Tenamen Fundamenals of Deformaion and Linear Elasiciy (A50) Daum: 3 november 000 Tijd: :00 7:00 uur Plaas: Hal Marixgebouw Di enamen besaa ui vier opgaven. He gebruik van he dicaa, oefeningenbundel en noebook is verboden. Wel oegesaan zijn he uigereike formuleblad en een eenvoudige rekenmachine. Tip: denk aan eenheden. Succes! Opgave In Figuur is een spanningsblokje geekend me spanningsvecoren op de zijvlakken. De ribben van he blokje zijn georiëneerd in de riching van de caresische basisvecoren { e, e, e 3 }. De geallen in de figuur geven de lenge van de spanningsvecoren in MPa. e 3 D C 6 e e A B Figuur : Spanningsblokje, spanningen in MPa a. Bepaal de marixrepresenaie van de Cauchy spanningsensor en opziche van de basis { e, e, e 3 }. σ b. Bepaal de spanningsvecor p op he diagonaalvlak ABCD. c. Bereken de hoofdspanningen (principal sresses) σ, σ, σ 3. d. Bepaal de hoofdspanningsriching (principal sress direcion) bij de groose hoofdspanning. Opgave Ter verificaie van onwerpberekeningen is in een pun P op de aluminium cabinewand van een vlieguig een roze besaande ui drie reksrookjes aangebrach (srain gauges). De reksrookjes maken hoeken van θ () = 5, θ () = 90 en θ (3) = 35 me de basisvecor e x, die in he vlak van de wand lig (zie Figuur ). De me de reksrookjes gemeen normaalrekken (normal srains) bedragen respecievelijk ε nn () = 5.0 0, ε nn () =.5 0 en ε nn (3) = 8.0 0. He maeriaalgedrag van he aluminium is isoroop en lineair elasisch, me elasicieismodulus (Young s modulus) E = 8 GPa en dwarsconracie-coëfficiën (Poisson s raio) ν = 0.35.
3 e y P e x 5 5 Figuur : Vlieguig voorzien van reksrookjes; oriënaie van de reksrookjes op de cabinewand a. Bepaal ui de gemeen normaalrekken de componenen ε xx, ε xy en ε yy van de lineaire rekensor in he pun P. b. He oppervlak waarop de reksrookjes bevesigd zijn kan als vrij beschouwd worden, di wil zeggen da σ xz = σ yz = σ zz = 0, waarbij de z-riching loodrech op de wand is. Bepaal op grond van deze voorwaarden de rekcomponenen ε xz, ε yz en ε zz c. Bereken op basis van de hierboven bepaalde rekken de (3 3) spanningsmarix en opziche van de basis { e x, e y, e z }. Opgave 3 Een vericaal geplaas cilindrisch reacorva word belas door he gewich van enkele apparaen die boven op de reacor bevesigd zijn (zie Figuur 3). De gewichsbelasing veroorzaak een spanning in de reacorwand die in de cilindrische basis { e r, e θ, e z } gegeven is door σ (g) = 35 e z e z MPa Verder leid de inwendige druk p in de reacor o een spanning σ (p), die bij goede benadering gegeven word door de zogenaamde keelformules als (design of hin-walled pressure vessels): σ (p) = pr ( e θ e θ + e z e z ) e z R e r Figuur 3: Reacorva me vericale belasing
waarin p de druk in he va is en de sraal R en dike van de wand respecievelijk R = 800 mm en = mm bedragen. Veiligheidsnormen schrijven voor he wandmaeriaal een oelaabare von Mises spanning voor van σ a = 0 MPa. a. Bereken de von Mises equivalene spanning σ vm (g) in de wand van he va en gevolge van enkel de gewichsbelasing (dus voor p = 0). b. Bereken de von Mises equivalene spanning σ vm (p) als funcie van de druk p voor he geval da de gewichsbelasing buien beschouwing gelaen word (dus voor σ (g) = 0). c. Bereken voor he geval da de gewichsbelasing buien beschouwing word gelaen de maximaal oelaabare druk