4.1.3 Bepalen van de resulterende kracht Tweede wet van Newton Dynamische krachtwerking

Transcriptie

1 Inhoudopgave Bechrijven van bewegingen met vectoren...3. De plaatvector...3. Beweging Verplaatingvector De nelheidvector Gemiddelde nelheidvector Ogenblikkelijke nelheidvector De vernellingvector De gemiddelde vernellingvector De ogenblikkelijke vernellingvector Tangentiële en normaalvernelling Oefeningen Voorbeelden Opgave...0 Eéndimenionale bewegingen.... Eenparig rechtlijnige bewegingen (ERB)..... Definitie..... Coördinaten Diagrammen.... Eenparig veranderlijke rechtlijnige bewegingen (EVRB) Definitie Coördinaten en bewegingvergelijkingen Diagrammen Toepaing : de verticale worp Bechrijving van de beweging Berekenen van maximale hoogte Berekenen van nelheid bij terugkeren op beginpoitie Oefeningen Voorbeelden Opgave... 3 Tweedimenionale bewegingen Het onafhankelijkheidprincipe De horizontale worp Bechrijving van de beweging Berekenen van de dracht De projectielbeweging (chuine worp) Bechrijving van de beweging De bewegingvergelijkingen Berekenen van de dracht Oefeningen Voorbeelden Opgaven De wetten van Newton Eerte wet van Newton Traagheidbeginel Het concept kracht...3

2 4..3 Bepalen van de reulterende kracht Tweede wet van Newton Dynamiche krachtwerking Tangentiële en normaalkracht Derde wet van Newton Actie en reactie Voorbeelden van krachten Zwaartekracht nabij het aardoppervlak Gewicht Normaalkracht Spankracht Veerkracht Wrijvingkracht tuen contactoppervlakken Wrijvingkracht in een middentof Oefeningen Algemene werkwijze Voorbeelden Opgave De univerele wet van gravitatie Hitoriche ontwikkeling Meopotamiër Grieke atronomie in de oudheid Ptolemaeu De Middeleeuwen Copernicu Het conflict Galileï v. de katholieke kerk De wetten van Kepler voor planeetbewegingen De univerele gravitatiewet van Newton Oefeningen Arbeid en Energie Arbeid Arbeid geleverd door een contante kracht Arbeid geleverd door niet contante krachten Vermogen Kinetiche energie Potentiële energie Conervatieve krachten Arbeid-energie theorema voor conervatieve krachten Behoud van energie Arbeid-energie theorema met niet-conervatieve krachten Equivalentie van maa en energie Oefeningen...65

3 Bechrijven van bewegingen met vectoren Bechrijven van bewegingen met vectoren. De plaatvector De poitie van je hui ten opzichte van het punt waar je je nu bevindt kan aangegeven door te zeggen : mijn hui bevindt zich ten opzichte van waar ik nu ta exact vijf kilometer naar het noord-weten. Je geeft een aangrijpingpunt ( waar ik nu ta ), een grootte ( vijf kilometer ) een zin en een richting ( naar het noordweten ). Wat je eigenlijk doet i de poitie bechrijven met behulp van een vector. Afbeelding : Plaatvector van een voorwerp. De poitie van een voorwerp ten opzichte van een waarnemer kan bechreven worden door middel van een vector. Deze vector noemen we plaat- of poitievector van het voorwerp ten opzichte van de waarnemer. r. We noteren de plaatvector al Al we een orthonormaal aentelel invoeren met de waarnemer in de oorprong, kunnen we de plaatvector bechrijven met behulp van coördinaten. In deze curu gaan we on beperken tot bewegingen in één vlak, du voltaat het on te beperken tot twee aen (X,Y) en bijgevolg ook twee coördinaten. Afbeelding : Coördinaten van een plaatvector. Zij e x en e y eenheidvectoren in rep. de richting van de X-a en de Y-a. Dan kan de plaatvector van een voorwerp gechreven worden al : r =x e x y e y r = x, y Het koppel reële getallen (x,y) zijn dan de coördinaten van het voorwerp met r. plaatvector Hoeveel coördinaten heb je nodig al je de poitie van een voorwerp wil bechrijven in de ruimte in plaat van in een vlak? Hebben de coördinaten een eenheid? Indien ja, welke? 3

4 Bechrijven van bewegingen met vectoren. Beweging Een voorwerp i in beweging ten opzichte van een waarnemer al het voorwerp op verchillende tijdtippen een verchillende poitie inneemt. Al we de poitie bechrijven met behulp van een plaatvector, kunnen we bijgevolg zeggen dat een voorwerp in beweging i, al het op verchillende tijdtippen een verchillende plaatvector heeft. De plaatvector i met andere woorden een functie van de tijd. We noteren de plaatvector van het voorwerp op een r t. tijdtip t al De verzameling van alle plaatvectoren ingenomen door het voorwerp in een zeker tijdinterval, noemen we de baan van het voorwerp. Al de plaatvector wijzigt in functie van de tijd, dan zullen ook de coördinaten wijzigen in functie van de tijd. We noteren de coördinaten van het voorwerp een tijdtip t al r t = x t, y t.3 Afbeelding 3: Plaatvectoren op verchillende tijdtippen van een voorwerp in beweging. Verplaatingvector Bechouw een voorwerp in beweging. Op tijdtip r t 0. Op een later t0 i zijn plaatvector r t. tijdtip t i zijn plaatvector We definiëren nu de verplaatingvector in het tijdinterval t=t t 0 al r r = r t r t 0 We kunnen ook werken met coördinaten: zij r t 0 = x t 0, y t 0 en r t = x t, y t, Afbeelding 4: De verplaatingvector dan worden de coördinaten verplaatingvector gegeven door : van de r = x, y r = x t x t 0, y t y t 0 Hoe kan je, al de coördinaten kent van het begin- en eindpunt, de aftand berekenen waarover het voorwerp verplaatt i? Wat i de eenheid van de coördinaten van de verplaatingvector? I deze aftand hetzelfde al de afgelegde weg? 4

5 Bechrijven van bewegingen met vectoren.4 De nelheidvector.4. Gemiddelde nelheidvector Al een voorwerp zich gedurende een tijdinterval t=t t 0 heeft verplaatt lang een verplaatingvector r = r t r t 0, dan definiëren we de gemiddelde nelheidvector gedurende dat tijdinterval al : r t r t r t 0 v m = t t 0 v m= Afbeelding 5: De gemiddelde nelheidvector Merk op dat de gemiddelde nelheidvector teed dezelfde zin en richting heeft al de verplaatingvector. De coördinaten van de nelheidvector worden gegeven door v m = v m, x, v m, y x y v m=, t t x t x t y t y t v m =, t t t t Wat i de eenheid van de coördinaten van de gemiddelde nelheidvector? De gemiddelde aftand waarover het voorwerp per tijdeenheid verplaatt wordt, wordt gegeven door de grootte van de gemiddelde nelheidvector : v m = v x v y r v m = t Verwar de nelheidvector niet met de baannelheid v= uit de curu van t het vierde jaar! Wat zijn de verchillen?.4. Ogenblikkelijke nelheidvector De nelheidvector gedurende een gegeven tijdinterval blijft bij realitiche bewegingen niet contant, maar wielt continu. Om een beweging exact te v t moeten kennen. bechrijven, zou je op elk moment de nelheidvector We definiëren de ogenblikkelijke nelheidvector al de gemiddelde nelheidvector over een oneindig klein tijdinterval. v t =lim t 0 r t t r t t Op bijtaande figuur zien we hoe de richting van de gemiddelde nelheidvector meer en meer de raaklijn aan de baan benadert, al we tijdinterval verkleinen. De ogenblikkelijke nelheidvector i teed rakend aan de baan. 5

