. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies heten orthogonale hyperbolen. We zullen beginnen met het eenvoudigste voorbeeld, de functie waarbij a 0, b, c en d 0.. De grafiek van de functie y Om de grafiek te tekenen van de functie f () kan men f() berekenen voor enkele waarden van. - - - - / -¼ 0 ¼ / f() - / - / - - -4 X 4 / / Voor 0 is de functie niet gedefinieerd. Als je deze puntenparen in een assenstelsel tekent en ze onderling verbindt met een vloeiende lijn krijg je de volgende figuur. De grafiek heeft geen snijpunt met de X-as, want f() is voor geen enkele waarde van nul. Toch heeft de X-as een bijzondere betekenis voor de grafiek. Zo is f(00) 0,0 en f(-00) - 0,0. Hoe groter we kiezen, des te dichter komt de waarde van f() bij nul, en Hoe groter we kiezen (heel erg negatief), des te dichter komt de waarde van f() bij nul. Nul wordt de functiewaarde echter nooit. Dit zeer dicht in de buurt van 0 komen van de functiewaarde geven we in de wiskunde aan met de volgende notatie s: lim 0 en lim 0 Dit spreken we uit als: de limiet voor gaat naar oneindig van f() is o en de limiet voor gaat naar min oneindig van f() is o. J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz
In de grafiek zien we ook dat voor de hele grote en de heel kleine waarden van de grafiek van f() bijna samenvalt met de -as. De -as heet dan horizontale asymptoot. Ook in de buurt van 0 zien we dat er iets speciaals gebeurd. Als de waarde van steeds dichter bij 0 komt (van de positieve kant uit) wordt de functiewaarde steeds groter. Als de waarde van steeds dichter bij 0 komt (van de negatieve kant uit) wordt de functiewaarde steeds kleiner (komt verder van 0 af).voor erg kleine warden van valt de grafiek van f() bijna samen met de y-as. Dit naar oneindig gaan van de functiewaarde als naar 0 gaat geven we in de wiskunde aan met de volgende notatie s: lim en lim Dit spreken we uit als: de limiet voor gaat van boven naar 0 0 0 van f() is oneindig en de limiet voor gaat van onderen naar 0 van f() is min oneindig. Deze limieten worden ook vaak samengepakt en dan staat er de formule: lim 0 In dit geval, omdat het gaan naar oneindig en naar min oneindig gebeurt bij 0, heet de lijn 0 verticale asymptoot. Samengevat heeft de functie verticale asymptoot 0. f () dus asymptoten, horizontale asymptoot y 0 en a + b Algemeen: Bij gebroken lineaire functies: y c + d d Verticale asymptoot als de noemer 0 is, dus c a Horizontale asymptoot y c Opmerkingen: Men kan de horizontale asymptoot ook vinden door in de breuk die f() is teller en b a + a + b noemer door te delen. Dan wordt het: f () Hierin kan men c + d d c + gemakkelijk zien dat voor erg grote waarden van b naar 0 gaat en de teller dus gelijk wordt aan a. zo gaat ook in de noemer d naar 0 en de noemer wordt dus dan gelijk aan c Als de breuk zodanig te vereenvoudigen is, zodat je een breuk zonder overhoudt, dan heet het natuurlijk geen hyperbolische functie. Deze hyperbolen heten orthogonaal omdat de asymptoten loodrecht op elkaar staan. Er zijn ook andere hyperbolen, maar die behandelen we hier niet. J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz
. Het nader onderzoek van de orthogonale hyperbool + Hiervoor nemen we een wat moeilijker voorbeeld: f () Het onderzoek verrichten we puntsgewijs op de volgende wijze: Domein: Hiervoor moeten we kijken in welke punten de functie niet gedefinieerd is. Die punten horen niet bij het domein. Aangezien we hier te maken hebben met een breuk hebben we beperkingen. In de nulpunten van de noemer is de reuk niet gedefinieerd. In dit geval is dat indien 0, d.w.z.. dus D f R \ {} Nulpunten: + Hiervoor moeten we oplossen de vergelijking f() 0 oftewel 0 + Dit geeft: 0 + 0 0 Dus een nulpunt voor - Verticale asymptoot: Voor - is de noemer nul, dus daar een verticale asymptoot Horizontale asymptoot: y Tabel - - - 0 / / 4 5 f() / 0 - -6 X 0 6 4 / Plaatje J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz
. Snijpunten van de orthogonale hyperbool met andere grafieken Net zoals we het bepalen van snijpunten bij parabolen deden, moeten we er hier ook op letten dat de functies in de goede vorm geschreven zijn. Dus steeds schrijfwijzen als y. of als f().. Voorbeeld Bereken de coördinaten van de snijpunten van de hyperbool 4 y met de parabool y Oplossing: We stellen eerst de twee functievoorschriften aan elkaar gelijk: 4 4 4 4 8 8 0 0 0 0 0 We hebben nu een breuk die nul moet zijn. Dit kan allen als de teller nul is en de noemer dan niet nul is. Teller is 0 betekent : 8 0 8 Voor deze waarde is de noemer niet nul, dus oplossing. Dit geeft dat de -coördinaat van het snijpunt is en de y-coördinaat kunnen we vinden door het invullen van in het voorschrift van hyperbool of parabool. Dit geeft y Dus snijpunt van hyperbool en parabool is punt (, ).4 Opgaven Opgave.: Geef van de volgende functies zo mogelijk de vergelijking van de horizontale en de verticale asymptoot a) f () b) + 4 f () 9 c) + f () + 6 d) f () + 6 Opgave. Bereken van elk van de volgende functies de nulpunten en de vergelijkingen van de asymptoten en schets de grafiek. a) b) c) f () f () f () + + J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 4
d) f () + Opgave. Bereken zo mogelijk de coördinaten van het (de) snij- of raakpunt(en) van de grafieken van de functies f en g: a) + f () g() 4 - b) + f () g() - + 5 c) f () g() d) f () g() J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 5
Logaritmen In dit hoofdstuk komt een nieuwe bewerking, logaritme nemen, aan de orde. Bovendien maken we kennis met functies waarin logaritmen voorkomen en de daarmee samenhangende eponentiële functies. Deze functie komen we vaak tegen in vraagstukken waarbij rente op rente een rol speelt.. Het begrip logaritme De bewerkingen optellen en vermenigvuldigen hebben hun tegengestelde, namelijk aftrekken en delen. Ook machtsverheffen heeft een tegengestelde bewerking, namelijk worteltrekken. Bij machtsverheffen zien we in onderstaand voor beeld dat er ook nog een andere tegengestelde bewerking is dan worteltrekken. Bewerking tegengestelde bewerking + 5 5 - of 5-6 6 : of 6 : 8 8 of? Welke bewerking moet op de plaats van het? staan? Dat moet een bewerking zijn die losgelaten op de getallen en 8, het getal oplevert. In woorden luidt die bewerking: de macht van die 8 oplevert (). Dit wordt afgekort tot log8 (). Spreek uit als : de logaritme van 8 () Het getal bovenaan de l van log wordt het grondtal van de logaritme genoemd. Definitie logaritme: g loga is die macht van g die a oplevert, of in formulevorm: g loga b g b a Eisen hierbij:a > 0 en g > 0 en g Uit de definitie van logaritme volgt direct: g log(g n ) n Voorbeelden: log9 want 9 0 log000 want 0 000 log 5 want 5 5 log( / 5 ) - want 5 - / 5 log( / 8 ) - want - / 8 log want log 5 9 5 5 5 5 9 In al bovenstaande voorbeelden is het antwoord, soms met enige moeite, direct te zien. In de volgende voorbeelden gaat dat wat moeilijker, je moet eerst wat omschrijven. log( ) log( ) log J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 6
