen kwadratische vormen over Z p bekijken. We kunnen dan ook over het representeren van getallen over Z p praten. Definitie 2.35. Laat f een kwadratische vorm. Een getal a wordt door f lokaal gerepresenteerd over Z p als f a representeert over Z p. Een getal a wordt door f lokaal gerepresenteerd als f a representeert over Z p voor alle priemgetallen p. 14

We hebben nu een hoop termen zien langskomen, maar we hebben nog nergens de term geslacht gezien. We zullen dit definiëren aan de hand van kwadratische vormen. Definitie 2.36. Twee kwadratische vormen zitten in hetzelfde geslacht als ze equivalent zijn over Z p voor alle priemgetallen p (inclusief p = 1). We hebben nu wel een definitie voor het geslacht. We weten wel wat equivalent betekent, maar we willen een paar eisen om te bewijzen dat twee kwadratische vormen equivalent zijn over Z p. Hiervoor gebruiken we twee proposities uit [4]. Voordat we deze geven, gaan we eerst een paar invarianten definiëren. We gebruiken hiervoor wel een andere propositie uit [4] Propositie 2.37. Laat p een priemgetal ongelijk aan 2. Elke kwadratische vorm over Z p is diagonaliseerbaar. Als p = 2, dan is elke kwadratische vorm te schrijven als de directe som van kwadratische vormen met matrices [ [ ] qa qb qx, qb qc met q gelijk aan een macht van 2, a en c deelbaar door 2 en x, b en d = ac b 2 niet deelbaar door 2. Deze propositie komt uit [4]. Met deze propositie kunnen we elke kwadratische vorm f over Z p schrijven als met f q een eenheidsvorm. ] f = f 1 pf p p 2 f p 2 qf q (2.1) Definitie 2.38. De termen in vergelijking 2.1 heten Jordancomponenten. De vergelijking zelf heet de Jordandecompositie. We gaan eerst kijken naar kwadratische vormen f over ( Z p met ) p 2. We zullen twee invarianten bekijken. We schrijven n q = dim(f) en ɛ q = det(fq). Voor p = 1 laten we ɛ q = 1. De volgende propositie komt uit [4]. Propositie 2.39. Laat p 2 een priemgetal. Twee kwadratische vormen zijn equivalent over Z p, dan en alleen dan als ze dezelfde invarianten n q en ɛ q hebben voor alle q gelijk aan een macht van p. Het bewijs staat ook in [4]. We willen een soortgelijke uitspraak vinden voor p = 2. We zullen kijken naar de invarianten n q = dim(f q ) en 1 als det(f q ) een kwadratisch residu modulo 8is ɛ q = 1 als det(f q ) een kwadratisch non-residu modulo 8 is. 0 als 8 det(f q ) We gaan nog een derde invariant definiëren. Daarvoor hebben we eerst een andere definitie nodig. p 15

Definitie 2.40. Laat p een priemgetal. We noemen een getal a een p-adisch antikwadraat als a te schrijven is als p 2n+1 u p (voor p 2) of als 2 2n+1 (±3 + 8k). Nu definiëren we onze nieuwe invariant. Definitie 2.41. De vreemdheid t q van een kwadratische vorm f q = diag(2 α a, 2 β b,... ) over Z 2 met een gehele matrix is gelijk aan 4m + a + b +.... Hier is m gelijk aan het aantal antikwadraten in de verzameling {2 α a, 2 β b,... }. Als de vreemdheid van f q gelijk is aan nul, dan is f q van type-ii. Anders is f q van type-i. Uit [4] volgt de volgende uitspraak. Propositie 2.42. Twee kwadratische vormen f en f zijn equivalent over Z 2 alleen als f q en f q zijn van gelijke type voor alle q gelijk aan een macht van 2, n q = n q voor