Dynamic analyses in Mentat & MARC. Tutorial with Background and Exercises

Transcriptie

1 Dynaic analyses in Mentat & MARC Tutorial with Background and Exercises Eindhoven University of Technology Departent of Mechanical Engineering Piet Schreurs 16th July 2007

2 Contents 1 Dynaische analyse Achtergrond : Dynaische systeevergelijkingen Massa-veer-deper systee Vrije ongedepte trilling Vrije gedepte trilling Willekeurige excitatie Haronische excitatie Oefeningen Massa-veer systee Dynaisch gedrag van een balk Balkconstructie

3 1 Dynaische analyse 1.1 Achtergrond : Dynaische systeevergelijkingen Bij de probleen, die in de voorafgaande hoofdstukken beschreven zijn, speelden traagheidseffecten geen rol. Het op te lossen stelsel vergelijkingen voor een lineair problee was : = Kũ = f i f e waarbij K de constructie stijfheidsatrix is, ũ de kolo et knooppuntsverplaatsingen en f e de kolo et externe knooppuntskrachten. Wanneer traagheidseffecten wel een rol spelen, zijn niet alleen de knooppuntsverplaatsingen relevant aar ook de knooppuntsversnellingen ü. De assa van het ateriaal resulteert in een assaatrix M en het stelsel differentiaalvergelijkingen dat het constructiegedrag beschrijft is een veralgeenisering van de wet van Newton : = f e f i Mü Mü + Kũ = f e Wanneer deping intern (wrijving) of extern een rol speelt, wordt dit geodelleerd et een depingster, et daarin de depingsatrix B en de kolo et knooppuntssnelheden ũ. Het algene stelsel vergelijkingen voor een dynaisch problee wordt daaree : + B ũ + Kũ = Mü f e Het prograa MARC biedt de ogelijkheid o voor een aantal verschillende belastinggevallen het bovenstaande stelsel differentiaalvergelijkingen op te lossen en daaree het dynaisch gedrag van een constructie te analyseren. Elk van deze belastinggevallen wordt in Mentat et een bepaalde LOADCASE aangeduid. 3

4 1.2 Massa-veer-deper systee Ter illustratie van de diverse ogelijkheden beschouwen we een eenvoudig assa-veer-deper systee et één graad van vrijheid. Het dynaisch gedrag wordt beschreven door één tweedeorde differentiaalvergelijking in de tijd. k F (t) b u ü + b u + ku = F (t) Achtereenvolgens beschouwen we de vrije ongedepte trilling van het systee, de vrije gedepte trilling, de willekeurige excitatie en de excitatie et een haronische kracht Vrije ongedepte trilling Het vrij ongedept trillingsgedrag van het systee (free vibration wordt gekarakteriseerd door eigenfrequentie en bijbehorende eigentrillingsvor. k u De (LOADCASE) voor dit geval heet DYNAMIC MODAL en de beschrijvende vergelijking is : ü + ku = 0 De eigenfrequentie (f 0 ) en eigentrillingstijd T 0 zijn = k/ [rad/s] f 0 = 2π [1/s] T 0 = 1 f 0 [s] Bij odellering et Mentat representeren we de veer et één staafeleent zonder eigengewicht (MASS DENSITY = 0) et de volgende eigenschappen : A 0 = 1 [ 2 ], l 0 = 1 [], E = 16 [N/ 2 ] k = EA 0 l 0 = 16 [N/] Alle vrijheidsgraden behalve de x-verplaatsing van het rechter knooppunt worden onderdrukt in (BOUNDARY CONDITIONS). De puntassa = 1 [kg] wordt geodelleerd onder (INITIAL CONDI- TIONS) als POINT MASS. Bij correcte odellering oeten de resultaten gelijk zijn aan de exacte oplossing Vrije gedepte trilling = 4 [rad/s] f 0 = 0.64 [1/s] T 0 = 1.57 [s] De vrije trilling kan ook gedept zijn. Bij odellering et Mentat wordt weer gebruik geaakt van een staafeleent voor de veer. De deper wordt geodelleerd et SPRINGS/DASHPOTS in het enu (LINK). Bij (INITIAL CONDITIONS) oet de puntassa worden ingevoerd en ook de beginwaarden van verplaatsing (u 0 ) en snelheid ( u 0 ). 4

