college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid 4 1 intro VA
De richtingsafgeleide Section 14.5, blz. 803 2 1.1 VA De richtingsafgeleide Section 14.5 Definitie Stel f is differentieerbaar in a, en stel v 0. De lijn l in het xy-vlak is gedefinieerd als de lijn door a met richtingsvector v. We parametriseren l als volgt: l: x(t) = a + t v = (a + vt, b + wt), waarbij v = (v, w) genormeerd is, dus v = v v. De richtingsafgeleide van f in a in de richting van v is de afgeleide van de samenstelling f (a + t v), berekend in a. De richtingsafgeleide wordt genoteerd als v f (a). De richtingsafgeleide is de helling (richtingscoëfficiënt) van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt ( a, b, f (a, b) ) in de richting v. De richting moet genormeerd worden, omdat v f (a) anders af zou hangen van de lengte van v. 3 1.2 VA
De richtingsafgeleide Stelling Stel f heeft partiële afgeleiden die continu zijn in een omgeving van a. Merk op dat x (t) = d d t (a + t v) = v. Volgens de kettingregel is d d t f (a + t v) gelijk aan f (a + t v) x (t) = f (a + t v) v. Deze afgeleide moet worden berekend in a, dus kies t = 0. Als f partiële afgeleiden heeft die continu zijn in een omgeving van a, dan is de richtingsafgeleide van f in a in de richting v gelijk aan f (a) v 4 1.3 VA De richtingsafgeleide Voorbeeld Section 14.5, example 1 Definieer f (x, y) = x 2 + xy en a = (1, 2). Bereken de richtingsafgeleide van f in a in de richting v = (1, 1). Normeer v: de lengte van v is v = 1 2 + 1 2 = 2, dus v = 1 ( (1, 1) = 1 ) 2 2 2, 1 2 2. De gradiënt van f is f (x, y) = (2x + y, x). De gradiënt van f in a = (1, 2) is f (1, 2) = (4, 1). De richtingsafgeleide van f in (1, 2) in de richting van v is v f (1, 2) = f (1, 2) v = (4, 1) ( ) 1 2 2, 1 2 2 = 5 2 2. 5 1.4 VA
De richtingsafgeleide en de gradiënt De richtingsafgeleide van f in a in de richting v is het inproduct van de gradiënt en de genormeerde versie van v: v f (a) = f (a) v = f (a) v cos θ. waarbij θ de hoek is tussen de vectoren v en f (a). Er geldt v = 1, dus v f (a) = f (a) cos θ. Omdat geldt dat 1 cos θ 1 voor alle θ, is de maximale waarde van de richtingsafgeleide gelijk aan f (a), welke wordt bereikt door v in de richting van f (a) te laten wijzen (θ = 0). De minimale waarde van de richtingsafgeleide is gelijk aan f (a), welke wordt bereikt door v in de tegengestelde richting van f (a) te laten wijzen (θ = π). De richtingsafgeleide is gelijk aan 0 als θ = ±π/2, dus als v loodrecht op f (a) staat. 6 1.5 VA Niveaukrommen Stelling Een niveaukromme van een functie f is een kromme k waarvoor geldt dat f (x) constant is voor alle x k. Stel x(t) = ( x(t), y(t) ), t I is een parametrisering van de niveaukromme bij niveau c, dan f ( x(t), y(t) ) = c voor alle t I. Volgens de kettingregel geldt d d t f ( x(t), y(t) ) = f (x(t)) x (t) = 0, dus x (t) staat loodrecht op f (x(t)). Omdat x (t) de raaklijnvector is van k in x(t) hebben we het volgende bewezen: De vectoren van de gradiënt van f staan loodrecht op de niveaukrommen van f. Zowel x (t) als f (x) kunnen gelijk zijn aan 0. De nulvector staat loodrecht op iedere vector. 7 1.6 VA
