7.1 Recursieve formules [1]

7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u 4 ) Elke term is 4 groter da de voorafgaade term. u 0 = 8 u 1 = u 0 + 4 (=12) u 2 = u 1 + 4 (=16) u 3 = u 2 + 4 (=20) u 4 = u 3 + 4 (=24) Algemee: u = u -1 + 4 met u 0 = 8 (recursieve formule) Met de GR: 8 ENTER ANS + 4 ENTER ENTER. 1

7.1 Recursieve formules [2] Voorbeeld 1: Gegeve is de getallerij 1, 1, 2, 3, 5, 8, Dit is de rij va Fiboacci. Elke term is de som va de twee voorafgaade terme. Algemee: u = u -1 + u -2 met u 0 = 1 Bereke de 12 de term va deze rij Stap 1: Zet eerst i het MODE meu de optie SEQ aa. Stap 2: Druk op de kop Y= De idelig va het scherm is u aders da ormaal. 2

7.1 Recursieve formules [2] Voorbeeld 1: Bereke de 12 de term va deze rij Stap 3: Vul u het volgede i: Bij Mi 0 Bij u() u(-1) + u(-2) Bij u(mi) {1, 1} Op de GR krijg je: u via de toets 2ND 7 via de toets die je ormaal gebruikt voor de variabele X { via de toets 2ND ( } via de toets 2ND ) Je moet bij u(mi) de eerste twee terme ivulle. Vul eerst de tweede term i e da de eerste. Is maar éé term odig, da hoef je gee { } te gebruike. 3

7.1 Recursieve formules [2] Voorbeeld 1: Bereke de 12 de term va deze rij Stap 4: De uitkomst ku je vide via 2ND GRAPH De 12 de term (u 11 ) heeft de waarde 144. Als je i het ormale scherm u(11) krijg je ook de uitkomst 144. Voorbeeld 2: Vaaf welke term geldt bij de Rij va Fiboacci: u > 100.000? Uit de tabel volgt: u 24 = 75.025 u 25 = 121.393 Vaaf de 26 ste term zij er waarde groter da 100.000. 4

7.1 Recursieve formules [3] Voorbeeld: Op 1 maart zit i ee opslagtak 20.000 liter water. Elke dag wordt 30% va de i de tak aawezige hoeveelheid voor zuiverig overgeheveld aar ee adere tak. Direct daara wordt de eerste tak bijgevuld met 5.000 liter water. De eerste keer gebeurt dat op 2 maart. Stel bij deze situatie de recursieve formule op va de hoeveelheid water (W ) e oderzoek beede welke greswaarde de hoeveelheid water i de tak iet komt. W = 0,7W -1 + 5.000 met W 0 = 20.000 Voer de formule i op de GR zoals je dat bij de Rij va Fiboaci hebt geleerd. Uit de tabel volgt u dat de greswaarde 16.667 m 3 water is. 5

7.2 Directe formules[1] 8, 12, 16, 20, 24, is ee rekekudige rij (rr), wat het verschil tusse twee opeevolgede terme (v) is costat. u 0 (= 8) u 1 = u 0 + v = (8 + 4 = 12) u 2 = u 1 + v = u 0 + v + v = u 0 + 2v = (8 + 2 4 = 16) u 3 = u 2 + v = u 0 + 3v (= 8 + 3 4 = 20) u 4 = u 3 + v = u 0 + 4v (= 8 + 4 4 = 24) Algemee: u = u 0 + v (direct) u = u -1 + v met u 0 = getal (recursief) 6

7.2 Directe formules[1] Voorbeeld 1: 8, 12, 16, 20, 24, De hoeveelste term is 388? Directe formule = 8 + 4 Los op: 8 + 4 = 388 4 = 380 = 95 Dus u 95 = 388, dus de 96 ste term is 388. Let op: De eerste term is u 0 De tweede term is u 1 De 96-ste term is u 95 7

7.2 Directe formules[2] Bij ee recursieve formule ku je ee term allee uitrekee door eerst alle voorgaade terme te berekee. Bij ee directe formule ka dit rechtstreeks. Voorbeeld 1: 8, 12, 16, 20, 24, Recursieve formule: u = u -1 + 4 met u 0 = 8 Directe formule: u = 8 + 4 De egede term (u 8!!!) = 8 + 4 8 = 40 Voorbeeld 2: Bereke de som va de eerste zes terme va de rij met de directe formule u = 8 + 4 Er wordt u dus gevraagd: Bereke u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 5 k0 u k = 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 = 108 5 k0 u k 8