6 Bechrijven van bewegingen met vectoren Afbeelding 6: Afleiding van de ogenblikkelijke nelheidvector..5 De vernellingvector.5. De gemiddelde vernellingvector Al de nelheid niet contant blijft, kunnen we een gemiddelde v t o de nelheid op tijdtip t0, en vernellingvector definiëren al volgt: zij v t de nelheid op tijdtip t, dan i de gemiddelde vernellingvector gegeven door : v a m= t v t v t 0 a m = t t 0 De coördinaten van de gemiddelde vernellingvector worden gegeven door : a m = a m, x, a m, y vx vy a m =, t t v t v x t v y t v y t a m = x, t t t t Wat i de eenheid van de coördinaten van de gemiddelde vernellingvector?.5. De ogenblikkelijke vernellingvector Net zoal de nelheidvector gedurende een tijdinterval niet contant hoeft te blijven, i dit ook het geval met de vernellingvector. Analoog al de ogenblikkelijke nelheidvector definiëren we de ogenblikkelijke vernellingvector al de gemiddelde vernellingvector over een oneindig klein tijdinterval : a t =lim t 0 v t t v t t 6

7 Bechrijven van bewegingen met vectoren Afbeelding 7: Plaat-, ogenblikkelijke nelheid-, en vernellingvector op drie verchillende tijdtippen. Al we in wat volgt preken over de nelheid, bedoelen we daar altijd de ogenblikkelijke nelheid mee, tenzij expliciet ander vernoemd..5.3 Tangentiële en normaalvernelling Men kan de ogenblikkelijke vernellingvector a t ontbinden in een component evenwijdig met de ogenblikkelijke nelheidvector, ook wel de tangentiële (rakend aan de baan) component a t t of genoemd en een component loodrecht op de ogenblikkelijke nelheidvector, de normaalcomponent a n t genoemd. Zo dat Afbeelding 8: ontbinding in tangentiële en normaalcomponent. a t t a n t =a t. De tangentiële vernelling i verantwoordelijk voor de wijziging in grootte van de nelheidvector. De normale component i verantwoordelijk voor de wijziging van richting van de nelheidvector. Kan de grootte van de nelheidvector contant vernellingvector niet de nulvector i? Verklaar! blijven terwijl de 7

8 Bechrijven van bewegingen met vectoren.6 Oefeningen.6. a Voorbeelden Voorbeeld Een boot vertrekt vanaf de kade en vaart gedurende 5 minuten met een gemiddelde nelheidvector gegeven door v = 3 m m, 4, wijzigt zijn koer, en vaart dan gedurende 30 minuten met een nelheidvector gegeven door v = m m, 3. Bereken de aftand tuen zijn vertrekpunt en zijn poitie na 5 minuten en na 45 minuten. Gegeven : We kiezen de oorprong van on aentelel in het vertrekpunt, en kiezen al begintijdtip t0 = 0. t 0=0, t =900,t =700 r t 0 = 0 m, 0 m m m v = 3, 4 m m v =, 3 Oploing : We bepalen eert de poitie op t : r = v t r = v t x t, y t = v m, x, t t 0, v m, y, t t 0 m m x t, y t = 3 900,5 900 x t, y t = 700m, 3600m De aftand tuen het vertrekpunt en de poitie op t wordt gegeven door : r t = x t y t r t = 700 m 3600 m r t =4500 m b Voorbeeld De beweging van een voorwerp wordt bechreven vergelijkingen : r t = x t =5 t 3, y t = 4 t t. door volgende Bepaal de poitie van het voorwerp na en na 4. Bereken de verplaatingvector en de aftand waarover het voorwerp verplaatt i tuen en 4. 8

9 Bechrijven van bewegingen met vectoren Bereken de gemiddelde nelheidvector tuen en 4. Bepaal eveneen de grootte van de gemiddelde nelheidvector. Gegeven : t 0=0, t =, t 3 =4 x t =5 t 3 y t = 4 t t Gevraagd r t, r t, r, v m, v m Oploing r t = x t, y t m m m r t = x t =5 t 3 m, y t = 4 t t m m m r = x t =5 3 m, y t = 4 r = x t =3 m, y t = m analoog : r 4 = x t =3 m, y t = 60 m Berekenen we de verplaatingvector : r = r 4 r r = x 4 x, y 4 y r = 0m, 48m De aftand waarover voorwerp verplaatt i r = x y r = 0 m 48 m r =49,03 m De gemiddelde nelheidvector r t x y v m=, t t m m v m = 5, 4 v m = De grootte van de gemiddelde nelheidvector v m = v x v y m m 4 m v m =4,5 v m = 5 9

10 Bechrijven van bewegingen met vectoren.6. Opgave. Een voorwerp bevindt zich op tijdtip t0 in een poitie met coördinaten (3m,4m). 5 later bevindt het voorwerp zich in een poitie met coördinaten (5m,m). Maak een chet van de poitie en bereken de coördinaten van de verplaatingvector en de gemiddelde nelheidvector. Bereken eveneen over welke aftand het voorwerp verplaatt i.. Bepaal de coördinaten van de poitie op t = 0, t = 3 en t = 6 van een voorwerp waarvan de bewegingvergelijking gegeven wordt door (x(t) = t +, y(t) = -t + 5). Maak eveneen een chet. Welke figuur bechrijft de baan? Bepaal de gemiddelde nelheidvector gedurende de eerte drie econden, tuen 3 en 6, en tuen 0 en 6. Wat kan je concluderen? 3. Een voertuig vertrekt vanuit een beginpoitie met coördinaten (3m, 3m) en moet naar een eindpoitie met coördinaten (8m, -m). Bereken de gemiddelde nelheidvector waarmee het voertuig moet bewegen wil het 5 minuten na zijn vertrek op de eindpoitie aankomen. 0

11 Eéndimenionale bewegingen Eéndimenionale bewegingen. Eenparig rechtlijnige bewegingen (ERB).. Definitie Een éénparig rechtlijnige beweging (ERB) i een beweging waarbij de v contant i. nelheidvector Al v contant i, dan geldt voor elk tijdinterval t : r v= t r = v t Waarmee de plaatvector op een willekeurig moment t gegeven wordt door : r t =r 0 v t r t = r 0 v t t 0 met r 0 de plaatvector op begintijdtip t0. Afbeelding 9: Alle poitie ingenomen door een voorwerp dat een ERB bechrijft liggen op één rechte. De vergelijking die de plaatvector geeft op een willekeurig tijdtip t, noemen we de poitie-vergelijking. Bij een dergelijke beweging i de baan een rechte, nl. de richting van de nelheidvector. Teven volgt uit boventaande vergelijkingen : r = v t of de aftand waarover het voorwerp dat een eenparig rechtlijnige beweging uitvoert verplaatt i, i recht evenredig met het tijdverloop.

