Differentiatie van functies

Deel II Clculus

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest belngrijke begrippen un betekenis. We zullen ons beperken tot reële functies, dus functies die op (een deel vn) de reële getllen gedefinieerd zijn. 6. Functies Een reële functie is een voorscrift die n elk element D vn een deelverzmeling D R een functiewrde f() R toevoegt. We noemen D et domein vn de functie f en de verzmeling {f() D} vn lle functiewrden et bereik vn de functie f. Merk op dt we ier nog niets over de structuur vn et domein D ebben geëist, dit kn inderdd een willekeurige deelverzmeling vn R zijn. Belngrijke voorbeelden zijn: (i) lle reële getllen, dus D = R, (ii) lle reële getllen belve één, bijvoorbeeld R \ {0}, (iii) intervllen, ierbij ondersceiden we: () fgesloten intervllen zols D = [0, ] := { R 0 }, (b) open intervllen zols D = (0, ) := { R 0 < < }, (c) lfopen intervllen zols D = (0, ] := { R 0 < }, (iv) de vereniging vn (fgesloten, open of lfopen) intervllen. Een specil type vn lfopen intervllen zijn de niet-negtieve reële getllen D = { R 0}. Deze worden vk met D = [0, ) genoteerd. Er zijn trouwens ook rre domeinen mogelijk, bijvoorbeeld D = { + b, b Q}. Dit is (net ls de rtionle getllen Q) een deelverzmeling vn R wr tussen elk pr vn punten uit D overftelbr veel punten uit R liggen die niet in D bevt zijn. An de ndere knt liggen l de punten vn Q willekeurig dict bij elkr, dus geldt dit ook voor D. Een functie f wordt bescreven door zijn domein D en een fbeeldingsvoorscrift, die zegt oe je n een D zijn functiewrde f() toevoegt. Dit wordt vk gescreven ls f : D R, y ls y de wrde vn f in et punt is, dus ls y = f() geldt. Hier zijn een pr voorbeelden vn functies, die lten zien dt et soms om redelijk gekke dingen gt: (i) D = R, f :, (ii) D = R, f() := (dit eet soms ook de signumfunctie), ls < 0 0 ls = 0 ls > 0 56

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 (iii) D = R, f() := { ls Q 0 ls R \ Q (iv) D = R \ {, }, f : 3+ nooit nul wordt), (merk op dt voor D de noemer (v) D = R \ {n π n Z}, f : 0 sin(), 8 y 6 4 0 8 6 4 0 4 6 8 0 4 6 8 0 Figuur II.: f() := sin() (vi) D = R, f() := n ls n et ntl vn 7en in de decimle ontwikkeling vn is en f() := π ls er oneindig veel 7en in de decimle ontwikkeling zitten. Om ingewikkeldere functies te bouwen worden vk eenvoudigere functies gecombineerd. Hierbij wordt belve vn et optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen vn functies ook de smenstelling vn functies gebruikt. Voor een functie f met domein D f en bereik B f en een functie g met domein D g wrvoor D g B f geldt, definiëren we de smengestelde functie g f met domein D f door g f : D f R, g(f()). Bijvoorbeeld kunnen we de functie f : R R, + bescrijven ls f = g met : R R, en g : R R, +, mr ook door f = g met : R R, + en g : R R, en zelfs door f = g 3 g met g 3 : R R, +. Merk op dt = g 3 en g = g 3 g, dus is ( g 3 ) g = (g 3 g ). Omdt ook in et lgemeen geldt dt de smenstelling vn functies ssocitief is, d.w.z. dt ( g) f = (g f), oeven we in de smenstelling vn drie of meer functies niet op kjes te letten. Om een vergelijking f() = y nr op te lossen, moeten we bij een functie f een punt vinden die een gegeven wrde y oplevert. Hiervoor ebben we een 57

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 soort vn omkering vn f nodig. Zo n omkering kunnen we voor willekeurige y vinden, ls er voor de functie f een functie g bestt, zo dt g f() = voor lle in et domein vn f. Dn geldt nmelijk = g(f()) = g(y). Als zo n functie g bestt noemen we g de inverse functie vn f en noteren deze ls f. Merk op dt et domein vn f et bereik vn f is. Verder kn de inverse functie f lleen mr bestn ls f n verscillende punten y ook verscillende wrden f() f(y) toevoegt. Voor f() = f(y) is nmelijk = f (f()) = f (f(y)) = y, dus zou voor f() = f(y) met y de inverse functie twee verscillende wrden n f() moeten toevoegen, en dt mg niet. Een functie met f() = f(y) = y eet een injectieve functie. We ebben dus gezien dt lleen mr injectieve functies een inverse functie ebben. We kunnen de grfiek vn de inverse functie gemkkelijk uit de grfiek vn f fleiden: de grfiek vn f bestt uit de punten (, f()) in et y-vlk, en omdt f (f()) =, bestt de grfiek vn f uit de punten (f(), ). Dit is dus de gespiegelde vn de grfiek vn f in de digonl = y. We zien nu ook meteen in dt f injectief moet zijn, wnt nders is er een orizontle lijn = die twee (of meer) snijpunten met de grfiek vn f eeft, en dn eeft de verticle lijn y = twee snijpunten met de grfiek vn f en dit kn niet voor een functie. f() := ^.8.6.4. f^( )() y 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8..4.6.8 Figuur II.: f() := eeft voor 0 de inverse functie f () := 6. Continue functies Een belngrijke klsse vn functies zijn functies die we intuïtief gld zouden noemen, omdt we un grfiek kunnen tekenen zonder de pen f te zetten. Dit wil zeggen, dt er geen sprongen in de grfiek zijn. Omdt wiskundige soms eel rre functies verzinnen wrvoor we niet eens weten oe we de grfiek zouden kunnen tekenen, ebben we een iets lgemenere definitie vn gldeid nodig. De functie f() := sin( ) scommelt bijvoorbeeld in de buurt vn 0 sneller en sneller tussen en en we kunnen niet zeggen wt voor een wrde we 58

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 n 0 moeten toewijzen. 0.5 0. 0. 0. 0. 0.5 Figuur II.3: f() := sin( ) in de buurt vn = 0 We zeggen dt een functie f : D R continu in et punt D is, ls de functiewrden in een klein stukje om een lleml dict bij f() liggen. Dit wordt door de beroemde ε δ-definitie uitgedrukt: II. Definitie Een functie f : D R eet continu in et punt D ls er voor lle ε > 0 een δ > 0 bestt, zo dt uit < δ volgt, dt f() f() < ε is. Deze definitie betekent, dt er voor een in continue functie f voor een willekeurig klein intervl (f() ε, f() + ε) om de functiewrde f() een intervl I = ( δ, + δ) om een bestt, zo dt lle functiewrden f() voor I in et gekozen ε-intervl om f() liggen. In et voorbeeld vn de functie f() := sin( ) neemt de functie tussen n en n elke wrde tussen en n, dus kunnen we l voor ε = geen δ > 0 vinden, zo dt we f nr een in 0 continue functie kunnen voortzetten. An de ndere knt is de functie f : R R, { sin( ) ls 0 0 ls = 0. wel continu, wnt sin(), en dus is f() f(0) = sin( ), dus kunnen we ltijd δ = ε kiezen. Omgekeerd zien we dt een functie in een punt, wr een sprong is, niet 59

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 0.06 0.04 0.0 0. 0.08 0.06 0.04 0.0 0.0 0.04 0.06 0.08 0. 0 0.0 0.04 0.06 0.08 Figuur II.4: f() := sin( ) continu is. We kijken ls voorbeeld nr de signum-functie ls < 0 sign : R R, 0 ls = 0. ls > 0 Als we ε = kiezen, zien we dt sign() niet continu in 0 is, wnt voor elke δ > 0 is sign( δ ) = en sign( δ ) =, dus liggen de functiewrden niet in et ε-intervl om f(0) = 0. We ebben nu gezien wt et betekent dt een functie continu in een punt is. We noemen een functie een continue functie ls ij continu in elk punt vn zijn domein is. In toepssingen ebben we et meestl met continue functies te mken, mr er zijn ook situties wr we functies met sprongen nodig ebben. Een voorbeeld iervoor is et volgende eperiment: we willen de intensiteit vn et lict op een lijn bescrijven, wr in = een gloeilmp stt en in = 0 een niet-trnsprnte muur. De intensiteit vn et lict in een fstnd r vn de lmp is /r{. Dus wordt de intensiteit bescreven door de functie 0 ls 0 I : R \ {} R,. Voor de bescrijving vn dit soort ( ) ls > 0 { 0 ls 0 functies is de Heviside-functie H ndig: H : R R, ls > 0. We kunnen de functie I dn bescrijven ls I() = H() ( ) voor. 60

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 6.3 De fgeleide vn een functie Het meest belngrijke bij een functie zijn ntuurlijk de wrden, mr soms zijn we ook nog in ndere dingen geïnteresseerd, bijvoorbeeld of een functie rond een gegeven punt fneemt of toeneemt. Bijvoorbeeld willen we weten of de tempertuur stijgend of dlend is en vrgen we ons f of et eell eeuwig epndeert of uiteindelijk weer in elkr stort. (Eigenlijk willen we zelfs weten of de sneleid vn de epnsie fneemt of toeneemt.) Als we nr de grfiek vn een functie kijken, kunnen we ntuurlijk in de meeste gevllen meteen zien, wt er met stijgen en dlen n de nd is. Mr soms is de voorscrift vn een functie te ingewikkeld om er een grfiek vn te mken, en soms zijn zelfs de grfieken zo comple, dt we niet kunnen zeggen of een functie stijgt of dlt. Drom ebben we ook ier (net ls bij de continue functies) en precieze definitie nodig. Het idee is, dt we een functie in een punt door een lijn benderen, die de grfiek vn de functie in et punt rkt. Als deze rklijn een positieve rictingscoëfficiënt eeft, noemen we de functie stijgend, ls ij negtief is noemen we de functie dlend. Mr oe vinden we de rictingscoëfficiënt vn de rklijn in een punt? Hiervoor kijken we nr de functiewrden vn f in de buurt vn, dus we kijken nr f( + ) voor kleine wrden vn. Als we nu een lijn door de punten (, f()) en ( +, f( + )) trekken, eeft deze de rictingscoëfficiënt f(+) f(). Als we kleiner lten worden, lijkt de lijn door (, f()) en ( +, f( + )) steeds meer op een rklijn in et punt, dus vinden we de rictingscoëfficiënt ls de limiet vn f(+) f() ls nr 0 gt. We moeten nu eerst definiëren, wt et betekent dt een functie een limiet voor gt nr eeft. Dit lijkt erg op de definitie vn continue functies. II. Definitie Een functie f : D R eeft voor de limiet b, ls er voor lle ε > 0 een δ > 0 bestt, zo dt uit < δ volgt, dt f() b < ε is. We noteren dit ls lim f() = b. Merk op dt we niet eisen dt in et domein vn f ligt. Als de limiet lim f() bestt en de wrde b eeft, betekent dit, dt we door f() := b een functie definiëren die continu in is. We kunnen et nu over limieten vn functies ebben, en we gebruiken deze nieuwe definitie meteen voor de definitie vn de fgeleide. II.3 Definitie Een functie f : D R eet in een punt D differentieerbr, ls de limiet f( + ) f() lim 0 bestt. In dit gevl noteren we de limiet met f () en noemen dit de fgeleide vn f in et punt. Met ndere woorden eeft een functie f de fgeleide f () in et punt, ls de functie { f(+) f() : D R, ls 0 f () ls = 0 6

