ONDER DE LOEP Naar de abtracte algebra? Inhoud. Inledng a. Aanledng en doelgroep b. Opbouw van de loep. Van egenchappen van bewerkngen met matrce naar groepen. Een leenreek over modulorekenen en de Chnee rettellng. Begrppen n verband met ba van een vectorrumte a. n de contet van magche verkanten b. n de contet van telel van eertegraadvergeljkngen c. n de contet van egenvectoren. Inledng a. Aanledng en doelgroep Op één been het moeljker danen dan op twee Daarom hebben we bj Utwkelng altjd potef getaan ten aanzen van de verchllende verneuwngen op nhoudeljk en ddactch vlak van de voorbje twntg jaar. Meer nog, we hebben on teentje bjgedragen tot deze veranderngen. Vandaag zjn onze wkundeleen over het algemeen wellcht meer dver dan enkele decenna geleden, waardoor meer leerlngen meer facetten van onze dcplne leren apprecëren. De deducteve poot waar het wkundeonderwj vroeger heel eenzjdg op teunde, heeft aan belang ngeboet en aangevuld met nducteve redenerngen, toepangen, ntegrate van rekenmachne en computer, afwelende werkvormen, enz. We danen vandaag op meer poten dan vroeger en we doen dat bljkbaar net lecht: de goede core de onze 5-jargen neerzetten op nternatonale vergeljkende tet, zoal onlang nog ut het PISAonderzoek bleek, vormen een aanwjzng voor de bljvend goede kwaltet van on hedendaag onderwj. Ervarngen met butenlande tudenten de n het Vlaame hoger onderwj ntromen, doen terk vermoeden dat dt ook geldt voor 8-jargen. Dat neemt net weg dat er aanhoudende gnalen zjn dat de recente evolute, voornameljk voor wkundg terke leerlngen, net enkel wnt opleverden. Een van onze leerlngen ut een 6u-rchtng gng dre jaar geleden wkunde tuderen. Meer dan een jaar later prak hj on op een opendeurdag laaend enthouat aan: wkunde wa fantatch! Maar hj vond wel dat wj hem leljk mled hadden: de wkunde de hj aan het departement wkunde kreeg, leek n net op wat hj n zjn ecundar onderwj had gezen. 9
Utwkelng / (zomer 8) Het vanut deze kwete dat we zjn gaan nadenken over een loep pecfek voor leerlngen de naat hun bapakket van ze uur wkunde nog één of meerdere uren etra wkundge vormng krjgen. Het valt nderdaad net te ontkennen dat we de laatte jaren mnder aandacht beteden aan een aantal typch wkundge apecten: aomatch-deducteve opbouw, abtracte, doorgedreven gebruk van ymbolche notate,... De recente verchuvngen n de leerplannen hebben mmer een aantal belangrjke wjzgngen ngelud. Onze Vlaame leerlngen krjgen vandaag een grondger vormng op het gebed van tattek en kanrekenng dan vroeger, wat hen beter voorberedt op talloze tude n het hoger onderwj. Docenten tattek zullen deze evolute zeker apprecëren, maar docenten wkunde betreuren dan weer openljk dat er daardoor mnder tjd naar andere, meer tradtonele onderwerpen kan gaan. Zo komen belangrjke begrppen al lneare afhankeljkhed, voortbrengend deel, vrj deel, ba, omorfme, net meer verplcht aan bod n een curu lneare algebra van het vrj onderwj, zelf net n rchtngen met zeven of acht uren wkunde. In het lnkende aantal cholen waar zo n rchtng nog wordt aangeboden, wordt de projecteve meetkunde van weleer mnder en mnder al onderwerp gekozen, vaak ten voordele van meer toegepate onderwerpen. In de leerplannen van het gemeenchaponderwj voor rchtngen met 7u wkunde wordt eplcet gevraagd enkele begrppen.v.m. tructuren te behandelen, zoal groepen, rngen, velden en vectorrumten. Maar ook daar bljft de opdracht beperkt tot het verwerken n een concrete tuate, vaak met beperkng van dmene en moeljkhedgraad en du zonder een echt abtracte en algemene behandelng. Net alleen gaan we n alle onderwjnetten du mnder vaak deductef tewerk, enkele tukken abtracte wkunde worden gewoonweg net meer behandeld. Zodoende dregt er een oort blnde vlek te onttaan op de wkundge vormng van onze terkte leerlngen. Al wkundelefhebber vnden we dt een voldoende argument om een een loep te wjden aan een tukje abtracte wkunde.
onder de loep Al gepaoneerden voor de ddactek van de wkunde wllen we echter nog et breder mkken. Het net onze bedoelng om gewoon de klok terug te draaen en een tukje Moderne Wkunde opneuw te promoten. We wllen vertrekken vanut de voorkenn en wkundebagage van de hedendaage leerlng en op een egentjde maner een tukje deducteve wkunde aanbeden. Gezen het reed volle leerplan voor leerlngen met ze uur wkunde, deze loep vooral bedoeld voor leerlngen de zeven of acht uur wkunde per week hebben. Maar het publek dat we voor ogen hebben betaat net alleen ut leerlngen. Meer en meer collega wkunde zjn geen lcentaat of mater n de wkunde: ze zjn burgerljk ngeneur, boloog, bongeneur, In hun opledng, ecundar en unvertar, zjn zj zelf wel n contact gekomen met wkunde, maar ze beoogden daar vaak de rjke toepangen en mnder de zuvere abtracte. Met deze loep wllen we ook hen aanpreken en motveren om zch n het potenteel van een abtracte benaderng te verdepen. Tuen haakje, het omgekeerde fenomeen doet zch vaak voor met tudenten de zuvere wkunde getudeerd hebben: zj hebben vaak weng zcht op het gebruk van wkunde n toepangen, waardoor zj voor dat apect nog veel kunnen ontdekken tjden hun onderwjloopbaan. Om mvertanden te vermjden: we bljven ervan overtugd dat voor de overgrote meerderhed van de leerlngen de hedendaage aanpak, van concreet naar abtract, veel toegankeljker dan van abtract naar concreet. Maar een beperkte groep terke leerlngen weet een tuk deductef opgebouwde leertof op een relatef hoog abtractenveau bet te apprecëren, net zoal wj dat deden toen we op de choolbanken zaten. De ervarng dat bnnen zo n aanpak werkeljk alle bewezen moet worden, kan de latere cultuurchok met een academche aanpak bovenden verklenen. Dt geldt n de eerte plaat voor leerlngen de wkunde gaan tuderen, maar ook voor tudenten de bjvoorbeeld fyca of burgerljk ngeneur gaan tuderen. We vnden overgen net dat het verklenen van de cultuurchok louter een verantwoordeljkhed voor het ecundar onderwj. Het onze taak om een voldoende dvere vormng aan te beden, zodat leerlngen de 6u wkunde of meer volgen, weten wat ze kunnen verwachten nden ze zuvere wkunde gaan tuderen. Maar we zjn van menng dat we net al onze leerlngen voltjd aan een academche aanpak moeten onderwerpen, voor het geval dat Een wj leerlngen hun nteree en talenten hebben helpen ontdekken en hen een bavormng hebben gegeven, er een belangrjke rol weggelegd voor de docenten ut het hoger onderwj om zo goed mogeljk aan te luten bj de voorberedng ut de humanora en de cultuurchok net onnodg groot te maken. De ndruk leeft dat het wkundeonderwj aan hogecholen en unverteten de laatte decenna globaal genomen weng rekenng gehouden heeft met de verander(en)de begntuate bj de ntromende tudenten. Herdoor de kloof groter dan weneljk en nodg. b. Opbouw van de loep Bj een tukje abtracte wkunde denken velen pontaan aan deducteve opbouw vanut een aantal aoma. Inden je zoet n de kla wl doen, dan preek je meteen over enkele leweken. Nochtan kun je op verchllende plaaten n onze hudge leertof een zjprong maken en vanut de kenn van dat moment een korte tele klm rchtng abtracte aanvatten. In paragraaf wordt dt geïllutreerd: je leet er hoe je, vertrekkend van de egenchappen van de matrbewerkngen, tot het begrp groep kunt komen. Een volledge leopbouw vnd je n paragraaf. Her wordt een tukje getaltheore vanaf nul opgetart, wordt het begrp groep geïntroduceerd, worden enkele belangrjke tellngen geformuleerd en, uteraard, bewezen. Al motvate voor zo n abtracte opbouw gebruken we twee net-trvale vraagtukken, de we aan het ende van het abtracte verhaal vrj gemakkeljk kunnen oploen. Op de