log( ) log( ) log 0 0 0 log( ) log( ) log0 0 0 Soms is echter ook na herschrijven geen oplossing te vinden. Denk bijvoorbeeld aan log4, 0 log, Voordat we hier aan gaan werken nog een afspraak: De logaritmen die het vaakst gebruikt worden zijn de logaritmen met grondtal 0 en met grondtal e. De logaritme met grondtal e heet natuurlijke logaritme en de logaritme met grondtal 0 heet Briggse logaritme. Daarvoor zijn er dan ook specifieke schrijfwijzen in gebruik: log 0 log ln e log Terug naar de voorbeelden die we nog niet op konden lossen. In die gevallen moeten we gebruik maken van tabellen of van een rekenmachine om het antwoord te vinden. Dit zal meestal een benadering zijn. Een tabel van logaritmen die je kunt maken past bij precies een grondtal, voor elk grondtal heb je een aparte tabel nodig. In een ver verleden werd er bijna altijd gewerkt met logaritmen met grondtal 0, en de laatste 50 jaar is de logaritme met grondtal e in opkomst. Hiervan had men, tot de opkomst van de rekenmachine, tabellen. Op je rekenmachine zitten ook knoppen voor logaritmen, de knoop voor logaritme met grondtal 0, log en de knop voor logaritmen met grondtal e, ln Voorbeeld log,67786 ln,54946.. En wat met de voorbeelden die een ander grondtal hebben? Hierop komen we aan het eind van de volgende paragraaf terug.. Eigenschappen voor logaritmen De volgende rekenregels gelden er voor logaritmen, ze hangen sterk samen met machten en zijn op die manier ook redelijk makkelijk te bewijzen. Dit zullen we hier echter niet doen. Bij elk van de volgende formules geld: g>0 en g, a> 0 en b> 0 Bij elk van de volgende formules geld: g>0 en g, a> 0 en b> 0. g loga + g logb g log(a b) g g g a log a - log b log( ) b g loga n n g loga g a log log g log a voorbeelden: 6 log9 + 6 log4 6 log(9 4) 6 log6 6 log6 5 log5 5 log 5 log( 5 / ) 5 log5 J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 7
log6 log6 log log6 log9 log( 6 / 9 ) log4 5 5 5 5 log 7 log 7 log 7 0 log 7 log 7 log 7,0906 0 log 5 log 5. Vergelijkingen met logaritmen Met logaritmische vergelijkingen moeten we voorzichtig zijn. Het kan namrelijk voorkomen dat een gedeelte van de oplossingen vervalt, omdat voor die waarden de gebruikte logaritmen niet gedefinieerd zijn. Voorbeeld Los op voor R: log(+6) Oplossing: log(+6) +6 - + + 6 0 - - 6 0 ( )( + ) 0 - en als je niet kunt ontbinden neem je de abc-formule. We hebben hier te maken met een vergelijking met logaritmen, dat geeft de volgende etra eisen: grondtal > 0 en ongelijk, d.w.z. in dit geval > 0 en je kunt alleen logaritmen nemen uit positieve getallen, d.w.z. in dit geval + 6 > 0 Dus uiteindelijke Oplossingsverzameling: OV {} Voorbeeld Los op voor R: 4 log4 log + Oplossing: op grond van eerste logaritme: 4 > 0, d.w.z. > 0 op grond van tweede logaritme: > 0 Uit de vergelijking volgt: Eerst alles in logaritmen met grondtal, (4 of 0 kan ook) log 4 log + log log 4 log 4 log log 4 log log 4 log( ) 4 4 4 4 0 4( ) 0 0 Dus O.V. {} J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 8
.4 Logaritmische functies Een logaritmische functie is een functie, waarin in het voorschrift de logaritme van de variabele, of van een functie van de variabele voorkomt. Voorbeeld: f() log Voor deze functie geldt: Domein: R +, want allen logaritmen van positieve getallen zijn gedefinieerd. Nulpunten: log 0 0 Asymptoten: Als van boven naar 0 gaat, wordt de functiewaarde van f steeds kleiner, meer negatief, hij gaat naar min-oneindig. De lijn 0 is dus verticale asymptoot. Tabel / 8 / 4 / 4 8 f() - - - 0 Plaatje: 4 y 0-0 4 6 8 0-4 -6-8 Voorbeeld f() log log log f() log log log is log gespiegeld in de -as, dus heeft verder onderzoek geen noodzaak meer. Dat is allemaal al gedaan bij het eerste voorbeeld. Opmerkingen: Als 0 < g <, dan is de functie g log dalend. Als g>, dan is de functie g log stijgend Snijpunten van logaritmische functies en andere functies zijn ook weer te herleiden tot vergelijkingen. J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 9