alle q gelijk aan een macht van 2 en voor alle m Z met f 2 m van type-ii geldt q<2 m (t q t q) 4(min(a 1, m) + min(a 2, m) +... ) mod 8 met 2 a 1, 2 a 2,... zodat ɛ ai ɛ a i. We kunnen nu controleren of twee kwadratische vormen in hetzelfde geslacht zitten. Dit doen we met het computerprogramma Magma [2]. Er is een algoritme binnen Magma beschikbaar om de equivalentieklassen te vinden die in het zelfde geslacht vinden. Stelling 2.43. Laat f een reguliere kwadratische vorm en laat a Z 0. Als f het getal a representeert over elke Z p, dan is er een f in hetzelfde geslacht die a representeert over Z. Deze stelling komt uit [1]. Hier staat ook het bewijs voor deze stelling. Voordat we beginnen met het bewijs, geven we nog een definitie. Definitie 2.44. We noemen een kwadratische vorm uniek in zijn geslacht als het geslacht uit één equivalentierelatie bestaat. We gebruik dit begrip een aantal keer in het bewijs. Door middel van het computerprogramma Magma controleren we of een kwadratische vorm uniek in zijn geslacht is. Als dit niet het geval is, dan geven we de kwadratische vormen die samen het geslacht vormen. 16

3. De 15-stelling We zullen, ter herinnering, de 15-stelling noemen. Hoofdstelling. Laat f een positief-definiete kwadratische vorm met een geheeltallige matrix. Als f de natuurlijke getallen 1 tot en met 15 representeert, dan representeert f alle natuurlijke getallen. We zullen in dit hoofdstuk de stelling bewijzen. 3.1. Schets bewijs De opbouw van het bewijs komt uit [1]. Het bewijs bestaat, globaal gezien, uit het uitbreiden van kwadratische vormen. We beginnnen bij de vorm 0. We willen weten tot welke dimensie we kunnen uitbreiden. Het aantal uitbreidingen kan snel oplopen. Om dit te beperken, maken we gebruik van Cauchy-Schwarz, het feit dat we alleen geïnteresseerd zijn in positief-definiete uitbreidingen en de equivalentierelatie. Met de propositie van Cauchy-Schwarz kunnen we een bovengrens stellen voor de coëfficiënten van de kruistermen. Daarna kunnen we een aantal mogelijkheden wegstrepen, omdat deze de eigenschap positief-definiet niet hebben. Met behulp van de equivalentierelatie kunnen we dit aantal verder omlaag brengen. Het is niet nuttig om te kijken naar equivalente gramianen. Daarom kijken we, per equivalentierelatie, naar één representant. Deze representant is Minkowski-gereduceerd. Hiermee kunnen we gemakkelijker rekenen. Daarnaast verkleint deze het aantal uitbreidingen van deze gramiaan. We gaan in dimensie vier pas kijken naar universaliteit. Dit doen we door eerst te kijken naar drie-dimensionale deelmatrices. Deze deelmatrices representeren een groot aantal natuurlijke getallen. We kunnen een schrijfwijze vinden voor alle niet-gerepresenteerde getallen. Daarna gaan we weer terug naar de vier-dimensionale uitbreidingen. We bekijken eerst deelroosters. Deze deelroosters worden opgespannen door de drie-dimensionale deelroosters die we bekeken hebben en een bepaalde vector. We kunnen dan namelijk, voor de meeste uitbreidingen, een bovengrens vinden. We gaan voor de andere gevallen ook op zoek naar een bovengrens. Dit doen we door een ander deelrooster te nemen. Deze bovengrens is voor de nietgerepresenteerde