12 Eéndimenionale bewegingen.. Coördinaten Al we een coördinatentelel invoeren om een ERB te bechrijven, kiezen we meetal de X-a volgen de richting van de nelheidvector (en du in de richting van de baan). Op deze manier kan de beweging volledig bechreven worden met behulp van één (X-)coördinaat. De Y-coördinaat i dan op elk ogenblik gelijk aan nul, en laten we verder buiten bechouwing. Afbeelding 0: Door de X-a in de bewegingrichting te kiezen, vereenvoudigen we de bechrijving van een ERB aanzienlijk. De poitievergelijking in coördinaten wordt dan : r t = x t = x 0 v x t t 0, y t =0 Of kortweg : x t =x 0 v x t t 0 Hoe ziet de beweging eruit al vx negatief i? Hoe kan je deze beweging vergelijken met de eenparige beweging die je vorig jaar gezien hebt?..3 a Diagrammen x,t -diagram Met behulp van boventaande vergelijking kunnen we de x-coördinaat uitzetten al functie van de tijd in een x,t-diagram. Net al bij het,t diagram dat je vorig jaar gezien hebt, zet je bij het x,t-diagram altijd de tijd op de horizontale a, en de poitie op de verticale a. Het x,t-diagram van een ERB i een chuine rechte. Hoe kan je uit het x,t -diagram de nelheid aflezen? Hoe ziet het x,t diagram eruit al vx negatief i? Afbeelding : x,t diagram van een ERB

13 Eéndimenionale bewegingen b Vx,t - diagram Bij een ERB i de nelheidvector contant, en bijgevolg zijn ook de coördinaten van nelheidvector contant. Het vx, t-diagram i du een horizontale rechte. Hoe ziet het vx,t-diagram eruit al de vx negatief i? Hoe kan je uit het vx,t diagram de afgelegde weg aflezen? Afbeelding : vx,t diagram van een ERB. Eenparig veranderlijke rechtlijnige bewegingen (EVRB).. Definitie Een éénparig veranderlijke beweging (EVRB) i een beweging waarbij de vernellingvector contant i, de richting van de vernellingvector gelijk i aan de richting van de nelheidvector. De beweging i éénparig verneld al de vernelling- en nelheidvector dezelfde zin hebben. De beweging i éénparig vertraagd al de vernelling- en de nelheidvector tegengetelde zin hebben. Afbeelding 3: Plaat-, nelheid-, en vernellingvector bij een EVRB.Merk op dat de richting van de nelheid- en de vernellingvector gelijk lopen op elk tijdtip. 3

14 Eéndimenionale bewegingen Al a contant i, geldt op elk ogenblik t : v a = t v = a t waardoor de nelheidvector op een gegeven tijdtip t gegeven wordt door : a t v t =v 0 v t = v 0 a t t 0 De vergelijking die de nelheidvector geeft op een willekeurig tijdtip t, noemen we de nelheidvergelijking. Vermit de richting van de nelheidvector niet wijzigt, wijzigt ook de richting van de baan niet. De baan van een voorwerp dat een EVRB bechrijft i bijgevolg een rechte. De plaatvector bepalen i echter niet meer zo eenvoudig, en daarvoor gaan we direct over op coördinaten... Coördinaten en bewegingvergelijkingen Net zoal bij de ERB kiezen we de X-a volgen de bewegingrichting. Omdat de beweging rechtlijnig i, zal de Y-coördinaat niet wijzigen en die laten we bijgevolg buiten bechouwing. Afbeelding 4: Een EVRB lang de X-a De nelheidvergelijking in coördinaten wordt : v x t =v x,0 a x t t 0 We gaan nu proberen een vergelijking op te tellen om de x-coördinaat op een willekeurig tijdtip t te bepalen. Uit de definitie van gemiddelde nelheid volgt dat x t =x 0 v m, x t t t 0 met de gemiddelde nelheid na een tijd t. Vermit uit de nelheidvergelijking volgt dat vx een lineair aangroeiende grootheid i, kunnen we de gemiddelde nelheid berekenen al volgt : v m, x t = v 0, x v x t waardoor v 0, x v x t t t 0 v v a t t 0 x t =x 0 0, x x,0 x t t 0 x t =x 0 v 0, x t t 0 a x t t 0 x t =x 0 Deze laate uitdrukking geeft de x-coördinaat op tijdtip t van een voorwerp dat een EVRB bechrijft met beginnelheid v0, vertrekkende op poitie x0, en i de 4

15 Eéndimenionale bewegingen poitievergelijking van de EVRB. Samengevat : De bewegingvergelijkingen van een voorwerp dat een EVRB bechrijft zijn bijgevolg : a x t =a x =cont. v x t =v 0, x a x t t 0 x t =x 0 v 0, x t t 0 a x t t 0 Merk op dat al de vernelling nul i, boventaande vergelijkingen identiek zijn aan de bewegingvergelijkingen van een ERB...3 a Diagrammen a,t -diagram Bij een eenparig veranderlijke beweging i de vernelling bij definitie een contante. Het a,t-diagram i bijgevolg een horizontale rechte. Hiernaat i de grafiek afgebeeld van een eenparig vernelde beweging. Wat wordt dit diagram in geval van een eenparig vertraagde beweging? b v,t-diagram Afbeelding 5: a,t -diagram van een eenparig vernelde beweging. We zien in de bewegingvergelijkingen dat de nelheid lineair toe- of afneemt met de tijd. Het v,t diagram i bijgevolg een chuine rechte. Hieronder i het v,t diagram afgebeeld voor zowel een vernelde, al een vertraagde beweging. Afbeelding 6: v,t - diagram van een eenparig vernelde beweging. Afbeelding 7: v,t - diagram van een eenparig vertraagde beweging. Hoe kan je in het v,t -diagram de afgelegde weg aflezen? I de beweging voorgeteld in afbeelding 7 de hele tijd vertraagd? Zo nee, 5

16 Eéndimenionale bewegingen wanneer dan niet meer? c x,t diagram Uit de bewegingvergelijkingen volgt dat de grafiek die de poitie x geeft in functie van de tijd t een parabool i (kwadratiche vergelijking). We moeten echter wel een ondercheid maken tuen een vernelde en een vertraagde beweging. In ondertaande figuur i het x,t-diagram weergegeven voor beide gevallen. Afbeelding 8: x,t diagram voor een EVRB, zowel voor een vernelde (link) al voor een vertraagde (recht) beweging. Hoe lee je af in het x,t-diagram van de vertraagde beweging waar de nelheid nul wordt? In welk gedeelte, in het diagram van de vertraagde beweging, i de beweging effectief vertraagd? Welke beweging hebben we in het andere gedeelte?.3 Toepaing : de verticale worp.3. Bechrijving van de beweging Een verticale worp definiëren al de beweging bechreven door een voorwerp dat loodrecht omhoog gegooid wordt met een beginnelheid v0, vanop een beginhoogte y0. Het i een eendimenionale beweging, en we kiezen de Y-a volgen de bewegingrichting, met zin naar boven (volgen de zin van de beginnelheid) toe. Een het voorwerp de hand verlaten heeft, werkt enkel de zwaartekracht op het voorwerp, en zal het voorwerp eenparig vertragen met a y = g= 9,8 m 6

