Lineaire afbeeldingen

Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn dat de lineaire afbeeldingen Definities 4 Een L-lineaire afbeelding tussen L-vectorruimten V en W is een afbeelding f: V W die voldoet aan [A] f(v + v 2 = f(v + f(v 2 voor alle v,v 2 V ; [A2] f(λv = λf(v voor alle v V en λ L Als V = W dan heet een L-lineaire afbeelding ook wel een (lineaire transformatie of een endomorfisme Als W = L = L (de L-vectorruimte van dimensie dan heet een L-lineaire afbeelding ook wel een lineaire functionaal Opmerkingen 42 Veel belangrijke eigenschappen van L-lineaire afbeeldingen f volgen uit de definities net zo als in het reële geval: (i f(0 = 0; (ii f( v = f(v voor elke v V ; (iii f(v + λ v 2 = f(v + λ f(v 2 voor elke λ L en alle v,v 2, V ; (iv f(λ v + λ v 2 + + λ k v k = λ f(v +λ 2 f(v 2 + + λ k f(v k voor alle natuurlijke getallen k, alle λ i L en alle v i V Het is niet moeilijk in te zien dat (iii en (iv elk equivalent zijn met eigenschap [A] en [A2] samen Dat verklaart de naam lineaire afbeelding Na verloop van tijd laten we de L in L-lineaire afbeelding vaak weg; bedenk wel dat f : V W alleen een lineaire afbeelding kan zijn als V en W vectorruimten over hetzelfde lichaam L zijn Voorbeelden 4 (i De afbeelding 0 : V W die aan alle v V het nulelement 0 W van W toevoegt is altijd een L-lineaire afbeelding als V en W beide L-vectorruimten zijn Dit heet natuurlijk de nulafbeelding (ii De afbeelding id : V W die aan elk element v V zichzelf toevoegt, id(v = v, is een L-lineaire afbeelding als V een lineaire deelruimte van W is, bijvoorbeeld wanneer W = V Dit heet de identieke afbeelding (iii De afbeelding a die aan een polynoom g L[x] zijn afgeleide a(g = g toevoegt, is een L-lineaire afbeelding op L[x], die natuurlijk de afgeleide heet (iv De afbeelding p die aan een polynoom g L[x] zijn primitieve a(g = h = g dx toevoegt met h(0 = 0, is een L-lineaire afbeelding op L[x], die de primitieve heet 7

8 HOOFDSTUK 4 LINEAIRE AFBEELDINGEN (v De afbeelding b(g = v u g(xdx is een R-lineaire functionaal op de vectorruimte van alle continue, reëelwaardige functies op R, voor elk vast paar reële getallen u,v met u < v Zo n functie heet een bepaalde integraal van g Definities 44 Laat f een L-lineaire afbeelding van V naar W De kern van f, notatie Kerf, is de deelverzameling Kerf = {v : v V f(v = 0} van V Het beeld van f, notatie Imf, is de deelverzameling Imf = {f(v : v V } van W Opmerkingen 45 Er bestaat wel eens misverstand over de naam beeld ; het beeld moet niet verward worden met het bereik van de afbeelding, want dat is de vectorruimte W waarheen f afbeeldt Het beeld is een deelverzameling (in feite: deelruimte, zoals we zullen zien van het bereik Het domein van f is de vectorruimte V waarop f gedefinieerd is Stelling 46 De kern Kerf van een lineaire afbeelding f : V W is een lineaire deelruimte van het domein V, en het beeld Imf is een lineaire deelruimte van het bereik W Als bovendien geldt dat V eindig-dimensionaal is, dan zijn ook Kerf en Imf dat, en dan geldt dim Kerf + dim Imf = dim V Bewijs De beweringen over lineaire deelruimten volgen direct uit de definities Als V eindig-dimensionaal is, kunnen we een basis b,b 2,,b n kiezen Omdat elke vector van V een unieke lineaire combinatie van de b i