Niveaukrommen Voorbeeld Bestudeer de gradiënt en de niveaukrommen van f (x, y) = x 2 y 2. De niveaukrommen van f zijn hyperbolen met asymptoten y = x en y = x, plus de lijnen y = x en y = x. De gradiënt van f wordt gegeven door f (x, y) = (2x, 2y). In 0 = (0, 0) bestaat de niveauverzameling uit twee snijdende lijnen y = x en y = x. Een vector kan hier alleen maar loodrecht op staan als deze gelijk is aan 0. Inderdaad geldt: f (0, 0) = (0, 0). 8 1.7 VA Het raakvlak Het raakvlak aan de grafiek van f in het punt ( a, b, f (a, b) ) wordt gegeven door de vergelijking z = f (a) + f x 1 (a)(x a) + f x 2 (a)(y b), waarbij a = (a, b). 9 2.1 VA
Het raakvlak Voorbeeld Definieer f (x, y) = x 2 + y 2. Bepaal een vergelijking van het raakvlak V in a = (1, 2). De partiële afgeleiden van f zijn f x = 2x en f y = 2y. In a = (1, 2) zijn de partiële afgeleiden f x (a) = 2 en f (a) = 4. y Er geldt f (a) = f (1, 2) = 5, een vergelijking van V is z = 5 + 2(x 1) + 4(y 2). Vereenvoudigen levert 2x + 4y z = 5. 10 2.2 VA Lineaire benadering Definitie Stel f : D R 2 R is een functie van 2 en stel a D. De lineaire benadering van f in a is de functie waarvan de grafiek het raakvlak is van graf f in (a, f (a)). Het functievoorschrift van de lineaire benadering is f (x, y) = f (a) + f f (a)(x a) + (a)(y b). x y Voorbeeld: de lineaire benadering van f (x, y) = x 2 + y 2 in (1, 2) is de functie f gegeven door f (x, y) = 5 + 1(x 1) + 4(y 2) = x + 4y 4. 11 2.3 VA
Differentieerbaarheid Definitie Stel f : D R 2 R is een functie van 2 en stel a D. De functie f is differentieerbaar in a als er een lineaire benadering van f in a bestaat. De lineaire benadering hoeft niet te bestaan. Als de lineaire benadering bestaat is deze uniek. Stelling Als f differentieerbaar is in a dan bestaan de partiële afgeleiden van f in a. Stelling Als de partiële afgeleiden van f in a bestaan en continu zijn in a dan is f differentieerbaar in a. 12 2.4 VA Functies van 3 De grafiek van f = f (x, y, z) is gedefinieerd door graf f = {( x, y, z, f (x, y, z) ) (x, y, z) D }. De grafiek van f is een vier-dimensionaal object! De niveauverzameling van f bij niveau c is de oplossingsverzameling van de vergelijking f (x, y, z) = c: {(x, y, z) f (x, y, z) = c} Vaak zijn de neveauverzamelingen vlakken in R 3. We spreken daarom wel van niveauvlakken. Section 14.2, fig. 14.8 De niveauvlakken van de G(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 zijn concentrische bollen met middelpunt 0. 13 3.1 VA
De gradiënt van een functie van 3 Een functie van 3 heeft 3 partiële afgleiden: f f (x, y, z), x f (x, y, z) en (x, y, z). y z De gradiënt van f is de vector in R 3 met de partiële afgeleiden als component: f (x, y, z) = ( ) f f f (x, y, z), (x, y, z), x y z (x, y, z) of korter: f = ( f x, f y, f ). z De vectoren van de gradiënt van f staan loodrecht op de niveauvlakken van f. 14 3.2 VA De kettingregel in R 3 Stelling Kettingregel Stel f is een functie van 3 waarvan de partiële afgeleiden bestaan. Stel x(t), y(t) en z(t) zijn differentieerbare functies, dan d d t f ( x(t), y(t), z(t) ) = f x ( ) r(t) x (t) + f ( ) r(t) y (t) + f ( ) r(t) z (t) y z = f ( r(t) ) r (t) met r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) en r (t) = ( x (t), y (t), z (t) ). De functie t r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) is parametrisering van een ruimtekromme. De functie t f ( x(t), y(t), z(t) ) beschrijft de waarde van G langs deze kromme, als functie van t. 15 3.3 VA