17 Eéndimenionale bewegingen We verwaarlozen hierbij eventuele wrijving. Het voorwerp zal een maximale hoogte (top) bereiken, om dan eenparig verneld weer terug te keren naar zijn beginhoogte (en eventueel verder te vallen). We willen nu drie zaken berekenen :.3. Wat i de maximaal bereikte hoogte? Hoelang duurt het tot het voorwerp terug op beginhoogte i? Wat i de nelheidcomponent terugkeer op beginhoogte? bij Berekenen van maximale hoogte De verticale worp i een EVRB met beginnelheid v0 en vernelling a = -g. De bewegingvergelijkingen worden bijgevolg : Afbeelding 9: Beginituatie bij verticale worp : poitie, nelheid en vernelling. v y t =v 0 g t y t = y 0 v 0 t g t Op maximale hoogte i de nelheid van het voorwerp 0 m/. Hiermee kunnen we het tijdtip t berekenen waarop het voorwerp de maximale hoogte bereikt. m m v 0 g t =0 v0 t = g v y t =0 De maximale hoogte i de poitie op het moment dat de nelheid nul wordt. y max = y t y max = y 0 v 0 t g t v0 v0 y max = y 0 v 0 g g g v0 y max = y 0 g.3.3 Berekenen van nelheid bij terugkeren op beginpoitie Noemen we t het tijdtip waarop het voorwerp terug i op zijn beginpoitie. Met andere woorden : y t = y 0 y 0= y 0 v 0 t g t v 0 t g t =0 7

18 Eéndimenionale bewegingen Dit i een vierkantwortelvergelijking met twee oploingen, namelijk v t = 0 (reken zelf na!). g t =0 of Hoe moet je die twee oploingen interpreteren? We zien dat het twee keer zo lang duurt om terug op beginhoogte te komen, dan dat het duurt om maximale hoogte te bereiken. De nelheid bij terugkeer op beginhoogte wordt dan gegeven door v t =v 0 g t v 0 v t =v 0 g g v t = v 0 De nelheid bij terugkeer op beginhoogte i bijgevolg gelijk in grootte aan de beginnelheid, maar tegengeteld gericht..4 Oefeningen.4. a Voorbeelden Voorbeeld Opgave : Een trein rijdt tegen 7 km/h over een recht tuk poorweg naar het tation toe. 00 m voor het perron begint te trein te remmen. Met welke vertraging moet de trein remmen om aan het perron tot tiltand te komen? Tekening : Een dergelijke oefening begin je altijd met een tekening, waarin je een chet maakt van de ituatie, en alle relevante grootheden en parameter aanduidt en benoemt. De artitieke waarde van de chet i van geen belang, wél de duidelijkheid en volledigheid waarmee het je kan helpen het gevraagde te berekenen. Afbeelding 0: Schet bij voorbeeld Op de figuur taan aangeduid : De ituatie op het moment t0 dat de trein begint te remmen, met aanduiding van beginnelheid en vertraging. De ituatie op het moment t dat de trein tiltaat (nelheid i nul). Een X -a met aanduiding van de oorprong. Een de chet gemaakt, kan je die gebruiken om zoveel mogelijk gegeven te noteren. 8

19 Eéndimenionale bewegingen Dikwijl zullen er een aantal gegeven opduiken die niet letterlijk in de opgave taan, maar die door bvb. keuze van het aentelel naar voor zullen komen. Gegeven: t 0=0 m x t =,00 0 m m x 0=x t 0 =0 m v 0 =,00 0 v t =0 Merk op dat we de gegeven overzichtelijk gerangchikt hebben in twee kolommen, één met de gegeven betreffende de beginituatie, één met de gegeven betreffende de eindituatie. Gevraagd : Noteer altijd expliciet het gevraagde, zodat je duidelijk weet wàt je aan het zoeken bent. a=? Oploing : Het vraagtuk i duidelijk een toepaing van een eenparig vertraagde beweging. We vertrekken bijgevolg van de bewegingvergelijkingen van een eenparig vertraagde beweging, en zullen bekijken over welke grootheden we bechikken en welke onbekenden we zullen moeten bepalen. v t =v 0 a t =0 m x t =v 0 t a t In boventaande vergelijkingen zijn alle grootheden waarvan gegeven i dat ze nul zijn al weggelaten. Al we de gegeven vergelijken, i het duidelijk dat we met twee onbekenden zitten, nl. t en a. We hebben echter ook twee vergelijkingen, du in theorie zou dit perfect oplobaar moeten zijn. We gebruiken nu de eerte vergelijking om t te elimineren in de tweede vergelijking, en zo a te bepalen. t = v0 a Invullen in de tweede vergelijking geeft : v0 v a 0 a a v x t = 0 a v0 a= x t x t =v 0 We hebben nu algebraïch het gevraagde in functie van het gegeven bepaald. Het i ten zeerte belangrijk dat je eert alle zo ver mogelijk algebraïch uitwerkt vooraleer je cijfer gaat invullen!!! Dit vermijdt rekenfouten, i overzichtelijker, en geeft veel duidelijker de gevolgde redenering weer. Het maakt het ook veel gemakkelijker een eventuele fout op te poren, mocht je je ergen vergit hebben en niet het gewente reultaat bekomen. Een je het gevraagde hebt in functie van het gegeven, kan je de gegeven invullen en het reultaat berekenen. Zet bij elke tap van je berekeningen ook je eenheden! Al je eenheden niet kloppen, ben je al zeker dat je ergen een reken- of redeneerfout gemaakt hebt! 9

20 Eéndimenionale bewegingen m a=,00 0 m m 4,00 0 a= 4,00 0 m m a=,00 0 Ten lotte formuleer je een korte, maar duidelijke antwoordzin : Antwoord: De trein moet afremmen met een vertraging van b m Voorbeeld Een politiewagen rijdt tegen 90 km/h over een recht tuk autonelweg, al hij gepaeerd wordt door een hardrijder die voorbijraat met een nelheid van 60 km/h. Op het moment dat de hardrijder hem paeert, vernelt de politiewagen met,00 m/². Al de hardrijder tegen dezelfde nelheid blijft rijden,hoe lang zal het duren vooraleer de politiewagen de hardrijder inhaalt, en welke aftand i daarbij afgelegd? Tekening : Afbeelding : chet bij voorbeeld Gegeven : t 0 =0 x A t 0 = x B t 0 =0 m m v 0, A=,50 0 m v 0, B =4,44 0 =v B t m a A=,00 x A t = x B t v B t =4,44 0 m 0

21 Eéndimenionale bewegingen Gevraagd : t =? ; x A t =? Oploing : x A t = x B t v 0, A t a A t =v 0, B t t [ v 0, A v 0, B a A t ]=0 Oploen naar t geeft t =0 of t = v 0, B v 0, A aa De eerte oploing i het begintijdtip, de tweede oploing i het moment waarop de politieauto de nelheidovertreder inhaalt. Vullen we de gegeven in : m m,50 0 m,00 t =,94 0 4,44 0 t = Berekenen we nu de afgelegde weg : m x A t =x B t =4,44 0,94 0 x A t =8,6 0 m Antwoord : De politieauto haalt de hardrijder in na 9,4, en ze hebben dan 86 m afgelegd.

