Stochastische loadflow. eschrijvig model belastig. 95 pmo 5-- Phase to Phase V Utrechtseweg 3 Postbus 68 AC Arhem T: 6 356 38 F: 6 356 36 36 www.phasetophase.l
95 pmo INHOUD Ileidig...3 eschrijvig belastig... 4 3 Stochastische modellerig...8 4 Implemetatie... 9 5 Coclusie...
3 95 pmo INLEIDING. Probleemstellig Nette voor elektriciteitsdistributie zij altijd vrij ruim gedimesioeerd. Omdat de belastig va klat tot klat sterk ka fluctuere, hebbe elektriciteitsbedrijve altijd het zekere voor het ozekere geome e de kabels dikker da strikt odig gekoze. De belastige worde i het otwerpproces altijd met hu maximale waarde aageome. Hierdoor wist de otwerper absoluut zeker dat de elektrische spaig ooit oder de gestelde eise zou kome. Tegewoordig worde de elektriciteitsbedrijve gedwoge (o.a. door de DTe) tot kostebesparig. Ee adere otwerpmethode te aazie va de kabels ka tot besparige leide. Door de itroductie va stochastische techieke i de modellerig va de belastige i het et, worde de marges mider groot geome e kue de kabels beter worde gekoze i relatie tot het werkelijke gedrag i de praktijk.. Doelstellig Otwikkele va ee ieuwe op stochastische techiek gebaseerde methode om belastige i ee et voor elektriciteitsdistributie te modellere e daarmee de toestad va ee distributieet door te rekee, zodaig dat ee kostebesparig op de ifrastructuur behaald wordt..3 Aapak I het project staa twee otwikkelige cetraal: Otwikkele va ee ieuwe op stochastische techiek gebaseerde methode om belastige i ee et voor elektriciteitsdistributie te modellere. Modellerig va ee ieuwe methode om met "ozekere" stochastische belastige de toestad va ee distributieet door te rekee. Het oderzoek wordt uitgevoerd met de volgede faserig: eschrijvig stochastisch model va de belastig eschrijvig algoritme va de stochastische loadflow. Techisch probleem: I het stochastische model wordt uitgegaa va begrippe als verwachtigswaarde e spreidig. Dat zij begrippe waar de otwerper va laagspaigsette gee raad mee weet. Er moet ee zodaige modellerig worde gekoze, dat ee vertaalslag va de huidige praktijk ka worde gemaakt. De modellerig wordt bepaald door het type va de belastig (soort gebruiker e opwekker) e het aatal belastige heeft ivloed op de gelijktijdigheid. De mogelijkheid om de belastige voldoede e eeduidig met stochastische parameters te kue beschrijve is ozeker. Zodra de modelvormig va de belastig vastligt, moet het verwerkt worde i de etberekeige, die traditioeel gebaseerd zij op determiischische modelle. De wiskudige aapak daarva is ozeker. Oplossigsrichtig: De modellerig va de belastig vidt plaats met behulp va verwachtigswaarde e spreidig, met de veroderstellig dat het stochastische gedrag ormaal verdeeld is. De etberekeig wordt uitgevoerd als superpositie va de separate door de verwachtig e de variatie beschreve situaties.
