65 Impulfunctie In deze paragraaf kijken we naar verchijnelen waarbij in zeer korte tijd een (grote kracht op een yteem wordt uitgeoefend Zo n plotelinge kracht kunnen we bechrijven met behulp van een zogenaamde impulfunctie Eert definiëren we voor τ > : d τ (t = Deze functie heeft de eigenchap dat I(τ := { /2τ, τ < t < τ, t τ of t τ d τ (t dt = voor alle τ Vervolgen kijken we naar de limiet voor τ Duidelijk i dat lim d τ (t = voor t τ Maar aangezien I(τ = voor iedere τ geldt ook lim I(τ = τ De functie δ die op deze manier onttaat wordt de Dirac deltafunctie genoemd Het i echter geen functie, maar een zogenaamde gegeneralieerde functie of ook wel ditributie De Dirac deltafunctie wordt vatgelegd door de twee eigenchappen: δ(t = voor t en δ(t dt = Deze Dirac deltafunctie doet dient al een bai (eenheid impulfunctie, die een plotelinge kracht in een (zeer korte tijd bechrijft Door met een contante te vermenigvuldigen kan de grootte van de kracht worden weergegeven In het boventaande wordt de kracht uitgeoefend op tijdtip t =, maar dit i eenvoudig te generalieren naar een tijdtip t = t : δ(t t = voor t t en δ(t t dt = We gaan nu de Laplace getranformeerde van de Dirac deltafunctie bepalen Daarvoor kijken we eert naar de Laplace getranformeerde van de functie d τ (t en nemen vervolgen de limiet τ We definiëren: { /2τ, t τ < t < t + τ d τ (t t =, t t τ of t t + τ voor τ > We nemen verder aan dat t > en dat τ > zo klein i dat ook t τ > Dan volgt: L {d τ (t t } ( = e t d τ (t t dt = +τ e t dt 2τ t τ = 2τ e t t +τ t=t τ = 2τ e t (e τ e τ = inh τ e t τ
Nu i: Du: inh τ lim τ τ = lim τ coh τ = L {δ(t t } ( = lim τ L {d τ (t t } ( = e t, t > Dit i formule 7 van de tabel op pagina 32 Al we nu de limiet t nemen vinden we L {δ(t} ( = lim t e t = Op oortgelijke manier i het mogelijk om de integraal van het product van de Dirac deltafunctie met een willekeurige continue functie te definiëren Er geldt: δ(t t f(t dt = lim d τ (t t f(t dt τ Gebruikmakend van de definitie van d τ (t t vinden we met behulp van de middelwaardetelling voor integralen: d τ (t t f(t dt = +τ f(t dt = 2τ t τ 2τ 2τ f(t = f(t voor zekere t met t τ < t < t + τ Nu geldt dat t t voor τ en du: δ(t t f(t dt = f(t Voorbeeld Stel dat f(t = δ(t π co t, dan volgt: F ( = L {f(t} ( = e t f(t dt = e t δ(t π co t dt = e π co π = e π Ondank het feit dat de deltafunctie helemaal geen functie i kunnen we er toch prima mee rekenen Het telt on in taat om ituatie waarin een grote kracht wordt uitgeoefend gedurende een (zeer korte tijd (een fractie van een econde goed te bechrijven en te modelleren Voorbeeld 2 Bechouw het beginwaardeprobleem { y + 4y = δ(t π Stel dat L {y(t} ( = Y (, dan volgt: y( =, y ( = 2 Y ( y( y ( + 4Y ( = e π = ( 2 + 4Y ( = + e π Du: Y ( = 2 + 4 + e π 2 + 4 = y(t = co 2t + 2 u π(t in 2(t π 2
