H1 Haakjes wegwerken, ontbinden in factoren

Transcriptie

1 H1 Haakjes wegwerken, ontinden in factoren 1.1 Haakjes wegwerken In wiskundige uitdrukkingen komen vaak haakjes voor. In deze paragraaf komen de rekenregels aan de orde met etrekking tot het wegwerken van haakjes ij vermenigvuldigingen. Regel 1: a ( + c) = a + a c 1a. ( ) y = 1+ 4y 1. 5 ( + 3y) a. ( ) a 4 y = 4a a y Dit antwoord wordt meestal geschreven als: 4a ay. p ( 3 y) 3a. ( ) 6 3 y + 5 z = 18 1 y + 30 z 3. 3( + 4y 8z) 4a. ( ) 3+ 5 = y( 5y 3) Regel : ( a+ ) ( c+ d) = ac + ad + c + d 1a. ( ) ( ) = = ( + 5) ( + 3) a. ( y) ( + y) = + y y y = y y Dit antwoord wordt meestal geschreven als:. ( + y) ( 3 4y) y y 1

2 1. Merkwaardige producten Het uitwerken van haakjes kan in sommige gevallen worden versneld door geruik te maken van de volgende merkwaardige producten. Merkwaardig product 1: ( a+ ) ( a ) = a Verantwoording van deze algemene regel: ( a + ) ( a ) = a a + a = a 1a. ( ) ( ) = 4 = ( y + 3) ( y 3) a. ( ) ( ) ( ) ( ) + 5y 5y = 5y = 4 5y. ( 4a 7) ( 4a + 7) Merkwaardig product : ( ) a+ = a + a + Verantwoording van deze algemene regel: ( ) ( ) ( ) a+ = a+ a+ = a + a + a + = a + a = = a. ( ) 1. ( y + 3) a. ( ) ( ) ( ) a+ 5 = a + a 5+ 5 = 4a + 0a + 5. ( ) 3 + y

3 Merkwaardig product 3: ( ) a = a a + Verantwoording van deze algemene regel: ( ) ( ) ( ) a = a a = a a a + = a a + 1 = 1+ 1 = + 1 1a. ( ) 1. ( y 6) 5p q = 5p 5p q+ q = 5p 0p q+ 4q a. ( ) ( ) ( ) 4 3y. ( ) 3

4 1.3 Ontinden in factoren Het omgekeerde van haakjes wegwerken noemen we ontinden in factoren. Hierij wordt een wiskundige uitdrukking, waarin geen haakjes staan, omgezet in een uitdrukking met haakjes. De volgende regels zijn daarij ehulpzaam. Regel 1: a + ac = a ( + c) De termen a en a c evatten eiden dezelfde factor a. Door deze factor a uiten haken te halen wordt de vorm a + ac ontonden in factoren. In feite is deze regel het omgekeerde van regel 1 uit paragraaf a y = 5 ( + y) 1. 6a+ 6 a. 15 p 3q = 3 ( 5 p q) y 3a. a+ ay 5a= a( + y 5) y 15 4a. + = ( + ) 4. y 3 y 4

5 Regel : ( ) ( ) a = a+ a Met deze regel kan het verschil van twee kwadraten worden ontonden in factoren. In feite is deze regel het omgekeerde van het merkwaardig product 1 uit paragraaf 1.. 1a. 5 = 5 = ( + 5) ( 5) 1. y 36 a. 4a 49= ( a) 7 = ( a+ 7) ( a 7)

6 Regel 3: ( ) ( ) + + c= + p + q Met deze regel kan de kwadratische vorm + + c worden ontonden in factoren. Hiervoor zoeken we onekende (gehele) getallen p en q, waarvoor geldt: de som van p en q is gelijk aan, het product van p en q is gelijk aan c. Voor de onekende getallen p en q geldt dus: p + q= p q = c De verantwoording van deze regel krijgen we als we de haakjes in regel 3 wegwerken: ( ) ( ) ( ) Zodat: + + c= + ( p+ q) + p q + p + q = + q + p + p q= + p+ q + p q Hieruit kunnen we concluderen, dat p + q overeenkomt met, en dat p q overeenkomt met c. Opmerking: De methodiek van regel 3 is niet altijd mogelijk (zie vooreeld 3)!! 1a. Ontind in factoren: Voor het ontinden van deze vorm in factoren zoeken we dus gehele getallen p en q waarvoor geldt: de som p + q is gelijk aan 5, het product p q is gelijk aan 6. Bij het zoeken naar deze getallen p en q eginnen we altijd met het product, omdat er maar enkele cominaties van getallen zijn die vermenigvuldigd 6 opleveren. Daarna epaalt de som van deze getallen, welke cominatie de juiste is. De methode in onderstaande tael kan daarij helpen. Het product van p en q is + 6 p = 1 en q = 6 p = 1 en q = 6 p = en q = 3 p = en q = 3 De som van p en q is + 5 Som = 7, klopt niet Som = 7, klopt niet Som = 5, klopt Som = 5, klopt niet Dus: = ( + ) ( + 3) 6

7 1. Ontind in factoren: y + 10 y + 4 a. Ontind in factoren: 8 De tael wordt nu: Het product van p en q is - 8 De som van p en q is - p = 1 en q = 8 Som = 7, klopt niet p = 1 en q = 8 Som = 7, klopt niet p = en q = 4 Som =, klopt p = en q = 4 Som =, klopt niet Dus: 8= ( + ) ( 4). Ontind in factoren: Ontind in factoren: + 10 De tael wordt nu: Het product van p en q is + 10 De som van p en q is - p = 1 en q = 10 Som = 11, klopt niet p = 1 en q = 10 Som = 11, klopt niet p = en q = 5 Som = 7, klopt niet p = en q = 5 Som = 7, klopt niet Conclusie: omdat we geen gehele getallen p en q kunnen vinden, faalt deze methode. 7