getallen. De uitbreidingen representeren dan alle getallen boven deze grens. We hoeven dan, per deelrooster, te controleren of ze alle natuurlijke getallen tot deze grens representeren. We houden dan een paar niet-universele gramianen over. Deze gramianen breiden we uit. Dit levert veel uitbreidingen op. Gelukkig hoeven we deze uitbreidingen niet expliciet te vinden. Het is voldoende om alleen te spreken over de uitbreidingen. De niet-universele vier-dimensionale uitbreidingen representeren namelijk bijna alle natuurlijke getallen. We kunnen dan gemakkelijk laten zien dat elke uitbreiding universeel is. Daarna sluiten we het bewijs af met een paar opmerkingen. 17

3.2. Twee-dimensionale uitbreidingen We gaan eerst naar uitbreidingen kijken. We beginnen met de uitbreiding van het 0- dimensionale rooster. Dit is het rooster dat gegenereerd wordt door de vector [1]. Deze matrix is duidelijk Minkowski-gereduceerd. De kwadratische vorm, die bij dit rooster hoort, is x 2. De truant van deze vorm is 2. De gramiaan, die hoort bij de uitbreiding van [1], is van de vorm [ ] 1 a. a 2 We willen het aantal mogelijke uitbreidingen beperken. Dit doen we met de volgende propositie. Deze staat ook in Appendix A als Propositie A.12. Propositie 3.1 (Cauchy-Schwarz). Laat R een inproductruimte. geldt dat x, y 2 x, x y, y. Voor alle x, y R Uit Cauchy-Schwarz volgt [ nu ] dat a 2 2. Dus a = 0, ±1. Voor a = 0 is het duidelijk 1 0 het rooster met gramiaan Minkowski-gereduceerd is. Nu bekijken we het geval 0 2 a = ±1. We gaan op zoek naar een equivalente [ ] matrix die Minkowski-gereduceerd is. Als 1 a we de gramiaan vermenigvuldigen met, dan volgt dat de gramiaan equivalent is 0 1 aan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 1 a 1 a 1 0 1 0 = a 1 a 2 0 1 0 2 a 2 =. 0 1 De gramiaan I 2 is Minkowski-gereduceerd. 3.3. Drie-dimensionale uitbreidingen De truant van I 2 is gelijk aan 3. De gramiaan, die hoort bij de uitbreiding van I 2, is van de vorm 1 0 a 0 1 b. a b 3 Uit Cauchy-Schwarz [ volgt ] nu dat a 2 3 en b 2 3. Dus a = 0, ±1 en b = 0, ±1. 1 0 De truant van is gelijk aan 5. De gramiaan, die hoort bij de uitbreiding van 0 2 deze matrix, is van de vorm 1 0 a 0 2 b a b 5 Uit Cauchy-Schwarz volgt nu dat a 2 5 en b 10. Dus a = 0, ±1, ±2 en b = 0, ±1, ±2, ±3. We hebben nu alle drie-dimensionale uitbreidingen gevonden. We bekijken alleen de positief-definiete uitbreidingen. Uit elke equivalentieklasse kiezen we een representant die Minkowski-gereduceerd is. Dit doen we met de Code C.1. We 18

zullen hier ook de methode behandelen om deze Minkowski-gereduceerde gramianen te vinden. We hoeven alleen maar te kijken naar uitbreidingen met niet-negatieve elementen. Dit komt door de volgende propositie Propositie 3.2. Laat L een rooster, zodat de bijbehorende gramiaan een (n 1)xn 1- diagonaalmatrix is (met n N neq2 ). Laat nu L = L [x] een uitbreiding van L. Dan is de bijbehorende gramiaan G equivalent aan de matrix H met h i,j = g i,j (i, j N leqn ). Bewijs. De gramiaan van L is een diagonaalmatrix. Dan kunnen we de gramiaan G schrijven als g 1,1 0 0 g 1,n 0 g 2,2.... g2,n G =....... 0.. 