Utwkelng / (zomer 8) maner ontdekken leerlngen dat er meerwaarde kan chulen n een meer algemene behandelng van bepaalde problemen. Of met de mooe woorden van Jean le Rond d Alembert: L'algèbre et généreue, elle donne ouvent plu qu'on ne lu demande. In paragraaf worden dre voortellen gedaan om de begrppen lneare combnate, lneare afhankeljkhed, voortbrengende delen en baen van vectorrumten aan te brengen. Dt gebeurt vanut betekenvolle concrete conteten, nameljk magche verkanten, telel eertegraadvergeljkngen en egenvectoren. De voortellen worden net volledg utgewerkt. Daarvoor wordt verwezen naar andere bronnen. Dat we enkel toepangen ut de algebra behandelen, eerder toevallg gekomen, al gevolg van onze wen om aan te luten bj de voorkenn van leerlngen. Talloze domenen buten de algebra lenen zch echter even goed tot een mooe kennmakng met een abtracte theore. We nemen uw ervarngen op dat vlak trouwen graag op n een Spnnenwebartkel n een van onze volgende nummer van Utwkelng. Voor deze loep verwelkomen we nogmaal al medeauteur Stjn Symen (Unvertet Antwerpen), de al meechreef aan de loep over zeepvlezen en elatekje enkele nummer geleden.. Van egenchappen van bewerkngen met matrce naar groepen In de derde graad taat de tude van matrce op het programma. In de afgelopen jaren zjn het vooral de mooe toepangen van matrce buten de wkunde de n beeld gekomen zjn. Tegeljk kunnen matrce echter fungeren al een poort naar de abtracte algebra. Matrce zjn mmer de eerte objecten de geen getallen zjn en waarmee leerlngen bewerkngen leren utvoeren. Bovenden worden leerlngen bj de vermengvuldgng van matrce voor het eert geconfronteerd met een bewerkng waarbj ommge klaeke egenchappen net meer gelden. De egenchappen de leerlngen kennen van bewerkngen met getallen, verlezen hermee hun evdente karakter. Een gedroomde gelegenhed du om een tap te zetten n de rchtng van abtracte algebraïche ytemen, waarn gerekend wordt met abtracte objecten en waarn de bewerkngen om wel, maar om ook net de gewone egenchappen hebben. Heronder cheten we n het kort wat we bedoelen. In veel gevallen gaat het over klene ngrepen, de net per e meer tjd vergen dan je nu uttrekt. Andere uggete vergen meer tjd. Het perfect mogeljk ommge uggete wel n je leen te ntegreren en andere net. Egenchappen van de vermengvuldgng Beteed aanvankeljk net te veel aandacht aan de egenchappen van de optellng van matrce en de van het vermengvuldgen van een getal en een matr. De gekende egenchappen van de optellng en de vermengvuldgng van getallen bljven mmer geldg. Je kan er alleen maar een aae le rond maken... Trek daarentegen jut wel voldoende tjd ut voor de egenchappen van de vermengvuldgng van matrce. De vermengvuldgng een veel compleere bewerkng dan de optellng en er valt veel meer mee te beleven. Een eerte punt dat aan bod komt, de vattellng dat de vermengvuldgng van matrce net commutatef. Eén tegenvoorbeeld voldoende om te beluten dat de vermengvuldgng van matrce net commutatef. Toch het goed om er wat deper op n te gaan. Neem bjvoorbeeld de volgende producten:
onder de loep 5 7 6 5 7 8 * * 5 * en 7 6 8 5 6 * Je merkt dat er bj het berekenen van het (,)-element bj het eerte product andere getallen gebrukt worden dan bj het tweede product. Het du net te verwonderen dat we verchllende utkomten krjgen! Nu bljkt dat de vermengvuldgng net commutatef, verlet de aocatvtet van de vermengvuldgng haar vanzelfprekendhed. Dat een goed utgangpunt voor het leveren van een bewj. Het ook wel nodg dat leerlngen gemotveerd zjn, want het bewj van de aocatvtet vergt tevg ymbolch rekenwerk. Een moo bewj zonder rekenwerk teunt op het verband tuen de vermengvuldgng van matrce en het amentellen van lneare afbeeldngen, maar dat jammer genoeg net haalbaar op het nveau van het ecundar onderwj omdat lneare afbeeldngen net behandeld worden (op het ende van deze paragraaf kan je er een glmp van opvangen). Het mooe aan dt bewj het vertalen van een heel eenvoudg te bewjzen egenchap n één theore (de van de lneare afbeeldngen: aocatvtet van de amentellng van afbeeldngen trvaal) n een egenchap n een andere theore (de van de matrce) de veel moeljker rechttreek te bewjzen. Een geljkaardge vertalng van moeljk naar gemakkeljk, maar dan va het gebruk van een model buten de wkunde, vnd je n [5], p. 68 e.v. De aanpak wel haalbaar voor het ecundar onderwj. De verdente van deze vertalng dat je er het gevoel bj krjgt dat je weet waarom de aocatvtet geldt. Je moet er de leerlngen n dt geval wel op wjzen dat het net over een volledg bewj van de egenchap gaat, bjvoorbeeld omdat de nterpretate beperkt bljft tot matrce met natuurljke getallen al elementen. Ook de dtrbuteve egenchappen bljven geldg bj matrce (maar dat weer mnder pectacular dan bj de aocatvtet). Egenchappen van machten Dat de vermengvuldgng van matrce net commutatef, heeft voor gevolg dat heel wat rekenregel de we kennen van bj getallen, net mogen toegepat worden bj matrce. Zo gelden de geljkheden * *. ( a b) a ab b en ( ab) a b wél voor getallen, maar net voor matrce. Het n prncpe voldoende al je één tegenvoorbeeld geeft, maar ook her het wel goed om de vnger op de wonde te kunnen leggen. Dat kun je doen door het bewj van de egenchap bj getallen te analyeren. In de derde overgang heronder vervang je ab door ba, wat toegelaten bj getallen maar net bj matrce: ( a b) ( a b) ( a b) a a a a a b b a b b a b a b b ab b Nul en één, nvere Nu het een goed ogenblk om aan de leerlngen te vragen naar het equvalent van de getallen en bj matrce. Dat zjn de nulmatrce (gevuld met allemaal nullen) en de eenhedmatrce (net met
Utwkelng / (zomer 8) allemaal enen!). Je kan her bj aanknopen om het begrp nvere van een matr (en het fet dat net alle matrce een nvere hebben) aan te brengen. Nuldeler Om de vergeljkng 6 op te loen, ontbnden we het lnkerld n twee factoren en plten we de vergeljkng op n twee eenvoudger vergeljkngen: 6 en. We teunen herbj op de egenchap dat een product van twee getallen maar geljk kan zjn aan al één van bede factoren geljk aan. Bj matrce bljkt deze egenchap net meer op te gaan. Er zjn mmer matrce de zelf net nul zjn, maar waarvan het product wel nul. Bjvoorbeeld:. Dergeljke matrce worden nuldeler genoemd. Andere ntereante fenomenen de verbonden zjn met het betaan van nuldeler, zjn het betaan van net-evdente nlpotente matrce (matrce waarvan een macht geljk aan de nulmatr) en netevdente dempotente matrce (matrce waarvan het kwadraat geljk aan de matr zelf). Addteve en multplcateve groepen van matrce Nu heel wat evdente.v.m. de egenchappen van bewerkngen geneuveld zjn, het goed om even terug te blkken op de egenchappen van de optellng van matrce. Je kan dat bjvoorbeeld centreren rond de vraag welke egenchappen nodg zjn bj het oploen van de volgende matrvergeljkng: 8 6 8 6 8 7 6 5 8 7 6 5 8 7 6 5 X X X X X We maakten gebruk van de volgende egenchappen: het betaan van de tegengetelde van een matr, de aocatvtet van de optellng, het fet dat de nulmatr het neutrale element voor de optellng. Deze egenchappen garanderen je dat je elke matrvergeljkng van de vorm B X A (met A en B -matrce) kan oploen:
onder de loep A X B A ( A X ) A B ( A A) X A B O X A B X A B Omdat deze egenchappen gelden, noemt men n de wkunde de verzamelng van de -matrce (of algemener: de verzamelng van de mn-matrce), utgerut met de bewerkng optellng, een groep. De tegengetelde matr wordt het nvere element van de matr voor de optellng genoemd. De verzamelng van de -matrce, utgerut met de optellng, noteert men al,+. Omdat de optellng bovenden nog commutatef (wat we net gebrukt hebben bj het oploen van de vergeljkng),,+ een commutateve groep. Ook de verzamelng van de reële getallen, utgerut met de bewerkng optellng, een commutateve groep, genoteerd al,+. Alle vergeljkngen van de vorm a b (met a en b reële getallen) kunnen opgelot worden va dentek dezelfde tappen al herboven. Je kan de verzamelng getallen trouwen groter of klener maken. Zo vnd je de groepen,+,,+ en,+. Ook bjvoorbeeld de verzamelng van de even getallen of de veelvouden van 7, voorzen van de optellng, vormen een groep. Maar de verzamelng met de optellng vormt geen groep: een natuurljk getal heeft wel een tegengetelde maar dat behoort net tot de verzamelng. De verzamelng van de reële getallen, utgerut met de vermengvuldgng, geen (commutateve) groep, maar het cheelt net veel. Het neutrale element her het getal en het nvere element van een getal voor de vermengvuldgng, zjn omgekeerde. Het getal heeft echter geen omgekeerde. Het voltaat om dat getal ut te luten. We krjgen dan de (commutateve) groep,. Kunnen we met matrce ook een groep vormen voor de vermengvuldgng? We onderzoeken of het mogeljk alle vergeljkngen van de vorm A X B op te loen (met A en B verkante matrce met dezelfde afmetngen): A ( A A X B ( A X ) A A) X A E X A X A Om de factor A te neutraleren, moeten we nu vermengvuldgen met de nvere matr. We kunnen dat alleen doen al A nverteerbaar. Dat laat zen dat we bj matrce gedwongen zjn om alle netnverteerbare matrce ut te luten. Zo vnden we de (net-commutateve) groep van de nverteerbare nn-matrce utgerut met de vermengvuldgng. Abtracte groepen Dt een goed ogenblk om de leerlngen te confronteren met de defnte van een abtracte groep. Verondertel dat G een verzamelng van elementen. Deze elementen kunnen getallen zjn of matrce of nog andere objecten (bjvoorbeeld meetkundge tranformate al tranlate, rotate, B B B B 5
Utwkelng / (zomer 8) pegelngen, homotheteën,...). We noteren deze elementen n het algemeen al g, g,... Verondertel bovenden dat je met deze elementen een bewerkng kunt utvoeren,.e. je combneert twee elementen ut de verzamelng en krjgt al reultaat een element van de verzamelng. Je kunt her denken aan het optellen of vermengvuldgen van getallen of matrce, maar de bewerkng kan nog heel andere vormen aannemen, bjvoorbeeld het amentellen van meetkundge tranformate. Zo n abtracte bewerkng wordt n de wkunde vaak met een terretje genoteerd: het toepaen van de bewerkng op twee elementen g en g levert dan een ander element van G op dat al g g genoteerd wordt. De verzamelng G, utgerut met de bewerkng, genoteerd al G,, wordt een groep genoemd al en lecht al de volgende egenchappen gelden: de bewerkng aocatef: voor alle elementen g, g en g n G g g ) g g ( g ) ; ( g G bevat een element n dat neutraal voor de bewerkng : voor alle elementen g n G g n g n g ; elk element van G heeft een nver element: voor elk element g n G betaat er een element g n G waarvoor g g n g g. Al de bewerkng bovenden ook nog commutatef, wordt G, een commutateve groep genoemd. In wat voorafgaat hebben we al verchllende commutateve en net-commutateve groepen ontmoet. We geven nog twee andere voorbeelden. De ymmetregroep van een rechthoek Een rechthoek (de geen verkant ), bjvoorbeeld de rechthoek gevormd door de punten met coördnaten (,), (, ), (, ) en (,), heeft twee ymmetreaen (n het voorbeeld: de -a en de y-a) en één ymmetremddelpunt (her de oorprong O). Dat geeft on dre ometreën de de rechthoek op zchzelf afbeelden: de pegelng t.o.v. de -a, de pegelng y t.o.v. de y-a en de puntpegelng O t.o.v. de oorprong. Noem V de verzamelng gevormd door deze dre ometreën, aangevuld met de denteke tranformate, de natuurljk ook de rechthoek op zchzelf afbeeldt. Al bewerkng bechouwen we het amentellen, d.w.z. na elkaar utvoeren van de ometreën. Al we twee elementen ut V amentellen, krjgen we teed opneuw een van de elementen ut V. De ondertaande (Cayley)tabel toont dt (ometre ut de utert lnke kolom volgt op ometre ut de bovente rj): y O y O O y O y y O O y Het amentellen van ometreën aocatef (evdent!), de denteke tranformate vervult de rol van neutraal element (daarom hebben we ze opgenomen n V) en elk element heeft een ymmetrch element voor de amentellng (nameljk zchzelf). Dat betekent dat V, een groep. In de wkunde wordt deze groep de vergroep van Fel Klen genoemd. Er een lnk met matrce. Al er een aentelel bepaald n het vlak, heeft elke ometre de de oorprong nvarant laat een matrvoortellng. Neem bjvoorbeeld de pegelng t.o.v. de -a. Een 6
onder de loep punt P (, y) wordt afgebeeld op een punt P' (, y), waarbj, of n matrvorm: yy. Zo correpondeert de pegelng t.o.v. de -a met de matr y y. Het amentellen van ometreën komt overeen met het vermengvuldgen van hun overeenkomtge matrce. Het dan ook net verwonderljk dat een groep vormt.,,,, Strkt genomen deze groep van ver matrce natuurljk verchllend van de groep van ver tranformate, maar al je abtracte maakt van hun concrete verchjnngvorm, kan je de twee groepen al geljk bechouwen. In de wkunde zegt men dat deze groepen omorf zjn. De cyclche groep van orde n Ook de volgende verzamelng van matrce: 6 6 6 6 ( n) 6 ( n) 6 C co n co n co n, n n, n n,..., n n, n 6 6 6 6 ( n ) 6 ( n ) 6 n co n co n co n n n n n n utgerut met de vermengvuldgng, vormt een groep en heeft een ntereante meetkundge nterpretate. De elementen van C n correponderen met rotate rond de oorprong. Alle elementen zjn machten van één element, nameljk de matr de overkomt met de rotate over 6 /n. Al we n deze matr A noemen, kunnen we C n ook chrjven al C n { E, A, A,..., A }. De groep C n, omorf met de groep n,+ ut paragraaf : vermengvuldgen n C komt overeen met het optellen van eponenten en na n keer draaen, zjn we rond: A E. Omdat alle elementen voortgebracht worden door één element en we na een aantal keer rond zjn, wordt een dergeljke groep cyclch genoemd en wordt het ymbool C gebrukt. De vergroep van Klen wordt voortgebracht door twee elementen en du geen cyclche groep. C n, ook nog omorf met een andere groep de je n het ecundar onderwj ter prake kunt brengen, nameljk de multplcateve groep van de complee n-demachtwortel ut. A n n. Een leenreek over modulorekenen en de Chnee rettellng De tekt heronder vormt een leenreek om leerlngen ut de terkte wkundeklaen kenn te laten maken met een tukje theoretche wkunde. De opbouw et trakker dan gebrukeljk. Ook de tjl wjkt af van onze gebrukeljke hutjl. Het één grote werktekt, ngedeeld zoal n de meete curuen wkunde n het hoger onderwj (.,., defnte, tellng, bewj, ). Het geheel wordt ngeled en gemotveerd met een paar mooe problemen, maar de theore gaat een tuk verder dan het louter oploen van deze problemen. Het ook de bedoelng dat de leerlngen n contact komen met equvalenteklaen, enkele algebraïche tructuren, 7