is, is elke vector in Imf een lineaire combinatie van de beelden f(b i : het beeld is opspansel van deze vectoren en dus is de dimensie ten hoogste n Voor de kern is dat ook duidelijk omdat het een deelruimte van V zelf is Als de dimensie van Kerf gelijk aan k is, kunnen we er een basis u,,u k voor kiezen; vul deze basis aan met vectoren v,,v m van V tot een basis u,,u k,v,,v m van V Dan moet k + m = n Vanwege de zojuist gemaakte opmerking wordt Imf opgespannen door de beelden f(u,,f(u k,f(v,,f(v m Maar f(u = = f(u k = 0, dus Imf wordt opgespannen door de beelden f(v,,f(v m Veronderstel nu eens dat µ f(v + + µ m f(v m = 0, oftewel, vanwege lineariteit, f(µ v + + µ m v m = 0, dat wil zeggen, µ v + + µ m v m zit in de kern van f, en is dus uniek te schrijven als λ u + +λ k u k Maar dan is λ u + + λ k u k µ v µ m v m = 0 Dat kan alleen als alle λ i en µ j gelijk aan 0 zijn, want de u i en v j vormen een basis voor V Dus de vectoren f(v,,f(v m zijn lineair onafhankelijk: ze vormen een basis voor Imf Maar dan hebben we k = dim Kerf en m = dimimf, terwijl k + m = n = dim V, hetgeen te bewijzen was Opmerkingen 47 Het is belangrijk vast te stellen dat het beeld van een lineaire afbeelding volledig vastligt door het beeld van de basisvectoren van het domein Definities 48 Een afbeelding h heet injectief (of ook wel als geldt dat h(x h(y als x y (en dus h(x = h(y alleen wanneer x = y De afbeelding heet surjectief (of ook wel op als bij elke z uit het bereik van h er een x in het domein is met h(x = z; het beeld valt dus samen met het bereik Een bijectie is een afbeelding die injectief en surjectief is

9 Een L-isomorfisme (van L-vectorruimten is een L-lineaire afbeelding die tevens bijectie is; als er een isomorfisme tussen V en W bestaat heten ze isomorf: V = W (precieser: L-isomorf, notatie V = L W In het speciale geval dat W = V heet zo n isomorfisme een automorfisme Opmerkingen 49 Onder isomorfismen worden belangrijke lineaire eigenschappen behouden, zoals (onafhankelijkheid Als twee L-vectorruimten dezelfde eindige dimensie n hebben, dan zijn ze daarom isomorf: een isomorfisme wordt gegeven door de elementen van de basis van de één naar die van de ander af te beelden Beide zijn dus isomorf met L n Stelling 4 Laat f : V W een lineaire afbeelding van vectorruimten zijn Dan zijn equivalent: (i f is injectief; (ii Kerf = {0} Is V eindig-dimensionaal, dan zijn deze twee bovendien equivalent met (iii dim Imf = dimv Als, tenslotte, ook nog dimw = dim V, dan zijn deze drie equivalent met (iv f is surjectief; Bewijs Omdat 0 in de kern van elke lineaire afbeelding zit, moet Kerf = {0} als f injectief is Als, omgekeerd, Kerf = {0}, volgt uit f(v = f(v 2, dat 0 = f(v f(v 2 = f(v v 2 en dus v v 2 Kerf = {0}, zodat v = v 2 en f injectief is Als V eindig-dimensionaal is, dan volgt uit Stelling 46 dat dimkerf = 0 dan en slechts dan als dim Imf = dim V In dit geval is Imf een lineaire deelruimte van W van dimensie dim V, en de laatste bewering volgt Matrices Net als in het reële geval kunnen we een L-lineaire afbeelding f : V W tussen eindig-dimensionale L-vectorruimten representeren met behulp van matrices; kiezen we een basis B = b,,b n voor V kiezen en een basis C = c,,c m voor W, dan kunnen we f: V W geven door middel van de matrix m m 2 m n M f = C Mf B = m 2 m 22 m 2n M m n(l, m m m m2 m mn die aangeeft wat het beeld w = f(v als coördinatenvector ten opzichte van de basis C is van een vector v, gegeven als coördinatenvector ten opzichte van de basis B, namelijk m m 2 m n m 2 m 22 m 2n M f (v = m m m m2 m mn v v 2 v n = w w 2 w m = w

