Beste EWers, Nog veel succes, Vincent Jacobs.

Beste EWers, Omdat prof. Lauwers dudeljk et graag heeft dat zj studete statstek lere va hem heb k voor mj tweede zt al mj ottes va tjdes de lesse op getypt e georgaseerd. De volgede paga's zj dus gebaseerd op mj ottes e de va Jasper va Statstek voor Ecoomste va e bachelor EW va academejaar 6-7. Het staat vol met foute, dus dt s eder geval gee vervagg voor het hadboek e ege ota's, maar als de prof opeuw dezelfde lesse geeft da zou het wel uttg kue zj. Omdat de prof wegert om utgewerkte oplossge va de oefezttge te geve, heb k de partële oplossge va Toledo e mj ottes va tjdes de oefezttge samegevoegd e op getypt aa het ede va dt documet. Bj edere oefezttg otbreke er sommge vrage (de waar hj gee atwoord voor gaf e ook et geze ware de les) wat dt geval s gee atwoord s beter da ee fout atwoord. Va de gegeve oplossge be k vrj zeker dat de meerderhed just zj. Nog veel succes, Vcet Jacobs vjacobs@gmal.com

Ihoud Ileded Voorbeeld 5 DEEL I BESCHRIJVENDE STATISTIEK 8. Iledede begrppe 9. Wat s statstek? 9. Types steekproeve 9.3 Classfcate va varabele/data.4 Statstsche reekse of datareekse. Voorstellg data 3. Datastatsteke voor varabele 3 3. Cetrummate locatemate 3 3.. Rekekudg gemddelde 3 3.. Meetkudg gemddelde (Geometrsch) 5 3..3 Medaa 5 3..4 Kwartele 6 3..5 Modus 6 3..6 Emprsche relate tusse de locatemate 6 3. Spredgsmate 6 3.4 Vormmate 8 3.5 Cocetratemate 9 4. Datastatsteke voor twee of meer varabele DEEL II KANSREKENING 6. Kasrekeg 3 6. Wat s kastheore? 3 6. Kasrumte 4 6.3 Voorwaardeljke kas e oafhakeljke gebeurtesse 7 7. Stochastsche varabele 3 7. Stochastsche varabele 3 7. Typsche verdelge 33 7.. Uforme dscrete verdelg 33 7.. Uforme cotue verdelg 34 7..4 Beroull-verdelg 37 7..5 Bomum verdelg 38 7..6 Posso-verdelg 43 7..7 Expoetële verdelg 45 8. Gezameljke verdelge e oafhakeljkhed 45 9. Verwachtgswaarde 49. Normale verdelg 63. Specale verdelge 75. Hypergeometrsche verdelg 75. Gamma-verdelg 75 3

DEEL III STATISTISCHE BESLUITVORMING 8. Verdelg va steekproefstatsteke 8 3. Parameters schatte 83 3.4 Costructe va schatters 88 4. Betrouwbaarhedstervalle 9 5. Teste va hypothese 5.3 Kwaltete va ee test 5.5 Test op de oderlggede verdelg 3 5.6 Net-parametrsche tests 6 5.6. Wlcoxo teke-ragtest voor ee medaa 6 DEEL IV - RELATIE ONDERZOEK 8 6. Tests voor oafhakeljkhed ee krustabel 9 7. Regresse 7. Het regresse probleem 7. Determstsche leare regresse - de kleste kwadraterechte 7.3 Stochastsch model 6 OEFENZITTINGEN 3 Oefezttg Beschrjvede statstek 33 Oefezttg Kasrumte, telprobleme, Bayes, 43 Oefezttg 3 Kasrekee, dchthedsfuctes, verwachtg, 54 Oefezttg 4 Dchthede, kasmodelle, vectore va legte, 68 Oefezttg 5 Statstsche beslutvormg 8 Oefezttg 6 Statstsche beslutvormg, schatte va relates 9 4

Ileded Voorbeeld me 995 Frase presdetsverkezg - Chrac VS Josp om de utslag te voorspelle va ee verkezgspoll zj er twee methodes: hele populate (alle stemgerechtgde) odervrage ee steekproef odervrage e de resultate veralgemee steekproef va legte ( : we odervrage aatal stemgerechtgde) P voor Chrac -P voor Josp P c -P p= p= = p P = aatal stemme de steekproef voor Chrac p = proporte va de stemme de steekproef voor Chrac c p = complmet va p : proporte va de stemme de steekproef voor Josp = ( p) beslut omtret de echte proporte va Chrac stemmers = π Ω = de populate : de verzamelg va alle stemgerechtgde C = groep va de populate de op Chrac stemt : { ω Ω ω stemt op Chrac} π = fracte va de populate de op Chrac stemt C π = (absolute waarde = aatal elemete de verzamelg) Ω π [ p ε, p+ ε] = π behoort tot het terval ( p ε, p+ ε) = cocluse omtret π op bass va de steekproef INDUCTIEVE STATISTIEK DEDUCTIEVE STATISTIEK ε = het fout ε =,96 x p( - p) 95% betrouwbaarheds terval (vaut de tabel va de ormale verdelg) 5

Voorbeeld ee steekproef bevat 5 mese : = 5 aatal stemme voor Chrac: P = 789 aatal stemme voor Josp: -P = 7 c proportes: p = 5,6%, p = ( p) = 47,4% p( - p) We gebruke de formule voor het fout va herbove ( ε =,96 x ) om het fout va deze voorbeeld steekproef te berekee:,56 x,474 ε =,96 x =,5 5 Wj gebruke dt resultaat e π [ p ε, p+ ε] om het betrouwbaarhedsterval te zoeke:,56,5 π,56 +,5,5 π,55 * Met 95% zekerhed kue we cocludere dat Chrac de verkezge wt. Omdat π (de fracte va de populate de op Chrac stemt) met 95% zekerhed tusse 5,% e 55,% lgt. * Er s gee % zekerhed dat Chrac wt (maar 95%) omdat er de mogeljkhed bestaat om ee slechte steekproef te trekke maar dt s et waarschjljk (KANSTHEORIE). * ε =,96 x p( - p) Als de legte va de steekproef groter wordt (dus als ) da s er meer formate dus wordt het fout kleer ( ε ). ee voorbeeld va dt fet: =5 ε =,5,5 =5 ε = =,8 x ε x (afemede schaal opbregste) (de volledge populate) ε = : gee fout * betrouwbaarhed (vaut de tabel) 95%,96 99%,58 de we 99% betrouwbaarhed gebruke:,56 x,474 ε 99% =,58 x =,33 5,56,33 π,56 +,33, 493 π,559 6

Statstek ductef (voegt cocluses toe) Ervarg Observate veralgemee, beslut trekke Iformate verzamele Probleme: ovoldoede formate schattge betrouwbaarhedsveau Doel va de cursus: Deel I - Beschrjvede Statstek :otwerpe va plae om formate te verzamele e om deze samevatted weer te geve Deel II - Probabltetstheore of kasrekee Deel III - Statstsche Beslutvormg :otwerpe va procedures om beslssge te treffe op grod va ovolledge formate. Deel IV Relate-oderzoek Ecoome als emprsche weteschap 7

DEEL I BESCHRIJVENDE STATISTIEK 8

. Iledede begrppe (HB p6). Wat s statstek? (HB p8) Populate : Ω (vb. alle Frase kesgerechtgde) Kemerk (hoofdletters) : : Ω ω ( ω) ( ω ) = als voor Josp stemt ( ω ) = als voor Chrac stemt Stochastsch expermet = ee acte waarva de utkomst bj herhalg oder dezelfde omstadghede fluctueert. We eme ee steekproef (S) ut de populate ( Ω ): S = { ω, ω,..., ω} Ω ω, ω,..., ω zj de dvduele kezers ut de populate. { } Dataset : ( ω), ( ω),..., ( ω) : dt s og et geobserveerd ( ω) s dus de stem va persoo ω de steekproef (e wordt geoteerd als of aargelag op we dat ze stemme), maar we wete og et op we dat ze stemme. Hoofdletter = et geobserveerde waarde = fucte Klee letter x = geobserveerde waarde = meetwaarde ( x, x,..., x ) = reeks va ogeordede getalle Determstsch expermet = ee expermet dat bj herhalg hetzelfde voorspelbaar resultaat oplevert. (vb. bakstee los late valt) Steekproef : S (merk op dat het ka dat S= als de populate heel kle s vb. e bach EW) Ω. Types steekproeve (HB p). Lukraak : toevallge steekproef (met of zoder terugleggg) = eder ld va de populate heeft eveveel kas om gekoze te worde. Met terugleggg = ω ut Ω eme, e da terug Ω plaatse. Zoder terugleggg = ω ut Ω eme, e da weg late. hoe groter de populate, hoe kleer het verschl tusse de twee methodes vb. ee verzamelg va vjf kkkers; dre rood e twee wt: Ω= { RRRWW,,,, } ( ω) = rood P(rood)=3/5 Na éé stap: met terugleggg: P(rood)=3/5 zoder terugleggg: P(rood)=/4 9