4 95 pmo ESCHRIJVING ELASTING Mometeel worde otwerpberekeige voor LS- e MS-ette uitgevoerd door gebruik te make va modelvormig va maximale belastige i combiatie met ketalle voor de gelijktijdigheid erva. De techiek is gebaseerd op de iformatie die de distributiebedrijve jaarlijks vergaarde met maximaalmetige i het et. Door Rusck werd i 956 daartoe ee formule opgesteld die alom werd geaccepteerd. I 975 werd door Strad e Axelsso ee proefodervidelijke relatie vastgesteld tusse maximale belastig e jaarverbruik. Deze laatste methode leede zich tot het berekee va maximale factore gerelateerd aa verbruik-categorieë i de praktijk. I combiatie met belastigsprogose zij deze modelle de basis voor de huidige otwerpe va MS e LSette. Geoemde modelle geve izicht i ee worst-case. De beperkige daarbij zij dat ee loadflowberekeig iet met gelijktijdigheid ka omgaa. Met kust e vliegwerk kue i radiaal bedreve ette verschillede belastige 'gelijktijdig' worde gesommeerd e wordt ee 'gelijktijdig' beeld va de etstrome bepaald. Ee worse case va 'gelijktijdige' spaige is daarbij et zo' groot probleem. Situaties met miimale belastig e maximale spaige zij i het model iet mogelijk. Spaigkwaliteit ka dus iet volledig beoordeeld worde. Idividuele gebruikers vertoe i het elektriciteitsverbruik ee zeker groepsgedrag, maar gedrage zich mometaa gezie als idividue. Niet bij iederee draait de wasmachie op hetzelfde momet. Maar toch vertoe de idividuele gebruikers als fuctie va de tijd, verspreid over ee dag, gemiddeld geome grote overeekomste i het gedrag. Oderstaade figuur illustreert dit, waari de belastigscurves geormeerd zij aar hu idividuele gemiddelde. Tusse : e 7: uur is de belastig miimaal. Tusse 7: e 9: uur eemt de belastig sel toe. 's-avods eemt de belastig og meer toe, om daara weer af te dale tot het miimum. Elektriciteitsverbruik jauari.5.5.5 ::3 :47:3 3:3:9 5:7:3 7::3 8:47:3 :3:3 :7:3 4::3 5:47:3 7:3:3 9:7:3 ::3 :47:3 Stroom (p.u.) Stroom Stroom3 Stroom4 Stroom5 Figuur Geormeerd elektriciteitsverbruik voor vier afemers, verspreid over ee dag. Alle belastige gedrage zich over de gehele dag geome als afhakelijke sigale, maar bie ee beperkt tijdvester (bijvoorbeeld va éé uur) gedrage zij zich als oafhakelijke stochastische sigale. Va die stochastische sigale ka per tijdvester ee gemiddelde waarde e ee spreidig worde uitgereked. Oderstaade afbeeldig illustreert dit. Va alle geormeerde belastigskromme zij eerst op uurgemiddelde gebaseerde belastigskromme bereked. Vervolges zij deze uurcurves als fuctie va de tijd uitgezet.
5 95 pmo ovedie is voor elke uurwaarde de spreidig uitgereked tusse alle vier de curves. Deze spreidig is eveees als fuctie va de tijd uitgezet. Uurgemiddelde e Spreidig Stroom (p.u.).8.6.4..8.6.4. :: 4:48: 9:36: 4:4: 9:: :: Stroom Stroom3 Stroom4 Stroom5 Spreidig Figuur Uurgemiddelde va geormeerd elektriciteitsverbruik voor vier afemers e spreidig, over ee dag. I bovestaad figuur is met behulp va ee kadertje ee tijdvester aagegeve, waarbie zich de mometae belastig als ee oafhakelijk stochastisch sigaal gedraagt. De belastig laat zich i ieder tijdvester beschrijve als ee stochastische variabele, met ee gemiddelde waarde e ee spreidig. Voor het aagegeve tijdvester i de figuur is de gemiddelde waarde ogeveer gelijk aa e de spreidig ogeveer gelijk aa,. I oderstaad figuur is de gemiddelde belastigscurve voor bovestaade vier belastige afgebeeld. Deze kromme is gelabeld "mu". Ook is met behulp va de spreidigscurve ee bad aagegeve, waarbie zich met ee zekere waarschijlijkheid de idividuele belastigscurve zulle bevide. De greze zij bereked door de spreidigscurve bij de gemiddelde curve op te telle (mu+s) e af te trekke (mu-s). Idie de stochastische belastig zich als ee ormaal verdeelde variabele zou gedrage, zou de werkelijke waarde va de belastig zich met ee waarschijlijkheid va 7% bie de aagegeve greze bevide (vergelijk de σ e 3σ greze, die ee waarschijlijkheid va respectievelijk 95% e 99,5% oplevere).