22 Eéndimenionale bewegingen.4. Opgave. Een auto rijdt tegen een nelheid van 60,0 km/h. Op een bepaald ogenblik begint hij te vernellen zodat in de 30,0 nadien een aftand van 400 m afgelegd wordt. a) Bereken de grootte van de vernelling. b) Hoe groot i de nelheid van de auto na die 30,0?. Een voorwerp, dat eenparig veranderlijk rechtlijnig beweegt, bevindt zich op t = 0 in een punt 30 m link van de waarnemer. Het heeft een beginnelheid van 0 m/ weg van de waarnemer en een vernelling van 4,0 m/² naar de waarnemer toe. a) Wanneer i zijn nelheid 0 m/? b) Waar bevindt het zich dan? c) Wanneer i de beweging vertraagd, en wanneer i ze verneld? 3. Een auto rijdt tegen 90 km/h op een autobaan, al de betuurder plot 300 m verder een file opmerkt. Met welke vertraging moet de betuurder remmen om een boting te vermijden a) Al de auto' in de file tiltaan? b) Al de auto' tapvoet rijden tegen 5 km/h? 4. Een trein rijdt tegen 0 km/h, al de treinbetuurder het ignaal krijgt dat er 000 m voor hem een andere trein rijdt, met een nelheid van 90 km/h. In welke mate moet hij zijn trein vertragen, wil hij op 00 m achter de voorliggende trein de weg vervolgen? 5. Het nelheiddiagram van een racewagen op een recht gedeelte van zijn parcour vertoont een verloop zoal aangegeven in afbeelding. Bepaal: a) De gemiddelde nelheid gedurende die 8. b) De poitieverandering gedurende die 8. Afbeelding : Grafiek oefening 5 6. De grafiek telt de nelheidcomponent voor van een puntmaa die beweegt lang de x-a. Op welke tijdtippen i de puntmaa het vert verwijderd van zijn poitie op tijdtip t = 0? a) t = ; b) t = 3 ; c) t = 4 ; d) t = en t = 4 ; Afbeelding 3: grafiek bij oefening 6 e) geen van boventaande, het i op t =

23 Eéndimenionale bewegingen 7. Een tennipeler gooit een tennibal zo hard al hij kan op de grond. We verwaarlozen de wrijving met de lucht. Van de vernelling a van de bal nadat de peler hem heeft lo gelaten kun je zeggen dat : a) De grootte van de vernelling a van de bal voor het tuiten op de grond i groter dan g en i na het tuiten op de grond kleiner dan g. b) De grootte van de vernelling a van de bal voor het tuiten op de grond i groter dan g en i na het tuiten op de grond gelijk aan g. c) De grootte van de vernelling a van de bal i zowel voor het tuiten op de grond al na het tuiten op de grond gelijk aan g. d) De grootte van de vernelling a van de bal voor het tuiten op de grond gelijk aan g maar i na het tuiten op de grond afhankelijk van de hardheid van de grond. 8. Een pijl wordt verticaal van de grond omhoog gechoten en bereikt na,5 het hoogte punt. Bereken de tartnelheid en de bereikte hoogte. 9. Uit een punt 45,0 m boven de begane grond wordt een teen van 0,30 kg verticaal omhooggeworpen met een nelheid van 4,0 m/. Bereken: a) De door het lichaam bereikte hoogte boven de grond; b) De tijd nodig om de grond te bereiken; c) De nelheid bij het bereiken van de grond. 0.Vanop een 300 m hoge mat valt een teen vrij naar beneden. Op hetzelfde ogenblik, dat de teen in vrije val vertrekt, werpt iemand een tweede teen verticaal de lucht in met een beginnelheid van 60,0 m/. a) Op welke hoogte paeren de tenen elkaar? b) Bereken de nelheid van beiden al ze elkaar paeren. 3

24 3 Tweedimenionale bewegingen 3 Tweedimenionale bewegingen 3. Het onafhankelijkheidprincipe We houden twee gelijke voorwerpen op dezelfde hoogte boven de grond. Eén voorwerp laten we recht naar beneden vallen, tegelijkertijd gooien we het andere horizontaal weg. Welke van de twee voorwerpen zal het eerte op de grond komen? Wat we waarnemen i een voorbeeld van het onafhankelijkheidprincipe. De horizontale beweging heeft geen invloed op de verticale beweging. Beide voorwerpen komen tegelijkertijd op de grond. In formele bewoording onafhankelijkheidprincipe : luidt het Wanneer een voorwerp tegelijkertijd onderworpen i aan twee bewegingen, dan i zijn poitie na een bepaald tijdverloop dezelfde al wanneer die twee bewegingen, telken gedurende hetzelfde tijdverloop, na elkaar en onafhankelijk van elkaar gebeuren. Afbeelding 4: Strobocopiche opname van een voorwerp in vrije van en een voorwerp dat tegelijkertijd horizontaal wordt weggechoten. (Bron : Phyic -Serway) Of ander geformuleerd : Twee of meer bewegingen die tegelijkertijd plaatgrijpen, blijven hun volledige uitwerking behouden. 3. De horizontale worp 3.. Bechrijving van de beweging Een eerte toepaing die we bekijken i de horizontale worp. Bij een horizontale worp lanceren we een voorwerp horizontaal met een beginnelheid v0 vanop een hoogte y0. Een gelanceerd, zal het voorwerp onder invloed van de zwaartekracht naar beneden bewegen, terwijl het door zijn horizontale nelheid eveneen verder zal bewegen. De horizontale worp i de amentelling van een valbeweging en een eenparig rechtlijnige beweging. Om de beweging te bechrijven kiezen we X-a evenwijdig met de grond, en de Y-a zo dat deze door de beginpoitie loopt. Dit geeft al beginituatie : Afbeelding 5: De horizontale worp i een amentelling van een eenparig rechtlijnige beweging en een valbeweging. 4

25 3 Tweedimenionale bewegingen x t 0 =0 y t 0 = y 0 De horizontale worp i een amentelling van een eenparig rechtlijnige beweging in horizontale richting en een valbeweging in verticale richting. Dit geeft al poitievergelijkingen : x t =v 0 t y t = y 0 g t Door t te elimineren krijgen we de vergelijking van de baan in het x,y-vlak : x v0 x y= y 0 g v0 t= Dit i de vergelijking van een parabool. De baan die het voorwerp zal bechrijven zal du parabolich zijn. Afbeelding 6: Baan van een voorwerp dat horizontale worp bechrijft. 3.. Berekenen van de dracht De aftand die het voorwerp in horizontale richting zal afleggen vooraleer de grond te raken (ook wel dracht genoemd), kunnen we eveneen bepalen uit de bewegingvergelijkingen. Allereert berekenen we de tijd t nodig om vanop beginhoogte tot op de grond te komen. Dan bekijken we welke aftand gedurende die tijd i afgelegd in horizontale richting, en we hebben de dracht! Op t raakt het voorwerp de grond. Dan i bijgevolg : y t =0 m y 0 g t =0 m y0 t = g De dracht i de aftand gedurende die tijd afgelegd in horizontale richting : 5

26 3 Tweedimenionale bewegingen x t =v 0 t x t =v y0 g De projectielbeweging (chuine worp) 3.3. Bechrijving van de beweging Onder een chuine worp vertaan we een voorwerp dat gelanceerd wordt met een beginnelheid v0, onder een zekere hoek α met de horizontale, vanop een hoogte y0. Om de berekeningen enigzin te vereenvoudigen, verondertellen we dat we vertrekken vanop de begane grond, en dat bijgevolg y0 = 0m. We kunnen de initiële nelheidvector ontbinden in een horizontale en een verticale component : v 0= v 0, x v 0, y waarbij v 0, x =v 0 co v 0, y =v 0 in Een het projectiel gelanceerd, i het in verticale richting onderhevig aan de valvernelling. (aan welke vernelling i het onderhevig in horizontale richting?). We kunnen de projectielbeweging bijgevolg bechouwen al een amentelling van een eenparig rechtlijnige beweging in de horizontale richting en een verticale worp. Afbeelding 7: ontbinding van de initiële nelheidvector in componenten. Afbeelding 8: De chuine worp i een amentelling van een ERB en een verticale worp. 6