. Gestratfeerde steekproef = de populate wordt verdeeld strata gebaseerd op ee kemerk (vb. geslacht, kome...) Ω vb. Ω = studete FETEW : ω ( ω) = zakgeld va studet ω Ω =8 Joges = 6 (57%) Mesjes = (43%) S volgt de proportes Ee gestratfeerde steekproef (S) va legte heeft dezelfde proportes als de populate: 57 joges e 43 mesjes 3. Clustersteekproef =.p.v. de steekproef éé per éé ut de populate te eme, wordt dt groepjes gedaa. vb. presdet's verkezge kezers ut dezelfde straat bevrage houd va blkjes cola blkjes ut karto.p.v. telkes blkje ut karto, keer. Door ee steekproef te eme, make we ee dataset. Steekproef : S = { ω, ω,..., ω} Ω Dataset : D= ( ω ), ( ω ),..., ( ω ) { }.3 Classfcate va varabele/data (HB p4) Meetbaarhedsveau : Ω Kwaltatef: omaal (gee ordeg) - geslacht - atoaltet - godsdest ordaal (wel ordeg) - graad va tevredehed - dploma (. lager,. mddelbaar, 3. hoger KT, 4. hoger LT) Kwattatef: rato geschaald (verhoudg s vast) - mute: EUR-USD ( =$)

terval geschaald (gee atuurljk ul put) - temperatuur: C-F-K cotu (: ) Ω - legte - rjtjd Brussel-Leuve dscreet (: Ω ) - aatal kdere - score op exame Uvaraat : : Ω ω ( ω) Bvaraat : : Ω x (k oppelgs georderd vb. legte e gewcht) ω ( ( ω), ( ω)) Multvaraat : : Ω (vectore va legte ).4 Statstsche reekse of datareekse (HB p7) Ω = e EW, 996 : Ω ω ( ω) = resultaat va persoo ω op Statstek ju Aatal mese de populate : Ω =6 Wj eme de hele populate als oze steekproef : S= Ω e vde de volgede dataset : D= { 7,4,7,9,,6,... } : ruwe data : ee datareeks Merk op : s dscreet (mogeljke utkomste :,,,.,) Absolute frequete: {,,,..., } F = absolute frequete = aatal keer dat waargeome wordt = F = = 6 (= aatal persoe de populate) 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 F 3 3 5 3 5 8 3 5 7 3 4 5 6 F cum, F cum, = absolute cumulateve frequete = F + F +... + F

F,cum = 6 = F = 6 * heeft ekel z vaaf ordale data. F cum, Relateve frequete: F f = Σ = f relateve cumulateve frequete : laatste klasse: f cum, F = f kcum, = cum,. Voorstellg data (HB p) Gegroepeerde data (6-8 klasse): Score # 4-6 5 7-9 8-9 3-5 6-8 3 9-6 Klasse : beede gres = 4 bove gres = 6 Klasse terval : -7 = 3 (het verschl tusse de beedegreze) Klasse mdde : 6 + 8 = 7 Staafdagram (cumulateve frequete grafek): f cum, Rechts cotu Lks et cotu F ) = aatal met score cum cum ( F () = 6 Cotue data: Utsluted gegroepeerd klasse Ω = groep va mese : ω ( ω) : legte va persoo ω cm (dt s ee stochast)... 5cm-59cm 6cm-69cm... vermelde klassegreze (5-59) ware klassegreze (49,5-59,5)

5 + 59 49,5 + 59,5 Klasse mdde = = = 54,5 (het maakt her et ut of je de vermelde of ware klassegreze gebrukt) Klasse terval = 6-5 = Frequete polygoo = verbdt pute; klasse mdde e frequete vb. voorstellg va ee tjdreeks Cumulateve frequete polygoo = verbdt pute; ware bovegres e cumulateve frequete 3. Datastatsteke voor varabele (HB p37) uvaraat 3. Cetrummate - locatemate (HB p38) { 9,9,9,...,9 } : cetrummaat = 9 (het gemddelde s ee cetrummaat) spredg = (wat er s gee spredg, alle getalle zj hetzelfde) 3.. Rekekudg gemddelde (HB p38) rekekudg gemddelde = x (ee klee letter) x x+ x +... + x = x = = (: het formularum p) * als S =Ω da wordt μ gebrukt als het rekekudg gemddelde va de hele populate. Voor gegroepeerde data: ΣmF x = m = klassemdde va de -de klasse F = geobserveerde frequete va de -de klasse * soms wordt (het gemddelde va twee opeevolgede beede greze) gebrukt. m 3

vb. 5-59 m =54,5 6-69 m + =64,5 m =55 Ver egeschappe va het rekekudg gemddelde ( x ):. Het gemddelde s het massacetrum (evewchtsput) va de data. vb. x. De som va de devates rod het gemddelde s geljk aa ul : Σ( x x) = ( Σ( x )) x = vb. ( x x) + ( x x) +... + ( x x) = x+ x +... + x x = x x = : ( devates rod het gemddelde) 3. De som va de kwadratsche devates rod ee put a s mmaal als dat put het gemddelde s: a Σ( x a) =Σ( x x) + ( x a) dt s mmaal voor a = x vb. Bewjs (va afgelede): = ( x a) =Σ( x x + x a) = ( x x) ( x a)( x a) ( x a) = = + + =Σ( x x) + ( x a) Σ( x x) + ( x a) = ( x a) =Σ( x x) + ( x a) 4. x s gevoelg voor utscheters: vb.,,, 3, 8 = 3 = x (alle data wordt gebrukt; dt wordt sterk beïvloed door de utscheter (8)) x % 4

Oplossg: het afgekotte rekekudge gemddelde boveste e oderste geobserveerde waardes wegeme,,, 3, 8 x = 6% 3.. Meetkudg gemddelde (Geometrsch gemddelde) (HB p4) Het geometrsch gemddelde va data ( x, x,..., x > ): g = x... x x (: het formularum p) Twee egeschappe va het geometrsch gemddelde (g):. Het log-geometrsch gemddelde s het gewooe gemddelde va de logdata: (log x+ log x +... + log x ) log g =. Het geometrsch gemddelde s kleer of geljk aa het gewoo gemddelde: g x + 3 vb., 3 : x = = 7 g = ()(3) = 64 = 8 vb. (toepassg): r, r,..., r zj jaarljkse groertmes. Wat s de gemddelde groe? * ( + r ) = ( + r)( + r )( + r )...( + r ) 3 * ( + r ) = ( + r)( + r)( + r3)...( + r ) * * r s het geometrsch gemddelde va + { + r + r + r } 3..3 Medaa : Me (HB p4) = het put dat 5% va de data lks laat Stap : ordee va data va kle aar groot: D : { x, x,..., x} x<>, x< >,..., x< > (georderde data),,..., Stap : kjke aar de mddelste observate: vb. D= { 7,5,,8,} {,5, 7,8,} Me = 7 + * als er ee eve aatal gegeves zj, gebrukt me de de observate als de medaa vb., 5, 7, 8,, 3 de observate = 7, 4 de observate = 8 Me =7,5 me gebrukt leare terpolate va de de e de ( + ) de observate de dataset * de medaa s ogevoelg voor utscheters. 5

3..4 Kwartele (HB p45) Q op 5% Q op 5% = Me Q 3 op 75% + de observate 4 + de observate 3( + ) de observate 4 3..5 Modus : Mo (HB p47) = de observate de dataset (D) de het meeste voorkomt (vaaf kwaltateve data) de modus s et altjd uek, je ka er twee of meer hebbe vb. bj bmodale data 3..6 Emprsche relate tusse de locatemate De relate tusse modus e medaa: x Mo 3( x Me) (: het formularum p) 3. Spredgsmate (HB p47). gemddelde afwjkg : GA Σ x x gemddelde afwjkg tot x : GA = (: het formularum p) Σ x Me gemddelde afwjkg tot Me : GA =. varate : V = de som va de gekwadrateerde afwjkge va x : V = ( x x) = = ( x x)( x x) =, maar dt kue we og herschrjve: = ( x x) x ( x x) x = ( x x) x = = = x x x = = = = x xx ( ) = = V = x x M O M e x 6

3. varate : s of s = de gemddelde gekwadrateerde afwjkg va x Σ( x x) s = Σ( x x) s = : varate met -wegg (: het formularum p) : steekproefvarate met (-) wegg (: het formularum p) * als S =Ω (de steekproef bevat de hele populate) da x = μ e s = σ * Let op : bj klee steekproeve: s s Stellg va Tchebychev (8-894): Zj : Ω ee kemerk We eme ee steekproef ut Ω : S Ω E bekome ee dataset: D = { x, x,..., x} Da : bevat het terval [ x ks, x + ks ] te mste ( ) x % va de data. k = dt geldt voor eeder welke dataset vb. [ x, sx + s ] [ x 3, sx + 3s ] bevat te mste 75% va de data bevat te mste 88,9% va de data * voor bjzodere datasets levert de stellg ee zwakkere schattg vb. ormaal verdeelde data: 4. rage = de hoogste geobserveerde waarde m de laagste geobserveerde waarde 5. terkwartele afstad (IQR) = Q 3 Q 7

Al deze formate ka worde voorgesteld als ee boxplot: * t.e.m. 5 zj allemaal absolute spredgsmate. Voorbeeld va ee relateve spredgsmaat (dmeteloos): s varate coëffcët : VC = (: het formularum p) x 3.4 Vormmate (scheefhedsmate) (HB p55) (: allemaal het formularum p) x Mo 3( x Me). Pearso = e Pearso = s s posteve scheefhed: egateve scheefhed:. Skewess : Sk = Σ( x x) 3 s 3 4 Σ( x x) 3. Kurtoss = 3 4 s = mechasme om data te toetse om te ze of het ormaal verdeeld s Kurtoss < : zwakke staarte Kurtoss = : ormale verdelg Kurtoss > : zware staarte 8

3.5 Cocetratemate (HB p57) Lorez-curve (komesverdelg) Ikomesklasse f cum, Cumulatef gedeelte va totaal kome -5,,5 5-5,63,34 lees: de oderste % va de bevolkg beschkt over 5% va het kome % va de bevolkg beschkt over % va het kome * Ide costate e perfecte verdelg zal de Lorez-curve same valle met de dagoaal. G-coeffcet : g oppervlakte A g = oppervlakte drehoek oder dagoaal (5) Σx y x y g = j j+ j+ j x j y j Σdet xj+ yj+ g = (: het formularum p) ( x e y zj cumulateve percetages) j j * extreme gevalle: g = : perfecte geljkhed g = : extreme ogeljkhed (99% heeft ets, % heeft alles) 9