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 in et punt = 0 continu is. We noemen een functie f een differentieerbre functie ls de fgeleide f () voor elke D bestt. In dit gevl eet de functie f : D R, f () de fgeleide functie vn f. We ebben gezien dt continue functies geen sprongen ebben. Dit is niet voldoende, om een differentieerbre functie te ebben. Bijvoorbeeld is de functie f : R R, continu, mr in et punt = 0 niet differentieerbr. Er geldt nmelijk f(+) f() f(+) f() bestt lim 0 = voor > 0 en f(+) f() = voor < 0, dus in dit gevl niet. Het probleem ligt in et feit dt de bsoluutwrde-functie in et punt = 0 een knik eeft. Differentieerbre functies zijn dus functies die geen knikken ebben. 0.8 0.6 0.4 0. 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.4 0.6 0.8 Figuur II.5: f() := is voor = 0 niet differentieerbr Men zou misscien denken, dt continue functies, lleen mr een pr knikken kunnen ebben, mr in de meeste punten wel differentieerbr zijn. Hels is dit niet zo. Het is inderdd mogelijk een functie n te geven, die in elk punt continu, mr in geen punt differentieerbr is. Zo n functie bestt dus lleen mr uit knikken. 0.8 0.6 0.4 0. 4 0 4 Figuur II.6: Een zg-functie Het idee voor zo n functie begint met een zg-functie zo ls in Figuur II.6. 6

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Vervolgens wordt elk lijnsegment tussen twee knikken in drie even grote delen onderverdeeld. Voor een lijnsegment met rictingscoëfficiënt c krijgt et eerste stuk de oude rictingscoëfficiënt c, et tweede de rictingscoëfficiënt c en et derde de rictingscoëfficiënt 3c. Op deze mnier komen er twee nieuwe knikken in elk rect lijnsegment. Als we deze constructie oneindig vk erlen, leidt dit tot een limiet-functie die inderdd continu mr in geen punt differentieerbr is. We komen nu terug op de vrg, of een functie stijgend of dlend is. In principe kunnen we dit ook voor functies definiëren, die niet continu zijn. Zij f : [, b] R een functie: (i) f eet stijgend, ls > f( ) f( ). (ii) f eet strikt stijgend, ls > f( ) > f( ). (iii) f eet dlend, ls > f( ) f( ). (iv) f eet strikt dlend, ls > f( ) < f( ). Voor differentieerbre functies kunnen we dit nu vertlen nr een criterium voor de fgeleide. Zij f op een intervl [, b] differentieerbr: (i) Is f () 0 voor lle [, b] dn is f stijgend op [, b]. (ii) Is f () > 0 voor lle [, b] dn is f strikt stijgend op [, b]. (iii) Is f () 0 voor lle [, b] dn is f dlend op [, b]. (i) Is f () < 0 voor lle [, b] dn is f strikt dlend op [, b]. Merk op dt et voor een functie f, die in een punt een knik eeft, ook niet zinvol is te zeggen of f in stijgend of dlend is. 6.4 Regels voor differentitie Als we een functie f : D R ebben dn is f vk verkregen uit eenvoudigere functies, die we door optellen, ftrekken, vermenigvuldigen, delen en smenstellen combineren. Drom zou et ndig zijn om regels voor de fgeleide vn dit soort combinties te ebben. We gn er nu vn uit, dt de functies die we bekijken in de ngegeven punten ook inderdd differentieerbr zijn. (0) Constnte functies f() = c ebben fgeleide 0, de functie f() = eeft de fgeleide. () Optellen: (f + g) () = f () + g (). Dit geldt omdt (f + g)( + ) (f + g)() = (f( + ) f()) + (g( + ) g()) is. Hierbij ebben we nog nodig, dt lim (f + g)() = lim f()+lim g() ls de twee limieten op de recte zijde bestn. 63

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 () Vermenigvuldigen met een fctor c R: (cf) () = cf (). Hier gebruiken we dt (cf)( + ) (cf)() = c(f( + ) f()) is. Uit () en () volgt, dt de fbeelding f f een lineire fbeelding op de vectorruimte vn differentieerbre fbeeldingen is. (3) Vermenigvuldigen (productregel): (f g) () = f ()g() + f()g (). We ebben f(+)g(+) f()g() = f(+)g(+) f()g(+)+ f()g(+) f()g() = (f(+) f())g(+)+f()(g(+) g()), dus is f(+)g(+) f()g() = f(+) f() g(+)+f() g(+) g(), en dus = f ()g() + f()g (). lim 0 f(+)g(+) f()g() (4) Delen: ( ) f () = f ()g() f()g () g g. () Hiervoor lten we eerst zien dt ( g ) () = g () g (). 0 = (g g ) () = g () g() + g()( g ) (), dus is g() g pssen nu (3) op f g toe, dn geldt: ( f g ) () = f () geeft de bewering. (5) Smenstelling (kettingregel): g(f(+)) g(f()) f(+) f() Uit (3) volgt dt () = g () g(). g() f()g () g () (g f) ()= (g f)()f () = g (f())f (). = g(f()+(f(+) f()) g(f()) f(+) f() We, en dit In plts vn een voedzme 0 die we bij de productregel gebruikt ebben, (g f)(+) (g f)() gebruiken we nu een voedzme : = g(f(+)) g(f()) = f(+) f() f(+) f(). Als we k := k() = f( + ) f() definiëren, gt wegens de continuïteit vn f voor 0 ook k 0. Dus is lim 0 (g f)(+) (g f)() lim 0 g(f()+k) g(f()) k f(+) f() = g (f()) f (). = We ebben ier op een plek gesjoemeld, wnt f(+) f() kn ook voor 0 gelijk n 0 zijn en dn mogen wie ier niet door delen. Mr dit kunnen we erstellen, door in et gevl dt f(+) f() = 0 de quotiënt g(f(+)) g(f()) f(+) f() te vervngen door g (f()). Het lt zic ntonen dt de zo gedefinieerde functie continu is en et rgument gt door. Een slimme toepssing vn de kettingregel geeft de fgeleide vn de inverse functie f (): Er geldt (f f )() =, dus volgt met de kettingregel dt f (f ()) f () = en dus geldt f () = f (f ()). 64

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 We lten nog een pr belngrijke voorbeelden vn fgeleiden zien, die we eenvoudig kunnen beplen. Voor n N is de fgeleide vn f n () = n de functie f n () = nn. Dit is duidelijk voor n = en ls we et voor een n ebben bewezen dn geldt f n+ () = (f nf ) () = f n()f () + f n ()f () = nn + n = (n + ) n. Dus klopt et ook voor n + en dus per volledige inductie voor lle n N. Mr dezelfde formule geldt ook voor f n () = n = voor n N. We n ebben f n() = ( f n ) () = nn = ( n) n. n En dezelfde formule klopt zelfs voor n =. Er geldt nmelijk + = + ++ = ++, en dus is lim + 0 =. Dus zien we dt ook ier geldt, dt f () =. Voor de wortelfunctie f() := geldt dus: f() = f () =. Het vermoeden ligt nu voor de nd, dt de formule voor de fgeleide vn n ook voor lgemene mctsfuncties f() := c met c R klopt. Dit is inderdd et gevl, er geldt: f() = c f () = c c. Wij gn dit ier lleen mr voor rtionle mcten c = m n ntonen. Hiervoor gebruiken de formule voor de fgeleide vn de inverse functie. We weten dt fn () = n = n de inverse functie vn f n () = n is, drom geldt fn () = n = n ( n ). n( n ) n = n n We kunnen nu met de kettingregel de fgeleide vn f() = m n = ( m ) n berekenen ls f () = n (m ) ( n ) m m = m n ( m n m) m = m n ( m n ). Belngrijke begrippen in deze les functies, domein, bereik, inverse functie continuïteit fgeleide vn een functie stijgen en dlen vn functies productregel, kettingregel fgeleide vn de inverse functie 65

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Opgven 7. Bepl de limiet n y n lim y y op twee mnieren: rectstreeks en vi fleiden. 8. Een functie f eet even ls f() = f( ) voor lle en oneven ls f() = f( ) voor lle in et domein vn f. De grfiek vn een even functie is symmetrisc ten opzicte vn een spiegeling in de y-s, de grfiek vn een oneven functie is symmetrisc ten opzicte vn een puntspiegeling in de oorsprong. (i) Lt zien dt voor een differentieerbre functie f, die even is, geldt dt f () = f ( ) (dus de fgeleide vn een even functie is oneven). (ii) Lt zien dt voor een differentieerbre functie f, die oneven is, geldt dt f () = f ( ) (dus de fgeleide vn een oneven functie is even). 9. Bepl voor de volgende functies de intervllen wr de functies stijgen en wr ze dlen: (i) D = R, f() =, (ii) D = R, f() = ( 3), (iii) D = [, ], f() =, (iv) D = [4, ), f() = 4, (v) D = R, f() = 5 + 0 6. 30. Zij f : R R, 7 + 5 3. Bepl de inverse functie vn f. 3. Bepl de fgeleiden vn: (i) f () := +, (ii) f () := 3 3 +, (iii) f3 () := 3 5 + 7, (iv) f 4 () := +, (v) f 5 () := ( 3 ) 4 3. + 66

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 7 Specile functies We ebben in de vorige les een ntl elementire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen fleiden. In wezen wren lle deze functies smengesteld uit mctsfuncties f() := c met c R. In deze les ebben we et over verscillende ndere elementire functies die een belngrijke rol in lle soorten vn toepssingen spelen. 7. Eponentiële functie en ntuurlijke logritme Als we de ontwikkeling vn een popultie bescrijven, ebben we et vk met de volgende situtie te mken: Er is een beginpopultie vn C konijnen en elk jr verdubbeld et ntl konijnen. Dn zijn er n een jr C konijnen, n twee jr 4C, n drie jr 8C enzovoorts. N floop vn jr zijn er dn C konijnen. Het zou dus ndig zijn, iets meer over functies ls f() := voor R te weten. Om te beginnen moeten we er iets over zeggen oe we de functiewrden vn zo n functie berekenen. Voor breuken = m n kunnen we wel berekenen, dit is gewoon n m. Hier zien we dt > 0 moet zijn, nders zouden we uit negtive getllen de wortel moeten trekken. Omdt we grg willen dt f() := een continue functie wordt, ebben we nu geen keuze meer bij de berekening vn voor een willkeurige R. Als we nmelijk door breuken m n steeds beter benderen, moet n m een steeds betere bendering vn de functiewrde zijn (dt is juist de definitie vn continuiteit). 5 0^ 4 e^ y 3.5^ -4-0 0 4 Figuur II.7: De functies f() := voor =.5, e, 0 Zols we dt uit de grfieken in Figuur II.7 zouden verwcten, lt zic ntonen dt de functie f : R R, voor > 0 in 0 differentieerbr is. Er lt zic ook lgemeen bewijzen dt de fgeleide f (0) om zo groter is oe groter is. Mr ls we de fgeleide vn in 0 kennen, kunnen we 67

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 de fgeleide vn in elk punt berekenen, wnt + f () = f (0). = en dus is Als we nu voor verscillende wrden vn de fgeleide vn f() := in 0 berekenen, kunnen we door een benderingsproces een wrde voor vinden, zo dt f (0) = is. Op die mnier vinden we et Euler-getl e.788 met de eigenscp dt de functie f() := e in 0 de fgeleide eeft. Dt de fgeleide vn e e in 0 gelijk n is, betekent, dt lim e 0 0 0 = geldt. Mr dn is f e () = lim + e 0 = e e lim 0 e = e = f(). We ebben dus gezien dt f() := e een functie is die voldoet n f() = f (). Deze functie eet de eponentiële functie en wordt vk ook met f() := ep() genoteerd. Smenvttend ebben we dus: ep () = ep() en ep(0) =. De eponentiële functie speelt in veel toepssingen een rol, bijvoorbeeld (zo ls eerder l gezegd) bij de ontwikkeling vn populties of in de bescrijving vn rdioctief vervl. Mr ook bij et remmen vn een uto of bij et verloop vn de tempertuur tussen twee kmers met verscillende temperturen is ep() vn toepssing. We weten (uit ervring) dt we met evenveel remkrct niet zo snel vn 00 nr 80 km per uur kunnen fremmen dn vn 50 nr 30. De verndering vn de sneleid bij et remmen is dus fnkelijk vn de sneleid zelfs. Ook bij de tempertuur zien we een soortgelijk effect: ls we een kmer vn 0 nst een kmer vn 50 ebben zullen de temperturen sneller vernderen dn bij kmers vn 0 en 30. Bij veel processen vinden we dus een fnkelijkeid vn de vorm f () = C f(), wrbij C een constnte is. Er lt zic ntonen dt lle functies die n deze vergelijking voldoen vn de vorm f() := 0 ep(c) zijn, wrbij 0 door de reltie 0 = f(0) bepld is. Algemeen noemen we vergelijkingen tussen een functie f() en un fgeleiden f (), f () enz. een differentilvergelijking. Er lt zic zelf ntonen dt de eponentiële functie door de eigenscppen f () = f() en f(0) = eenduidig bepld is: Neem n dt f() een functie is met f () = f() en f(0) =, dn beplen we de fgeleide vn de functie g() := f() ep(). Hiervoor geldt g () = f () ep() f() ep() g() = 0, omdt f () = f(). Mr ieruit volgt dt g() een constnte functie is, dus is f() = c ep() en uit f(0) = ep(0) = volgt f() = ep(). Uit e > volgt dt ep() > 0 voor lle en ep() > voor lle > 0, drom is ep(y) ep() = (ep(y ) ) ep() > 0 voor y >. Dit toont n dt ep() een op R strikt stijgende functie is. Het bereik is (0, ), dus kunnen we op et open intervl (0, ) de inverse functie vn ep() definiëren. Deze noemen we de (ntuurlijke) logritme en noteren deze ls log(). Merk op: De omkeerfunctie vn de lgemene functie f() := eet de logritme met bsis en wordt met log() genoteerd. Soms (bijvoorbeeld op de middelbre scool of bij ingenieurs) wordt met log() de logritme met bsis 0 bedoeld, de ntuurlijke logritme wordt dn met ln() ngegeven. In deze 68