5 k b u De vergelijking kan worden herschreven et gebruikaking van de eigentrillingsfrequentie en de depingsfactor ξ. ü + b u + ku = 0 ( ) ( ) b k ü u + k ü + 2ξ u u = 0 ( ) 2 k u = 0 Drie ogelijke gevallen worden nu onderscheiden, afhankelijk van de ate van deping : onderkritisch gedept ξ < 1 [ {( u = e ξ0t A 1 cos 1 ξ 2 bovenkritisch gedept ξ > 1 ( u = e [A ξ0t 1 e kritisch gedept ξ = 1 ξ 2 1 A 2 sin u = e ξ0t [A 1 + A 2 t] ) } t + {( 1 ξ 2 ) }] t )t ( ) ] + A 2 e ξ 2 1 t De integratieconstanten A 1 en A 2 volgen uit de beginvoorwaarden : u 0 = 0.1 [] ; u 0 = 0 [/s] Met k = 16 [N/] en = 1 [kg] is u(t) berekend voor b {0, 1, 8, 32} [Ns/] en in onderstaande figuur geplot. 0.1 ksi = 0, 1/8, 1, apl [] tie [s] 5

6 De (LOADCASE) voor dit beginwaardeprobleen (initial value proble) heet DYNAMIC TRANSIENT. MARC zal de beschrijvende differentiaalvergelijking nueriek gaan integreren en we kunnen in Mentat kiezen welke integratieprocedure er gebruikt oet worden. De default NEWMARK ethode is in de eeste gevallen geschikt, aar er kan ook gekozen worden voor HOUBOLT (zie voor achtergronden [?]). Nuerieke integratie is gebaseerd op tijdsdiscretisatie : de totale periode waarvoor we een oplossing u(t) willen bepalen wordt in stukken (tijdsintervallen of tijdsincreenten) opgedeeld. Alleen op de discrete oenten tussen de intervallen wordt een oplossing bepaald. Over het verloop van u(t) binnen een interval wordt een veronderstelling gedaan. In Mentat oeten bij (LOADCASE) DYNAMIC TRANSIENT de lengte van de totale periode opgeven en het aantal tijdsincreenten waarin de periode is verdeeld. We kiezen voor een periode van 5 [s] en een intervallengte t = 0.05 [s] : TOTAL LOADCASE TIME 5 (FIXED) # STEPS 100 Nadat MARC een oplossing heeft bepaald kunnen we de resultaten bekijken et Mentat. We aken daartoe een HISTOTY PLOT van de verplaatsing van het assapunt Willekeurige excitatie k F (t) b u Bij willekeurige excitatie van het assa-veer-deper systee, wordt onderstaande vergelijking opgelost : ü + b u + ku = F (t) De totale oplossing (steady state solution) bestaat uit de so van de hoogene oplossing (F = 0 : inschakelverschijnsel) en de particuliere oplossing u(t) = u H (t) + u P (t) Bij odelleren oeten we weer gebruik aken van de (LOADCASE) DYNAMIC TRANSIENT. Nu oeten we echter in (BOUNDARY CONDITIONS) de kracht F (t) in een TIME-tabel voorschrijven. Bij (INITIAL CONDITIONS) hoeven we alleen de puntassa te odelleren Haronische excitatie Wanneer de excitatie hier de kracht op de puntassa een haronische functie van de tijd is, kan MARC de respons van het systee efficient bepalen in het frequentiedoein. De vergelijking is dan : ü + b u + ku = F sin(t) ü + 2ξ u u = 1 F sin(t) = q sin(t) = q Re [ e it] Een oplossing wordt gevonden door substitutie van u = ū e it : 6

7 1 ū = iξ q = 1 ( ) 2 ( 1 + 2iξ ) q = H() q De transfer function en phase shift zijn 1 H() = [ ( ) ] en kunnen worden geplot : H [ 2ξ ( )] 2 ( 2ξ ; φ() = arctan ( 1 phi ) ) oega/oega0 De verplaatsing als functie van de tjd is nu : u(t) = H() q 0 2 e i(t φ) oega/oega0 De veer wordt weer geodelleerd et een staafeleent en de deper et een DASHPOT et depingsconstante b = 0.8 [Ns/]. (Dit resulteert in = 4 [rad/s] en ξ = 0.1). Als LOADCASE wordt nu gekozen voor DYNAMIC HARMONIC. De belasting wordt gekarakteriseerd door een aplitude ( F = 1 [N]), die we bij (BOUNDARY CONDITIONS) opgeven, en door een range van frequenties waarvoor we de respons willen bepalen. De frequentie-range oeten we opgeven bij DYNAMIC HARMONIC. Bij (JOBS) ANALYSIS OPTIONS oeten we COMPLEX DAMPING activeren. De resultaten van de analyse kunnen we in Mentat bekijken via een HISTORY PLOT. 7

