Betrouwbaarheid va ee steekproefresultaat m.b.t. de hele populatie Verschillede steekproeve uit eezelfde populatie levere verschillede (steekproef) resultate op. Dit overmijdelijke verschijsel oeme we steekproefvariabiliteit. Je ka je da de vraag stelle wat de bruikbaarheid is va ee steekproefresultaat, als dit blijkbaar oderhevig is aa de grille va het toeval Het feit dat uit éé steekproef blijkt dat 70% va de leerlige opieuw voor JVR zoude kieze idie ze i het 6 de leerjaar zoude zitte, belet immers iet dat ee adere steekproef slechts 9% leerlige aatreft die opieuw voor JVR zoude kieze als hu middelbare school. Volged gedachteexperimet laat os toe a te gaa wat de gevolge va de steekproefvariabiliteit zij. Voorbeeld: Om de bruikbaarheid va ee EAS (ekelvoudig aselecte steekproef) te achterhale, beschouwe we eve ee fictieve situatie waarbij we het kemerk va de hele populatie eigelijk al kee: zo kue we metee steekproefresultate vergelijke met de gekede waarde va de populatie. Stel eve dat de werkelijke proportie Vlaamse jogere va de derde graad die mistes 1 sigaret per dag rookt precies 30% is. We oeme deze populatieproportie p. We oderzoeke welke steekproefproporties p (lees: p-dakje ) zoal kue optrede bij ee ekelvoudig aselecte steekproef va 1200 leerlige. De variabiliteit va de steekproefproportie kue we oderzoeke door os de vraag te stelle: Wat zou er gebeure mochte er heel veel EAS va 1200 eehede geome worde? Er worde daartoe 1000 iterviewers igehuurd, die op pad gaa i heel Vlaadere e daar elk hu EAS va 1200 leerlige samestelle. Hieroder zie je het resultaat va de eerste 4 va die 1000 fictieve iterviewers: EAS 1 EAS 2 EAS 3 EAS 4 = 1200 = 1200 = 1200 = 1200 ja: 342 ja: 355 ja: 394 ja: 371 342 p1 0,285 1200 355 p2 0,296 1200 394 p3 0,328 1200 371 p4 0,309 1200
Elke iterviewer bereket zij steekproefproportie p i aatal dagelijkse ro ker s i de steekproef aatal successe 1200 steekproefgrootte. i 1,2,3,...,1000 m.b.v. de formule Oderstaade resultate zij otstaa door simulatie met ee computer: deze heeft 1000 keer ee EAS va 1200 eehede perfect agebootst, waarbij de kas op ee dagelijkse roker telkes 30% was. Oderstaade grafiek geeft de steekproefproporties va de 200 eerste iterviewers weer, afgerod tot op ee duizedste: elk bolletje stemt overee met 1 resultaat, gelijke resultate worde op elkaar gestapeld. We stelle vast dat de steekproefproporties tusse 0,28 e 0,32 vaker voorkome da de adere. Het feit dat de waarde 0,298 zich 12 keer heeft voorgedaa, wat opvalled meer is da de adere steekproefproporties, is louter aa het toeval te wijte. Bovestaade weergave geeft ee te grillig patroo voor 1000 iterviewers, vadaar dat we de steekproefproporties va alle (1000) iterviewers weergeve door ee histogram. De breedte va elke balk komt overee met ee iterval va mogelijke waarde voor de steekproefproportie p. De hoogte geeft aa hoeveel steekproeve ee proportie hadde i dat iterval (dit komt dus ook overee met het aatal bolletjes uit de bovestaade grafische voorstellig). Het hele histogram geeft de zogeaamde steekproefverdelig weer va de oderzochte grootheid. Het is de grafische voorstellig va alle idividuele steekproefproporties va de 1000 iterviewers.
