Gedempt Massa-veersysteem

Transcriptie

1 Gedept Maa-veerytee 1 Inleiding WISNET-HBO update april 2009 Elke krachtenvergelijking i in feite een differentiaalvergelijking. In het volgende gaan we het gedept aa-veerytee onderzoeken. Hierbij gaat het over een aa die onder invloed van een deper, een veer en eventulee nog onder invloed van een uitwendige kracht taat. De uitwendige kracht noeen we ook wel input of toring. Hoe het ytee zal reageren wat betreft bijvoorbeeld de uitwijking van de aa, noeen we de output of reponie. 2 Maa-veerytee: Krachtenvergelijking Een aa-veer-ytee et een deper waarop een uitwendige kracht werkt, heeft al krachtenvergelijking: F tot = F veer CF dep CF uitwendig Q De totale kracht = o van de krachten reulteert in een vernelling at = d2 2 xt. Du F tot = a t = 2 xt. Q Verder i de veerkracht volgen de wet van Hooke evenredig et de uitwijking xt du: F = k xt. veer Q De deping i evenredig et de nelheid: F = c dep d xt. Q De differentiaalvergelijking van het gedept aa-veer-ytee i dan: xt Cc d 2 xt Ck xt = F uitwendig 3 Maa-veerytee: Differentiaalvergelijking Uitgaande van de differentiaalvergelijking van het aa-veerytee (een heel bekend tweede orde-ytee) et aa, deping c, veercontante k en uitwendige kracht F:

2 xt Cc d 2 xt Ck x t = F Hierin kan bijvoorbeeld de uitwendige kracht (input of toring) F gelijk geteld worden aan 0 of aan de eenheid-tap (Heaviide). Of we tellen F gelijk aan een trilling et vate aplitude F 0 en frequentie ω. Du F = F 0 co ω t. Allerlei toringen Ft zijn ogelijk. 4 Eenhedenbechouwing Eenhedenbechouwingen kunnen bijdragen tot beter begrip van forule die yteen bechrijven. Zie ook de le Eenheden bij Baikenni-Breuken. Ga uit van het gedept aa-veerytee. Dit ytee wor bechreven door de volgende differentiaalvergelijking. Het gaat daarbij o de o van de krachten die op een aa werken in en de uitwijking van de aa i x in eter. xt Cc d 2 xt Ck x t = F Opgave Doe deze opgave et pen en papier. Let op dat de eenheid Newton gelijk i aan 2. opgave a Wat zijn de eenheden van k, en c? oploing voor k De veerkracht k x heeft al eenheid Newton. De uitwijking x i in eter du de veercontante k heeft eenheid of ander gechreven 2 oploing voor De aa i in. oploing voor c De depingkracht (in N) i evenredig et de nelheid. De evenredigheidcontante c heeft du eenheid N

3 N = N of ander gechreven: opgave b Wat i de eenheid van k en wat i de eenheid van k? oploing De eenheid van k i 1 2 opgave c Wat i de eenheid van k? en du i de eenheid van k i du 1. oploing De eenheid van k i N = 2 2 = opgave d Wat i de eenheid van c k? oploing De eenheid van c i. De eenheid van Du c k k i ook i eenheidloo.. 5 Maa-veerytee et beginuitwijking (zonder input) Er zijn verchillende ogelijkheden voor de input F t en de vraag i hoe zal de output x t zijn? Met andere woorden hoe zal de aa zich gaan bewegen (reponie) nadat vanaf t =0 de toring F t begint? We beginnen et een eenvoudige oefening in het geval er geen uitwendige kracht i (

4 alleen een beginuitwijking naelijk x 0 =0.1 en de beginnelheid tellen we op 0. Stel nu een dat de uitwijking van de aa zich zal gedragen al x t = A e t nadat we deze een klein beginuitwijking A = x(0) hebben gegeven en vervolgen weer lolaten. De onbekende oet voldoen aan de volgende vergelijking ook wel de karakteritieke vergelijking genoed: 2 C c C k =0 5.1 uitwerking Gegeven i du de differentiaalvergelijking van het gedept aa-veerytee. Dv := 2 xt Cc d xt Ck xt =0 Stel nu een dat de uitwijking van de aa zich zal gedragen al xt = A e t nadat we deze een klein beginuitwijking hebben gegeven en vervolgen weer lolaten. Vul deze functie een in in de differentiaalvergelijking. De grootheid kan du ook coplex zijn! (Zie de le over de gedepte trillingen.) xt := A e t verg := A 2 e t Cc A e t Ck A e t =0 Zo te zien valt er erg veel te vereenvoudigen! We delen alle link en recht door A en ook door de e-acht. A 2 e t Cc A e t Ck A e t A e t =0 2 Cc Ck =0 F =0) 1 2 Kc C c 2 K4 k, K 1 2 c C c 2 K4 k 1 := K 1 2 c C 1 2 c 2 K4 k 2 := K 1 c 2 K 1 c 2 K4 k 2 De vor onder het wortelteken i de dicriinant. Q Al de dicriinant negatief i, dan i een coplex getal en dan zijn de twee oploingen elkaar coplex geconjugeerden. We krijgen in dat geval een gedepte trilling (zie ook de le over Gedepte trillingen) Q Al de dicriinant gelijk i aan 0, krijgen we een kritich gedept ytee. Q Al de dicriinant groter i dan 0, krijgen we een overgedept ytee.

5 6 Gedepte trilling (ondergedept) Al de dicriinant van de karakteritieke vergelijking negatief i, dan i een coplex getal en dan zijn de twee oploingen elkaar coplex geconjugeerden. We krijgen in dat geval een gedepte trilling (zie ook de le over Gedepte trillingen) Hierin i de deping dan Dv := 2 xt Cc d xt Ck xt =0 2 Cc Ck =0 Rv := x 0 = 0.100, D x 0 =0 := 30 c := 40 k := := K0.667 C1.491 j 2 := K0.667 K1.491 j opl := xt = e K0.667 t in t C0.100 e K0.667 t co t t K0.02

6 7 Kritich gedept De karakteritieke vergelijking (kwadratiche) vergelijking heeft twee aenvallende oploingen. De dicriinant i gelijk aan Dv := 2 xt Cc d xt Ck xt =0 2 Cc Ck =0 Rv := x 0 = 0.100, D x 0 =0 := 30 k := 80 c := := K := K1.633 opl := e K1.633 t C0.163 e K1.633 t t e K1.633 t C0.163 e K1.633 t t t

7 8 Overgedept De karakteritieke (kwadratiche) vergelijking heeft twee verchillende oploingen. De dicriinant i groter dan 0. Het ytee kot dan niet eer aan trilling toe. De deping heeft de overhand Dv := 2 xt Cc d xt Ck xt =0 2 Cc Ck =0 Rv := x 0 = 0.100, D x 0 =0 := 30 k := 80 c := := K := K2.000 opl := xt = K0.200 e K2.000 t C0.300 e K1.333 t t