Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint. Oefeningen met de definitie Oefeningen met de rekenregels en de definitie Oefeningen met vergelijkingen met logaritmen Bij vergelijkingen met logaritmen hou je rekening met het feit dat onder de logaritme geen negatieve getallen kunnen voorkomen. Het grondtal van de logaritme is verder altijd positief en ongelijk. oefening Los de volgende vergelijking op en gebruik de rekenregels voor logaritmen: Clog 4 x =0 Clog 4 x =0
Met de definitie log 4 x = K x =4 K = 4 x = 6 oefening Los de volgende vergelijking op en gebruik de rekenregels voor machten en de definitie van de logaritme. log x 8 = Met hele kleine stapjes wordt de formule steeds anders geschreven met gebruikmaking van de rekenregels van machten en logaritmen. log x 8 = Met de definitie van de logaritme x = 8 Met de rekenregels van machten x = 8 Met de rekenregels van machten 8= x = Met de rekenregels van machten =K
x = K Vervolgens links en rechts tot de macht x K = x K = Met de rekenregels van machten kom je dan tot K x = x = Of ook wel als volgt geschreven als je teller en noemer met vermenigvuldigt. x = oefening log 9 x = K Met de definitie: log 9 x = K K x =9
x = 9 x = oefening 4 ln 4 x Cln x =ln 5 Met de definitie: ln 4 x Cln x =ln 5 Neem de ln links van het =-teken bijelkaar met de rekenregels: Links en rechts de ln weglaten: Links en rechts door 4 delen ln 4 x =ln 5 4 x =5 x = 5 4 Links en rechts tot de macht. x = 5 (of x = K 5 ) (De negatieve waarde KAN NIET, want dan kan de opgave niet. Immers onder de log kan geen negatief getal komen te staan) Oefening 5 ln 4 x Cln x =5 Je kunt de die ervoor staat met de rekenregels binnen de logaritme brengen zodat 4
het wordt: ln 4 x Cln x =5 Neem de logaritmen links van het =-teken bijelkaar met de rekenregels: Rechts staat er eigenlijk 5 ln e ln 6 x =5 ln 6 x =5 ln e ln 6 x =ln e 5 Links en rechts delogaritme weglaten: Links en rechts delen door 4 6 x =e 5 x = e5 6 Dit kun je ook op de rekenmachine uitrekenen. x = e5 6 = 9.758444 x = e 5 6 = 9.758444 =.0 oefening 6 log x K Clog x C =log Klog aanwijzing neem links en rechts van het =-teken de logaritmen bij elkaar. 5
log x K Clog x C =log Klog Links en rechts de logaritmen bijelkaar met de rekenregels van de logaritmen. Vereenvoudigen log x K x C =log log x K x C =log 4 Links en rechts de logaritme weglaten: x K x C =4 Haakjes wegwerken en alles naar één kant 6 x Cx K=4 6 x Cx K5=0 Met de abc-formule de vergelijking oplossen. x = 5 6, x = K Maar CONTROLEER de antwoorden want de logaritme kan alleen van positieve getallen genomen worden. Dus de is alleen x = 5 6. oefening 7 log K x Klog Kx = Tip Schrijf aan de rechterkant van het =-teken in plaats van dus nu log zodat 6
overal logaritmen staan met hetzelfde grondtal. Neem daarna links de logaritmen bijelkaar en werk de rechts nog in de logaritme. Oplossing log K x Klog Verwerk bovenstaande tip: log K x Klog Kx = Kx = log Herleid links en rechts van het =-teken tot één logaritme met hetzelfde grondtal. Vereenvoudigen log K x Kx =log log K x Kx =log 4 Links en rechts de logaritme weghalen Kruislings vermenigvuldigen K x Kx = 4 Haakjes wegwerken 4 K x = Kx 8 K x =Kx De x naar de linkerkant brengen en de lineaire vergelijking oplossen 7 K x =0 x =7 x = 7 7
CONTROLEER de in de opgave om er zeker van te zijn dat deze voldoet in verband met negatieve getallen onder de logaritme. oefening 8 log K a Clog Ka =4 Tip Maak eerst de logaritmen gelijk aan elkaar, dus kies hetzelfde grondtal, zodat de logaritmen bijelkaar genomen kunnen worden. Oplossing log K a Clog Ka =4 Eerst overal grondtal 4 van maken. Bovendien kun je rechts ook logaritmen maken in de vergelijking. Immers log is toch gelijk aan. log K a Clog Ka =4 log log Vereenvoudigen met log = K Klog K a Clog Ka =log 4 Logaritmen links samennemen: log Ka K a =log 6 Nu kan links en rechts de logaritme weg. Ka K a =6 Lnks en rechts met K a vermenigvuldigen: Ka =6 K a Haakjes wegwerken: 8
Ka =K48 a Alles met a naar links: 47 a = a = 47 Checken van het antwoord levert dat deze waarde geen negatieve logaritmen levert in de opgave. oefening 9 Tip log a C =Clog Maak overal de -log van. Dus =log. a K4 Oplossing log a C =Clog Maak overal de -log van. Dus =log. a K4 log a C =log Clog Neem rechts de logaritmen bijelkaar. Vereenvoudigen: log a C =log Links en rechts de logaritme weglaten: a K4 log a C =log a K4 a K4 a C=a K4 Alle termen naar één kant brengen. Het is een kwadratische vergelijking. a K a K5=0 Met de a,b,c-formule of kwadraatafsplitsen geeft: a =K 6 of a =C 6 Checken of in de opgave niet de logaritmen van negatieve getallen komen en dan blijkt dat alleen a =C 6 mogelijk is. Dus a =C 6 9