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 cursus gn we ecter log() steeds voor de logritme met bsis e gebruiken, een ndere bsis wordt ltijd epliciet ngegeven (bijvoorbeeld 0 log() en log() voor de logritmes met bsis 0 en ). Ook zkrekenmcines kunnen tot verwrring leiden: Vk is ln de toets voor de ntuurlijke logritme terwijl de toets log voor de logritme met bsis 0 stt. We kunnen logritmes voor verscillende bses mkkelijk omrekenen, wnt er geldt: log() = log() log(). We ebben nmelijk e log() = = log() = (e log() ) log() = e log() log() en dus log() = log() log(). Uit onze formule voor de fgeleide vn de inverse functie kunnen we de fgeleide vn log() mkkelijk berekenen, er geldt log () = ep (log()) = (ep log)()) =. 4 ep() y = + log() -4 - y 0 0 4 - -4 Figuur II.8: Eponentiële functie en ntuurlijke logritme Om de functie f() := f te leiden is et ndig om de reltie = e log() en dus = e log() = ep(log() ) te gebruiken. Met de kettingregel volgt dn nmelijk dt ( ) = ep(log()) log() = log(). Tenslotte nog twee belngrijke relties voor et optellen en vermenigvuldigen bij ep en log: ep( + y) = ep() ep(y) en log(y) = log() + log(y). 7. Trigonometrisce functies De trigonometrisce (of goniometrisce) functies zijn gebseerd op de meetkunde vn rectoekige drieoeken. 69

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 0.6 0.5 0.4 0.3 y 0. A B 0. 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 C Figuur II.9: sin() = BC, cos() = 0C Als in een rectoekig drieoek de scuine zijde lengte eeft, en één vn de niet-recte oeken is, dn noemen we de lengte vn de zijde tegenover de sinus sin() en de lengte vn de ndere rectoekszijde de cosinus cos() vn. In et pltje vn Figuur II.9 is 0B de scuine zijde in et drieoek 0BC en we ebben sin() = BC en cos() = 0C. Een vn de belngrijkste relties voor sinus en cosinus volgt meteen uit de stelling vn Pytgors, nmelijk sin () + cos () =. Om de fgeleide vn sin() te beplen moeten we iets over de quotiënt sin(+) sin() zeggen. Mr oe kunnen we de sinus vn een som vn twee oeken beplen? Hiervoor geeft et volgende pltje een nleiding. (cos(+), sin(+)) (cos(), sin()) (-sin(), cos()) Figuur II.0: De sinus vn de som vn twee oeken 70

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 ( ) cos( + ) We weten (uit Lineire Algebr) dt we de vector w = kunnen sin( + ) scrijven ls de( som vn ) zijn ortogonle ( projecties ) op de ortonormle bsisvectoren v = en v cos() sin() sin() =. Mr de lengte vn de projectie cos() vn w in de ricting vn v is cos() en de lengte vn de projectie in de ricting vn v is sin(). Dus geldt: ( ) cos( + ) = cos()v sin( + ) + sin()v = Dit geeft de twee belngrijke optelteorem s: ( ) cos() cos() sin() sin(). sin() cos() + cos() sin()) cos( + ) = cos() cos() sin() sin(), sin( + ) = sin() cos() + cos() sin(). We kunnen de quotiënt sin(+) sin() dus erscrijven ls sin() cos(). We weten dt lim 0 sin() = 0 en lim 0 cos() =, mr dit is cos() sin() nog niet voldoende om de limiet vn sin(+) sin() te berekenen. + Merk op: Vk worden oeken niet in grden mr in rdilen ngegeven. Het idee ierbij is, een oek door de lengte vn de bijorende cirkelboog in een cirkel vn strl te bescrijven. Een oek vn 360 eeft een volle cirkel ls boog en die eeft lengte π. Omgekeerd oort een boog vn π bij een oek vn 80. Dus komen we vn grden nr rdilen door de oek in π 80 grden met 80 te vermenigvuldigen en vn rdilen nr grden door met π te vermenigvuldigen. We zullen oeken meestl in rdilen ngeven. We kunnen nu ook de lengte vn een lgemeen cirkelboog ngeven, dt is nmelijk r, ls r de strl vn de cirkel is en de bij de boog orende oek in rdilen. In Figuur II.9 eeft dus de boog vn B nr lengte en de boog vn A nr C lengte cos(). Omdt de boog AC korter is dn de lijn BC geldt cos() < sin() en omdt de lijn BC korter is dn de boog B geldt sin() <. Hieruit volgt (voor oeken met 0 π ) dt cos() < sin() <. Dit toont in et bijzonder n dt lim 0 sin() cos () (cos()+) = sin () (cos()+) 0 = sin() sin() cos()+ = is. Verder is cos() en omdt sin() cos()+ = voor 0 nr = 0 gt is lim 0 cos() = 0 = 0. Als we lles bij elkr nemen volgt dus sin( + ) sin() lim = lim sin() cos() + cos() sin() 0 0 Kort en goed: de fgeleide vn de sinus is de cosinus, ofwel sin () = cos(). = cos(). 7

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 We kunnen de fgeleide vn de cosinus nu op dezelfde mnier beplen, mr met een klein trucje gt et sneller. We weten dt sin () + cos () = is, dus geldt 0 = (sin () + cos ()) = cos() cos () + sin() sin () = cos()(cos () + sin()). Hieruit volgt meteen: cos () = sin(). cos() 0.5 sin() 4 3 3 4 0.5 Figuur II.: Sinus- en cosinus-functie Net zo ls we de eponentiële functie ep() door de differentilvergelijking f () = f() ebben gekrkteriseerd, kunnen we ook sinus en cosinus door een differentilvergelijking krkteriseren. Het is duidelijk dt voor de tweede fgeleiden geldt dt sin () = sin() en cos () = cos(). Differentilvergelijkingen vn de vorm f () = C f() spelen bijvoorbeeld bij de bescrijving vn trillingen een belngrijke rol. De bewering is nu, dt een functie f() met f () + f() = 0 een lineire combintie vn sin() en cos() is. Neem eerst n we ebben een functie f() met f () + f() = 0, f(0) = 0 en f (0) = 0. Dn is 0 = f ()(f () + f()) = (f () +f() ), dus is f () +f() een constnte functie en omdt f (0) = f(0) = 0 is f () + f() = 0 voor lle. Mr omdt een som vn kwdrten lleen mr 0 is ls lle kwdrten 0 zijn volgt ieruit dt f() = 0 voor lle, dus is f() de constnte 0-functie. Neem nu n dt f () + f() = 0, f (0) = en f(0) = b. Dn geldt voor g() := f() sin() b cos() dt g () + g() = 0, g (0) = f (0) = 0 en g(0) = f(0) b = 0. Dus is g() = 0 en dus f() = sin() + b cos(). Uit de functies sin() en cos() worden een ntl ndere functies fgeleidt, de belngrijkste iervn is de tngens die gedefinieerd is door tn() := sin() cos(). Het domein vn de tngens zijn de punten R met cos() 0, dus π +nπ met n Z. Voor tn() geldt de reltie + tn () = cos ()+sin () = cos () cos (). Toevllig is dit ook de fgeleide, wnt tn () = ( sin(). Er geldt dus: cos () tn () = + tn () = cos() ) = cos (). cos() cos() sin()( sin() cos () = De inverse functies vn de trigonometrisce functies eten rcus-functies en worden ls rcsin() := sin (), rccos() := cos () en rctn() := tn () genoteerd. 7

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 4 3 y 4 3 0 3 4 3 4 Figuur II.: Tngens-functie De fgeleiden vn deze functies worden mkkelijk met de formule f () = f (f ()) gevonden. Het bereik vn sin() is et intervl [, ] dus eeft rcsin() dit intervl ls domein. We ebben rcsin () = cos(rcsin()) = =. sin (rcsin()) Het domein voor rccos() is ook [, ] en op dezelfde mnier ls voor rcsin() tonen we n dt rccos () = sin(rccos()) = = cos (rccos()). We ebben dus: rcsin () =, rccos () =. De meest belngrijke toepssing vn de rcussinus en de rcuscosinus ligt in de integrtie vn functies. We zullen zien dt de integrtie de omkering vn de differentitie is, dus ebben we de functie rcsin() nodig om integrlen over functies zo ls f() := te berekenen. Het bereik vn tn() is R, mr de functie is lleen mr monotoon op een intervl ( π, π ) (of een verscuiving iervn om nπ. De rcustngens-functie is dus op R gedefinieerd en eeft wrden tussen π en π. Voor de fgeleide geldt: rctn () = dus = ( cos ) cos (rctn()) = +tn (rctn()) =, + (rctn()) rctn () = +. De rcustngens-functie wordt vk gebruikt om eperimentele wrden nr een genormeerd intervl f te beelden. Bijvoorbeeld zijn de wrden, die een zoekmcine voor de kwliteit vn een zoekresultt ngeeft meestl wrden tussen 0 en (of tussen 0% en 00%). Mr de gebruikte metoden leveren vk wrden die niet eens nr beneden of boven begrensd zijn. Dn is et ndig om zo n wrde f te beelden met de functie f : R R, π (rctn() + π ). 73

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 3.5.5 0.5.5 0.8 0.6 0.4 0. 0. 0.4 0.6 0.8 0.5 0.5.5 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 Figuur II.3: Arcussinus- en rcuscosinus-functie 0.5 4 3 0 3 4 0.5 Figuur II.4: Arcustngens-functie 7.3 Hyperbolisce functies Een verdere klsse vn belngrijke functies zijn de yperbolisce functies. Deze zijn fgeleidt vn de eponentiële functie, mr ebben eigenscppen die op eigenscppen vn sin() en cos() lijken. We definiëren de sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus door sin() := (ep() ep( )), cos() := (ep() + ep( )). We gn eenvoudig n dt sin () = cos() en cos () = sin(). Verder vinden we dt cos () sin () =. 74

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 3 cos() y - - 0 0 - sin() - Figuur II.5: Sinusyperbolicus en cosinusyperbolicus De nm vn de yperbolisce functies eeft betrekking tot de yperbolisce meetkunde. Terwijl we in de Euclidisce meetkunde fstnden in et vlk door + y berekenen, wordt dit in de yperbolisce meetkunde met y gedn. In de Euclidisce meetkunde liggen de punten met fstnd r vn et nulpunt op een cirkel die we met r(cos(t), sin(t)), 0 t π kunnen ngeven. Een nloge constructie levert in de yperbolisce meetkunde de punten r(cos(t), sin(t)), die op een yperbool liggen (dus de nm). De meest belngrijke toepssing vn yperbolisce meetkunde is de ruimtetijd uit de specile reltiviteitsteorie. Anloog met de tngens-functie wordt ook een tngensyperbolicus gedefinieerd: tn() := sin() cos(). We ebben tn () = cos () sin () cos () tn () = cos () sin () cos () = cos (), dus = cos () en voor de fgeleide geldt tn () = tn () = cos (). 0.5 4 3 0 3 4 0.5 Figuur II.6: Tngensyperbolicus Merk op dt ook de functie tn() net ls rctn() voor et normliseren vn eperimentele wrden gebruikt kn worden. 75