Utwkelng / (zomer 8). De nood aan abtract rekenen. Twee vraagtukken Laten we om te begnnen een kjken naar de volgende twee probleempje: een oud en een recent. Vraagtuk (Chna, 7, Qn Juhao) Een oude vrouw gaat naar de markt om haar eeren te verkopen. Een paard trapt echter op haar eermand en breekt haar eeren. De man op het paard bedt de vrouw aan haar te vergoeden en vraagt hoeveel eeren er n de mand zaten. De vrouw kon zch dat net hernneren, maar ze weet nog wel dat al ze de eeren er per utnam, ze met één e overbleef, en hetzelfde gebeurde al ze de eeren er per utnam, per, per 5 of per 6. Al ze de eeren er per zeven utnam, dan bleef er geen e meer over. Hoeveel eeren had de vrouw mnten n haar mand? Vraagtuk (Poter Vlaame Wkunde Olympade 6-7) In de bjgaande fguur vnd je tandwelen de n elkaar haken. De pjltje wjzen teed naar boven en duden op dt moment het jaartal 6 aan. Al je aan één van de tandwelen draat, draaen de andere tandwelen mee. I het mogeljk om de tandwelen zo te draaen dat de pjltje het jaartal 7 weergeven? Vlaame Wkunde Olympade 8
onder de loep.. Een herformulerng van de problemen In wkundge bewoordng kunnen we het eerte vraagtuk herformuleren door n het aantal eeren te noemen en te zeggen dat n ret heeft bj delng door, bj delng door, bj delng door, bj delng door 5 en bj delng door 6. n bovenden deelbaar door 7. De opgave ut vraagtuk kan ook op analoge maner bechreven worden. Noem n nameljk het aantal tkje dat het grootte tandwel moet draaen om utendeljk 6 n 7 te veranderen (dt uteraard prece evenveel al het aantal tkje dat de andere tandwelen moeten draaen). Omdat het klente tandwel terug op de moet komen, moet n du deelbaar zjn door 5. Om dezelfde reden (kjk naar de twee mddelte tandwelen) moet n deelbaar zjn door 7 en door. Het grootte tandwel moet prece tkje verder taan, en zodu moet n ret hebben bj delng door (tenmnte al het grootte tandwel n tegenwjzerzn draat). In bede problemen merken we de nood aan het kunnen rekenen met reten van getallen na delng door één of meerdere getallen.. Rekenen modulo n Voor we begnnen aan deze mnder evdente vraagtukken, gaan we eert een kjken naar een eenvoudger probleempje. Vraagtuk Toon aan dat noot een deler van k k k al k. We kunnen dt teten voor enkele getallen en dt bljkt nderdaad waar te zjn, maar dat toont de egenchap net aan voor elke k. Daarom moeten we een neuwe tratege nvoeren. Voor het bewjzen van deze egenchap het nameljk helemaal net van belang wat de waarde van k, maar enkel wat de ret van k na delng door. In wat volgt bekjken we van een geheel getal net langer zjn waarde, maar enkel zjn ret bj delng door een vooraf bepaald getal n (n ). We kunnen de getallen met dezelfde ret dan groeperen. Laten we dt een bekjken voor n = 7: ret 5 6 gehele 7 6 5 getallen 5 6 met 7 8 9 deze 5 6 7 8 9 ret 5 6 7 Getallen ut hetzelfde vakje taan n verband met elkaar omdat ze dezelfde ret hebben na delng door 7. De volgende defnte legt dt concept vat voor wllekeurge n. 9
Utwkelng / (zomer 8) Defnte. Twee gehele getallen en y met dezelfde ret bj delng door n worden congruent modulo n genoemd. We noteren hervoor y (mod n ). We kunnen dt echter ook op een andere maner vatleggen. Egenchap. Twee gehele getallen en y zjn congruent modulo n al en lecht al n een deler van y. In ymbolen: y (mod n) n y Opdracht. Bewj deze egenchap. (Al en y dezelfde ret hebben bj delng door n = l n k en y = l n k voor zekere l, l en k. Bjgevolg y = ( l l) n en du n deelt y. Omgekeerd, al n een deler van y, dan betaat er een l zodat y = l n. Stel dat = l n k, dan y = l n = ( l l) n k en we vnden dat en y dezelfde ret k hebben bj delng door n.) Congruente modulo n voldoet aan de dre volgende egenchappen en daarom noemen we ze een equvalenterelate n de verzamelng : Refleef a : a a (mod n ) Symmetrch a, b : a b (mod n) b a (mod n ) Trantef a, b, c : a b (mod n) en b c (mod n) a c (mod n ) Opdracht. Toon deze egenchappen aan. (Refleef: n een deler van a a =. Symmetrch: al n een deler van a b, dan n ook een deler van b a. Trantef: al n een deler van a b en n een deler van b c, dan n ook een deler van ( a b) ( b c) = a c.) Deze equvalenterelate zorgt ervoor dat de verzamelng opgedeeld wordt n equvalenteklaen, de we n dt geval retklaen zullen noemen. In geval van het voorbeeld bj delng door 7 krjgen we du 7 retklaen, de overeen komen met de zeven verzamelngen van getallen n de kolommen van de voorgaande tabel. Elke verzamelng krjgt een naam, bjvoorbeeld: = { b b (mod7)}
onder de loep Voor een wllekeurge n geldt dan de volgende defnte: Defnte. a = { b b a (mod n )} Er zjn bj delng door n prece n verchllende reten mogeljk. Om de reden zjn er ook prece n retklaen. De verzamelng van de retklaen modulo n noteren we al n. We krjgen du dat = {,,, }. n n Merk op dat we ook andere gehele getallen kunnen nemen om de retklaen voor te tellen. Zo bjvoorbeeld 56 = 8 = = nden we rekenen n 8, aangezen 56, 8, en dezelfde ret hebben bj delng door 8. Het modulo-rekenen n komt on natuurljk over omwlle van het kloklezen: 5 betekent dat 5 uur ook al uur gelezen mag worden.. De optellng n n Laten we een terugkjken naar vraagtuk. We hebben nu = {,, } ngevoerd, wat on toelaat om met reten te werken n plaat van met de getallen zelf. Voor on vraagtuk wllen we echter ook kunnen optellen (of aftrekken) en kunnen vermengvuldgen (of een derdemacht nemen). I het mogeljk om twee retklaen a en b op te tellen? We wllen her twee verzamelngen optellen en al reultaat terug een verzamelng krjgen. Een noodzakeljke voorwaarde de we on moeten opleggen dat het net mag utmaken welk element van a en welk element van b we nemen om de optellng ut te voeren, het reultaat moet teed n dezelfde retklae vallen. Laten we bj wjze van voorbeeld een kjken naar 8. We wllen de retklae optellen met 5 : {,, 6,,, 8, } {,,, 5,,, 9, } Neem nu twee wllekeurge elementen: 6 en. We krjgen dan ( 6) = 5 7. Welke combnate van twee getallen we ook nemen, we krjgen teed een getal ut 7. Om deze reden vermoeden we dat het mogeljk om te chrjven dat Laten we dt nu voor een algemene n aantonen: Egenchap. a b (mod n) c d (mod n) 5 = 7. a c b d (mod n). Opdracht. Bewj deze egenchap.
