Inleiding Oefeningen Anlyse I Wil je de eventuele foutjes melden. Met dnk, Ynnick Meers e-mil: meers@skynet.be Hoofdstuk 5: Integrlen Oefening Gegeven: f is continu op [, b] en f(x) > in [, b] Drnst is nog: T.B.: f = in [, b] b = = Bewijs: S = {x [, b], f(x) > } b [, b]\s = {x [, b] : f(x) = } f(x)dx Als f continu is in x, dn f(x) > in omgeving vn x = S is unie vn open intervllen en geen ftelbre verzmeling! b f = S f + [,b]\s Elke component is hier =, behlve S f >, wnt deze is continu!!! = Deze gelijkheid is enkel mogelijk ls S = φ = f(x) =, x [, b] f Oefening 4 1
Gegeven: f is continu in [, b] T.B.: c [, b] : b f = f(x)(b ) Bewijs: f is continu in [, b] f is primitiveerbr in [, b] F met F (x) = f(x) en b F is fleidbr in [, b] F is continu in [, b] f = F (b) F () Dus: Middelw.Stelling: c ], b[: F (b) F () = F (c)(b ) b f = f(c)(b ) c [, b] : b f = f(c)(b ) Oefening 5 Gegeven: f integreerbr over [, b] T.B.: Als f even: Als f oneven: f = f = f
Bewijs: (i) Als f even : f( x) = f(x) f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx Substitutie: x = u dx = du = f( u)( du) + f(x)dx Terug: u = x du = dx = f(u)du + = f(x)dx f(x)dx (ii) Als f oneven is: f( x) = f(x) f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx Substitutie: x = u dx = du = f(u)( du) + f(x)dx = Oefening 6 Gegeven: f is continu op [ 1, 1] T.B.: f(cos(x))dx = f(sin(x))dx = 1 f(sin(x))dx Bewijs: (i) f(cos(x))dx 3
Substitutie: x = π u dx = du = π f(cos( π u))( du) = f(sin(u))( du) = π f(sin(u))du (ii) 1 π f(sin(x))dx = 1 ( f(sin(x))dx + π f(sin(x))dx) Bij de ltste term substituren we: x = π u dx = du = 1 ( f(sin(x))dx + π f(sin(π u))( du)) = 1 ( f(sin(x))dx + f(sin(u))du) = f(sin(x))dx Oefening 9 Gegeven: 1 x α 1 + x α dx = 1 + x De eerste term: 1 1 x α 1 1 1 + x dx + x α x + 1 dx Voor welke α is deze uitgebreide RI convergent? x α 1 dx α 1 > 1 (1) 1 + x De tweede term: 1 x α dx α > 1 () x + 1 Uit (1) en (): < α < 1 Convergent!!! 4
Oefening 1 Gegeven: 1 (1 x ) 1 (1 x ) 1 3... (1 x ) 1 n dx Voor welke n is de uitgebreide integrl convergent? Deze uitdrukking is gelijk n: = (1 x ) 1 Stel: q = 1 + 1 +... + 1 3 n Dn is deze uitdrukking ook gelijk n: 1 1... 3 n = (1 x ) q f(x) = (1 x ) q is continu in [, 1[, positief teken en: lim x<1,x 1 f(x) = + DUS: lim ((1 x<1,x 1 x)β (1 x ) q ) = lim ((1 x<1,x 1 x)q q (1 + x) q ) = q Dus convergent ls β < 1 of q < 1 Druit: n = en n = 3 Oefening 11 Gegeven: C(x) = 1 π x cos(t) t dt 5
S(x) = 1 π x sin(t) t dt Convergent??? cos(t) t is continu in ], x], mr NIET ltijd positief, en: lim x>,x cos(t) t = + (i) x > π cos(t) x cos(t) dt + dt t π t Voor deze eerste term: t [, π ] cos(t) > Voor de tweede term: Gewoon riemnn-integreerbr, dus convergent. cos(t) lim ((t )β t>,t (t) ) = K Kies: β = 1 K = 1 Convergent ls : β < 1 OK! Opmerking: De volgende wrden zijn ook goed voor β: β =, 3, 4 3 4 5 (ii) x π x cos(t) t dt Hier is: t [,...] met... < π cos(t) > Kies: β = 1 K = 1 Convergent ls: β < 1 OK! cos(t) lim ((t )β ) = K t>,t t 6
Figure 1: Schets Oefening 13 Gegeven: ellips: x + y = 1 drukkrcht: ρ = c.s.d Met: c=soortelijk gewicht, S=oppervlkte, D=Diepte Bereken totle druk op de plt. (i) breedte= dy lengte= Druit: S = x dy = b b y dy (ii) diepte D = hy P = b b c b b y (h y)dy = chπb 7
Oefening 14 Gegeven: f : [, 1] [, 1] { 1 ls x Q en: f(x) = ls x R/Q. is f integreerbr??? f is overl discontinu in [, 1] c [, 1] : f(x) f(c) < ɛ zodr x c < δ(ɛ) f is integreerbr over [, 1] (i) f is begrensd op [, 1] OK (ii) De verzmeling discontinuteitspunten heeft MAAT NUL Deze verzmeling is dus [, 1] niet fleidbr, wnt heeft niet MAAT NUL! Besluit: f is NIET integreerbr! Oefening 16 Gegeven: f : [, 1] [, 1] en: f(x) = { 1 n ls x = 1 n elders. n N Is f integreerbr? f is constnt(= ) in ] 1, 1[ ] 1 3, 1 [... ] 1 k+1, 1 k [... f is uniform continu in ] 1 k+1, 1 k [ f is niet stukgewijs continu in ], 1[ (wnt oneindige priteit!) Voorwrden voor integreerbrheid: (i) (ii) f is begrensd : OK verzmeling discontinuteitspunten = {1, 1, 1,...} N 3 en N is ftelbr = MAAT NUL!!! f is integreerbr over [, 1] 8
Figure : Schets Oefening 1 Gegeven 1: Schijf met mss M en strl R (verwrloosbre dikte! Totle kinetische energie vn de schijf. E kin = 1 M πr ω r πrdr Gegeven : E kin (tot) = R 1 M πr ω r πrdr = 1 4 MR ω Cilinder met mss M, strl R en hoogte H Zie verder voor een schets Terzijde: E kin = 1 mv Met: v = ωr en m = M HπR Totle kinetische energie vn de cilinder? 9
Figure 3: Schets E kin = 1 M HπR ω r πrhdr E kin (tot) = R 1 M HπR ω r πrhdr = 1 4 MR ω Oefening Schetsen op de volgende pgin Gegeven: Kegel met Strl R, hoogte H en mss M Totle kinetische energie vn de kegel. H = h R R r h = H (R r) R 1
V olumecilinder = πr H (R r)dr R E kin = 1 M 1 ω r.v olumecilinder 3 HπR E kin (tot) = R E kin = 1 M 1 ω r.v olumecilinder = 3 3 HπR MR ω 11
Figure 4: Schets Figure 5: Schets 1