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Ook de yperbolisce functies ebben inverse functies, deze eten de refuncties en worden met rsin() := sin (), rcos() := cos () en rtn() := tn () genoteerd. We kunnen deze inverse functies epliciet beplen, wnt uit y = sin() = (ep() ep( )) volgt door vermenigvuldiging met ep() dt ep() y ep() = 0. Dit geeft de oplossingen ep() = y ± y +, mr wegens ep() > 0 is lleen mr et plusteken mogelijk. Het domein vn rsin() is R omdt dit et bereik vn sin() is. Dus geldt voor R: rsin() = log( + + ). Voor de fgeleide geldt rsin () = cos(rsin()) = +sin (rsin()) +. Dus is rsin () = +. = Het trucje vn sin() toegepst op cos() geeft ep() y ep()+ = 0, dus ep() = y ± y. In dit gevl moeten we erop letten, dt cos() niet monotoon is, we kunnen dus of een inverse functie voor > 0 of voor < 0 ngeven. Voor de inverse functie vn cos() met > 0 geldt et plusteken, dus is rcos() = log( + ). De fgeleide vn rcos() vinden we net ls voor rsin(): rcos () = =. Dus geldt cos (rcos()) sin(rcos()) = rcos () =. 3 0 8 6 4 4 6 8 0 3 3 0 8 6 4 0 4 6 8 0 Figuur II.7: Aresinusyperbolics en recosinusyperbolics Tenslotte kijken we nr rtn(). Voor y = sin() cos() = ep() ep( ) ep()+ep( ) eb- ep() ep()+ep( ) en y = ep( ) ep()+ep( ), dus geldt + y = ben we + y = ep()( y) en dus ep() = +y y. Hieruit volgt + rtn() = log( ) = log( + ). 76

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 3 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 3 Figuur II.8: Aretngensyperbolicus De fgeleide vn rtn() vinden we door rtn () = tn (rtn()) = cos (rtn()) = tn(rtn()) =, dus is rtn () =. Deze les wordt smengevt door een tbel met de bendelde functies en un fgeleiden. f() f () ep() ep() log() sin() cos() cos() sin() tn() cos () rcsin() rccos() rctn() + sin() cos() cos() sin() tn() cos () rsin() + rcos() rtn() Belngrijke begrippen in deze les 77

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 eponentiële functie, logritme trigonometrisce functies yperbolisce functies Opgven 3. Lten f, g : R R de functies zijn met f() := log( + ) en g() := ep(3). Bereken de smengestelde functies f g en g f en de fgeleiden f (), g (), (f g) () en (g f) (). 33. Toon n dt voor lle (0, ) geldt dt log(). 34. Lt zien dt sin + tn > voor lle (0, π/). (Hint: Differentieeren.) 35. Definieer f : R R door f() := + sin + rctn(3). Toon n dt f een inverse functie met domein R bezit. Drvoor moet je bewijzen dt f strikt stijgend of dlend is en et geeel vn R ls bereik eeft. 36. Bepl de fgeleiden vn: (i) f () =, (ii) f () = sin(), (iii) f 3 () = log(cos() + sin()), (iv) f 4 () = sin ( 3 cos( 3 ) ), (v) f5 () = ep( ), (vi) f 6 () = ep(rctn()), (vii) f 7 () = 5 cos(), (viii) f 8 () = log ( ), (i) f9 + () = rcsin ( ). + 37. Bereken voor f() := + de functies g() := f(f ()) en () := f (f()). 78

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 8 Minim en mim vn functies Een reden wrom we de fgeleide vn een functie bekijken is dt we iets over et stijgen of dlen vn de functie willen weten. Als we et met een differentieerbre functie te mken ebben is de functie stijgend ls de fgeleide positief is en dlend ls de fgeleide negtief is. Mr soms zijn we ook geïnteresseerd in de verndering vn et stijgen en dlen vn een functie. Bijvoorbeeld gt et er in de economie vk niet om of een bedrijf een groei in de omzet eeft, mr lleen mr of de groei toeneemt of fneemt. De groei wordt bescreven door de fgeleide vn de omzet-functie, de verndering vn de groei door de fgeleide vn de groei-functie, dus door de tweede fgeleide vn de omzet-functie. We kijken dus voor een functie f() niet lleen mr nr de eerste fgeleide f () mr ook nr de tweede fgeleide f () := (f ()) en ook nr ogere fgeleiden f () enz. Omdt et onndig wordt, meer en meer streepjes te scrijven, gebruiken we een nieuwe nottie: We scrijven f (3) () voor f () en in et lgemeen f (n) () voor de n-de fgeleide. Merk op dt ogere fgeleide { niet ltijd oeven te bestn. Bijvoorbeeld ls < 0 eeft de functie f() := ls 0 de fgeleide f () = en dus bestt de tweede fgeleide niet voor = 0. We zullen zien, dt ogere fgeleide een rol spelen om minim en mim vn functies te krkteriseren. 8. Minim en mim In veel toepssingen komt een probleem er op neer een wrde te beplen zo dt de functie f() een minimle (of mimle) wrde nneemt. Bijvoorbeeld wordt er in de productie vn blikken nr gekeken, een zo klein mogelijk oeveeleid mteril voor een gegeven volume te gebruiken. In de economie ngt de vrg nr een object ntuurlijk ook vn de prijs f. Die wordt dus zo gekozen dt et product uit de prijs een et (verwcte) ntl verkocte objecten miml wordt. De definities vn (bsolute) minim en mim vn functies in un domein is eel voor de nd liggend. Een functie f : D R eeft in een bsoluut minimum ls f() f() voor lle D. Evenzo eeft een functie een bsoluut mimum ls f() f() voor lle D. Soms is et ook interessnt om nr lokle minim en mim te kijken. Dt zijn punten D zo dt f voor een klein intervl om een een bsoluut minimum/mimum in eeft. Preciezer zeggen we: Een functie f eeft in D een lokl (of reltief) minimum/mimum ls er een δ > 0 bestt zo dt f() f() (f() f()) voor lle ( δ, + δ). Voor willekeurige functies f kunnen we niet veel verder dn deze definities, mr ls f een differentieerbre functie is, zegt de fgeleide inderdd iets over minim en mim. Stel dt f in een lokl minimum eeft en differentieerbr in is. Dn geldt voor kleine < 0 dt f( + ) f() en dus is f(+) f() 0 en voor 79

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 kleine > 0 is ook f( + ) f() en dus f(+) f() 0. Omdt de fgeleide f f(+) f() () lleen mr bestt ls de limiet lim 0 voor < 0 en > 0 bestt, geldt f () = 0. Dezelfde redenering geeft ook voor een lokl mimum dt f () = 0 is. We ebben dus gezien: II.4 Stelling Voor een functie f : D R die in D differentieerbr is en een lokl minimum/mimum in eeft, geldt f () = 0. Hels geldt de omkering vn deze stelling niet: Bijvoorbeeld is voor f() = 3 de fgeleide f () = 3 en dus is f (0) = 0, mr 0 is geen lokl minimum of mimum, omdt f() < 0 voor < 0 en f() > 0 voor > 0. Mr tenminste kunnen we zo vk een lijstje vn kndidten mken, wr een functie mogelijk een minimum/mimum eeft, nmelijk de punten wrvoor f () = 0 is. Dit noemen we ook de kritieke punten vn f(). Als er punten zijn wr f() niet differentieerbr is, tellen we deze ook bij de kritieke punten. Bijvoorbeeld is f() = in = 0 niet differentieerbr, mr zijn (bsoluut) minimum zit in = 0. Als een functie op een intervl gedefinieerd is oren ook nog de rndwrden vn et intervl bij de kritieke punten. Hoe kunnen we nu flezen of een functie in een punt nu ect een lokl minimum of mimum eeft? Voor een lokl minimum weten we l dt f () = 0 moet zijn. Verder weten we dt f() dlend is ls f () 0 en stijgend ls f () 0. Als we dus zien dt f () 0 voor < en f () 0 voor >, eeft f() inderdd in een lokl minimum. Omgekeerd eeft f() een lokl mimum in ls f () = 0, f () 0 voor < en f () 0 voor >. Kort gezegd eeft een functie f() een lokl minimum of mimum in et punt ls et teken vn de fgeleide f () in verndert. Merk op dt we de ongelijkeden f () 0 en f () 0 slects in een klein intervl rond oeven te bekijken. Om een lokl minimum te identificeren kunnen we soms ook de tweede fgeleide gebruiken: Als f () = 0 en f () > 0 voor ( δ, + δ), dn is f () een op dit intervl strikt stijgende functie en dus is f () < 0 voor < en f () > 0 voor >. Net zo vinden we een lokl mimum door f () = 0 en f () < 0 op ( δ, + δ). Dit ouden we in de volgende stelling vst: II.5 Stelling Een differentieerbre functie f() eeft een lokl minimum in ls er een δ > 0 bestt zo dt f () = 0, f () 0 voor ( δ, ) en f () 0 voor (, + δ). Dit geldt in et bijzonder ls f () = 0 en f () > 0 voor ( δ, + δ). Een differentieerbre functie f() eeft een lokl mimum in ls er een δ > 0 bestt zo dt f () = 0, f () 0 voor ( δ, ) en f () 0 voor (, + δ). Dit geldt in et bijzonder ls f () = 0 en f () < 0 voor ( δ, + δ). 80

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Voorbeeld We gn n oe we de vorm vn een blik moeten kiezen zo dt et gebruikte mteril (de oppervlkte) miniml wordt. Een blik nemen we n ls een cilinder vn oogte met ls grondvlk een cirkel vn strl r. Dn is et volume V vn de cilinder gegeven door V = πr en de oppervlkte O door O = πr +πr = πr(r+). Bij een gegeven volume willen we nu de minimle oppervlkte vinden. Uit de vergelijking voor et volume vinden we = V π r, dus kunnen we O scrijven ls een functie vn r door O(r) = πr(r + V π r ) = πr + V r. Voor de fgeleide geldt O (r) = 4πr V r en we ebben O (r) = 0 voor πr 3 = V = πr. Hieruit volgt r =, dus de strl vn de cirkel is lf zo groot ls de oogte vn de blik. Voor een blik vn 850ml vinden we dus r = 3 V π 5.3cm en 0.7cm. Dit zijn inderdd ongeveer de fmetingen vn een stndrdblik vn dit volume. 000 900 800 700 600 500 4 6 8 0 r Figuur II.9: Oppervlkte vn een blik vn 850ml fnkelijk vn de strl vn et grondvlk Voorbeeld De kosten vn een uto zijn bepld door de kosten vn et benzine en de vste kosten die lleen mr fnkelijk zijn vn de tijd die de uto rijdt. Neem n dt de kosten voor et benzine met et kwdrt vn de sneleid stijgen. Wt is dn de sneleid om een gegeven fstnd et goedkoopste te rijden? Hiervoor moeten we de kosten per gereden km beplen. Als in de tijd t de fstnd s met sneleid v gereden wordt, dn geldt v = s t. De kosten voor et benzine op een fstnd s zijn dus k b = cv t = cv s v = csv (wrbij c de benzineprijs ngeeft) 8

