Kwaliteit van ABC-drietallen

Transcriptie

1 H.E. Reijngoud Kwaliteit van ABC-drietallen Bachelorscriptie, juni 00 Scriptiebegeleider: Dr. B. de Smit Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden

2 Inhoudsopgave Het ABC-vermoeden 3 ABC-drietallen maken 4 3 Twee priemen 5 4 Minkowski 5 5 Meer priemen 9 5. Kwaliteit met Minkowski-grens LLL 6. Kwaliteit met LLL-grens Gevonden drietallen

3 Het ABC-vermoeden In 985 is het ABC-vermoeden bedacht door de wiskundigen David Masser en Joseph Oesterlé. Het vermoeden is een vrij eenvoudig probleem, waar geen diepe wiskunde voor nodig is om het te begrijpen. Het vermoeden bewijzen echter is een heel ander verhaal. Daar gaan wij ons in deze scriptie dan ook niet aan wagen. Voordat we verder kunnen gaan, moeten we eerst enkele begrippen introduceren. Definitie. Het radicaal r(n) van een positief geheel getal n is gedefinieerd als het product van de priemdelers van n; r(n) = p. () p n p priem Dus r(54) = r( 3 3 ) = 3 = 6 en r(38) = r( 9) = 9 = 38. Definitie. Een ABC-drietal is een drietal a, b, c Z >0 zodanig dat: i. a + b = c; ii. ggd(a, b, c) = ; iii. r(abc) < c. Definitie 3. De kwaliteit q van een ABC-drietal wordt gegeven door: q = log c log r(abc). () De kwaliteit van een ABC-drietal is dus altijd groter gelijk. Alle ABC-drietallen onder de 00 zijn te vinden in tabel, samen met hun radicaal en kwaliteit. a b c r(abc) q = log(r(abc)) 8 9 6, , , , , ,757 Stelling 4. Er zijn oneindig veel ABC-drietallen. Bewijs. Stel n Z. Neem a =, b = 9 n en c = 9 n. Dan heeft a geen priemfactoren, c heeft alleen 3 als priemfactor en b heeft als deler 8 = 3. Dus r(b) b 4. Nu geldt r(abc) r(a)r(b)r(c) 3b 4 En dus is (, 9 n, 9 n ) een ABC-drietal voor elk natuurlijk getal n. Het ABC-vermoeden luidt nu: < c. (3) Vermoeden 5. Voor alle α > bestaan er slechts eindig veel ABC-drietallen met q α. 3

4 Als een sterke versie van dit vermoeden waar is, dan kunnen we dit gebruiken om, bijvoorbeeld, De laatste stelling van Fermat te bewijzen. Er is nu al wel een bewijs van deze stelling, maar dit is zeer complex en maar voor enkelen begrijpelijk. Stelling 6. Stel er bestaan geen ABC-drietallen met een kwaliteit q. Dan geldt voor n > Z, dat er geen positieve x, y en z bestaan zodat x n + y n = z n. Bewijs. Stel er bestaan getalen x, y en z zodanig dat x n + y n = z n. Dan is dit een ABC-drietal met a = x n, b = y n en c = z n. Hiervoor geldt r(a) = r(x), r(b) = r(y) en r(c) = r(z) en dus r(abc) r(xyz) xyz z 3. q = log(r(abc)) log(zn ) log(z 3 ) = n log(z) 3 log(z) = n 3. (4) Als we nu aannemen dat er geen ABC-drietallen bekend zijn met een kwaliteit q, dan volgt dat n 6. Maar voor n = 3, 4, 5 zijn er al relatief eenvoudige bewijzen voor de stelling van Fermat. [6] ABC-drietallen maken Als we de kwaliteit uitrekenen voor het drietal (, 9 n, 9 n ) zien we dat de ondergrens van de kwaliteit steeds lager wordt als we n groter nemen. q = log(r(abc)) (5) = > = log( 3b 4 ) (6) n log 9 log( 3 4 ) + log(b) (7) n log 9 log( 3 4 ) + (8) n log 3 n log 3 + log( 3 4 ) (9) = + log 4 3 n log 3 (0) > + 8n. () Als het ABC-vermoeden waar is, kunnen we op geen enkele manier een rijtje ABC-drietallen maken waarvoor de kwaliteit niet-dalend is. We gaan dus op zoek naar een methode om oneindig veel drietallen te maken, maar waarvan de kwaliteit zo langzaam mogelijk naar zal gaan. Om een beeld te krijgen van hoe groot de kwaliteit is die we zouden willen bereiken en hoe moeilijk dit waarschijnlijk is, hebben we de volgende tabel opgenomen: kwaliteit groter dan aantal tot nu toe gevonden laatste gevonden ( ).6 3 Brzezinski, 4 januari Dokchitser, 8 april Rubin,3 april 00 ((*)voor recent gevonden drietallen kijk op desmit/abc/) Het drietal met de hoogste kwaliteit die tot nu toe bekend is, is = 3 5. Dit drietal heeft kwaliteit q =.699 en is gevonden door de Franse wiskundige Eric Reyssat in