0 0 g n 1,n 1 g n 1,n g n,1 g n,2 g n,n 1 g n,n Laat nu B een diagonaalmatrix zijn. De diagonaalelementen van B bepalen we als volgt: als g i,n < 0, dan stellen we b i,i = 1 en anders stellen we b i,i = 1 (met i {1, 2,... n}). Als we G met B vermenigvuldigen, dan krijgen we een matrix H. Voor de diagonaalelementen c i,i geldt dat h i,i = (±) 2 g i,i = g i,i. De matrix G is positief-definiet. De diagonaalelementen van G zijn dan strikt positief. Daaruit volgt dat de diagonaalelementen van H ook strikt positief zijn. Voor de elementen h i,j met i < j < n geldt dat h i,j = ±1 0 ±1 = 0. De matric G is symmetrisch, dus dan is H ook symmetrisch. We hoeven dan alleen nog naar de elementen h i,n te kijken met i < n. We weten dat g n,n > 0, dus dan geldt b n,n = 1. Hieruit volgt dat h i,n = g i,n als g i,n 0 en h i,n = g i,n als g i,n < 0. Hieruit volgt het gewenste resultaat. Deze propositie zullen we vaker in het bewijs gebruiken. Als we uitbreidingen van diagonaalmatrices gaan bekijken, dan kijken we alleen naar uitbreidingen met niet-negatieve niet-diagonaalelementen. Om de gewilde matrices te vinden, gaan we eerst elke gramiaan A vermenigvuldigen met een matrix B GL 3 (Z). Deze B is van de vorm 1 0 b 1 0 1 b 2. 0 0 1 Als we A met B vermenigvuldigen, dan krijgen we 1 0 b 1 1 0 a 1 0 b 1 1 0 α 0 1 b 2 0 x b 0 1 b 2 = 0 x β b 1 b 2 1 a b y 0 0 1 α β γ met α = a b 1, β = b b 2 x en γ = y ab 1 bb 2 b 1 α b 2 β. We gaan proberen om de absolute waarde van de niet-diagonaalelementen van deze matrix zo klein mogelijk te maken. Het maakt niet uit of deze elementen negatief worden. We kunnen dan 19

Propositie 3.2 gebruiken. Voor α is dit makkelijk. Als we b 1 = a nemen, dan is α gelijk aan nul. Voor β volgt dat we b 2 kunnen vinden zodat β gelijk is aan 0 of 1. We hebben nu, voor elke uitbreiding, een b 1 en b 2 gevonden. Laat C = B T AB. Dan weten we dat C symmetrisch is en maximaal twee niet-diagonaalelementen heeft ongelijk aan 0. Voor elke C die we gevonden hebben, voeren we de volgende transformatie uit. Als c 3,3 kleiner is dan c 2,2, dan vermenigvuldigen we C met de matrix 1 0 0 T = 0 0 1. 0 1 0 Op deze manier is de matrix geordend. Nadat we dit gedaan hebben, houden we 10 matrices over. Dit zijn de gramianen 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1, 0 1 0, 0 1 0, 0 1 0, 0 2 0, 0 1 2 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 0, 0 2 0, 0 2 0, 0 2 1, en 0 2 1. 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 1 4 0 1 5 We willen weten welke van deze gramianen Minkowski-gereduceerd zijn. Hiervoor gebruiken we de volgende propositie Propositie 3.3. Laat A een symmetrische geordende matrix zijn. Als A een diagonaalmatrix is, dan is A Minkowski-gereduceerd. Als A precies twee niet-diagonaalelementen, a ij en a ji, ongelijk aan nul heeft, dan geldt: de matrix A is Minkowski-gereduceerd, dan en alleen dan als geldt 2 a ij min(a ii, a jj ). Bewijs. Als A een diagonaalmatrix is, dan volgt het resultaat direct uit de eerste definitie van Minkowski-gereduceerd. Laat nu A een symmetrische matrix met precies twee nietdiagonaalelementen ongelijk aan 0 is. We bekijken de twee-dimensionale deelmatrix A die geen diagonaalmatrix is. We schrijven deze A als [ ] x z. z y Zonder verlies van algemeenheid geldt dat z 0. De matrix is geordend. Dus dan weten we dat x y. We gaan kijken of er een equivalente matrix C is met c 2,2 < y. We hoeven niet te kijken of we een C kunnen vinden met c 1,1 < x. Het eerste is namelijk voldoende. We gaan A vermenigvuldigen met [ ] 1 a B =. 