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 en de vste kosten voor dezelfde fstnd zijn k v = dt = d s v (voor een constnte d). De totle kosten fnkelijk vn de sneleid v zijn dus k(v) = csv + dsv en de fgeleide iervn is k (v) = cs dsv. We ebben k (v) = 0 voor v = d c, d dus is de meest economisce sneleid v = c. Dit kunnen we ook kwlittief bevestigen, wnt ls de vste kosten reltief oger worden, is et goedkoper om sneller te rijden. Voorbeeld 3 We ebben n punten,..., n op de -s gegeven en willen een punt beplen zo dt de som vn de kwdrtisce fstnden f() := ( ) +... + ( n ) miniml wordt. Voor de fgeleide f () geldt f () = ( ) +... + ( n ) = n ( +... n ). We ebben dus f () = 0 ls = n ( +..., n ), dus ls et rekenkundig gemiddelde vn de i is. 8. Functies vn meerdere vernderlijken en de prtiële fgeleide Tot nu toe ebben we lleen mr nr functies gekeken die vn één vernderlijke fngen. Mr in de prktijk komen we vk functies tegen die vn een ntl prmeters fngen. Bijvoorbeeld is de fstnd vn de oorsprong vn een punt (, y, z) in de 3-dimensionle ruimte gegeven door de functie f(, y, z) = + y + z. Het is nu niet meer onmiddellijk duidelijk, oe we een fgeleide vn zo n functie moeten definiëren. Het zou ndig zijn ls de fgeleide weer de rictingscoëfficient vn de rklijn n de grfiek vn de functie is, mr et probleem is dt er in één punt rklijnen voor elke mogelijke ricting zijn. We moeten dus ook de ricting ngeven in die we de rklijn n de grfiek willen leggen. Het belngrijkste zijn de fgeleiden in de rictingen vn de coördintenssen. Deze vinden we door lle vernderlijken tot op één n ls constnt op te vtten. Dn is de functie slects nog een functie vn de overgebleven vernderlijke en die kunnen we met de gewone regels fleiden. Voor een functie vn twee vernderlijken kunnen we dit ook grfisc interpreteren: De grfiek vn zo n functie kunnen we zien ls de verzmeling vn punten (, y, f(, y)) in de 3-dimensionle ruimte, net zo ls we de grfiek vn een gewone functie ls de verzmeling vn punten (, f()) in et -dimensionle vlk bekijken. Als we nu y tot een constnte y 0 verklren, dn kijken we nr de doorsnede vn de grfiek (, y, f(, y)) met et vlk dt bepld is door de vergelijking y = y 0, dus de punten (, y 0, z). Dit is een gewone grfiek vn een functie in één vernderlijke. En iervoor kunnen we ook weer zeggen wt de fgeleide zou zijn, nmelijk de rictingscoëfficiënt vn de rklijn n deze grfiek. Deze fgeleide noemen we de prtiële fgeleide nr. Als we nu terug gn nr de definitie vn de gewone fgeleide, zien we dt de prtiële fgeleide nr 8

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 in dit gevl gegeven is door de limiet lim 0 f( +, y) f(, y). Omdt we voor de prtiële fgeleide nr lleen mr nr de verndering vn f(, y) in de ricting vn kijken, noemen we dit ook de rictingsfgeleide in de ricting vn. Anloog definiëren we nu de prtiële fgeleide vn een lgemene functie f(,..., n ) vn n vernderlijken. Voor de prtiële fgeleide nr i bendelen we de vernderlijken,..., i, i+,..., n ls constnten (net zo ls bijvoorbeeld 5 of π) en interpreteren f zo ls een functie vn één vernderlijke (nmelijk i ). Als we voor de zo geïnterpreteerde functie de definitie vn de gewone fgeleide toepssen krijgen we voor de prtiële fgeleide nr i : f f(,..., i +,..., n ) f(,..., n ) := lim i 0 ls deze limiet bestt. Vk wordt de prtiële fgeleide f i ook kort ls f i gescreven. Ntuurlijk gebruiken we nooit deze limiet-definitie om een prtiële fgeleide te berekenen, mr pssen de gewone regels voor functies vn een vernderlijke toe (wrbij we gewoon een pr constnten meer in de functie ebben). f Als voorbeeld kijken we eens nr de functie f(, y, z) := log(yz). Er geldt f = log(yz), y = (yz) z = f y en z = (yz) y = z. Merk op dt we ook prtiële fgeleide kunnen itereren, dus we kunnen f weer prtieel fleiden. Als we dit bijvoorbeeld prtieel nr y fleiden, scrijven we dit ls y ( f ) = f y = (yz) z = y. Omgekeerd kunnen we ook f y prtieel nr fleiden, dit geeft f y = y. Het is eleml niet vnzelfsprekend dt f y = f y geldt, mr dit is inderdd ltijd (belve in kunstmtig geconstrueerde gevllen) zo en eet de Stelling vn Scwrz. We oeven dus bij et cter elkr uitvoeren vn prtiële fgeleiden niet op de volgorde te letten. Bij de nottie ebben we l gebruikt dt we y ( f ) scrijven ls f y. Als we twee keer in dezelfde ricting fleiden, wordt dit fgekort met f := f. In de vorige les ebben we gezien, dt sommige belngrijke functies door relties met un fgeleiden gekrkteriseerd kunnen worden. Zo is de eponentiële functie een oplossing vn de differentilvergelijking f () = f() en de sinus en cosinus zijn oplossing vn de vergelijking f() + f () = 0. Dit soort vergelijkingen bestt ook voor de prtiële fgeleiden, we noemen zo n vergelijking een prtiële differentilvergelijking. Als voorbeeld kijken we nr de vergelijking: f + y f y + y f y = 0. 83

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 We lten zien dt de functie f(, y) := y f = y( y) y y, ( y) 3 en f y y = y ( y) ( y) f = en f y ( y) 3 y f(, y) inderdd n de vergelijking voldoet. een oplossing iervn is: We ebben = ( y)+y =. Hieruit volgt f = ( y) ( y) = ( y) ( y) = y en we zien dt ( y) 4 ( y) 3 Ook voor functies vn meer dn twee vernderlijken oeven we niet bng te zijn. We bekijken de functie Er geldt: f f(, y, t) := ep( t)(sin() + cos(y)). f = ep( t) cos(), y = ep( t) sin(y), f = ep( t) sin(), = ep( t)(sin() + cos(y)), dus is f(, y, t) een f = ep( t) cos(y) en f y t oplossing vn de vergelijking f + f y = f t. Ook bij functies vn meerdere vernderlijken kunnen we ons ntuurlijk fvrgen oe we minim en mim kunnen vinden. Door de interprettie vn de prtiële fgeleide ls rictingscoëfficient vn de rklijn prllel met een vn de coördintenssen zien we, dt in een lokl minimum lle prtiële fgeleiden gelijk n 0 moeten zijn. Net ls bij de functies vn één vernderlijke is dit lleen mr een noodzkelijke voorwrde, mr geeft toc kndidten voor minim en mim. We kunnen bijvoorbeeld n gn dt een kubus de (gesloten) doos met minimle oppervlkte voor gegeven volume is. Het volume vn een doos met zijden, y, z is geven ls V = yz de oppervlkte ls O(, y, z) = (y+yz+z). We kunnen de derde coördint z uitdrukken door z = V y, dn wordt O = O(, y) = (y + V + V O y ). We ebben = (y V ) en O y = ( V ). Uit y O = O y = 0 volgt dus y = V en y = V. Als we deze twee vergelijkingen vn elkr ftrekken vinden we y( y) = 0, dus = y. Dn geldt V = y = 3, dus is ook z =. Hoe zou dit verwcte resultt vernderen ls we nr een open doos zonder deksel kijken? We kunnen deze vrg ook zo interpreteren, dt et mteril voor bodem en deksel vn een gesloten doos slects lf zo duur is ls et mteril voor de zijvlkken. Dn zouden we verwcten dt et goedkoper wordt, ls we bodem en deksel iets groter en de zijvlkken iets kleiner mken. Het volume vn een open doos is nog steeds V = yz, mr de oppervlkte wordt nu O(, y, z) = y + yz + z (ls de z-s de verticle s is). Door. Voor de weer z door V y te vervngen krijgen we O(, y) = y + V + V y prtiële fgeleiden geldt O = y V en O y = V, dus krijgen we uit y O O = 0 en y = 0 de noodzkelijke voorwrden y = V en y = V. Deze vergelijkingen trekken we weer vn elkr f, dn volgt y( y) = 0 en dus = y en dus 3 = V. We ebben dus = y = 3 V en ieruit volgt z = 3 4 V. 84

.6.8 Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3.6.8..4 y 0.4 0.60.8 0.4 0.60.8..4 Figuur II.0: Oppervlkte vn een (gesloten) doos vn volume fnkelijk vn de lengten vn de - en y-zijden Tegenover de gesloten doos met = y = z = 3 V zijn dus en y om een fctor 3.6 groter en de oogte z is om een fctor 3 4 0.63 kleiner. Een verdere toepssing ligt in et vinden vn een regressielijn door een ntl gegeven punten. De regressielijn door de punten is bepld door de eigenscp dt de som vn de kwdrten vn de verticle fstnden tussen de punten en de lijn miniml wordt. Stel we ebben punten (, y ),..., ( n, y n ) gegeven. Als we door deze punten de lijn y = +b leggen, wordt de som vn de kwdrtisce fstnden gelijk n f(, b) := ( +b y ) +...+( n +b y n ). De prtiële fgeleide vn f nr is gegeven door f = ( + b y ) +... + ( n + b y n ) n = n i= ( i + b y i ) i en de prtiële fgeleide nr b is f b = ( + b y ) +... + ( n + b y n ) = n i= ( i + b y i ). De voorwrden f f = 0 en b = 0 kunnen we nu scrijven ls een stelsel lineire vergelijkingen voor en b. Hiervoor is et ndig een nottie vn Guss te gebruiken, nmelijk een som n i= z i f te korten ls [z]. We ebben dn: ( [ ) ( ) ( ) ] [] [y] =. [] n b [y] Deze mtri kunnen we epliciet inverteren, de determinnt is n[ ] [] en dus geldt ( ) ( ) ( ) ( ) (n[ ] [] n [] [y] n[y] [][y] ) = b [] [ = ] [y] [ ][y] [][y] en dus = n[y] [][y] n[ ] [], b = [ ][y] [][y] n[ ] []. 85

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Belngrijke begrippen in deze les ogere fgeleide lokl (bsoluut) minimum/mimum kritieke wrden prtiële fgeleide Opgven 38. Bepl voor elk vn de volgende functies de lokle minim en mim op et gegeven domein (let ook op de rndpunten). (i) f : [, ] R, 34 8 3 + 6, (ii) f : [, ] R, 5 ++, (iii) f : [, + ] R, +, (iv) f : [0, 5] \ {} R,. 39. Bepl voor de functie f : R R, ep() de lokle minim en mim. 40. Zij > 0 en f : R R gegeven door f() := + + +. Bepl et bsolute mimum vn f. (Hint: Bepl de fgeleide prt op de deelintervllen (, 0), (0, ) en (, ). 4. Iemnd wil vn een punt A n et oever vn een km breed knl nr een punt B n et ndere oever vn et knl. Het punt A rectstreeks tegenover A n et ndere oever eeft een fstnd vn 3km vn et punt B. Op et knl kn ij met een sneleid vn 3km/ roeien, n et lnd loopt ij met een sneleid vn 6km/. Wt is de snelste weg om vn A nr B te komen? A km 3km B A 4. Bepl de oogte en et volume vn de grootste cilinder (qu volume) die in een kogel vn strl r pst. 43. Bron Müncusen wordt op zijn kogel met een oek vn α tegen de grond en een sneleid vn v fgevuurd. Zijn trject wordt bescreven door (, y) = (v cos(α)t, v sin(α)t g t ), wrbij g de ccelertie door de ntrekking vn de rde is (dus ongeveer 9.8 m s ). (i) Nr welke tijd t komt de Bron weer nr de grond? (ii) Bepl de oek α zo dt de Bron zo ver ls mogelijk op zijn kogel kn rijden. (iii) Als de Bron vn een ogere punt (bijvoorbeeld zijn dkterrs) wordt fgevuurd, moet de optimle oek α dn groter of kleiner gekozen worden? 86

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 44. Bepl voor elk vn de volgende functies de prtiële fgeleiden f nr y: en f y nr en (i) f(, y) := y + y, (ii) f(, y) := sin( + 3y), (iii) f(, y) := rctn( y) + rctn(y ), (iv) f(, y) := ep( + y). 45. Een ellipsoïd is gegeven door de vergelijking + y b + z c = (voor = b = c = r geeft dit een kogel vn strl r). Bepl et mimle volume vn een doos die in et ellipsoïd pst. 87