5 3 Twee priemen Geïnspireerd door het drietal van Reyssat gaan we eerst proberen een makkelijk drietal te maken. Met makkelijk bedoelen we hier een drietal met weinig verschillende priemdelers. We bekijken het geval dat r(bc) = 6. Stelling 7. Er bestaat een δ > 0 zodanig dat er oneindig veel ABC-drietallen (a, b, c) bestaan met r(bc) = 6 en log(log c) δ q +. () log c Het bewijs van deze stelling zullen we aan het einde van paragraaf 4 geven. Hier geven we een een schets van de methode. Stel (a, b, c) is een ABC-drietal met r(bc) = 6. Dan is b c = x 3 y met x, y Z, xy < 0. Het maximaliseren van q = Merk op: log(r(abc)) log(r(abc)) = log(r(a)) is natuurlijk hetzelfde als log(r(abc)) + log(r(bc)) minimaliseren. log(a) + log 6. (3) De term log 6 log(a) is klein. We willen dus minimaliseren. Omdat a = c b, willen we dus bereiken dat b c. En dus b c en log( b c ) 0, oftewel x log +y log 3 0. Voor het oplossen van dit soort problemen bestaan erg mooie technieken. Eén van die technieken is het vertalen van het vinden van een paar (x, y), naar het vinden van een korte vector in een rooster. De paren (x, y) maken op natuurlijke wijze een rooster, namelijk het rooster Z (x en y mogen namelijk alleen gehele getallen zijn). In dit rooster willen we een norm, zodat we over afstand en lengte kunnen praten. Maar niet de standaard norm, want dan zou (0, ) een kortste vector zijn, en + = 3 is geen ABC-drietal. De kwadratische vorm welke wij nemen is: Q(x, y) = (x log ) + (y log 3) + N(x log + y log 3) (4) met N Z >0, deze zullen wij later bepalen. Merk op dat Q(x, y) = 0 dan en slechts dan als x = 0 én y = 0. Als Q(x, y) klein is, dus als we een korte vector hebben, dan zijn alle 3 de termen klein. Als N groot is, moet x log + y log 3 heel klein zijn. Enerzijds willen we nu dus N heel groot maken, zodat x log en y log 3 opgeteld bijna 0 zijn (en dus a klein en de kwaliteit hoger). Met priemen hebben we het geluk dat er altijd een kortste vector te vinden is, maar het zal wel steeds moeilijker worden. Deze ideeën zullen we gaan gebruiken in de volgende sectie. 4 Minkowski Neem V een eindig dimensionale vectorruimte over R. Een kwadratische vorm op V is een afbeelding Q : V R (5) met (i) Q(λv) = λ Q(v), λ R, v V, (ii) Q(v) = 0 v = 0, (iii), : V V R v, w (Q(v + w) Q(v) Q(w))is bilineair. Merk op dat, een inproduct is en v, v = Q(v). Als V = R m en Q(x x m ) = x + +x m = x de standaard norm, dan is x, y = i x iy i het standaard inproduct. Een ondergroep L V heet een rooster, als L een stel voortbrengers e,..., e n heeft dat lineair onafhankelijk is over R. 5