7.2 Directe formules[2] Voorbeeld 2: Tel de eerste 29 terme va de rij u = 8 + 4 op. Som = u 0 + u 1 + u 2 + + u 27 + u 28 = 8 + 12 + 16 + 112 + 116 + 120 Som = 8 + 12 + 16 + + 112 + 116 + 120 Som = 120 + 116 + 112 + + 16 + 12 + 8 --------------------------------------------- ------------------ + 2 som = 128 + 128 + 128 + + 128 + 128 + 128 2 som = 29 128 Som = 0,5 29 128 = 1856 Let op 1: 29 (= 28 + 1) = aatal terme dat je optelt Let op 2: 128 (= 8 + 120 = u 0 + u 28 ) Algemee: Som = 0,5 aatal terme (eerste term + laatste term) Som = 0,5 ( + 1) (u 0 + u ) = 0,5 ( + 1) (u 0 + u ) k0 u k 9

7.2 Directe formules[2] Voorbeeld 1: Gegeve is de rekekudige rij u = 6 + 4 Bereke 15 k0 u k Voor het berekee va de som va de eerste 16 terme gebruike we de formule: = 0,5 ( + 1) (u 0 + u ) 15 k0 u k = 0,5 (15 + 1) (u 0 + u 15 ) = 0,5 16 (4 + 94) = 0,5 16 98 =784 Let op: Als gevraagd wordt om de som va de eerste zestie terme te berekee is dit hetzelfde als 15 k0 u k 10

7.2 Directe formules[3] Gegeve is de rij getalle: 64, 96, 144, 216, 324, Elke term is te vide door de voorgaade term te vermeigvuldige met 1,5 Deze rij heet ee meetkudige rij (mr), omdat elke term ee bepaalde factor [r] groter (of kleier) is da de vorige term. u 0 (= 64) u 1 = u 0 r (= 64 1,5 = 96) u 2 = u 1 r = u 0 r r = u 0 r 2 (= 64 1,5 2 = 144) u 3 = u 2 r = u 0 r 3 (= 64 1,5 3 = 216) u 4 = u 3 r = u 0 r 4 (= 64 1,5 4 = 324) De directe formule wordt u: u = 64 1,5 De recursieve formule wordt u: u = 1,5 u -1 met u 0 = 64 Algemee: u = u 0 r (directe formule) u = r u -1 met u 0 = getal (recursieve formule) 11

7.2 Directe formules[3] Voorbeeld: Va ee meetkudige rij is u 6 = 1.600 e u 11 = 51.200. Stel de directe formule va u op. u 6 r 5 = u 11. Hieruit volgt: r u 51. 200 32 u 1. 600 5 11 6 r 5 = 32 geeft r 5 32 2 De directe formule wordt u: Ivulle va u 6 = 1.600 geeft: u u r u 0 u 2 0 1. 600 u 2 u 0 6 0 6 1. 600 25 2 u 252 12

7.2 Directe formules[4] Bereke de som va de eerste + 1 terme va de meetkudige rij: u = r u -1 som u0 u1 u2... u 1 u r som r ( u0 u1 u2... u 1 u ) r som r u0 r u1 r u2... r u 1 r u r som u u u... u u 1 2 3 1 som u0 u1 u2... u 1 u r som u u u... u u som r som u som(1 r) u0 u 1 u0 u som 1 1r 1 u0u 0r som 1r 1 u0(1 r ) uk 1r k0 1 2 3 1 0 00... 0 0 u 1 13

7.2 Directe formules[4] De som va ee meetkudige rij u met factor r is te berekee met de volgede formule: aatal terme eerste term(1 factor ) som 1 factor 1 u0(1 r ) uk 1r k0 Voorbeeld 1: Gegeve is de meetkudige rij u = 20 1,2 Bereke de k0 u k k0 u k 51 6 20(1 1,2 ) 20(1 1,2 ) 198,60 11,2 11,2 Let op: Als gevraagd wordt om de som va de eerste zes terme te berekee is dit hetzelfde als k0 u k 14

