HET EXPERIMENT VAN GALILEI MET HET HELLEND VLAK

Transcriptie

1 HET EXPERIMENT VAN GALILEI MET HET HELLEND VLAK Robert E. Jonckheere INLEIDING Het i genoegzaa bekend dat Galilei proeven deed et ballen rollend op een hellend vlak en daarbij aantoonde dat onder invloed van de zwaartekracht een eenparig vernelde beweging onttaat: de afgelegde wegen verhouden zich al de kwadraten der looptijden. In 03 bouwde Françoi Thij, een technich zeer begaafde vrijwilliger van onze vereniging, een oderne proefoptelling die toelaat deze proeven van Galilei te herhalen en teven daaruit de waarde van de valvernelling "g" te bepalen. BOUW Het hellend vlak wordt gevord door twee evenwijdige rail, waarvan de helling binnen zekere grenzen intelbaar i en waarop naar keuze divere ballen kunnen rollen. Bovenaan wordt de bal logelaten et een beginnelheid die praktich nul i. Onderaan wordt de bal opgevangen en dan teruggevoerd naar de beginpoitie, zodat de proef eerdere alen kan herhaald worden. Op negen gelijkatig verdeelde aftanden wordt de looptijd elektronich geeten in aantallen tijddelen van /50 econde vanaf het ogenblik van lolaten van de bal. Deze aantallen worden getoond op nuerieke diplay. EXPLOITATIE VAN DE RESULTATEN De exploitatie van de etingen gaf aanvankelijk aanleiding tot verkeerde reultaten. Dit had geenzin te aken et de bouw van de proefoptelling, ook niet et de onverijdelijke eetfouten, aar wel et de foute interpretatie van het concept van deze proef. Deze bijdrage hoopt ter zake de nodige verduidelijking te verchaffen. Men ag de bal niet bechouwen al een tar lichaa dat zich verplaatt over het hellend vlak, zonder eree rekening te houden dat het lichaa ook rolt: er vindt du tegelijkertijd tranlatie en rotatie van het bewegend lichaa plaat en het dynaich gedrag daarvan i totaal verchillend van het gedrag van een tar lichaa dat van boven naar beneden glijdt over het hellend vlak. Een glijdend tar lichaa wordt enkel gekenerkt door zijn aa, die en geconcentreerd ag denken in zijn aaiddelpunt. De rollende bal heeft ook een aa aar wordt teven gekenerkt door zijn aatraagheidoent ten opzichte van zijn rotatiea.

2 Wat i dit aatraagheidoent? Figuur Bechouw een oneindig klein aadeeltje d ergen binnenin de bal en gelegen op een aftand Z van de rotatiea Ox. De bal heeft een iddelpunt O en een traal R. Het traagheidoent van dat aadeeltje ten opzichte van de rotatiea Ox i dan: Z. d (NB: het punt telt een product voor). O nu het aatraagheidoent van de bal te vinden, oet en de o aken van al deze producten uitgetrekt over de gehele aa van die bal, waarbij en dient rekening te houden et het feit dat die bal eventueel uit divere aterialen i aengeteld en dat de bal ofwel aief of hol kan zijn. Een dergelijke o noet en in de wikunde een integraal. Men kan zich in dit tadiu van de uitleg reed inbeelden dat b.v. ballen et eenzelfde aa eventueel toch een verchillend aatraagheidoent hebben en dan ook een verchillend dynaich gedrag vertonen. Maatraagheidoent van een hoogene aieve bal We gaan dit traagheidoent berekenen ten opzichte van de rotatiea Ox. Figuur

3 We verdelen daartoe de bol et traal R in (oneindig) dunne chijven et traal r en een dikte dx, loodrecht op de rotatiea Ox. Elke cirkelvorige chijf wordt verdeeld in ectoren, et een (oneindig) kleine hoek dγ. Uit een dergelijke ector naen we een egent et afetingen dx, dz en z.dγ. Het volue van dit egent i: dv = dx. dz. z.dγ De aa ervan i: d = ρ. dv al ρ = aadichtheid. Het aatraagheidoent t.o.v. de rotatiea Ox i dj = Z. d = ρ. dx. z 3. dz. dγ De waarde van J wordt bekoen door drieaal te integreren waarbij γ varieert tuen O en π, z varieert tuen O en r, en x varieert tuen -R en +R, en waarbij r = R - x Na al deze bewerkingen vindt en uiteindelijk: J 8 π ρ 5 5 =.. R () We kunnen deze waarde van het traagheidoent ook nog uitdrukken in functie van de aa van de aieve bol: M = π. ρ. R 3 3 Al we de waarde van de aadichtheid hieruit halen en ubtitueren in () bekoen we: J = 0,MR () al waarde van het aatraagheidoent ten opzichte van de rotatiea door zijn aaiddelpunt O voor een hoogene aieve bol et traal R en aa M. Dit i een elegante en zeer eenvoudige uitdrukking. 3