6 Definitie 8. Laat L een rooster, Q een kwadratische vorm en, het inproduct dat bij Q hoort. Zij e, e,..., e n een basis van L, dan is d(l) := det( e i, e j ) i,j (6) de determinant van het rooster. Lemma 9. De determinant d(l) is onafhankelijk van de keuze van de basis e, e,..., e n. Bewijs. Zij f, f,..., f n een andere basis van het rooster L en M de basistransformatiematrix van e naar f. De matrix M en ook M hebben coëfficienten in Z, want f i is een roosterpunt en dus een gehele combinatie van de e j s, en omgekeerd. Dus det(m) = ±. Nu geldt det( f i, f j ) i,j = det( e i, e j ) i,j det(m) = det( e i, e j ) i,j. (7) Lemma 0. Laat N R >0. Zij L = Z, Q(x, y) = (x log ) + (y log 3) + N(x log + y log 3). Dan d(l) = (log )(log 3) + N. Bewijs. Neem e = (, 0) T en e = (0, ) T. Dan geldt en e, e = Q(e ) = (log ) ( + N) (8) e, e = e, e (9) = ( (log ) + (log 3) + N(log + log 3) (0) ((log ) + N(log ) ) ((log 3) + N(log 3) ) () = N(log )(log 3). (3) En dus: d(l) = e, e e, e e, e e, e (4) = (log ) ( + N) N(log )(log 3) N(log )(log 3) (log 3) ( + N) (5) = (log ) (log 3) ( + N) N (log ) (log 3) (6) = (log ) (log 3) ( + N) (7) = ((log )(log 3) + N). (8) Lemma. Zij L R n een rooster, Q een kwadratische vorm met bijbehorend inproduct, en x R n zodanig dat l L : x, l = 0. Laat L = L x Z. Dan geldt d(l ) = Q(x) d(l). 6

7 Bewijs. Zij e, e,..., e k een basis van L. Noem x = e 0, dan is e 0, e,..., e k een basis van L. d(l ) = det( e i, e j ) i,j (9) = x, x e, e e k, e k (30) = x, x det( e i, e j ) i,j (3) = Q(x) d(l). (3) Een andere manier om het volume van ons rooster uit te rekenen is nu als volgt: Bekijk de afbeelding L = Z R 3 welke gegeven wordt door Φ : (x, y) x log y log 3 N(x log + y log 3). (33) Opmerking: Voor alle (x, y) Z geldt Q(x, y) = Φ(x, y), waarbij. de standaard norm op R 3 is. N Een vector die loodrecht op ons rooster Φ(L) staat is: N. De norm van deze vector is + N. Wegens lemma ; d(l) + N = log 0 N 0 log 3 N N log N log 3 (34) = log log 3 0 N (35) = (log )(log 3)( + N). (36) En dus d(l) = (log )(log 3) + N. In 889 heeft Hermann Minkowski de volgende stelling bewezen: Stelling (Minkowski). Elk rooster L met positieve rang n bevat een niet-nul element x waarvoor geldt Q(x) 4 π n!/n d(l) /n n d(l) /n. In ons geval betekent dit het volgende: L = Z, dus de rang is. En dus is er een x Z /{0} zodat Q(x) 4 π d(l). 7