7.2 Directe formules[4] De som va ee meetkudige rij u met factor r is te berekee met de volgede formule: aatal terme eerste term(1 factor ) som 1 factor 1 u0(1 r ) uk 1r k0 Voorbeeld 2: Gegeve is de meetkudige rij u = 20 1,2 Bereke de k0 u k k0 u k u 0 1 1 (1 r ) 20(1 1,2 ) 1r 11,2 1 20(1 1,2 ) 0,2 1 1001001,2 1 1001001,2 1,2 1001201,2 1 100(1 1,2 ) 15

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [1] Voorbeeld: Gegeve is de recursieve formule: u = 0,4u -1 + 140. Dit is ee formule va de vorm u = a u -1 + b Dit is ee differetievergelijkig va de eerste orde. Er is bij deze formule ee lieair verbad tusse u e u -1. Ee dergelijke formule wordt ee lieaire differetievergelijkig geoemd. Als je deze formule ivoert, zoals geleerd i hoofdstuk 7.1 zul je zie dat u op de duur adert tot 233,33. Dit is de greswaarde va deze recursieve formule. 16

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [1] Voorbeeld: Met behulp va de GR kue we ee tijdgrafiek va deze differetievergelijkig make. Op de horizotale -as, staat de tijd. Op de verticale as, de hoeveelheid. Stap 1: Vul de recursieve formule i bij Y = i de GR. Neem als startwaarde: u 0 = 50. Stap 2: Vul i het vester WINDOW het volgede i: Mi = 0 Max = 15 Xmi = 0 Xmax = 15 Ymi = 0 Ymax = 250 17

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [1] Voorbeeld: Met behulp va de GR kue we ee tijdgrafiek va deze differetievergelijkig make. Op de horizotale -as, staat de tijd. Op de verticale as, de hoeveelheid. Stap 3: GRAPH geeft u de tijdgrafiek. 18

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [2] Voorbeeld 1: Gegeve is de differetievergelijkig u = 2u -1 + 1 met u 0 = 1. u 0 =1 u 1 =3 u 2 =7 u 3 =15 u 4 =31 u 5 =63 u 1 = 3 u 2 = 7 u 3 = 15 u 4 = 31 u 5 = 63 u 6 = 127 Je krijgt u de puterij (1, 3) (3, 7) (7, 15) (15, 31) (31, 63) (63, 127) Bij de rij u = 2u -1 + 1 geldt u steeds: u (y-coördiaat) e u -1 (x-coördiaat). De pute uit de tabel ligge dus op de lij y = 2x + 1 19

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [2] Voorbeeld 2: Gegeve is de differetievergelijkig u = 1,5u -1 + 1 met u 0 = 1. De pute va deze differetievergelijkig ligge op de lij y = 1,5x + 1. Hieroder staat hoe je bij ee bepaalde startwaarde u 0, sel de adere pute va de lij kut tekee. 20

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [2] Voorbeeld 2: Gegeve is de differetievergelijkig u = 1,5u -1 + 1 met u 0 = 1. De pute va deze differetievergelijkig ligge op de lij y = 1,5x + 1. Ee adere, eevoudigere maier, is de oderstaade: 21

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [2] Voorbeeld 3: Gegeve is de differetievergelijkig u = 2u -1-1 met u 0 = 1,5. Liks is de webgrafiek va deze differetievergelijkig geteked. 22

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [3] De webgrafiek va de differetievergelijkig u = au -1 + b bevat de lije y = ax + b e y = x. De x-coördiaat va het sijput va deze lije is als volgt te berekee: ax + b = x x-ax = b (1 a)x = b b u = x = (Dit is het dekput va de rij) 1 a Afhakelijk va de startwaarde u0 Krijg je u: - ee costate rij (situatie a); - ee covergerede rij met ee stabiel evewicht (situatie b e c); - ee divergerede rij met ee istabiel evewicht (situatie d). 23

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [3] Voorbeeld: Maak met behulp va de GR ee webgrafiek va de differetievergelijkig: u = -0,6u -1 + 16 met u 0 = 1. Stap 1: Vul de differetievergelijkig i bij Y = Stap 2: Selecteer bij 2ND ZOOM de optie WEB. 24

