Standaardisatie en z-scores

Transcriptie

1 Prof. dr. Herman Callaert Inhoudtafel 1 Standaardiatie bij concreet cijfermateriaal Een eerte voorbeeld: de punten van Pol De ruwe core Vergelijken met het klagemiddelde Variabiliteit rond het gemiddelde z-core Een tweede voorbeeld: de punten van Emma De ruwe core Vergelijken met het klagemiddelde Variabiliteit rond het gemiddelde en z-core Hoort Emma bij dezelfde topgroep? Standaardiatie bij kanmodellen Normaal verdeelde populatie en z-core Vergelijken op bai van normale verdelingen Vergelijken op bai van z-core Populatie die niet normaal verdeeld zijn... 8 Centrum voor tatitiek

2 Al je reultaten (zoal eamenpunten op verchillende vakken) met elkaar wil vergelijken, dan heb je dikwijl nood aan tandaardiatie. Een 8/10 op gechiedeni en een 8/10 op fica, dat i telken een 8/10, maar i dat wel gelijkwaardig? Om dat te beoordelen moet je weten hoe de punten op die verchillende vakken gegeven worden. Je zal punten op gechiedeni en punten op fica op een of andere manier tandaardieren om ze zo goed mogelijk met elkaar vergelijkbaar te maken. Bij populatie die normaal verdeeld zijn, tandaardieer je met z-core om reultaten vergelijkbaar te maken. Al populatie niet normaal verdeeld zijn, dan kan je de techniek van de z-core niet zomaar toepaen. En je ziet z-core ook opduiken bij de interpretatie van concreet cijfermateriaal. Som i dat zinvol, om ook niet. 1 Standaardiatie bij concreet cijfermateriaal 1.1 Een eerte voorbeeld: de punten van Pol In een kla met 10 leerlingen zijn de reultaten op Nederland, Fran en Duit al volgt: Nederland Fran Duit Pol heeft op die drie vakken telken 5 op 10 gehaald. Er zijn nu verchillende mogelijkheden om de reultaten van Pol te interpreteren De ruwe core Hierbij kijk je gewoon naar de behaalde punten, zonder enige verdere contet. Je houdt hierbij geen rekening met wat de andere leerlingen gedaan hebben en ook niet met de manier waarop verchillende leerkrachten punten geven. Pol haalde drie keer 5 op 10 en du beluit je dat hij drie keer even goed preteerde Vergelijken met het klagemiddelde Wat Pol preteerde i één ding, maar wat zijn medeleerlingen op diezelfde toeten preteerden zegt toch ook iet. Je kan bijvoorbeeld kijken naar de globale pretatie van de hele kla en het klagemiddelde al een referentiepunt nemen. Op Nederland haalde de kla een gemiddelde van 5, op Fran wa dat 7 en op Duit ook 7. Zowel op Fran al op Duit coorde Pol 2 punten lager dan het klagemiddelde en du heeft hij (in vergelijking met het gemiddelde) voor deze twee vakken op dezelfde manier gepreteerd. Zijn pretatie op Nederland wa beter want daar coorde hij even hoog al het klagemiddelde. Centrum voor tatitiek 1

3 1.1.3 Variabiliteit rond het gemiddelde Al je alleen het klagemiddelde al referentie neemt, dan zie je bij Pol geen verchil tuen Fran en Duit (de core van Pol i telken 5 en het klagemiddelde i telken 7). Zijn reultaten zal je nochtan heel ander interpreteren al je niet alleen naar het klagemiddelde kijkt, maar ook naar de preiding van de core rond dat gemiddelde. Dat zie je op een eenvoudig puntendiagram. Bij de toet Fran liggen de core nogal gepreid. Twee leerlingen haalden een 5, er wa ook een leerling met een 4 maar er waren er ook met 9 en 10. Voor de punten van die 10 leerlingen i het gemiddelde 7 en de tandaardafwijking i 2. De toet Duit ziet er helemaal ander uit. Iedereen haalde daar een 7 of een 8, behalve. Pol, die had een 5. Bij deze toet i het gemiddelde 7 en de tandaardafwijking i (afgerond) 0.8. Een getal uit een dataet zomaar vergelijken met het gemiddelde vertelt niet het hele verhaal. Som geeft dit zelf een verkeerd beeld. De variabiliteit rond dat gemiddelde peelt ook een rol. Bij Fran behaalde Pol een core die 1 tandaardafwijking onder het gemiddelde ligt, want 5 = 7 (1) (2). Bij Duit coorde Pol 2.5 tandaardafwijkingen onder het gemiddelde want 5 = 7 (2.5) (0.8). De tandaardafwijking van een dataet i dikwijl een goede meetlat om punten uit die dataet te vergelijken met hun gemiddelde. Zo houd je ook rekening met de variabiliteit van de gegeven. Al je de tandaardafwijking al meetlat neemt dan heeft Pol 1 op Fran en 2.5 op Duit. In vergelijking met zijn medeleerlingen i zijn pretatie op Duit veel lager dan op Fran. Fran: core van Pol = gemiddelde 1 tandaardafwijking Duit: core van Pol = gemiddelde 2.5 tandaardafwijkingen z-core Naar analogie met de benaming en de notatie bij populatie die normaal verdeeld zijn, preekt men ook hier over z-core wanneer je bepaalt hoeveel tandaardafwijkingen een oorpronkelijke ruwe core verwijderd i (in poitieve of negatieve zin) van het gemiddelde. Al je de core op Fran noteert al 1, 2, 3,..., met gemiddelde 10 = 7 en tandaardafwijking = 2 dan heb je voor de core van Pol (genoteerd al ) dat: core van Pol = gemiddelde 1 tandaardafwijking > 5 = 7 + ( 1)(2) of = + z zodat de z-core gelijk i aan: z =. Centrum voor tatitiek 2