8 Omdat we in een twee-dimensionaal rooster werken, kunnen we vrij eenvoudig zien of we dit resultaat kunnen verbeteren. Volgens [] is het best mogelijke resultaat de Hermite constate 4 γ = 3. Het is namelijk zo dat 4 π.7 en Een bewijs van de stelling van Minkowski kan gevonden worden in []. In het bewijs wordt alleen aangetoond dat er zo n vector bestaat, niet hoe we deze kunnen vinden. Bewijs. (stelling 7) Neem L = Z. Voor elke N > 54, 8 en N R,gaan we een ABC-drietal maken. Q(x, y) = Q N (x, y) = (x log()) + (y log(3)) + N(x log() + y log(3)). (37) met behulp van lemma 0 weten we; d(l) = (log())(log(3)) + N. En met behulp van stelling weten we dat er (x, y) bestaan zodat Q(x, y) < d(l) = (log())(log(3)) + N. Laat (x, y) als in stelling. Neem C = 6(log )(log 3) dan kunnen we Q(x, y) afschatten met C N.Voor x, y en t = x log + y log 3 moeten we iets meer werk doen. In het slechtste geval (dus x zo groot mogelijk), geldt dat Q(x, y) = (x log ), en dus dat x < C 4 N. Op dezelfde manier krijgen we y < C log 3 4 N en t < C 4 N. We hebben al afgeschat dat C 4 > t = x log + y log 3 = log( b N c ) = log( a ). (38) c Voor 0 < x <, geldt log( x) = x + x + x3 3 + O(x4 ). En dus x < log( x). We hebben 0 < a c <. We mogen dus schrijven log( a c ) > a c. Hieruit volgt c a > 4 N C en dus log( c a ) > 4 log N log C. Nu kunnen we een afschatting gaan maken voor de kwaliteit q. Omdat ggd(a, b, c) = geldt r(abc) = r(a)r(b)r(c) en omdat b, c alleen bestaan uit een veelvoud van of van 3 geldt r(abc) = 6r(a). En dus log r(abc) = log 6 + log r(a) log 6 + log a. (39) Nu hebben we q = log c log r(abc) log() (40) = log c log a + log 6 log c log a log 6 log c (4) (4) + log(c/a) log 6. (43) log c De laatste ongelijkheid mogen we gebruiken, omdat voor alle x < geldt dat x + x. Stel dat c = x, dan kunnen we log c afschatten met: C 4 x log 4 N log = C N. (44) log Als c = 3 y, dan krijgen we op dezelfde manier dat C 4 N. Als we dit combineren krijgen we: q + 4 log N log C log(6). (45) 8

9 Omdat log() log(c ) + 4 log(n), geldt 4 log(n) log() log(c ). En dus q + log() δ (46) met δ = 3 log((log())(log(3))) + log(6). Als N > 54, 8 > C 6 = 7(log()(log(3)), dus 4 log(n) log(c ) log(6) > 0 en is de kwaliteit q groter dan. Voor elke N > 54, 8 vinden we nu een ABC-drietal (a N, b N, c N ). Dit kunnen niet allemaal dezelfde drietallen zijn, omdat we al eerder hebben gezien dat moet gelden 4 N < C t. Dus er bestaan oneindig veel ABC-drietallen (a, b, c) met r(bc) = 6 en q + log(log c) δ log c (47) voor zekere δ > 0. Merk op dat een hogere N niet automatisch een ABC-drietal met een hogere kwaliteit oplevert. Stel nu dat we N = 0000 nemen. Dan geven de afschattingen dat x < 9.55 en y <.34. Omdat 9 < 3 is nu b = 9 = 5488, c = 3 = 5344 en a = 753 = 3 3. We hebben nu dus log(3 een ABC-drietal met kwaliteit q = ) log( 3 3 3).36. We weten ook al dat = 8 een ABC-drietal is, en wel met q = log(8 ) log( 3 3).7. Dit is een beter ABC-drietal dan welke we daarnet gevonden, zodat we dus alle combinaties van x en y moeten uitproberen om het drietal met de hoogste kwaliteit te krijgen. 5 Meer priemen Stel dat we een ABC-drietal gaan maken waarbij de b en de c uit de eerste n priemgetallen, p, p,..., p n mogen bestaan. We willen y,..., y n, z,..., z n Z 0 vinden zodanig dat y i 0 z i = 0 én z i 0 y i = 0. Dan definiëren we b = p y pyn n en c = p z pzn n. Merk op dat de eis die we aan de y i s en de z i s hebben opgelegd ervoor zorgen dat b en c copriem zijn. Bovendien willen we dat c b = a klein is, dus b c = py pyn n zal dicht bij moeten liggen. Definieer nu x i voor i =,..., n door b c = px pxn n p z pzn n met x i Z (dus x i = y i z i en als x i positief is, dan is p xi i een deler van c). een deler van b en als p i negatief is, dan is p xi i Als b c, dan geldt log( b c ) 0, oftewel x log(p ) + + x n log(p n ) 0. Neem L = Z n V = R n, met Q gegeven door Q(x, x,..., x n ) = Q( x) = i (x i log(p i )) + N( i x i log(p i )), met N R 0 nog nader te bepalen. Om nu het volume d(l) van ons rooster te bepalen bekijken we de volgende afbeelding: L R n+ gegeven door x ( (x i log p i ) n i=, ( x i log p i ) N ). De vector loodrecht op ons rooster is dan ( N, N,..., N, ) T R. Op dezelfde manier als voor priemen kunnen we nu uitrekenen: d(l) + nn = det log(p ) 0 0 N log(p n ) N log(p ) N log(p n ) N (48) 9