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 9 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is et beplen vn de rictingscoëfficiënt vn de rklijn n de grfiek vn f. Uiteindelijk ebben we de fgeleide gedefinieerd ls de limiet f () := lim 0 f( + ) f() ls deze bestt. De fgeleide f () geeft informtie over et stijgen en dlen vn f() en is drom ook een belngrijk ulpmiddel bij et opsporen vn minim en mim vn de functie f(). Het is nu een (min of meer) voor de nd liggende vrg, of we ook n de overgng vn f () nr f() iets ebben. Met ndere woorden: Stel, F () is een functie zo dt F () = f(), wt voor informtie geeft dn de functie F ()? Er geldt in dit gevl f() = F () = lim 0 F ( + ) F () en dus f() F ( + ) F () en dus bendert et verscil F ( + ) F () de oppervlkte vn et rectoek met oogte f() en breedte. We kunnen dus verwcten, dt de functie F () iets met de oppervlkte onder de grfiek vn f() de mken eeft: Om de oppervlkte onder de grfiek vn f() tussen en b te beplen, delen we et intervl [, b] in N even grote delen, deze ebben dus breedte = b N. De oppervlkte O onder de grfiek wordt dn benderd door de som vn de oppervlkten vn de N rectoeken vn oogte f( + j) en breedte voor j = 0,,..., N..5 0.5 0.5 0 0.5.5 0.5 Figuur II.: Bendering vn de oppervlkte onder een grfiek door rectoeken We ebben dus O f() + f( + ) +... + f( + (N )). Mr n de ndere knt ebben we boven gezien dt f() F ( + ) F (), 88

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 en ieruit volgt dt O (F ( + ) F ()) + (F ( + ) F ( + )) +... + (F (b) F ( + (N ))) = F (b) F (). Het lijkt dus, dt we een functie F () met F () = f() kunnen gebruiken om de oppervlkte onder de grfiek vn f() te beplen. 9. De oppervlkte onder een grfiek Boven ebben we gezien dt een functie F () met F () = f() iets met de oppervlkte onder de grfiek vn f() te mken eeft. We gn nu omgekeerd ntonen dt uit twee voor de nd liggende eisen n een functie, die de oppervlkte onder de grfiek vn f() ngeeft, volgt, dt deze functie de fgeleide f() eeft. Voor een functie f() zij O f (, b) de oppervlkte onder de grfiek vn f() in et intervl [, b]. Onze twee eisen zijn ls volgt: (i) O f (, b) + O f (b, c) = O f (, c), dus et opsplitsen vn een intervl in twee deelintervllen verndert de oppervlkte niet. (ii) Als m f() M voor lle [, b] dn is m(b ) O f (, b) en O f (, b) M(b ), dus de oppervlkte ligt tussen de oppervlkten vn de rectoeken met oogte kleiner of groter dn lle functiewrden. Uit et feit dt O f (, ) = 0 omdt een lijn geen oppervlkte eeft en eis (i) volgt dt O f (, b) = O f (b, ). Als we een oppervlkte vn rects nr links ngeven eeft ij dus de negtieve wrde vn de gewone oriënttie. Ook ls f() < 0 en dus de grfiek onder de -s ligt krijgen we een negtieve oppervlkte. Het is fnkelijk vn de toepssing of we inderdd de oppervlkten onder de -s negtief of positief willen tellen, in et ltste gevl kijken we dn nr de functie g() := f() in plts vn f(). Als we et intervl [, b] onderverdelen in N deelintervllen [, ], [, 3 ],..., [ N, N+ ] met = en N+ = b, dn geldt volgens eis (i): O f (, b) = O f (, ) + O f (, 3 ) +... + O f ( N, N+ ). Als we nu nnemen dt f() op [, b] continu is, weten we dt in een intervl ( i δ, i +δ) om i de functiewrden f() in et intervl (f( i ) ε, f( i )+ε) liggen. Als we een ε > 0 kiezen, kunnen we een onderverdeling nnemen zo dt f() f( i ) < ε voor lle [ i, i+ ]. Dn geldt volgens eis (ii) dt (f( i ) ε)( i+ i ) O f ( i, i+ ) (f( i ) + ε)( i+ i ) en dus (f( i ) ε) O f ( i, i+ ) i+ i (f( i ) + ε). Door de limiet ε 0 te nemen zien we dt de limiet O f ( i, i + ) lim 0 89

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 bestt en de wrde f( i ) eeft. In et bijzonder kunnen we nu voor een vst gekozen punt 0 op et intervl [, b] een functie F definiëren door F () := O f ( 0, ) Dn geldt F ( + ) F () = O f ( 0, + ) O f ( 0, ) = O f (, + ) en dus is F () een differentieerbre functie met fgeleide f(). We ebben dus gezien dt de oppervlkte O f (, b) gegeven is door F (b) F () voor een functie F () met F () = f(). Als we een tweede functie G() ebben met G () = f() dn is (F G) () = F () G () = f() f() = 0, dus is (F G)() een constnte functie en dus G() = F () + C voor een constnte C R. Mr dn is G(b) G() = F (b)+c F () C = F (b) F () en dus kunnen we de oppervlkte O f (, b) ook met beulp vn de functie G() ngeven. We ebben dus ngetoond: II.6 Stelling De oppervlkte onder de grfiek vn een continue functie f() in et intervl [, b] is F (b) F () voor een functie F () met F () = f(). Dit is onfnkelijk vn de keuze vn de functie F (). 9. De primitieve en de integrl We noemen een functie F () met F () = f() een primitieve vn f(). Als F () een primitieve vn f() dn is ook F ()+C voor een constnte C R een primitieve vn f(), dus is de primitieve niet eenduidig bepld. An de ndere knt verscillen twee primitieve functies vn f() lleen mr om een constnte, drom wordt de primitieve vn een functie vk met F () + C ngegeven, wrbij C een niet verder beplde constnte is. We ebben boven gezien dt een continue functie ltijd een primitieve eeft en dt deze een differentieerbre functie is. Als een functie f : [, b] R continu is belve in een punt c [, b] kunnen we een differentieerbre primitieve F () op et intervl [, c] en een differentieerbre primitieve F () op et intervl [c, b] vinden. Dn is de functie { F () ls F () := F () F (c) + F (c) ls > c een continue functie op [, b] die voor c differentieerbr is met F () = f(). Op deze mnier kunnen we continue primitieven voor lle functies vinden, die lleen mr in geïsoleerde punten sprongen ebben. Voor functies f() die in willekeurig kleine intervllen in oneindig veel punten niet continu zijn is een iets ingewikkeldere definitie vn een primitieve nodig, mr dit soort eotisce functies gn we ier niet verder bekijken. De gebruikelijke nottie voor de primitieve functie F () vn f() is de integrl F () = f(t)dt of F () = f()d. 0 90

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 De eerste vorm (met grenzen) noemen we ook de beplde integrl de tweede (zonder grenzen) de onbeplde integrl. Bij de onbeplde integrl identificeren we primitieven die om een constnte verscillen. De nottie vn de integrl is ingevoerd door Gottfried Wilelm Leibniz die prllel met Isc Newton de crucile principes vn de clculus ontwikkeld eeft. De nottie is fgeleid vn de betekenis vn de primitieve voor de oppervlkte onder de grfiek vn een functie: b f(t)dt = O f (, b) = N O f ( i, i+ ) i= n f( i )( i+ i ) = i= n f( i ) i. De Σ is de Griekse letter S en stt voor som (of Summe), et teken voor de integrl lijkt op een uitgerekt S. Om n te duiden dt er een limiet voor i 0 plts vindt, wordt et symbool d gescreven. Dit is net ls i in de prtiële fgeleide een formeel symbool dt ngeeft welke vribel gevrieerd wordt. Uit de definitie vn de integrl en de eigenscppen vn de fgeleide volgen meteen een pr belngrijke eigenscppen: b c f()d + b b f()d = g()d = b b (f + g)()d (cf)()d voor c R We zien dus dt de integrl (net zo ls de fgeleide) een lineire fbeelding op de vectorruimte vn continue functies is. Een woord vn wrscuwing: Bij et fleiden vn functies ebben we gezien dt er regels bestn zo dt we de fgeleide f () vn een functie f() die uit elementire functies (veelterm-functies, eponentiële functie, logritme, trigonometrisce functies en un inverse functies) opgebouwd is, weer ls combintie vn elementire functies kunnen scrijven. Voor de integrl geldt dit niet! Er zijn functies f() zo dt we de integrl f()d niet ls combintie vn elementire functies kunnen scrijven. Dit ligt niet ern dt we te stom zijn om zo n functie te vinden mr et is mogelijk te bewijzen dt zo n functie niet bestt. Een voorbeeld iervoor is de functie f() := ep( ) die een belngrijke rol in de sttistiek speelt (bijvoorbeeld bij de normlverdeling). Deze functie is continu (zelfs differentieerbr), mr de enige mnier om de primitieve F () vn deze functie te scrijven is de integrl F () = ep( )d. Een ingewikkelder voorbeeld is de Γ-functie Γ() := 0 ep( t)t dt. Ook deze functie is niet zonder integrl te scrijven. Er lt zic wel ntonen dt Γ(n) = (n )! voor n N, dus is de Γ-functie een soort interpoltie voor de fculteit vn ntuurlijke getllen. Een ntl integrlen kunnen we l berekenen, omdt we bij et differentiëren gezien ebben, dt zekere functies eenvoudige fgeleiden ebben. Een pr voorbeelden zijn: 9 i=

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 (i) d = + + voor, (ii) ep()d = ep() en d = log(), (iii) sin()d = cos() en cos()d = sin(), (iv) d = rctn() en + d = rcsin(). Soms verscilt een functies mr een beetje (bijvoorbeeld door een constnte) vn een functie wr je et integrl l vn kent. Dn lt zic vk ook de integrl vn de vernderde functie mkkelijk berekenen. Bijvoorbeeld eeft cos()d zeker iets met sin() te mken, mr sin() = cos(), dus moet je nog met vermenigvuldigen en krijgt zo cos()d = sin(). Een iets slimmer trucje is bij de integrl d nodig. Bij de primitieve speelt zeker de rcussinus een rol, en ls je rcsin(b) fleidt, krijg je rcsin(b) b = = b =. We moeten dus b = (b) b b b kiezen, dit geeft d = rcsin( ). We kunnen met beulp vn de integrl nu bijvoorbeeld de oppervlkte vn een cirkel met strl beplen. De punten (, y) op de cirkel voldoen n + y =, dus is de bovenelft vn de cirkel de grfiek vn f() :=. De oppervlkte vn de cirkel vinden we dus ls 4 0 d. We zullen lter nog een ndere mnier zien oe we deze integrl kunnen berekenen, mr door een goede gok te doen kunnen we em ook meteen oplossen. Er geldt ( ) = + = + =. We brengen nu nr een zijde en delen door, dit geeft = (( ) + ) en dus d = ( + d) = ( + rcsin()). Dus is 0 d = ( 0 + rcsin() 0 rcsin(0)) = ( π 0) = π 4 en we vinden inderdd π ls oppervlkte vn een cirkel met strl. Een ndige nottie om integrlen kort door un primitieven te bescrijven is de volgende: Als F () een primitieve vn f() is, dn scrijven we b 9.3 Prtieel integreren f()d = F (b) F () = F () b. Omdt de integrl de omkering vn de fgeleide is, kunnen we verwcten dt ook uit de productregel iets nuttigs voor et primitiveren volgt. De productregel zegt dt (f()g()) = f ()g() + f()g () en door deze vergelijking te primitiveren krijgen we f()g() b b = f ()g()d + 9 b f()g ()d.