4 Notatie. Om de punten op Fran en op Duit uit elkaar te houden gebruik je de volgende notatie: Fran: de punten: 1, 2, 3,..., en algemeen 10 1, 2,..., i,..., het punt op Fran behaald door Pol: het gemiddelde: de tandaardafwijking: de z-core van Pol die hoort bij zijn punt op Fran: z Duit: de punten: 1, 2, 3,..., en algemeen 10 1, 2,..., i,..., het punt op Duit behaald door Pol: het gemiddelde: de tandaardafwijking: de z-core van Pol die hoort bij zijn punt op Duit: z Voor Pol geldt dan: 5 7 Fran: = 5, = 7, = 2 zodat z = = = 1. Pol heeft op Fran een z-core = Duit: = 5, = 7, = 0.8 zodat z = = = 2.5. Pol heeft op Duit een z-core= n n 1.2 Een tweede voorbeeld: de punten van Emma In een kla met 20 leerlingen zijn de reultaten op fica en gechiedeni al volgt: Fica Gechiedeni Emma heeft zowel op fica al op gechiedeni een 8 gehaald. Hoe vergelijk je die 2 reultaten? Nota. Gebruik een notatie met voor fica en voor gechiedeni De ruwe core Volgen dit criterium zijn de 2 pretatie identiek want: punt op fica: = 8 punt op gechiedeni: = Vergelijken met het klagemiddelde Volgen dit criterium zijn de 2 pretatie identiek want: klagemiddelde op fica: = 7 zodat = 8 7= 1. Emma coort 1 punt boven het klagemiddelde bij fica. klagemiddelde op gechiedeni: = 7 zodat = 8 7= 1. Emma coort 1 punt boven het klagemiddelde bij gechiedeni. Centrum voor tatitiek 3

5 1.2.3 Variabiliteit rond het gemiddelde en z-core Volgen dit criterium zijn de 2 pretatie identiek want: tandaardafwijking bij fica: = 1.08 zodat tandaardafwijking bij gechiedeni: = 1.08 zodat 8 7 = = Op fica haalt Emma een z-core van z = = = Op gechiedeni haalt Emma een z-core van z = Hoort Emma bij dezelfde topgroep? Zelf al je rekening houdt met zowel het klagemiddelde al met de variabiliteit rond dat gemiddelde, dan nog kan het gebeuren dat je het hele verhaal niet te pakken hebt. Ook de vorm van de puntenverdeling peelt een rol. Dat zie je goed op een figuur waar je de puntendiagrammen van beide vakken met elkaar vergelijkt. Op fica coort Emma 8/10. In haar kla zijn er van de 20 leerlingen lecht 5 die het minten even goed doen. Emma behoort tot de top 5 van haar kla of, al je dat in percent wil uitdrukken, dan behoort zij tot de 25 % bete van haar kla: 25 % van de leerlingen coort minten even goed al Emma en 75 % van de leerlingen coort lager. Voor gechiedeni kan je niet zeggen dat Emma tot de 25 % bete behoort. Van de 20 leerlingen zijn er hier 9 die (minten) een 8 halen. Voor gechiedeni coort 45 % van de leerlingen even goed al Emma en 55 % heeft een lagere core. Naat de z-core peelt ook de vorm van de puntenverdeling een rol. Bij fica zie je een hoge piek bij 7 (het gemiddelde) en de andere punten liggen daarrond mmetrich gepreid. Bij gechiedeni i het gemiddelde ook 7 maar de punten liggen niet mmetrich gepreid rond dit gemiddelde. De hoogte piek zie je bij 8 en daar breekt de verdeling af (voorbij 8 ligt er niet meer). Al je op 2 verchillende vakken dezelfde z-core haalt, dan behoor je wel tot dezelfde topgroep al je te maken hebt met normale verdelingen. Dat leer je hieronder. Centrum voor tatitiek 4