10 = det log(p ) log(p n ) 0 nn (49) = ( i log p i )( + nn). (50) En dus d(l) = ( i log p i) + nn. Er bestaat wegens stelling een vector met lengte ( Q( x) 4 π n!/n ( i log p i ) + nn) /n n ( ( i log p i ) + nn) /n. (5) We zullen het volgende lemma van Stewart en Tijdeman gaan gebruiken. Lemma 3. Zij p < p <... < p n de eerste n priemgetallen en zij δ > 0. Dan hebben we, voor voldoende grote n; i p n < n log(n) + n log(log(n)) ( δ)n; ii n i= log p i < n log(n) + n log(log(n)) ( δ)n; iii n i= (log log(p i)) < n(log log(n) + δ). Bewijs. Zie []. 5. Kwaliteit met Minkowski-grens In deze sectie zullen we een bewijs geven, geïnspireerd op het bewijs van stelling uit []. Stelling 4. Er bestaan oneindig veel ABC-drietallen (a, b, c) met kwaliteit q > + log. (5) Bewijs. We willen N kiezen zodat d(l) = n n (log(n)) n. Hiervoor definiëren we N R (N > n ) door n log(n) + n log log(n) = n i= log log(p i ) + (log(n) + log(n + )). (53) n We hebben nu: log(n + ) n = n log(n) (54) +n log log(n) (55) +n log log(n) (56) log log(p i ) (57) log(n) (58) 0

11 Zij δ > 0 en n voldoende groot. Wegens lemma 3(iii) geldt dan Dus dan hebben we n log log(n) log log(p i ) > δn (59) log(n + n ) > (n ) log(n) + n(log log(n) δ) (60) Merk op dat dit een stijgende functie is en zelfs naar gaat als n groeit. In het bijzonder geldt nu voor n voldoende groot log(n + n ) > 0 (6) en dus N + n > en dus N > 0. En dan is L gedefiniëerd met Q zodat d(l) = n n (log(n)) n. De stelling van Minkowski(stelling ) vertelt ons dan dat er een x L, x 0 is zodat Q( x) n d(l) /n = n (n n (log(n)) n ) /n = n (n (log(n) 4 ) = n 3 (log(n)) 4. (6) Op soortgelijke wijze als voor priemen kunnen we nu een ondergrens voor de kwaliteit q vinden. De getallen b en c bestaan alleen uit machten van de eerste n priemgetallen én ggd(b,c)=. Definiëer b en c uit (x,, x n ) L zodanig dat p xi i b als x i > 0 en p xi i c als x i < 0. We kunnen dus schrijven: b c = px px pxn n. (63) En dus Nu geldt dus log(r(abc)) = log(r(a)) + log(r(bc)) (64) n log(r(a)) + log(p i ) (65) log(a) + i= n log(p i ). (66) i= q = log(r(abc)) (67) log(a) + Σ log(p i ) (68) = log(a) Σ log(pi). (69) Omdat log(a) = log c a Verder weten we dat én 0 < log(a) Σ log(pi) < geldt: q + log( c a ) Σ log(p i). (70) a c log( a c ) = log b c = Σ(x i log(p i )) Q( x). (7) N