27 3 Tweedimenionale bewegingen 3.3. De bewegingvergelijkingen De projectielbeweging kan ontbonden worden in een ERB in horizontale richting en een verticale worp. De nelheidvergelijkingen worden du : v x t =v 0, x v y t =v 0, y g t En de poitievergelijkingen : x t =v 0, x t y t =v 0, y t g t Wat worden deze vergelijkingen al we vertrekken van op een beginhoogte y0 in plaat de begane grond? Afbeelding 9: Evolutie van de nelheidvector bij een chuine worp. Kan je ook overal de vernellingvector bijtekenen? Al we uit boventaande vergelijkingen vergelijking van de baan : t elimineren, verkrijgen we de x v 0, x g x x v 0, x t= y= v 0, y v 0, x Dit i de vergelijking van een parabool. De baan die het voorwerp zal bechrijven zal du parabolich zijn. 7

28 3 Tweedimenionale bewegingen Berekenen van de dracht Gebruik makend van het onafhankelijkheidprincipe, berekenen we eert de tijd nodig om terug op de grond te raken, en met dat reultaat berekenen we de aftand die in die tijd in horizontale richting i afgelegd. We noemen t het tijdtip waarop het projectiel de grond raakt. Dan i : y t =0 v 0, y t g t =0 m t v 0, y g t =0 m Hieruit volgt dat ofwel t =0 ofwel t = v 0, y g Het laatte reultaat i van belang voor het berekenen van de dracht. (Wat betekent het eerte reultaat?) De dracht bepalen we dan : v 0, x v 0, y g v 0 in co x t = g v in x t = 0 g x t = Voor welke hoek i de dracht maximaal? Oefening : toon aan dat de maximaal bereikte hoogte gegeven wordt door v 0 in y max = g 3.4 Oefeningen 3.4. a Voorbeelden Voorbeeld Opgave : Een kogel wordt in horizontale richting met een nelheid van 800 m/ afgechoten op een chietchijf die zich op 00 m aftand bevindt. Al de chutter precie op de roo mikt, over welke aftand i de kogel afgezakt al hij de chijf treft? Tekening : 8

29 3 Tweedimenionale bewegingen Gegeven : m x t 0 =0 m y t 0 =0 m v 0=800 x t =00 m Gevraagd : y t =? Oploing : Het gaat hier duidelijk over een horizontale worp. Gebruik makend van de bewegingvergelijkingen berekenen we eert t, waaruit y(t) zal volgen. x t =v 0 t x t t = v0 Met dit reultaat : y t = g t x t y t = g v0 Invullen van gegeven levert : m 00 m y t = 9,8 m 800 y t =7,66 0 m Antwoord : De kogel zal 7,66 cm gezakt zijn. b Voorbeeld Opgave Een projectiel wordt met een beginnelheid van 350 m/ onder een hoek van 30 met de horizontale afgechoten. Hoelang duurt het tot het projectiel terug de grond raakt en welke aftand heeft het dan overbrugd? Tekening : Gegeven : 9

30 3 Tweedimenionale bewegingen m x t 0 =0 m y t 0 =0 m =30 v 0=350 y t =0 m Gevraagd : t =? x t =? Oploing : Het tijdtip waarop het bewegingvergelijkingen : projectiel de grond raakt halen we uit de y t =0 v 0, y t g t =0 m t v 0, y g t =0 m Hieruit volgt t = v 0, y v 0 in = g g Gegeven invullen levert : m 350 in 30 t = m 9,8 t =3,56 0 Hiermee bepalen we dan de overbrugde aftand : x t =v 0 co t m x t =350 co 30 3,56 0 x t =,08 04 m Antwoord : Het projectiel zal neerkomen na 35,6 en zal 0,8 km overbrugd hebben. 30

31 3 Tweedimenionale bewegingen 3.4. Opgaven. Iemand tracht loodrecht een 300 m brede rivier over te zwemmen met een nelheid van,00 m/. Al de troomnelheid,50 m/ i, in welke tijd bereikt hij dan de overzijde en hoe ver zal hij afgedreven zijn? Contrueer de nelheidvector en bereken de grootte van de reulterende nelheid.. Een tuntman rijdt met zijn auto over een horizontale weg naar een kloof toe. De kloof i 0 m breed, en de overkant ligt 3 m lager. Welke nelheid moet de wagen ten minte bezitten opdat de tunt zou lagen? 3. Vanop een toren wordt een teen horizontaal weggegooid met een nelheid van 0 m/. Hij komt op de grond terecht, 50 m van de toren verwijderd. Bereken de hoogte van de toren (luchtweertand verwaarlozen). 4. Een auto gaat aan het lippen op een weg met een nelheidbeperking van 50 km/h en rijdt door een brugleuning boven een rivier. Hij komt 5, m lager in het water terecht en blijft gedeeltelijk boven water uitteken. De politie doet opmetingen en telt vat dat de auto m ver van de brug terecht gekomen i. Hoe groot wa zijn nelheid ten minte? Wa die in werkelijkheid groter of kleiner? 5. Vanaf een rot aan de rand van een meer, chiet men een kogel horizontaal af. De rot bevindt zich op 9,6 m boven het wateroppervlak. De kogel komt 500 m verder in het water terecht. Bereken de nelheid waarmee de kogel i afgevuurd. 6. Uit een tuinproeier die gericht i onder een hoek van 60 met de horizontale troomt het water met een beginnelheid van 5 m/. Bereken hoe ver de proeier reikt. 7. Een peerwerper gooit de peer weg van op chouderhoogte (,80 m) met een beginnelheid van m/ onder een hoek van 45. Wat i de maximaal bereikte hoogte en hoe ver komt de peer terecht? 8. Een oorlogbodem heeft een vijandelijk chip ontdekt aan de andere kant van een eiland, dat pal tuen hen ligt. De aftand tuen de twee boten bedraagt 5 km. De hoogte heuveltop op het eiland ligt 0 m boven zeeniveau, en ligt juit op de verbindinglijn tuen beide chepen. Onder welke hoek moet de kanonnier zijn kanonnen richten om het vijandelijk chip te raken, al hij weet dat de nelheid van de granaten bij het verlaten van de loop 550 m/ bedraagt? 3

32 4 De wetten van Newton 4 De wetten van Newton Om de notatie enigzin te vereenvoudigen preken we af dat we de grootte van een vector noteren met hetzelfde ymbool al de vector, maar zonder pijltje erboven. Zo i 4. de krachtvector, en F F de grootte van die krachtvector. Eerte wet van Newton 4.. Traagheidbeginel Dit beginel ken je nog uit de curu van het 4e jaar. We herhalen het kort : Een object in rut blijft uit zichzelf rut. Eenmaal in beweging, zal een object uit zichzelf deze beweging eenparig rechtlijnig verder zetten. 4.. Het concept kracht Volgen het traagheidbeginel kan een voorwerp zijn bewegingtoetand niet zelf wijzigen. Om vanuit rut in beweging te komen, om te vernellen of te vertragen, of om tot tiltand te komen, moet er bijgevolg een externe oorzaak zijn. Een dergelijke externe oorzaak noemen we een kracht. I het zo dat op een voorwerp dat eenparig rechtlijnig beweegt of in rut i, geen krachten inwerken? Nee, verre van, op een voorwerp in rut kunnen meerdere krachten werkzaam zijn, maar ze zullen elkaar effecten opheffen. We kunnen het traagheidbeginel dan ook herformuleren al : Een voorwerp i in rut of beweegt volgen een eenparig rechtlijnige beweging, al en lecht al de reultante van de inwerkende krachten de nulvector i. F R = F i = 0 Afbeelding 30: Een vliegtuig kan lecht éénparig rechtlijnig vliegen, al de om van alle inwerkende krachten (welke zijn dat?) de nulvactor i. (bron : 3

