Polnomen Polnomen Funties als 4 en + 1 zijn vooreelden van een grote klasse van veelvoorkomende funties: de polnomen of veeltermfunties. Wij zullen steeds de term polnomen geruiken. Een van de redenen voor het feit dat ze veel voorkomen, is dat ij het erekenen van een funtiewaarde alleen de elementaire rekenkundige ewerkingen optreden: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen (mahtsverheffen als herhaald vermenigvuldigen) en we geen geruik maken van delen. Polnoom De algemene vorm van een polnoom is: f() = a 0 + a 1 +... + a n 1 n 1 + a n n met a n 0, n N Graad Coëffiiënt Identieke funtie Constante funtie De eponent n van de hoogste maht van heet de graad van de polnoom; de getallen a 0, a 1,..., a n heten de oëffiiënten. De lineaire en kwadratishe funties (zoals 4, + 1) zijn polnomen van graad n met respetievelijk n = 1 en n =. De eenvoudigste polnoom van de eerste graad,, heet de identieke funtie. Constante funties, ( 0), heen graad 0. Constante funtie Parameter Grafiek In de volgende deelparagrafen zetten we de elangrijkste eigenshappen van onstante, lineaire en kwadratishe funties ij elkaar. 1 Constante funties Bij deze funtie is de uitvoer, ongeaht de invoer. De grafiek is een horizontale lijn, die de -as snijdt in. De onstante funties vormen tezamen een verzameling funties: voor elke is er preies één zo n funtie. Men noemt in dit verand de parameter van die verzameling. De keuze van de parameter epaalt welke funtie men uit de verzameling eshouwt. FIGUUR 1 De funtie Lineaire of eerstegraadsfuntie Lineaire funties a + met a 0 Hier is een klasse van funties gedefinieerd, één voor elke a, R. Deze a en zijn weer parameters. 1
Polnomen Identieke funtie Voor a = 1 en = 0 krijgen we de funtie. Deze funtie heet de identieke funtie. In het algemeen is de grafiek een rehte lijn met rihtingsoëffiiënt a, die de -as in snijdt en de -as in /a. De rihtingsoëffiiënt is de verhouding tussen een vertiale en een horizontale verandering: a = /. Deze verhouding is dus onstant. Voor a > 0 is een lineaire funtie monotoon stijgend op R; voor a < 0 is een lineaire funtie monotoon dalend op R. Grafiek /a Kwadratishe of tweedegraadsfuntie Paraool Disriminant a-formule FIGUUR De funtie a + met a 0 Kwadratishe funties a + + met a 0 Hier is weer een klasse van funties gedefinieerd: één funtie voor elke waarde van de parameters a, en. De grafiek is een paraool, voor a > 0 een dalparaool, voor a < 0 een ergparaool. De paraool is een smmetrishe figuur, waarvan de smmetrieas ligt ij = /. De grafiek snijdt de -as ij. Er zijn alleen snijpunten met de -as in het geval 0. De uitdrukking heet de disriminant. De snijpunten worden gevonden door de vergelijking a + + = 0 op te lossen. Als 0, dan zijn volgens de a-formule de oplossingen + = en = Als > 0, dan zijn er twee vershillende snijpunten met de -as. Als = 0, dan zijn er twee samenvallende snijpunten. Als < 0, dan is er geen snijpunt. Grafiek a > 0 a < 0 FIGUUR De funtie a + + met a 0
Polnomen VOORBEELD De funtie f() = + 5 heeft als grafiek een dalparaool, want de oëffiiënt voor de kwadratishe term is negatief. De smmetrieas heeft vergelijking = 5/( 6), dus = 5/6. De oplossingen van de vergelijking + 5 = 0 zijn volgens de a-formule: 5+ 5 4 ( ) ( ) = ( ) 5 5 4 ( ) ( ) = en = ( ) = 1 De snijpunten van de grafiek met de -as zijn dus de punten (, 0) en (1, 0). OPGAVE 1 Geef het funtievoorshrift van de lineaire funtie waarvan de grafiek de punten (a, ) en (, d) evat. OPGAVE Het volgende verand tussen de variaelen en is gegeven: + =1 p q Hierij zijn p en q ongelijk 0. a Hershrijf dit verand in de vorm =... Bepaal de snijpunten van de grafiek met de -as en de -as. OPGAVE Gegeven de funtie f() =. a Herleid dit funtievoorshrift tot de vorm f() = a( p) + q. De grafiek van f wordt gespiegeld in de -as. Geef het funtievoorshrift dat ij de gespiegelde grafiek hoort. OPGAVE 4 Gegeven de funtie f() = + p + 1. Voor welke waarden van p snijdt de grafiek van f de -as? OPGAVE 5 Gegeven de funtie f() = a + + met a 0. Een ander funtievoorshrift voor deze funtie is f() = a( p) + q. a Druk p en q uit in a, en. We geven de disriminant aan met D =. Veronderstel D 0. In dit geval heeft deze funtie ook het voorshrift f() = a( s)( t). Druk s en t uit in a, en.
Polnomen T E R U G K O P P E L I N G Uitwerking van de opgaven 1 De grafiek van de lineaire funtie = p + q moet de punten (a, ) en (, d) evatten. Er moet dus gelden: = pa + q d = p + q Aftrekken van eide vergelijkingen levert ( d) = p(a ), dus d p = a Invullen in de eerste vergelijking geeft a ( ) ( da ) ad q = pa = = a a Het volledige funtievoorshrift wordt dan d a ad = + a a Eerst links en rehts met pq vermenigvuldigen: q + p = pq. Dus: p = q + pq of = (q/p) + q. Snijpunten zijn (p, 0) en (0, q). a Via kwadraatafsplitsen: = + 1 1 = ( 1) 1. De smmetrieas ligt ij = 1, de top in (1, 1). Na spiegelen in de -as ligt de smmetrieas nog steeds ij = 1 en is de top in (1, 1). De gespiegelde funtie is f s () = ( 1) + 1. 4 Laat D de disriminant zijn, dan snijdt de grafiek alleen de -as als D 0. Uit D 0 volgt p 4 0, dus p of p. 5 a Uit f() = a + + volgt f a a a ( ) = + + = + a 4a = a + dus p = en q = 4a. 4a + 4
Polnomen Uit f() = 0 volgen s en t (omdat s en t de nulpunten van f() zijn). In de volgende uitwerking geruiken we de notatie voor het feit dat de oplossingsverzamelingen hetzelfde lijven (zie eventueel paragraaf 10). f( ) = 0 a + = + = ± 4a ± = We geruiken deze nulpunten om het funtievoorshrift van f te ontinden in: a a f( ) a + 4 = 4 a + D D Dus: s = en t =. 5