4. Datastatsteke voor twee of meer varabele (HB p59) b-varaat : ( xy, ): Ω (aa de populate gaa we twee kemerke koppele vb. legte e gewcht) ( ( ), Y( )) ω ω ω S Ω, S = { ω, ω,..., ω} {(, ),(, ),...,(, )} D = x y x y x y met: ( x, y ) = ( ( ω ), Y( ω )) etc. * per dmese : locatemate, spredgsmate, vormmate ze vorge voor twee dmeses: Covarate (samebewegg): = mete va het samebewege va de veraderljke (vb. relate tusse legte e gewcht) Σ( x x)( y y) s xy, = (met wegg) NB. als S =Ω: s x, y = σ x, y Σ( x x)( y y) s x, y sxy, = = (met - wegg) s = σ x = μ * de S =Ω da wordt x, y gebrukt de plaats va Correlatecoëffcët: r = r = xy, r xy, Σ( x x)( y y) ( Σ( x x) )( Σ( y y) ) s s = = ss ss x, y x, y x y x * De correlatecoëffcët lgt altjd tusse - e ( r x, y ) E r xy, =± als e allee als de data perfect colear zj. de correlatecoëffcët s dus ee maat voor ee leare tred de data. Bewjs: Beschouw de vectore; υ e ω : υ = ( x x, x x,..., x x) ω = ( y y, y y,..., y y y ) σ s x, y We kue da de correlatecoëffcët schrjve als ee product va deze vectore: r = υ ω xy,. cos( υ, ω) υ ω = e bjgevolg wete we dat: r x, y

Als r =± da υ =± aω me t a > of x x =± a( y y) voor elke xy, x ± ay = x + ay Cocluse: als (hagt et af va ) r xy, =± da lgge de datapute op ee rechte. r = + r, = x, y x y r = r, = +,45 x, y,9 xy 5. Idexe (HB p69) = gee leerstof

DEEL II KANSREKENING

6. Kasrekeg (HB p8) 6. Wat s kastheore? (HB p83) Stochastsche expermet = ee acte waarva de utkomst bj herhalg oder dezelfde omstadghede fluctueert. Je ka dus et op voorhad de utslag voorspelle maar je ka wel ets zegge over de utkomste verzamelg ( Ω ). Voorbeelde: a) trek ee kaart ut ee kaartspel va 5 kaarte: Ω= {,..., H} : de utkomste verzamelg s de 5 kaarte wat s de kas dat de getrokke kaart ee hartedre s? ee gebeurtes s ee deelverzamelg va Ω. vb.: D : kaart s ee dre H : kaart s ee harte D H D H : kaart s ee hartedre : kaart s ee dre of ee harte c H =Ω/ H : kaart s gee harte D H : kaart s ee dre, gegeve dat ze ee harte s me zoekt de kas va ee gebeurtes. vb.: c PD ( ), PH ( ), PD ( H), PD ( H), PH ( ), PD ( H) lees: PD ( ): de kas va gebeurtes D b) goo ee dobbelstee e oteer het aatal oge: Ω=,,3,4,5,6 { } wat s de kas dat het aatal oge eve s? c) tos ee mut e oteer de zjde: Ω= KM, { } wat s de kas dat de utkomst M s? d) rj va Leuve aar Brussel e oteer de rjtjd: + Ω wat s de kas dat de rjtjd mder da 4 mute s? Meer da uur? bj cotue kemerke (vb. tjd) zj gebeurtesse tervalle e) oteer de wachttjd ee telefoo cetrale tot de volgede oproep: + Ω wat s de kas dat de wachttjd; kleer da? groter da? tusse twee? f) emad fetst va thus aar werk e passeert 3 verkeerslchte; oteer de stad: Ω= ( ggg, ggr, grg, rgg, grr, rrg, rgr, rrr) wat s de kas dat het dre keer rood s? 3

6. Kasrumte (HB p85) Kasrumte : ( Ω, GP, ). Utkomsteverzamelg (populate, uversum) : Ω : ee et-lege verzamelg, de verzamelg va alle mogeljke utkomste va ee expermet.. Gebeurtesseverzamelg : G : ee verzamelg va deelverzamelge va Ω * axoma s voor G (HB p9): leze maar gee leerstof 3. Kasmaat : P : (probablty) s ee fucte: P: G A PA ( ) de aa elke gebeurtes A ee getal P(A), de kas va gebeurtes A, toeket. Deze fucte heeft de egeschappe: aatal gustge utkomste [ de klasseke kasdefte : PA= ( ) ] aatal mogeljke utkomste P() : P( Ω ) = De kas dat we ee utkomst va Ω trekke ut Ω s altjd %. Wat Ω bevat alle utkomste e we kue met zekerhed zegge dat we ut Ω trekke. P() : PA ( ) voor elke gebeurtes (A) de gebeurtesseverzamelg (G). de kas s altjd postef, oot egatef. P(3) : de A, B G v oor elkaar utslutede gebeurtesse A e B (.e. A B = ) da: PA ( B) = PA ( ) + P( B) (* A B = wl zegge dat de verzamelg A B leeg s) vb. PA= ( ),5 e PB ( ) =,5 als A B =, da: PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) =,5 P(3) : voor ee rj dsjucte gebeurtesse ( A, A,..., A,... G, A Aj = dus j ) geldt: P( A) =Σ P( A) Egeschappe va ee kasrumte - ( Ω, GP, ). PA ( ) voor elke gebeurtes (A) de gebeurtesseverzamelg (G). Bewjs : zj A G C defeer A = Ω A c da A A = (leeg) c Som regel: PA ( A) = P( Ω) egeschap P(3): c = PA ( ) + PA ( ) egeschap P(): = A C A Ω 4

c Twee getalle PA ( ) e PA ( ) telle op tot (kase moge et groter zj da ). c egeschap P(): PA ( ) e P( A). optelregel utgebred (met deze regel moge er wel elemete de doorsede ztte) zj A e B G: PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) (: het formularum p) de doorsede wordt afgetrokke om de dubbeltellg te voorkome Bewjs : A B= A ( B A) = A ( B ( A B)) PA ( B) = PA ( ) + PB ( ( A B)) A B som regel: PA ( B) + PB ( ( A B)) = PB ( ) Ω A B B ( A B) B ( Ω, GP, ) kaarte) s ee kasrumte, Ω s edg (vb. kaart trekke ut ee kaartspel; maar 5 Uforme kasverdelg : de kas va de gebeurtes s hetzelfde voor alle elemete de verzamelg P ({ ω} ) s dezelfde voor elke ω Ω P( { ω} ) = = Ω aatal elemete de verzamelg vb. Ω s ee spel va 5 kaarte: P( { ω }) = = kas dat ee kaart ω wordt getrokke 5 omdat elke kaart eveveel kas maakt om getrokke te worde = uforme kasverdelg Oefege/Voorbeelde Oefeg : verjaardage probleem Wat s de kas dat ee groep va m persoe er twee of meer persoe ztte met dezelfde verjaardag? 5

m Ω=k =k x k x k x...x k (m keer k) m = legte va de groep k = dag ut de kaleder va 365 dage A s de gebeurtes va ω Ω waarbj ω = ω j voor te mste éé e j verschlled va elkaar. (lees: A s de gebeurtes waar twee verschllede mese ( e j) op dezelfde dag hu verjaardag hebbe.) ω = ( ω, ω, ω3,..., ω m ) A A Kas va gebeurtes A? : PA= ( )? = = Ω 365 m P s uform verdeeld over Ω Kas dat ee persoo hu verjaardag heeft op éé specfeke dag: P( { ω }) = Ω A =? = aatal elemete Ω waar ω = ω j c c Het s gemakkeljker om A te berekee da A. A (A complmet) s de gebeurtes va ω Ω waarbj alle coördate va ω va elkaar verschlle. (= waar er gee twee persoe de groep zj met dezelfde verjaardag.) c A = 365 x 364 x 363 x...x (365( m )) : elk dvdu heeft ee verschllede verjaardag c PA ( ) c A = = Ω 365 x 364 x 363 x...x (365( m )) m 365 Met deze kas kue we u gemakkeljk de kas va A berekee: c PA ( ) = PA ( ) c A 365 x 364 x 363 x... x (365( m )) PA ( ) = = m Ω 365 We kue PA ( ) u berekee voor verschllede waardes va m (voor verschllede groottes va de groep): als m = 3 PA= ( ),57 m = 4 PA= ( ),536 m = 3 PA= ( ),76 m = 4 PA= ( ),89 m = 64 PA= ( ),997 vaaf 64 persoe be je bja zeker dat er persoe de groep zj met dezelfde verjaardag. 6

Oefeg : Wat s de kas dat ee groep va m persoe, emad op mj verjaardag verjaart? m Ω=k B = de gebeurtes dat emad op mj verjaardag verjaart c B = utkomst waar gee ekele samevalt met mj verjaardag = 364 x 364 x 364 x.. = 364 m c B m c 364 PB ( ) = = m Ω 365 c PB ( ) = PB ( ) m 364 PB ( ) = 365 m (je mag keze eeder welke dag, behalve de va mj) We kue opeuw m vulle om de kas te berekee. vaaf m = 53 hebbe we PB ( ),5 de we met temste 53 mese zj ka je met ee kas va 5% zegge dat er emad op mj verjaardag verjaart. 6.3 Voorwaardeljke kas e oafhakeljke gebeurtesse (HB p94) PA ( B) Voorwaardeljke kas : PAB ( ) = met PB ( ) ( : het formularum p) PB ( ) vb. ee kasrumte ( Ω, GP, ) met Ω ee spel va 5 kaarte e P uforme kas. dre gebeurtesse : H = kaart s harte D = kaart s dre R = kaart s rood 3 PH ( ) = = 5 4 4 PD ( ) = = 5 3 6 PR ( ) = = 5 PHD ( ) = de kas dat de getrokke kaart ee harte s gegeve dat de kaart ee dre s = gegeve dat PH ( D) kas harte e dre / 5 { 3, 3, 3, 3 } = PHD ( ) = = = = 4 PD ( ) kas dre 4 / 5 PHR ( ) R = 6 H = 3 = de kas dat de getrokke kaart ee harte s gegeve dat de kaart rood s 7

