Wind Werkt...met Weibull

Transcriptie

1 Wind Werkt Prof.dr. Gerard J.W. van Bussel Leerstoel Windenergie 9 Januari Wind Werkt...met Weibull Prof.dr. Gerard J.W. van Bussel Leerstoel Windenergie 9 Januari

2 Wie weet wat Weibull functies zijn?. JA 94%. NEE 6%.. 3/36 Wie weet wat Weibull functies zijn?. JA. NEE 4/36

3 Hoe duur is windstroom? 37%. minder dan 5 ct/kwh. tussen 5-8 ct/kwh 3. tussen 8-3 ct/kwh 4. meer dan 3 ct/kwh % 3% 9% Het betreft hier de productiekosten /36 Hoeveel draagt wind bij aan de elektriciteitsvoorziening in Nederland 56%. < %. < x < % 3. < x < 4 % 4. 4 < x < 8 % 5. 8 < x < 6 % 6. > 6 % 9% 6% 8% % % /36 3

4 Windaanbod De hoeveelheid windenergie die aan de kust ons land binnenkomt bedraagt gemiddeld: 46% 46%. P < 5 Watt/ m. 5 < P < Watt/ m 3. < P <5 Watt/ m 4. P > 5 Watt/ m 3% 6% /36 Het windveld in een punt in de ruimte [km/u] [m/s] Windsnelheid als functie van tijd [km/u] of [m/s] ,3 5.6,8. Windrichting als functie van tijd [graden] 8/36 4

5 Meteorologische weergave van een ruimtelijk windveld 9/36 Vectoriële representatie van een windveld in een punt (tijdreeks) West-oost richting: U(t) snelheid langs x - as Zuid-noord richting V(t) snelheid langs y-as U ( t) = U ( t) cos α( t) V ( t) = U ( t) sin α( t) /36 5

6 Stochastische verdeling van een windveld in een punt West-oost richting: U(t) normaal verdeeld, parameters Zuid-noord richting V(t) normaal verdeeld, parameters σ, µ σ, µ f ( U ) = e σ π U µ ( ) σ /36 3 dimensionale normale verdeling U µ V µ ( ) ( ) σ σ f ( U, V) = e e σ π σ π µ = µ = σ en σ σ σ,35,3,5,,35,5,3,5,,,5,,5 - -,8 -,6 -,4 U -,,,4,6,8,8, U -,4 -,5 - -,8 -,6 -,4 -, U,,4,6,8,5 -,5 U - /36 6

7 Het beeld van bovenaf contour plot Gelijke windsnelheden: - cirkels rond oorsprong,8,6 Waarschijnlijkheid U: inhoud van cylinder: - wanddikte δu - golvende hoogte,35,5,3,5,,5, - -,8 -,6 -,4 -, U,,4,6,8,4, U -, -,4 -,6 -,8-3/36 3 dimensionale normale verdeling U µ V µ ( ) ( ) σ σ f ( U, V) = e e σ π σ π Nu met µ en µ : (en:σ en σ ),35,3,5,,35,3,5,5,,,5,,5 - -,8 -,6 -,4 U -,,,4,6,8,8, U -,4 -,5 - -,8 -,6 -,4 -, U,,4,6,8,5 -,5 U - 4/36 7

8 Het beeld van bovenaf contour plot Nu met µ en µ : (en:σ en σ ) Gelijke windsnelheden: - cirkels rond oorsprong,8,6 Waarschijnlijkheid U: inhoud van cylinder: - wanddikte δu - golvende hoogte,35,5,3,5,,5, - -,8 -,6 -,4 -, U,,4,6,8,4, U -, -,4 -,6 -,8-5/36 3 dimensionale normale verdeling U µ V µ ( ) ( ) σ σ f ( U, V) = e e σ π σ π Eenvoudig geval: µ = µ =: σ =σ Integreer over cirkel: π U σ f ( U ) = f ( U ) = e Udα πσ ρ U = U cosα ρ V = U sinα U U σ f ( U ) = e σ 6/36 8