0 b Deze matrix B is een element van GL n (Z). Dan volgt dat b = ±1. Dan volgt dat [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 x y 1 a x ax ± z C = = a ±1 y z 0 ±1 ax ± z a 2 x ± 2az + y 20

Zonder verlies van algemeenheid mogen we c 2,2 schrijven als c 2,2 = a 2 x 2az +y en a > 0. We bekijken eerst het geval 2 z > x. Dan nemen a = ±1, zodat A equivalent is aan [ ] x z x. z x y 2z + x Dan geldt dat y 2z + x < x. Nu concluderen we dat A niet Minkowski-gereduceerd is. Nu kijken we naar het geval 2 z x. Dan volgt voor alle a Z dat 2az a 2 x. Dus dan volgt dat a 2 x 2az + y y. Deze A is wel Minkowski-gereduceerd. Hieruit volgt het gewenste resultaat. Uit de bovenstaande propositie volgt dat 9 van de 10 gramianen Minkowski-gereduceerd zijn. Er is een gramiaan die niet Minkowski-gereduceerd is, namelijk de gramiaan 1 0 0 0 1 1. 0 1 2 Als we deze matrix vermenigvuldigen met de matrix 1 0 0 0 1 1, 0 0 1 dan krijgen we de matrix I 3. We houden dus 9 Minkowski-gereduceerde matrices over. Deze 9 matrices hebben een verschillende determinant. Dat betekent dat deze 9 matrices inequivalent zijn. Dit volgt uit het feit dat matrices uit GL n (Z) een determinant gelijk aan ±1 hebben. Van deze 9 matrices berekenen we de truant. De truant van de diagonaalmatrices is gemakkelijk te bepalen. Als we deze matrices schrijven als kwadratische vormen, dan krijgen we drie termen. Dit zijn kwadraten. Als we een vector in deze vorm stoppen, dan krijgen we drie niet-negatieve termen. Op deze manier valt er gemakkelijk te controleren of een diagonaalmatrix een bepaald natuurlijk getal representeert. In het volgende voorbeeld zullen we voor een diagonaalmatrix de truant bepalen. Voorbeeld 3.4. We bekijken de gramiaan 1 0 0 L 3 = 0 2 0. 0 0 2 [ ] 1 0 We gaan op zoek naar de truant van L 3. Deze matrix is een uitbreiding van. 0 2 Dit betekent dat L 3 in ieder geval de getallen 1 tot en met 4 representeert. We gaan nu een vector x zoeken zodat x T L 3 x = x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 3 2 gelijk is aan 5. Dit geldt voor x 1 = x 2 = x 3 = 1. Als we x 1 = 2, x 2 = 1 en x 3 = 0 nemen, dan krijgen we het getal 6. We gaan nu het getal 7 proberen te representeren. We weten dat de termen 2x 2 2 en 2x 2 3 even zijn. We moeten er dus voor zorgen dat x 2 1 oneven is en kleiner of gelijk aan 7. 21

Dit kan alleen als x 1 = ±1. We houden nu 6 over. Als we kijken naar de tweede term, dan zien we dat 2x 2 2 6 x 2 1. Dan volgt dat 2x 2 2 = 0 of 2x 2 2 = 2. Dit geldt ook voor x 3. We zien dan dat voor alle x 2, x 3 Z geldt dat x 2 1 + 2x 2 2 + 2x 2 3 7. Dus de truant van L 3 is gelijk aan 7. Het vinden van de truant voor de andere diagonaalmatrices gaat op gelijke wijze. We moeten nog de [ truants ] van de andere twee matrices vinden. De twee matrices zijn 1 0 uitbreidingen van, dus ze representeren de getallen 1 tot en met 4. Voor de getallen 0 2 5 en 6 vermenigvuldigen