33 4 De wetten van Newton 4..3 Bepalen van de reulterende kracht Krachten zijn vectoren, je kan niet zomaar de grootte optellen om dan tot de reulterende kracht te komen. F F i niet hetzelfde al F F! Wat i het verchil? Je hebt vorig jaar al een aantal technieken gezien om de reulterende kracht F R = F F van twee inwerkende krachten F en F te bepalen: F en F dezelfde richting en zin hebben, dan heeft F R = F F eveneen dezelfde richting en zin, en i F R =F F. Al Afbeelding 3: Samentellen van krachten met zelfde zin en richting. F en F dezelfde richting maar tegengetelde zin hebben, F R = F F eveneen dezelfde richting, de zin van de dan heeft grootte kracht en i F R = F F. Al Afbeelding 3: Samentellen van krachten met zelfde richting, maar tegengetelde zin. F en F verchillende richtingen hebben, kon je de Al parallellogramregel toepaen, en op grafiche wijze de reultante bepalen. Afbeelding 33: Samentellen van krachten met verchillende zin en richting. Het grafich bepalen van de reulterende kracht zou nogal omlachtig kunnen worden al we bvb. de reultante van twee krachten met grootte van rep. 53 N en 76 N willen bepalen, die een hoek inluiten van 3. We kunnen dergelijk probleem oploen door de krachten te ontbinden volgen componenten lang de X- en de Y-a. 33

34 4 De wetten van Newton Verondertel dat we twee krachten richting en zin, en dat we de reultante F en F hebben met verchillende F R = F F moeten berekenen. Afbeelding 34: We moeten de reultante berekenen van twee krachten die een willekeurige hoek inluiten. Ontbinden we beide krachten in componenten volgen X- en Y-a : F = F, x F, y F = F, x F, y Zij α de hoek zijn : F van met de X-a, en β de hoek van F,x = F co en F, y =F in Afbeelding 35: Ontbinding van de eerte kracht in componenten volgen X en Y a. F met de X-a, dan F, x =F co F, y =F in Afbeelding 36: Ontbinding van de tweede kracht in componenten volgen X en Y a. Nu i F R= F F F R = F, x F, y F, x F, y F R= F R, x F R, y 34

35 4 De wetten van Newton Waarbij Vermit F, x en F R, x = F,x F, x en F R, y = F, y F, y F, x dezelfde zin en richting hebben, geldt er : F R, x =F, x F, x= F co F co en analoog : F R, y = F, y F, y =F in F in De grootte van F R bepalen we met behulp van de regel van Pythagora : F R = F R, x F R, y De hoek die maakt met de X-a (en die de zin en richting bepaalt) halen we uit : tan = F R, y. F R,x Afbeelding 37: Bepalen van de reulterende kracht uit de componenten van amentellende krachten. Laten we dit bij wijze van voorbeeld toepaen op het hierboven vermelde probleem : de reultante van twee krachten met grootte van rep. 53 N en 76 N bepalen, die een hoek inluiten van 3 De keuze van de X-a kan het probleem al een pak vereenvoudigen. In dit geval kiezen we de X-a evenwijdig met F. De hoek α van a i dan 3. F met de X-a i bijgevolg 0, de hoek β van F met de X- F in componenten : F, x =F co =53 N co 0 =53 N F, y =F in =53 N in 0 =0 N Ontbinding van Ontbinding van in componenten : F, x =F co =76 N co 3 =69,96 N F, y =F in =76 N in 3 =9,70 N Bepalen van de componenten van de reulterende kracht : 35

36 4 De wetten van Newton F R, x =F,x F, x =5,30 0 N 6,70 0 N =,0 0 N F R, y = F, y F, y =0 N,97 0 N =,97 0 N De grootte van de reulterende kracht : F R =,0 0 N,97 0 N =,3 0 N De hoek van de reultante met de X-a : tan = 4. F R, y,97 0 N = =,47 0 F R, x,0 0 N =3 54 ' Tweede wet van Newton 4.. Dynamiche krachtwerking De tweede wet van Newton, ook gekend al het principe van de dynamiche krachtwerking, ken je eveneen nog van vorig jaar : Een kracht uitgeoefend op een maa veroorzaakt een vernelling. Bij contant gehouden maa i de grootte van de vernelling recht evenredig met de grootte van de inwerkende kracht. Bij verchillende maa', onderworpen aan éénzelfde kracht, i de grootte van de vernelling omgekeerd evenredig met de maa. Kracht en vernellingvector hebben zelfde zin en richting. Samengevat : =m a F Afbeelding 38: Eenzelfde kracht veroorzaakt een kleinere vernelling bij een grotere maa. 36

37 4 De wetten van Newton 4.. Tangentiële en normaalkracht De link tuen kracht en vernelling zorgt ervoor dat we een kracht, net al een vernelling, kunnen ontbinden in een component evenwijdig met de ogenblikkelijke nelheidvector, ook wel de tangentiële (rakend aan t of genoemd de baan) component F en een component loodrecht op de ogenblikkelijke nelheidvector, F n de normaalcomponent genoemd. Afbeelding 39: Ontbinding van kracht in tangentiële en normaalcomponent. F t F n = F. Zo dat De tangentiële component i de oorzaak van de wijziging in grootte van de nelheidvector van de maa. De normale component i de oorzaak van de wijziging van richting van de nelheidvector van de maa. 4.3 Derde wet van Newton Actie en reactie Twee peronen taan elk op een karretje. Ze zijn verbonden door een touw. Wat gebeurt er al peroon A aan het touw trekt en zo een kracht uitoefent op B? Wat gebeurt er al je op een karretje taat, en je oefent een kracht uit op de muur? Beide gevallen zijn illutratie van de 3e wet van Newton, ook bekend al het principe van actie en reactie : Al voorwerp A op voorwerp B een kracht uitoefent, dan zal B op A een kracht uitoefenen zodat F A B= F B A Afbeelding 40: Actie en reactie Onthou : Krachten komen voor in paren. Actie- en reactiekracht werken gelijktijdig in. Actie en reactiekracht grijpen aan op verchillende lichamen De actie en reactiekracht zijn gelijk in grootte, hebben dezelfde richting, maar tegengetelde zin. 37

38 4 De wetten van Newton 4.4 Voorbeelden van krachten 4.4. Zwaartekracht nabij het aardoppervlak Je weet al uit de curuen van vorige jaren dat in de dichte nabijheid van het aardoppervlak de kracht waarmee de aarde een voorwerp aantrekt, contant i. Het aangrijpingpunt i zwaartepunt van het voorwerp; het De richting i aardoppervlak; het de zin i gericht aardoppervlak toe; de grootte i loodrecht op naar het F z =m g. Vectorieel : F z =m g Afbeelding 4: Zwaartekracht in de buurt van het aardoppervlak. Gewicht De term gewicht kan verwarrend zijn, omdat veelal in de dagdagelijke preektaal, gewicht ynoniem i voor maa ( ik weeg 80 kg ). In de fyica i gewicht nochtan duidelijk gedefinieerd : Het gewicht van een lichaam i de kracht die dat voorwerp uitoefent op een teunvlak of ophangpunt, onder invloed van de zwaartekracht. Gewicht i in geval van teunvlak altijd gericht loodrecht op het teunvlak, of, in geval van ophangpunt, van het ophangpunt naar het voorwerp toe. Gewicht wordt aangeduid al F G. Let op! Gewicht i du niet hetzelfde al zwaartekracht!!! Wat zijn de verchillen? En ook al kan de grootte van het gewicht gelijk zijn aan de grootte van de zwaartekracht, dit i niet altijd het geval (zie voorbeeldoefeningen)! In welke eenheid druk je gewicht uit? Afbeelding 4: Wat meet een weegchaal eigenlijk? Waar ligt het aangrijpingpunt van het gewicht van de vrouw? I gewichtloo zwaartekracht? ynoniem Kan je gewichtloo zijn aardoppervlak? Hoe? op voor m geen boven het Normaalkracht Een lichaam oefent onder invloed van de zwaartekracht een kracht uit op een teunvlak. Uit de derde wet van Newton volgt dan dat het teunvlak een even grote, maar tegengeteld gerichte kracht uitoefent op het lichaam. 38