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [3] Voorbeeld: Maak met behulp va de GR ee webgrafiek va de differetievergelijkig: u = -0,6u -1 + 16 met u 0 = 1. Stap 3: Vul bij WINDOW het volgede i: Stap 4: 2ND TRACE Optie 1: VALUE geeft de twee lije, die bij deze webgrafiek hore. Vul voor het getal 10 i (e herhaal de vierde stap daara voor de getalle 11 e 12). 25

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [3] Voorbeeld: Maak met behulp va de GR ee webgrafiek va de differetievergelijkig: u = -0,6u -1 + 16 met u 0 = 1. Stap 5: Bij de waarde 10 krijg je uitkomste rod de 10. Dit is ook bij 11 e 12 het geval. Hieruit volgt het vermoede, dat er sprake is va ee stabiel evewicht bij 10. Ee berekeig geeft het volgede dekput: b 16 u 10 1a 10,6 26

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [4] Voorbeeld 1: Pieter stort op 1 jauari 2000 ee bedrag va 750 euro op ee spaarrekeig. Elk volged jaar stort hij 500 euro op deze rekeig. Hij krijgt 5% rete per jaar. Het bedrag i euro s dat a jaar op zij rekeig staat is u. u 0 = 750 u 1 = 1,05u 0 + 500 = 1,05 750 + 500 u 2 = 1,05u 1 + 500 = 1,05 (1,05 750 + 500) + 500 = 1,05 2 750 + 1,05 500 + 500 u 3 = 1,05u 2 + 500 = 1,05 (1,05 2 750 + 1,05 500 + 500) + 500 = 1,05 3 750 + 1,05 2 500 + 1,05 500 + 500 = 1,05 3 750 + = 1,05 3 750 + = 1,05 3 750 + 2 k0 5001,05 k 500 1 1,05 3 11,05 500 5001,05 1 1,05 3 27

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [4] Voorbeeld 1: Pieter stort op 1 jauari 2000 ee bedrag va 750 euro op ee spaarrekeig. Elk volged jaar stort hij 500 euro op deze rekeig. Hij krijgt 5% rete per jaar. Het bedrag i euro s dat a jaar op zij rekeig staat is u. u 3 = 1,05u 2 + 500 = 1,05 3 750 + 500 5001,05 1 1,05 3 Algemee geldt u: u = 1,05 750 + 500 5001,05 1 1,05 I dit voorbeeld wordt uitsluited gekeke aar het bedrag dat aa het begi va het jaar op ee spaarrekeig staat. Da is er sprake va ee discreet model. Je kut iet berekee hoeveel er op ee ader tijdstip op deze rekeig staat met dit model. Omdat de tijd ee rol speelt is het ee discreet dyamisch model. 28

7.3 Lieaire differetievergelijkige va de eerste orde [4] Algemee: Gegeve is de differetievergelijkig u = au -1 + b met begiterm u 0 Uit voorbeeld 1 volgt: b ba u u0 a 1 a b ba u u0 a 1a 1a b b u a u0 a 1a 1a u u a u0 a u 29

7.4 Prooi-roofdiermodelle [1] Voorbeeld: Ga uit va ee afgeslote gebied waari 700 prooidiere e 200 roofdiere leve. De diere beïvloede elkaar iet. De populatie prooidiere eemt per maad met 25% toe. De populatie roofdiere eemt per maad met 3% af. P t = P t 1 + P met P = 0,25P t 1 e P 0 = 700. R t = R t 1 + R met R = -0,03R t 1 e R 0 = 200. De groeivoet is bij de prooidiere de factor 0,25 e bij de roofdiere de factor -0,03. Doordat de beide soorte diere elkaar beïvloede, passe we het model aa zodat de groeivoete veradere. P t = P t 1 + P met P = (0,25-0,015R t 1 )P t 1 e P 0 = 700. P t = P t 1 + (0,25-0,015R t 1 )P t 1 = 1,25P t 1-0,015R t 1 P t 1 Naarmate het aatal roofdiere groter wordt zal de groeivoet va de prooidiere kleier worde e op de duur zelfs egatief worde. 30