6 2 Standaardiatie bij kanmodellen Kanmodellen zijn theoretiche modellen die je gebruikt om een concrete werkelijkheid te benaderen. Die benadering heb je nodig omdat de werkelijkheid te comple i of omdat je bepaalde concrete gegeven in een meer globale contet wil plaaten. In de kla van Emma zitten 20 leerlingen en hun punten op fica zie je op de figuur. Emma heeft 8/10 gehaald en du hoort zij bij de top 5 van haar kla. Om dit te zien heb je geen kanmodel (zoal een normale verdeling) nodig. Waarom zou je een normale verdeling gebruiken en zeggen dat Emma benaderend tot de bete 18 % van haar kla behoort al je hier kan aflezen dat zij eact bij de 25 % bete van haar kla zit? Vraagtukken die beroep doen op onderliggende theoretiche kanmodellen gaan ervan uit dat je werkt in een kader dat concrete opmetingen overtijgt. Al je weet dat punten op fica over de jaren heen en opgemeten in zeer veel klaen van zeer veel cholen een globaal beeld geven dat goed lijkt op een klokvormige curve, dan kan het vertandig zijn dat je een normale verdeling gebruikt om de theoretiche populatie van punten op fica te betuderen. Het reultaat van Emma bekijk je dan in het grotere kader van reultaten op fica, eerder dan ten opzichte van de concrete 20 leerlingen in haar kla. 2.1 Normaal verdeelde populatie en z-core Vergelijken op bai van normale verdelingen Bij de tudie van normale verdelingen ontmoet je nogal een een vraagtuk dat er al volgt uitziet. Victor heeft op een toet aardrijkkunde 8/10 gehaald. Het klagemiddelde wa 7 en de tandaardafwijking 1. Op biologie haalde Victor 7 en voor dat vak wa het klagemiddelde 5 en de tandaardafwijking 1.5. Op welk vak heeft Victor, in vergelijking met zijn klagenoten, het bet gepreteerd? Je mag hierbij ondertellen dat de punten op aardrijkkunde en op biologie normaal verdeeld zijn. Boventaand vraagtuk geeft de indruk dat het over een concrete leerling (Victor) gaat en over een concrete kla waarbij je de reultaten van Victor moet interpreteren in het kader van de core van zijn medeleerlingen. Niet i minder waar. Centrum voor tatitiek 5

7 Welke core de medeleerlingen gehaald hebben weet je niet en je weet zelf niet hoeveel leerlingen er in die kla zitten. Hoe kan je dan de core van Victor interpreteren in het kader van de core van zijn medeleerlingen? Het enige wat je weet i het gemiddelde en de tandaardafwijking van de kla. Daarmee kan je nog alle kanten uit zoal je zag in het voorbeeld over Emma. Daar hebben zowel fica al gechiedeni hetzelfde gemiddelde en dezelfde tandaardafwijking, terwijl Emma tot de top 25 % behoort bij fica en tot de top 45 % bij gechiedeni. Het vraagtuk, zoal het geteld i, gaat niet over een concrete dataet van punten op aardrijkkunde of biologie. Door te zeggen dat de punten normaal verdeeld zijn tap je over op een onderliggend populatiemodel voor punten op aardrijkkunde [noteer dit model al X ] en voor punten op biologie [noteer dit model al Y ]. Voor de populatie i er dan gegeven dat de vorm van de verdeling normaal i: aardrijkkunde: X ~ N ( µ ; σ ) biologie: Y ~ N ( µ ; σ ) De echte gemiddelden en tandaardafwijkingen van de populatie ken je niet en daarom chat je die uit de opmetingen waar je vond: = 7, = 1 en = 5, = 1.5. Dit brengt er je toe om voor het populatiegemiddelde voor µ 5 en voor σ 1.5. µ de waarde 7 te nemen, voor σ neem je 1, Op die manier heb je een voortel voor het gedrag van de populatie van punten: aardrijkkunde: X ~ N ( 7 ; 1) biologie: Y ~ N ( 5 ;1.5) De vraag over het punt van Victor wordt nu vertaald naar een vraag over een populatiewaarde: tot welke topgroep behoort de waarde 8 bij een normaal verdeelde populatie met gemiddelde 7 en tandaardafwijking 1? of in formulevorm: PX ( 8) =??? voor X ~ N ( 7 ; 1). En analoog: PY ( 7) =??? voor Y ~ N ( 5 ;1.5). Nota. Meer info over de normale verdeling kan je vinden in de tekt Normaal verdeelde kanmodellen op Centrum voor tatitiek 6