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Door één vn de integrlen nr de ndere knt te brengen volgt ieruit de regel voor de prtiële integrtie: b f ()g()d = f()g() b b f()g ()d, f ()g()d = f()g() f()g ()d. De grp bij deze formule is dt we sommige functies eenvoudig kunnen primitiveren en dt een integrl misscien eenvoudiger wordt ls we een deel primitiveren en de rest fleiden. Hels zijn er geen regels oe we een functie ls product vn twee functies moeten scrijven en welke vn de twee delen we ls f () en welke we ls g() moeten kiezen. Dit is een kwestie vn oefening en ervring en soms is et verstndig de verscillende mogelijkeden te proberen. Meestl zijn er nmelijk niet zo veel mogelijkeden om een functie ls product vn twee functies te scrijven en we moeten dus lleen mr kiezen of we een fctor ls f () of ls g() willen gebruiken. Een pr typisce toepssingen zijn de beste mnier om te zien oe de prtiële integrtie werkt: () }{{} g() ep() d = ep() ep()d = ( ) ep(), } {{ } f () () log()d = }{{} log() d = log() } {{ } d = log(). f () g() Soms lukt et bij de prtiële integrtie de oorspronkelijke integrl op de recte zijde terug te vinden, mr met een ndere coëfficiënt. Dit is in et bijzonder bij functies met sin() of cos() vk et gevl, ook l is et ier soms nodig meer dn een keer prtieel te integreren omdt sin () = sin(). Voorbeelden iervoor zijn: (3) sin ()d = sin() sin() d = cos() sin() cos() cos()d = } {{ } } {{ } f () g() cos() sin() + ( sin ())d = ( cos() sin() + ), (4) ep() sin()d = ep() cos()+ ep() cos()d = ep() cos() + ep() sin() ep() sin()d = (ep()(sin() cos()). Belngrijke begrippen in deze les oppervlkte onder een grfiek primitieve functie integrl vn een functie prtieel integreren 93

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Opgven 46. Bepl primitieven voor de volgende functies: (i) f () := met > 0,, (ii) f () := +, (iii) f 3() := +, (iv) f 4 () := 47. Bereken de volgende integrlen: + met 0, (v) f 5() :=. + + 0 ( ) n d voor n N en π 0 sin(m)d voor m Z. 48. Bepl de oppervlkte vn et gebied dt door de grfieken vn f() := en g() := + wordt ingesloten (dus et gebied tussen de grfieken op et intervl tussen un snijpunten). 49. Bepl de volgende integrlen door prtiële integrtie: (i) sin()d, (ii) ep()d, (iii) log()d, (iv) log ()d, (v) log 3 ()d, (vi) cos(log())d, (vii) rctn()d. 94

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 0 Substitutie We ebben gezien dt de productregel voor et differentiëren nleiding geeft tot een mnier, om voor zekere functies een primitieve te vinden, nmelijk door prtiële integrtie. Een regel voor et differentiëren die we bij et integreren nog niet ebben gebruikt is de kettingregel en et zou geen verrssing zijn dt we ook ier iets voor et primitiveren n ebben. Als we bijvoorbeeld nr de functie F () := ep( ) kijken, dn is F () = ep( ), dus kunnen we de integrl ep( )d beplen ls b ep( )d = ep( ) b = (ep(b ) ep( )). Algemeen zien we dt een integrl vn de vorm g (f())f ()d gelijk is n g(f()) omdt volgens de kettingregel g(f()) = g (f())f () is. Dit geeft dus een mnier oe we voor zekere functies met beulp vn de kettingregel een primitieve kunnen vinden. Mr we kunnen de kettingregel nog veel slimmer toepssen, niet lleen mr ls we een functie vn de vorm g (f())f () in een integrl vinden. Om dit op een ndige mnier te kunnen bescrijven gn we eerst nog eens de nottie vn Leibniz voor de fgeleide nder bekijken. 0. Rekenen met differentilen De fgeleide ebben we gedefinieerd ls limiet vn de quotiënt f(+) f(). Als we met een (klein) verscil vn wrden noteren, kunnen we dit ook scrijven ls f(). Om nu de limiet 0 duidelijk te mken, vervngen we door d, dn wordt dus f () = df() d = df d. Tot ier toe ebben we lleen mr de nottie vernderd en zien df d ls een formeel symbool, dt we ls df nr d lezen. Inderdd ebben we deze nottie l bij de prtiële fgeleide f df gebruikt. Mr we kunnen d ook ls breuk zien en met teller en noemer rekenen ls bij breuken. We noemen de uitdrukking d dn een differentil. Het belngrijke punt is nu dt in de integrl f()d de uitdrukking d inderdd een differentil is. De smenng is ls volgt: Lt F () een primitieve vn de functie f() zijn, dn is F () = df d = f() en dus df () = f()d. Als we nu df () weer ls limiet vn F () zien, dn is de integrl df () de limiet vn de som F () en dus gelijk n F (). Op deze mnier vinden we de ons l bekende formule voor de (onbeplde) integrl terug: f()d = F () = df (). Merk op: Dt we met differentilen mogen rekenen ls met breuken is eleml niet vnzelfsprekend, omdt we et impliciet ltijd met limieten te 95

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 mken ebben. Mr voor continue functies lt zic ntonen, dt dit inderdd mg, terwijl er gevllen vn niet-continue functies zijn, wr et mis gt. Als we de productregel en kettingregel voor et fleiden nu met beulp vn differentilen nog eens opscrijven, zien ze er zo uit: d(fg) d = (fg) () = f ()g() + f()g () = df dg g() + f() d d d(g f) d = (g f) () = g (f())f () = d(g f) df In de kettingregel lijkt et ls of we df in de teller en noemer tegen elkr kunnen scrppen. Dit weerspiegelt oe we de kettingregel ebben bewezen : Toen ebben we met een voedzme de quotiënt (g f)(+) (g f)() gescreven ls g(f(+)) g(f()) f(+) f() f(+) f() en de limiet iervn is precies wt we net met differentilen ebben opgescreven. Om n de nottie met differentilen te wennen gn we n een toepssing kijken, nmelijk de lengte vn een kromme. Stel we ebben een functie f() en willen grg weten oe lng de grfiek vn deze functie tussen de punten en b is. Hiervoor delen we et intervl in kleine deelintervllen die zo klein zijn dt de grfiek op zo n intervl goed door een recte lijn benderd wordt. De lengte vn de kromme vinden we nu (zo ls in Figuur II. gescetst) ls de som vn de lengten s vn de lijnstukken op de deelintervllen. y df d s f f() Figuur II.: Berekening vn de lengte vn een kromme Volgens de stelling vn Pytgors is ( s) = ( f) + ( ), dus ( f s = ( f) + ( ) = ) +. Als we nu de lengte vn de deelintervllen nr 0 lten gn, moeten we de s door differentilen vervngen, dit geeft ( ) df ds = d + = f d () + d. 96

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Omdt de lengte vn de kromme de som over de lijnstukken s en dus (in de limiet) de integrl over de differentilen ds is, volgt voor de lengte s vn de grfiek vn f() tussen en b: s = b 0. De substitutieregel ds = b f () + d. Er zijn twee mnieren oe we gebruik mken vn de kettingregel om de primitieve vn een functie te vinden. Bij de eerste (meer directe) mnier vervngen we een functie f() door een nieuwe vribel u, ls we ook f () in de integrl kunnen vinden. Bij de tweede mnier gt et omgekeerd, we vervngen door een functie f(u) en moeten dn ook f (u) toevoegen, mr vinden zo soms inderdd een eenvoudigere functie. Type A: Vervngen vn f() door u Stel dt g() een functie is wrvn we een primitieve G() kennen, dus G () = g(). Als we nu een integrl vn de vorm g(f())f ()d vinden, dn kunnen we dit oplossen door nr de functie F () := G(f()) te kijken, wnt F () = G (f())f () = g(f())f (), dus is F () een primitieve vn g(f())f (). Met beulp vn differentilen kunnen we dit zo scrijven: g(f())f ()d = dg df df d d = G(f()) = F (). Het lijkt weer ls of we de differentilen kunnen scrppen, mr we moeten wel opletten dt we G in f() evlueren omdt we G nr f fleiden. Wt ier eigenlijk gebeurt is et volgende: We definiëren u := f(), dn is u ntuurlijk een functie vn en er geldt du d = u () = f () en door vermenigvuldigen met d vinden we du = f ()d. Voor de integrl geldt dus g(f())f ()d = g(u)du = G(u) = G(f()) = F (). Omdt we f() door u ebben vervngen, noemen we dit een substitutie. Het recept voor deze type vn substitutie is dus: () Vervng een functie f() door u en f ()d door du. De integrl mg nu geen meer bevtten. () Vind een primitieve G(u) voor g(u). (3) Vervng u in G(u) door f() om zo de primitieve F () = G(f()) te vinden. Tot nu toe ebben we ons met een onbeplde integrl (zonder grenzen) bemoeid. Wt gebeurt er nu bij de substitutie voor een beplde integrl met 97

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 grenzen en b? Als vn tot b loopt, dn loopt f() vn f() tot f(b), dus loopt u vn f() tot f(b). We ebben dus b g(f())f ()d = f(b) f() g(u)du = G(u) f(b) f() = (G f)()) b = F () b d.w.z. ndt we g() voor u terug ebben gesubstitueerd zijn de grenzen weer etzelfde. De beste mnier, om de substitutie te begrijpen is nr een ntl voorbeelden te kijken. Drbij komen ook verscillende stndrd-trucjes nr voren. (i) sin 5 () cos()d: We kiezen u = f() = sin(), dn is du = cos()d. sin 5 () cos()d = u 5 du = 6 u6 = 6 sin6 (). Er geldt dus: (ii) + d: We zien dt de teller (tot op een fctor n) de fgeleide vn de noemer is, dus kiezen we u = f() = +, dn is du = d. Dn geldt: + d = + d = u du = log(u) = log( + ). (iii) tn()d: Dit is niet eleml voor de nd liggend, mr omdt tn() = sin() cos() kunnen we u = f() = cos() kiezen, dn is du = sin()d. We ebben dus: tn()d = sin() cos() d = u du = log(u) = log(cos()). (iv) log() d: Ook ier is niet zo veel keuze, omdt we voor f() een functie moeten kiezen, wrvn we ook de fgeleide vinden. In dit gevl is u = f() = log() de voor de nd liggende keuze, dn is du = d. Er geldt dus: log() d = udu = log(u) = log(log()). Een eenvoudige mr belngrijke type vn substitutie is et vervngen vn een lineire functie + b in door u, in et bijzonder et vervngen vn een veelvoud door u. Voor u = + b is du = d, dus is f( + b)d = f( + b) d = f(u)du. Een voorbeeld iervoor is de integrl d. We weten dt +c + d = rctn(), mr om dit te kunnen gebruiken moeten we eerst nog de c kwijt rken. Er geldt + c = c (( c ) + ), dus is d = +c c ( c ) + d = c c ( c ) + d. Voor de substitutie u = c is du = c d, dus geldt + c d = c c ( c ) + d = c u + du = c rctn(u) = c rctn( c ). 98

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Type B: Vervngen vn door f(u) Voor de type A vn substitutie ebben we nodig dt we nst een functie f() (die we door u vervngen) ook de fgeleide f () in de integrl vinden. Dit is ntuurlijk een bijzonder mooie situtie, mr els vk niet et gevl (of tenminste niet mkkelijk te zien). Bij veel integrlen is dus een ndere npk nodig: In plts vn f() door u te substitueren, vervngen we door een (gescikte) functie f(u). In dit gevl is d du = (u) = f (u) en dus d = f (u)du. Voor de integrl g()d volgt dus g()d = g(f(u))f (u)du. We gebruiken dus in principe de kettingregel in de omgekeerde ricting ls bij type A. Stel nu dt G(u) een primitieve is vn g(f(u))f (u), d.w.z. er geldt G (u) = g(f(u))f (u). Omdt f(u) =, is u = f () (wrbij f de inverse functie vn f is) en we zien door differentiëren dt G(u) = G(f ()) een primitieve vn g() is: (G(f ())) = G (f ()) (f ()) = G (f ()) = g(f(f ())) f (f ()) Het recept voor deze type vn substitutie is dus: f (f ()) = g() f (f ()) () Vervng (overl) door een functie f(u) en d door f (u)du. () Vind een primitieve G(u) voor de nieuwe functie in de integrl. (3) Vervng u in G(u) door f () om zo nr de oorspronkelijke integrl terug te komen. Bij een beplde integrl b g()d loopt vn tot b, dus loopt ook f(u) vn tot b en dus moet u vn f () tot f (b) lopen. Hier zien we ook dt er een beperking voor de functie f(u) bestt: deze moet op et intervl [f (), f (b)] een inverse functie ebben, dus f(u) moet of op [f (), f (b)] strikt stijgend of dlend zijn. Voor de beplde integrl geldt dus b g()d = f (b) f () g(f(u))f (u)du. Het is duidelijk dt we door een niet zo slimme keuze vn f(u) de integrl lleen mr moeilijker mken. De goede keuze vn f(u) is een vrg vn oefenen, ervring en soms ook een beetje gokken. An de ndere knt zijn er ook vk niet zo eel veel keuzen voor een substitutie, wnt op een of ndere mnier moet de fgeleide f (u) iets in g(f(u)) vereenvoudigen. Voor verscillende typen vn integrlen zijn er stndrd substituties, een pr voorbeelden zullen we nu bekijken. 99