Voorbeeld 3 Uit het tentamen van 3 augutu 2: Bepaal de oploing van het beginwaardeprobleem y (t 3y (t + 2y(t = in t + δ(t π, y( =, y ( = 2 Stel Y ( = L{y(t}(, dan volgt: 2 Y ( y( y ( 3 [Y ( y(] + 2Y ( = 2 + + e π Met de beginvoorwaarden y( = en y ( = 2 volgt nu: en du ( 2 3 + 2Y ( = + 2 + + e π = 3 2 + 2 + e π + Y ( = Met behulp van breukpliting vinden we nu: en 3 2 + ( ( 2( 2 + + e π ( ( 2 3 2 + ( ( 2( 2 + = 2 + 6 5 2 + 3 2 + + 2 + Terugtranformeren geeft ten lotte: ( ( 2 = 2 y(t = 2 et + 6 5 e2t + [ (3 co t + in t + u π(t e 2(t π e t π] We zien dat we met behulp van de Laplace tranformatie heel gemakkelijk kunnen rekenen met de Dirac deltafunctie Beginwaardeproblemen zoal in boventaande voorbeelden zijn met conventionele methoden (vrijwel niet op te loen 66 De convolutie integraal Vaak i het mogelijk om de Laplace getranformeerde van een onbekende functie te pliten in een product van twee Laplace getranformeerden van bekende functie Bijvoorbeeld: waarbij H( = ( 2 + ( 2 + 4 = 2 + 2 = F ( G(, + 4 F ( = 2 = L {in t} ( en G( = + 2 = L {co 2t} ( + 4 In dat geval geldt de volgende telling: 3
Stelling Al F ( = L {f(t} ( en G( = L {g(t} ( beide betaan voor > a, dan i F (G( = H( = L {h(t} (, > a met h(t = f(t τg(τ dτ = f(τg(t τ dτ De functie h(t heet wel de convolutie of het convolutieproduct van de functie f(t en g(t Notatie: h = f g of h(t = (f g(t De beide integralen worden wel convolutie integralen genoemd Bewij Er geldt du: F ( = e u f(u du en G( = e τ g(τ dτ Dan volgt: ( ( H( = F (G( = e u f(u du e τ g(τ dτ { } = g(τ e (u+τ f(u du dτ Gebruik nu de ubtitutie u + τ = t oftewel u = t τ, dan volgt: { } { H( = g(τ e t f(t τ dt dτ = e t τ } f(t τg(τ dτ dt De laatte tap wordt verkregen door de volgorde van integratie te verwielen Zie hiervoor figuur 66 op pagina 352 van het boek Nu geldt du: H( = L {h(t} ( met h(t = f(t τg(τ dτ Dat deze integraal gelijk i aan de andere integraal i eenvoudig in te zien door een ubtitutie van de vorm τ = t σ Dan volgt: h(t = Dit bewijt de telling f(t τg(τ dτ = t f(σg(t σ dσ = f(σg(t σ dσ Voor het convolutieproduct zijn de volgende rekenregel eenvoudig na te gaan: f g = g f f (g + g 2 = f g + f g 2 (f g h = f (g h f = f = Deze eigenchappen lijken veel op de eigenchappen van een gewoon product Daarom preekt men ook van een convolutieproduct Hierbij moet wel worden opgemerkt dat niet alle eigenchappen van gewone producten ook opgaan voor convolutieproducten Zo geldt bijvoorbeeld: (f (t = f(τ dτ = 4 f(τ dτ
en du voor f(t = co t (f (t = co τ dτ = in τ t τ= = in t Du: (f (t f(t Verder kan f f bet negatief zijn zoal blijkt uit het volgende voorbeeld: al f(t = in t, dan volgt (f f(t = = in τ in(t τ dτ = 2 [ 4 in(2τ t 2 τ co t ] t τ= {co(2τ t co t} dτ = 4 in t 2 t co t + 4 in t = 2 in t t co t 2 Voor bijvoorbeeld t = 3 2 π i dit gelijk aan 2 We keren nu even terug naar het eerte voorbeeld: H( = ( 2 + ( 2 = F ( G( met F ( = + 4 2 + en G( = 2 + 4 Volgen telling geldt du: H( = L {h(t} ( met h(t = dat bijvoorbeeld ook geldt H( = 2 + 2 + 4 = h(t = 2 in(t τ co 2τ dτ Merk op co(t τ in 2τ dτ We kunnen beide reultaten controleren door de integralen verder uit te werken met behulp van goniometriche formule en vervolgen het reulaat te vergelijken met het reultaat dat verkregen wordt via breukpliting: H( = ( 2 + ( 2 + 4 = 3 [ 2 + ] 2 + 4 = h(t = (co t co 2t 3 Merk op dat het in dit geval (veel handiger i om gebruik te maken van breukpliting in plaat van het convolutieproduct Een voorbeeld van een nuttig gebruik van het convolutieproduct i een beginwaardeprobleem met een groot aantal verchillende rechterleden Al al het andere (de coëfficiënten en de beginvoorwaarden teed hetzelfde i, dan zou men teed opnieuw een oortgelijk probleem moeten oploen Met behulp van het convolutieproduct kan dat ineen Voorbeeld 4 Bechouw het beginwaardeprobleem { y 5y + 4y = g(t y( =, y ( =, waarbij het rechterlid g(t onbekend i of veel verchillende gedaanten kan aannemen Stel dat L {y(t} ( = Y (, dan volgt: 2 Y ( y( y ( 5 [Y ( y(] + 4Y ( = G( met G( = L {g(t} ( 5