3 PH ( R) / 4 PHR ( ) = = = = = 6 PR ( ) / We stelle dus dat: PH ( ) = PHD ( ) de formate s et relevat. PH ( ) PHR ( ) de formate s wel relevat dus moete we er rekeg bj houde. Deftes : Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte e zj A e B twee gebeurtesse: De voorwaardeljke kas va A gegeve B s het getal PAB ( ) gegeve door: PA ( B) PAB ( ) = mts PB ( ) PB ( ) PA ( Ω) Opmerkg: PA ( Ω ) = = PA ( ) PA ( ) Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte e zj A e B twee gebeurtesse: A e B zj oafhakeljke gebeurtesse als: PAB ( ) = PA ( ) vb. * PHD ( ) = PH ( ) = / 4 H s dus oafhakeljk va D * PHR ( ) = / > PH ( ) = / 4 H s et oafhakeljk va R, de formate s relevat Opmerkg : de A oafhakeljk s va B, da s B ook oafhakeljk va A: PA ( B) PA ( Β) = = PA ( ) PB ( ) waarut PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PB ( ) of A = PBA ( ) = PB ( ) PA ( ) Bepale va kase va kasbome: Oefeg : Woesdag, als je wakker wordt e opstaat om 8u3 da be je op tjd voor de les va 9u3. Je zet je wekker om 8u3. Ide je wekker afloopt da wordt je wakker met ee kas,7 Ide je wekker et afloopt da wordt je wakker met ee kas,4 De kas dat de wekker afloopt s geljk aa,9 Vraag : Bepaal de kas dat je op tjd wakker bet. R s de gebeurtes de wekker rkelt om 8u3 W s de gebeurtes je wordt wakker om 8u3 We tekee ee kasboom met al deze gegeves: 8

PRPWR ( ) ( ) =,9 x,7 =,63 c c PR ( ) PWR ( ) =, x, 4 =,4 Kas dat je wakker wordt om 8u3 : PW ( ) =,63 +,4 =,67 (va de optelregel) Oefeg : Ee partj va rado s bevat defecte rado s. We trekke lukraak twee rado s (zoder terugleggg) Bepaal de kas dat de tweede rado defect s. D : gebeurtes dat de eerste rado defect s D : gebeurtes dat de tweede rado defect s Ω : verzamelg va vectore va legte r ( r, r ) r r { } zj twee rado s ut de partj va 9 9 kas = x = = PDD ( ) x PD ( ) 99 99 (we zj geïteresseerd D ) 9 9 c c kas = x = = PDD ( ) x PD ( ) 99 99 9 9 99 PD ( ) = + = = 99 99 99 Wet va de totale kas (stratfërgsregel) (HB p96) Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte Zj B ee gebeurtes Zj Ω= A A... A ee partte va Ω oderlg dsjucte gebeurtesse (elkaar oafhakeljke gebeurtesse A B = : de verzamelg s leeg) Da: PB ( ) = PA ( ) PBA ( ) + PA ( ) PBA ( ) +... + PA ( ) PBA ( ) 9

PA ( ) PBA ( ) PA ( ) PBA ( ) PA ( ) PBA ( ) PB ( ) = PB ( A) = PA ( ). PB ( ) k k k k Α k Stellg va Bayes (HB p96) Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte Zj B ee gebeurtes Zj Ω= A A A ee partte va Ω oderlg dsjucte gebeurtesse... PA ( B) PAPBA ( ) ( ) Da: PAB ( ) = = ( : ee adere vorm het formularum p) PB ( ) PB ( ) vb. otwkkele va ee kakertest: 9% va de persoe met kaker reageert postef 5% va de persoe zoder kaker reageert postef % va de bevolkg de op cosultate komt heeft kaker Vraag : s dt ee goede test? K = gebeurtes; persoo heeft kaker R = gebeurtes; persoo reageert postef 9 9 PK ( R) = x = c 99 5 495 PK ( R) = x = 9 99 5 7 PR ( ) = x + x = We make gebruk va de stellg va Bayes om de kas dat ee persoo de postef reageert op de test ook kaker heeft ( PKR ( )) te berekee: 3

PKPRK ( ) ( ) / x 9 / PKR ( ) = = PR ( ) (/ x 9 /) + (99 / x 5/) 9 = 9 + (99 x 5) = = 5% + 3 de kas dat ee persoo de postef reageert op de test ook kaker heeft 5% Hoe kue we deze test best verbetere? Door 9% te verhoge of 5% te verlage? 9 9% 9% PK ( R) = 5% 9 + (99 x 5) 9 5% 3% PKR ( ) = 3% = de betere oplossg 9 + (99 x 3) 7. Stochastsche varabele (HB p8) 7. Stochastsche varabele (HB p9) Ee stochastsche varabele (toevalsveraderljke) s de toevalsutkomst va ee stochastsch expermet. * trek ee studet ut het eerste jaar e meet de legte cm * trek ee blk opgevuld door ee welbepaald mache e meet de houd cl * trek ee gloe lamp va ee bepaald merk e meet de levesduur ure Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte Ee stochastsche varabele s ee varabele: : Ω ω ( ω) De stochastsche varabele s dscreet de de beeldverzamelg (mage / utkomsteverzamelg): Im = { x, x,..., x} edg s (dscreet). (om het dscrete te beadrukke gebruke we Im plaats va Ω ) vb. tos ee eerljke mut twee keer e oteer het aatal keer M : Ω= {( KK, ),( KM, ),( MK, ),( MM, )} : Ω ω ( ω) = aatal keer M ω { } Utkomste verzamelg: Im =,, : dscrete stochast, omdat de verzamelg edg s ( Ω= ) ({ }) P ω ( ω ) = k met k =,, of = P( = k) : (verkorte otate) k 3

Grafek va de kasdchthed va de stochast : kas dat je oot M goot: P = /4 kas dat je keer M goot: P = / kas dat je keer M goot: P = /4 Σ= vb. ee fetser legt ee traject af e passeert dre verkeerslchte. Tel het aatal groe. Ω= { ggg, ggr, grg, rgg, grr, rgr, rrg, rrr} : Ω ω ( ω) = aatal keer g(roe) ω Utkomste verzamelg : Im = {,,,3} Grafek va de kasdchthed va de stochast : kas groe : P = 8 3 kas groe : P = 8 3 kas groe : P = 8 kas 3 groe : P 3 = 8 Σ= Zj : Ω ee dscrete stochastsche veraderljke De kasdchthed va s de afbeeldg va p : k p = P( ω ( ω) = k ) { } = Pk ( = k) Voorwaarde: * pk : (de kas mag et egatef zj) * Σ pk = p + p +... + p = : (de kase moete optelle tot ) k Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte stochastsche varabele : Ω dt s ee dscrete stochastsche varabele : de utkomste verzamelg va s edg (of aftelbaar: Im = ). Dchthedsfucte: p, p, p,..., p p = P ( = k) = P( ω ( ω) = k { } k ) 3

Egeschappe : * pk : (de kas mag et egatef zj) * Σ = : (de kase moete optelle tot ) p k cumulateve verdelgsfucte: F : F( x) = P( x) = P( ω ( ω) x ) P : kasmaat p : dchthedsfucte : stochastsche varabele x : waarde : reëel getal { } vb. twee keer tosse va ee mut : : Ω ω ( ω) : aatal keer M ω Im() = {,,} p =, p =, p = 4 4 dscrete dchthed p Cumulateve verdelgsfucte : F : x P ( x) : de kas dat, of 3 Kemerke: * F s erges daled * F s rechts cotu * F( ) = : (horzotale asymptoot) * F ( + ) = De cumulateve verdelgsfucte maakt dsjucte bewegge (sproge): De fucte s voor egateve waardes; versprgt de fucte aar ¼ ; versprgt de fucte aar ¾ ; versprgt de fucte aar. 7. Typsche verdelge (HB p6) 7.. Uforme dscrete verdelg : U{,..., N} uforme = de kas va de gebeurtes s hetzelfde voor alle elemete de verzamelg. dscrete = de verdelg s edg. Verbad tusse dchthed e de verdelg: * pk = F( k) F( k ) * Fk ( ) = p + p+... + pk 33

7.. Uforme cotue verdelg : U[ a, b] cotue = de verdelg s et edg Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte De stochastsche varabele : Ω s ee cotue stochastsche varabele de er ee cotue dchthedsfucte p : bestaat zodat: * px ( ) voor elke x : de fucte p mag erges egatef zj + * p = : de totale kas s geljk aa { } * P( ω a ( ω) b ) voor elke a, b b = p = F( b) F( a) a = wat s de kas at oze stochast tusse a e b lgt? we make u gebruk va de tegraal om de oppervlakte oder de grafek te berekee * de oppervlakte oder de grafek tusse a e b s geljk aa Pa ( b) * P( < < + ) = : de totale oppervlakte oder de curve s geljk aa éé! Zj ee cotue stochastsche varabele da P ( = a) = p= ( Pa ( ): gee kas) ee put s gee kas : de oppervlakte moet je terpretere als ee kas a a Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte : Ω ( : ee cotue stochastsche varabele) ab, P s de uforme verdelg over [ ] : als de boogjes eve lag zj da zj de kase hetzelfde (gevolg va lukraak te trekke) 34

[ ] [ ab, ] U( a, b ): s uform verdeeld over het terval We defëre de verdelg F : : F( x) = P( x) Dscreet = dchthed s ee kas Cotu = dchthed : gebruke va tegrale F s erges daled F s erges daled F s allee rechts cotu F s overal cotu F( ) = F( ) = F ( + ) = F ( + ) = s cotu (C tu ) F '( ) = p( x) voor elke x Bewjs: F( ) = p( x) dx Hoofdstellg va tegraal rekee: x Zj f ee cotue f ' va aar, zj F( x) = x Da ( f )' = f( x) a Da F '( x) = f( x) a f Uforme verdelg : U( [ a, b] ) 35