Uit de steekproefverdelig leide we 2 kemerke af. 1. Afwezigheid va vertekeig De gemiddelde waarde va alle steekproefproporties p i is 0,29983 e komt dus zeer goed overee met de werkelijke populatieproportie, l. p = 0,30. Dit beteket dat er wel iterviewers zij met ee steekproef met ee te hoge of ee te lage proportie i vergelijkig met de populatie, maar de afwijkige zij iet systematisch te hoog of te laag. Er zij er ogeveer eveveel met ee iets te hoge als ee iets te lage steekproefproportie. De afwijkige zij louter door het toeval bepaald e iet het gevolg va ee slechte samestellig va de steekproef. 2. Beperkte variabiliteit Hoewel je i pricipe proporties tusse 0 e 1 ka vide, blijke alle opgemete waarde va 0,257 t.e.m. 0,34 te gaa. Met adere woorde de steekproeve vergisse zich i dit voorbeeld ooit met meer da 0,05 of 5% te opzichte va de werkelijkheid. Het meredeel va de steekproefproporties wijkt zelfs met hoogstes 0,025 of 2,5% af.
Het feit dat de steekproefproporties va verschillede steekproeve variabel zij, beteket dus blijkbaar helemaal iet dat ze lukraak zij, dat is ee groot verschil! Niet alle waarde va p zulle zich zomaar voordoe. Bij ee EAS met steekproefgrootte 1200, zoals hierbove, blijke ze alle i de omiddellijke omgevig va de gezochte populatieproportie te ligge (symmetrisch gegroepeerd rod de gezochte populatieproportie p). Dat is goed ieuws: de ozekerheid, die met elke steekproefemig gepaard gaat, is dus ee beperkte ozekerheid. De steekproefverdelig geeft os ee zicht op het toevallige karakter va steekproefresultate. Ze toot os de regelmaat die achter de variabiliteit verschole zit. Zoder het bestaa va dergelijke steekproefverdelig zou de statistiek iet mogelijk zij: jouw steekproefresultaat zou gee ekel verbad toe met het steekproefresultaat va iemad aders over dezelfde populatie. Probleem is echter dat je als statisticus dergelijke steekproefverdelig ooit te zie krijgt, aagezie je altijd maar éé ekele steekproef uit de populatie eemt. De steekproefverdelig is het atwoord op de vraag: Wat zou er gebeure mochte we deze steekproefemig heel vaak herhale? Gelukkig stelde we vast dat bij ee EAS de meeste steekproefproporties heel dicht bij de populatieproportie ligge. We kue er dus vrij zeker va zij dat éé ekel steekproefresultaat, wat je i de praktijk altijd maar hebt, os ee resultaat zal geve dat dicht bij de waarheid ligt. We probere u vrij zeker e dicht bij de waarheid wat preciezer te omschrijve.
Waeer we kijke aar de 1000 iterviewers zie we dat 944 ee steekproefproportie p vode tusse 0,275 e 0,325 ( [0,275;0.325] ). Uit deze vaststellig kue we i 3 stappe kome tot ee statistische uitspraak, die de betrouwbaarheid va ee idividuele steekproef uitdrukt. STAP 1: ee globale uitspraak over alle steekproeve 94,4% va alle steekproeve geve ee proportie bie ee afstad va 0,025 (2,5%) t.o.v. de werkelijke populatieproportie. Deze uitspraak zegt al iets over de grootte va de variabiliteit bij het gros va de steekproefresultate. Door slechts 94,4% va de cetrale resultate te eme, worde de 5,6% meest extreme waarde buite beschouwig gelate. Vrij dicht bij de waarheid beteket dus op ee afstad va iet meer da 0,025 (2,5%). Dat de steekproefproporties symmetrisch rod het gemiddelde ligge, is het gevolg va het gebruik va ee EAS.