De richtingsafgeleide van een functie van 3 Definitie Stel f is een functie van 3, en stel v 0 R 3. De richtingsafgeleide van f in a in de richting v is gedefinieerd als de richtingscoëfficiënt van de functie t f (a + t v) in t = 0, waarbij v de genormeerde versie van v is. De richtingsafgeleide in a in de richting v wordt genoteerd als v f (a). Stelling Als de partiële afgeleiden van f bestaan en coninu zijn in a dan geldt v f (a) = f (a) v. 16 3.4 VA De richtingsafgeleide van een functie van 3 Als θ de hoek is tussen f (a) en v (of v), dan v f (a) = f (a) cos θ. De maximale waarde van de richtingsafgeleide is gelijk aan f (a), welke wordt bereikt door v in de richting van f (a) te laten wijzen (θ = 0). De minimale waarde van de richtingsafgeleide is gelijk aan f (a), welke wordt bereikt door v in de tegengestelde richting van f (a) te laten wijzen (θ = π). De richtingsafgeleide is gelijk aan 0 als θ = ±π/2, dus als v loodrecht staat op f (a). 17 3.5 VA
Section 14.7 Definitie Blz. 821 Stel f (x, y) is gedefinieerd op D R 2, en stel (a, b) D. f (a, b) is een lokaal maximum van f op D als f (a, b) f (x, y) voor alle (x, y) in een omgeving van (a, b). f (a, b) is een lokaal minimum van f op D als f (a, b) f (x, y) voor alle (x, y) in een omgeving van (a, b). f (a, b) is een lokaal extreem van f op D als f (a, b) een lokaal maximum dan wel een lokaal minimum is. 18 4.1 VA Kritieke punten Stelling Theorem 10 Stel f heeft een lokaal extreem in (a, b), en f (x, y) is differentieerbaar in (a, b), dan f (a, b) = 0. f (a, b) = 0 betekent: f x (a, b) = 0 en f y (a, b) = 0. Definitie Blz. 822 Een inwendig punt (a, b) van het domein van f heet een kritiek punt van f als f (a, b) = 0 of als f x (a, b) dan wel f y (a, b) niet bestaat. 19 4.2 VA
Kritieke punten Voorbeeld Example 1 Bepaal de kritieke punten van f (x, y) = x 2 + y 2 4y + 9. De functie f is overal differentieerbaar, dus de enige kritieke punten zijn punten (a, b) waarvoor f (a, b) = 0. f (x, y) = (2x, 2y 4), dus los op { 2x = 0 2y 4 = 0. Het enige kritieke punt van f is (0, 2). 20 4.3 VA Zadelpunten Definitie Blz. 822 Een kritiek punt (a, b) van f heet een zadelpunt van f als iedere omgeving van (a, b) punten bevat met functiewaarden die zowel kleiner als groter zijn dan f (a, b). Zadelpunten zijn geen extreme waarden. 21 4.4 VA
Apenzadel z 2 1 x y 2 1 1 2 1 2 Het apenzadel is de grafiek van de functie f (x, y) = x 3 3xy 2. De niveaukrommen op hoogte 0 worden gegeven door de lijnen x = 0, y = 1 3 3 x, y = 1 3 3 x. Het punt (0, 0) is een zadelpunt. 22 4.5 VA De Hessiaan Definitie Blz. 823 Stel de tweede-orde afgeleiden van f (x, y) bestaan in (x, y), en zijn daar tevens continu, dan is de Hessiaan of discriminant van f in (x, y) gedefinieerd als D 2 f (x, y) = f xx (x, y)f yy (x, y) ( f xy (x, y) ) 2. De Hessiaan is de determinant van deze matrix: [ ] fxx (x, y) f xy (x, y) H f (x, y) =, f yx (x, y) f yy (x, y) welke ongelukkiggerwijs ook Hessiaan wordt genoemd. 23 4.6 VA