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 (i) d: Bij integrlen met een wortel en een kwdrt zijn vk de trigonometrisce substituties vn toepssing. Wt ierbij gebruikt wordt is de reltie sin () + cos () =. Hierdoor kunnen we vk de wortel kwijt rken. We kiezen = sin(u), dn is d = cos(u)du. Omdt sin (u) = cos (u) wordt de integrl nu d = cos(u) cos(u)du en dit kunnen we met prtiële integrtie oplossen. Er geldt cos (u)du = cos(u) sin(u) + sin (u)du = cos(u) sin(u) + ( cos (u))du = (cos(u) sin(u) + u). Uit = sin(u) volgt u = rcsin() en met cos(u) = sin (u) volgt dus d = ( + rcsin()). (ii) + d: Hier ebben we niet zo veel keuze, om de wortel kwijt te rken moeten we = u kiezen, dn is d = u du. Dn geldt + d = u u u + du = ( (u +) )du = ( u + u + )du = u rctn(u). Omdt u = is dus + d = rctn( ). (iii) e e + d: Dit is een voorbeeld vn een substitutie wr et niet onmiddellijk duidelijk is dt de substitutie een vereenvoudiging geeft. We willen grg weer de wortel kwijt, drom proberen we u = e +, dn is omgekeerd = log(u ) en dus d = u u du. Verder zien we nog dt e = (u ) geldt. We krijgen dus e e + d = (u ) u u u du = (u )du = 3 u3 u = 3 e + 3 e +. We kunnen deze integrl trouwens ook met een substitutie vn type A oplossen: Kies u = f() = e, dn is du = e d. Er geldt e e + d = e e + e d = u u+ du = (u+) u+ du = u + du u+ du = 3 u + 3 u + = 3 e + 3 e +. Een toepssing vn de substitutie is et beplen vn de integrl vn de inverse functie. We zullen de integrl f ()d op twee mnieren beplen, een keer beginnen we met een substitutie en de ndere keer met prtiële integrtie. Omdt we over de functie f() niets weten, is de enige voor de nd liggende substitutie = f(u), wnt dn is f (f(u)) = u. Voor = f(u) ebben we d = f (u)du, dus is f ()d = uf (u)du. Dit screeuwt nu nr prtiële integrtie, nmelijk uf (u)du = uf(u) f(u)du = f () f(u)du. Voor een beplde integrl geldt dus: b f ()d = f () f b (b) f(u)du. f () We kunnen ook eerst met prtiële integrtie beginnen. f () is f (f ()), dus ebben we f ()d = f () De fgeleide vn f (f ()) d. 00

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Als we nu = f(u) substitueren is weer d = f (u)du en dus f (f ()) d = f(u) f (u) f (u)du = f(u)du. Dus vinden we dezelfde formule ls boven. Dt dit resultt inderdd klopt kunnen we n de nd vn de grfiek in Figuur II. flezen. Door et gebied O n de digonl te spiegelen zien we dt O de integrl b f ()d is. An de ndere knt is et gebied O de integrl f (b) f () f()d. De grote rectoek eeft oppervlkte bf (b) en de kleine rectoek links onder eeft oppervlkte f (), dus geldt bf (b) = f () + f (b) f () f()d + b f ()d. y b O O f^-() f^-(b) f() Figuur II.3: Integrl vn de inverse functie 0.3 Toepssingen vn de integrl In de vorige les ebben we gezien dt we met beulp vn de integrl de oppervlkte onder een grfiek kunnen berekenen en in deze les dt we ook de lengte vn een grfiek kunnen vinden. Een verdere toepssing is et volume vn een rottielicm. Het idee ierbij is eel eenvoudig: Als we de grfiek vn een functie f() om de -s lten roteren, geeft dit een rottielicm. Net zo ls we de oppervlkte onder een grfiek ls som vn dunne rectoeken onder de grfiek ebben benderd, kunnen we et volume vn een rottielicm door de som vn dunne cirkelscijven benderen. Een cirkelscijf tussen en + δ met strl f() eeft et volume πf() δ, dus krijgen we et volume vn een rottielicm ls V = b πf() d. Een eenvoudig voorbeeld is een kogel met strl r. De kogel is et rottielicm voor de grfiek vn f() = r tussen r en r. Het volume vn de kogel is 0

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 dus r r π r d = π r r (r )d = π(r 3 3 ) r r = π(r3 3 r3 ) = 4 3 πr3. Een verdere toepssing is et oplossen vn eenvoudige differentilvergelijkingen. Hier zijn twee voorbeelden. () Bij een zekere cemisce rectie is de rectiesneleid proportioneel met de oeveeleid vn een vn de uitgngsproducten dt we P noemen. Stel dt n floop vn 3 minuten de elft vn P is omgewndeld. Hoe lng duurt et tot dt 90% vn P zijn omgewndeld? De nvnkelijke oeveeleid vn P noemen we A, en de oeveeleid die n minuten is omgewndeld noemen we f = f(). We weten dt op et moment de rectiesneleid f () proportioneel met de oeveeleid A f vn et product P is. Dit geeft f () = df d = k(a f) voor een zekere constnte k. Hieruit volgt d = k(a f) df en door integreren krijgen we = k(a f) df = log(a f) + C. Dit lossen we nu nr f = f() op: k k( C) = log(a f) A f = ep( k( C)) f() = A ep( k( C)) = A( ep( k)), omdt f(0) = 0 en dus ep(kc) = A. Er geldt f(3) = A, dus is A = A( ep( 3k)) en dus ep( 3k) =. Dit geeft k = 3 log(). We willen nu beplen zo dt f() = 9 0. In dit gevl geldt ep( k) = ep( 3 log()) = dus is 3 log() = log(0) en dus = 3 log(0) log() 9.97. () Een biljrtbl wordt proportioneel met zijn sneleid geremd. Hoe ver rolt de bl ls we met een beginsneleid vn v 0 stoten? De sneleid v = v(t) vn de bl vernderd volgens v (t) = dv dt = k voor de remconstnte k. Er geldt dus dv = k dt en dus v = k dt = kt + C. Omdt v(0) = v 0 is C = v 0. We ebben dus v(t) = v 0 kt en de bl komt tot stilstnd ls v(t) = 0. Dit is et gevl voor t = v 0 k. Om de fstnd te beplen die de bl rolt moeten we nog eens integreren, om uit de sneleid et trject s(t) te beplen. Er geldt v = s (t) = ds dt, dus is ds = v dt = (v 0 kt)dt en dus s = t 0 (v 0 kt)dt = v 0 t k t t 0 = v 0 v 0 k k v0 = v k 0 k. 0, Belngrijke begrippen in deze les differentilen substitutie (type A en type B) toepssingen vn de integrl 0

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Opgven 50. Bepl de volgende integrlen door substitutie: (i) e sin(e )d, (ii) e d, (iii) 4 d, (iv) e d, (v) log() d, (vi) log(cos()) tn()d, (vii) log(log()) d. log() 5. Bereken de volgende beplde integrlen: (i) 8 4 5 d, (ii) log( + )d, 0 (iii) π 0 sin( )d. 5. Bepl de lengte vn de grfiek vn de volgende functies op de ngegeven intervllen: (i) f() = op et intervl [0, ], (ii) f() = log() op et intervl [, 3]. 03

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Opgven voor Clculus Opgve. Bepl de fgeleiden vn de volgende functies: (i) f() := sin(+ ), (ii) f() := sin()+sin( ), (iii) f() := sin(cos()), ( ) cos() (iv) f() := sin(sin()), (v) f() := sin, (vi) f() := sin(cos()), (vii) f() := sin( + sin()), (viii) f() := sin(cos(sin())). Opgve. Als je gewone fgeleide vervelend vindt, zou je et misscien interessnter vinden om vn de volgende functies de fgeleide f () te berekenen: (i) f() := sin(( + ) ( + )), (iii) f() := sin (( + sin()) ), (ii) f() := sin 3 ( + sin()), ( ) 3 (iv) f() := sin cos( 3, ) (v) f() := sin( sin())+sin(sin( )), (vi) f() := sin () sin( ) sin ( ), (vii) f() := ( + sin 5 ()) 6, (viii) f() := sin(sin(sin(sin(sin())))), (i) f() := sin((sin 7 ( 7 ) + ) 7 ), () f() := ((( + ) 3 + ) 4 + ) 5, (i) f() := sin( +sin( +sin( ))), (ii) f() := sin(6 cos(6 sin(6 cos(6)))), ( ) (iii) f() := sin( ) sin () 3, (iv) f() := sin + sin() sin( 3 sin() ). Opgve 3. Vind lokle en globle minim en mim voor de volgende functies (die op R met uitzondering vn eventuele nulpunten vn de noemer gedefinieerd zijn): (i) f() := 3, (ii) f() := 4, (iii) f() := +, (iv) f() := 3 8+, (v) f() := 5 ++, (vi) f() := + 3, (vii) f() := 4 3 ( ) 3, (viii) f() := 3 + 48, Opgve 4. Een ellips wordt bescreven door de vergelijking + y b =. De prmeters en b geven de lengten vn de twee lfssen vn de ellips. Voor = b = is de ellips een cirkel. We bekijken rectoeken met zijden evenwijdig n de - en y-ssen, die in de ellips liggen. Bepl de fmetingen vn de rectoeken: () met mimle oppervlkte, (b) met mimle omvng, die in de ellips pssen. 04

Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Opgve 5. Een bl wordt uit een oogte 0 met sneleid v 0 verticl omoog of omlg gegooid (ls v 0 > 0 wordt ij omoog gegooid, ls v 0 < 0 omlg). De oogte vn de bl wordt (fnkelijk vn de tijd) door een functie (t) bescreven, voor de sneleid v(t) geldt v(t) = (t) en de ccelertie (t) = v (t) = g is constnt (we nemen de ccelertie met een minteken, omdt deze omlg gerict is, de wrde vn g is ongeveer 9.8m/s ). (i) Toon n dt (t) = gt + v 0 t + 0. (ii) Wt is de mimle oogte die de bl bereikt? (iii) Wt is de sneleid wrmee de bl de grond rkt? Opgve 6. Bepl primitieven voor de volgende functies: (i) f() := b, (ii) f() := + sin(), (iii) f() :=. Opgve 7. Bepl de volgende integrlen (bijvoorbeeld door prtiële integrtie): (i) cos 3 () d, (ii) 3 ep( ) d, (iii) sin() d, (iv) log () d. Opgve 8. Bepl de volgende integrlen (bijvoorbeeld door substitutie): log(log()) ep() (i) d, (ii) ep() + ep() + d, (iii) ep(ep()) ep() d, (iv) d. Opgve 9. Bereken de volgende beplde integrlen: (i) (iv) (vii) () 0 0 0 ( + ) d, (ii) ( ) d, (v) ( 3 + ) d, d, 0 (viii) (i) ( ) d, (iii) 4 3 0 4 Opgve 0. Bereken de volgende beplde integrlen: (i) 3 + 3 d, (ii) 9 4 3 3 0 (3 + ) d, 8 ( ) d, (vi) + 3 d, + d, (i) d, (ii) 5 + d, (iii) 0 π 3 0 0 ( ) d, sin(3) d. 3 ep( ) d. 05