we de matrices met een vector x, waarbij x 2 = 0 of x 3 = 0. Dan houden we een vorm over zonder kruistermen. Het lukt dan niet om het getal 7 te maken. Dit volgt uit dezelfde methode als in het voorbeeld. We kunnen alleen nog kijken naar de vectoren x met x 2 0 en x 3 0. We kijken eerst naar x 2 = x 3 = 1. Dan krijgen we de getallen x 2 1 + 4, x 2 1 + 5 of de som van x 2 1 met een getal groter dan 7. Hiermee volgt niet de representatie 7. Als we nu x 2 of x 3 vermenigvuldigen met een α Z met α > 1, dan krijgen we alleen maar getallen groter dan 7. De factoren x 2 2 en x 2 3 groeien sneller dan de kruisterm, dus er is geen mogelijkheid tot het verkrijgen van 7. Dus de truant van deze matrices is gelijk aan 7. De truants van deze 9 matrices staan in Tabel B.1. We gaan onze kwadratische vormen opnieuw uitbreiden. 3.4. Vier-dimensionale uitbreidingen Het uitbreiden van drie-dimensionale vormen gaat hetzelfde als met het uitbreiden van twee-dimensionale vormen. We hebben nu een extra variabele. De uitbreidingen moet voldoen aan Cauchy-Schwarz en moet positief definiet zijn. We zijn nu weer op zoek naar de equivalentieklassen. Uit elke equivalentieklasse willen we een representant die Minkowski-gereduceerd is. Dit gebeurt in Code C.3 en Code C.4. We zullen in deze sectie op zoek gaan naar de equivalentieklassen en proberen voor iedere klasse een Minkowskigereduceerde gramiaan te vinden. We beginnen bij de diagonaalmatrices. 3.4.1. Uitbreidingen van diagonaalmatrices Bij het uitbreiden van een drie-dimensionale matrix hebben we drie variabalen. Deze moeten voldoen aan Cauchy-Schwarz. Net als in het geval van drie-dimensionale uitbreidingen, hoeven we alleen te kijken naar matrices met niet-negatieve elementen. Hiervoor gebruiken we hetzelfde argument als in het drie-dimensionale geval. We houden nu uitbreidingen over van de vorm 1 0 0 a A = 0 x 0 b 0 0 y c. a b c z 22

We gaan A vermenigvuldigen met een matrix B GL 4 (Z). Deze B is van de vorm 1 0 0 b 1 0 1 0 b 2 0 0 1 b 3. 0 0 0 1 Als we A met B vermenigvuldigen, dan volgt dat 1 0 0 0 1 0 0 a 1 0 0 b 1 1 0 0 α 0 1 0 0 0 x 0 b 0 1 0 b 2 0 0 1 0 0 0 y c 0 0 1 b 3 = 0 x 0 β 0 0 y γ. b 1 b 2 b 3 1 a b c z 0 0 0 1 α β γ δ Het product noemen we C. Hierbij geldt dat α = a b 1, β = b xb 2, γ = c yb 3 en δ = z ab 1 bb 2 cb 3 αb 1 βb 2 γb 3. We willen dat δ zo klein mogelijk is. We weten dat δ > 0. Dit komt doordat A positief-definiet is. We gaan eerst proberen om de absolute waarde van elk niet-diagnonaalelement zo klein mogelijk te maken. Voor de eerste vergelijking is dit makkelijk. Hiervoor nemen we b 1 = a. Dan geldt dat α = 0. Daarnaast nemen b 2 = b/x en b 3 = c/y. Op deze manier is de absolute waarde van elk niet-diagonaalelement zo klein mogelijk. Uit hetzelfde argument als eerder gegeven werd, volgt dat C equivalent is aan 1 0 0 0 C = 0 x 0 β 0 0 y γ. 0 β γ δ Nu kunnen we de diagonaal van C ordenen. We houden nu 192 matrices over. Helaas zijn niet alle matrices Minkowski-gereduceerd. Een aantal matrices hebben een nietdiagaonaalelement c i,j die gelijk is aan c i,i en zijn de elementen c i,k gelijk aan nul (hiervoor geldt i < j en i k j). Deze matrices kunnen we vermenigvuldigen