4 De bewegingvergelijkingen van de rollende bal Figuur 3 Een aieve bal et aa M en traal R rolt onder invloed van het zwaartekrachtveld (g) van een helling die een hoek α aakt et de horizontaal. Het aaiddelpunt O verplaatt zich volgen Ox, evenwijdig et het hellend vlak. De krachten die aangrijpen op de bal zijn: G = M. g en een zekere wrijvingkracht F. Het gewicht G heeft een coponent G. coα die de bal tegen het hellend vlak aandrukt en verder geen effect heeft op de tranlatiebeweging van de bal. De andere coponent van G, naelijk G. inα doet de bal naar beneden rollen. Er werkt ook een zekere kracht F in het contactpunt C op de bal, doch over de grootte ervan kan en niet zeggen, odat wij onderteld hebben dat de bal rolt, zonder te glijden. We paen nu de wet van Newton toe, naelijk aa M aal vernelling i gelijk aan de o van de krachten die de tranlatievernelling veroorzaken volgen Ox: M. = G. in α - F et: G = M. g (3) () De bal gaat rollen rond zijn iddelpunt O, waarbij de rotatiehoek γ i, en du kunnen we een bewegingvergelijking voor de rotatie optellen: het aatraagheidoent J aal de hoekvernelling i gelijk aan de o der oenten, die de rotatie veroorzaken: J. =F.R (5) Noteer dat het oent van het gewicht G ten opzichte van het aaiddelpunt nul i.

5 NB: en zijn de tweede afgeleiden naar de tijd van rep. γ en du de tranlatievernelling rep. rotatievernelling van de bal. Bij het optellen van de bewegingvergelijkingen hebben wij zowel de luchtweertand al de rolweertand buiten bechouwing gelaten. Uit (5) bekoen we F: F J =. γ& & (6) R We brengen (6) en () in (3) en bekoen: J M. & x = M.g.inα -.& γ (7) R Het verband tuen tranlatienelheid x& en de hoeknelheid γ& i bekend, aangezien de bal zuiver rolt: x& = γ&.r (8) waaruit door afleiden naar de tijd volgt: x& = γ&.r & (9) De waarde van uit (9) brengen we in (7): J M. x& = M. g. inα -. x& (0) R waaruit na herchikking en deling door M volgt: J +. x = g.inα & () MR Du de rollende bal krijgt een tranlatievernelling lang het hellend vlak gegeven door: x& = + J MR. g.inα () En al de bal hoogeen en aief i geldt () zoal hogerop gezien: J = 0,MR 5

6 en du bedraagt de tranlatievernelling: x & =.g.inα (3), waarin et luchtweertand en rolweertand geen rekening werd gehouden. Voor een aa die naar beneden glijdt over een hellend vlak vindt en: x & = f ( ).g. inα tanα indien er rekening wordt gehouden et een wrijvingcoëfficiënt f. Houdt en daar geen rekening ee, dan i: & x =g.inα We kunnen nu ook intuïtief aanvoelen waaro bij de experienten et het hellend vlak de voorkeur gegeven wordt aan rollende ballen i.p.v. aan een glijdende aa. Inderdaad, rolweertand heeft veel inder effect dan wrijving. Het i niet voor niet dat een auto en een fiet wielen hebben. Theoretiche opbouw van de experienten Wij erken op dat de tranlatievernelling (3) voor een gegeven helling een contante i, die we eenvoudigheidhalve zullen noeen: a = g. inα (), De door de bal afgelegde weg wordt bekoen door (3) tweeaal te integreren: a.t + v.t + = 0 De experientele optelling i zodanig ingericht dat de beginvoorwaarden nul zijn: v = 0 en = zodat: = a.t = Ct (5) 6

7 waarbij: C = contante Deze uitdrukking geldt voor elk eetpunt. Voor het eerte eetpunt geldt du: = a.t = Ct waaruit: t = C Voor het vierde eetpunt geldt: = a.t = Ct waaruit: t = C Doch: =. Du: t =. t En evenzo voor het negende eetpunt: 9 = 9. waaruit: Du: t 9 = 3. t t9 = 3 C Al wij bijgevolg de looptijden voor het eerte, vierde en negende eetpunt noteren en vattellen dat t =. t en t 9 = 3. t (6) dan hebben we genoegzaa aangetoond dat de beweging van de bal veroorzaakt door de vernelling g van het zwaarteveld wel degelijk eenparig verneld i. O de nuerieke waarde van de vernelling g te vinden gaan we uit van () geldig voor een hoogene, aieve bal:, g =.a (7) inα et a = (8) t 7