6 95 pmo Gemiddelde belastigcurve met spreidig Stroom.8.6.4..8.6.4. :: 4:48: 9:36: 4:4: 9:: :: mu mu+s mu-s Figuur 3 Gemiddeld elektriciteitsverbruik e σ gres, over ee dag. De Cetrale Limietstellig stelt dat de som va ee voldoed groot aatal oafhakelijke variabele bij beaderig ormaal verdeeld is. Dat beteket voor dit geval dat de som va ee voldoede aatal oafhakelijke stochastische belastigsigale ook bij beaderig ormaal verdeeld is. Dit is bevestigd door Egels (RWTH, ) e Livik (CIRED, 993). De totale belastig gedeeld door het aatal belastige is gelijk aa het gemiddelde. Oderstaad diagram geeft aa hoe dit uitwerkt i ee distributieet..8.6.4. 3 4 5 6.8.6.4. 3 4 5 6.9.7.5.3. -. 3 4 5 6 Figuur 4 Mogelijke kasverdelige va de afemede stroom i ee richtig va ee distributieet Dicht bij de voedig is achter het meetput het aatal belastige, e dus het aatal oafhakelijke stochastische sigale, groot. Doordat de som va het aatal oafhakelijke belastige verder i het et afeemt, eemt de ozekerheid (e dus de spreidig) toe. Dit komt omdat de maximale belastig bij de verschillede verbruikers op verschillede tijdstippe op zal trede. Dit verschijsel is eerder beschreve door Rusck (EergieNed, 996). We zie dus dat de gemiddelde waarde afeemt e dat de spreidig i verhoudig toeeemt. Voor ee klei aatal verbruikers of zelfs ee ekele is het i feite iet meer correct om de ormale verdelig toe te passe.
7 95 pmo Nader oderzoek aar het stochastische gedrag va de belastig ka ee beeld va de mogelijke kasverdelige i de praktijk oplevere. Ter illustratie zij hieroder voor drie tijdstippe de kasverdelige gegeve op basis va 5 belastige. Goed te zie is dat de kasverdelige voor deze 5 metige iet zuiver ormaal verdeeld zij. Pas bij ee veel groter aatal metige zal de kasverdelig aar ee ormaal verdeelde fuctie tedere. Kasverdelig 5 belastige 7: h Frequetie 4 8 6 4.5.5 Stroom (p.u.) Kasverdelig 5 belastige : h Frequetie 8 7 6 5 4 3.5.5 Stroom (p.u.) Kasverdelig 5 belastige : h Frequetie 6 5 4 3.5.5 Stroom (p.u.) Figuur 5 Kasverdelige voor drie tijdstippe
8 95 pmo 3 STOCHASTISCHE MODELLERING Het model va Rusck zegt dat er ee relatie is tusse de maximale etbelastig e de maximale belastig va ee gebruiker, ook al zij beide variabele stochastisch oafhakelijk. Deze relatie gaat overiges allee op idie er voldoede gelijksoortige gebruikers op het et aageslote zij. I formulevorm luidt die relatie: max, = max, g () waarbij: : het aatal verbruikers max, : maximale belastig va éé verbruiker g : gelijktijdigheidsfactor voor verbruikers Voor de gelijktijdigheidsfactor geldt: g g + ( g ) = () waarbij: g : gelijktijdigheidsfactor voor ee oeidig aatal verbruikers. I praktijk blijkt g ogeveer gelijk te zij aa,. Dat beteket dat het grootste gedeelte va de gelijktijdigheidsfactor everedig is met het omgekeerde va de wortel va het aatal verbruikers. De formule va Rusck is af te leide uit de formule va de spreidig, idie we veroderstelle dat de belastig zich voor ee bepaald tijdstip laat beschrijve als ee oafhakelijke ormaal verdeelde stochastische belastig. De afleidig hierva is gegeve i het boek "Elektriciteitsdistributieette" (EergieNed, 