20 HOOFDSTUK 4 LINEAIRE AFBEELDINGEN De kolommen van de matrix C Mf B bestaan uit beelden f(b,,f(b n van de basisvectoren, uitgedrukt op de basis C Zoals we eerder zagen wordt het Imf opgespannen door de beeldvectoren f(b i Voorbeeld 4 Dat de kolommen van C Mf B bestaan uit de beelden van de basisvectoren zorgt ervoor dat we in sommige gevallen de matrix van een lineaire afbeelding heel eenvoudig kunnen bepalen Als voorbeeld nemen we de matrix M φ van een rotatie in de R 2 over een hoek φ (met de klok mee ten opzichte van de standaardbasis Het beeld van het punt met coördinaten (, 0 heeft coördinaten (cos φ, sin φ, en het beeld van (0, zal het punt (sin φ,cos φ zijn Vatten we als gebruikelijk de vectoren met deze eindpunten op als kolomvectoren, dan zien we dat ( cos φ sin φ M φ = sin φ cos φ In het algemeen is de matrix M f = C Mf B is sterk afhankelijk van de keuze van de bases B en C Een lineaire afbeelding f van L n naar L m met daarop keuze voor bases B en C bepaalt een unieke matrix C Mf B M m n (L Omgekeerd bepaalt zo n matrix een lineaire afbeelding van L n naar L m bij basiskeuze Het samenstellen van lineaire afbeeldingen h = g f waar f: V W en g: W X, correspondeert met het vermenigvuldigen van de bijbehorende matrices: M h = M g M f, waarbij we dan wel moeten zorgen dat f en g gegeven worden ten opzichte van dezelfde basis C voor W: D M B h = D M C g CM B f Definities 42 Een lineaire afbeelding f van V naar W is inverteerbaar als er een inverse lineaire afbeelding f van W naar V bestaat met de eigenschap dat f f = id V en f f = id W, de identieke afbeeldingen op V en W Opmerkingen 4 Als een lineaire afbeelding inverteerbaar is, dan moet f injectief zijn, en dan is de inverse f uniek bepaald Voor een lineaire afbeelding f : V W tussen eindig-dimensionale vectorruimten van dezelfde dimensie n is inverteerbaarheid van f dan equivalent met de eis dat de vierkante matrix M f inverteerbaar is, dat wil zeggen, er is een vierkante matrix A met dezelfde afmetingen zodat A M f = M f A = I n, de n n eenheidsmatrix Deze inverse A is natuurlijk de matrix M f van de afbeelding f, en er geldt dus dat A = M f = M f Merk nogmaals op dat we eigenlijk moeten schrijven M f = C Mf B, omdat deze van basiskeuzen afhangt, en dat dan M f = B Mf C Laat V nu eindig-dimensionaal met basis B = {b,b 2,,b n } zijn, en f een lineaire transformatie van V die inverteerbaar is Dan geeft f een automorfisme van V, en vormen de beelden {f(b,,f(b n } ook weer een basis van V De matrix B M B f heeft in de i-de kolom de coördinatenvector van het beeld f(b i ten opzichte van de basis B Nemen we als nieuwe basis C voor V de vectoren c i = f(b i, dan kunnen we de matrix met in de i-de kolom de coördinaten van f(b i = c i op basis B natuurlijk ook interpreteren als de matrix van de afbeelding die c i geschreven op basis C stuurt naar c i geschreven op basis B Met andere woorden, B M C id = B M B f