8 1.3 Oefeningen Massa-veer systee Modelleer een depingsvrij assa-veer systee zoals hieronder is getekend. k u De veerstijfheid is k = [N/] en de assa is = 25 [kg]. De initiële verplaatsing van de assa is voorgeschreven : 0.08 []. Vervolgens wordt de assa op tijdstip t = 0 losgelaten. Bepaal u(t) voor 0 t 10T et (LOADCASE) DYNAMIC TRANSIENT. (T is de eigentrillingstijd). Gebruik drie verschillende tijdstappen t = {T, T 3, T 10 } en ook twee verschillende integratieethoden : Newark en Houbolt. Vergelijk de resultaten Dynaisch gedrag van een balk In onderstaande figuur is een balk getekend, die uitsluitend in het xy-vlak kan deforeren en aan beide uiteinden in ingekled. y E I l v(x) x De volgende paraeterwaarden zijn gegeven : vrije trilling elasticiteitsodulus E [Pa] dwarscontractiecoëfficiënt ν 0.3 [-] dichtheid ρ 7800 [kg/ 3 ] lengte l 1 [] hoogte H [] dwarsdoorsnede-oppervlak A 10 6 [ 2 ] Verdeel de balk in 10 balkeleenten (nr. 52) en bepaal de eerste 10 eigentrillingen (frequentie en vor). Antwoord : eerste drie eigentrillingsfrequenties : 1 = 23.1 f 1 = 3.68 T 1 = = 63.8 f 2 = T 1 = = f 3 = T 1 =

9 beginwaardeproblee We geven het iddenpunt (x = 0) van de balk nu initieel een verplaatsing in y-richting en laten dit punt daarna (t > 0) los. Voor dit beginwaardeproblee gelden dus de volgende beginvoorwaarden : v 0 = [] ; u 0 = 0 [] ; u 0 = v 0 = 0 [/s] Analyseer het problee et (LOADCASE) DYNAMIC TRANSIENT gedurende 0.25 [s] en gebruik een tijdsintervallengte t = [s]. willekeurige excitatie De balk wordt vervolgens in het iddenpunt belast et een voorgeschreven kracht in y-richting : De beginvoorwaarden zijn : F y (x = 1 2l, t [ ]) = 0.01 [N] u 0 = v 0 = 0 [] ; u 0 = v 0 = 0 [/s] Analyseer het problee et (LOADCASE) DYNAMIC TRANSIENT gedurende 0.25 [s] en gebruik een tijdsintervallengte t = [s]. haronische excitatie De balk wordt nu belast in het iddenpunt et een in y-richting werkende kracht, die een aplitude heeft van 0.01 [N] en haronisch varieert. De frequentie range f = 0 30 [Hz] wordt in 50 stappen doorlopen. Analyseer het problee et (LOADCASE) DYNAMIC HARMONIC en aak een HISTORY PLOT van de verplaatsing in y-richting als functie van de frequentie Balkconstructie Onderstaande vlakke balkconstructie bestaat uit aan elkaar gelaste balken et een vierkante dwarsdoorsnede F De in de figuur aangegeven afetingen zijn in []eter. Andere essentiële gegevens zijn : 9

10 elasticiteitsodulus E 200 [GPa] dwarscontractiecoëfficiënt ν 0.3 [-] dichtheid ρ 7850 [kg/ 3 ] dwarsdoorsnede-oppervlak A 5 [c 2 ] oppervlaktetraagheidsoent I 16 [c 4 ] Verdeel de constructie in eleenten et een lengte van 0.1 []. vrije trilling Bepaal de laagste 10 eigenfrequenties f i, i = 1,.., 10 en bijbehorende eigentrillingsvoren. haronische excitatie De kracht F is haronisch et een aplitude van 1000 [N]. De frequentie doorloopt de waarden 0,1,2,..,f ax et f ax = 1.2f 4. Bepaal de verplaatsingsrespons van het aangrijpingspunt van de kracht als functie van de frequentie in de vor van een HISTORY PLOT. willekeurige excitatie De kracht F wordt als functie van de tijd t voorgeschreven en neet van F (t = 0) = 0 lineair toe tot F (t = 0.01) = 1000 [N] o daarna constant te blijven. Bepaal de verplaatsing van het aangrijpingspunt van F (HISTORY PLOT) gedurende 0.15 [s]. 10