8 Deze uitdrukking kunnen we op elk eetpunt toepaen. Wij erken op dat er gedeeld wordt door in α. De nuerieke waarde daarvan hangt af van onze kenni van de hoek, de hoek die het hellend vlak aakt et de horizon. De waarde van i klein gekozen, zo rond graden. Laten wij du een nagaan hoe terk de inu varieert in de buurt van : in 0 = 0,7365 in = 0,908 in = 0,079 in 3 = 0,9 in = 0,9 Het valt op dat per graad de waarde vanin α et grofweg een kleine 0 % varieert! Dat i heel veel. Dat betekent dat we een zeer zorgvuldige eting van α zullen oeten verrichten. Metingen De etingen werden verricht et behulp van een grote aieve kunttof bal. Enkel de looptijden voor het eerte en het vierde en het negende werden opgenoen, tot vieraal toe in elk eetpunt, zodat geiddelden konden geaakt worden. De getallen tellen het aantal pulen van /50 econde voor. te eetpunt e eetpunt 9e eetpunt = 0, = 0,96 =. 9 =,6 = geiddelde looptijd geiddelde looptijd geiddelde looptijd t = 7,5 pulen t = 56,5 pulen =,0 t t 9 = 86,5 pulen = 3, t Het e eetpunt geeft een ooi reultaat op % na, het 9e eetpunt een fout van iet inder dan 5 %. Het feit dat de looptijd telken iet groter uitvalt dan de theoretiche waarde i naar alle waarchijnlijkheid te wijten aan de divere weertanden, die we verwaarlood hebben in onze berekeningen, waardoor de bal du iet langer onderweg i. Daaree i du (6) aangetoond, zoal voorzien. O nu de valvernelling uit deze reultaten te kunnen berekenen oet de hoek zo precie ogelijk geeten worden. 8

9 We hebben dit gedaan door een groot tuk hard karton et een recht afgeneden zijde, verticaal op het hellend vlak te plaaten in de richting van de grootte helling. Met een waterpa werd daarop een horizontale rechte getrokken, en et behulp van een winkelhaak een verticale lijn, zodat een grote rechthoekige driehoek bekoen wordt. De zijden ervan werden zorgvuldig opgeeten: rechthoekzijden: 30 en 69, hypotenua 38. De hellinghoek i begrepen tuen de hypotenua en de lange rechthoekzijde. Op al deze etingen i een zekere fout geaakt, en du leek het gepat o een geiddelde te aken et behulp van drie trigonoetriche functie, waarin telken twee van de drie etingen voorkoen: 69 tan α = = 0,6 waaruit: α = ' co α = = 0,975 waaruit: α = 5' in α = = 0,5 waaruit: α 3 = 5' 38 Uit de drie waarden van berekenen we het geiddelde al zijnde de eet waarchijnlijke waarde: α = 7' in α =0,56 en daaree zullen we verder werken. Uit (7) en (8) bekoen we voor de valvernelling: g =,8 t.inα Deze uitdrukking i geldig in elk eetpunt. Ook hier zullen we weer geiddelden berekenen: inderdaad, we hebben etingen verricht in elk van de 3 eetpunten, du etingen: Uit 7,5 = 0, en t = ec reulteert: g = 9,

10 Uit Uit 56,5 = 0,96 en t = ec reulteert: g = 9, ,5 3 =,6 en t 3 = ec reulteert g 3 = 0, De geiddelde waarde uit de etingen bedraagt: g = 9,8 Beluit Wij hebben aangetoond dat en de proef et de rollende bal niet ag verwarren et het eenvoudige geval van een aa glijdend op een hellend vlak en vervolgen de lechte reultaten toechrijven aan zg. onverijdelijke contructiefouten, eetfouten en rekenfouten. Men oet beginnen et het concept van de proef correct te begrijpen en dan de beweging van de rollende bal in vergelijking te brengen, waarbij hogere wikunde en theoretiche echanica onibaar blijken te zijn. In de tijd van Galilei wa deze nog niet bechikbaar. Men oet wachten op Newton en vele andere wetenchapper. Het eindreultaat van deze eerder ingewikkelde bechrijving van het experient i echter geakkelijk te gebruiken. Wij hebben daaree aangetoond dat de nieuwe proefoptelling van MIRA op zeer eenvoudige wijze toelaat vat te tellen dat de beweging inderdaad eenparig verneld i, zoal Galileï reed beweerde. Verder kunnen we de lokale waarde van de valvernelling "g" bepalen et een zeer beperkte experientele fout. Deze nieuwe didactiche proefoptelling i geakkelijk in het gebruik, geeft goede reultaten en i daardoor een waardevolle aanwint voor Volkterrenwacht MIRA. 0