Inverse functies en limieten

Inverse functies en limieten

Inverse functies We nemen aan dat A en B deelverzamelingen zijn van R. Een functie f : A B heet één-één duidig of injectief als f (x 1 ) f (x 2 ) voor alle x 1 x 2, x 1, x 2 A Een functie f : A B heet op of surjectief als B het bereik van f is. Dat wil zeggen: als y B dan is er minstens één x A zodat f (x) = y. Een functie die zowel injectief als surjectief is heet bijectief. 16 september 2013 1

Horizontale lijntest Een functie is injectief als als elke horizontale lijn haar grafiek ten hoogste één keer snijdt. Als f : A B een bijectieve functie is dan bestaat er een functie g : B A met de eigenschap dat f (x) = y g(y) = x. Notatie De functie g wordt de inverse van f genoemd en genoteerd als f 1. Dus f (x) = y f 1 (y) = x. 16 september 2013 2

f y = x De grafiek van f 1 De grafiek van f 1 wordt verkregen uit de grafiek van f door deze te spiegelen in de lijn y = x. O f 1 16 september 2013 3

f : R [0, ) wordt gegeven door f (x) = a x. Hierbij is a > 0. Notatie f (x) = a x f 1 wordt genoteerd als log a. Is a = e dan wordt log a y = x meestal genoteerd als ln. O f 1 Er geldt: y = a x x = log a y en dus log a a x = x voor x R en a log a x = x voor x > 0. En in het bijzonder: ln e x = x voor x R en e ln x = x voor x > 0. 16 september 2013 4

Eigenschappen van logaritmische functies Laat a R + en laat r R. log a (x y) = log a (x) + log a (y) voor alle x, y R +. ( ) x log a = log y a (x) log a (y) voor alle x, y R +, log a (x r ) = r log a (x) voor alle x R +, En dus ook: ln(x y) = ln(x) + ln(y) voor alle x, y R +, ( ) x ln = ln(x) ln(y) voor alle x, y R +, y ln(x r ) = r ln(x) voor alle x R +, 16 september 2013 5

log a (x) = ln x ln a voor alle x R+. 16 september 2013 6

y = x f f 1 De inverse van de sinus f (x) = sin(x) voor π 2 x π 2 f 1 wordt genoteerd als arcsin dus f 1 (x) = arcsin x voor 1 x 1. 16 september 2013 7

f 1 y = x De inverse van de cosinus f (x) = cos(x) voor 0 x π f 1 wordt genoteerd als arccos dus f 1 (x) = arccos x voor 1 x 1. f 16 september 2013 8

y = x De inverse van de tangens f 1 f (x) = tan(x) voor π 2 < x < π 2 f 1 wordt genoteerd als arctan dus f 1 (x) = arctan x voor x R. f 16 september 2013 9

Limieten De limiet voor x nadert naar a van f (x) is L wordt genoteerd als lim x a f (x) = L. Maar wat betekent dit eigenlijk? De functie f is gedefinieerd op een open interval rond a met uitzondering van eventueel het punt a zelf. (We kunnen aannemen dat dit interval symmetrisch is.) En verder moet voor alle x met een kleine afstand tot a (x a) gelden dat de afstand van f (x) tot L klein is. 16 september 2013 10

Wat betekent het nu dat voor alle x met een kleine afstand tot a (x a) geldt dat de afstand van f (x) tot L klein is? Definitie Voor alle x met 0 < x a klein is f (x) L klein. De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan. Een functie f heet continu in a als lim x a f (x) niet alleen bestaat maar bovendien gelijk is aan f (a). 16 september 2013 11

Eigenschappen Laat lim x a f (x) = L en lim x a g(x) = M, c R. Dan geldt 1. lim f (x) + g(x) = lim f (x) + lim g(x) = L + M. x a x a x a 2. lim c f (x) = c lim f (x) = c L. x a x a 3. lim f (x) g(x) = lim f (x) lim g(x) = L M. x a x a x a f (x) lim f (x) 4. lim x a g(x) = x a lim g(x) = L mits M 0. M x a 16 september 2013 12

Limieten en Continuïteit

Definitie Een functie f heet continu in a als lim x a f (x) niet alleen bestaat maar bovendien gelijk is aan f (a). Gevolg van de limieteigenschappen Als de functies f en g continu zijn in a en c R dan zijn de functies f + g, cf, f g ook continu in a. Is bovendien g(a) 0 dan is de functie f g ook continu in a. 19 september 2013 1