Met behulp van de beginvoorwaarden volgt hieruit: ( 2 5 + 4Y ( = 5 + G( = Y ( = 5 ( ( 4 + G( ( ( 4 Breukpliting (ga na! leidt tot Y ( = 4 3 3 4 [ 3 G( ] 4 Met behulp van het convolutieproduct vinden we dan of y(t = 4 3 et 3 e4t 3 y(t = 4 3 et 3 e4t 3 { g(τ e t τ e 4(t τ} dτ g(t τ { e τ e 4τ } dτ Hierin kan men vervolgen ieder rechterlid g(t ubtitueren en het reultaat berekenen Een ander nuttig gebruik van het convolutieproduct vindt men op het terrein van de (Volterra integraalvergelijkingen Zie ook de opgaven 2 t/m 25 Een Volterra integraalvergelijking heeft de vorm y(t + K(, ty( d = g(t, waarbij de onbekende functie y in een integraal voorkomt Dergelijke integraalvergelijkingen kunnen we oploen met behulp van de Laplace tranformatie al de integraal de vorm van een convolutieproduct heeft, du: K(, t = k(t voor zekere functie k Enkele voorbeelden: Voorbeeld 5 y(t + Du: Y ( + Y ( e t τ y(τ dτ = in t Stel L {y(t} ( = Y (, dan volgt: = 2 + Y ( = 2 + ( + Y ( = 2 + = Y ( = ( 2 + = A + B + C 2 + Hieruit volgt: = A( 2 + + (B + C = (A + B 2 + C + A Du: A =, B = en C = en du: Y ( = + 2 + + 2 + = y(t = + co t + in t Voorbeeld 6 Uit het tentamen van 23 januari 997: Bepaal de oploing y(t van de integraalvergelijking y(t = in t + co t + 6 y(t τ in τ dτ
Stel Y ( = L{y(t}(, dan volgt: en du Y ( = 2 + + 2 + + Y ( 2 + ( 2 + Y ( = + + Y ( = 2 Y ( = + = Y ( = 2 + Terugtranformeren geeft dan: y(t = t + Voorbeeld 7 Uit het tentamen van 3 augutu 2: Bepaal de oploing van het beginwaardeprobleem y (t = + e t + y(τ co(t τ dτ, y( = Stel Y ( = L{y(t}(, dan volgt: Met de beginvoorwaarde y( = volgt nu: en du Y ( y( = + + + Y ( 2 + ( 2 Y ( = + + + + = 2 + 3 + ( + 3 2 + Y ( = 2 + 3 + ( + Met behulp van breukpliting vinden we nu: = Y ( = (2 + ( 2 + 3 + 4 ( + Y ( = (2 + ( 2 + 3 + 4 ( + = 3 + 2 3 + 4 2 + Terugtranformeren geeft ten lotte: y(t = 3 + t 2 + 6 t3 2e t 7
8
Hoofdtuk 7: Stelel eerte orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reed kenni gemaakt met telel eerte orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben gezien hoe we met behulp van eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix dergelijke telel met contante coëfficiënten kunnen oploen Hier wordt deze theorie verder uitgebreid De eerte ze paragrafen bevatten grotendeel bekende tof Zie hiervoor: Lay, 57 De laatte drie paragrafen ( 77 t/m 79 bevatten daarentegen nieuwe tof, waarin de theorie verder wordt uitgebreid Een telel eerte orde lineaire differentiaalvergelijkingen kan gechreven worden in de vorm waarbij x(t = x (t x n (t, A(t = x (t = A(tx(t + g(t, ( a (t a n (t a n (t a nn (t en g(t = g (t g n (t Het telel ( heet homogeen al g(t = o voor alle t en ander inhomogeen De matrix A(t heet