Wskude va vorg jaar : Wat s ee afgelede? lm F( x+ h) F( x) h h Fx ( + h) Fx ( ) p( x) h F( x+ h) F( x) p( x). h hoe kleer h, hoe kleer het fout Merk op : px ( x+ h) = Px ( + h) Fx ( ) px ( ). h (we gebruke omdat er ee fout va h s) Stellg (gee bewjs) : Zj F ee fucte va aar Da s F ee verdelgsfucte als ee slechts als: * F s rechts cotu * F s erges daled * F( ) = * F( + ) = s dscreet: = geeft de cumulateve verdelg va de stochast weer s cotu: 36

Gemegde stochast: (voldoet aa alle egeschappe) Voorbeelde va stochastsche varabele Uforme verdelg: U( a, b ) : s (lukraak) uform verdeeld over [ ] [ ab, ] ({,,..., }) : s uform verdeeld over {,,3,...,k} U k p = p =... = p k = / k 7..4 Beroull-verdelg (HB p9) Ee Beroull-expermet s ee expermet met twee mogeljke utkomste, doorgaas succes (S) e mslukkg (M) geoemd. Ee Beroull stochastsche varabele met parameter p s de utkomst va ee Beroullexpermet, met waarde voor succes e voor mslukkg met ee succeskas p. : Ω {,} : ee stochast met twee mogeljke utkomste p = P( = ) p = P ( = ) = q= p p + p = (omdat er maar twee mogeljke utkomste zj) Zj Y, Y,..., Y ee stochastsche varabele met Y b(, p) ( = het expermet wordt maal utgevoerd) Defeer = Y, Y,..., Y algemee otate : b(, p) = hoeveel keer het Beroull-expermet wordt utgevoerd p = kas op succes c q = p = - p = de kas op mslukkg * b(, p) : Beroull stochastsche varabele (st.v.) * Beroull expermet wordt keer oafhakeljk herhaald ( = alle expermete staa los va elkaar),,..., b(, p) Y = + + + ( : het aatal successe optelle) Y b(, p)... 37

vb. tos ee mut keer ( : er zj twee mogeljke utkomste) (* de eerste vraag de je moet stelle s of deze stochast dscreet of cotu s) Y b(, p) Y s dscreet: Im(Y)= Ω= { ω, ω,..., ω } ω {, } {,,,...,} ( ) { } Y : Ω,,,..., ω Y( ω) = aatal éétjes ω p P Y P = ( = ) = ( = e = e = ) = P ( = ) x P ( = ) x... x P ( = ) = ( p) p = P( Y = ) = P( + +... + = ) = x P ( = e = e 3 = e 4 = e... e = ) = p. ( p) maal : omdat je de op verschllede plaatse ka zette p P Y P Y = ( = ) = ( = + +... + = ) ( ) = x P ( = e = e 3 = e 4 = e...e = ) p = PY ( = ) dele door om de dubbeltellg te vermjde 7..5 Bomum verdelg (HB p) Bomum coëffcët: : het aatal deelverzamelge va legte k getrokke ut ee verzamelg va legte. k! = aatal maere om voorwerpe te ordee = x ( ) x ( ) x... x x Door het bomum coëffcët e! te combere:! = x k! x ( k)! k e da te herschrjve:! = : het formularum p3 k k!( k)! 38

p = p( p)! x ( )! = = =!( )! ( )! p = = p ( p)! x ( ) x ( )! ( ) = = =!( )!!( )!! p = PY ( = + +... + = k) k p k = ( p ) k k voor elke k =,,... k dchthed va de bomum verdelg: pk = p ( p) k k : het formularum p3 vb. voor k = :! = =!!!! ( ) k!( k)! =!( )! =!!! Afspraak :! = Y b(, p) zt alle gegeves odg om de stochast vast te legge. = hoeveel keer het Beroull-expermet wordt utgevoerd p = kas op succes Toetse op de twee voorwaarde voor ee dchthed:. pk : OK. p+ p +... + p = k k = Pk = p ( p) = : OK k= k= k (deze formule s hetzelfde als de bomum va Newto, ze verder.) Bomum va Newto ( a+ b) = ( a+ b) x ( a+ b) x... x ( a+ b) k k = a + ( ba ) + b a +... + b a +... + b a k k k ( a+ b) = b a k = k (bomaal wordt soms als syoem gebrukt voor Beroull) Y b(, p) = Beroull bomaal 39

vb. Y b(3,.7) ( : Beroull-expermet 3 maal utgevoerd met kas op succes,7) Kas dat je 3 keer mslukt : Kas dat de keer mslukt e keer slaagt : Kas dat de keer mslukt e keer slaagt : Kas dat je 3 keer slaagt : 3 (,3) 3,7 P = = 3 P = (,3) (,7) =,89 3 (,3) (,7),44 P = = 3 (,7) 3,343 P3 = = 3 Σ= vb. Ω = Frase kesrechtgde : Ω, { } ω ( ω) = de Josp de Chrac p =,5 : de kas op succes s 5% b(,.5) : het Beroull-expermet wordt éé keer utgevoerd We eme u = 5 (we herhale het expermet 5 maal) : Y b(5,.5) Wat s de kas dat mder da of geljk aa 5 mese ut de 5 op Chrac stemme?: PY ( 5) = PY ( = ) + PY ( = ) +... + PY ( = 5) = kas successe + kas succes +...+ kas 5 successe 5 5 5 4 5 5 =, 48 +, 48,5 +... +, 48,5 5 We rode af aar bove om ee utkomst te bekome : 5 5 5 5,5 + +... + 5 5 =,5 + 5 +... + 533 5 [ ] = 6846 =, b(, p) b (, p) 4

Y s multomaal = er zj meer da twee mogeljke utkomste vb. Verkeerslchte : = groe, = oraje, P = rood P P 3 Groe Oraje Rood Kas Trekkge p p p3 3 trekkge = expermet maal herhale P( groe, oraje, rood) 3 Z = aatal keer groe Z = aatal keer oraje Z = aatal keer rood 3 Z = aatal keer groe = PZ ( = e Z = e Z3 = 3) + 3 3 = p p p3 vereevoudge:! ( + 3)! = x!( + 3)!! 3!! =!!! 3 Y s multomaal: Y s het aatal keer dat ee Beroull expermet herhaald moet worde om ee eerste keer succes te bekome dscrete stochast vb. hoeveel stemme moete we telle om eerst ee stem voor Chrac te bekome? hoeveel exames moet je aflegge om tot dat je er voor de eerste keer door bet? { ( ω, ω,..., ω,...) {, ω }} Ω= Y : Ω ω Y( ω) = de plaats va de eerste -coordaat p (: schrappe om dat het gee utkomst heeft) p oafhakeljk = PY ( = ) = p p = PY ( = ) = P ( = e = ) = P ( = ) x P ( = ) = p( p) p P Y k P p p k k = ( = ) = ( = =... = k = e k = ) = ( ) 4

= p+ p +... + p k +... = k = p+ p( p) +... + p( p) +... = k = p + ( p) + ( p) +... + ( + p) +... = p = ( p) Let op : ecoome werd dt gebrukt voor de cosumptequota (c). da had je c (dus ) ( c ) = ( p) = c Hypergeometrsche Stochast vb. ee doos ( Ω ) bevat 4 wtte kkkers e 5 rode kkkers: : Ω {,} ω ( ω) Beroull = als ω wt s = als ω rood s Trek 5 kkkers (zoder terugleggg) ut ee zak de 9 kkkers bevat waarva er 4 mslukkge zj e 5 successe zj. Noteer het aatal successe met de stochastsche varabele Y. Vraag: Wat s de kas op twee successe? PY ( = ) = p 4 3 5 4 p = P(,,,,) = 9 8 7 6 5 : kas 4 op 9 dat je mslukt maal kas 3 op 8 dat je mslukt...(zoder terugleggg) : dt s de kas voor de cofgurate 3 keer wt e keer rood te bekome. 5 Om te veralgemee moet je og vermegvuldge met : 5 p = x P (,,,,) (: u ka je alle volgorde toelate vb. ook (,,,,) etc..) 5 4 3 5 4 = x 9 8 7 6 5 p 5 4 3 = 9 5 5 : va de 5 successe dat er zj moet je successe trekke 4 : ut de 4 mslukkge moet je 3 mslukkge trekke 3 9 : ut de 9 kkkers de populate moet je er 5 trekke 5 4

p 5 4! 3!! = 9! 5!4! = 5 (4)(5!) x 9! 4! Formule :! = k k!( k)! hyp(, a, b) = aatal herhalge a = aatal successe de populate b = aatal mslukkge de populate k = aatal successe waarva je de kas wl wete a b a+ b dchthed hypergeometrsche : pk ( ) = ( : het formularum p3) k k I dt voorbeeld: Y hyp(5;5, 4) : 5 herhalge e er zj 5 successe e 4 mslukkge 7..6 Posso-verdelg (HB p5) = aatal ogevalle op ee bepaald krusput per maad = aatal telefoo oproepe ee bepaalde cetrale per dag = aatal bactere water per m 3 = aatal tk foute per paga tel stochastsche varabele per volume dscrete stochastsche varabele: p = P ( = k) k = λ k e λ k!, k=,... Pos( λ) Is dt ee dchthed? Let op : voldoet het aa de twee voorwaarde? het HB gebruke ze ee adere otate: k. μ p μ k : OK pk ( ) = e k!. p K = :? = p + p+ p +... + p k +... k λ e λ! = = k = k! k λ λ λ = e = e e λ = : OK k = k! k k k λ x ( komt va : e = + + +... + +... = ) k! k! k! k=! k = 43