Utwkelng / (zomer 8) n a b n c d ( n ( a b) ( c d) n ( a c) ( b d) Dt laatte equvalent met a c b d (mod n ).) Deze egenchap geeft du aan dat we een optellng kunnen defnëren de de om neemt van twee retklaen. Defnte. Inden a en b elementen zjn van n, dan wordt de optellng n n gegeven door a b = a b De + n het lnkerld dan de neuwe optellng van twee retklaen de we net gedefneerd hebben, de + n het rechterld dan de gewone optellng n. Voor de eenvoud chrjven we toch tweemaal hetzelfde teken. De optellngtabel van bjvoorbeeld 5 zet er dan al volgt ut: Je leet er ut af dat., 5 Aangezen de optellng n n gebaeerd op de optellng n, worden een aantal baegenchappen van overgezet op n : De optellng aocatef: n a, b, c : ( a b) c = a ( b c ). Er betaat een neutraal element, nameljk : n a : a = a = a Elk element heeft een nver element ten opzchte van de optellng: a, b : a b =. We noteren hervoor, zoal we gewoon zjn, De optellng commutatef: n n n b =a. a, b : a b = b a. Opdracht. Controleer deze egenchappen voor enkele getallen en bewj ze daarna.
onder de loep Een verzamelng (n dt geval n ) en een bewerkng op de verzamelng (n dt geval de optellng) de aan de boventaande egenchappen voldoen, noemt men n de abtracte wkunde een commutateve groep. Op dezelfde maner ook met de gewone optellng een commutateve groep.. De vermengvuldgng n n We zjn ook geïntereeerd om te kunnen vermengvuldgen n n. Net zoal bj de optellng moeten we on afvragen of dt allemaal wel lukt bj retklaen. Geljkaardg aan egenchap. hebben we Egenchap. a b (mod n) c d (mod n) a c b d (mod n) Opdracht.5 Controleer dt door enkele concrete getallen n te vullen. Bewj de egenchap ook algemeen. n a b n c( a b) n c d n b( c d) ( n c( a b) b( c d) n ac bd Dt equvalent met ac bd (mod n ).) Deze egenchap verklaart waarom we de vermengvuldgng kunnen nvoeren: Defnte. De vermengvuldgng op n wordt gedefneerd door ab = ab Ook her de vermengvuldgng n het lnkerld de (neuwe) vermengvuldgng van retklaen en de vermengvuldgng n het rechterld de (gekende) vermengvuldgng van gehele getallen. Opdracht.6 Leg dudeljk ut waarom je egenchap. nodg hebt om de vermengvuldgng te kunnen nvoeren. (Inden je een vermengvuldgng wl defnëren op n, moet je ervoor zorgen dat deze vermengvuldgng goed gedefneerd. Dt wl zeggen: de vermengvuldgng moet kloppen, ongeacht welke elementen ut de retklaen we gebruken. Je wl bjvoorbeeld dat n 8, dezelfde retklae geeft al. Dt her zo want 6 = n 8. Deze geljkhed geldt teed, want dat prece wat egenchap. zegt.)
Utwkelng / (zomer 8) Opdracht.7 Vul de vermengvuldgngtabel van en 5 aan.,, 5 Opneuw zjn er, net zoal bj de optellng, een aantal egenchappen waaraan voldaan : De vermengvuldgng aocatef: n a, b, c : ( ab) c = a ( b c ) Er betaat een neutraal element voor de vermengvuldgng, nameljk : n a : a a = a Er dtrbutvtet van de vermengvuldgng ten opzchte van de optellng: n De vermengvuldgng commutatef: a, b, c : a ( b c) = ab a c n a, b : ab = b a. Deze egenchappen kennen we ook n en worden her overgedragen op n. Opdracht.8 Verfeer deze egenchappen met concrete getallen, maar bewj ze ook algemeen. Laten we, nu we kunnen optellen en vermenngvuldgen modulo n, terugkeren naar vraagtuk. Dt vraagtuk gaf een egenchap over alle elementen van. Vermt de egenchap gaat over de deelbaarhed door, gaan we rekenen n. De te bewjzen egenchap wordt dan: voor elke k k k k. Door de defnte en egenchappen van optellng en vermengvuldgng n kunnen we dt omzetten n: voor elke k k k k.