STAP 2: ee uitspraak over ee idividuele steekproef Voor de statisticus is de uitspraak uit stap 1 echter weiig relevat: i de praktijk eem je immers slechts 1 steekproef. De redeerig met 1000 steekproeve is slechts ee gedachteexperimet. Elke iterviewer ka dakzij de steekproefverdelig echter zegge: Mij steekproefproportie heeft ee kas va 94,4% om bie ee afstad va 0,025 (2,5%) te ligge t.o.v. de werkelijke populatieproportie. Deze tweede uitspraak maakt duidelijk wat we met vrij zeker (94,4% kas) e dicht bij de waarheid (0,025) bedoele. Die kas va 94,4% oemt me het betrouwbaarheidsiveau va de uitspraak, die 0,025 de foutemarge (maximale afwijkige) bij dat betrouwbaarheidsiveau. Alle 1000 iterviewers kue die uitspraak doe, 944 oder he hore ook daadwerkelijk bij die groep die hooguit 0,025 afwijkt t.o.v. de werkelijkheid, al weet iemad of dat voor hem / haar het geval is. STAP 3: ee geijkte statistische uitspraak over de populatie Iferetie houdt i dat a.d.h.v. éé steekproefresultaat ee uitspraak wordt gedaa over de oderzochte populatie, iet over het eige resultaat. De uitspraak de populatieproportie ligt bie ee afstad va 0,025 va mij steekproefresultaat is duidelijk iet algemee geldig. Hoewel 944 va de 1000 iterviewers op die maier ee correcte uitspraak zoude doe, zulle 56 ee verkeerde bewerig verspreide i.v.m. de populatieproportie p. Statistici wille echter betrouwbare uitsprake doe e geve daarom eerlijk aa dat ze slechts ee kas va 944 op 1000 (94,4%) hebbe om de werkelijke populatieproportie te hebbe gevage i hu iterval. Ee correcte uitspraak voor alle iterviewers is dus: Met ee betrouwbaarheid va 94,4% ligt de populatieproportie p op ee iet meer da 0,025 va mij eige steekproefresultaat. Daarbij beteket de geijkte uitspraak met betrouwbaarheid va 94,4% : We gebruike ee methode (EAS) die i 94,4% va de gevalle ee iterval oplevert dat de werkelijke populatiewaarde bevat.
Op die maier is je statistische iferetie altijd correct, aagezie je op voorhad aageeft wat de betrouwbaarheid va je uitspraak is. Niemad ka je verwijte ee iterval op te geve dat de werkelijke populatieproportie iet bevat. Dat mag echter iet te vaak gebeure: werk je met ee betrouwbaarheid va 94,4%, da mag je je iet meer da 56 keer op 1000 vergisse met je iterval. Statistici werke iet met ee betrouwbaarheidsiveau va 100%, wat idie ze zich i gee ekel geval moge vergisse, kue ze maar éé dig zegge, l. dat de populatieproportie tusse 0% e 100% ligt. Dergelijke uitspraak heeft uiteraard weiig zi. We kue de bovestaade uitsprake ook grafisch voorstelle. De horizotale streepjes stelle de itervalle va elke iterviewer voor, bij ee betrouwbaarheid va 94,4%. Deze zij va de vorm pi0,025, pi0,025. Me oemt ze betrouwbaarheidsitervalle bij de gebruikte betrouwbaarheid. Het bolletje i het midde va elk betrouwbaarheidsiterval is de steekproefproportie p i va de iterviewer. Het zij alle schattige va de obekede waarde p.
Algemee is ee betrouwbaarheidsiterval va de vorm: B.I. = steekproefproportie foutemarge, steekproefproportie foutemarge = p f, p f I de praktijk wordt heel vaak gewerkt met ee betrouwbaarheidsiveau va 95%. Ook 99% wordt geregeld gebruikt. Waeer bij ee opiiepeilig het betrouwbaarheidsiveau iet wordt vermeld, da is het (meestal) gelijk aa 95%. We spreke af dat waeer i opgave va oefeige het betrouwbaarheidsiveau iet wordt vermeld we ee betrouwbaarheidsiveau va 95% eme. OPDRACHT 1: a. I plaats va ee betrouwbaarheidsiveau va 94,4%, wil je meer zekerheid: je wil e uitspraak kue doe die meer da 99% betrouwbaar is. Welke foutemarge moet je da gebruike? b. Wat is het betrouwbaarheidsiveau va het iterval [0,28;032[? OPDRACHT 2: I ee krat schrijft ee jouralist: Uit de laatste opiiepeilig blijkt dat 53% va de stemgerechtigde voor kadidaat A zulle stemme i de volgede presidetsverkiezige; deze peilig heeft ee foutemarge va 2%. Dus zij we zeker dat kadidaat A zal wie. Waar zit de fout i deze klassieke verkeerde iterpretatie va foutemarges? Geef ee juiste statistische uitspraak i.v.m. de betrouwbaarheud va dit opiieoderzoek. Opmerkig: Me ka theoretisch aatoe dat de betrouwbaarheid va ee EAS iet of auwelijks afhagt va de populatiegrootte, op voorwaarde dat de populatie mistes 10 keer groter is da de steekproef. Dit is ee grote opluchtig voor opiiepeilers: het is iet odig om ee bepaald percetage va de populatie te oderzoeke om betrouwbare resultate te verkrijge. Zowel i de Vereigde State, met zij meer da 300 miljoe iwoers als i België met 11 miljoe iwoers, hebbe steekproeve va dezelfde grootte eezelfde variabiliteit e dus dezelfde foutemarge bij ee bepaald betrouwbaarheidsiveau.