Stellg : Posso verdelg als beaderg voor bomale bp (, ) voor groot. vb. = aatal ogevalle op ee bepaald krusput per jaar Stel : 6 ogevalle per jaar; deze ogevalle zj uform over tjd verdeeld: : elke dag heeft eveveel kas op ee ogeval. Succes : ogeval maad 6 per maad : b(; ) = b(;, 5),5 per halve maad : b(; ),5 per dag : 3 b(3; ) 3,5 per : b(; ) ( : als zal er max éé succes per perode zj) (uur, secod...) met Pos(,5),5 b( ; ) λ b(; ) : λ s de Posso parameter k λ λ P ( = k) = k k ( )...( k) λ λ = k k! k ( )...( k) λ λ =... k! als aar gaat = x x x... x x k λ k λ e k! k k k λ λ De utedeljke formule : P ( = k) = e ( = dchthed va Posso : formularum p3) k! * b(, p) voor groot Pos( λ = p). x lm x e = voor x + ( : het formularum p4) x = λ 44

7..7 Expoetële verdelg (HB p8) voor cotue stochastsche varabele vb. wachttjd of levesduur. vb. = tjd tusse opeevolgede telefoo oproepe dt s ee cotue stochastsche varabele P ( ) = λe λx met λ > P ( ) = voor < (dchthedsfucte) Cumulateve verdelg: F( ) = P( x) = e λx = x p x λt x λe dt λt e e t = = = λ +e (we bege e edge ) 8. Gezameljke verdelge e oafhakeljkhed (HB p35) stochastsche vectore ( Ω, GP, ) ( Y, ): s ee kasrumte Ω ω ( ( ω), Y( ω) ) (vb. legte e gewcht va persoo ω ) vb. dscreet Ω s ee bevolkg 3 4 ( ω ) = bloedgroep va persoo ω { OABAB,,, } Y( ω ) = rhesusfactor va persoo ω + (, ) dt zj gezameljke dscrete stochastsche varabele Krustabel: 3 4 Y p p p p p p p3 3 p4 4 45

p = gezameljke dscrete dchthed va e Y j = P ( = e Y= j) = PY (, j) ( : adere otate) De twee voorwaarde voor ee dchthed:. Pj : OK. P j = : OK, j py (,) = P( = e Y = ) = ( = A + ) p p () = P( = ) : alle mese met bloed groep O ogeacht de rhesusfactor = P ( = e Y= ) + P ( = e Y= ) = p + p ( : ze krustabel) p () = A= p + p = A + A p (3) = B= p + p = B + B 3 3 p (4) = AB = p + p = AB + AB 4 4 + + + * de margale varabele zj de afzoderljke varabele e Y * de margale dchthede zj de dchthede va e Y; p e p. margale dchthed va : p : k p ( k ) Berekeg : p( x) = py( x, y) y p ( y) = p ( x, y) Y x Y p ( xy, ) = p ( x). p( y) Y Y gezameljke dchthed: p, j= PY(, j) margale dchthed: p () Y voorwaardeljke dchthed : PAB ( ) : kas A gegeve dat B PY, ( x, y) gezameljke dchthed (x,y) P ( x) = Y y p ( y) = = margale dchthed y Y 46

P : P ( = Y= ) = p p + p + p + p = 3 4 Y P ( = Y= ) = p p + p + p + p 3 4 3 P ( = 3 Y= ) = p p + p + p + p 3 3 4 4 P ( = 4 Y= ) = p p + p + p + p 4 3 4 Formule: PAB ( ) = PA ( B) PB ( ) Stochastsche vectore ( Y, ): Ω cotu + margale dchthed : p( x) = py( x, y) dy voorwaardeljke dchthed : P ( x) gezameljke dchthed : Y = y p Y = Voorwaarde: p e p = zj voldaa xy xy ({ ω ω ω }) P (( x, y ) ) = P ( ), Y ( )) R = p voor elke rechthoek R R b d = Y x= a y= c p stel Y R = [ ab, ] x [ cd, ] : dubbele tegraal Volume oder de fguur s geljk aa : p = Y : volume oder de dchtheds oppervlakte A [ ] [ ] vb. Kes lukraak ee put ut V =, l x, l gezameljke dchthed: PY ( x, y ) = l de (, x y) V (uform V) = de (, x y) V oppervlakte = V= l dus = l l 47

margale dchthed : we zj ekel geïteresseerd (a e b) e et Y (c e d) P ( x ) = de x [, l] uform [ ] +,l PY ( x, y) = dy= l l y= y= l vb. kes lukraak ee put ut ee schjf S met straal S = ( x, y ) x + y : oppervlakte schjf met straal { } gezameljke dchthed : P Y ( x, y) = π = de ( x, y) S margale dchthed : + x x P ( x) = dy = π π y= x = de, [ ] * We kue de margale dchthed ze als ee oppervlakte oder ee bepaalde curve. + P( x) = PY( x, y) dy y= Cumulateve verdelg (cumulateve frequetefucte) F ( x, y) P( x e Y y) P ( t, s) dt ds Y = = y x y= t= Bewjs :. FY ( x, y) = PY ( x, y) x y Y F ( x) = P( x) = P ( xe Y + ) = F ( x, + ) Y F '( x) = P ( x) Twee varabele zj oafhakeljk de; 3 voorwaarde: (HB p47) vb. s de bloedgroepverdelg oafhakeljk va de rhesusfactor?. Stellg: Zj ( Y, ): Ω ee stochastsche vector e Y zj oafhakeljk als e slechts als voor elke paar A e B va tervalle; P ( Ae Y B) = P ( APY ). ( B) { } { } [m.aw de gebeurtesse ω ( ω) A e ω ( ω) B zj oafhakeljk va elke A e B] [dt s hetzelfde als: de oafhakeljk: PA ( B) = PA ( ) x PB ( )] 48

. Stellg: stochaste e Y zj oafhakeljk als e slechts als; p = p. p Y x y de gezameljke dchthed s het product der margale B ewjs : ( e Y zj dscreet) PY ( x, y) = P( = x e Y = y) oafhakeljkhed = P ( = x). PY ( = y) = p ( x). p ( y) (voor elke x,y) P ( Ae Y B) = P ( = xy, = y) : gezameljke dchthed A Y B = P ( APY ). ( B) e Y zj oafhakeljk 3. Stellg: e Y zj oafhakeljk als e slechts als; : p ( x) = p ( x) Y = p ( = x). p ( Y = y) A Y B xy, Y = y Y = y' = p ( = x). p ( Y = y) A Y B Y Y B ewjs: p ( x ) = P ( = xy = y ) Y = y P ( = xe Y= y) = PY ( = y) py ( x, y) = : defte gezameljke e margale dchthed py ( y) = p( x). py( y) p ( x) : e s dus oafhakeljk va y p ( y) = Y 9. Verwachtgswaarde (verwachte waarde) (HB p49) Voorbeeld : Spel : twee keer ee eerljke dobbelstee tosse. Wstregel : als zesse da als zes da aders da V raag: Hoeveel be je bered te betale om éé keer mee te spele? B ered te betale : P( wst) x + P( wst) x = 3,6 = P( zesse) = P( zes) = /36 = /36 49

De berekeg: Ω= (,),(,),...,(6,6) { } Ω=36 : er zj 36 mogeljke utkomste comb ates met zes : (,6), (,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,), (6,), (6,3), (6,4), (6,5) combate met zesse : (6,6) De kase zj uform verdeeld : (,,) : Ω ω ( ω) = aatal zesse ω p( ) = P( zesse) = 5 36 p() = P( zes) = 36 p() = P( zesse) = 36 π () = π () = π () = E ( π ( x) ) = verwachte waarde va het spel (expected value) = verwachte wst = π (). P ( = ) + π(). P ( = ) + π(). P ( = ) ( ) ( ) ( ) =. 5 +. +. 36 36 36 = 3,6 D efte: Zj : Ω ee stochastsche varabele e ( Ω, GP, ) ee kasrumte Z j g : ee afbeeldg De verwachtgswaarde E[ g( x )] = k + gkp ( ) ( = k) : dscreet gx ( ). px ( ) dx: cotu Opmerkg: Ide g: : x (zchzelf afbeeldt) da μ = Ex ( ) = E g( x) : de verwachte waarde va ( ) Verwachte waarde: E = x. px x ( ) als x dscreet s + xpx. ( ) dx als x cotu s De verwachtgswaarde: E[ g( x )] = x gx ( ). px ( ) + gx ( ). px ( ) dx dscreet geval cotu geval 5