onder de loep Vermt er maar dre retklaen zjn modulo, kunnen we dt nel nvullen en utrekenen. Opdracht.9 Toon nu de egenchap ut vraagtuk aan door de te verfëren voor de dre retklaen modulo. (We rekenen modulo en vullen achtereenvolgen,, n n de utdrukkng k k k : = = = = 8 = = 8 8 = = In geen van de dre gevallen komen we ut. Daarom zal deelbaar zjn door.) k k k noot 5
Utwkelng / (zomer 8). Inveren en nuldeler Over een nver element ten opzchte van de vermengvuldgng hebben we nog net geproken. Geldt de egenchap her ook? a, b : ab n n Het antwoord dudeljk NEEN. Met a kunnen we noot een b vnden zodat b =, want. (We gaan er her van ut dat n trkt groter dan. Het geval n wordt zelden bechouwd.) Om deze reden laten we alvat de buten bechouwng en vragen on af of de volgende egenchap geldt: a \, b : ab. n n Opdracht Controleer n de vermengvuldgngtabellen van en 5 (met telken buten bechouwng gelaten) of je teed een nver element kan vnden. (Wanneer we kjken naar de vermengvuldgngtabel van 5, merken we dat aan deze egenchap nderdaad voldaan : =, =, =, = Voor geldt dat geen nver element heeft ten opzchte van de vermenvuldgng.) Vermt net alle elementen een nver element hebben, kunnen we preken van de nverteerbare elementen n n en we noteren hervoor: * = a b : ab. n n n Naat de zoektocht naar nvere elementen, kunnen we nog et opmerken: n = =. We noemen een nuldeler n : het mogeljk om te chrjven al maal een retklae verchllend van (n dt geval ook ). Dt zjn we net gewoon bj het rekenen n. Ten gevolge van het betaan van nuldeler, komen er neen nog een aantal andere gekende en vaak toegepate egenchappen ut op de hellng te taan wanneer we werken n n. Zo zal bjvoorbeeld de chrapwet net zomaar mogen gebrukt worden: ab a c b c Opdracht. Zoek hervoor zelf enkele voorbeelden. (Neem bjvoorbeeld : =.) 6
onder de loep. Deelbaarhedegenchappen. De groott gemene deler Defnte. De grootte gemene deler van twee gehele getallen a en b het (uneke) trkt potef getal d zodat: (a) d a (b) d b (c) d het grootte getal dat voldoet aan (a) en (b). We noteren: d ggd( a, b ). Zo bjvoorbeeld ggd (5, ) = 5. Twee gehele getallen a en b heten relatef prem nden ggd( a, b ) =.. Het algortme van Euclde Voor het bepalen van ggd( a, b ) gebruken we de volgende egenchap: Egenchap. ggd( a, b) = ggd( b, a b ) Bewj. Elke gemene deler van a en b ook een gemene deler van b en a b, en omgekeerd: elke gemene deler van b en a b een gemene deler van (a b) + b = a en b. Bjgevolg ggd( a, b) = ggd( b, a b ). We kunnen de groott gemene deler van a en b bepalen door teed de klente van de grootte af te trekken, totdat de twee getallen geljk zjn. Bjvoorbeeld: ggd(78,) = ggd(8,) = ggd(,8) = ggd(8,) = ggd(, 6) ggd (6, 6) 6. Het algortme van Euclde gaat deze rekenmethode vernellen door gebruk te maken van de volgende egenchap, een veralgemenng van egenchap.. Egenchap. (De Eucldche delng) Inden a en b trkt poteve gehele getallen zjn, betaan er uneke gehele getallen q (quotent) en r (ret) zo dat a = bq r r < q. In dt geval ggd( a, b) = ggd( b, r ). Herdoor kan je meteen overgaan van ggd (78,) naar ggd (,8). 7
Utwkelng / (zomer 8) Algortme van Euclde De groott gemene deler van twee poteve getallen a, b (met a > b ) kan je al volgt bepalen: Stap : tel = a en y = b. Stap : bepaal de ret r bj delng van door y. Ga naar tap. Stap : nden r = ggd( a, b) = y. Je bent klaar. Inden r, geef dan de waarde y en y de waarde r en ga dan terug naar tap. Laten we dat meteen op een voorbeeld toepaen en de ggd (5, 55) berekenen: We vnden dat ggd (5, 55) = 5. 5 55 5 55 5 5 7 5 5 Om een goed algortme te hebben, moeten we zeker zjn dat er oot een ende aan komt. Heraan echter voldaan. We krjgen mmer algemeen het volgende verloop: a q b r met r b b q r r met r r r q r r met r r r q r r met r r enz. Vermt < r < r < r < r < b en er maar een endg aantal poteve getallen klener dan b zjn, weten we zeker dat het algortme topt. Opdracht. Bepaal zelf ggd (8, 5) en ggd (5, 56). ( ggd (8, 5) = en ggd (5, 56) = ). De tellng van Bézout De tellng van Bézout gaat nog et verder dan het algortme van Euclde. We zouden nameljk graag de groott gemene deler van a en b wllen kunnen chrjven al een lneare combnate van a en b. Stellng. (Bézout) De grootte gemene deler van trkt poteve gehelen a en b kan gechreven worden al lneare combnate van a en b. Met andere woorden, er betaan gehele getallen r en zodat ggd( a, b) = r a b. Uteraard zal één van bede getallen teed potef zjn en het andere negatef. 8
onder de loep Bewj. We bewjzen deze tellng door het algortme van Euclde, dat we n de vorge paragraaf zagen, ut te breden. We zullen tjden dt proce nameljk teed de reten r, r, r, chrjven al een aantal keer a plu een aantal keer b. We tarten door dt eert met a en b te doen. a a b b ab Omdat elke ret kan gechreven worden al een lneare combnate van de vorge reten, kan elke volgende rj n onze tabel heronder gechreven worden al lneare combnate van de twee vorge rjen. De volgende tappen worden dan: enzoverder. rj : a a b rj : b a b rj : r a q b want r a qb en du: rj = rj q rj y rj : r a y b want r b q r en du: rj = rj q rj r a y b r r qr q rj 5: want en du: rj 5 = rj rj We bepalen du teed en y door = q y = y q y Utendeljk zal er een natuurljk getal k betaan zodat r = ggd( a, b ). Vermt we volgen dt utgebred algortme van Euclde r k kunnen chrjven al rk = k a yk b, hebben we du een r en een gevonden zodat k ggd( a, b) = r a b. We hebben nu net alleen bewezen dat zo een r en een betaan, we hebben ook meteen een methode bechreven om de r en de te bepalen. Laten we dt een doen voor het voorbeeld van daarnet. We zoeken r, zodat 5 = r5 55. We paen het utgebrede algortme van Euclde toe, maar geten dt n een handg rekenchema. r q y berekenng 5 rj 55 rj 5 5 = 5 55 en du rj = rj rj 5 = 55 5 en du rj = rj rj 5 7 8 9 5 = 5 7 en du rj 5 = rj 7 rj = 5 en we toppen. We vnden du 5 = 85 ( 9) 55 9
Utwkelng / (zomer 8) Opmerkng. Deze getallen r en ut de tellng zjn net unek. Zo zou je voor 5 en 55 ook nog een andere oplong kunnen vnden: 95 55 = 5. Opdracht. Schrjf ggd (8, 5) al lneare combnate van 8 en 5 alook ggd (5, 56) al lneare combnate van 5 en 56. ( ( 55) 8 7 5 = en ( 695) 5 7 56 = ). Het bepalen van nvere retklaen Bj het rekenen modulo n, zagen we dat net alle retklaen een nvere hebben voor de vermengvuldgng modulo n. In deze paragraaf beantwoorden we de volgende twee vragen: Wanneer heeft een retklae een nvere en hoe bepalen we de nvere retklae? Voor het antwoord van de eerte vraag gebruken we de tellng van Bézout n het pecale geval dat ggd( a, b ) =. Inden a en b relatef prem zjn, betaan er mmer r, zodat ra b =. Ook omgekeerd geldt dat al je getallen r en n kan vnden zodat ra b =, dat dan a en b relatef prem zjn (dt kan je aantonen door te verondertellen dat ze wel een gemeenchappeljke deler hebben en dan een contradcte te bekomen). De volgende tellng beantwoordt dan de eerte vraag. Stellng. Stel al a en n relatef prem zjn. a en n, n. Dan geldt: a heeft een nvere n n al en lecht Bewj. a heeft een nvere n n al er een l betaat zodat l a (mod n ), met andere woorden al er een k betaat zodat l a k n =. Dt volgen de tellng van Bézout en zjn nvere tellng dan weer equvalent met het fet dat ggd( a, n ) = en du dat a en n relatef prem zjn. De tweede vraag wordt dan beantwoord door het utgebrede algortme van Euclde. Inden je mmer de nvere wl bepalen van a n, met ggd( a, n ) =, dan kan je door dat algortme getallen r en bepalen zodat ra n =. r dan de nvere van a n n. n Voorbeeld. Laten we bj wjze van voorbeeld de nvere van 7 bepalen n 8. Vermt 7 en 8 relatef prem zjn, kunnen we het utgebrede algortme van Euclde gebruken om een lneare combnate van 7 en 8 te vnden de geeft. We vnden: 9 = du de nvere van 7 n 8. 88 97 = ( 9) 7 (mod8).