8 Oploing: PX ( 8) = 0.16 voor X ~ N ( 7 ; 1) : een 8 op aardrijkkunde hoort bij de top 16 %. PY ( 7) = 0.09 voor Y ~ N ( 5 ;1.5) : een 7 op biologie hoort bij de top 9 %. Beluit. Al je de gevonden reultaten (bij kanmodellen voor populatie) mag gebruiken om iet te zeggen over de core van Victor, dan i zijn pretatie op biologie beter dan die op aardrijkkunde Vergelijken op bai van z-core Je weet dat, bij normale verdelingen zoal X ~ N ( 7 ; 1) of Y ~ N ( 5 ;1.5), overtappen op z-core leidt tot één unieke verdeling: de tandaard normale verdeling Z ~ N ( 0 ; 1). Je moet dan enkel deze verdeling gebruiken om de pretatie van Victor te beoordelen, in het kader van de populatieverdelingen van punten op aardrijkkunde en punten op biologie. Voor punten op aardrijkkunde tart je met X ~ N ( 7 ; 1) zodat een populatiewaarde µ getandaardieerd wordt tot: z = =. Bij = 8 hoort z = = 1. σ 1 1 µ Voor biologie geldt: z = =. Bij = 7 hoort z 1.33 σ 1.5 = = Bij een vate verdeling (dat i hier de tandaard normale Z ~ N ( 0 ; 1) ) betekent een hogere z-waarde dat je tot een hogere topklae behoort. Al je alleen maar moet vergelijken dan moet je verder niet uitrekenen. De z-core op biologie ( z = 1.33 ) i groter dan de z-core op aardrijkkunde ( z = 1) en du i de pretatie op biologie beter dan die op aardrijkkunde. Al je precie wil weten tot welke topgroepen die z-core behoren, dan haal je dat uit de tandaard normale verdeling. PZ ( 1) = 0.16 : voor aardrijkkunde hoort Victor bij de top 16 %. 2 PZ ( ) = 0.09 : voor biologie hoort Victor bij de top 9 %. 1.5 Centrum voor tatitiek 7

9 2.2 Populatie die niet normaal verdeeld zijn Al zowel de populatie van punten op aardrijkkunde al de populatie van punten op biologie kan bechreven worden door een kanmodel dat normaal verdeeld i, dan kan je vergelijken op bai van z-core. In beide gevallen kom je immer terecht op de tandaard normale verdeling. De techniek van tandaardieren met z-core kan je niet zomaar toepaen al je niet weet of de onderliggende populatie normaal verdeeld zijn. Nota. Naat populatie die normaal verdeeld zijn, zijn er ook heel veel andere populatie. Die bechrijf je met andere verdelingen zoal: t-verdelingen, chi-kwadraat verdelingen, F-verdelingen, enz. Al voorbeeld kan je met de GRM een een chi-kwadraat verdeling tekenen. Gebruik de venterintellingen zoal aangegeven. Druk dan, loop naar DRAW en druk 3:Shade χ 2 (. Vul in zoal aangegeven, ga op Draw taan en druk. Je ziet dat de dichtheidfunctie van deze chi-kwadraat verdeling helemaal niet lijkt op een mmetriche klokvormige curve. Voorbeeld Ondertel dat een eerte populatie X verdeeld i volgen een t-verdeling met 3 vrijheidgraden. Die verdeling heeft een gemiddelde µ = 0 en een tandaardafwijking σ = 3. Ondertel dat een tweede populatie Y normaal verdeeld i met gemiddelde µ = 0 en tandaardafwijking σ = 3. Neem nu in beide populatie de waarde 2. Vanuit het tandpunt van z-core i de waarde 2 even etreem in beide populatie want zowel voor X al voor Y geldt: 2 i gelijk aan het gemiddelde keer de tandaardafwijking: 2= Maar bij die twee populatie i de vorm van de verdeling niet dezelfde en bakent [ 2 ; + [ geen evenwaardig top-gebied af. Bij de eerte populatie X hoort 2 tot de top 7 %, bij de tweede populatie Y tot de top 12 %. Centrum voor tatitiek 8