Verwachtgswaarde voor ee cotue stochast ( Ω, GP, ) g Ω ( x ) s ee kasrumte + E g( ) = g( x). p( x) dx - = gk ( ). pk ( ) k (cotu) ( dscreet) NB. als S =Ω: x = μ s = σ xy, x, y s = σ Specale gevalle (HB p54) Gemddelde va x = μ = Ex ( ) x. px ( ) x + xpx. ( ) dx voor x dscreet voor x cotu varate va x = var x = σ = E ( x μ) = ( k μ). p( k) k ( x ). p( x) d = μ dscrete stochast x cotue stochast Varate: σ = μ = E( μ) = μ' ( μ' ) = E( ) ( ( E ) ) Geometrsche verdelg Geo( p) waeer heb je voor de eerste keer succes? vb. a hoeveel worpe? ( ) k k pk p =. p = q p ( : dchthed Geometrsche verdelg : formularum p3) q= p k = aatal worpe dat je moet doe voor de eerste keer succes μ = Ek ( ) Dus = kpk. ( ) k = = kq k = k p k p kq p. = k = p p = = Ek ( ) = p 5

vb. dobbelstee PY ( = 6) = px ( ) = / 6 E ( ) = 6 je hebt ee /6 kas dat je ee 6 smjt dus p =/6 Bewjs: ( : het formularum p4) 3 4 + q+ q + q + q +... = = ( q) met q q aflede 3 + q+ 3q + 4 q +... =.( q) = = ( q) p Dus: E( ) = k q k = k = p k q p k k = ( 4 9 6 3...) vermegvuldge met q e da aflede = p + q+ q + q + 3 4 q q+ q + 3q + 4 q +... = = ( q) p 3 ( q) ( q).( ). q q+ q q + q + 4q+ 9q + 6 q +... = = = = 4 3 3 3 ( q) ( q) ( q) p Dus: + q + q Ex ( ) = p. = p 3 p σ Dus: = E ( x μ) = E x μ x+ μ Itegraal va de som: (egeschappe HB p5) E ( + Y) = E ( ) + EY ( ) [ ] E[ x] = E x E x + E = E x μ + μ = E x μ + μ = E x μ σ μ μ σ = + q = p p = E x q p ( E( x) ) (: ze de vorge paga) 5

vb. Dobbelstee Geo ( : p = /6= de kas dat je ee zes goot; uform verdeeld) 6 μ = 6 σ = q p 5 6 5 36. 3 p = p = 36 = 6 = * stochastsche varabele: locate ( μ ) e spredg ( σ ) zj de twee belagrjkste mate. Stellg va Tchebychev (HB p6): bj symmetrsche tervalle Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte : Ω, μ, σ da P( μ kσ < x< μ+ kσ) k P( μ σ < x< μ+ σ) P( μ σ < x< μ+ σ) 3 4 Beslss gsprobleme : Mea-varace probleme : Payoff matrx (HB p53) Gevraagd: zoek de krtsche kas waarbj bede actes ee geljke gemddelde payoff bede. Payoff matrx va ee spel: Acte va bedrjf: Ecoomsche toestad: Expase Stagate θ θ a π = π = - a π = 6 π = - kas Aaloog aa Nash evewcht zoeke: ( ) E π a = θ ( θ) ( ) = θ E π a = 6θ ( θ) = 7θ 53

? ( π ) ( E a >< E π a Beslu t: kes θ >< 7θ 5θ >< θ ><5 ) a de θ [, ;] [ Merk op: we veroderstelle dat het bedrjf gee vloed heeft op θ : dat θ exogee s. ] * Stel θ = /5 da s de verwachte wst va bede actes hetzelfde. Op bass va de verwachte waarde allee ka je dus et beslsse. We kjke wel aar de spred g σ E π a = E π a ( ) ( ) bjkomede formate: op bass va σ π a σ π a ( ) ( ) Beslssgsprobleme - teste va bloedstale (HB p5) = aatal bloedstale dat worde getest ( s groot) p = kas op besmettg het bloedstaal ( p s kle) dvduele teste : kost prjs = x c (: c s de kost va éé test) gegroepeerde teste = = m x k ( : m groepe va k stale) + ) Kost prjs (tweede stratege) = ( m x c) ( k x c (: de besmette groepe moete opeuw dvdueel worde getest) Dus: a-pror expected value va de kost prjs Belagrjkste stap : welke stochaste gaa we defëre? We wete dus et of ee groep besmet s of et e de wel heeft het extra tests odg.,,..., = aatal aalyses groepje als groepje et besmet s +k als groepje wel besmet s kas gee besmette stale het groepje : p = ( p) k (: p s de kas voor persoo, wj wlle de kas wete voor k persoe) kas wel besmette stale het groepje : de kase telle op tot p = ( p ) k k + 54

Dscrete stochastsche varabele p:,,..., { } p : ( = p( k) ) k p k Cotue stochastsche varabele x px ( ) et besmet besmet k k E ( ) = xpx. ( ) : E ( ) =. ( p) + ( k+ )( ( p) ) = k+ k( p) k (: we ze dat het et afhagt va ) E s lear Ex ( + x +... + xm) = Ex ( ) + Ex ( ) +... + Ex ( m) = me. ( x ) = mk ( + k( p) k ) totaal aatal teste m = : m groepe k aatal stale = Expected value va de kost prjs k = mk ( + k( p) ). c = ( k + k ( p ) k ) k. Ex ( + x +... + x ) : het verwachte aatal teste oder gegroepeerde teste als percet va het aatal teste oder dvduele teste. ( ( ) k = mk+ k p ) (:.m = ) k ( ( ) k = k+ k p ) k k = + ( p) k Rekevoorbeeld: p =, : kas op besmettg = / k = : groepjes va We vulle deze getalle de formule va her bove: k = + ( p) = + (,99) 9,56% k Ex ( +... + x mmalseer : m ) k * p e zj exogee (et beïvloedbaar) 55

vb. dvdu werkloos, kome a, kas p werked, kome b, kas -p Vraag: hoe beoordele? utsfucte : U : dscrete stochast : = kome a, kas p = kome b, kas -p E ( ) = pa. +( pb ). verwachte waarde EU( x) = pua. ( ) + ( pub ). ( ) verwachtgswaarde [ ] Her ze we goed dat ( ( )) E ( U ( kome) ) U E kome Ide de fucte U egateve krommg heeft d a EU ( ( x)) U( E( x)) : ogeljkhed heeft te make met de krommg Ogeljkhed va Jese Zj f : covex ( : egateve krommg zoals de utsfucte : de afgelede s egatef) Z j ee stochastsche varabele met E ( ) E f( x) f E( ) Da ( ) ( ) Bew js: ( s ee cotue stochastsche varabele e f s twee keer afledbaar) T s ee eerste graadsfucte dus; ax + b = T( x) 56

f( x) T( x) P ( x) f( x) P ( x) T( x) x x p ( x) f( x) p ( x) T( x) x x Verwachtgswaarde: (tegrere bewaart de ogeljkhed) E( f( x)) p ( x)( ax+ b) x E( f( x)) a xpx( x) + b px( x) E( f( x)) ae( x) + b() E( f( x)) T( E( x)) E( f( x)) f( E( x)) De grafek lgt oder de raak lj: vb: Toroo tusse spelers: de beste va herhalge wt (we eerst 6 haalt wt) Het spel wordt afgebroke bj ee stad 5- V raag: hoe de prjs verdele? Atwoord: Kasboom : de stad s 5-, hoe zal het spel verder lope? spel gedaa : speler wt spel gedaa : speler wt spel gedaa : speler wt spel gedaa : speler wt spel gedaa : speler wt P(speler wt) : P(5 6) = = 6 4 3 C 5 P(speler wt) : P ( de) = + + + = 6 4 : Ω μ = E( x) varate : var(x) : ( ) σ = E ( x μ) = Ex ( ) + Ex ( ) 57

Stel: stochast s uform verdeeld over het terval ab, : [, ] U a b b Ex ( ) = a dt a b = b a b a (cotu) = b a a+ b = = Y ( b a ) [ ] S tel: Pos( λ) (dscrete stochast) E( ) = kp k k λ λ ke k! pk ( : defte verwachte waarde) = e k λ λ = (:.p.v. te sommere vaaf gaa we sommere vaaf ) k λ λ λ = ke Formularum : k= kk ( )! k λ λ λ + c+ c +... = = e + c k = ( k )! t t t e = + t+ +... + k λ λ!! = e λ k = ( k )! λ λ = e λe E ( ) = μ = λ k! Egeschappe va de varate (HB p57) : Ω μ = E ( ) σ E x μ E x E var( ) = = ( ) = ( ) ( ( )) Schaalgevoelghed va de varate: a) var( a ) = a var E ( ax aμ) = E( a ( x Ex)) = E( a ( x μ)) = a E(( x μ)) b) Ex+ ( b) = Ex ( ) + b var( + b) = var( ) 58

* k-d e ruwe momet : μ = Ex ( ) Ex ( )... k Ex ( ) E ( x μ)... E ( x μ) k k E( ) : k-de ruwe momet * k-de cetrale momet : E ( x μ) k Ex ( ) E( μ) = E(( x μ)) = μ μ ste cetrale momet s geljk aa : k-de cetrale momet M ometgeererede fuctes (Mgf) Motvate : Ide e Y twee stochastsche varabele zj met dezelfde ruwe momete (k=,,3,4...). Da zj e Y ogeveer geljk. hadmate aa de had va de mometgeererede fucte Motvate : : Ω ω ( ω) : legte ( ω) Ex ( ) = μ : μ s het reëel gemddelde va de hele populate : observates va de stochastsche varabele x +... + x x = verdelg va x? va mometgeererede fucte D efte: ( Ω, GP, ) : Ω : ee stochastsche varabele M : tk e p( k) : dscreet (: defte verwachtgs waarde) t M () ( tx x t = E e ) = tx e p ( x ) dx : cotu Eges chap va motvate : k k d E ( ) = Mx( t) (: k keer aflede) of ( k k E x ) = M ( ) k t dt 59

Bewjs: k t k t M ( t ) = M() + M '() t+ M ''() +... + M () +...! k! tx = Ee ( ) k ( tx) ( tx) = E + tx+ +... + +...! k! k t t k = E() + te ( ) + E ( ) +... + E ( ) +...! k! (: Taylor reeks) Egesc hap: (gee bewjs) éé-éé verbad tusse mometgeererede fucte (Mgf) e de stochastsche varabele: Mometgeererede fuctes: mometum motvate trasformate va ee stochastsche varabele vb. b(, p) : s dscreet (HB p6) M t E e tx () = ( ) = k = tk e pk tk = e k = k pk = k k k p q q= p t k = q k = k ep t M () t = ( pe + q) : het formularum k k k p q Bomum va Newto : k ( a+ b) = k a b k Dus : E ( ) = M' ( t) ( : ste ruwe momet) t t ( ).( = pe + q pe ) = ( p+ q).p ( p+ q= = p wat het zj complmete) E ( ) = M''( t) ( : de ruwe momet) t t t = ( )( pe + q).( pe ) + ( pe + q). pe = ( )p + p t 6

var( ) = E ( ) ( E ( )) = + ( ) p p p = p( p + ) = pq ( : = hoeveel keer het expermet herhaald werd) O efeg : Beroull verdelg b(, p) t ( M () t = ( pe +q) ) Y b( m, p) e Y zj oafhakeljk Te bewjze: + Y? Ituïtef: + Y b( m+, p) je herhaalt keer het Beroull expermet e daara herhaal je m keer ee ader Beroull expermet, oafhakeljk va elkaar. Hulpstellg (bewjs): Zj ( Y, ): Ω ee stochastsche varabele met verdelg Zj e Y oafhakeljk t( x+ y Da M () t = E( e ) ): defte verwachte waarde Dus: + Y M = x y e t( x+ y) p, ( x, y ) Y P Y, tx ty = ee p( xp ) Y( y) Oafhakeljkhed heeft te make x y met de productregel. tx ty = e p( x) e py( y) Aaloog: PA ( B) = PAPB ( ). ( ) x y de A e B oafhakeljk. + Y() t = M (). t M y() t M + Y() t = M(). t MY() t t t = ( pe + q).( pe + q) m t m+ = ( pe + q) : dt s de mometgeererede fucte va e Y We cocludere dat oze tuïteve beaderg correct was: x+ y b( m+, p) () ( t m M t = pe + q ) + + Y 6