met een matrix B GL 4 (Z). Deze B is gelijk aan I 4 met b i,j = 1. Nadat we deze vermenigvuldiging hebben uitgevoerd en de diagonalen van de nieuwe matrices geordend hebben, houden we 183 matrices over. Van 6 matrices kunnen we nog laten zien dat deze niet Minkowskigereduceerd zijn. Voor deze 6 matrices C geldt namelijk dat 2c 3,4 >= c 3,3, c 2,2 = c 2,3 of c 2,2 = c 2,4. We hebben nu 177 gramianen over. We willen weten of deze gramianen Minkowski-gereduceerd zijn. Voordat we dit doen, bewijzen we eerst twee proposities. Propositie 3.5. Laat A een symmetrische geordende matrix van de vorm x 0 a 0 y b a b z met 2 a x en 2 b y. Dan is A Minkowski-gereduceerd. 23

Bewijs. Zonder verlies van algemeenheid geldt dat a 0 en b 0. Het bewijs van deze propositie gaat hetzelfde als het bewijs van Propositie 3.3. We gaan A vermenigvuldigen met een matrix B GL 3 (Z). Dit product noemen we C. Uit hetzelfde argument als in het bewijs van Propositie 3.3, volgt dat B van de volgende vorm is: 1 0 b 1 0 1 b 2. 0 0 ±1 Zonder verlies van algemeenheid laten we b 3,3 gelijk aan 1. Nu volgt dat 1 0 0 x 0 a 1 0 b 1 x 0 α C = 0 1 0 0 y b 0 1 b 2 = 0 y β b 1 b 2 1 a b z 0 0 1 α β γ met α = a b 1 x, β = b b 2 y en γ = z b 1 a b 2 b b 1 α b 2 β. Als we γ uitschrijven, dan krijgen we γ = z + b 2 1x 2b 1 a + b 2 2y 2b 2 b. We weten dat 2a x en 2b y, dus dan volgt dat 2b 1 a b 2 1x en 2b 2 b b 2 2b voor alle b 1, b 2 Z. Hieruit volgt dat γ = z + b 2 1x 2b 1 a + b 2 2y 2b 2 b z. Propositie 3.6. Laat A een symmetrische geordende matrix van één van de volgende twee vormen: x 1 a x 1 0 1 y 0, 1 y b. a 0 z 0 a z met x > 1. Als geldt dat 2 a x of 2 b y, dan is A Minkowski-gereduceerd. Bewijs. Het bewijs gaat hetzelfde als in de vorige propositie. Zonder verlies van algemeenheid geldt dat a 0 en b 0. We gaan A vermenigvuldigen met een matrix B GL 3 (Z). Dit product noemen we C. We kunnen nu weer B schrijven als 1 0 b 1 0 1 b 2. 0 0 ±1 Zonder verlies van algemeenheid laten we b 3,3 gelijk aan 1. Nu volgt dat 1 0 b 1 1 0 b 1 x 1 α C = 0 1 b 2 A 0 1 b 2 = 1 y β. b 1 b 2 1 0 0 1 α β γ We hebben in de propositie twee gevallen genoemd. Als we A voldoet aan het eerste geval, dan volgt dat α = a b 1 x b 2, β = b 1 b 2 y en γ = z b 1 a b 1 α b 2 β. Hieruit volgt dat γ = z + b 2 1x + 2b 1 b 2 + b 2 2y 2b 1 a. Als A voldoet aan het tweede geval, dan volgt dat α = b 1 x b 2, β = b b 1 b 2 y en γ = z b 2 b b 1 α b 2 β. Hieruit volgt dat γ = z + b 2 1x + 2b 1 b 2 + b 2 2y 2b 2 b. 24

De vergelijkingen voor γ lijken erg op elkaar. Daarom gaan we alleen het eerste geval behandelen. Het tweede geval gaat hetzelfde. We kunnen, in het eerste geval, γ schrijven als γ = z + b 2 2(y 1) + (b 1 + b 2 ) 2 + b 1 (b 1 (x 1) 2a). We willen weten of er b 1, b 2 Z bestaan zodat γ < z. De enige term, in de vergelijking van γ, die negatief zou kunnen worden is b 1 (b 1 (x 1) 2a), want y > 1. We gaan eerst kijken wanneer b 1 (x 1) 2a negatief is. Deze term is negatief als b 1 < 2a x 1. We weten dat 2 a x. Dan volgt dat 2a x. We weten dat b x 1 x 1 1 Z, dus b 1 1. Als we b 1 Z 1 nemen, dan geldt b 1 (b 1 (x 1) 2a) 0. We laten nu b 1 = 1. Dan volgt voor alle b 2 Z dat γ = z + b 2 2(y 1) + (b 2 + 1) 2 + (x 1) 2a z + b 2 2(y 1) + (b 2 + 1) 2 1 z. Uit Propositie 3.3 en de twee bovenstaande proposities volgt nu dat de 177 gramianen Minkowski-gereduceerd zijn. De twee bovenstaande proposities gelden weliswaar alleen voor drie-dimensionale matrices, maar we kunnen alle uitbreidingen schrijven als 1 L 3 en de proposities toepassen op L 3. Daaruit volgt alsnog het gewenste resultaat. 