in he va p (p). d. Bereken de maximaal oelaabare druk p in he va voor de gecombineerde druk- en gewichsbelasing. Opgave He onwerp van een procesechnische insallaie voorzie in de bevesiging van een leiding in een ga in een scheidingswand me behulp van een kunssof afsluiring, zoals gesches in Figuur. De kunssof ring vorm een demonabele klemverbinding ussen wand en leiding en dien bovendien als afdiching. In onvervormde oesand is de binnensraal van de ring gelijk aan de buiensraal van de buis a = 6mm; de buiensraal van de ring bedraag in onvervormde oesand (dus voor monage) b = 8 mm. De sraal c van he e boren ga, en daarmee de buiensraal van de ring na monage, is nader e bepalen. De afsluiring is vervaardigd van een polysyreenschuim da isoroop lineair elasisch veronderseld kan worden, me elasicieismodulus (Young s modulus) E = 7MPa, dwarsconracie-coëfficiën (Poisson s raio) ν = 0.0 en vloeispanning (yield sress) σ Y = 5 MPa. De vervorming van de leiding en de wand kunnen verwaarloosd worden; beide kunnen dus sar veronderseld worden. afsluiring c b a c b a e r e z r Figuur : Afsluiring ussen leiding en scheidingswand Veronderseld word da de kunssof afdiching bij bevesiging in de wand geen axiale vervorming (in de e z -riching) ondergaa, me andere woorden: enkel de radiale verplaasing is relevan. Deze radiale verplaasing u r voldoe aan de volgende differeniaalvergelijking: d u r dr + r du r dr r u r = 0 3
waarin r de coördinaa in e r -riching voorsel. De algemene oplossing van deze differeniaalvergelijking kan geschreven worden als u r (r) = Ar + B r me A en B inegraieconsanen. a. Bepaal aan welke randvoorwaarden de radiale verplaasing u r (r) in de ring moe voldoen. b. Bepaal de inegraieconsanen A en B als funcie van de sralen a, b en c. c. Bepaal de spanningen σ rr (r), σ θθ (r) en σ zz (r) in de ring als funcie van A en B. Me enig rekenwerk kunnen deze spanningscomponenen herschreven worden als b(b c) σ zz (r) = λ b a σ rr (r) = σ zz (r) [ + µ λ [ σ θθ (r) = σ zz (r) + µ λ )] ( + a r )] ( a r me λ en µ de Lamé-consanen. d. Om een goede afdiching e verzekeren dien zowel ussen afdichring en leiding als ussen afdichring en wand een drukspanning e heersen van enminse 5 MPa. Bereken me behulp van bovensaande uidrukkingen de maximale sraal c die he ga mag hebben om aan deze onwerpeis e kunnen voldoen. e. Bepaal voor de hierboven berekende gasraal de maximale schuifspanning in de afdichring. Word volgens he Tresca crierium de elasicieisgrens overschreden?
Uiwerkingen Tenamen Fundamenals of Deformaion and Linear Elasiciy (A50) Daum: 3 november 000 Tijd: :00 7:00 uur Plaas: Hal Marixgebouw Opgave a. De spanningsmarix luid 0 = 6 MPa σ 0 b. De normaalvecor n op ABC D heef componenen ñ = [ 0 ] T De componenen van de spanningsvecor zijn dan = ñ = p σ 0 6 = MPa 0 0 en spanningsvecor is dus p = ( e e + e 3 ) MPa c. De hoofdspanningen volgen ui de eigenwaardevergelijking de (σ σ Ī ) = 0 Uiwerken van de deerminan lever: ofwel ( σ)(6 σ)( σ) 6( σ) 6( σ) = 0 (σ )(σ 0)(σ + ) = 0 Geordend van groo naar klein zijn dus de hoofdspanningen: σ = 0 MPa σ = MPa σ 3 = MPa d. De componenen van de richingsvecor N behorend bij de hoofdspanning σ voldoen aan: (σ σ Ī ) Ñ = 0