996). Voor ee ormaal verdeelde belastig is de spreidig ee maat voor het verschil tusse het maximum e het gemiddelde. Voor éé aasluitig geldt da: gem = C σ (3) max,, waari: max, : maximale belastig va éé aasluitig gem, : gemiddelde belastig va éé aasluitig σ : spreidig va éé aasluitig C : ee costate Voor ee gelijktijdige belastig va aasluitige geldt: max, gem, = C σ (4) Omdat de belastig voor elke aasluitig zich gedraagt als eezelfde ormale verdelig, geldt voor de spreidig: σ = σ (5) e voor de gemiddelde belastig: = (6) gem, gem, Uit vergelijkig (4) volgt, a combiatie va (5), (6) e (3): = + C σ = + (7) max, gem, gem, ( max, gem, )
9 95 pmo Uit vergelijkig () volgt ee uitdrukkig voor de gelijktijdigheidsfactor, die a ivulle va vergelijkig (7) over gaat i: g max, max, = gem, max, + gem, max, = (8) Voor ee oeidig aatal aasluitige gaat vergelijkig (8) over i: g = gem, (9) max, zodat vergelijkig (8) over gaat i de op ervarig gebaseerde vergelijkig va Rusck (): g = g + ( g ) Hieruit kue we cocludere dat de belastig zich op ee bepaald tijdstip laat beschrijve door ee ormaal verdeelde stochastische variabele. Dat is ee belagrijke coclusie, omdat de methode va rekee met stochastische belastige gebaseerd wordt op het gebruik va ormaal verdeelde stochastische belastige. 4 IMPLEMENTATIE Het gedrag va de belastig op ee zeker tijdstip ka beschreve worde met ee ormaal verdeelde stochastische variabele met ee gemiddelde waarde (µ) e ee spreidig (σ). Het model va de belastig wordt gecompleteerd door de gemiddelde waarde e de spreidig weer te geve als fucties va de tijd. Hiermee is het gedrag va de belastig voor iedere geweste periode beschreve door ee profiel va stochastisch ormale verdelige, gekemerkt door de tijdfucties voor de gemiddelde µ(t) e voor de spreidige σ(t). Deze modellerig gaat op voor gelijksoortige belastige. Dit was immers ook bij de formule va Rusck ee uitgagsput. Adere type belastige moete separaat gemodelleerd worde, met ieder hu eige tijdfucties. ij gemegde belastige moet gewerkt worde met combiaties va de separate tijdfucties. ijzodere belastige, zoals zware idustrie, ladbouwbedrijve e elektrische tractie, alsmede decetrale opwekkers blijve bijzodere aadacht vrage e kue iet met deze methode gemodelleerd worde. Ee aspect als groei va de belastig ka eevoudig worde meegeome i de patroe va de gemiddelde. De spreidig moet wel altijd i de pas blijve met de gemiddelde waarde. Hulpmiddel hiervoor is de costate C uit vergelijkig (3). ij groei va de belastig, zoder dat het aatal aasluitige toeeemt, moet de spreidig everedig toeeme. ij toeemed aatal aasluitige, echter, eemt de spreidig relatief af (coform vergelijkige 4 e 5). Naar eige keuze kue de patroe voor de gemiddelde e spreidige geïterpreteerd worde. Met ee waarde voor de costate C uit vergelijkig (3) gelijk aa wordt de maximale waarde va de belastig bepaald door µ+*σ. Door eigeschappe va de ormale verdelig zal het werkelijke maximum zich met ogeveer 85% zekerheid oder deze µ+*σ waarde bevide. Idie de costate C gelijk geome wordt aa, zal het werkelijke maximum zich met ogeveer 97,5% zekerheid oder deze µ+*σ waarde bevide.