Tweede-orde afgeleide test Stelling Theorem 11, blz. 823 Stel (a, b) is een kritiek punt van f waarvoor f x (a, b) = f y (a, b) = 0. Stel de tweede-orde afgeleiden van f (x, y) bestaan in (a, b), en zijn daar continu, dan geldt het volgende: (i) Als D 2 f (a, b) > 0 en f xx (a, b) < 0 dan is (a, b) een lokaal maximum van f. (ii) Als D 2 f (a, b) > 0 en f xx (a, b) > 0 dan is (a, b) een lokaal minimum van f. (iii) Als D 2 f (a, b) < 0 dan is (a, b) een zadelpunt van f. (iv) Als D 2 f (a, b) = 0 dan is op grond van deze stelling geen uitspraak mogelijk. 24 4.7 VA Tweede-orde afgeleide test Voorbeeld Example 3 Bepaal aard en positie van de lokale extrema en zadelpunten van f (x, y) = xy x 2 y 2 2x 2y + 4. f is een polynoom, dus kritieke punten zijn punten (x, y) waarvoor f (x, y) = 0. f (x, y) = (y 2x 2, x 2y 2), het enige kritieke punt van f is ( 2, 2). [ ] [ ] fxx f xy 2 1 H f = =, 1 2 f yx f yy de determinant van deze matrix is D 2 f = 3 > 0. Omdat f xx ( 2, 2) = 2 negatief is, is ( 2, 2) een lokaal maximum. 25 4.8 VA
Absolute extremen Voorbeeld Zie example 4 Gegeven is de functie f (x, y) = 3y 2 2y 3 3x 2 + 6xy. Toon aan dat (0, 0) een zadelpunt van f is. f (x, y) = (6y 6x, 6y y 2 + 6x), dus f (0, 0) = (0, 0), met andere woorden: (0, 0) is een kritiek punt van f. [ ] fxx f xy H f = = f yx f yy [ ] 6 6, 6 6 2y dus D 2 f (x, y) = 6 (6 2y) 6 2 = 72(y 1). D 2 f (0, 0) = 72 < 0, dus (0, 0) is een zadelpunt. 26 4.9 VA Absolute extreme waarden Definitie Stel f : D R is een functie gedefinieerd op D R n. f (a, b) is een absoluut maximum van f op D als f (a, b) f (x, y) voor alle (x, y) D. f (a, b) is een absoluut minimum van f op D als f (a, b) f (x, y) voor alle (x, y) D. f (a, b) is een absoluut extreem van f op D als f (a, b) een absoluut maximum of een absoluut minimum is. Stelling Extreme Waardenstelling Stel f : D R is een continue functie gedefinieerd op een gesloten en begrensd gebied D R n, dan neemt f op D een maximum- en een minimumwaarde aan. 27 4.10 VA
Absolute extreme waarden Stelling Stel a is een absoluut extreem is van f : D R, en a ligt op het inwendige van D, dan is a een kritiek punt van f. Dit volgt uit het feit dat ieder absoluut extreem ook een lokaal extreem is. Hoe vind je de absolute extrema? Maak een lijst van kandidaten met daarin: 1. kritieke punten van f op het inwendige van D; 2. kandidaten op de rand van D. Bereken van alle kandidaten de functiewaarde en bepaal welke waarde het grootst, en welke waarde het kleinst is. 28 4.11 VA Absolute extreme waarden Voorbeeld Example 5 Bepaal de absolute extrema van de functie f (x, y) = 2 + 2x + 2y x 2 y 2 9 x + y = 9 III gedefinieerd op de driehoek begrensd door D de lijnen x = 0, y = 0 en x + y = 9. 0 9 II I 1. Op het inwendige van D f is overal differentieerbaar, dus kritieke punten zijn nulpunten van f. f (x, y) = (2 2x, 2 2y), dus (1, 1) is een kandidaat. 2. Op de rand van D Verdeel de rand van D in drie stukken: I: het lijnstuk van (0, 0) naar (9, 0); II: het lijnstuk van (0, 0) naar (0, 9); III: het lijnstuk van (0, 9) naar (9, 0); 29 4.12 VA
Voorbeeld (vervolg) I. De rand van I zijn kandidaten: (0, 0) en (9, 0). Voor het inwendige van I: parametriseer I: r(t) = (t, 0), 0 t 9. f ( r(t) ) = 2 + 2t t 2, en deze functie heeft een lokaal minimum voor t = 1, dit levert kandidaat (1, 0). II. Zowel f als D zijn symmetrisch ten opzichte van y = x: (0, 1) en (0, 9) zijn ook kandidaten. III. Parametriseer III met r(t) = (9 t, t), 0 t 9, dan f ( r(t) ) = 61 + 18t 2t 2. Deze functie heeft een lokaal maximum voor t = 9 2, dit geeft kandidaat (4.5, 4.5). 9 II 1 x + y = 9 D III 0 1 I 9 (x, y) f (x, y) (0, 0) 2 (1, 1) 4 max (1, 0) 3 (0, 1) 3 (9, 0) 61 min (0, 9) 61 min ( 9 2, 9 ) 2 41 2 30 4.13 VA