Invullen van en σ lever σ 8 0 N 0 N = 0 0 8 N 3 0 waarui volg da N = N N 3 = N Normeren zoda N = lever verder N = 6 zoda de hoofdspanningsriching word N = ( e e + e 3 ) 6 Opgave a. De richingsvecoren bij de drie reksrookjes hebben componenen ñ () = 0 ñ () = ñ (3) = 0 0 0 De normaalrekken in deze richingen worden gegeven door ε nn (i) = ñ(i)t ñ ε (i) (i =,, 3) Uiwerken van deze uidrukking voor ieder van de richingen lever: ε nn () = ε xx + ε xy + ε yy = 5.0 0 ε nn () = ε yy =.5 0 ε nn (3) = ε xx ε xy + ε yy = 8.0 0 waarui opgelos kan worden ε xx = 8.5 0 ε xy =.5 0 ε yy =.5 0 b. De componenen ε xz en ε yz volgen ui de spanning-rekrelaies σ xz = Gγ xz = Gε xz σ yz = Gγ yz = Gε yz Aangezien σ xz = σ yz = 0geld ε xz = 0 ε yz = 0 De normaalcomponen ε zz volg ui de voorwaarde E ( ) σ zz = νεxx + νε yy + ( ν)ε zz = 0 ( + ν)( ν) Aan deze vergelijking is voldaan indien ε zz = ν ( ) εxx + ε yy ν Invullen lever: ε zz = 7.0 0
c. Bekend is da σ xz = σ yz = σ zz = 0; er is hier dus sprake van een vlakspanningsoesand. De overige spanningscomponenen worden dan gegeven door σ xx σ yy = σ xy Invullen lever E ν ν 0 ν 0 0 0 ( ν) ε xx ε yy ε xy σ xx = 93 MPa σ yy = 69 MPa σ xy = 9MPa zoda de spanningsmarix luid: 93 9 0 = 9 69 0 MPa σ 0 0 0 Opgave 3 a. Voor σ = σ (g) lever subsiuie van σ zz = 35 MPa σ rr = σ θθ = σ rθ = σ rz = σ θz = 0 in de uidrukking voor de von Mises spanning σ vm = ( ) (σ rr σ θθ ) + (σ rr σ zz ) + (σ θθ σ zz ) + 3σrθ + 3σ rz + 3σ θz een equivalene spanning van σ (g) vm = 35 MPa b. De spanningscomponenen luiden voor σ = σ (p) σ θθ = pr σ zz = pr σ rr = σ rθ = σ rz = σ θz = 0 Subsiuie in bovensaande uidrukking voor de von Mises spanning lever nu σ vm (p) = pr 3 c. Gelijksellen van de von Mises spanning σ vm (p) aan de oelaabare spanning σ a lever p (p) = 3 R σ a of na invullen van de gegeven waarden p (p) = 3.5bar d. Voor de gecombineerde spanningsoesand σ = σ (g) + σ (p) is σ θθ = pr σ zz = pr + σ (g) zz σ rr = σ rθ = σ rz = σ θz = 0
en dus σ vm = 3 ( ) pr ( + σ (g) zz Gelijksellen aan de oelaabare spanning σ a lever nu p = ( ) σa 3 R σ zz (g) en na invullen p = 3.3bar ) Opgave a. De binnensraal van de ring blijf gelijk en de buiensraal moe afnemen van b naar c, dus: u r (a) = 0 u r (b) = (b c) b. Invullen van de gegeven uidrukking voor de verplaasing u r (r) in bovensaande randvoorwaarden lever u r (a) = Aa + B a = 0 u r (b) = Ab + B b = (b c) Ui deze wee vergelijkingen kunnen de inegraieconsanen A en B worden opgelos, namelijk: b(b c) A = B = a b(b c) b a b a c. De rekken zijn e berekenen ui he gegeven verplaasingsveld als ε rr = u r r = A B r ε θθ = u r r = A + B r ε zz = ε rθ = ε rz = ε θz = 0 Hierui volg me behulp van he spanning-rekverband σ = λr(ε) + µε voor de gevraagde spanningen: σ rr (r) = (λ + µ)a µ B r σ θθ (r) = (λ + µ)a + µ B r σ zz (r) = λa d. De normaalspanning σ rr (r) is maximaal (he mins negaief) voor r = b. De maximale gasraal word dus bepaald door de eis da [ b(b c) σ rr (b) = λ + µ )] ( + a = 5MPa b a λ b Hierui kan worden opgelos b c = mm en dus moe c = 6 mm
e. Aangezien de schuifspanningen σ rθ, σ rz en σ θz nul zijn en voor de normaalspanningen geld da σ zz σ θθ σ rr, worden de hoofdspanningen gegeven door σ = σ zz σ = σ θθ σ 3 = σ rr Hierui volg b(b c) σ σ 3 = µ b a ) ( + a en een maximale schuifspanning (voor r = a) van τ max = (σ b(b c) σ 3 ) = µ b a =.8MPa r Deze waarde is hoger dan σ Y =.5 MPa en dus word he Tresca-crierium overschreden.