Definitie Als f : B R een surjectieve functie is en g : A B dan heet de functie h : A R die geggeven wordt door h(x) = f (g(x)) de samenstelling van de functies g en f. Notatie f g Dus (f g)(x) = f (g(x)) voor x A 19 september 2013 2

De volgende stelling wordt al snel gebruikt bij het berekenen van limieten. Stelling Als lim g(x) = b en f is continu in b dan x a (f g)(x) = f ( lim g(x)) = f (b). lim x a x a Hieruit volgt dat als g continu is in a en f is continu in g(a) dan is f g continu in a. lim (f g)(x) = f ( lim g(x)) = f (g(a)) = (f g)(a). x a x a 19 september 2013 3

De limiet voor x nadert van rechts naar a van f (x) is L wordt genoteerd als lim f (x) = L. x a + Maar wat betekent dit eigenlijk? De functie f is gedefinieerd op een (open) interval rechts van a met uitzondering van eventueel het punt a zelf. En verder moet alle x met een kleine afstand tot a (x > a) gelden dat de afstand van f (x) tot L klein is. 19 september 2013 4

Wat betekent het nu dat voor alle x met een kleine afstand tot a (x > a) geldt dat de afstand van f (x) tot L klein is? Voor alle x met 0 < x a klein is f (x) L klein. De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan. Definitie Een functie f heet rechtscontinu in a als lim f (x) niet alleen x a + bestaat maar bovendien gelijk is aan f (a). 19 september 2013 5

Het zal duidelijk zijn dat op analoge wijze de linkerlimiet kan worden gedefinieerd. Ook kan op analoge wijze een linkscontinue functie worden gedefinieerd. Er geldt: lim f (x) = L en lim x a + lim f (x) = L x a en natuurlijk ook: f (x) = L dan en slechts dan als x a Een functie f is rechtscontinu in a en linkscontinu in a dan en slechts dan als f is continu in a. 19 september 2013 6

Andere notaties lim x a f (x) wordt ook genoteerd als lim f (x) en + x a lim f (x) wordt ook genoteerd als lim f (x). x a x a 19 september 2013 7

De insluitstelling Laat I een open interval zijn en laten de functies f, g en h gedefinieerd zijn op I \{a}. Laat verder g(x) f (x) h(x) voor x I \{a} en lim g(x) = lim h(x) = L. x a x a Dan geldt lim x a f (x) = L. Toepassing sin x lim = 1 x 0 x 19 september 2013 8

Definitie Een functie f : A R heet continu op A als f continu is in elk inwendig punt van A en rechts-en linkscontinu in de eventuele randpunten van A. 19 september 2013 9

Definitie Een functie f : A R heet continu op A als f continu is in elk inwendig punt van A en rechts-en linkscontinu in de eventuele randpunten van A. Alle machtsfuncties, polynomiale functies, rationale functies, trigoniometrische functies, exponentiële functies en hun eventuele inverse functies zijn continu op hun domein. 19 september 2013 9

Als f een continue functie is op haar domein dan kan de grafiek van f worden getekend zonder de pen van het papier te halen. 19 september 2013 10

Tussenwaardestelling Als f : [a, b] R continu is op haar domein en f (a) f (b), f min = min{f (a), f (b)} en f max = max{f (a), f (b)}, dan bestaat er bij elke f min < d < f max een c (a, b) zodat f (c) = d. 19 september 2013 11

De limiet voor x nadert naar van f (x) is L wordt genoteerd als lim f (x) = L. x Maar wat betekent dit eigenlijk? De functie f is gedefinieerd op (a, ) voor zeker a R En verder moet gelden dat hoe groter x des te kleiner is de afstand van f (x) tot L. 19 september 2013 12

Wat betekent het dat hoe groter x des te kleiner is de afstand van f (x) tot L? Voor alle x met x groot is f (x) L klein. De wiskundige definitie van limiet is een nog betere beschrijving hiervan. Analoog kan natuurlijk lim f (x) = L worden gedefinieerd. x We noemen de lijn met als vergelijking y = L een horizontale asymptoot van de grafiek van f. 19 september 2013 13

Bij het onderzoek of de grafiek van een functie f een horizontale asymptoot heeft wordt vaak gebruik gemaakt van de limieten 1 lim x x r = 0 waarbij r > 0. 1 lim x x r = 0 19 september 2013 14

7^ O 11- \ opp^c ^^o ab) ^-t l i DB 1 ^ l DB \, 1 1- " 2_Tr ^. 'SiA^-^^ C lc)

1 ^ * L 6^ - ^