12 Met de laatste ongelijkheid omdat Q( x) = N( (x i log(p i ))) + (x i log(p i )) en (x i log(p i )) > 0. Dus log(a) > log(n) 3 log(n) log log(n) (7) > n log(n) + n log log(n) δn (73) (laatste stap wegens (6)). Dus log(a) log(p i ) > ( δ)n, en dus q + ( δ)n. (74) We hebben b en c zo gemaakt dat + log(b) = ( x i log(p i )). En dus ( x i log(p i )) (75) n Q( x) (76) n (log(n)). (77) (Voor de tweede ongelijkheid hebben we gebruik gemaakt van de Cauchy-Schwartz-ongelijkheid met het standaard inproduct op R n. Het gekregen volgt dan uit: Σ x i log(p i ) < Q( x).) Nu is f : t t log(t) een stijgende functie voor t en dus geldt voor c 608 = e7.383 : f() f(n (log(n)) ). Dus log n log(n) (log(n) + log log(n)) n. (78) Hieruit volgt: En dus: n n q > + log. (79) log. (80) 6 LLL Stelling 5. In elk rooster L met positieve rang n is een niet-nul element x te vinden zodat Q(x) (n )/ d(l) /n. Bewijs. Zie [] Voor vectoren werkt het LLL-algoritme als volgt: Neem vectoren b = (x, y ) en b = (x, y ), zodat b geen veelvoud is van b. Het inproduct, wordt nu gegeven door: b, b = Q(b ) (8) = Q(x, y ) (8) = (x log ) + (y log 3) + N(x log + y log 3) ; (83) b, b = (Q(b + b ) Q(b ) Q(b )). (84)

13 Zij m het dichtstbijzijnde gehele getal van b,b b,b. Vervang nu b door b = b mb. Voor b geldt nu b, b b, b. Als nu ook geldt Q(b ) Q(b ), dan hebben we de korste vector gevonden, namelijk b. Zo niet, doe dan het proces nog een keer met de b := b en b := b. Omdat er slechts eindig veel vectoren korter zijn dan onze eerste b is dit een eindig proces. Deze methode voor vectoren is niet nieuw. In 80 gebruikte Gauss dit al bij het rekenwerk aan zijn binaire kwadratische vormen. Voor de methode met n vectoren, zie []. 6. Kwaliteit met LLL-grens Als we een ondergrens voor de kwaliteit willen bepalen als we de LLL-grens nemen, dan verschilt deze in het begin erg weinig van de kwaliteit met de Minkowski-grens. Pas bij (7) verandert er wezenlijk iets. De stelling van LLL geeft ons: Q( x) (n )/ d(l) /n (85) = (n )/ (n (log(n) )) /n (86) Dan wordt de kwaliteit; En dan krijgen we = (n )/ n (log(n)) 4. (87) q > + (( δ)n. (88) Σ( x i log(p i )) (89) Met deze afschatting van krijgen we nu ( n q( x) (90) (n )/4 n 3/ (log(n)). (9) (n ) ) log > log. (9) 4 ɛ Als we dit combineren dan krijgen we als ondergrens voor de kwaliteit q > + log. (93) Merk op dat dit dus nauwelijks beter is dan wanneer we enkel de priemen en 3 zouden gebruiken. 6. Gevonden drietallen De grens voor de kwaliteit die we daarnet gevonden hebben is slechts een ondergrens. De kwaliteit log van het drietal is minstens + en zou dus best hoger uit kunnen komen. Laten we nu voor enkele drietallen gaan bekijken hoe de kwaliteit in de praktijk uitvalt. a b c n q Minkowski LLL

14 Referenties [] H.W. Lenstra Jr, Lattices, Algorithmic Number Theory, volume 44, (008), 7-8. [] R. Tijdeman, C.L. Oesterlé, On the Oesterlé-Masser Conjecture, Monatshefte für Mathematik, 0, (986), [3] B. van Dalen, De geschiedenis van het abc-vermoeden, (005). [4] J. Bosman, Op zoek naar goede ABC-hits (II), ada649b/talks/abc.pdf, (005) [5] G. Geuze, Verslag van het Leraar in onderzoek-project abc-vermoeden, 78PDCR, (007). [6] H.M> Edwards, Fermat s last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory., Graduate Texts in Mathematics, 50, (977), sectie.5, hoofdstuk, sectie