Oplossen van ongelijkheden met logaritmen gaat het makkelijkst door ze te beschouwen als ongelijkheden, met aan beide kanten een functie. Maak van beide functies de grafiek, en bepaal de snijpunten door de bijbehorende vergelijking op te lossen. Uit het plaatje kun je dan de oplossingsverzameling aflezen..5 Opgaven Opgave. Bereken: a) 5 log5 b) log0,00 c) log 0 d) ln( e e) e) log 5 0000 f) log0 opgave. Vereenvoudig: a) log9 log4½ b) log6 + log½ c) 0 log600 0 log6 d) 5 log0 + 5 log½ e) ½ log50 - ½ log5 g) h) 7 log log4096 i) log 0, 5 5 j) log( ) k) ln99 l) log7 f) log5 + log8 - log 0 g) log8 + log6 - log h) log9 log6 + log5 log + log4 opgave. Los de volgende vergelijkingen op in R, rond de antwoorden eventueel af op 4 cijfers achter de komma, maar geef eerst het eacte antwoord. a) log5 g) 5 6 b) 5 log( - ) h) 6 5 c) 0 log 0 i) log + log d) log0 e) 0 f) 0 j) log 5 + log5 k) 4 log( + ) + 4 log l) 5 log( - ) + 5 log( ) opgave.4 Schets in één figuur de grafiek van de functies f() log, g() 4 log en h() log J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 0
Differentiëren Differentiëren is een van de belangrijkste onderwerpen in de wiskunde. Op een hoop plaatsen wordt het toegepast. Met name als in economische onderwerpen het woord marginaal valt, dient aan differentiëren te worden gedacht.. De steilheid van een grafiek. Bij een rechte lijn is de steilheid van de grafiek heel gemakkelijk uit te rekenen. Hij is in elk punt hetzelfde. Neem hiervoor het verschil van de y-coördinaten van punten ( y) en deel dit door het verschil van de -coördinaten van die punten ( ). (Dit is de richtingscoëfficiënt van die lijn.) y Voor de grafiek van een functie die geen rechte lijn is, is dat wat moeilijker. Het quotiënt is van het gekozen tweetal punten afhankelijk. Daarom kunnen we bij een grafiek die geen rechte lijn is alleen maar spreken ver de steilheid in een punt. Voor de steilheid in een punt van een grafiek kiezen we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt. Hoe kunnen we deze vinden? Ga uit van het punt P en de grafiek van de functie f. Als we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt P aan de grafiek van f willen bepalen kiezen we de lijn door P(, f()) en een punt er dicht in de buurt, Q(+h, f(+h)) en nemen de lijn door P en Q. Als we nu h steeds kleiner maken zodat Q steeds dichter bij P komt, veranderd de lijn in de raaklijn in P. Dit in formulevorm uitgedrukt geeft: f ( + h) f() y h lim als richtingscoëfficiënt voor de raaklijn. lim h 0 0 y-as Q f P 0 +h -as De uitdrukking lim f ( + h) f() y h lim noemen we de afgeleide van f() en duiden h 0 0 we aan met f (). Gelukkig hoeven we niet voor elke functie moeilijk te gaan doen met limieten om de afgeleide te bepalen. Dit bepalen van de afgeleide wordt ook wel differentiëren genoemd. Gelukkig hebben de wiskundigen een aantal regels bedacht voor het differentiëren en van een aantal functies de afgeleide bepaald. De functies waarvan de afgeleiden bekend zijn zullen we standaardafgeleiden noemen. J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz
. De standaardafgeleiden De functies waarvan de afgeleiden bekend zijn zijn: f() c (contante) f () 0 f() n (n R \ {0}) f () n n- f() e f () e f() a (a R + \ {}) f () a lna f() ln f () f() a log (a R + \ {}) f () ln a voorbeelden: f() 5 f () 0 f() 0 f () 0 f() 0 f () 0 9 f() f () f() f (). De voortbrengingsregels Met de in de vorige paragraaf genoemde standaardafgeleiden kunnen we lang niet alle functies differentiëren. Daarvoor hebben we ook nog rekenregels nodig, voortbrengingsregels genaamd... Voortbrengingsregel C is een constante f() c g() f () c g () voorbeelden f() 5 f () 5 5 f() f () 6 f() -0 0 f () -0 0 9-00 9 f() ln f ().. Voortbrengingsregel : de somregel f() g() h() f () g () h () voorbeelden f() + f () + J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz
f() 5 + f () 5 4 f() ln( e ) ln( ) + ln(e ) ln + f () + +.. Voortbrengingsregel : de produktregel f() g() h() voorbeelden f() ( - + 5)( - 5) 5 4 f() ( 5) 5 f () g () h() + g() h () f'() ( - )( - 5) + ( - + 5)(4) 4-0 - 6 + 5 + 4 - + 0 8-8 + 0 + 5 5 5 4 4 ( 5) f () ( 5) + ( 5) 5 5 4 ( 5) + f() e f () e + e f() ln f () ln + ln + ( 5)..4 Voortbrengingsregel 4: de quotiëntregel f() g() h() g'() h() - g() f () (h()) h'() voorbeelden + 5 f() + f() f() + 5 ln ( + ) ( + 5) ( ) f'() ( + ) 6 + + 6 + 0 ( + ) ( + ) 6( ) ( + 5) ( ) f'() ( ) 6 8 6 + 9 ( ) ln ln f'() 0 + 5 9 0 + 5 ( ) J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz
..5 Voortbrengingsregel 5: de kettingregel voorbeelden f() ( -7+5) f() e f() e -+5 f() g(h()) f () g (h()) h () in onze situatie worden dit de volgende regels: f() (h()) n f () n(h()) n- h () f() e h() f () e h() h () f() ln(h()) f () h'() h() f'() ( -7+5) (6-7) f'() e e f'() e -+5 (-) -e -+5 f () e f '() e ( ) f() ( 5) ( 5) f'() ( 5) (6 5) 6 5 ( 5) f() ln( -) f '() f() ln(e e +) f '() e e + e + f() a ln log ln f '() ln a ln a ln a ln a f() a log( +) ln( + ) ln( + ) f '() ln a ln a ln a + ln a ( + ).4 De vergelijking van de raaklijn in een punt van de grafiek Omdat de afgeleide functie de richtingscoëfficiënt is van de raaklijn, kun je deze gebruiken bij het bepalen van de vergelijking van de raaklijn. Voorbeeld Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P (, 7) aan de grafiek van de functie f() -5 raaklijn ziet er uit als : Hierbij geld: y a + b a f '() f'() * - 0 6 a f '() 6 * Daarmee wordt de vergelijking: y + b Punt P op lijn: 7 * + b b 7-4 -7 Dus vergelijking raaklijn: y - 7 J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 4
.5 Opgaven Opgave. a) f() b) f() 7 h) f ( ) c) f() 0 7 i) f ( ) a +b + c 999 d) f ( ) 999 j) f ( ) e) f( ) 4 f) f ( ) - + + 4 k) f ( ) g) f() ( + ) l) f ( ) Opgave. a) f ( ) c) f ( ) b) f ( ) d) f ( ) Opgave. a) f ( ) ln d) f ( ) ln b) f ( ) ln c) f ( ) ln ln e) f ( ) ln m) f ( ) 4 n) f ( ) o) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) f) f ( ) ln Opgave.4 a) h() ( + ) b) h ( ) ( + ) ( - ) c) h( ) + ( - ) d) h ( ) ( +) ( + ) Opgave.5 - a) h( ) + b) h( ) - d) + h( ) c) h( ) - J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 5
Opgave.6 a) f ( ) ( + ) b) f ( ) 5 (4 ) c) f ( ) 4 d) f() ( + ) 4 Opgave.7 a) h( ) ln b) h( ) ln( ) + c) h( ) ln d) h( ) ln e) h( ) ln Opgave.8 a) f ( ) e b) f ( ) ( + ) e Opgave.9 a) f ( ) + + b) f ( ) 0-0 c) f ( ) + + d) f ( ) - - 5 e) f ( ) - + - Opgave.0 a) f ( ) ( - ) ( 9 + ) b) f ( ) ( + ) ( - 0 ) e) f() -6( 4) f) f ( ) ( - ) f) h( ) ln g) h ( ) ln h) h ( ) ln + e c) f ( ) d) f ( ) e ln 6 4 f) f ( ) 5-7 + - 0 g) f ( ) -0 + h) f ( ) - + 5 - c) f ( ) ( + + ) ( - ) 7 d) f ( ) 0 ( - + ) Opgave. + a) f ( ) - b) f ( ) - c) f ( ) - d) e) f) + ( ) - + ( ) - - ( ) + 5 f f f J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 6
Opgave. a) f ( ) ( - ) b) f ( ) ( - ) c) f ( ) ( - ) d) f ( ) ( + ) 0 0 0 e) f ( ) ( + + +) f) f ( ) - g) f ( ) + 5 h) f ( ) - + i) f ( ) ( + ) - Opgave. Bereken de vergelijking van de raaklijn in het punt P aan de grafiek van de functie f in de volgende gevallen: a) f ( ) + 4 P ( - ; 6 ) b) f ( ) - - P ( 4 ; - 0 ) c) f ( ) - - P ( 0 ; 0 ) d) f ( ) - 5 + 6 P ( ; 0 ) J.Hollink Dictaat MA_N0 wiskunde blz 7