7.4 Prooi-roofdiermodelle [1] Voorbeeld: R t = R t 1 + R met R = (-0,03 + 0,00004P t 1 )R t 1 e R 0 = 200. R t = R t 1 + (-0,03 + 0,00004P t 1 )R t 1 = 0,97R t 1 + 0,00004P t 1 R t 1 Naarmate het aatal prooidiere groter wordt zal de groeivoet va de roofdiere groter worde e op de duur zelfs positief worde. De prooi-roofdiercyclus is u same te vatte met het volgede stelsel va differetievergelijkige: P t = 1,25P t 1-0,015R t 1 P t 1 R t = 0,97R t 1 + 0,00004P t 1 R t 1 P 0 = 700 e R 0 = 200. Als je het bovestaade stelsel va differetievergelijkig i je GR wilt plotte, moet je bij 2ND ZOOM de optie uv selectere. Noteer P t als u(), R t als v(), Als P + R = 0 is er sprake va ee geslote systeem, waarbij het totaal aatal diere steeds gelijk blijft. 31

7.4 Prooi-roofdiermodelle [2] Voorbeeld: Gegeve is het volgede stelsel va differetievergelijkige: P t = 0,8P t-1 + 0,04S t-1 S t = 0,2P t-1 + 0,96S t-1 Met P 0 = 1,2 e S 0 = 3,9 e t = 0 i 1990. P t = het aatal iwoers i miljoee op het plattelad. S t = het aatal iwoers i miljoe i de stad. Er is sprake va ee geslote systeem. 80% va de mese die i ee bepaald jaar op het plattelad woot, woot daar het volgede jaar og steeds. De overige 20% is verhuisd aar de stad. 96% va de mese die i ee bepaald jaar i de stad woot, woot daar het volgede jaar og steeds. De overige 4% is verhuist aar het plattelad. Er geldt u voor elke t: P t + S t = 5,1 32

7.4 Prooi-roofdiermodelle [2] Voorbeeld: Gegeve is het volgede stelsel va differetievergelijkige: P t = 0,8P t-1 + 0,04S t-1 S t = 0,2P t-1 + 0,96S t-1 Met P 0 = 1,2 e S 0 = 3,9 e t = 0 i 1990. Stel de directe formules va P t e S t op. Stap 1: Schrijf P t als ee recursieve formule: Er geldt u voor elke t: P t + S t = 5,1 (e dus ook P t-1 + S t-1 = 5,1 S t-1 = 5,1 - P t-1 Hierdoor volgt P t = 0,8P t-1 + 0,04S t-1 = 0,8P t-1 + 0,04(5,1 - P t-1 ) = 0,8P t-1 + 0,204 0,04 P t-1 = 0,76P t-1 + 0,204 met a = 0,76 e b = 0,204 33

7.4 Prooi-roofdiermodelle [2] Voorbeeld: Gegeve is het volgede stelsel va differetievergelijkige: P t = 0,8P t-1 + 0,04S t-1 S t = 0,2P t-1 + 0,96S t-1 Met P 0 = 1,2 e S 0 = 3,9 e t = 0 i 1990. Er geldt: P t = 0,76P t-1 + 0,204 met a = 0,76 e b = 0,204 Stap 2: Schrijf P t als ee directe formule: Dit is ee recursieve formule. Deze ka omgeschreve worde aar ee directe formule m.b.v. de regel va pagia 134 va het boek: t b 0,204 Pt P a ( P0 P) met P 0,85 1 a 1 0,76 P t t t t 0,85 0,76 1,20,76 0,85 t P 0,85 0,350,76 34

7.4 Prooi-roofdiermodelle [2] Voorbeeld: Gegeve is het volgede stelsel va differetievergelijkige: P t = 0,8P t-1 + 0,04S t-1 S t = 0,2P t-1 + 0,96S t-1 Met P 0 = 1,2 e S 0 = 3,9 e t = 0 i 1990. Op de duur woe er 0,85 miljoe mese op het plattelad e 5,1 0,85 = 4,25 miljoe i de stad. Stap 3: Stel de directe formule va P t op: Ivulle va P 0,85 0,35 0,76 t t i S t = 5,1 P t geeft: t S 5,1 0,85 0,350,76 4,25 0,350,76 t t 35