onder de loep. De Chnee rettellng Endeljk het tjd om terug te keren naar vraagtuk en. Nu we ntuen de modulonotate gewend zjn, kunnen we de vraagtukken herformuleren. Vraagtuk wordt: zoek een zodat het een oplong voor het telel Vraagtuk wordt: zoek een (mod ) (mod ) (mod ) (mod 5) (mod 6) (mod 7) zodat het een oplong voor het telel (mod 5) (mod 7). (mod) (mod) Twee vragen moeten we on tellen: Betaat er zo een oplong? en Hoe bepalen we de oplong?. De volgende tellng geeft een antwoord op bede vragen: Stellng. (De Chnee rettellng) Stel dat n, n,, n k gehele getallen zjn de twee aan twee relatef prem zjn. Dan heeft het telel a (mod n ) a (mod n ) ak (mod nk ) een oplong en de oplong unek modulo n = n n... n k. Daarmee bedoelen we dat al en ' allebe oplongen zjn van het telel, dat dan (mod n ). Ook anderom valt makkeljk n te zen dat al een oplong en (mod n ), dat dan ook ' een oplong. Het bewj baeert zch op het fet dat al een geheel getal relatef prem ten opzchte van verchllende getallen, dat het dan ook relatef prem ten opzchte van het product van de getallen. Alvoren we aan het bewj van deze krachtge tellng begnnen, kunnen we proberen aan te voelen wat er prece moet gebeuren door enkele eenvoudge voorbeelden te bekjken. Voorbeeld. Zoek de oplong de voldoet aan de volgende vergeljkngen: (mod 5). (mod 7)
Utwkelng / (zomer 8) We zoeken du een zevenvoud dat ret heeft bj delng door 5. Je vndt al nel al reultaat door gewoon te proberen. Hetzelfde antwoord had je verkregen door de tellng van Bézout te gebruken om een lneare combnate van 5 en 7 te bepalen: Je neemt dan 7 = al utkomt. 7 ( ) 5 =. Voorbeeld. Zoek de oplong de voldoet aan de volgende vergeljkngen: (mod 5) (mod 7) Om dt telel op te loen, loen we eert twee eenvoudgere telel op: u u (mod 5) (mod 7) en u u (mod 5) (mod 7) Het lnke telel loten we op n voorbeeld, het antwoord her wa u =. Het rechte telel geeft al nel al oplong u = 5 want 5 (mod5). Vanut deze antwoorden kunnen we dan ook heel eenvoudg oplongen bepalen voor (mod 5) (mod 7) en (mod 5). (mod 7) De oplongen hervan zjn nameljk = u = 6 voor het lnke telel en = u = voor het rechte. Nu gaan we deze twee antwoorden combneren tot de oplong van het oorpronkeljk telel. We tellen ze nameljk gewoon op: = = 6 = 9. Inden we mmer bj een vjfvoud bjtellen, bljft de ret bj delng door 5 nog teed, al we bj een zevenvoud bjtellen, bljft de ret bj delng door 7 nog teed. 9 echter net de klente oplong voor dt telel. Al we er een veelvoud van 5 van aftrekken, krjgen we teed een oplong: 58 en zjn ook oplongen. Voorbeeld. Zoek de oplong de voldoet aan de volgende vergeljkngen: (mod ) (mod ) (mod 5) (mod 7) Om dt telel op te loen zetten we het om n een equvalent telel. Vermt deelbaar moet zjn door, en 5, moet het ook deelbaar zjn door hun product. (mod ) (mod 7) Dt probleem dan geljkaardg aan dat n voorbeeld.. We vnden (bjv. va Bézout) dat ( 7) 7 =.
onder de loep Een oplong voor het telel dan =. Voorbeeld. Zoek de oplong de voldoet aan de volgende vergeljkngen: (mod ) (mod ) (mod 5) (mod 7) Dt een voorbeeld van de Chnee rettellng n zjn algemene vorm. Opdracht. Combneer de methode ut voorbeeld. en voorbeeld. om dt telel op te loen. (Ga ut van ver geljkaardge telel met telken dremaal en éénmaal n het rechterld. Deze ver telel kunnen we dan herchrjven naar: u u u u (mod5) (mod ) (mod ) (mod 5) We vnden hervoor de oplongen u u u u (mod 7) (mod ) (mod ) (mod 7) u = 5, u = 7, u = 6, u =. De oplong de we zoeken dan de lneare combnate bepaald door de coëffcënten (,,, ) ut de opgave: = 5 7 6 = 787 We trekken her weer een aantal keer van af en vnden 57.) Deze laatte oplongmethode wordt geformaleerd n het volgende bewj. Bewj van de chnee rettellng. Noem m = n/ n voor elke {,, k } (dt het product van alle n j, zonder n ). Dan m relatef prem ten opzchte van n en du geldt volgen Bézout dat Stel nu u = m, dan of na vermengvuldgen met a : {,, k}, r, : ggd( n, m ) = = r n m. u = r n (mod n ) u = m (mod n j ) j Herut volgt dat au a (mod n ) au (mod n j ) j a u a u a u =... k k
Utwkelng / (zomer 8) een oplong voor het telel. Inden ' een andere oplong voor het telel, dan ' (mod n ) voor elke {, k }, m.a.w. n ( '). Vermt alle n relatef prem zjn, ook het product n een deler van '. Daarom ' (mod n ). Het vorge bewj geeft naat het bewj zelf ook de algemene oplongmethode weer. Deze methode zullen we gebruken om vraagtuk en op te loen. 5. De oplongen van de vraagtukken Vraagtuk De Chnee rettellng geeft een oplong voor een telel nden alle getallen n relatef prem zjn. Helaa dat voor het eerte vraagtuk net het geval. We zullen du onze vergeljkng zo moeten aanpaen dat n de neuwe tuate alle getallen ten opzchte dewelke we modulo moeten nemen, relatef prem zjn. Gelukkg zjn er een aantal vergeljkngen de het gevolg zjn van andere vergeljkngen. Zo geldt: en (mod ) (mod ) (mod 6) (mod ) (mod ). Herdoor kan het telel van de ze vergeljkngen herled worden naar een telel met ver vergeljkngen:
onder de loep (mod ) (mod ) (mod 5) (mod 7) Dt telel voldoet wel aan de begnvoorwaarden van de Chnee rettellng. We vnden her dat n = 57 =. Nu bepalen we achtereenvolgen de verchllende waarden ut het bewj: n n n 5 n 7 m / m / 5 m /5 8 m / 7 6 7 6 5 7 5 8 7 7 6 we bepalen dan de door = u uu u ut te rekenen. Dt wordt: = 5 8 = 9. u u 5 u 8 u Omdat een oplong van dt telel teed op een veelvoud van na gegeven wordt, zjn {, 9,, 7,, } allemaal oplongen van het telel. De vrouw had du waarchjnljk eeren bj (maar het hadden er ook 7 kunnen zjn). Vraagtuk Bj het vraagtuk van de tandraderen zjn de getallen 5, 7, en wel allemaal onderlng relatef prem en kunnen we rechttreek het algortme n het bewj toepaen. We hebben her dat n = 5 7 = 55. Nu bepalen we achtereenvolgen de verchllende waarden ut het bewj: n 5 n 7 n n m 55/ 5 m 55/ 7 75 m 55/ 55 m 55/ 85 5 7 75 55 8 5 85 we bepalen dan de door = u u uu ut te rekenen: u u 75 u 65 u 95 = 95 We moeten du 95 tkje draaen om 6 te veranderen n 7. Ook her zjn er nog andere oplongen mogeljk: 95 55 = 8 geeft mmer een andere oplong. Na 8 tkje draaen n de andere rchtng krjgen we ook 7. Opmerkng. De oplongmethode her kon ook nog erg ngekort worden door de twee telel op een eenvoudgere maner te chrjven. Het telel ut vraagtuk kon nog makkeljker gechreven worden al 5