Oefeg : Posso verdelg Pos( λ) : aatal telefoo oproepe per uur cetrale Y Pos( μ) : aatal telefoo oproepe per uur cetrale Y λ, μ = verwachte aatal oproepe per uur e Y zj oafhakeljk Vraag: wat s de verdelg: + Y? Ituïtef: + Y Pos ( λ + μ) ste stap: mometgeereerede fucte zoeke va de P osso verdelg: Pos( λ) k λ λ = e : defte dchthed k! xt tk M () t = E( e ) = e pk : defte verwachte waarde k t k tk λ λ λ ( e λ) = e e = e : ze Taylor reeks het formularum k! k! pk k= k= = e e λ ( λ e t ) = e λ+ λet M + Y() t = M(). t MY() t Normale vorm : t t t λ( e ) μ( e ) ( e ) = e. e M () t = e λ t ( )( e = e λ+ μ ) M () t + Y C ocluse: Het tuïteve resultaat was just: + Y Pos( λ + μ) M () t e + Y = t ( λ+ μ)( e ) O efeg : stochastsche vectore va legte (staat et het formularum) ( Y, ): Ω ω ( ω), Y( ω) correlatecoëffcët : Egeschappe: ( ) c ovarate : cov(, ). σ Y = σ Y. cov( x + ay, ) = cov(, Y) 3. c ov( a, by) = abcov(,y) x y = σ = (( )( )) Y E E Y EY = ( x Ex ( ))( y EY ( )) P ( xy, ) σ y x Y Ρ Y = σ σy [,] Y : dt s wel schaalgevoelg : de cotu stochast 6

4. cov( Y, ) = E(( E)( Y EY)) = EY ( EY YE+ ( E)( EY)) = E( Y ) E( EY ) E( YE ) + E(( E )( EY )) = E( Y ) ( EY )( E ) ( E )( EY ) + ( E )( EY ) cov( Y, ) = EY ( ) EEY ( ) ( ) 5. de e Y oafhakeljk zj da s de verwachte waarde va het product geljk aa het product va de verwachte waardes : dt s de productregel. E( Y ) xyp ( x, y) = Y = = Y Y xyp ( x) p ( y) xp ( x) yp ( y) EY ( ) = ExEy ( ). ( ) Y Y Y I de e Y oafhakeljk zj da s er gee verbad tusse de twee e dus s de covarate geljk aa : er s gee verbad tusse de twee: cov( Y, ) = EY ( ) ( E)( EY) = M aar: de redeerg als cov = da zj ze oafhakeljk geldt et. FOUTE redeerg: cov( Y, ) = e Y zj oafhakeljk de cov = da ka je NIET zegge dat ze oafhakeljk zj vb. U{, } (: s uform verdeeld over het terval -,) Y = zj afhakeljk cov( Y, ) = EY ( ) EE ( ) ( Y) =. EY ( ) = : e toch s de cov = p = / Y = p = /. Normale verdelg (HB p67) s ee stochastsche varabele. vb. legte, gewcht, IQ werktjd va ee bepaalde taak opbregst va ee aardappelstruk... = Y+ Y +... + Y (som va ee groot aatal stochastsche varabele) W at hebbe deze stochaste gemeeschappeljk? - tedes aar ee gemddelde - posteve e egateve afwjkge t.o.v. het gemddelde zj eve waarschjljk - weg grote afwjkge t.o.v. het gemddelde 63

x μ σ Dchthedsfucte : x p( x) = e σ π : het formularum p4 T er cotrole: s p ee dchthedsfucte? : de twee codtes: p : OK p = (stellg zoder bewjs) : oppervlakte oder de curve = : OK D efte: Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte Zj Z : Ω ee stochastsche varabele: ee cotue stochast da s Z stadaard ormaal verdeeld : Z N(,) : Z heeft dus ee gemddelde va ( μ = ) e ee varate va ( σ =). de z pz ( Z) = e π H oe maak je gebruk va de ormale verdelg e de tabel?. PZ ( ) =,8 : ze tabel * De tabel geereert bovestaart kase.. P( Z + ) =,587,8 PZ ( ) = PZ ( ) =,587 PZ ( ) =,8 : ze 64

* De ormale verdelg s symmetrsch : PZ ( ) = PZ ( ) de oderstaart kas staat et de tabel maar de bovestaart kas wel. tz M () t = E( e ): stadaard ormale verdelg ( : defte verwachte waarde) Z + I het formularum: M () t = e μ + σ maar we wete dat μ = e σ = dus Normale verdelg : Z = tz e e : de costate mag voor de tegraal π + tz Z Tusse berekeg : = e π Z + tz = ( Z t) + t + ( Z t) + t = e dz π = ( Z tz + t ) + t + ( Z t) t = e. e d π z = Z + tz t + t t + = ( Z t) + t ( ) Z t M (). Z t = e e π d(z-t) M () t = e Z t Z ( μ, σ ) t t Defte : Stadaard ormale verdelg: Z N(,) : Z s ormaal verdeeld met gemddelde = μ = e varate = σ = Z p( Z) = e π M () t = e Z t M () t = e Z t D efte : Wllekeurge ormale verdelg Zj ( Ω, GP, ) ee kasrumte : Ω ee stochastsche varabele Da N( μ, σ ) EZ ( ) = M '( t) = Z ( ) = MZ ''( t) E Z t (verwachte waarde = ) M '( t) = e. t = ( : afgelede va M () t ) Z t t M ''( t) = e. t + e = Z Z 65

x μ de ofwel Z = N(,) σ : de wllekeurge verdelg s hers chaald: we brege x μ op e σ op x μ σ ofwel p ( x) = e : de dchthed va σ π Z j de crtera hetzelfde? geljkaardg? x μ Te bewjze : N(,) (: cotu stochast) σ als e slechts als p ( x) = e σ π x μ σ : je maakt ee fout, maar als h kle s da s het fout ook kle. p ( x ). h= P ( x x+ h ) μ bjvoege: = Px ( μ μ x+ h μ) dele doo r σ : x μ μ x+ h μ = P( ) σ σ σ ( x μ P Z x + h μ = ) σ σ ( x μ P Z x μ = + h ) σ σ σ x μ h = pz. σ σ x μ σ h p ( x). h= e. π σ h weg dele: p ( x) =.. e π σ x μ σ 66

Voor Normale Verdelg : defte mometgeereerede fucte voor het geerere va momete e trasformere va stochaste B ewjs: M () t = E e tx ( ) : eerder al gedaa voor Posso e Beroull, u voor Normale verdelg ( x= σ Z+ μ :) N( μσ, ) ( = E( e t σ Z+ μ) ) x μ E ( e t σ Z. e t μ Z = N(,) = ) σ tμ tσz = σz+ μ: herschale = e E e = M () t = e tμ e MZ ( ) ( σt) ( σ t ) μ t+ tz M () t = E( e ) = e Z t B ewjs: M () t = e μ + σ t t = σ Z+ μ : herschale va de ormale verdelg E ( ) = E( σ Z+ μ) = σ EZ ( ) + E( μ) = μ Dus : μ = μ B ewjs: var = var( σ Z+ μ) ( : costate optelle (de + μ ) heeft gee effect op de spredg) = σ var Z = σ Dus : σ = σ Kjke aar somme va Normale Verdelge aa de had va mometgeereerede fuctes (HB p79) aaloog ze eerder Posso e Beroull N( μ, σ) N( μ, σ ) e zj oafhakeljk V raag: +? Ituïtef : N( μ, ) + μ σ + σ 67

met behulp va de mometgeereerede fucte: t( M + () t = E( e + ) ) (: expoeteel dus somme va producte) t = E e. e t (: e zj oafhakeljk, aders mag deze stap et) ( t ( = E e = M t). M ( t) = = e μ ( t + σ t t + σ t ( + μ t ) t+ ( σ + σ) e μ ) t ) E( e ). e μ ( : defte: ormaal verdeeld t = e μ M Z ( σ t) = e B eslut : + N( μ+ μ, σ + σ) μ+ μ ka je verwachte : E( + ) = E ( ) + E( ) = μ+ μ σ + σ ook : var( + ) = var + var + covar(, ) (: covar(, ) = : de oafhakeljk) Oefege: (op Normale Verdelge) ( HB p74) ( σ t ) μt+ Oefeg : μ Z = N (,) = IQ va 9-jarge σ Verdelg va IQ: N( μ =, σ = ) N( μ =, σ = ) : hetzelfde ) Vraag: Geef het 5 % populate terval rod de gemddelde IQ P( α + α) =,,5 Herschale: - e dele door dus: P( α α ) =,5 σ σ P( α Z α σ σ ) =,5 μ = σ e Z N(,) : omdat we herschaald hebbe aar de stadaard ormaal fucte 68