9 Weibull verdelingen voor windsnelheden U U σ f ( U ) = e σ k U f ( U ) = a a k e k U a a: schaalfactor k: vormfactor Schaal a =7,76; vorm k=,5; gemiddelde = 7; mediaan= 6, 7/36 Wallodi Weibull Ernst Hjalmar Waloddi Weibull (8 June 887- October 979) Zweeds ingenieur en wetenschapper - 94 PhD Uppsala paper over Weibull verdelingen - 95 ASME paper met 7 case studiesby Dr. Robert B. Abernethy Great gold medal Royal Swedish Academy of Sciences. Biography of Dr. E. H. Wallodi Weibull 8/36 9

10 Studio Classroom instructions: Open the AE5 blackboard site, section: Wind Energy Tutorial Background documents can be found in this section as well Open the multimedia online reader Online reader 9/36 Weibull distribution and energy content Go to the Wind description/energy content section subsection Variability Go to the Weibull Plotter Programme (bottom of page) Plot the Weibull curves for shape factor k=.5,,.5 and 3 and copy k=.5 and k=3. into your document Which shape factor yields the highest energy content? Discuss this in your group! /36

11 Weibull probability density functions Studenten weten dat E ~ U /36 Weibull probability density functions Welke vormfactor heeft de hoogste energie inhoud 45%. vormfactor k=,5. vormfactor k= 3. vormfactor k=,5 4. vormfactor k=3 % % % /36

12 Weibull probability density functions Highest energy content Energy density P(U 3 ) P(U 3 ) 4 3/36 Energy output Go to Turbine operation/energy output, subsection Rotor Operations Go to the Turbine Power Calculator keep all data default, but play with mean wind speed - choose at least 5, 6, and 7 m/s mean wind speed - plot power densities for these wind speeds and copy in your document - for which wind speed is the default windturbine best suited? Discuss this in your group! 4/36

13 Energy density functions (k=) Best Fit 5 m/s 7 m/s 5/36 Grootste roterende machines ter wereld 6/36 3

14 Langste rotorblad tot nu toe: 6,5 m 7/36 Wat is de energetische terugverdientijd van een windturbine?. minder dan 6 maanden. tussen 6 maanden en jaar 3. tussen en jaar 4. tussen en 4 jaar 5. meer dan 4 jaar 8% 8% 6% 9% NB: dit is de tijd nodig om net zoveel elektriciteit te produceren dan de energie nodig om de windturbine te fabriceren en te installeren 9% /36 4

15 Windturbine en haar componenten Windsnelheid Windrichting T Power in Power out Kruisysteem DU 97-W- 3 DU 9-W-5 > 5% van de nieuwe turbines hebben profielen DU 93-W- DU 96-W-8 9/36 Betrouwbaarheid en falen t f is het tijdstip van falen van een component De betrouwbaarheidsfunctie R(t) geeft de waarschijnlijkheid van falen na tijdstip t: R( t) = P( t f > t) De faaldichtheid f(t) geeft aan wanneer falen het meest optreedt: f ( t) = df( t) dt 3/36 5

16 Voorbeeld van faal-, betrouwbaarheids- en kansdichtheidsfunctie R(t) faalfunctie F(t) kansdichtheidsfunctie f(t) F( t) + R( t) = t 3/36 Repareerbare producten Producten die na reparatie van een onderdeel weer net zo betrouwbaar zijn als ervoor Voorbeelden: - omafiets (?) - vliegtuig - windturbine => hazard rate constant 3/36 6

17 Hazard rate (faalintensiteit): Voorwaardelijke kansdichtheid h(t): Faalkans op tijdstip t = t f f ( t) f ( t) = h( t) = = Kans op niet falen vóór t = t f P( t > t) R( t) f f ( t ) dr ( t ) Dus: h( t ) = = [t R ( t ) R ( t ) dt - ] 33/36 Constante hazard rate : h ( t) = h h R( t) = e h t = R( t) F( t) = R( t) = e df( t) f ( t) = = he dt dr( t) dt h t h t h R( t) = dr( t) dt CDF Weibull PDF 34/36 7

18 Generaliseerde Weibull PDF verdeling: f ( x, k, a) = k a x a k e x k a k = constant failure rate (h =/a) k < decreasing failure rate k > increasing failure rate 35/36 Variatie in hazard rate Bij repareerbare producten h(t) k < k = k > 36/36 8

19 Wind Werkt..met Weibull wiskunde aan uw en mijn duurzame toekomst 37/36 Enter question text.... Enter answer text.... Enter answer text Enter answer text Enter answer text... TurningPoint hardware en software 38/36 9