95 pmo Voor het plae wordt gebruik gemaakt va gemiddelde patroe met ee relatief kleie spreidig. Terugrekeed aar ekelvoudige verbruikers veradert de vorm va het gemiddelde patroo iet, maar wordt de bijbehorede spreidig relatief groter. Deze methode houdt gee rekeig met idividuele extreme uitschieters. I dat geval zou amelijk de oude methode va rekee met maximale waarde beter va pas kome. 5 CONCLUSIE Ee oderzoek is uitgevoerd aar beschrijvig va de belastig met ee stochastisch model. Hiertoe zij de eigeschappe va ee belastig op stochastisch gebied oderzocht. Ee eevoudig experimet toot aa dat met ee steekproef va ee beperkt aatal belastige de verdelig iet zuiver ormaal is. Pas bij ee groter aatal metige zal de kasverdelig aar ee ormaal verdeelde fuctie tedere. Dit wordt oderschreve door de Cetrale Limietstellig voor oafhakelijke stochastische variabele. De op ervarig gebaseerde formule va Rusck is afgeleid met behulp va de theorie va de stochastische sigale. Hieruit blijkt dat de belastig zich voor ee specifiek tijdstip laat beschrijve door ee ormaal verdeelde stochastische variabele. Het gedrag va de belastig ka beschreve worde met tijdfucties va gemiddelde waarde m(t) e spreidig s(t). Deze modellerig gaat op voor gelijksoortige belastige. ijzodere belastige, zoals zware idustrie, ladbouwbedrijve e elektrische tractie, alsmede decetrale opwekkers blijve bijzodere aadacht vrage e kue iet met deze methode gemodelleerd worde. LITERATUUR EergieNed, 996: EergieNed: "Elektriciteitsdistributieette", Kluwer Techiek, 996 RWTH, : K. Egels: "Probabilistische ewertug der Spaugsqualität i Verteilugsetze", Aacheer eiträge zur EergieVersorgug (AEV) ad 7, Istitut für Elektrische Alage ud Eergiewirtschaft Forschugsgesellschaft Eergie a der RWTH Aache, CIRED, 993: Livik, K. et al.: "Estimatio of aual coicidet peak demad ad load curves based o statistical aalysis ad typical load data", CIRED: th It. Coferece o Electricity Distributio, Part Cotributios, IEE Coferece Publicatio No: 373, Short ru Press, Exeter, 993.
95 pmo IJLAGE: THEORIE STOCHASTISCHE SIGNALEN Ee stochastische variabele wordt aagegeve met behulp va ee oderstrepig. Ee specifieke waarde, die de stochastische variabele ka aaeme, wordt aagegeve met behulp va ee idex. x : stochastische variabele : specifieke waarde va x x i I het vervolg gaa we erva uit dat de kase va optrede va de idividuele waarde va x gelijk zij. De verwachtig va x is da gelijk aa de gemiddelde waarde e wordt gegeve door: E x = µ = N x x i N i= De variatie is gedefiieerd als de verwachtig va het kwadraat va de afwijkig te opzichte va het gemiddelde e wordt gegeve door: var( x ) = E( x µ µ x ) N x ) = ( x i N i= De spreidig, ook wel stadaardafwijkig of stadaarddeviatie geoemd, is gedefiieerd als de wortel va de variatie: σ x = var(x) Aa de had va de defiities zij oderstaade rekeregels af te leide: E( ax + b) = ae( x) + b E( g( x) + h( x)) = E( g( x)) + E( h( x)) var( x) = E( x ) ( E( x)) Oderstaade afbeeldig illustreert ee ormale kasverdelig voor ee stochastisch sigaal met gemiddelde 3 e spreidig..45.4.35.3.5..5..5 σ µ 4 6 8