Utwkelng / (zomer 8) (mod 6) (mod 7) en het telel ut vraagtuk kon, analoog aan voorbeeld, ook gechreven worden al (mod 85) (mod) Opdracht. Herhaal vraagtuk, maar dan voor de overgang van 99 naar. (Het telel wordt dan: (mod 5) (mod 7) (mod) (mod) Inderdaad, het klente tandwel moet op zjn plaat bljven, het tweede tandwel moet tkje n tegenwjzerzn draaen, het derde tandwel moet tkje n tegenwjzerzn draaen (maar draat n wjzerzn), het grootte tandwel moet tkje n tegenwjzerzn draaen (en draat n tegenwjzerzn). We gebruken dezelfde getallen al bj de utwerkng van vraagtuk, en vnden al oplong: Dt geeft: = u u u u. = 75 65 95 = 5685 Het tweede tandwel moet du 5685 tkje n tegenwjzerzn draaen. Natuurljk mag je er teed veelvouden van 55 bj optellen of van aftrekken. Du ook 5685 55 = 68 tkje een oplong. Men moet het tweede tandwel du 68 tkje n tegenwjzerzn draaen om 99 om te zetten naar.). Begrppen.v.m. ba van een vectorrumte Vóór de laatte wjzgngen n de leerplannen werd er n het vrj onderwj deper ngegaan op vectorrumten dan nu het geval. Bj het brantormen over deze loep contateerden we bj de redacteleden een zekere hemwee naar de begrppen de verband houden met ba van een vectorrumte (lneare (on)afhankeljkhed, voortbrengend deel, dmene,...). Het gaat over begrppen de crucaal zjn n de hudge wkunde en relatef toegankeljk zjn, maar net langer voorkomen op het leerplan, ook net bj de utbredngdoeltellngen n het leerplan voor de 6-uurrchtngen. In het leerplan van het gemeenchaponderwj gaat het wel over baleertof, maar daar heeft men dan ook 7 wekeljke letjden. In dat leerplan een apart tukje over wkundge tructuren waarn onder andere de begrppen lneare onafhankeljkhed en ba aan bod komen. De voorgechreven wkundge tructuren (groep, rng, veld, vectorrumte) hoeven net onder de vorm van één ononderbroken leenreek aan bod komen, maar het de bedoelng dat ze tuk voor tuk gekoppeld 6
onder de loep worden aan andere onderwerpen en het moet voor de leerlngen dudeljk worden dat de tructuren n kwete een meerwaarde betekenen voor de tude van de andere onderwerpen. Dat laatte een maner van werken de aanlut bj onze opvattngen. De begrppen de ngevoerd worden, moeten werktugen zjn n de contet van het oploen van bepaalde problemen. Het moet voor de leerlngen m.a.w. dudeljk zjn dat de ngevoerde concepten nuttg zjn. Voor alle dudeljkhed: het beklemtonen van deze nuttghedwaarde hoeft net te betekenen dat de begrppen ngevoerd moeten worden vanut een toepang buten de wkunde. De betrokken leerlngen kunnen zeker ook gemotveerd worden vanut problemen bnnen de wkunde. We cheten heronder n het kort dre mogeljkheden voor enkele leen herover. Voor de eerte twee verwjzen we naar tekten de we zelf gechreven hebben. Het gaat om tekten de al een zekere leeftjd hebben en de du gechreven zjn n een contet de verchlt van de hudge. Toch denken we dat ze ook nu nog brukbaar zjn, ook al zal je her en daar natuurljk wat moeten aanpaen. 7
Utwkelng / (zomer 8) a.... n de contet van magche verkanten Bjna vjfentwntg jaar geleden (n UW /) chreven we een loep over lneare algebra (de je ondertuen ntegraal op de te vndt: ke Oude jaargangen n het lnkerzjframe). Op dat ogenblk tond n de terk wkundge tuderchtngen een tude van vectorrumten op het programma. Vaak werd deze leertof terk theoretch en technch behandeld, met weng aandacht voor de ntrneke beteken van de begrppen en voor de rol de ze peelden al antwoord op problemen. Met de redacte van Utwkelng wlden we laten zen dat het ook ander kon. Deze loep bechrjft hoe je het begrp ba kan aanbrengen va tappen de elkaar vanut ddactch tandpunt logch opvolgen: Lneare combnate zjn de natuurljke bewerkngen de je n vectorrumten kunt utvoeren. Som kun je alle vectoren generen door lneare combnate te maken van enkele vectoren. Deze vectoren vormen dan een voortbrengend deel. Daarna komt de problematek van het vnden van een zo klen mogeljk voortbrengend deel aan bod. Het n dat kader dat lneare (on)afhankeljkhed op een natuurljke maner zjn plaat kan vnden. Een mnmaal voortbrengend deel een ba en elke ba van een gegeven vectorrumte heeft hetzelfde aantal elementen. In de loep paten we deze opbouw toe op een voorbeeld: we brachten de begrppen.v.m. ba van een vectorrumte aan n de contet van het ytematch genereren van magche verkanten van op, waarbj een magch verkant ut de prent Melancola van A. Dürer al aanledng fungeerde (gebaeerd op []). In deze bjdrage toonden we bjvoorbeeld dat de magche -verkanten (zonder de e dat de elementen onderlng verchllend en geheel zjn) een 7-dmenonale vectorrumte vormen en dat het magche verkant van Dürer te chrjven al een lneare combnate van zeven ba-magcheverkanten : 8
onder de loep 9 6 7 8 8 5 7 6 9 8 5 6 b.... n de contet van telel van eertegraadvergeljkngen In de loep van UW / hebben we de begrppen.v.m. ba van een vectorrumte ngebed n een wkundge contet, nameljk telel van eertegraadvergeljkngen. Het hervoor net nodg om de behandelng van telel dratch te veranderen. Je kan de begrppen.v.m. lneare combnate met een mnmale tjdnveterng ter prake brengen terwjl je de leerlngen de technek leert om telel op te loen. Achteraf moet je de begrppen wel lokoppelen van telel. We cheten kort de rode draad. Centraal taat het verband tuen het aantal vergeljkngen n een telel, het aantal onbekenden en het aantal parameter n de oplong. Het n het kader van het goed tellen van het aantal vergeljkngen n een telel dat we lneare combnate en lneare (on)afhankeljkhed van vergeljkngen aanbrengen. Ook bj het noteren van de oplong van een homogeen telel komt het begrp lneare combnate van pa. Het aantal parameter dat we n de oplong gebruken, ledt tot de begrppen ba en dmene van de oplongenverzamelng. Ook her laten we je even proeven van de aanpak. We doen dat a.d.h.v. het telel 5 5 5 5 5 5 met al oplongen reële getallen) en, ( 5 k k k k k k k k k k Bj het rjherleden van het telel verchjnen er onderaan twee nulrjen. Al je de rjtranformate ytematch volgt, kan je herut afleden dat de derde en verde vergeljkng lneare combnate zjn van de eerte twee vergeljkngen, meer bepaald v v v en v v 7 v. De derde en verde vergeljkng zjn du lnear afhankeljk van de eerte twee en het telel telt bjgevolg lecht twee lnear onafhankeljke vergeljkngen. Dat verklaart waarom er n de oplong dre parameter