Bepale betrouwbaarheidsitervalle voor de populatieproportie met behulp va grafisch reketoestel Bij ee cotrole va ee steekproef va 400 lampe vod me er 45 slechte. We zoeke op grod hierva ee 95% betrouwbaarheidsiterval voor het percetage (= de proportie) slechte lampe i de hele populatie. Atwoord: [8,2%;14,3%] Oefeige Oefeig 1: I het oderzoek Tieertijd werde 1960 jogere tusse 10 e 18 jaar gepeild i.v.m. hu leefwereld. Dit oderzoek werd uitgevoerd door het Cetrum voor Bevolkigs- e Gezisstudies. Va die steekproef vode 45% va de kidere e jogere dat hu ouders te weiig tijd hebbe om te prate. Aagezie het oderzoek werd uitgevoerd door ee oderzoekscetrum, is het veratwoord te veroderstelle dat met ee betrouwbare steekproef werd gewerkt, ee EAS. Geef ee betrouwbaarheidsiterval met ee betrouwbaarheid va 95% e geef i gewoe taal de betekeis hierva. Oefeig 2: I de spaarpot va Kasper zitte ekel Belgische euromute va 2 euro. Joas wil u wete hoeveel geld er i de spaarpot va Kasper zit zoder het geld effectief te telle. Hij haalt 40 mute uit de spaarpot e vervagt ze door Frase euromute va 2 euro. Nadie schudt hij de spaarpot zodat de Frase mute voldoede gemegd zij met de Belgische e haalt hij opieuw 40 mute uit de spaarpot. Va de 40 mute blijke er 6 Frase bij te zij. Geef ee 90% betrouwbaarheidsiterval voor het bedrag dat i Kasper zij spaarpot zit.
Oefeig 3: I ee krateartikel staat: De ati-laster Liga, éé va de belagrijkste Amerikaase orgaisaties die zich bezighoudt met de strijd tege Jodehaat e racisme, zegt dat 30% va de Europeae vooroordele hebbe tegeover Jode. Het artikel besloot met: De opiiepeilig, gerealiseerd door het Taylor Nelso Sofres istituut, heeft ee foutemarge va 4,4%. a. Leg aa iemad, die weiig va statistiek afweet, uit wat dergelijke foutemarge va 4,4% beteket. b. Geef ekele kritische vrage die je bij deze peilig zou kue stelle; aders geformuleerd: zou je bijkomede iformatie wille vooraleer het cijfer aa te eme? Oefeig 4: Je hebt alle begrippe met betrekkig tot betrouwbaarheid va ee steekproefresultaat goed verwerkt, idie je de volgede vrage vlot e m.b.v. cocrete illustraties ka beatwoorde. a. Wat is het oderscheid tusse steekproefvariabiliteit e steekproefverdelig? b. Wat is het ut va die steekproefverdelig? c. Waarom hadde we die 1000 iterviewers odig, die elk 1200 persoe odervroege? Hadde we iet beter 1 grote steekproef va 1200000 persoe geome? d. Hoe veradert de foutemarge waeer je het betrouwbaarheidsiveau laat afeme? Leg uit.