2 Maar dan is de matrix die de b i op basis C schrijft ook gemakkelijk te vinden: C Mid B = (B Mid C ( = B Mf B De matrices B Mid C en C Mid B zijn van groot belang; ze geven coördinatentransformaties Als een vector v gegeven is op basis B, dan is C Mid B (v dezelfde vector maar dan uitgeschreven op de basis C Meestal is de matrix B Mid C gemakkelijk te vinden (omdat de kolommen de coördinaten van de nieuwe basisvectoren op de oorspronkelijke basis B zijn terwijl je de inverse matrix C Mid B wilt gebruiken om een vector op de nieuwe basis te schrijven Voorbeeld 44 We bekijken een eenvoudig voorbeeld in R Laat B een gekozen basis zijn (bijvoorbeeld de standaardbasis ten opzichte waarvan de vector v gegeven is: 5 v = 2 Gevraagd wordt om de vector v uit te drukken op een nieuwe basis C, als bijvoorbeeld 2 C = 0,, 0 0 Merk op dat we de vectoren c i hier in coördinaten ten opzichte van B gegeven hebben! Omdat de vectoren c,c 2,c een mooie diagonaalvorm hebben, kun je het juiste antwoord direct aflezen: v = c c 2 4c, dus v = 4 In het algemeen is dat niet zo eenvoudig, maar volgt het antwoord uit B C M B id (v = (B M C id (v, waar B Mid C als kolommen c,c 2,c op basis B heeft Hier dus: 2 5 2 5 0 2 = 0 2 = 0 0 0 0 hetgeen overeenkomt met wat we al zagen Laat Φ nu de matrix B Mid C zijn Dan zijn we in staat om van een lineaire transformatie g van V gegeven ten opzichte van de basis B, ook de matrix van g ten opzichte van de nieuwe basis C te bepalen Immers, om g ten opzichte van C te bepalen kunnen we eerst vectoren herschrijven van C naar B, dan de g ten opzichte van B nemen en tenslotte weer teruggaan naar de basis C Dus: C M C g = Φ BM B g Φ Matrices A,B M n n (L waarvoor een inverteerbare C M n n (L bestaat zodat A = C B C heten geconjugeerd (met elkaar, in M n n (L Een belangrijk thema in volgende hoofdstukken zal zijn om een met A geconjugeerde matrix te vinden die prettigere eigenschappen heeft dan A zelf, met andere woorden, om door overgang op een andere basis een mooiere matrix voor een gegeven afbeelding te vinden C 4,

22 HOOFDSTUK 4 LINEAIRE AFBEELDINGEN Voorbeeld 45 We geven een toepassing in V = R 2, namelijk om de matrix M l te bepalen, ten opzichte van de standaardbasis, van de lineaire afbeelding l die een gegeven vector spiegelt in de lijn y = x We maken hier gebruik van de keuzemogelijkheid van een basis, en wel om een basis te kiezen ten opzichte waarvan de matrix eenvoudig op te schrijven valt Daarna doen we een coördinatentransformatie om terug te gaan naar de standaardbasis Laat de speciale basis B = {b,b 2 } voor R 2 zo zijn dat de eerste basisvector b op l ligt, en de tweede er loodrecht op staat Dus, bijvoorbeeld, b = (, b 2 = ( De matrix B M B l voor spiegeling in de lijn y = x ten opzichte van de basis B voor R 2 is eenvoudig, immers het beeld van b (die op l ligt is b zelf, en van b 2 (die loodrecht op l staat wordt het spiegelbeeld b 2 ; met andere woorden: Volgens het bovenstaande is B M B l = ( 0 0 E M E l = Φ BM B l Φ, waar Φ = B Mid E aangeeft hoe e i in B uit te drukken Nu is ( e = = ( + ( = 0 b + b 2, dus zodat e 2 = ( 0 = E M E l = ( B M E ( + ( id = Φ = ( E M B id = Φ = ( 0 0 ( ( = b + b 2,,, = ( 8 6 In dit geval was het gemakkelijk om Φ op te schrijven, en moesten we moeite doen om Φ te vinden 6 8