39 4 De wetten van Newton Deze kracht, uitgeoefend door een teunvlak op een lichaam, noemen we een normaalkracht. We noteren een normaalkracht al F. N Gewicht en normaalkracht zijn du een actie-reactie paar. Ze zijn altijd gelijk in grootte, maar zijn tegengeteld gericht en grijpen aan op verchillende lichamen. De normaalkracht i du altijd gericht loodrecht op het teunvlak. Velen zijn, doordat het veelvuldig het geval wa in oefeningen vorige jaren, ervan overtuigd dat F N =F Z =m g. Dit i echter alleen Afbeelding 43: Het actie-reactiepaar gewicht en normaalkracht zo in pecifieke ituatie! Welke? Spankracht Bechouw een touw (dat we voor onze doeltellingen al maaloo en onuitrekbaar verondertellen) dat vatgemaakt i aan een voorwerp. Al we aan het touw trekken (du een kracht uitoefenen op het touw), dan wordt die kracht via het touw getranfereerd naar het voorwerp. Een kracht die via een touw (of ketting...) uitgeoefend wordt op een voorwerp, noemen we pankracht. We noteren een pankracht met F T Afbeelding 44: Een kracht kan door een touw getranfereerd worden. Veerkracht Veerkracht ken je nog uit de curuen van vorige jaren : De grootte van de kracht uitgeoefend door een veer op een lichaam, i recht evenredig met de aftand waarover de veer wordt uitgerokken (of ingeduwd). Dit taat bekend al de wet van Hooke : F v =k x of vectorieel : F v =k r 39

40 4 De wetten van Newton Afbeelding 45: Kracht van een veer die over aftand x i uitgerokken a Wrijvingkracht tuen contactoppervlakken Algemene bepreking Wanneer een lichaam beweegt over een ruw oppervlak, ondervindt het een weertand tegen de beweging : wrijvingkracht. Wrijvingkrachten zijn zeer belangrijk in het dagdagelijke leven : zij taan on toe rond te wandelen, zorgen ervoor dat wielen voertuigen laten bewegen en bochten laten nemen,... Vorig jaar heb je al wrijvingkrachten beproken die inwerken op een bewegend voorwerp. Nu breiden we dat uit door ook wrijvingkrachten in bechouwing te nemen die werken op tatiche voorwerpen. Bechouw nu een blok op een horizontaal, ruw oppervlak. Al we een kleine kracht uitoefenen op het blok in horizontale richting, dan blijft het blok gewoon liggen. De kracht die het blok verhindert in beweging te komen noemen we de tatiche wrijvingkracht F w,. We kunnen de uitgeoefende kracht beetje bij beetje vergroten, en zolang het blok tationair blijft geldt er F w, =F of vectorieel F w, = F De tatiche wrijvingkracht uitgeoefende kracht vergroot! wordt du groter, naarmate de Blijven we de uitgeoefende kracht vergroten, dan zal het blok op een gegeven moment in beweging chieten. Wanneer het blok net niet in beweging chiet, i de tatiche wrijvingkracht maximaal. Al de uitgeoefende kracht groter wordt dan de maximale tatiche wrijvingkracht, dan zal het blok in beweging chieten en vernellen. Er kan experimenteel aangetoond worden dat de maximale tatiche wrijvingkracht recht evenredig i met de normaalkracht. De evenredigheidcontante noemen we de tatiche wrijvingcoëfficiënt. F w,, MAX = F N Een het blok in beweging i, blijft de wrijvingkracht contant, ongeacht de op het blok uitgeoefende kracht. De wrijvingkracht die werkt op een bewegend voorwerp noemen we de kinetiche wrijvingkracht. De kinetiche wrijvingkracht zal iet kleiner zijn dan de maximale tatiche wrijvingkracht. 40

41 4 De wetten van Newton Zoal je al weet van vorig jaar, i de kinetiche wrijvingkracht eveneen recht evenredig met de normaalkracht, en i de richting van de wrijvingkracht altijd tegengeteld aan de bewegingrichting. De evenredigheidcontante noemen we de kinetiche wrijvingcoëfficiënt k. F w, k = k F N Afbeelding 46: Wrijvingkracht in kinetich en tatich gebied. In het tatich gebied i de wrijvingkracht gelijk aan de uitgeoefende kracht, in het kinetich gebied i de wrijvingkracht contant. k Staal op taal 0,74 0,57 Aluminium op taal 0,6 0,47 Koper op taal 0,53 0,36 Rubber op droog afalt,0 0,8 Rubber op nat afalt 0,8 0,4 Hout op hout 0,5-0,5 0, Gla op gla 0,94 0,4 0,4 0, - 0,04 0,5 0,06 0, 0,03 Gevernit neeuw. hout op natte Gevernit hout op droge neeuw. Metaal op metaal, meermiddel. Ij op ij met 4

42 4 De wetten van Newton Menelijke gewrichten 0,0 0,003 De grootte van de wrijvingcoëfficiënten i afhankelijk van de materialen. In boventaande tabel vind je een aantal voorbeelden van wrijvingcoëfficiënten. Waarom i het zinloo de wrijvingcoëfficiënt van ijzer te vragen? b Toepaing : bepalen van minimale remaftand We gaan nu proberen de minimale remaftand te berekenen van een auto met maa m, die rijdt op een horizontaal wegdek met een nelheid v0 en bruuk moet remmen. De chauffeur duwt zijn rempedaal volledig in, zodat de wielen helemaal blokkeren, en de auto tot tiltand zal komen door de wrijving tuen banden en wegdek. De kinetiche wrijvingcoëfficiënt tuen banden en wegdek i gegeven door µk. De op de auto inwerkende krachten zijn aangegeven op de figuur hiernaat. Afbeelding 47: Krachten inwerkend op een remmende auto. We kiezen de X-a evenwijdig met het wegdek, en de oorprong op het punt waarop de chauffeur begint te remmen. We berekenen nu de aftand die de chauffeur aflegt vooraleer helemaal tot tiltand te komen. Allereert bepalen we de vernelling a waarmee de auto afremt. Ontbinden van de krachten volgen X- en Y-a levert : X : F W, k =m a x Y : F N F Z =0 Met wat we weten over zwaartekracht en kinetiche wrijving wordt dit : X : k F N =ma Y : F N =m g Waaruit : a x = k g De vernelling waarmee de auto vertraagt i contant, we kunnen bijgevolg de bewegingvergelijkingen gebruiken van een EVRB. v t =v 0 k g t x t =v 0 t k g t Noemen we het tijdtip waarop de auto tiltaat t. Hieruit volgt : 4