continu in t = t (of op een interval I al elk element van A(t continu i in t = t (of voor elke t I Evenzo heet A(t differentieerbaar (of integreerbaar al elk element van A(t differentieerbaar (of integreerbaar i De matrix A(t i du een (n n-matrix Zo n matrix kan, evenal de vector x(t, termgewij gedifferentieerd (mit differentieerbaar en eventueel ook geïntegreerd (mit integreerbaar worden Daarvoor gebruiken we de volgende notatie: A(t = (a ij (t = A (t = ( a ij(t b ( b en A(t dt = a ij (t dt a a ( in t t Voorbeeld Al A(t =, dan volgt: co t ( A co t π (t = en A(t dt = in t ( 2 π 2 /2 π Voorbeeld 2 72, opgave 24 Al x(t = 6 8 4 e t + 6 2 x(t = e 2t Verder geldt: 2 9 6 8 4 6 8 4 e t + 3 e t + 3 e 2t, dan volgt: x (t = 2 e 2t
= 6 8 4 e t + 3 2 2 e 2t = x (t Du: x (t = 2 x(t ( e 3t e Voorbeeld 3 72, opgave 25 Al Ψ(t = 2t 4e 3t ( Ψ 3e 3t 2e (t = 2t 2e 3t 2e 2t e 2t, dan volgt: Verder geldt: ( 4 2 ( Ψ(t = 4 2 ( e 3t e 2t 4e 3t e 2t ( 3e 3t 2e = 2t 2e 3t 2e 2t = Ψ (t en du: Ψ (t = ( 4 2 Ψ(t We zullen voornamelijk kijken naar telel eerte orde lineaire differentiaalvergelijkingen met contante coëfficiënten Dat wil zeggen: a a n x (t = Ax(t + g(t met A = = (a ij en a ij R a n a nn Dit telel i homogeen al g(t = o voor alle t oftewel x (t = Ax(t Stel nu dat x(t = ve λt, dan volgt: x (t = λve λt Du: x (t = Ax(t λve λt = Ave λt en aangezien e λt voor alle t volgt hieruit dat Av = λv, oftewel λ i een eigenwaarde van de matrix A en v i een bijbehorende eigenvector Op deze manier kunnen we in principe een dergelijk homogeen telel eerte orde lineaire differentiaalvergelijkingen met contante coëfficiënten oploen Zie ook: Lay, 57 Voorbeeld 4 Bechouw de tweede orde lineaire homogene differentiaalvergelijking y 3y + 2y =
Via de karakteritieke vergelijking r 2 3r+2 = (r (r 2 = vinden we eenvoudig de algemene oploing y(t = c e t + c 2 e 2t met c, c 2 R Stel nu x (t = y(t en x 2 (t = y (t, dan volgt: x (t = y (t = x 2 (t en x 2(t = y (t = 2y(t + 3y (t = 2x (t + 3x 2 (t en du { x (t = x 2 (t x 2 (t = 2x (t + 3x 2 (t ( x (t x 2 (t = ( 2 3 ( x (t x 2 (t oftewel x (t = Ax(t met A = ( 2 3 en x(t = ( x (t x 2 (t De tweede orde lineaire differentiaalvergelijking i du equivalent met dit telel van twee eerte orde lineaire differentiaalvergelijkingen We berekenen de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van de matrix A: A λi = λ 2 3 λ = λ2 3λ + 2 = (λ (λ 2 Dit i precie de karakteritieke vergelijking van de tweede orde lineaire differentiaalvergelijking Verder volgt: ( ( λ = : = v 2 2 = en Hieruit volgt: λ = 2 : ( 2 2 x(t = c v e λ t + c 2 v 2 e λ 2t = c ( = v 2 = e t + c 2 ( 2 ( 2 e 2t met c, c 2 R Nu geldt: x(t = ( x (t x 2 (t = ( y(t y (t en du y(t = c e t + c 2 e 2t en y (t = c e t + 2c 2 e 2t Merk op dat dit overeenkomt met de eerder gevonden oploing van de tweede orde lineaire differentiaalvergelijking Laten we nu even kijken naar wat algemene theorie over telel eerte orde lineaire differentiaalvergelijkingen van de vorm ( Om te beginnen kijken we eert naar het homogene geval, dat wil zeggen: g(t o Dan geldt:
Stelling 2 Al x (t en x 2 (t oploingen zijn van x (t = A(tx(t, (2 dan i x(t = c x (t + c 2 x 2 (t ook een oploing van (2 voor alle c, c 2 R Bewij Dit i weer het uperpoitieprincipe en wordt eenvoudig bewezen door invullen: x (t = c x (t + c 2 x 2(t = c A(tx (t + c 2 A(tx 2 (t = A(t(c x (t + c 2 x 2 (t = A(tx(t Stel nu dat A(t een (n n-matrix i en dat x (t,, x n (t oploingen zijn van (2 Dan geldt: {x (t,, x n (t} i lineair onafhankelijk al Dat wil zeggen: Hieruit volgt dat: c x (t + + c n x n (t = o = c =,, c n = x (t x n (t c c n = = W (x,, x n (t := x (t x n (t c c n = Deze determinant heet de determinant van Wronki of de Wronkiaan van de oploingen x (t,, x n (t Verder geldt: Stelling 3 Al A(t een (n n-matrix i en {x (t,, x n (t} i lineair onafhankelijk op een interval I, dan geldt dat iedere oploing x(t van (2 op precie één manier gechreven kan worden al x(t = c x (t + + c n x n (t (3 voor zekere c,, c n R Men noemt de uitdrukking (3 wel de algemene oploing van (2 De lineair onafhankelijke verzameling {x (t,, x n (t} heet wel een fundamentaalverzameling van oploingen van (2 Bewij Stel dat x(t een oploing i van (2 die voldoet aan de beginvoorwaarde x(t = b R n voor zekere t I We willen dan aantonen dat x(t op precie één manier gechreven kan worden in de vorm (3 Dan moet gelden: c x (t + + c n x n (t = b x (t x n (t c = b c n b n Dit heeft precie één oploing al W (x,, x n (t Nu geldt: {x (t, x 2 (t,, x n (t} i lineair onafhankelijk op I en du ook voor t I Du i: W (x,, x n (t en dat bewijt de telling Ook hier geldt een variant van de telling van Abel: 2
Stelling 4 Al x (t,, x n (t oploingen zijn van (2 op een interval I, dan geldt (a (t + + a nn (t dt W (t := W (x,, x n (t = c e voor alle t I Dit wil du zeggen dat óf W (t = voor alle t I (al c = óf W (t voor alle t I (al c Het bewij van deze telling laten we achterwege (geen tentamentof Zie ook opgave 2 van 74 voor een bewij in het geval dat n = 2 Voorbeeld 5 x (t = Ax(t met A = ( 4 2 We berekenen de eigenwaarden van A: A λi = λ 4 2 λ = λ2 + λ 6 = (λ 2(λ + 3 = λ = 2 en λ 2 = 3 En de bijbehorende eigenvectoren: ( λ = 2 : 4 4 en λ 2 = 3 : De algemene oploing i du: x(t = c ( ( 4 4 e 2t + c 2 ( 4 Voorbeeld 6 x (t = Ax(t met A = A: A λi = = (3 λ 4 3 2 2 λ 4 3 2 λ 2 λ 3 2 λ 4 2 3 λ = v = = v 2 = ( ( 4 e 3t met c, c 2 R We berekenen de eigenwaarden van = 3 λ 3 λ 3 2 λ 2 λ = (3 λ 2 λ 4 3 λ = (3 λ(λ 2 + λ 2 = (3 λ(λ (λ + 2 Du: λ = 3, λ 2 = en λ 3 = 2 En de bijbehorende eigenvectoren: 2 4 2 4 2 λ = 3 : 3 = v = 2 4 2, 3
en λ 3 = 2 : λ 2 = : 3 4 3 4 2 4 3 2 2 2 4 = v 2 = 4 = v 3 = De algemene oploing i du: x(t = c 2 e 3t + c 2 4 e t + c 3 e 2t met c, c 2, c 3 R In het geval van een (2 2-matrix kan men voor x (t = Ax(t de banen van de oploingen tekenen in het x, x 2 -vlak Dit noemt men ook wel het faevlak Zie ook: Lay, 57 Al beide eigenwaarden λ en λ 2 van de (2 2-matrix A reëel zijn, dan noemt men de oorprong wel een knoop(punt (node al beide eigenwaarden hetzelfde teken hebben Ander heet de oorprong wel een zadelpunt (addle point In dat geval (beide eigenwaarden reëel ondercheiden we verder nog de volgende mogelijkheden: λ 2 < λ < : de oorprong heet een aantrekker (attractor of een put (ink λ 2 < < λ : de oorprong heet een zadelpunt < λ 2 < λ : de oorprong heet een aftoter (repellor of een bron (ource 4