PW: Betrouwbaarheidsitervalle Bij de studie va de ormale verdelig hebbe we gezie dat volgede belagrijke 68-95 - 99.7 regel geldt: Ogeveer 68% va de waaremige ligt bie ee afstad va Ogeveer 95% va de waaremige ligt bie ee afstad 2 va Ogeveer 99,7% va de waaremige ligt bie ee afstad 3 va Deze regel illustreert de rol va als maat va de spreidig va de populatiedata omhee het populatiegemiddelde. X Z N 0,1 1 Als X N, da is Door deze trasformatie wordt de cocrete waarde x i va X getrasformeerd i de waarde xi z i va Z. We oeme het z de stadaardscore of z-score va x. Uit de formule x z vode we dat de z-score aageeft hoeveel stadaardafwijkige de waarde i i x i verwijderd is va het gemiddelde. De z-scores gebruike we om data va verschillede ormale verdelige met elkaar te vergelijke. We wete dat ogeveer 68% va de waaremige i ee iterval va 1 stadaardafwijkig (z-score = 1) va verwijderd ligge. We kue dus zegge dat, ee betrouwbaarheidsiterval is met ee betrouwbaarheidsiveau va 68%. De correspoderede z-score bedraagt 1 e otere we als z 0,16. Dit geeft aa dat de oppervlakte rechts va z 0,16 gelijk is aa 16%. 1 Z is stadaard ormaal verdeeld met gemiddelde 0 e stadaardafwijkig 1.
OPDRACHT 1: Bepaal met behulp va je GRM de z-score die hoort bij ee betrouwbaarheidsiterval met ee betrouwbaarheid va 95%, m.a.w. z i, zi zodat ogeveer 95% va de waaremige i dit iterval ligge. De gezochte z-score zulle we otere als z 0,025. Dit geeft aa dat de oppervlakte rechts va z 0,025 gelijk is aa 2,5%. OPDRACHT 2: Om de proportie p va de Vlamige met bloedgroep O te bepale, worde 200 persoe oderzocht: 80 oder he hebbe bloedgroep O. Als schattig voor p eme we de 80 steekproefproportie p 0, 40 40%. Bepaal ee 95% betrouwbaarheidsiterval voor 200 p met behulp va je GRM. Stel X het aatal persoe met bloedgroep O bij ee steekproef va 200 persoe, da is X biomiaal verdeeld met parameters = 200 e p = kas op succes (bloedgroep O). Va biomiale stochaste wete we dat: X B,p met EX p e Var X 2 p q p 1 p X X X1 X2 X 3... X is ee som va oafhakelijke toevalsvariabele met ee Berouilli verdelig met parameter p. Volges de cetrale limietstellig moge we aaeme dat waeer ee grootheid te beschouwe is als de som va ee groot aatal, los va elkaar staade ivloede of oorzake, dat deze grootheid bij beaderig ormaal verdeeld is. Naarmate het aatal opgetelde oorzake groter is, wordt de ormale verdelig beter beaderd. Hieruit volgt dat ook dat de toevalsvariabele verdeeld is met gemiddelde p e stadaardafwijkig OPDRACHT 3: X P X eveees bij beaderig ormaal p 1 p Too aa dat het gemiddelde e de stadaardafwijkig va P gelijk is aa respectievelijk p e p 1 p..
Uit opdracht 1 wete we dat z 0,025 = 1,96, m.a.w. dat i 95% va de gevalle P ee waarde p aaeemt bie 1,96 stadaardafwijkige va het gemiddelde p: p 1 p p 1 p p 1 p p p 1,96 p 1,96 p p 1,96 OPDRACHT 4: Cocreet p 1 p p 1 p p 1 p 0,4 p 1,96 p 1,96 0,4 p 1,96 95% zekerheid. Los deze ogelijkheid op (je mag je GRM hiervoor gebruike). met Met 95% zekerheid is p gelege bie 1,96 stadaardafwijkige va het gemiddelde p of het gemiddelde p is gelege bie 1,96 stadaardafwijkige va p 1 p p 1 p p1, 96 p p1, 96 p : We beadere p 1 p door p1 p, dit levert het 95% betrouwbaarheidsiterval p 1 p p 1 p p1,96 p p1,96 OPDRACHT 5: Welk beadered betrouwbaarheidsiterval bekome we met p = 0,4 e = 200. Vergelijk met het exact bereked betrouwbaarheidsiterval uit opdracht 4 e met het betrouwbaarheidsiterval gevode via het GRM i opdracht 2. Besluit: Ee beadered betrouwbaarheidsiterval met betrouwbaarheidsiveau 1, voor ee populatieproportie p, wordt gegeve door pz 2 p1 p, waarbij p ee steekproefproportie is.