3.4.2. Uitbreidingen van niet-diagonaalmatrices We moeten nog twee drie-dimensionale roosters uitbreiden. De gramianen die bij deze matrices horen, zijn 1 0 0 1 0 0 0 2 1 en 0 2 1. 0 1 4 0 1 5 Bij het uitbreiden hebben we drie variabelen. Deze variabelen moeten voldoen aan Cauchy-Schwarz. We kunnen nu niet alleen maar kijken naar matrices met niet-negatieve elementen. We kunnen wel eisen dat twee van de drie variabelen niet-negatief zijn. Dit doen we als volgt: we beginnen met een uitbreiding L 4. De gramiaan is dan te schrijven als: 1 0 0 a 0 2 1 b 0 1 x c. a b c 7 We noteren sign(x) als het teken van een getal x. We vermenigvuldigen L 4 met de matrix α 0 0 0 B = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 β 25

met α = sign(a)sign(c) en β = sign(c). Als we L 4 vermenigvuldigen met B, dan krijgen we de matrix 1 0 0 a 0 2 1 ± b 0 1 x c. a ± b c 7 Het teken van b in de matrix hangt af van het teken van c. Dit is namelijk het teken van c vermenigvuldigt met het teken van b. We gaan dus kijken naar roosters met gramianen A met alleen maar niet-negatieve elementen, behalve de elementen a 2,4 en a 4,2. Deze twee elementen mogen we negatief zijn. We gaan deze gramiaan vermenigvuldigen met een matrix B, die van de volgende vorm is: 1 0 0 b 1 0 1 0 b 2 0 0 1 b 3. 0 0 0 1 Als we deze vermenigvuldiging uitvoeren, dan krijgen we de matrix 1 0 0 α C = 0 2 1 β 0 1 x γ α β γ δ met α = a b 1, β = b 2b 2 b 3, γ = c b 2 xb 3 en δ = y ab 1 bb 2 cb 3 αb 1 βb 2 γb 3. We willen dat δ zo klein mogelijk wordt. Doordat A positief-definiet is, geldt dat δ > 0. We gaan eerst proberen om de absolute waarde van de diagonaalelementen te verkleinen. Als we b 1 = a nemen, dan volgt dat α = 0. Verder kiezen we b 2 = b/2. We nemen b 3 zodanig dat 0 c b 2 b 3 < x en we voeren de vermenigvuldigen van A en B uit. We gaan proberen om elke gramiaan Minkowski-gereduceerd te maken. Als we een gramiaan vinden die gelijk is aan een uitbreiding van een drie-dimensionale diagonaalmatrix, dan weten we dat deze gramiaan Minkowski-gereduceerd is. We hebben nu 93 gramianen waarvan we nog niet weten of ze Minkowski-gereduceerd zijn. Van een aantal gramianen kunnen we de elementen niet-negatief maken door ze met een diagonaalmatrix B te vermenigvuldigen. Deze B heeft op de diagonaal de elementen 1 en 1. Voor een aantal gramianen geldt dat 2a i,j > a i,i met i < j. Deze zijn niet-minkowski-gereduceerd. In Conde C.4 gaan we deze gramianen vermenigvuldigen met een nieuwe B zodat 2a i,j a i,i voor alle i < j. we zullen ook zorgen dat de matrices geordend zijn. We houden nu 30 gevallen over. Voor een paar gevallen geldt dat niet-diagonaalelementen a 2,3, a 2,4 en a 3,4 gelijk zijn aan 1. Deze gramiaan A gaan we vermenigvuldigen met de matrix 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0. 0 0 0 1 26